柯西不等式的几何意义-高中数学知识点讲解

柯西不等式的几何意义

1．柯西不等式的几何意义

【知识点的认识】

柯西不等式的几何意义

柯西不等式的代数形式十分简单，但却非常重要．数学当中没有巧遇，凡是重要的结果都应该有一个解释，一旦

掌握了它，就使这个结果变得不言而喻了．而一个代数结果最简单的解释，通常驻要借助于几何背景．现在就对

柯西不等式的二维、三维情况做出几何解释．

（1）二维形式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

如图，可知线段OP，OQ 及PQ 的长度分别由下面的式子给出：

|푂푃|=푎2+푏2，|푂푄|=푐2+푑2，|푃푄|=(푎―푐)2+(푏―푑)2，

θ表示OP 与OQ 的夹角．由余弦定理，我们有

|PQ|2＝|OP|2+|OQ|2﹣2|OP|⋅|OQ|cosθ，

将|OP|，|Oq|，|PQ|的值代入，化简得到푐표푠휃

=

푎푐+푏푑

푎2+푏2⋅푐2+

푑2，

而 0≤cos2θ≤1，故有

푐표푠2휃=

(푎푐+푏푑)2

(푎2+푏2)(푐2+

푑2)

≤1，

于是（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

这就是柯西不等式的二维形式．

我们可以看到当且仅当 cos2θ＝1，即当且仅当θ是零或平角，亦即当且仅当O，P，Q 在同一条直线上是时等号成

푎

立．在这种情形，斜率之间必定存在一个等式；换句话说，除非c＝d＝0，我们们总有푐=

푏

푑

．

（2）三维形式(푎21+푎2+푎32)(푏21+푏2+푏32)≥(푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3)2

对于三维情形，设P（a1，a2，a3），Q（b1，b2，b3）是不同于原点O（0，0，0）的两个点，则OP 与OQ 之间的夹角θ的余弦有

푐표푠휃=

푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3푎12+푎2+푎32⋅푏12+푏2+푏23

又由 cos2θ≤1，得到柯西不等式的三维形式：

(푎21+푎2+푎23)(푏21+푏2+푏23)≥(푎1푏1+푎2푏2+푎3푏3)2

푎1当且仅当三点共线时，等号成立；此时只要这里的都不是零，就有푏1=푎2

푏2=

푎3

푏3

．