当角平分线与平行线相遇时......初中最典型的几何类型
角平分线、平行线与等腰三角形
角平分线、平行线与等腰三角形在等腰三角形的学习中我们经常会接触到不同的几何模型，模型的研究变形有助于我们更为深入地理解基本的图形关系和性质定理。
下面介绍由角平分线、平行线构造等腰三角形的一类几何模型。
例、求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.这是我们教材中的例题，作为文字命题，要作出对应的图形，写出已知求证，进而求解。
已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 =∠2，AD∥ BC．求证：AB =AC.本题的求解很简单，只需要运用平行线的性质，再由角平分线最终得到∠B=∠C，然后运用等腰三角形的判定即得。
本题就是有角平分线和平行构造等腰三角形的典型例题。
下面再对这一结论作更深入的变形和拓展。
1、如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F.请你写出图中所有等腰三角形，并探究EF、BE、FC之间的关系等腰三角形有△ABC、△AEF、△BOC、△BEO、△CFOEF=BE+CF变式、若AB≠AC，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？原题中结论还成立吗？等腰三角形有△BEO、△CFOEF=BE+CF仍成立将上题中平分两内角改为平分两外角，或平分一内角和一外角，我们即得下面两道变式题2、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。
试探究EF、BE、FC之间的关系3、如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB的外角平分线交于点O.过O作EF∥BC交AB于E，交AC于F。
试探究EF、BE、FC之间的关系同学们在日常的学习中若能开动脑筋，从变化中思考不变的关系，从条件改变中找到结论变化的规律，树立理性探究、发散思考的学习数学精神，相信几何的学习自当事半功倍！谢谢大家继续为我的微课投票：打开网址 /Works/workslist 搜索姓名：彭鹏飞，点击下面的五个微课为我投票（这个是个教学论坛需要注册，家长朋友们可以用小孩的身份证号进行注册。
当角平分线遇到平行线……
当角平分线遇到平行线……教学过程：在几何学习中，我们经常会遇到含有角平分线和平行线的问题，那么当角平分线遇到平行线会产生怎样的火花呢？接下来让我们一起来探索吧！试一试：1.如图，已知BD平分∠ABC ，且DE//BC ，则BE=DE吗？说明理由。
如果我们把其中一个条件和结论调换一下，还能成立吗？变式一：如图，已知DE//BC，且BE=DE，则BD平分∠ABC吗？说明理由。
变式二：如图，已知BD平分∠ABC ，且BE=DE，则DE//BC吗？说明理由。
总结：我们得到了这样一个基本图形：它的特征是：过角的平分线上一点作一条边的平行线与角的另一条边及角平分线围成的三角形是等腰三角形。
我们简单地表示为：当角平分线遇到平行线时，一这会产生等腰三角形。
角平分线+平行线等腰三角形角平分线+等腰三角形平行线平行线+等腰三角形角平分线热身训练看下列四个图，相等的角和平行线都已用记号标出，你能迅速地找出每个图中的等腰三角形吗？（1）（2）（3）（4）例1：如图，AB=AC，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB。
问：（1）图中有几个等腰三角形？（2）若过D作EF∥ BC，则图中有几个等腰三角形？（3）线段EF与线段BE，CF有何数量关系？你能说明理由吗？(4) 若AB=4, 求△AEF的周长.变式1：如图，△ ABC中，BD平分∠ABC， CD平分∠ACB，过点D作EF∥ BC分别交AB,AC于点E,F.当AB=12,AC=8,你能求△AEF的周长吗？变式2：如图，△ABC中，∠ABC的平分线和一个外角的平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E,交AC于点F. 写出EF与BE，CF的数量关系，并说明理由.变式3：如图，△ABC的两个外角∠CBE与∠BCF的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F ，则EF与BE，CF三者有何数量关系？我们在折叠问题里也会遇到这类基本图形。
如图:把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD对折,点C落在点C’处，BC’交AD于点O，若BC=9,CD=3,求OD的长。
第35期当角平分线遇上平行线
第35期当角平分线遇上平行线当角平分线与平行线相遇，会有美好的故事发生，我们拭目以待。
知识准备（1）如图，BD平分∠ABC，AD∥BC，求证：△ABD是等腰三角形.证明：∵BD平分∠ABC∴∠1=∠2∵AD∥BC∴∠2=∠3∴∠1=∠3AB=AD改变上述问题的已知和求证，得到如下两个新命题，依然是成立的。
（2）如图，BD平分∠ABC，△ABD是等腰三角形，求证：AD∥BC（3）如图，AD∥BC，△ABD是等腰三角形，求证：BD平分∠ABC当角平分线与平行线相遇，会有等腰三角形。
如图所示的平行线、角平分线、等腰三角形，知二求一.例1如图，BO,CO分别平分∠ABC，∠ACB,OD∥AB, OE∥AC,若BC=15cm，则△ODE的周长为________.解：如图，易得，△BOD与△COE是等腰三角形，BD=OD,CE=OE则C△ODE=OD OE DE=BD DE CE=BC=15cm.例2如图1，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F.(1) 图中有______个等腰三角形，请说明BE CF=EF图1(2)若AB≠AC,其它条件不变，如图2，图中还有_____个等腰三角形，第（1）问中的EF与BE,CF的关系是否还正确？图2解：（2）是（1）的一般情况，在一般情况下，都可以得到如图，则△OBE与△OCF是等腰三角形，EF=OE OF=BE CF.结论始终成立.(3)若△ABC中，∠B的平分线与△ABC的外角∠ACD的平分线CO 交于O点，过O作OE∥BC交AB于E,交AC于F，如图3，这时图中还有_____个等腰三角形，写出EF与BE,CF的关系，并证明.图3解：如图，△OBE与△OCF仍然是等腰三角形。
EF=OE-OF=BE-CF.后记：这是个很实用的小结论，中考常出现，在解决选择填空题目时可以直接使用，在解决综合题时，可以定势地得到等腰三角形，节省思考时间，使得思维更加简洁.中考直击（2016深圳第15题）平行四边形ABCD中，以B为圆心，任意长为半径作圆弧交AB,BC于P,Q两点，再以P,Q为圆心，以大于1/2PQ的长为半径分别作圆弧交于M,连接BM并延长交AD于E,已知AB=3,BC=5，则DE=_________.解：由作法，可得BE平分∠ABC,AD∥BC,则△ABE为等腰三角形，AB=AE,DE=AD-AE=AD-AB=5-3=2.。
九上第一章 平行线与角平分线
证明（二）平行线+角平分线＝＞等腰三角形平面几何里，角平分线和平行线的组合频繁出现，因为它们一结合定会产生等腰三角形，即：角平分线＋平行线＝＝＞等腰三角形。
先来证明一下：例、如图1所示，BE是∠ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DF∥BC,交BE于点F, 求证：△BDF是等腰三角形。
例1、如图3所示，BF、CF是△ABC的角平分线，过点F作DＥ∥BC,交BA于点D, 交BC于点E, 请你猜一猜DE与BD、CE之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。
（１）上题中保持其他条件不变，过点Ａ做ＤＥ∥BC分别交∠ＡＢＣ、∠ＡＣＢ于Ｄ、Ｅ两点，结论依然成立吗？如果不成立，请证明。
（２）你还能想到其他变化吗？变式练习: 如图所示，BF 、CF 是△ABC 的角平分线，过点F 作DF ∥AB 交BC 与D ，作EF ∥BC 交 点E ，若BC=12，求△DEF 的周长。
变式图形：迅速找出每个图形中等腰三角形。
并选择其中１个给出证明。
有意思的是，该命题的两个逆命题也成立，即：角平分线＋等腰三角形＝＝＞平行线， 平行线＋等腰三角形＝＝＞角平分线。
我们也可以利用上图完成这两个命题的证明。
例2：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 为DC 的中点，且AB ＝AD ＋BC ，AE 与BC 的延长线交与 F 点， 求证：AE 平分∠DAB 。
D CGABF EDCABED CAB ED CABEFED CB A同步练习：第1题图 第2题图 第3题图 第4题图练习1．如图1，直线EF 分别与直线AB 、CD 相交于点G 、H ，已知1250∠=∠=°，GM 平分HGB ∠交直线CD 于点M ．则3∠=---------------------------------------------------------------（ ） A ．60° B ．65° C ．70°D ．130°练习2．如图，梯形ABCD 中，∠ABC 和∠DCB 的平分线相交于梯形中位线EF 上的一点P ，若EF =3，则梯形ABCD 的周长为-------------------------------------------------------( ) (A)9 (B)10.5 (C)12(D)15练习3.如图，在ABCD 中，AB = 6，AD = 9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG =24，则ΔCEF 的周长为-----------------------------------------------------------（ ） （A ）8 （B ）9.5 （C ）10 （D ）11.5练习4．如图，在R t △ABC 中，∠ACB =90°，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，DE ∥AC ， DE 交AB 于点E ，F 为BE 的中点，连结DF .若DF =3,DE =2,则AC 长为 . 练习5. 如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，BF 是∠ABC 的平分线，AF ∥DC ，连接AC 、CF ， 求证：CA 是∠DCF 的平分线.M H321GA BC DEF AB CDEFPE A B CDF GACBDEFACBFD。
2024中考数学常见几何模型归纳总结—平分平行构等腰、角平分线第二定理模型
2024中考数学常见几何模型归纳总结—三角形中的重要模型-平分平行（平分射影）构等腰、角平分线第二定理模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
平分平行（射影）构等腰模型、角平行线第二定理模型（内角平分线定理和外角平分线定理模型）模型1、平分平行（射影）构等腰1）角平分线加平行线必出等腰三角形．模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。
（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
图1图2图3条件：如图1，OO ’平分∠MON ，过OO ’的一点P 作PQ//ON.结论：△OPQ 是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 。
结论：△BDE 是等腰三角形。
条件：如图3，在ABC 中，BO 平分ABC ∠，CO 平分ACB ∠，过点O 作BC 的平行线与AB ，AC 分别相交于点M ，N ．结论：△BOM 、△CON 都是等腰三角形。
2）角平分线加射影模型必出等腰三角形．→图4条件：如图4，BE 平分∠CBA ，∠ACB ＝∠CDA ＝90°.结论：三角形CEF 是等腰三角形。
例1．（2023·河南濮阳·统考二模）如图，直线12l l ∥，点C 、A 分别在1l 、2l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AC 、2l 于点D 、E ；分别以D 、E 为圆心，大于12DE 长为半径画弧，两弧交于点F ；作射线AF 交1l 于点B ．若130BCA ∠=︒，则1∠的度数为（）A ．20︒B ．25︒C ．30︒D ．50︒【答案】B 【分析】根据作图可知AB 是CAE ∠的角平分线，进而根据平行线的性质即可求解．【详解】解：∵12l l ∥，∴180BCA CAE ∠+∠=︒∵130BCA ∠=︒，∴50CAE ∠=︒根据作图可知AB 是CAE ∠的角平分线，∴11252CAB ∠=∠=︒，故选：B ．【点睛】本题考查了作角平分线，平行线的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键．例2．（2023.湖南长沙八年级期中）如图，点O 为△ABC 的∠ABC 和∠ACB 的平分线的交点，OD //AB 交BC 于点D ，OE //AC 交BC 于点E ．若AB =5cm ，BC =10cm ，AC =9cm ，则△ODE 的周长为()A．10cm B．9cm C．8cm D．5cm【答案】A【分析】根据角平分线的性质以及平行线的性质，把△ODE三条边转移到同一条线段BC上，即可解答．【详解】解：如图：∵OC、OB分别是∠ACB、∠ABC的角平分线，∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故选：A．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，以及平行线的性质，关键是证明△BDO，△OEC都是等腰三角形．例3．（2023·广东·八年级期末）如图，▱ABCD中，AB＝3cm，BC＝5cm，BE平分∠ABC交AD于E点，CF平分∠BCD交AD于F点，则EF的长为cm．【答案】1【分析】根据角平分线的概念、平行线的性质及等腰三角形的性质，可分别推出AE=AB ，DF=DC ，进而推出EF=AE+DF-AD ．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠AEB ＝∠EBC ，AD ＝BC ＝5cm ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠EBC ，则∠ABE ＝∠AEB ，∴AB ＝AE ＝3cm ，同理可证：DF ＝DC ＝AB ＝3cm ，则EF ＝AE +FD ﹣AD ＝3+3﹣5＝1cm ．故答案为：1．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，关键是运用角平分线的概念和平行线的性质，由等角推出等边．例4.（2023.成都市青羊区八年级期中）如图，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．【答案】5【详解】由角度分析易知AEF AFE ∠=∠，即AE AF =，∵3AE =∴3AF =∵2DF =∴5AD AF DF =+=【点睛】这道题主要讲解角平分线加射影模型必出等腰三角形的模型．例5．（2023.山东八年级期末）如图①，△ABC 中，AB =AC ，∠B 、∠C 的平分线交于O 点，过O 点作EF ∥BC 交AB 、AC 于E 、F .(1)图①中有几个等腰三角形?猜想:EF 与BE 、CF 之间有怎样的关系.(2)如图②,若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.在第(1)问中EF 与BE 、CF 间的关系还存在吗?(3)如图③，若△ABC 中∠B 的平分线BO 与三角形外角平分线CO 交于O ，过O 点作OE ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F .这时图中还有等腰三角形吗?EF 与BE 、CF 关系又如何?说明你的理由.【答案】（1）△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC共5个，EF=BE+FC；（2）有，△EOB、△FOC，存在；（3）有，EF=BE-FC．【分析】（1）由AB=AC，可得∠ABC=∠ACB；又已知OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB；故∠EBO=∠OBC=∠FCO=∠OCB；根据EF∥BC，可得：∠OEB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠FCO=∠BCO；由此可得出的等腰三角形有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；已知了△EOB和△FOC是等腰三角形，则EO=BE，OF=FC，则EF=BE+FC．（2）由（1）的证明过程可知：在证△OEB、△OFC是等腰三角形的过程中，与AB=AC的条件没有关系，故这两个等腰三角形还成立．所以（1）中得出的EF=BE+FC的结论仍成立．（3）思路与（2）相同，只不过结果变成了EF=BE-FC．【详解】解：（1）图中是等腰三角形的有：△AEF、△OEB、△OFC、△OBC、△ABC；EF、BE、FC的关系是EF=BE+FC．理由如下：∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，△ABC是等腰三角形；∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠ABO=∠OBC=12∠ABC，∠OCB=∠ACO=12∠ACB，∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∴∠ABO=∠OBC=∠EOB=∠OCB=∠FOC=∠FCO，∴△EOB、△OBC、△FOC都是等腰三角形，∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴∠AEF=∠AFE，∴△AEF是等腰三角形，∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（2）当AB≠AC时，△EOB、△FOC仍为等腰三角形，（1）的结论仍然成立．∵OB、OC平分∠ABC、∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB；∵EF∥BC，∴∠EOB=∠OBC=∠EBO，∠FOC=∠OCB=∠FCO；即EO=EB，FO=FC；∴EF=EO+OF=BE+CF；（3）△EOB和△FOC仍是等腰三角形，EF=BE-FC．理由如下：同（1）可证得△EOB是等腰三角形；∵EO∥BC，∴∠FOC=∠OCG；∵OC平分∠ACG，∴∠ACO=∠FOC=∠OCG，∴FO=FC，故△FOC是等腰三角形；∴EF=EO-FO=BE-FC．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线、角平分线的性质等知识．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．模型2、角平行线第二定理（内角平分线定理和外角平分线定理）模型1）内角平分线定理图1图2图3条件：如图1，在△ABC 中，若AD 是∠BAC 的平分线。
模型平行线角平分线等腰三角形三者知二推一
模型“平行线”、“角平分线”、“等腰三角形”三者知二推一【几何模型】“角平分线”、“平行线”、“等腰三角形”三者知其二必推出其一。
初中数学学习难在几何题没有思路当然了，有了思路就感觉简单了，那么为什么没有思路？关键是没有掌握几何证明题的本质，他是一个推理过程，就是具备什么条件，一定会具有一个结论。
往往对推理过程不熟练，思考不到条件下结论存在性，挖空心思也写不出步骤。
这就需要训练做题，思考总结出具备什么条件会有什么结论，做题时直奔主题，不用再思考了，日积月累，书到渠成，再解决几何问题就不难了。
在△ABC中，∠BAC=α[定值]，BC=a[定值]，可得“定弦定角”模型，找隐圆；【例题】：挖掘定角与定线背景内涵，思考最值问题第25题初审可知第三问考查定角定中线模型（附尺规作图）及解法；联想到定角定高模型（参考题:2020年沈河一模第25题）；最后小编原创题考查定角定角平分线。
【思维教练3】—“知识储备”前文已更新：倍长中线，构造“定弦定角”模型，找到隐圆求解。
亦可构造等边三角形转化线段，得：“共顶点的两个等边三角形”；其中，方法二：根据“垂线段最短”得：CK≤CG，则CK的最大值为2√(3)，CM+CN=EF+EN=FN；【你看出思路了吗】小编原创试题“考查定角定角平分线”，1．如图，点A、B、C、D在⊙O上，AD平分∠BAC．若∠B O C＝120°，则∠C AD的度数为．2．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径．若∠BCA＝50°，则∠AD B的度数为．3．已知圆锥的底面半径为1cm，高为cm，则它的侧面展开图的面积为cm²．4．如图，AB是半圆O的直径．弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离为．5．如图，在⊙O中，点A在弧BC上．若∠B O C＝100°，则∠BA C的度数为．▱ABCD的6．如图，若用半径为8，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径是．7．如图，已知锐角△ABC内外接于半径为2的⊙O．若OD⊥BC于点D，∠BAC＝60°，则OD＝．8．如图，AD是△ABC的外接圆⊙O的直径．若∠BAD＝40°，则∠AC B的度数为．9．已知圆锥的母线长为3，底面圆半径为1，则该圆锥的侧面展开图的面积为．10．已知圆锥的底面圆半径为3，侧面面积为12，则该圆锥的母线长为．11．在⊙O中，若弦BC垂直平分半径O A，则弦BC所对的圆周角等于．12．如图，已知AB是⊙O的直径．P A切⊙O于点A，线段P O交⊙O于点C，连接BC．若∠P＝36°，则∠B＝．13．用一个圆心角为90°，半径为20 cm的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面圆半径是．14．已知圆锥的底面圆半径为2.5，母线长为9，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数为．15．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为点O，分别以点A、C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形ABCD的边相交，则图中阴影部分的面积为．（结果保留）16．如图，在△A BC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3．若以A C所在直线为轴，把△A BC旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面面积是．17．如图，在△A BC中，若∠A CB＝45°，A B＝6．则△A BC的面面积的最大值是．18．如图，在扇形△AO B中，OA＝O B＝2，∠AO B＝90°，点C为弧A B上一点．∠AO C＝30°，连接BC，过点C作OA的垂线交OA于点D，则图中阴影部分的面积为．19．如图，点A、B、C、D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠AD B＝18°，则这个正多边形的边数为．20．如图，在半径为6的⊙O中．若∠AO B＝60°，则图中阴影部分的面积为．21．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形制作一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则此圆锥的底面圆半径是．3一．圆典型基本模型图模型1图形：⑴如图，A B是⊙O的直径，点C、E是⊙O上的两点．基本结论有：①A C平分∠B AE是；②A D⊥CD；③CD是⊙O的切线；三个论断，知二推一．⑵⑶⑷⑸⑹④⑤⑥如图，A B是⊙O的直径，点C、E是⊙O上的两点．20．如图，在半径为6的⊙O中．若∠AO B＝60°，则图中阴影部分的面积为．接圆的直径．若∠BCA＝50°，则∠AD B的度数为．∠A BACDB O＝90°，2．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，AB与网格交于点D．AD的长为；OP．AB2A2B，A′B′OP．AB2A2B，A′B′OP．AB2A2B，A′B′（2）点P是边AC上一点，当△APD∽△ABC时，仅用无刻度的直尺确定点P的位置，简单说明作图方法（不要求证明）．≌≌≌1．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点O、点A在格点上，⊙O的半径为3，点B、点C在⊙O上．½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦½∥⅓⅔¼°²³ⁿ∵∴⑥⑦´＇´＇´＇（1）若∠⊥CAO＝90°，ADAC的长为；①②③B．②④①②③B．②④（2）若∠BAO＝60°，仅用无刻度的直尺确定点B的位置，简单说明作图方法．⊙O上．2．如图，在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均在格点上，AB与格交于点D．（2）点P是边AC上一点，当△APD∽△ABC时，仅用无刻度的直尺确定点P的位置，简单说明作图方法（不要求证明）．过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．AB2A2B，BD＝n•BF，沿A→B→C→D→A方向运动到点A 处停止．过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB∏于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，cm BD＝n•BF，沿A→B→C→①②⑤①②⑤①②⑤精选试题解析（1）。
平行线、角平分线联手演绎等角对等边
平行线、角平分线联手演绎等角对等边平行线、角平分线联手作为条件，能解决许多问题。
二者联手演绎等角对等边，就是一个典型。
例1、如图1所示，BE是∠ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DF∥BC,交BE 于点F, 请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。
解：猜想：BD=DF；证明：因为，BE是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,例2 如图2所示，BF是△ABC的角平分线，过点F作DF∥BC,交BA于点D,请你猜一猜BD与DF有怎样的大小关系？证明你的猜想。
解：猜想：BD=DF；证明：因为，BF是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,例3、如图3所示，BF、CF是△ABC的角平分线，过点F作DF∥BC,交BA于点D,交BC于点E,请你猜一猜DE与BD、CE之间有怎样的大小关系？证明你的猜想。
分析：利用原题的结论，不难得到：BD=DF,CE=EF,而DE=DF+EF,所以，DE=BD+CE.解：猜想：DE=BD+CE.证明：因为，BF是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,同理可得：EF=CE,因为，DE=DF+EF,所以，DE=BD+CE.例4、如图4所示，BD是∠ABC的角平分线，AD∥BC,那么，△ABD是等腰三角形吗？为什么？证明你的猜想。
分析：根据我们对原题的剖析和结论，应该比较容易得到：AB=AD，根据等腰三角形的定义，知道△ABD是等腰三角形。
证明的过程读者可以自己完成。
例5、如图5所示，BE是∠ABC的角平分线，点D是边BA上的一点，DF∥BC,交BE于点F, 如果∠ABC=60°，BF=6cm，求:三角形BDF的面积。
解：因为，BE是∠ABC的角平分线，所以，∠ABF=∠CBF,因为，DF∥BC,所以，∠DFB=∠CBF,所以，△BDF是等腰三角形,如图6，过点D作DG⊥BF，垂足为G，根据等腰三角形三线合一的性质，得：BG=GF,因为，BF=6cm，所以，BG=GF=3cm,因为，∠ABC=60°，所以，∠DBF=30°，在直角三角形BDG 中，设DG=xcm ，则BD=2xcm ，根据勾股定理，得：（2x ）2-x 2=32=9，解得，x=3，所以，三角形BDF 的面积为：3621⨯⨯=33（cm ）2。
平面几何平行线与角平分线
平面几何平行线与角平分线在平面几何中，平行线和角平分线是非常常见的概念和性质。
平行线是指在同一个平面上，永不相交的两条直线，而角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。
本文将探讨平面几何中平行线和角平分线的性质及应用，帮助读者更好地理解和运用这些概念。
一、平行线的性质与应用1. 平行线的定义与判定平面几何中，平行线的定义是指在同一个平面上的两条直线，永不相交。
判断两条直线是否平行有多种方法，其中常用的有以下两种：（1）平行线判定法一：同位角相等法。
当两条直线分别与第三条直线相交时，同位角（即对顶角）相等，则可以判定这两条直线是平行的。
（2）平行线判定法二：内错角相等法。
当两条直线分别与一条横穿它们的第三条直线相交时，内错角（即内角和相等）相等，则可以判定这两条直线是平行的。
2. 平行线的性质（1）平行线之间的距离始终相等。
对于平行线上的任意两点A和B，与这两点对应的垂直平分线始终相等。
（2）平行线之间的夹角始终相等。
对于平行线上的任意两个交线形成的相邻内错角、相邻同位角都相等。
（3）等于同一直线与另一条平行线相交所得内错角的外角，也叫同旁外角，等于一个直角（即90°）。
3. 平行线的应用平行线的概念与性质在日常生活和实际应用中得到广泛运用。
以下列举几个应用示例：（1）建筑工程设计中，平行线可以帮助建筑师确定水平线，确保建筑物的水平度。
（2）地图绘制中，经纬线相互平行，能够清晰表示地球表面的地理位置。
（3）公路和铁路的设计和施工中，平行线的概念被用来保证道路或铁轨的平直和行车的顺畅。
二、角平分线的性质与应用1. 角平分线的定义与判定平面几何中，角平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线或线段。
判断角平分线的方法有以下两种：（1）角平分线判定法一：作角平分线的垂直平分线。
如果一条直线垂直平分一个角，则这条直线是该角的角平分线。
（2）角平分线判定法二：同位角相等法。
当两条角平分线的同位角相等时，可以判定这两条直线是角的平分线。
与角平分线有关的七种几何模型
与角平分线有关的七种几何模型角平分线是初中数学中最重要几种线之一，在中考中属于必考知识点。
角平分线本身涉及的知识点不多，比较容易理解和掌握，难度不大。
在角平分线的学习中首先需要掌握角平分线的定义、性质定理和判定定理。
1.定义：把一个角平均分成大小相等的两个角的一条射线。
•分析定义：在做题中，看到角平分线，首先就需要联想到相等的角，2倍角和1/2角的关系。
2.性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
•角平分线的性质定理是考试必考知识点，过角平分线上的点向角两边做垂线是角平分线中最常用的辅助线。
看到角平分线不仅仅要想到相等的角，还要想到做垂线，相等的垂线段，全等三角形等。
3.判定定理：到角两边距离相等的点在角平分线上。
•角平分线的判定定理是判断一条射线是否是某个角的角平分线的方法，也是证明点在线上常用的方法。
4.内心：三角形三条角平分线的交点称为这个三角形的内心。
•三角形的内心也就是三角形内切圆的圆心。
画三角形的内切圆，只需要作出三角形的两条角平分线，交点位置即为圆心，过交点向任意边作垂线，垂线段的长度即为内接圆半径。
除了这些基本的知识点外，在考试中角平分线通常涉及到以下常用的几何模型，综合性强一些，掌握常见的几何模型可以帮助我们提高做题速度和效率。
对角平分线常用的几何模型和辅助线做一简单的总结和归纳：1.三角形两内角角平分线：三角形两内角角平分线：2.三角形内外角角平分线：三角形两外角角平分线：3.三角形两外角角平分线：4.角平分线＋平行线→等腰三角形：角平分线＋平行线→等腰三角形：5.过角平分线上的点作角两边的垂线：过角平分线上的点作角两边的垂线：6.角平分线的两端过角的顶点取相等的两条线段构造全等三角形：取相等的两条线段构造全等三角形7.过角平分线上一点作角平分线的垂线，从而得到等腰三角形：过角平分线上一点作角平分线的垂线典型例题：七道例题，每道例题对应相应的模型：模型是在掌握基础知识点、方法和思路基础之上的提炼和升华，是经验的总结和积累，掌握常用的几何模型可以帮助我们快速找到解题的思路和方法，提高解题效率。
初中几何模型之——角平分线模型
初中几何模型之——角平分线模型
前面我们说过了手拉手模型，十字架模型，对角互补模型，半角模型，最短路径模型，倍长中线模型以及一线三等角模型，今天我们来说角平分线模型。
此模型首先出现在七年级，然后作为基础模型在八九年级经常使用。
一、角平分线+平行线
模型分析：有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
可记为“角平分线，平行线，等腰三者知其二可得其一”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。
二、截取构造对称全等
模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。
三、角平分线+垂线构造等腰三角形
模型分析：构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。
这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。
可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。
四、角平分线上的点向两边作垂线
模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
可记为“图中有角分线，可向两边作垂线”。
五、夹角模型。
全等模型-角平分线模型—2024年中考数学常见几何模型全归纳(全国通用)(解析版)
全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1 图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==， ∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1． 【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（ ）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．八年级校联考期中）如图，ABC中，ACF∠A．①②B．①③C．②③④D．①②③④【答案】D【分析】过点P作PD AC⊥于D，根据角平分线的判定定理和性质定理即可判断①结论；证明()Rt Rt HLPAM PAD≌，()Rt Rt HLPCD PCN≌，得出APM APD∠=∠，CPD CPN∠=∠，进而得到2MPN APC∠=∠，再利用四边形内角和，即可判断②结论；根据角平分线的定义和三角形的外角性质，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，即可判断④结论．【详解】解：①如图，过点P作PD AC⊥于D，BP 平分ABC ∠，PM BE ⊥，PN BF ⊥，PM PN ∴=， AP 平分EAC ∠，PM BE ⊥，PD AC ⊥，PM PD ∴=，PN PD ∴=，PN BF ⊥，PD AC ⊥，CP ∴平分ACF ∠，①结论正确；②PM BE ⊥，PD AC ⊥，PN BF ⊥，90PMA PDA PNB ∴∠=∠=∠=︒，在Rt PAM 和Rt PAD △中，PM PD PA PA =⎧⎨=⎩，()Rt Rt HL PAM PAD ∴≌，APM APD ∴∠=∠，同理可得，()Rt Rt HL PCD PCN ≌，CPD CPN ∴∠=∠，()22MPN APM APD CPD CPN APD CPD APC ∴∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠，360ABC PNB MPN PMA ∠+∠+∠+∠=︒，360180ABC MPN PNB PMA ∴∠+∠=︒−∠−∠=︒，2180ABC APC ∴∠+∠=︒，②结论正确；③AP 平分EAC ∠， 2CAE MAP ∴∠=∠，CAE ABC ACB ∠=∠+∠，MAP ABP APB ∠=∠+∠，()2ABC ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠， BP 平分ABC ∠，2ABC ABP ∴∠=∠，222ABP ACB ABP APB ∴∠+∠=∠+∠，2ACB APB ∴∠=∠，③结论正确； ④由②可知，Rt Rt PAM PAD ∴≌，Rt Rt PCD PCN ≌，PAM PAD SS ∴=，PCD PCN S S =， PAC PAD PCD S S S =+，PAC PAM PCN S S S =+APM CPN APC S S S ∴+=△△△，④结论正确，∴正确的结论是①②③④，故选：D【点睛】本题考查了角平分线的平分线的判定定理和性质定理，全等三角形的判定和性质，四边形内角和，三角形的外角性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． 例4．（2023秋·浙江·八年级专题练习）如图，四边形ABDC 中，90D ABD ∠=∠=︒，点O 为BD 的中点，且OA平分BAC ∠．(1)求证：OC 平分ACD ∠；(2)求证：OA OC ⊥；(3)求证：AB CD AC +=．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）过点O 作OE AC ⊥于E ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得OB OE =，从而求出OE OD =，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可；（2）利用HL ，证明Rt Rt ABO AEO ≌，根据全等三角形对应角相等，可得AOB AOE ∠=∠，同理可得COD COE ∠=∠，然后求出=90AOC ∠︒，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得AB AE =，CD CE =，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论．【详解】（1）证明：过点O 作OE AC ⊥于E ，∵90ABD Ð=°，OA 平分BAC ∠∴OB OE =，∵点O 为BD 的中点，∴OB OD =，∴OE OD =，又∵90D Ð=°，∴OC 平分ACD ∠；（2）证明：在Rt ABO △和Rt AEO △中，AO AO OB OE =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ABO AEO △≌△，∴AOB AOE ∠=∠，在Rt CEO △和Rt CDO △中，CO CO OE OD =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL CEO CDO ≌，∴COD COE ∠=∠，∴1180902AOC AOE COE ∠=∠+∠=⨯︒=︒，∴OA OC ⊥；（3）证明：∵Rt Rt ABO AEO ≌，∴AB AE =，∵Rt Rt CEO CDO ≌，∴CD CE =，∵AE CE AC +=，∴AB CD AC +=．【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．例5．（2022·河北·九年级专题练习）已知OP平分∠AOB，∠DCE的顶点C在射线OP上，射线CD交射线OA于点F，射线CE交射线OB于点G．（1）如图1，若CD⊥OA，CE⊥OB，请直接写出线段CF与CG的数量关系；（2）如图2，若∠AOB=120°，∠DCE=∠AOC，试判断线段CF与CG的数量关系，并说明理由．【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，见解析【分析】（1）结论CF=CG，由角平分线性质定理即可判断．（2）结论：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，证明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性质即可解决问题．【详解】解：（1）结论：CF=CG；证明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，∴CF=CG（角平分线上的点到角两边的距离相等）；（2）CF=CG．理由如下：如图，过点C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120°，∴CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），∴∠AOC=∠BOC=60°（角平分线的性质），∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60°，∴∠MCO=90°-60° =30°，∠NCO=90°-60° =30°，∴∠MCN=30°+30°=60°，∴∠MCN=∠DCE，∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，在△MCF和△NCG中，CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG （全等三角形对应边相等）．【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
平行线中的四大经典模型(浙教版)(解析版)
平行线中的四大经典模型【浙教版】【模型1 “猪蹄”型（含锯齿型）】1．（2020下·湖北武汉·七年级统考期末）如图，AB∥CD，EF平分∠BED，∠DEF+∠D=66°，∠B−∠D=28°，则∠BED=．【答案】80°【分析】过E点作EM∥AB，根据平行线的性质可得∠BED=∠B+∠D，利用角平分线的定义可求得∠B+3∠D=132°，结合∠B-∠D=28°即可求解．【详解】解：过E点作EM∥AB，∴∠B=∠BEM，∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MED=∠D，∴∠BED=∠B+∠D，∵EF平分∠BED，∴∠DEF=1∠BED，2∵∠DEF+∠D=66°，∠BED+∠D=66°，∴12∴∠BED+2∠D=132°，即∠B+3∠D=132°，∵∠B-∠D=28°，∴∠B=54°，∠D=26°，∴∠BED=80°．故答案为：80°．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，作出辅助线证出∠BED=∠B+∠D是解题的关键．2．（2023上·辽宁鞍山·七年级统考期中）如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为．（用含n的式子表示）n°【答案】40°+12【分析】首先过点E作EF∥AB，由平行线的传递性得AB∥CD∥EF，再根据两直线平行，内错角相等，得n°，∠EDC=40°，再由出∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，由角平分线的定义得出∠ABE=12两直线平行，内错角相等得出∠BEF=∠ABE=1n°∠FED=∠EDC=40°，由∠BED=∠BEF+∠FED即可2得出答案．【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=12∠ABC=12n°，∠EDC=12∠ADC=12×80°=40°，∵AB∥EF∥CD，∴∠BEF=∠ABE=12n°，∠FED=∠EDC=40°，∴∠BED=∠FED+∠BEF=40°+12n°，故答案为：40°+12n°．【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，解题关键是作出正确的辅助线，掌握平行线的性质和角平分线的定义．3．（2023下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线l1∥l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．(1)如果P点在C，D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)∠PAC+∠PBD=∠APB(2)当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．【分析】（1）过点P作PE∥l1，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出PE∥l1∥l2，再由“两直线平行，内错角相等”得出∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P的两种情况分类讨论：①当点P在直线l1上方时；②当点P在直线l2下方时，同理（1）可得∠PAC=∠APE、∠PBD=∠BPE，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：∠PAC+∠PBD=∠APB．过点P作PE∥l1，如图1所示．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE+∠BPE，∴∠PAC+∠PBD=∠APB．（2）解：结论：当点P在直线l1上方时，∠PBD−∠PAC=∠APB；当点P在直线l2下方时，∠PAC−∠PBD=∠APB．①当点P在直线l1上方时，如图2所示．过点P作PE∥l1．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠BPE−∠APE，∴∠PBD−∠PAC=∠APB．②当点P在直线l2下方时，如图3所示．过点P作PE∥l1．∵PE∥l1，l1∥l2，∴PE∥l1∥l2，∴∠PAC=∠APE，∠PBD=∠BPE，∵∠APB=∠APE−∠BPE，∴∠PAC−∠PBD=∠APB．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．4．（2023下·山东聊城·七年级统考阶段练习）已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)∠GQH=180°−∠M；理由见详解【分析】（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可知MN∥AB∥CD．由此可知：∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，故∠AGM+∠CHM=∠GMN+∠HMN=∠M；（2）由（1）可知∠AGM+∠CHM=∠M．再由∠CHM=∠GHM，∠AGM＝∠HGQ，可知：∠M=∠HGQ+∠GHM，利用三角形内角和是180°，可得∠GQH=180°−∠M．【详解】（1）解：如图：过点M作MN∥AB，∴MN∥AB∥CD，∴∠AGM=∠GMN，∠CHM=∠HMN，∵∠M=∠GMN+∠HMN，∴∠M=∠AGM+∠CHM．（2）解：∠GQH=180°−∠M，理由如下：如图：过点M作MN∥AB，由（1）知∠M=∠AGM+∠CHM，∵HM平分∠GHC，∴∠CHM=∠GHM，∵∠AGM＝∠HGQ，∴∠M=∠HGQ+∠GHM，∵∠HGQ+∠GHM+∠GQH=180°，∴∠GQH=180°−∠M．【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．5．（2023下·福建莆田·七年级莆田第二十五中学校考阶段练习）如图，AB//CD，点E在直线AB，CD内部，且AE⊥CE．（1）如图1，连接AC，若AE平分∠BAC，求证：CE平分∠ACD；（2）如图2，点M在线段AE上，①若∠MCE=∠ECD，当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并说明理由；∠ECD（n为正整数），当直角顶点E移动时，∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系?并②若∠MCE=1n说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①∠BAE +12∠MCD =90°，理由见解析；②∠BAE +n n+1∠MCD =90°，理由见解析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC +∠DCA =180°，再根据AE ⊥CE 可得∠EAC +∠ECA =90°，根据AE 平分∠BAC 可得∠BAE =∠EAC ,等量代换可得∠ECD +∠EAC =90°，继而求得∠DCE =∠ECA ；（2）①过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.【详解】（1）解：因为AB//CD ，所以∠BAC +∠DCA =180°，因为AE ⊥CE ，所以∠EAC +∠ECA =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠EAC ，所以∠BAE +∠DCE =90°，所以∠EAC +∠DCE =90°，所以∠DCE =∠ECA ，所以CE 平分∠ACD ；（2）①∠BAE 与∠MCD 存在确定的数量关系：∠BAE +12∠MCD =90°， 理由如下： 过E 作EF ∥AB ，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+12∠MCD=90°；②∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+nn+1∠MCD=90°，理由如下：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=1n∠ECD，∴∠BAE+nn+1∠MCD=90°.【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质. 6．（2023·全国·七年级专题练习）（1）如图1，已知AB//CD，∠ABF=∠DCE，求证：∠BFE=∠FEC（2）如图2，已知AB//CD，∠EAF=14∠EAB，∠ECF=14∠ECD，求证：∠AFC=34∠AEC【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）如图：延长BF、DC相较于E，由AB//CD可得∠ABF=∠E，再结合∠ABF=∠DCE可得∠DCE=∠E，即可得当BE//DE，最后运用两直线平行、内错角相等即可证明结论；（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，根据平行线性质得出∠BAC+∠ACD=180°，求出∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），再求出∠AEC和∠AFC，最后比较即可得到结论．【详解】（1）证明：如图：延长BF、DC相较于G∵AB//CD∴∠ABF=∠G∵∠ABF=∠DCE∴∠DCE=∠G∴BG//CE∴∠BFE=∠FEC；（2）如图2：连接AC，设∠EAF=x，∠ECF=y，∠EAB=4x，∠ECD=4y，∵AB//CD，∴∠BAC+∠ACD=180°∴∠CAE+4x+∠ACE+4y=180°∴∠CAE+∠ACE=180°-（4x+4y），∠F AC+∠FCA=180°-（3x+3y），∴∠AEC=180°-（∠CAE+∠ACE）=180°-[80°-（4x+4y）]=4x+4y=4（x+y）∠AFC=180°-（∠F AC+∠FCA）=180°-[180°-（3x+3y））]=3x+3y=3（x+y），∴∠AFC=34∠AEC．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理的应用等知识点，灵活应用平行线的判定与性质以及三角形内角和定理正确的表示角成为解答本题的关键．7．（2017下·湖北武汉·七年级统考期中）如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数．【答案】(1)90°(2)∠F=∠E+30°，理由见解析(3)15°【分析】（1）如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，∠D+∠DFN=180°，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，由AB//CD，AB//FN，得到CD//FN，根据平行线的性质得到∠D+∠DFN=180°，于是得到结论；（3）如图2，过点F作FH//EP，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，根据角平分线的定义得到∠PEF=1 2∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，根据平行线的性质得到∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，于是得到结论．【详解】（1）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°∴∠EFD=∠BEF+30°=90°；故答案为：90°；（2）解：如图1，分别过点E，F作EM//AB，FN//AB，∴EM//AB//FN，∴∠B=∠BEM=30°，∠MEF=∠EFN，又∵AB//CD，AB//FN，∴CD//FN，∴∠D+∠DFN=180°，又∵∠D=120°，∴∠DFN=60°，∴∠BEF=∠MEF+30°，∠EFD=∠EFN+60°，∴∠EFD=∠MEF+60°，∴∠EFD=∠BEF+30°；（3）解：如图2，过点F作FH//EP，由（2）知，∠EFD=∠BEF+30°，设∠BEF=2x°，则∠EFD=(2x+30)°，∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD，∴∠PEF=12∠BEF=x°，∠EFG=12∠EFD=(x+15)°，∵FH//EP，∴∠PEF=∠EFH=x°，∠P=∠HFG，∵∠HFG=∠EFG−∠EFH=15°，∴∠P=15°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．8．（2020下·浙江绍兴·七年级统考期末）问题情境：如图1，已知AB∥CD，∠APC=108°．求∠PAB+∠PCD 的度数．经过思考，小敏的思路是：如图2，过P作PE∥AB，根据平行线有关性质，可得∠PAB+∠PCD=360°−∠APC=252°．问题迁移：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．(1)当点P在A、B两点之间运动时，∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由．(2)如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β之间的数量关系．(3)问题拓展：如图4，MA1∥NA n，A1−B1−A2−⋯−B n−1−A n是一条折线段，依据此图所含信息，把你所发现的结论，用简洁的数学式子表达为．【答案】(1)∠CPD=∠α+∠β，理由见解析(2)∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β(3)∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B n−1【分析】（1）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（2）过P作PE∥AD，根据平行线的判定可得PE∥AD∥BC，再根据平行线的性质即可求解；（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，根据平行线的判定和性质即可求解．【详解】（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β-∠α；理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE-∠DPE=∠β-∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠α-∠β．理由：如图，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE-∠CPE=∠α-∠β．（3）问题拓展：分别过A2，A3…，An-1作直线∥A1M，过B1，B2，…，Bn-1作直线∥A1M，由平行线的性质和角的和差关系得∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B n−1．故答案为：∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠B n−1．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力，第（2）问在解题时注意分类思想的运用．9．（2020下·重庆九龙坡·七年级统考期末）已知，AB∥CD．点M在AB上，点N在CD上．（1）如图1中，∠BME、∠E、∠END的数量关系为：；（不需要证明）如图2中，∠BMF、∠F、∠FND的数量关系为：；（不需要证明）（2）如图3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度数；（3）如图4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，则∠FEQ的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ的度数．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；过F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=1∠BME，进而可求解．2【详解】解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN ＋∠MFN ＝180°，∴2（∠BME ＋∠END ）＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，∴2∠BME ＋2∠END ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，即2∠BMF ＋∠FND ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，解得∠BMF ＝60°，∴∠FME ＝2∠BMF ＝120°；（3）∠FEQ 的大小没发生变化，∠FEQ ＝30°．由（1）知：∠MEN ＝∠BME ＋∠END ，∵EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，∴∠FEN ＝12∠MEN ＝12（∠BME ＋∠END ），∠ENP ＝12∠END ，∵EQ ∥NP ，∴∠NEQ ＝∠ENP ，∴∠FEQ ＝∠FEN ﹣∠NEQ ＝12（∠BME ＋∠END ）﹣12∠END ＝12∠BME ，∵∠BME ＝60°，∴∠FEQ ＝12×60°＝30°．【点睛】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．10．（2023下·辽宁大连·如图，AB//CD ，点O 在直线CD 上，点P 在直线AB 和CD 之间，∠ABP =∠PDQ =α，PD 平分∠BPQ ．（1）求∠BPD 的度数（用含α的式子表示）；（2）过点D 作DE//PQ 交PB 的延长线于点E ，作∠DEP 的平分线EF 交PD 于点F ，请在备用图中补全图形，猜想EF 与PD 的位置关系，并证明；（3）将（2）中的“作∠DEP的平分线EF交PD于点F”改为“作射线EF将∠DEP分为1:3两个部分，交PD于点F”，其余条件不变，连接EQ，若EQ恰好平分∠PQD，请直接写出∠FEQ=__________（用含α的式子表示）．【答案】（1）∠BPD=2α；（2）画图见解析，EF⊥PD，证明见解析；（3）45°−α2或45°−32α【分析】（1）根据平行线的传递性推出PG//AB//CD，再利用平行线的性质进行求解；（2）猜测EF⊥PD，根据PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，推导出∠BPD=∠DPQ=2α，再根据DE//PQ、EF平分∠DEP，通过等量代换求解；（3）分两种情况进行讨论，即当∠PEF:∠DEF=1:3与∠DEF:∠PEF=1:3，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．【详解】（1）过点P作PG//AB，∵AB//CD,PG//AB，∴PG//AB//CD，∴∠BPG=∠ABP=α,∠DPG=∠PDQ=α，∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=2α．（2）根据题意，补全图形如下：猜测EF⊥PD，由（1）可知：∠BPD=2α，∵PD平分∠BPQ,∠BPD=2α，∴∠BPD=∠DPQ=2α，∵DE//PQ，∴∠EDP=∠DPQ=2α，∴∠DEP=180°−∠BPD−∠EDP=180°−4α，又EF平分∠DEP，∠PEF=12∠DEP=90°−2α，∴∠EFD=180°−∠PEF−∠BPD=90°，∴EF⊥PD．（3）①如图1，∠PEF:∠DEF=1:3，由（2）可知：∠EPD=∠DPQ=∠EDP=2α,∠DEP=180°−4α，∵∠PEF:∠DEF=1:3，∴∠PEF=14∠DEP=45°−α，∠DEF=34∠DEP=135°−3α，∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE，∠EDQ+∠PQD=180°，∵∠EDP=2α,∠PDQ=α，∴∠EDQ=∠EDP+∠PDQ=3α，∠PQD=180°−∠EDQ=180°−3α，又EQ平分∠PQD，∴∠PQE=∠DQE=∠DEQ=12∠PQD=90°−32α，∴∠FEQ=∠DEF−∠DEQ=135°−3α−(90°−32α)=45°−32α；②如图2，∠DEP=180°−4α，∠PQD=180°−3α（同①）；若∠DEF:∠PEF=1:3，则有∠DEF=14∠DEP=14×(180°−4α)=45°−α，又∠PQE=∠DQE=12∠PQD=12×(180°−3α)=90°−32α，∵DE//PQ，∴∠DEQ=∠PQE=90°−32α，∴∠FEQ=∠DEQ−∠DEF=45°−12α，综上所述：∠FEQ=45°−32α或45°α2，故答案是：45°−α2或45°−32α．【点睛】本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．【模型2 “铅笔”型】1．（2012下·广东茂名·七年级统考期中）如图，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（）A．180°B．360°C．540°D．270°【答案】B【分析】过C点作直线CF∥AB，根据平行线的性质可得∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，然后再计算∠B+∠C+∠D即可.【详解】如图，过C点作直线CF∥AB，∵AB∥ED，∴CF∥ED，∴∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°，即∠B+∠BCD+∠D=360°.故选：B【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.2．（2012·江苏常州·七年级统考期中）一大门的栏杆如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，则∠ABC＋∠BCD＝．【答案】270°【分析】过B作BF∥AE，则CD∥BF∥AE．根据平行线的性质即可求解．【详解】过B作BF∥AE，∵CD∥AE，则CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案为：270．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补．正确作出辅助线是解题的关键．3．（2023下·陕西西安·七年级西安市第八十三中学校联考期中）如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是．【答案】80°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出∠MFA，∠EFM，进而可求出∠EFA，再根据平行线的性质即可求得∠AGC．【详解】解：如图，过点F作FM∥CD，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥FM，∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，∵CG∥EF，∴∠AGC=∠EFA=80°．故答案为80°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．4．（2023下·广东东莞·七年级东莞市长安实验中学校考期中）如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．5．（2020下·江苏淮安·七年级统考期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC 的度数．思路点拨：小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可分别求出∠APE、∠CPE的度数，从而可求出∠APC的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出∠APC的度数；小芳的思路是：如图4，延长AP交DC的延长线于E，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出∠APC 的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的∠APC的度数为°；问题迁移：（1）如图5，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【答案】110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析；（2）∠CPD=∠β−∠α或∠CPD=∠a−∠β，理由见解析【分析】小明的思路是：过P作PE∥AB，构造同旁内角，利用平行线性质，可得∠APC=110°．（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：小明的思路：如图2，过P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE=180°−∠A=50°，∠CPE=180°−∠C=60°，∴∠APC=50°+60°=110°，故答案为：110；（1）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图5，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠a=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠a+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD=∠β−∠α；理由：如图6，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠CPE−∠DPE=∠β−∠α；当P在BO之间时，∠CPD=∠a−∠β．理由：如图7，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE−∠CPE=∠α−∠β．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．6．（2020下·内蒙古·七年级校考期中）综合与探究：（1）问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系？请说明理由．【答案】（1）110°；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由见解析【分析】（1）过P作PE//AB，构造同旁内角，通过平行线性质，可得∠APC=50°+60°=110°．（2）过P作PE//AD交CD于E，推出AD//PE//BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°−120°=60°，∴∠APC=50°+60°=110°．（2）∠CPD=∠α+∠β，如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．7．（2020下·天津滨海新·七年级统考期末）如图1，四边形MNBD为一张长方形纸片．（1）如图2，将长方形纸片剪两刀，剪出三个角（∠BAE、∠AEC、∠ECD），则∠BAE+∠AEC+∠ECD=__________°．（2）如图3，将长方形纸片剪三刀，剪出四个角（∠BAE、∠AEF、∠EFC、∠FCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=__________°．（3）如图4，将长方形纸片剪四刀，剪出五个角（∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD），则∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=___________°．（4）根据前面探索出的规律，将本题按照上述剪法剪n刀，剪出(n+1)个角，那么这(n+1)个角的和是____________°．【答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【分析】（1）过点E作EH∥AB，再根据两直线平行，同旁内角互补即可得到三个角的和等于180°的2倍；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，根据两直线平行，同旁内角互补即可得到四个角的和等于180°的三倍；（3）分别过E、F、G分别作AB180°的三倍；（4）根据前三问个的剪法，剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．【详解】（1）过E作EH∥AB（如图②）．∵原四边形是长方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分别过E、F分别作AB的平行线，如图③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分别过E、F、G分别作AB的平行线，如图④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般规律：剪n刀，剪出n+1个角，那么这n+1个角的和是180n度．故答案为：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和，作平行线并利用两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键，总结规律求解是本题的难点．8．（2023下·浙江·七年级期末）已知AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P．（1）如图1所示时，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系?并说明理由．（2）除了（1）的结论外，试问∠AEP，∠EPF，∠PFC还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当∠EPF满足0°<∠EPF<180°，且QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，①若∠EPF=60°，则∠EQF=__________°．②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系．（直接写出结论）【答案】（1）∠AEP+∠PFC=∠EPF）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①150°或30；②∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF【分析】（1）由于点P是平行线AB，CD之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：如图1，当P点在EF的左侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠EPF=∠AEP+∠PFC；（2）当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①若当P点在EF的左侧时，∠EQF=∠BEQ+∠QFD=150°；当P点在EF的右侧时，可求得∠BEQ+∠QFD=30°；②结合①可得∠EPF=180°−2∠BEQ+180°−2∠DFQ=360°−2(∠BEQ+∠PFD)，由∠EQF=∠BEQ+∠DFQ，得出∠EPF+2∠EQF=360°；可得EPF=∠BEP+∠PFD，由∠BEQ+∠DFQ=∠EQF，得出∠EPF= 2∠EQF．【详解】解：（1）如图1，过点P作PG//AB，∵PG//AB，∴∠EPG=∠AEP，∵AB//CD，∴PG//CD，∴∠FPG=∠PFC，∴∠AEP+∠PFC=∠EPF；（2）如图2，当P点在EF的右侧时，∠AEP，∠EPF，∠PFC满足数量关系为：∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；过点P作PG//AB，∵PG//AB，∴∠EPG+∠AEP=180°，∵AB//CD，∴PG//CD，∴∠FPG+∠PFC=180°，∴∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（3）①如图3，若当P点在EF的左侧时，∵∠EPF=60°，∴∠PEB+∠PFD=360°−60°=300°，∵EQ，FQ分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ=12∠PEB，∠QFD=12∠PFD，∴∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×300°=150°；如图4，当P点在EF的右侧时，∵∠EPF=60°，∴∠PEB+∠PFD=60°，∴∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12×60°=30°；故答案为：150°或30；②由①可知：∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB+∠PFD)=12(360°−∠EPF)，∴∠EPF+2∠EQF=360°；∠EQF=∠BEQ+∠QFD=12(∠PEB∠PFD)=12∠EPF，∴∠EPF=2∠EQF．综合以上可得∠EPF与∠EQF的数量关系为：∠EPF+2∠EQF=360°或∠EPF=2∠EQF．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理和及推论等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，是解此题的关键．9．（2023下·浙江宁波·七年级统考期中）如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一个动点P，满足0°<∠EPF<180°．（1）试问：∠AEP，∠EPF，∠PFC满足怎样的数量关系？解：由于点P是平行线AB，CD之间一动点，因此需对点P的位置进行分类讨论．如图1，当点P在EF的左侧时，易得∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系为∠AEP+∠PFC=∠EPF；如图2，当点P在EF的右侧时，写出∠AEP，∠EPF，∠PFC满足的数量关系_________．（2）如图3，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，且点P在EF左侧．①若∠EPF=100°，则∠EQF的度数为______；②猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，并说明理由；③如图4，若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3，以此类推，则∠EPF与∠EQ2020F满足怎样的数量关系？（直接写出结果）【答案】（1）∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°；（2）①130°；②∠EPF+2∠EQF=360°，见解析；③∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°【分析】（1）过点P作PH//AB，利用平行线的性质即可求解；（2）根据（1）的结论结合角平分线的定义，平角的定义，运用整体思想即可求解．【详解】解：（1）如图2，当点P在EF的右侧时，过点P作PM//AB，则PM//CD，∴∠AEP+∠EPM＝180°，∠PFC+∠MPF＝180°，∴∠AEP+∠EPM+∠PFC+∠MPF＝360°，即：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；故答案为：∠AEP+∠EPF+∠PFC＝360°；（2）①由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∵∠EPF＝100°，∴∠PEA+∠PFC＝100°，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴100°+2∠DFQ＋2∠BEQ＝360°，∴∠DFQ+∠BEQ＝130°，∴∠EQF＝∠DFQ+∠BEQ＝130°，故答案为：130°；②∠EPF+2∠EQF＝360°，理由如下：∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠DFP＝2∠DFQ，∠BEP＝2∠BEQ，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＝180°，∠PEA+2∠BEQ＝180°，∴∠PFC+2∠DFQ＋∠PEA+2∠BEQ＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +2(∠DFQ +∠BEQ)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ+∠BEQ＝∠EQF，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +2∠EQF＝360°；③∵Q1E，Q1F分别平分∠QEB和∠QFD，∴∠DFP＝2∠DFQ＝22∠DFQ1，∠BEP＝2∠BEQ＝22∠BEQ1，∵∠PFC+∠DFP＝180°，∠PEA+∠BEP＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＝180°，∠PEA+22∠BEQ1＝180°，∴∠PFC+22∠DFQ1＋∠PEA+22∠BEQ1＝360°，∴∠PFC＋∠PEA +22(∠DFQ1 +∠BEQ1)＝360°，∵由（1）得：∠DFQ1+∠BEQ1＝∠EQ1F，∠PEA+∠PFC＝∠EPF，∴∠EPF +22∠EQ1F＝360°；同理可得：∠EPF +23∠EQ2F＝360°，∠EPF +24∠EQ3F＝360°，……∴∠EPF+22021∠EQ2020F＝360°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理及推论，角平分线的定义等知识点，作辅助线后能求出各个角的度数，利用整体思想解决第（2）问是解此题的关键．10．（2020下·辽宁大连·七年级统考期末）阅读下面材料，完成（1)～（3）题．数学课上，老师出示了这样—道题：如图1，已知AB//CD,点E,F分别在AB,CD上，EP⊥FP,∠1=60°．求∠2的度数．同学们经过思考后，小明、小伟、小华三位同学用不同的方法添加辅助线，交流了自己的想法：小明：“如图2，通过作平行线，发现∠1=∠3,∠2=∠4，由已知EP⊥FP,可以求出∠2的度数．”小伟：“如图3这样作平行线，经过推理，得∠2=∠3=∠4,也能求出∠2的度数．”小华：∵如图4，也能求出∠2的度数．”(1)请你根据小明同学所画的图形(图2)，描述小明同学辅助线的做法，辅助线：______；(2)请你根据以上同学所画的图形，直接写出∠2的度数为_________°；老师：“这三位同学解法的共同点，都是过一点作平行线来解决问题，这个方法可以推广．”请大家参考这三位同学的方法，使用与他们类似的方法，解决下面的问题：(3)如图，AB//CD，点E,F分别在AB，CD上，FP平分∠EFD,∠PEF=∠PDF,若∠EPD=a,请探究∠CFE与∠PEF 的数量关系（(用含α的式子表示)，并验证你的结论．【答案】（1）过点Р作PQ//AC；（2）30；（3）∠CFE−2∠PEF=180∘−a．【分析】（1）根据图中所画虚线的位置解答即可；（2）过点Р作PQ//AC，根据平行线的性质可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，进而可得答案；（3）设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，过点P作PQ//AB，根据平行线的性质可得∠BEP+∠EPQ= 180°,∠CFE=∠FEB=x，∠PDF=∠DPQ，进而根据角的和差关系即可得答案．【详解】（1）由图中虚线可知PQ//AC，∴小明同学辅助线的做法为过点Р作PQ//AC，故答案为：过点Р作PQ//AC（2）如图2，过点Р作PQ//AC，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案为：30（3）如图，设∠CFE=x,∠PEF=∠PDF=y，过点P作PQ//AB，∴∠BEP+∠EPQ=180°,∠CFE=∠FEB=x∵AB//CD,∴PQ//CD,∴∠PDF=∠DPQ∴∠DPQ=∠EHF=∠PDF=y∵∠CFE=∠FEB=x=∠FEP+∠BEP∴x=y+(180−a+y)∴x−2y=180−α，即∠CFE−2∠PEF=180∘−a．【点睛】本题考查平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．【模型3 “鸡翅”型】1．（2023下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB∥CD，则∠A+∠E+∠C=360°；②如图2，AB ∥CD，则∠P=∠A−∠C；③如图3，AB∥CD，则∠E=∠A+∠1；④如图4，直线AB∥CD∥EF，点O在直线EF上，则∠α−∠β+∠γ=180°．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】①过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C+∠P，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正确；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF，∵CD∥EF，∴∠γ+∠COF＝180°，∵∠BOF＝∠COF+∠β，∴∠COF＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为3，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．2．（2023上·七年级课时练习）（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，∠ABC−∠CDE=∠BCD，见解析【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．【详解】解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°,。
初中几何常考模型汇总(完整版)
第Ol讲8字模型与飞镖模型模型1角的“8”字模型如图所示，AB、CD相交于点O,连接AD、BC O 结论：ZA+ZD=ZB+ZCo模型分析8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到O模型实例观察下列图形，计算角度：(1)如图①，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE= ________________ :(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF= _________________热搜梢练1.(1)如图①，求ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE= _________________ :(2)如图②，求Z C A D+ Z B + Z AC E+ Z D+ Z E= ___2. ________________________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH= _______________________________图②模型2角的飞镖模型如图所示，有结论：ZD=ZA+ZB+ZCo模型分析飞镖模型往往在几何综合题目中推导角度时用到a模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分ZDAB和ZDCB, AM与CM交于W 探究ZAMC与ZB、ZD间的数量关系。
热搜精练1._________________________________________如图，ΛRZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=2.__________________________________ 如图，求ZA+ZB+ZC+ZD=C F模型3边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O,连接AD、BC O 结论：AC+BD>AD+BCoD模型实例如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点0。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD:(2) AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点。
平行线及角平分线类相似
平行线及角平分线类相似中考要求重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习上一节课我们知道了相似三角形的由来，那你是否知道其他跟金子塔有关的不可思议的事实呢？不仅建造金字搭的技术中，表现了古埃及人的非凡的数学天才；而且，它本身的许多数据，也说明了古埃及人的数学才华，巧夺天工，比如，胡夫金字塔底面周长365米，恰好是一年的天娄；周长乘以2，正是赤道的时分度；搭高乘以10九次方，正是地球到太阳的距离；周长除以塔塔高的2倍，正是圆周率3．1415926……；塔的自重乘以10的15次方，正好是地球的重量；塔里放置的棺材內部尺寸，正好是几千年后希腊数学家华连哥拉斯发现华连哥拉斯数——345：：．数学的趣味是无法言语的，同学们可以从身边的点滴去发现其中的奥秘．例题精讲模块一 平行线类相似平行线类相似的基本模型有【例1】 如图，在ABCD 中，点E 在线段DC 上，若12DE EC =∶∶，则BF BE =∶ ．EAD BCF【难度】1星【解析】过E 点作AD 的平行线交AC 于H ，可求出结果．HFCBD AE【答案】35∶【巩固】如图，在ABC △中，,,DE BC DG AC CF AB ∥∥∥，则图中与ABC △相似的三角形（ABC △除外）有哪些？GFA BCDE【难度】1星【解析】根据三角形相似的判定定理，可知道ABC ADE DBG FCG △∽△∽△∽△ 【答案】ABC ADE DBG FCG △∽△∽△∽△【拓展】如图，点1234,,,A A A A 在射线OA 上，点123,,B B B 射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，21A B ∥32A B43A B ∥．若212323,A B B A B B △△的面积分别为1,4，则图中三个阴影三角形面积之和为 ．4321【难度】3星【解析】由平行得到相似的三角形．已知212A B B △△A 2B 1B 2，323A B B △的面积分别为1,4，且两三角形相似，因此可得出223312A B A B =，由于223A B A △与233B A B △是等高不等底的三角形，所以面积之比即为底之边比，因此这两个三角形的面积比为1:2，根据323A B B △的面积为4，可求出223A B A △的面积，同理可求出334A B A △和112A B A △的面积．即可求出阴影部分的面积．【答案】10.5∵212A B B △，323A B B △的面积分别为1,4 又∵22332132,A B A B A B A B ∥∥∴2233212323,OB A OB A A B B A B B ∠=∠∠=∠ ∴122233B B A B B A △∽△ ∴1222233312B B A B B B A B == ∴233412A A A A = ∵22323322323331,4A B A B A B S A B A B B S A B ==△△△的面积是4 ∴223323122A B A A B B S S ==△△（等高的三角形的面积的比等于底边的比）同理可得：3343232248A B A A B B S S ==⨯=△△，1122121110.522A B A A B B S S ==⨯=△△∴三个阴影面积之和为0.52810.5++=．【例2】 如图，已知DE AB ∥，2OA OC OE =⋅，求证：AD BC ∥．DOECB A【难度】2星【解析】由一个平行得到比例线段OE ODOA OB=，再根据已知条件2OA OC OE =⋅，以及线段间的等量代换得到OD OAOB OC=，得到证明AOD COB ∆∆∽，得到相等的角DAO BCO ∠=∠，最后得到证明AD BC ∥． 【答案】∵DE AB ∥∴AOB EOD ∆∆∽，OE ODOA OB=， 又∵2OA OC OE =⋅， ∴OE OAOA OC =， ∴OD OAOB OC=， ∵AOD COB ∠=∠， ∴AOD COB ∆∆∽， ∴DAO BCO ∠=∠， ∴AD BC ∥【巩固】在平行四边形ABCD 中，点E 为AD 的中点，连接BE ，交AC 于点F ，则AF CF ∶=（ ）FED CBA【难度】2星【解析】根据四边形ABCD 是平行四边形，求证AFE BCF △∽△，然后利用其对应边成比例即可求得答案．【答案】12∶∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AFE BCF △∽△， ∴AE AFBC CF=，∵点E 为AD 的中点， ∴12AE AF BC CF ==，【巩固】如图，在ABC ∆的边AB 上取一点D ，在AC 取一点E ，使AD AE =，直线DE 和BC 的延长线相交于P ，求证：BP BDCP CE=． PEDCBA【难度】2星【解析】根据所要证明的结论，由三点定形法可初步判定需要证明PCE PDB △∽△，但根据所给的已知条件无法找到有利的条件得到证明，于是回到题中看看怎么样能利用到已知条件AD AE =，于是尝试着过C 作平行线得到证明．4321MPE D CBA【答案】过C 作CM AB ∥交DP 于M ，∵CM AB ∥， ∴PCM PBD ∆∆∽， ∴BP BDCP CM=， ∵CM AB ∥， ∴14∠=∠， 又∵AD AE =，∴12∠=∠，∴24∠=∠， ∵23∠=∠， ∴34∠=∠， ∴CM CE = ∴BP BDCP CE=【拓展】如图，在ABC △中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=____ ___． MECBA【难度】3星【解析】先介绍常规的解法：BCFE DMA BCFED M A如图，过点C 作DE 或AB 的平行线均可，不妨以左图为例来说明． 过点C 作//CF DE ，交AB 于点F ． ∵AM MC =，//CF DE ∴AE EF = ∵14AE AB =∴2BF EF= ∵//CF DE ∴2BC BFCD EF== 当然，过点M 、点E 作适当的平行线，均可作出此题，这里不再给出． 以上这些解法均属于常规解法，下面介绍特殊的解法： 看ABC ∆为直线EM D 所截，由梅涅劳斯定理可知，1AE BD CM EB DC MA⋅⋅= 又14AE AB =，AM CM =，故32BD BC DC CD=⇒= 上述图形是一个经典的梅氏定理的基本图形，解类似的题时，梅氏定理的运用能够带来立竿见影的效果，很快得出答案，梅氏定理的证明见变式1，先讲变式1再介绍本解法．【答案】2【拓展】如图，AD 是ABC △的中线，点E 在AD 上，F 是BE 延长线与AC 的交点．（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由．AB CDEF【难度】3星【解析】1（）过点D 、E 、F 作平行线均可构造出平行线的基本图形，然后利用 这些基本图形的性质来解题.以下给出6种辅助线（还有几种没给 出），解题过程不再给出．HAB C DEF ABCD EF HHAB CDEFHAB CD EFHAB CDEFHABCD EF当然，本题也可由梅氏定理直接得出结果． 看ADC ∆被直线BEF 所截，由梅氏定理可得1AF CB DEFC BD EA⋅⋅= 又AE DE =，BD CD =，故12AF FC =． 2（）结论依然成立，解法同上（包括用梅氏来解题），不再给出． 【答案】1（）见解析；2（）结论依然成立模块二 角平分线类相似问题角平分线类的相似模型如下：方法点播：角平分线类得相似问题基本就这样的两种模型，辅助线的做法也如图中虚线所示，学生在学这部分知识时，不管是平时测验和期中、期末考试，只要涉及到角平分线和证明相似问题就可以试着做这样的辅助线，基本都可以解决．【例1】 如图，AD 是ABC △的角平分线，求证：AB BDAC CD=D CB A【难度】3星【解析】由角平分线类的相似模型可作出辅助线：过点C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，再根据平行得到相似的比例线段，最后题目得证．321EDCBA【答案】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ．∵CE AD ∥， ∴1E ∠=∠，23∠=∠ 又∵AD 平分BAC ∠， ∴12∠=∠， ∴3E ∠=∠， ∴AE AC =，由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【巩固】 已知ABC △中，BAC ∠的外角平分线交对边BC 的延长线于D ，求证：AB BDAC CD=DCBA【难度】4星【解析】由外角平分线证明相似的模型可作辅助线：过C 作CE AD ∥交直线AB 于E ，根据平行得到成比例线段AB BD AE CD =，再根据角与角相等的等量代换证明AE AC =，结论得证AB BDAC CD=． F 4321E DCBA【答案】过C 作CE AD ∥交直线AB 于E∵CE AD ∥， ∴13∠=∠，24∠=∠ 又∵AD 平分CAF ∠， ∴12∠=∠， ∴34∠=∠， ∴AE AC =， 由CE AD ∥可得：AB BDAE CD=， ∴AB BDAC CD=【巩固】在Rt ABC △中，线段CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，交斜边上的高AD 于点O ，过O 引BC 的平行线交于F ．求证：AE BF =．321OF E DCBA【难度】3星【解析】在相似问题中遇到证明线段相等的问题时一定要能想到：这个证明可能是由两组成比例线段进行等量代换得到．本题由角平分线得到角相等再由都是直角三角形，可证明一组相似三角形得到一组成比例线段CD AC OD AE =，再根据平行线分三角形两边成比例得到比例线段ADABOD BF =，最后再根据一组相似三角形得到成比例线段AD AB CD AC =，等量代换得到ODBFOD AE =，题目得证AE BF =．【答案】∵CE 平分ACB ∠∴23∠=∠∴Rt CAE Rt CDO △∽△ ∴CDACOD AE =又∵OF BC ∥ ∴ADABOD BF =又∵Rt ABD Rt CAD △∽△ ∴AD AB CD AC =，即ODBFOD AE =∴AE BF =注意：应用比例线段证明两直线平行或两线段相等时，（1）要注意如果相关的比例式较多，一时难以作出选择，应将所有相关的比例式都写出来，然后再仔细对比、分析选出有用的。
中考数学常见几何模型专题08 角平分线的基本模型(二)非全等类(原卷版)
专题08 角平分线的重要模型（二）非全等类角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各大模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，，本专题就角平分线的非全等类模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.双角平分线模型（导角模型）【模型解读】双角平分线模型（导角模型）指的是当三角形的内角（外角）的平分线相交时，可以导出平分线的夹角的度数。
【模型图示】条件：BD ，CD 是角平分线.结论：1902BDC A ∠=︒+∠ 1902BDC A ∠=︒-∠ 12BDC A ∠=∠ 1．（2022·广东·九年级专题练习）BP 是∠ABC 的平分线，CP 是∠ACB 的邻补角的平分线，∠ABP =20°，∠ACP =50°，则∠P =（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°2．（2022·山东·济南中考模拟）如图1，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 与∠BCA 的平分线CE 交于点O ．4231AFCB4321DAB(1)求证：∠AOC＝90°＋1∠ABC；2(2)当∠ABC＝90°时，且AO＝3OD（如图2），判断线段AE，CD，AC之间的数量关系，并加以证明．3.（2022•蓬溪县九年级月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A ＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝°．4．（2022·辽宁沈阳·九年级期中）阅读下面的材料，并解决问题(1)已知在∠ABC中，∠A=60°，图1-3的∠ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接写出下列角度的度数，如图1，∠O＝；如图2，∠O＝；如图3，∠O＝；(2)如图4，点O是∠ABC的两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+1∠A(3)如图5，在∠ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点2O1O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．模型2.角平分线加平行线等腰现（角平分线+平行线）【模型解读】1）过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形；2）有角平分线时，过角一边上的点作角平分线的平行线，交角的另一边的直线于一点，也可构造等腰三角形。
掌握中考数学解题技巧如何应对立体几何中的平行直线和角平分线问题
掌握中考数学解题技巧如何应对立体几何中的平行直线和角平分线问题数学解题技巧在中考时尤为重要，能否熟练地解决立体几何中的平行直线和角平分线问题直接关系到解题的准确性和速度。
本文将分享一些掌握中考数学解题技巧，应对立体几何中的平行直线和角平分线问题的方法。
一、平行直线问题平行直线问题在中考数学中经常出现，解决这类问题的关键在于发现平行关系，并利用平行关系进行推导和解题。
解决平行直线问题的方法之一是运用等角定理。
等角定理指出，当两直线与第三条直线相交时，如果两条直线与第三条直线所成的对应角或内错角相等，则这两条直线是平行的。
举个例子来说明。
在三棱锥ABC-DEF中，若AB∥DE，BC∥EF，则需要求证AC∥DF。
通过观察可以发现∠ABC与∠DEF所成对应角相等，∠BCA与∠FED所成对应角相等，根据等角定理可得，AB∥DE，BC∥EF，则AC∥DF。
另一个常用的方法是利用平行线性质进行证明或解题。
对于平行线的性质，我们应该熟记以下几点：1. 平行线与一条横截线所成的内错角相等；2. 平行线与一条横截线所成的对应角相等；3. 平行线上的两条横截线所成的内错角相等；4. 平行线上的两条横截线所成的对应角互补。
例如，在平行六面体ABCDEFGH中，若AB∥DH，AC∥EG，则需要求证∠DAH与∠EAG是内错角。
根据平行线性质，∠ABH与∠DHG是内错角，且∠ABH与∠DHG相等。
同样地，∠ACH与∠EGF是内错角，且∠ACH与∠EGF相等。
因此，根据等角定理可得，∠DAH与∠EAG是内错角。
二、角平分线问题角平分线问题也是中考数学中的常见考点，解决这类问题需要注意角平分线的性质及运用。
首先，我们需要了解角平分线的定义和性质：1. 角平分线是将角分成两个相等角的线段；2. 角平分线上的点到角的两边的距离相等；3. 角平分线将角分成的两个小角互补；4. 若角的两边上的两个点被一条角平分线分成两段，且这两段相等，则这条角平分线垂直于角的边。
角平分线等腰三角形平行线
基本图形变化延伸
如图，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，过点F作 DE∥BC，分别交AB、AC于Ｄ、Ｅ两点，已知AB=6cm ，AC=9cm，求△ADE的周长
A
D B
F
E C
问题解决
证明：∵ＤＥ∥BC ∴ ∠DBＦ=∠ＤＦＢ
A F E
D
∠ＥＣＦ=∠ＥＦＣ C B ∵BＦ平分∠ABC ∴ ∠ＤＢＦ=∠ＣＢＦ ∴ ＢＤ=ＤＦ， ＥＣ＝ＥＦ ∵ＣＦ平分∠AＣＢ ∴ ∠ＥＣＦ=∠ＢＣＦ △ＡＤＥ的周长＝ＡＢ ∴ ∠ＤＢＦ=∠ＤＦＢ， ＋ＡＣ＝６＋９＝１５ ∠ＥＣＦ=∠ＥＦＣ
A D
B
C
已知：如图，AD∥BC，BD平分∠ABC 求证：AB=AD D A
证明：∵AD∥BC ∴ ∠1=∠2
∵BD平分∠ABC ∴ ∠2=∠3 ∴ ∠1=∠3 ∴ AB=AD
B C
已知：如图，AD∥BC，AB=AD 求证：BD平分∠ABC A
证明：∵AD∥BC ∴ ∠1=∠2
∵AB=AD ∴ ∠1=∠3 ∴∠2=∠3 ∴ BD平分∠ABC
E
M
N
B
C
D
变式挑战2：
若点B、C、D不在同一直线上呢？此时， AD与BE是否还相等？请说明理由。 A
E
B
C
D
adbcbdabcabad相交线平行线中出现的平行角平分线和等腰三角形结合的图形是初中阶段研究几何图形部分最常见的一个基本图形在今后三角形四边形以及圆的学习也是经常出现的图形在中考中对几何部分考查时也经常现身
八上数学期中复习
角平分线，平行线和等腰三角形 三者中的知二推一
已知：如图，AD∥BC，BD平分 ∠ABC 求证：AB=AD
B
考点讲解初中数学角平分线与平行线相关考点梳理…
考点讲解初中数学角平分线与平行线相关考点梳理…今天带来的考点突破是对角平分线+平行线模型进行再次梳理与理解…针对不同的题目特征，应该如何去更好地思考，快来一起看看吧…有一个男孩叫小角(角平分线)，他对于住在他隔壁的小平(平行线)倾慕已久，最近都在想尽办法接近小平。
忽然有一天，小角在上学路上偶遇到了小平，然后他们就开始了他们的第一次的相遇…第一次相遇我们第一次接触到平行线和角平分线是在我们初一的时候，我们了解到角平分线定义就是角平分线会平分该角，得到角度的等量关系，而我们在平行线的性质里面也会学到，两直线平行，我们会得到角度的数量关系，那么通过等量代换，我们能获得许多角度的等量关系。
如图，由AD∥BC得∠2=∠3;由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3.对于角平分线+平行线的模型，它的基本题目形态就是题目中会给出平行或一眼看出平行线的判定条件，以及给出角平分线。
它的基本解题思路就是将相等的角度都找出来之后进行等量代换，并且在进行角度的等量代换的过程中，就会为解题提供更多的“隐藏条件”。
例一:已知AB∥CD，直线EF分别交于直线AB，CD于点E，F，FG平分∠CFE且交AB于点G，若∠BEF=70°，则∠AGF=。
【考点】平行线的性质【解答】证明:∵AB∥CD，∴∠EGF=∠CFG，∠EFC=∠BEF=70°，∵FG平分∠CEF，∴∠EFG=∠CFG=35°，∴∠EFG=∠EGF，∴∠EGF=∠EFG=35°，∴∠AGF=145°.小角和小平都渐渐长大，在成长的过程中，小平搬离了原本的小区，小角与小平就再也没有相遇过了。
直到某一天，小角一如既往地在公交车站等车上班的时候，在车站遇到了一个和小平长得非常相似的姑娘，小角的内心忽然激动了起来，便走上去想确认一下是否曾经的小平。
第二次相遇我们在初二，就会开始学习到平行线进阶的知识点--平行四边形，平行四边形本身就自带许多的性质，涉及到边、角、对角线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一次相遇
我们第一次接触到平行线和角平分线是在我们初一的时候，我们了解到角平分线定义就是角平分线会平分该角，得到角度的等量关系，而我们在平行线的性质里面也会学到，两直线平行，我们会得到角度的数量关系，那么通过等量代换，我们能获得许多角度的等量关系。
如图，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3.
对于角平分线+平行线的模型，它的基本题目形态就是题目中会给出平行或一眼看出平行线的判定条件，以及给出角平分线。
它的基本解题思路就是将相等的角度都找出来之后进行等量代换，并且在进行角度的等量代换的过程中，就会为解题提供更多的“隐藏条件”。
例一
已知AB∥CD，直线EF分别交于直线AB，CD于点E，F，FG平分∠CFE且交AB于点G，若∠BEF=70°，则∠AGF=___________。
【考点】平行线的性质
【解答】证明：
∵AB∥CD，
∴∠EGF=∠CFG，∠EFC=∠BEF=70°，
∵FG平分∠CEF，
∴∠EFG=∠CFG=35°，
∴∠EFG=∠EGF，
∴∠EGF=∠EFG=35°，
∴∠AGF=145°．
第二次相遇
我们在初二，就会开始学习到平行线进阶的知识点——平行四边形，平行四边形本身就自带许多的性质，涉及到边、角、对角线。
这时，在我们已经学习了三角形的基础上，我们就开始能够通过角度对边的长度进行数量关系的分析，而在我们角平分线+平行线的模型概念中，也开始引入了等腰三角形去对边长进行推理与分析。
如图，由AD∥BC得∠2=∠3；由BD平分∠ABC得，∠1=∠2，所以∠1=∠2=∠3，则△ABD是等腰三角形，AB=AD.
此时，我们除了需要进行角度数量关系的讨论，对于线段的数量关系也会进行讨论，进一步地我们可以对三角形周长或者面积去进行计算。
并且对于角平分线、平行线、等腰三角形这三个条件，我们不难发现是可以知二推一，题目中给出其中任意两个条件，都能够通过角度等量代换推得第三个。
例二
如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD∥AB，OE∥AC，若BC=15cm，则△ODE的周长为___________.
【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质
【解答】
解：∵OD∥AB
∴∠ABO=∠BOD
∵OB平分∠ABC
∴∠ABO=∠OBD
∴∠ABO=∠BOD
∴BD=OD
则同理可得CE=OE
∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=15cm．
故答案为15cm．
例三
如图，已知AD是△ABC的角平分线，四边形MBEF是平行四边形．求证：AF=BM
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质
【解答】证明：
∵四边形MBEF是平行四边形，
∴BM∥EF，BM=EF，
∴∠1=∠AEF，
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠AEF，
∴AF=FE，
∴AF=BM．
牛刀小试
练习一
如图，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线交于点O，过O作EF∥BC交AB、AC于E、F. 试说明BE+CF=EF．
练习二
如图，已知E是AB上的点，AD∥BC，AD平分∠EAC，试判定∠B与∠C的大小关系，并说明理由．
练习三
如图，平行四边形ABCD中，∠ABC的角平分线BE交AD于E点，AB=3，ED=1，则平行四边形ABCD的周长是___________。
练习四
如图，在平行四边形ABCD中，AB=4cm，AD=7cm，∠ABC的角平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DE=___________cm
练习五
如图，A、B是圆O上的两点，且AB的长度小于圆O的直径，直线l与AB垂于点D且与圆O相切于点C．
求证：AC为∠OAD的角平分线.。