第20章 排列和组合的一般计数方法 (2)

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第20章 排列和组合的一般计数方法
【乘法&加法法则结合应用】
• [例20.1.3] 有6本不同的中文书, 5本不同的英文书, 7本
• • • •
不同的日文书. 试问有多少种方式从中挑选两本不同语 种的书? 解：由乘法法则， 若选取中文书和英文书，则共有6· 5=30种方式； 若选取中文书和日文书，则共有6· 7=42种方式； 若选取英文书和日文书，则共有5· 7=35种方式.
13 12 C25 2 (-
25! 12 13 3) = 2 3 13! 12!
13
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第20章 排列和组合的一般计数方法
组合恒等式——递推式
1. 2. 3.
k Cn k Cn
=
Hale Waihona Puke Baidu
n- k Cn
n k- 1 = Cn- 1 k k k k- 1 Cn = Cn + C 【杨辉三角公式】 -1 n- 1
证明方法：公式代入、组合分析 应用： 1式用于化简 2式用于求和时消去变系数 3式用于求和时拆项（两项之和或者差），然后合并
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第20章 排列和组合的一般计数方法
定理20.2.4 设S为n元集合, 则S的所有不同 的子集数目是
2 C C C
n 0 n 1 n
n n
证明:对于r=0,1,…,n,S的每个有r个元素的子集就 r C 是S的一个r组合, 因而 n 就是S的具有r个元素的不同
.
当r>n时,
P =0
r n
1 , 且 Pn =n
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第20章 排列和组合的一般计数方法
• 定理20.2.1 对于正整数n和 r(<=n) ,恒有
P =n(n-1)(n-r+1)
•证明：从n个不同的元素中选取第1个元素的方法 有n种.当第1个元素选好后，只能从剩下的n-1个元 素中选取第2个元素，共有n-1种方法….最后1个元 素只能从剩下的n-(r-1)个元素中选取.共有n(n-1)(n2)…(n-r+1)种方法.由乘法法则,不同的选取方法是 n(n-1)(n-2)…(n-r+1).
2 25
25! 3 三角形数 T C 25 2300 3!22!
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第20章 排列和组合的一般计数方法
二项式定理
定理(二项式定理): 设 n 是正整数，对一切 x 和 y
( x + y) =
n
å
n
k k n- k Cn x y
k= 0
证明方法: 数学归纳法、组合分析法.
证 当乘积被展开时其中的项都是下述形式：xi yni, i = 0, 1, 2, …, n. 而构成形如 xiyni 的项，必须从n 个 和 (x+y) 中选 i 个提供 x，其它的 ni 个提供 y. 因此，
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第20章 排列和组合的一般计数方法
【乘法法则】 • 假设一个过程能分为m个相继（有序）的阶 段. 第1个阶段中有 r1 个结果, 第2个阶段中 有 r2 个结果,…，第 m 阶段中有 rm 个结果， 且这些结果彼此不同，则总的过程有 r1 r2 rm 个不同的结果. • 集合论语言：若 |A| = m , |B| = n , AB = {(a,b) | a A,b B}, 则 |A B| = m ·n 。 • 适用问题：分步选取
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r n
第20章 排列和组合的一般计数方法
• 为简单起见,记
• 规定
n! n(n 1) 2 1
0! 1
r n
,则有
n! P (n r )!
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第20章 排列和组合的一般计数方法
[例20.2.1] 假设从长沙至北京的铁路线上共
有50个需要停靠的大小车站,问要为这条线准 备多少种不同的车票.
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第20章 排列和组合的一般计数方法
• 定理20.2.2 一个n元集合的环形排列数是
Pnr n! N r r (n r )!
•证明:把S的所有r排列分成若干组，使得同组的任何 两个r排列均是同一个环排列.易知,每组中恰含有 r个 这样的r排列.所以S的环形r排列数 .
N Pnr / r
• 在加法法则中要注意两个集合是否互 不相交。
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第20章 排列和组合的一般计数方法
【两个法则使用条件 】
• [例] 某种样式的运动服的着色由底色和装饰 条纹的颜色配成。底色可选红、蓝、橙、 黄，条纹色可选黑、白，则共有42 = 8种 着色方案。 • 若此例改成底色和条纹都用红、蓝、橙、 黄四种颜色的话，则有多少种着色方案？ • 4 4 = 16？× • 4 3 = 12 种。 • 在乘法法则中要注意事件 A 和 事件 B 的相 互独立性。
第20章 排列和组合的一般计 数方法
20.1 两个基本的计数法则 20.2 基本排列组合的计数方法 20.3 可重复排列组合的计数方法 补充：组合数应用，鸽巢原理
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第20章 排列和组合的一般计数方法
§20.1 两个基本的计数法则
【加法法则】 • 若在第1个集合中有 r1 个元素，在第2个集合 中有 r2 个元素，…，在第 m个集合中有 rm 个 元素，且这个集合是互不相交的，则从m个集 合中选取一个元素的方法数为 r1 r2 rm • 集合论语言：若 |A| = m , |B| = n , AB = , 则 |AB| = m + n 。 • 适用问题：分类选取
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第20章 排列和组合的一般计数方法
§20.2 基本排列组合的计数方法
组合计数模型:设 n 元集合 S ,从 S 中选取 r 个元素. 根据是否有序,是否允许重复可以将该问题分为四个子 类型 不重复 有序 无序 集合排列 P(n, r) 集合组合 C(n, r ) 重复 多重集排列 多重集组合
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k 0 n
n k
n
另一种方法是分步处理，为构成 S 的子集A，每个元素有 2 种选择，根据乘法法则，子集总数是2n.
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第20章 排列和组合的一般计数方法
恒等式求和——变系数和
n n 1 6. k n 2 k k 0 n 2 n n 2 7. k n ( n 1 ) 2 k k 0
[例] ：5对夫妇出席一宴会，围一圆桌而坐， 试问有几种不同的方案？若要求每对夫妻相 邻又有多少种方案? 解:(1)座位无限制 Q(10,10)=P(10,10)/10=10!/10=9!=362880 共有362880种方式。 (2)夫妇相邻而坐 2.1) 将一对夫妇作为一个元素来看待，共有 Q(5,5)=P(5,5)/5=24。 2.2) 夫妇可以交换坐位，5对夫妇共有25种方式。 根据乘法法则：若夫妻相邻而坐，共有 24×25=24×32=768种方式。
Pn n! C r! r!(n r )!
r n
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第20章 排列和组合的一般计数方法
• [例20.2.3] 在平面上给定25个点,其中任意3 点均不共线,过2点可以作一条直线,以3个点 顶点可作一个三角形.问这样的直线和三角 形有多少个?
25! 300 解: 直线数 L C 2!23!
• 解: 因为每张车票都标明起点站和终点站的站名,所 以同样两个站之间就有2种不同的车票.从50个车站 的站名中取出两个车站名,分起点和终点排列起来 的不同种数,就是需要准备不同的车票的数目,于是, 由定理20.2.1,该数目为50×49=2450.
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第20章 排列和组合的一般计数方法
• 二、环排列(圆周排列，圆排列)
子集数目.由加法法则,S的所有不同的子集数目是:
0 1 n Cn Cn Cn
另一方面,在构成S的某个子集时,S的每个元素要么属 于该子集,要么不属于该子集.根据乘法法则,n个元素 的选法是2n,即S的所有不同的子集有2n个。
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第20章 排列和组合的一般计数方法
组合恒等式——变下项求和
第20章 排列和组合的一般计数方法
§20.2 基本排列组合的计数方法
• 一、线排列计数 • 定义20.2.1 设r为正整数,S是n个元素的集合. 从S中 取出r个元素按次序排列称为S的一个r排列 (permutation), 不同的排列总数称为排列数,记作 r Pn 或者 P(n,r)
若r=n,则称之为S的全排列, 简称为S的排列.
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第20章 排列和组合的一般计数方法
【加法法则应用】
[例20.1.1] 假设从长沙向北走有10条道路; 向南走有12条道路；向东走有8条道路； 向西走有6条道路，则离开长沙的道路共 有10+12+8+6=36条.
[ 例 ] 某班选修企业管理的有 18 人，不 选的有 10 人，则该班共有 18 + 10 = 28 人。
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第20章 排列和组合的一般计数方法
• [例20.2.2] 有20粒小珠,每粒有一种不同的 颜色,问能做成多少串项链? • 解: 一串项链中由在一个环上排列的20粒小 珠组成,这种环排列有20!/20=19!种,但同一 个项链的顺时钟和反时钟环排列没什么区 别,故项链数为19!/2.
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第20章 排列和组合的一般计数方法
第20章 排列和组合的一般计数方法
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[例] ：8位女士和8位先生围着一张圆桌聚餐， 要求安排女士和先生交替就坐。问：有多少 种可能的安排方案。 解题思路：先安排8位女士坐下，两位之间留出 一个空位，然后安排8位先生就座。 解：安排女士就座（圆排列）的方案数为： P(8,8)/8=8!/8=7!=5040种； 注意此时8位先生的就座方式不再是圆排列，已有 女士在位，原先被看成相同的圆排列会因为两 边的女士不同而得到不同的排列。因此先生就 座方案数为8！ 根据乘法规则，得总方案数为7!*8!
n n 4. k 2 k 0

n
n N ,
5.
(1)
k 0
n
k n
k 0 n N
证明公式4. 方法：二项式定理或者组合分析. 设S={1,2,…,n}，下面计数S 的所有子集. 一种方法就是分类处理，n元集合的 k子集个数是
k 根据加法法则，子集总数是
• 这3种选取类型是互不相同的，故根据加法法则，一共 有30+42+35=107种方式.
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第20章 排列和组合的一般计数方法
【加法&乘法法则结合应用】
• [例] 求1400的不同的正因子个数
解： 1400 2 5 7
3 2
1400的正因子为： 2 5 7 , 其中0 i 3,0 j 2,0 k 1
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第20章 排列和组合的一般计数方法
【乘法法则应用】
• [例20.1.2] 如果从广州到长沙有3条路可以走， 从长沙到北京有5条路可以走，则从广州经长 沙到北京共有15条路可以走.
• [例] 某种字符串由两个字符组成，第一个字 符可选自{a，b，c，d，e}，第二个字符可选 自{1，2，3}，则这种字符串共有5 3 = 15 个。
i j k
因此正因子个数 N = (3 +1)(2 +1)(1+1) = 24
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第20章 排列和组合的一般计数方法
【两个法则使用条件 】
• [例]小于10的正偶数共有4个,即2,4,6,8; 小 于10的质数共有4个, 即2,3,5,7. 但是,小于 10的正偶数或质数的个数是7个而不8个, 即 2,3,4,5,6,7,8。
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第20章 排列和组合的一般计数方法
三、组合计数
• 定义20.2.2 从n元集合S中无序地选取的r个 元素叫做S的一个r组合(combination).不同 n r 组合的总数称为组合数, 记为 Cn 或 ( r ) .
当 n 0 时,规定
0 Cn
= 1
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第20章 排列和组合的一般计数方法
• 定理20.2.3 对一切 r n ,有
n! C P / r! r !(n r )!
r n r n
证明:先从 n 个元素中选出r个元素,有 Cnr 种选法.对于每一种选法,将选出的r个元素排列 起来,有r!种排列方法.每一种排列就对应于n元 集合的一个r排列.由乘法法则 P r r!C r n n 故 r
xiyni 的系数是
i Cn
，定理得证.
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第20章 排列和组合的一般计数方法
二项式定理的应用
例1 求在(2x－3y)25的展开式中x12y13的系数. 解 由二项式定理
( 2x + (- 3y))
25
=
å
25
i C25 ( 2x)25- i (- 3y)i
i= 0
令i =13 得到展开式中x12y13的系数，即