数系的扩充

数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
逆运算在数系的扩充中扮演着极为 重要的角色； 逆运算的运算法则来源于正运算， 因此比正运算困难，以致可能出现 无法进行的现象，从而必须引进新 东西，使数系得以扩展.
数系的扩充
复数的概念
数系的每一次扩充， 基本都是运算的需要!
数系的扩充
复数的概念
数集扩充到复数集
数系的扩充 A 复数的概念
复数的概念
复数不能比较大小的一种解释
例如：i与0能不能比较大小？ （1）如果i＞0，那么i· 0· 即-1＞0。 i＞ i， （2）如果i＜0，那么-i＞0，(-i)2＞0· (-i) 即-1>0. 因此，i与0不能比较大小。
数系的扩充
复数的概念ຫໍສະໝຸດ 例2 已知 (2 x 1) i 求 x与 y .
毕达哥拉斯(约公元前 560——480年）
数集扩充到实数集
正数与负数， 有理数与无理数， 都是具有“实际意义的量”， 称之为“实数”，构成实数系统. 实数系统是一个没有缝隙的连续系统.
实数集能否继续扩充呢?
历史回顾
1545年，卡尔丹在《大衍术》中写道： “要把10分成两部分，使二者乘积为40， 这是不可能的，不过我却用下列方式解 决了.”
X
a (a 0) | a | = | OA | a (a 0)
z=a+bi Z (a,b)
O
x
| z | = |OZ| a b
2
2
数系的扩充
复数的概念
例3 求下列复数的模：
(1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i (4)z4=1+mi(m∈R) (5)z5=4a-3ai(a<0) 思考： (1)复数的模能否比较大小？ (2)满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？ (3)满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
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复数的概念
例1 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
m 1时，复数z 是实数． m 1 时，复数z 是虚数．
即 m 1时，复数z 是 纯虚数．
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复数的概念
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于第二象限， 求实数m允许的取值范围。
变式：证明对一切m，此复数所对应的 点不可能位于第四象限。 解题思考： 表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满 在象限的问题 足的不等式组的问题 (几何问题) (代数问题) 一种重要的数学思想：数形结合思想
4n 1
数系的扩充
复数的概念
实数可以用数轴上的点来表示。
实数
(数)
一一对应
数轴上的点
(形)
规定了
直线
正方向，
原点，单位长度
数轴
1
o
x
(几何模型)
你能否找到用来表示复数的几何模型呢？
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复数的概念
有序实数对(a,b)
复数z=a+bi （数） z=a+bi Z(a,b)
a b
一一对应
y
直角坐标系中的点Z(a,b) 平面向量 OZ （形） 建立了平面直角 坐标系来表示复数的 平面 ------复数平面 (简称复平面)
数对应的点在复平面上构成怎样的图形？
图示
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复数的概念
y
满 足 |z|=5(z∈C) 的 复 数z对应的点在复平 面上将构成怎样的–5 图形？ 设z=x+yi(x,y∈R)
5
5
O x
z x y 5
2 2
x y
-5 -4 -3 0 3 4 5 0 3 4 5 4 3 0
我们已知知道：
对于一元二次方程
x 1 0 没有实数根．
2
思考？
x 1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
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复数的概念
现在我们就引入这样一个数 i ，把 i 叫做虚数单位，
并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运 算时，原有的加法与乘法的运算率(包括交换率、结 合率和分配率)仍然成立。
是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？
解: （1）当 m 1 0，即 （2）当 m 1 0 ，即 （3）当 m 1 0
m 1 0
2
练习:当m为何实数时，复数
Z m m 2 (m 1)i
2
是 （1）实数
（2）虚数
（3）纯虚数
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复数的概念
------数系的扩充
3.1 数系的扩充
从社会生活来看为了满足生活和生产实
践的需要，数的概念在不断地发展. 从数学内部来看，数集是在按某种 “规 则”不断扩充的.
自然数

自然数是“数”出来的，其历史最早可以追 溯到五万年前.
负数是“欠”出来 的.它是由于借贷关 系中量的不同意义 而产生的.我国三国 时期数学家刘徽 （公元250年前后） 首先给出了负数的 定义、记法和加减 运算法则.
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复数的概念
思
考？
复数集
虚数集 实数集
复数集，虚数集，实数 集，纯虚数集之间的关 系？
纯虚数集
数系的扩充
复数的概念
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数， 哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2 7 0.618
i
2
i 1 3


2 0 i 7 5i +8， 3 9 2i
2、判断下列命题是否正确：
y (3 y )i ，其中x, y R
转化
解题思考： 复数相等 的问题 求方程组的解 的问题
一种重要的数学思想：转化思想
1、若x，y为实数，且
求x，y

x y x yi 2 4i
2 2

2.若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6) =0，求x的值.
i
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形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.
全体复数所形成的集合叫做复数集， 一般用字母C表示 .
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复数的概念
复数的代数形式： 通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部 虚部
其中
i 称为虚数单位。
R C
讨 论？
复数集C和实数集R之间有什么关系？
实数b 0 复数a+bi 纯虚数a 0，b 0 虚数b 0非纯虚数a 0，b 0
复数的概念
我们知道若
a bi 0 则
0 0 a _____ b _____
如何定义两个复数的相等？
如果两个复数的实部和虚部分别相等，那 么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
注意：一般对两个复数只能说相等或不相等； 不能比较大小。
a c a bi c di b d
40 5 15 5 15



能作为“数”吗？它表示什么 意义呢？
虚数
虚数是“算”出来 的. 1637年，法国数学 家笛卡尔把这样的 数叫做“虚数” （“想象中 (imaginary)的数”）.
笛卡尔 (R.Descartes,1596-1661)
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复数的概念
知识引入
负数
刘徽（公元250年前后）
数集扩充到整数集
分数（有理数）
分数（有理数）是
“分”出来的.早在 古希腊时期，人类已 经对有理数有了非常 清楚的认识，而且他 们认为有理数就是所 有的数.
数集扩充到有理数集
边长为1的正方形的对角线长 度为多少？
1
？
1
无理数
无理数是“推”出来 的.公元前六世纪，古 希腊毕达哥拉斯学派 利用毕达哥拉斯定理， 发现了“无理数”. “无理数”的承认 （公元前4世纪）是数 学发展史上的一个里 程碑.
复数的概念
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a bi (a R, b R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a bi
a c c di b d
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复数的概念
B
nZ
*
i
i
4n


1
4n 2
-1
i i 4n 3 i i
x
o
x轴------实轴 y轴------虚轴
概念辨析
例题
数系的扩充
复数的概念
能否把绝对值概念推广到复数范围呢？ 实数绝对值的几何意义: 复数的绝对值 (复数的模) 实数a在数轴上所 复数 z=a+bi在复 对 应的点 A到原 点 O 平面上对应的点Z(a,b) 的距离。 到原点的距离。 a
y
O
A
–5
数系的扩充
复数的概念
辨析： 1．下列命题中的假命题是（D） (A)在复平面内，对应于实数的点都在实 轴上； (B)在复平面内，对应于纯虚数的点都在 虚轴上； (C)在复平面内，实轴上的点所对应的复 数都是实数； (D)在复平面内，虚轴上的点所对应的复 数都是纯虚数。
数系的扩充
复数的概念
2．“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对 C 应的点在虚轴上”的（ ）。 (A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件 (C)充要条件 (D)不充分不必要条件
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复数的概念
虚数
1777年，瑞士数学 家欧拉在其论文中 首次用符号“i ” 表 示 称为虚数单位.
欧拉(L.Euler,1707~1783)
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复数的概念
数集再次扩充
数系的扩充
复数的概念
数系扩充的科学道理
从数学内部来看，数集是在按某种 “规则”不断扩充的。
自然数中减法产生 负数 ， 整数系统 整数中除法产生 分数 ， 有理数系统； 自然数中开方产生 无理数 ， 实数系统； 负数中开方产生 虚数 ， 新的系统.