高中数学-直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系

直线的方程

斜截式 斜率k y=kx+b 不包括垂直于x 轴的直线

纵截距b

点斜式 点P 1(x 1,y 1) 1y y -=k （1x x -） 不包括垂直于x 轴的直线

斜率k

两点式 点P 1(x 1,y 1) 不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线 和P 2(x 2,y 2) 截距式 横截距a 1=+b

y

a x 不包括坐标轴，平行于坐标轴和过原点的直线

纵坐标b

一般式 Ax+By+C=0 A 、B 不同时为0 圆的方程

标准式：2

2

2

()()x a y b r -+-=，其中r 为圆的半径，(,)a b 为圆心．

一般式：220x y Dx Ey F ++++=（22

40D E F +->）.其中圆心为,2

2D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，

参数方程:cos sin x r y r αα=⎧⎨=⎩

，cos (sin x a r y b r ααα=+⎧⎨=+⎩是参数）. 消去θ可得普通方程

典型例题

例1.已知一个圆和y 轴相切，在直线x y =上截得的弦长为72，且圆心在直线0

3=-y x 上，求圆的方程。

练习：求过点()1,2A 和()1,10B 且与直线012=--y x 相切的圆的方程。

练习：已知圆C 和y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且被直线x y =截得的弦长为

7

2，求圆C 的方程。

121

121x x x x y y y y --=

-

-

点与圆的位置关系：

已知点()00M ,x y 及圆()()()2

2

2C 0：x-a y b r r +-=>， （1）点M 在圆C 外()()2

2

200CM r x a y b r ⇔>⇔-+->； （2）点M 在圆C 内⇔()()2

2

200CM r x a y b r <⇔-+-<； （3）点M 在圆C 上()2

0CM r x a ⇔=⇔-()2

20y b r +-=

圆的切线

(1)切线：①过圆222x y R +=上一点00(,)P x y 圆的切线方程是：200xx yy R +=，过圆

222

()()x a y b R -+-=上一点

00(,)

P x y 圆的切线方程是：

200()()()()x a x a y a y a R --+--=，一般地，如何求圆的切线方程？（抓住圆心到直线的

距离等于半径）；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法（抓住圆心到直线的距离等于半径）来求；③过两切点的直线（即“切点弦”）方程的求法：先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；③切线长：过圆2

2

0x y Dx Ey F ++++=（222()()x a y b R -+-=）外一点00(,)P x y 所引圆的切线的长为

；

例2. 已知圆的方程为222

x y r +=， 00(.)P x y 是圆外一点，经过P 点作圆的切线两切线，

切点分别为A,B,求直线AB 的方程。

练习：写出过圆x 22

10y += 上的一点的切线方程

练习：设A 为圆1)1(2

2

=+-y x 上动点，PA 是圆的切线，且|PA|=1，则P 点的轨迹方程为---

直线与圆的位置关系：

直线:0l Ax By C ++=和圆()()2

2

2C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。可从代数和几何两个方面来判断：

（1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）：0∆>⇔相交；0∆<⇔相离；0∆=⇔相切；

（2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为d ，则d r <⇔相交；d r >⇔相离；d r =⇔相切。提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷

例3.已知直线方程为

圆方程为2

2

(1)1x y -+=则当m 为何值时，直线与圆（1）相切 (2)相离 （3）相交

例4.已知⊙C ：(x-1)2+(y-2) 2

=2，P(2,-1)，过P 作⊙C 的切线，切点为A 、B 。求切线直线PA 、PB 的方程

练习：若直线(1)10a x y +++=与圆 22

20x y x +-=相切，则 a 的值为（ d ）

A. 1或-1

B. 2,或-2

C. 1

D. -1 练习：已知过(1,0),(0,2)A B -的直线与圆2

2

(1)()1x y a -+-=相切，则a=?

练习：已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为

弦长求法

0x y m ++

=

（1）几何法：弦心距d ，圆半径r ，弦长l ，则2

2

22l d r ⎛⎫

+= ⎪⎝⎭

．或者AB =

（2）解析法：用韦达定理，弦长公式. 直线y kx b =+与圆2

2

2

()()x a y b r -+-= 相交两

点A,B. A B AB x =-=

例5.已知直线:1l y kx =+，圆C ：22

(1)(1)9x y -++=.

(1) 试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点；

(2) 当k 取何值时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，并求出最短弦的长。

练习：已知圆C ：2

2

2430x y x y +++-=和直线l ：10x y ++=，则圆C 到直线l 的距离

的点共有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

例6.已知直线:2l y kx =+和曲线C:y =有两个交点,求实数k 的取值范围.

练习：圆82

2

=+y x 内有一点)2,1(-P ，AB 为经过点P 且倾斜角为α的弦。 （1） 当4

3π

α=时，求弦AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时求直线AB 的方程。

练习：已知直线mx y =与圆021682

2

=+-++y x y x 交于Q P ,两点，O 为坐标原点，求

⋅的值。