第四节 直接证明与间接证明

点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为
.
答案 cn>cn+1
解析 由题意知,an= n2 1,bn=n,
∴cn= n2 1-n= 1 .
n2 1 n
显然,cn随着n的增大而减小,
∴cn>cn+1.
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考点突破
考点一 综合法的应用
典例1 (2016湖北武汉模拟)已知函数f(x)=(λx+1)ln x-x+1.
2
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方法技巧 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直 接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法, 特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑 用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可 逆的,它的常用书面表达形式为“要证……只需要证……”或“……⇐ ……”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写.
证明的结论① 成立
为止
实质
由因导果
执果索因
框图表示
P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→…→Qn⇒Q Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个 明显成立的条件
文字语言
因为……所以…… 或由……得……
要证……只需证……即证……
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2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间 接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题③ 不成立 (即在原命题的条件下,结论 不成立),经过正确的推理,最后得出④ 矛盾 ,因此说明假设错误,从 而证明⑤ 原命题成立 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设——假设命题的结论不成立;(ii)归 谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论——断言假设不 成立,从而肯定原命题的结论成立.
(1)若λ=0,求f(x)的最大值;
(2)若曲线y=f(x)在点(1,
f(1))处的切线与直线x+y+1=0垂直,证明:
f x
(x) 1
>0.
解析 (1)f(x)的定义域为(0,+∞),
当λ=0时, f(x)=ln x-x+1.
则f
'(x)=
1 x
-1,令f
'(x)=0,解得x=1.
当0<x<1时, f '(x)>0,∴f(x)在(0,1)上是增函数;
2-1
已知m>0,a,b∈R,求证:
a mb 1 m
2
≤
a2 mb2 1 m
.
证明 ∵m>0,∴1+m>0,
∴要证原不等式成立,
只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),
即证m(a2-2ab+b2)≥0,即证(a-b)2≥0, 而(a-b)2≥0显然成立, 故原不等式得证.
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1-1 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,求
证:f
x
1 2
为偶函数.
证明 由函数f(x+1)与f(x)的图象关于y轴对称,可知f(x+1)=f(-x).将x换成
x-
1 2
代入上式可得f
x
1 2
1 =f
x
1 2
,即f
x
1 2
=f
x
1 2
,由偶函数
的定义可知f
x
1 2
为偶函数.
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考点二 分析法的应用
典例2
已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2∈R,均有
f
( x1 )
2
f
(x2 )
≥f
x1
2
x2
.
证明
要证明
f
( x1 )
2
f
(x2 )
≥f
x1
2
x2
,
即证明 (3x1
2x1) (3x2
2x2 )
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2.用分析法证明时出现:欲使①A>B,只需②C<D,这里①是②的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 由题意可知,应用②⇒①,故①是②的必要条件.
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3.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”,假设 正确的是 ( ) A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角都大于60度 C.假设三个内角至多有一个大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 答案 B 根据反证法的定义,假设是对原命题结论的否定,故假设三个 内角都大于60度.故选B.
当x>1时, f '(x)<0,∴f(x)在(1,+∞)上是减函数.
故f(x)在x=1处取得最大值,为f(1)=0.
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(2)证明:由题意可得, f '(x)=λlnx+ λx 1-1.
x
由题设条件,得f '(1)=1,即λ=1,
∴f(x)=(x+1)ln x-x+1.
由(1)知,ln x-x+1<0(x>0,且x≠1).
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4.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0,其中能使 b + a ≥2成
ab
立的条件的个数是
.
答案 3
解析 要使 b + a ≥2成立,需 b >0,
ab
a
即a与b同号,故①③④均能使 b + a ≥2成立.
ab
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5.已知点An(n,an)为函数y= x2 1图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的
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文数
课标版
第四节 直接证明与间接证明
Hale Waihona Puke Baidu 教材研读
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1.直接证明
内容
综合法
分析法
定义
利用已知条件和某些数学定义、公理 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成
、定理
立的② 充分 条件,直至最后,把要证
等,经过一系列的推理论证,最后推导 明的结论归结为判定一个明显成立的
出所要
条件(已知条件、定理、定义、公理等)
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1.命题“对任意角θ,cos4θ-sin4θ=cos 2θ”的证明:“cos4θ-sin4θ=(cos2θsin2θ)(cos2θ+sin2θ)=cos2θ-sin2θ=cos 2θ”过程应用了 ( ) A.分析法 B.综合法 C.综合法、分析法综合使用 D.间接证明法 答案 B 因为证明过程是“从左往右”,即由条件⇒结论,故选B.
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判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)综合法是直接证明,分析法是间接证明. (×) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的必要条件. (×) (3)反证法是将条件和结论同时否定,推出矛盾. (×) (4)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”. (×)
x1 x2
≥3 2
-2·x1
x2
,
2
2
因此只要证明 3x1
3x2 2
x1 x2
-(x1+x2)≥3 2
-(x1+x2),
即证明 3x1
3x2
≥ 3 x1 x2 2
,
2
因此只要证明 3x1 3x2 ≥ 3x1 3x2 ,
2
由于x1,x2∈R,所以3x1 >0,3x2 >0,
由基本不等式知 3x1 3x2 ≥ 3x1 3x2 成立,故原结论成立.
当0<x<1时, f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)<0,
∴ f (x) >0.
x 1
当x>1时,
f(x)=ln
x+(xln
x-x+1)=ln
x-x
ln
1 x
1 x
1
>0,∴
f x
(x) 1
>0.
综上可知, f (x) >0.
x 1
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方法技巧 用综合法证题是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围: (1)定义明确的问题,如判定函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且 容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时, 易出现的错误是因果关系不明确,逻辑表达混乱.