弹塑性力学讲义本构关系

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Mohr-Coulomb屈服条件
考察一任意剪切面,该面上的剪应力为n,正应力为n,
• 推动剪切滑移的有效剪切力是n • 阻止剪切滑动力:内摩擦力(n) tan,粘结力C
Mohr条件:
n = (n) tan +C
随静水压力增长,减小,在 应力平面上不是直线,而是曲线,
Coulumb条件: 对于土和受静水压力不太大的岩石,可假定角为常数,为直线
s
J2
1 3
2s
2z
pz
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(z dz
)s
s 2h
ln
x2
2 s
3
s 0
/
3
s ln 2 2h
p z
s 0
3
1 h
2s
3 32z
(3z dz
)z
9 h
z 3
s 33
arctan
3z s
s 0
/
3
3 h
1
4
s
路径(2):当剪应力z=s/3,材料屈服,增加应力z,即dz 0,dz=0,
金属塑性(位错滑移) • 屈服只取决于偏应力,而与静水压力无关。 • 不存在塑性体积变形, • 拉伸和压缩的塑性特性几乎一致
岩土材料(岩土材料内部包含大量的微裂纹)
• 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。 • 只有在受压状态,由于微裂纹的扩展或闭合裂纹表面的相对滑动,
才可能产生类似于金属的塑性变形
•全量理论: 应力应变一一对应的确定关系,相当于非线性弹性(不考虑卸载) 求解简单
简单加载(比例加载)
•是指应力各分量之间成比例且单调增长,即
ij ti0j
sij tsi0j
(t>0,dt>0)
•在平面上,该加载路径是一条=const的射线,
e' 2
y
dipj
o
x
e13'
e' 1
deij=
1 2G
p z
s s /
2
1 h
3 22s
(
2 3
z
dz
)z
s 1 h
1 2
= ,
p z
s s /
2
1 h
3 22s
(2 z d z
)
z 3
3 h
s
1
1 2
塑性变形与加载路径有关
三种应力路径下的弹性应变都是
e z
z E
e z
z G
s 3G
全量理论
•增量理论: 一般来说,增量应力—应变关系(本构关系)是不可积的, 在某些加载情况下,增量理论可积分得到应力与应变之间的全量关系,
(nn
2
C
2
2
(nn
2
2
C
2
1
1
n= 2 (1 +3)+ 2(1 3)sin
n=
1 2
(1
3)cos
屈服条件用主应力表示
1 2
(1
3)
+1 2
(1 +
3)sin
Ccos
=
0
2 2
x
sin 6
y
C
源自文库
cos
0
sin
Cctan
当123时,Mohr-Coulomb屈服条件可写成
1 3 1 ft fC
sz=
2 z,sx= sy = 3
1 3
z,sz=
sz=z,
J2
1 3
2z
2z
2s 3
f ij
dij
2
3 J2
(
2 3
z
d
z
2zdz )
由于z、dz同号,、dz同号,因此,
f ij
dij
0
(3)使用流动法则求塑性变形
d
p z
1 h
f ij
dij
f
z
1 h
2
3 J2
(2 3
z d z
2z dz
• 拉伸和压缩的力学性能差别很大
2
f't
f'c
1
f't
fc'
• 产生应变软化现象
应变软化段
• 产生塑性体积膨胀变形
0
v
• 与静水压力有关
3
3
1
2
围 压 增 加
3
• 具有弹塑性耦合 弹性模量降低
岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同 • Tresca和Mises屈服条件及其相关联的流动法则不再适当; • 屈服面和流动法则等概念可以借用,需进行适当的修正
z
M
T
z
s/3
(2) (3)
(1)
s
解:(1)求塑性模量: 在单轴应力状态下,弹性应变是 e 。而塑性应变是
E p e s
E
塑性模量应是 (2)加载判别:
h
d d p
E
当应力状态达到初始屈服后,下一步应力增量是否产生塑性变形,取决
于 (f/ij) dij是否大于零。 该题各路径下的应力状态偏量均可表示为:
eij
3 2
sij
单一曲线假定 当材料几乎为不可压缩时,按照不同应力组合所得出的 ~ 曲线与
单轴拉伸时的 ~ 曲线十分相近。
简单加载定理
如何保证物体的每一个微小单元都处在简单(比例)加载情况,Ilusion给 出了一组充分条件。 • 小变形; • 材料不可压缩; • 外荷载按比例单调增长,如有位移边界条件,只能是零位移边界条件; • 材料 ~ 的曲线具有幂指数硬化形式 An
dsij+dsij
dkk=
(1
2v E
)dkk
t
0
eij dt
1 2G
t
0
sij dt
si0j
t
0
td
1 t
t
0
td
eij=
( 1 ) 2G
sij
kk=
(1
2v E
)
kk
令 H=1/2G + 得:
eijeij=H2sijsij 得:
eij=Hsij。 H eijeij 3
sij sij 2
z=s/3
J2
1 3
2 z
2s
p z
s 0
31 h
2z
3 2s
(1 3
z
d
z
)
z
1 h
z
s
arctan z s
s 0
s h
1
4
p z
s 0
3
1 h
2s
3
2s
( z d z
)
s 3
s ln 2 3h
x2
2s
s
0
3s ln 2 2h
路径(3):在加载中z = 3z,z=s/2材料屈服,且dz = 3dz,
ft
2c cos 1 sin
单轴拉伸屈服应力
fc
2c cos 1 sin
单轴压缩屈服应力
m fc 1 sin ft 1 sin
m1 3 fc
)
2
3 J2
2 3
z
1 h
1 J2
(1 3
z d z
z dz
)z
1 2
d
p z
1 h
f ij
dij
f z
1 h
2
3 J2
(
2 3
z
d
z
2zdz ) 2
3 J2
z
1 h
1 2J2
( z d z
3z dz
)z
(4)按上述路径进行积分,塑性变形
=
路= 径(1):z=s,材料屈服,再增加剪应力dz0,dz=0,
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