超级全能生26省联考数学理答案

3 3 1 1 0 BD 0, 所以BO ， ， ， ， ， 3 2 2
设平面 DOB 的法向量为 n x, y, z 则
3 ａ ＋ｂ ａ ＋ｂ ａ －ｃ ａ －ｃ x y 解：（ ）因为 ，所以 ， ２ 分 ＝0 ＝ Ａ ＋ Ｂ ） ｓｉｎＡ － ｓｉｎＢ ｃ （ ｓｉｎ ａ －ｂ 3 得 令 ， y 1 得 x 3 , z 3 所以 ａ － ｂ 0＝ ａｃ － ｃ ， ３分 3 1 BD n y z 0 ａｃ １ ｂ －2 ＝ 2 ＝ ， ５ 分 所以 ｃｏｓＢ ＝ ａ ＋２ｃａｃ ２ ａｃ ２ 3 所以 n ０ „„„„„„„„9 分 ＜ Ｂ3,1,3 ； Ｂ ＝ π ＜ π，所以 又因为 ６ 分 ３ ６ 的法向量为 ３ m 1,0,0 ， 由题可知，平面 PBD „„„„„„„„10 分 ８ 分 槡 （ ，可得 ｓｉｎＡ ＝ 槡 ， Ⅱ）由 ｂ ＝ ３ ，ｃｏｓＡ ＝ ３ ３ ｂ nm ａ 39 由 可得 ａ ＝２， 3 ９分 ， cos n,＝ m ｓｉｎ Ｂ ｓｉｎＡ 13 13 nm ３ ＋３ 槡 ２ 而 ｓｉｎＣ ＝ ｓｉｎ（ Ａ ＋ Ｂ） ＝ ｓｉｎＡｃｏｓＢ ＋ ｃｏｓＡｓｉｎＢ ＝ 槡 １１ 分 ６ 39 又二面角 P-BD-O 为钝角，即所求二面角 P-BD-O 的余弦值为 .„„„12 分 １ ３ ＋３ 槡 ２ 槡 １２ 分 所以△ＡＢＣ 的面积 Ｓ ＝ ２ ａｂｓｉｎＣ ＝ ２ 13 １９ ． 解：（ Ⅰ）设第 ｎ 年的受捐贫困生的人数为 ａ ，捐资总额为 1 1 ｂ． 20 解： （ I ）由已知 ，得 C : x y a 0 F 0， ， „„„„„„„„1 分 ２ 分 则 ａ ＝ ８０ ＋ （ ｎ － １） ａ，ｂ ＝ ５０ ＋ （aｎ － １） × １０ ＝ ４０ ＋ １０ ｎ． 4a ∴ 当 ａ ＝ １０ 时，ａ ＝ １０ ｎ ＋ ７０ ， 5 1 4 1 ４０ ＋ １０ ｎ ，得 MN MN 由ｂMN ，即 MN ， ＞ ０ ． ８ ， FN ∴ ＝ FN 4 4a 5 ７０ a ａ １０ ｎ ＋ 1 1 ｎ2, ＞4 ８a ． ，所以 解得： 4a a 0 ，即 a ， „„„„„„„„3 分 ５ 分 点N 2 a 即从第 ９ 年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 ０ ． ８ 万元． ６ 分 ｂ ｂ „„„„„„„„4 分 所以抛物线 （ ＞ ， : x 2y . Ⅱ）由题意： C 的方程 ａ ａ （II ）设 与 CD 相交于点 ４０ ＋ １０ ｎ H，CD 的中点为 Q， （ｎ ＋ １） ４０ ＋ １０AB ＞ 即 ， ８ 分 ８０ ＋ ｎａ ８０ ＋ （ ｎ － １ ） ａ 由题意可知直线 m 斜率存在且不为 0，设 Ax , y , Bx , y ， 整理得 （５ ＋ ｎ）［８０ ＋ （ ｎ － １） ａ］ － （４ ＋ ｎ）（８０ ＋ ｎａ） ＞ ０， 1 － ３２０ － ４ ｎａ － ８０ ｎ － ｎ ａ ＞ ０ ， ４００ ＋ ５ ｎａ － ５ ａ ＋ ８０ ｎ ＋ ｎ ａ － ｎａ 即 m 方程为： y kx 与抛物线 设直线 x 2 y 联立得 x 2kx 1 0 ， 2 化简得 ８０ － ５ａ ＞ ０， 解得 ， １１ 分 ＜x１６ 2k , x x 1 ，得 即x ａ ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过 １５ 人． １２ 分 ｘ ＋ （ ２ － ａ） ｘ ＋ １ 1 （ ｘ） ＝ １ － ａ 解：（ Ⅰ） ２１ ＝ ， k ， AH 1 k . „„„6 分 ２ 分 （ ｘ 1＋ １k 2kｘ ＋ 4１ 21 , k ｆ′ H． k ， AB ｘ （ｘ ） ） 2 ∵ 函数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ）在（ １ ，２ ）上只有一个极值点， 1 3 2 ９ 所以 ＝ x k２ ）上有一个根， ，与 x x （全卷共 ＜ 2 3 l ｆ′： 方程 （y ）· ，解得 ∴ ｘ） ０ 在（ １， ∵2 ｘy ＞联立得 ０ ，∴ ｆ′（ １ ｆ′（x ２） ０k ４ ＜0 ａ， ＜ ． ５ 分 数学答案（理科） 3 5 页） ２ 2 k k 2 ｇ（ ｘ ） － ｇ（ ｘ ） ｘ ） － ｇ（ ｘ ） , 2k 3 ，得 设 ，即 C ，D x ,＜ y－ xｇ,（y １ ∴ x x ＋k１ ＜k ０ ， （ ）∵ ， Ⅱ ｘ －ｘ ｘ －ｘ k ｇ（ ｘ ） ＋ ｘ － ［ ｇ（ ｘ ） ＋ ｘ ］ ∴ ＜ ０，
“超级全能生”26 省联考（乙卷）理科数学参考答案
一、选择题
题号 题号 1 1 C C 2 2 B B
答案
33 B B
44 CD
55 DD
66 DA
77 AA
88 AC
9 9 10 10 11 CC C D C
12 D
二、填空题
11.[3,+ ∞) 13. 3, ③ 12. a < b 13. 14.2 15.4 14. 4 16. 4 15. 5 5 4√
AE AO ， EP OF
„„„„„„„„4 分
所以 EO|| PF，EO AC，又 EO BO=O， 所以 AC 平面 BOE， 所以存在点 E 为 AP 的三等分点且 AE=2EP. （II）取 BC 的中点 F，连结 PF， 因为 PB=PC，所以 PF BC， 又平面 PBC 平面 ABC，所以 PF 平面 ABC， 又 ABC 为等边三角形， 所以 FA、FB、FP 两两垂直， 以 F 为空间直角原点，分别以 FA、FB、FC 所 在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系 F-xyz,如图所示
２
１
n
2
２
3
１
4
n +1
２
１
２பைடு நூலகம்
２
１
１
2 2 用第二种抽奖方式抽奖，获奖金额 100、150、200，则 （元）可能为 0、50、 即 an n+ n . „„„„„„„„ 6分 所以 an n n ， 3 3 1 1 1 1 2 2 2n C4 C C32 C4 C2 11 C 1a n 1 n) （ II ）由（ I ）得 ，所以 ， 3 4 n ( a n n n ， P ，P P 0 3n50 100 2 2 2 3 C 6 C 3 36 C
可得 E <E 3 ， 2n 3 Tn 所以 1 n . 2 3 所以该顾客选择第二种抽奖方式会更好. 18 19 （I）存在点 E 为 AP 的三等分点且 AE=2EP. . 证明： 因为 ABC 为等边三角形，O 为中心， 2 所以 BO AC， „„„„„2 分
9 9
9
„„„„„„„„9 分
-②得 0 50 100 150 200 ① 1 1 1 11 1 P 1 1 6 6 3 36 36 1 n 2 1 2n 3 n n 3 3 1 1 n 1 1 n 1 ， Tn 2 2 n n +1 2 3 3 11 1 31 3 1 3 311 1 3 700 ， „„„„„„„„10 分 即 E =0 +50 +100 +150 +200 = 3 6 6 3 36 36 9
以 F 为空间直角原点，分别以 FA、FB、FC 所 在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系 F-xyz,如图所示 因为等边 ABC 的边长为 2，PB=PC= 2 ,所以 PF=1,则 „„„„„„„„7 分
1 1 3 P 0， 0,1，C 0, 1,0 ，D 0, , ，O( ， 0，， 0) B 0， 1， 0 ， 2 2 3
数学答案（理科） 2
„„„„„„„„6 分
„„„„„„„„7 分
（全卷共 5 页）
因为等边 ABC 的边长为 2，PB=PC= 2 ,所以 PF=1,则
1 1 3 P 0， 0,1，C 0, 1,0 ，D 0, , ，O( ， 0，， 0) B 0， 1， 0 ，
ａ ＋ｂ ａ －ｃ ａ ＋ｂ ａ －ｃ 解：（ ，所以 ， ２ 分 ＝ ＝ Ⅰ）因为 ｓｉｎ Ａa ＋Ｂ Ａn － ｓｉｎ，① Ｂ ｃ ） n ｓｉｎ ａ －ｂ 17 解： （I）由 2 S （ 2 +2 所以 ａ － ｂ ＝ ａｃ － ｃ5， ３ 分 ａｃ 26 ＋ｃ １ ａa 当 时， ，＝ ” „„„„„„„„1 分 ５ 分 －ｂ n 1 “ 超级全能生 ＝ 省联考（乙卷）理科数学参考答案 ｃｏｓ Ｂ＝ 所以 ， ２ ａｃ3 ２ ａｃ ２ π n 1 2 n 1 +2 ，② S a 当 n2 一、选择题 ６分 ０时， ＜ Ｂ ＜2 Ｂ ＝ 又因为 ，所以 π ３ ①-②得 题号 1 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ６3 ３ （ Ⅱ）由 ｂ ＝ ３ ，ｃｏｓＡ ＝ 槡 ，可得 ｓｉｎＡ ＝ 槡 ， ８ 分 ３ B3 a ３D nD 答案 B 1 ,即 A C C C D分 3a a C 2n „„„„„„„„ 3 Cn a 1 ，A ｂ ａ ＝ 由ｓｉｎ 可得 ａ ＝ ２， ９ 分 二、填空题 Ａ ｓｉｎＢ a n 2 1 所以 ，又 a 1 ， ３ ＋ ３ ２ 槡 4 a ＝ｓｉｎ １１ 分 而 ｓｉｎ Ｃ （nＡ＋1Ｂ14.2 ） ＝3ｓｉｎＡｃｏｓＢ ＋15.4 ｃｏｓＡ3 ｓｉｎＢ ＝ 槡 16. 3, 13. 5 ６ 1 2３ ＋ ３ 槡 １ ２ 是以首项为 ，公比为 的等比数列， 所以数列 a n Ｓ １２ 分 所以△ＡＢＣ的面积 ＝ ａｂｓｉｎＣ ＝ 槡 三、解答题 ２ 3 3 ２ 2 ｎ 年的受捐贫困生的人数为 2 １９ ． 解：（ Ⅰ）设第 ａ ，捐资总额为 ｂ ． 所以 ， 即 „„„„„„„„6 分 a n a n n+ 17 解： （ I）由 2S a 2n. +2 ，① 则 ａ ＝ ８０ ＋ （ ｎ3－ １） ａ，ｂ ＝ ５０ ＋ （3ｎ － １） × １０ ＝ ４０ ＋ １０ｎ． ２分 2n ∴ 当 ａ ＝ １０ 时，ａ 5 ＝ １０ ｎ ＋ ７０ ， 2 （ II I）得 a n ，所以 n (a n) ， 当 „„„„„„„„1 分 ， n ）由（ 1 时， a 3 3 ｂ ４０ ＋ １０ ｎ 3 ＞ ０． ８， ∴ ＝ ａ １０ ｎ ＋ ７０ 1 n 2S 2 a3 1 2 n 1 +2 ，② 当 n 2 时， n T 所以 ｎ ＞ ８2 ． ５分 解得： ，① 3 3 3 3 即从第 ① -②得９ 年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 ０ ． ８ 万元． ６ 分 ｂ3 ｂ 1Ⅱ 1 n 3 a a 2 2n 2 1, „„„„„„„„ 39 分 3 a n a n 1 ， （ ）由题意： ＞ ， T 即 „„„„„„„„ 分 ａ ａ ，② 3 3 3 3 3 ４０ ＋ １０ ｎ ４０ ＋ １０ （ ｎ ＋ １ ） ＞ 即 a n 1８０ ＋ （ ｎ － １ ） ａ ，2 ８ 分 ８０ ＋ ｎａ 所以 ①-②得 ，又 a 1 ， a （ n 1８０ ＋3（ ｎ － １ ） ａ］ － （ ４3＋ ｎ）（ ８０ ＋ ｎａ） ＞ ０ ， 整理得 ５ ＋ ｎ）［ 1 1 1 ４００ ＋ ５ ｎａ － ５ ａ ＋ ８０ ｎ ＋ ｎ ａ － ｎａ － ３２０－ ４ ｎａ － ８０ ｎ － ｎ ａ ＞０ ， 即 1 2 2 1 2n 3 n n 3 3 1 所以数列 是以首项为 a 1 n 1 3，公比为 2 3 的等比数列， T 2 ， 化简得 ８０ ａ ＞０ ， －５ 3 3 3 3 3 1 1 3 3 解得 ａ ＜ １６， １１ 分 2 2 3 所以 a n ， 即 a n+ . „„„„„„„„6 分 ∴ 要使人均奖学金年年有增加，资助的大学生每年净增人数不超过 １５ 人． １２ 分 3 3 2 ａ １3 ｘ ＋ （ ２ － ａ） ｘ ＋ １ 2n 3I 2n 解：（ ｆ′ （ ｘ） ＝ ＝ ， ２１ ． ）由（ （ II ）得 ，所以 ， a － n（ n (a n) T Ⅰ） 1 . „„„„„„„„12 分 ２ 分 所以 ｘ ｘ（ ｘ ＋ １ ） ｘ ＋ １ ） 3 3 2 3 ∵ 函数 ｙ ＝ ｆ（ ｘ）在（ １ ，２ ）上只有一个极值点， n 1 2 3 T 2 ，① 所以 ９ 1 在（１3，２）上有一个根， ∴ 方程 ｆ′（ ｘ 3 ∵ ｘ ＞ ０ ，∴ ｆ′（ １ ）·ｆ′（ ２ ） ＜ ０ ，解得 ４ ＜ ａ ＜ ２ ． ５ 分 ）3＝ ０3 数学答案（理科） 1 （全卷共 5 页） ｇ（ ｘ ） － ｇ（ ｘ ） ｇ（ ｘ ） － ｇ（ ｘ ） ＋ １ ＜ ０， 1（ Ⅱ） ∵ 1 ｘ － 2ｘ 3 ＜ － １ ，∴n ｘ － ｘ T 2 ，② „„„„„„„„9 分 3 ｇ（ ｘ ） 3［ ｇ（ ｘ 3） ＋ｘ ］ 3 3 ＋ｘ － ∴ ＜ ０， ｘ －ｘ １６ ．
1
„„„„„„„„12 分 „„„„„„„„12 分 „„„„„„„„1 分
连结 AO 延长交 BC 于 F，连结 PF， F 为 BC 的中点，AO=2OF， 又 PB=PC，所以 PF BC， 又平面 PBC 平面 ABC， 所以 PF 平面 ABC，即 PF AC， 在边 AP 上取点 E，使 AE=2EP，即
n 1 2 3 1 Tn 2 C 1 2 n ，① 所以 2 31 C C2 1 33 2 3 3 3 ， . P 150 P 200 2 2 C9 6 C9 36 1 n 1 2 3 Tn 2 3 4 n +1 ，② 分布列为 2 所以的 3 3 3 3 3
２ ２ ２
三、解答题
n
n
2
２
1
２
２
2
n 1
n 1
n
n 1
n
n 1
n
1
n 1
n
ｎ
n
n
n
ｎ
nn
2
n
ｎ
ｎ
ｎ
1
ｎ
n
n
n
n
ｎ
2
n
n 1
2
n 1 3
n
n
n
n 1
ｎ ＋１
ｎ
2
ｎ ＋3 １
ｎ4
n
n +1
n 1
n
1
n 1
２
n
２
n
n
2
n
n +1
n 1
n 1
n
n
n
n
２
n
n n
n
２
n
２
n
n
2
3
n
２
１