高代选讲第七章习题篇

高代选讲第七章
一﹑填空题
1．设σ是线性空间3R 的线性变换，
()()321323213212,,2,,x x x x x x x x x x x -++-+=σ 则)0(1-σ的维数是_____。

2．设σ是线性空间3R 的线性变换，()()12312323123,,,,2x x x x x x x x x x x σ=+-++- 则)(3R σ的维数是________。

3．设σ是数域P 上线性空间V 的线性变换，λ是σ的特征根，V ∈ξ且满足λξξσ=)(，则ξ_____定是σ的属于特征值λ的特征向量，
（填一，或 不一）。

4．设A 是一个n 阶复矩阵，那么A 可以对角化的充分条件是_________。

5．已知矩阵A 与矩阵100230857B ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
相似, 则矩阵A 的特征多项式为_________。

6．设A 是线性空间3P 中的一个线性变换, 321,,εεε是3P 的一组基, 且已知()11,1,0A ε=，
()20,1,1A ε=，()30,0,0A ε=，则A 的值域()3A P 的维数为( ), A 的核()10A -的维数为
_____。

7．设A 是线性空间3P 中的一个线性变换, ),,0,0,1(1=ε ),0,1,0(2=ε,),1,0,0(3=ε是3P 的一组基, 且1(5,7,9)A ε=, 2(3,0,1)A ε=, 3(0,1,1)A ε=, 那么A 在基321,,εεε下的矩阵为
_________。

8．设A 是数域P 上线性空间V 的线性变换, W 是 V 的子空间, 如果_________,就称W 是A 的不变子空间。

9．设A 是线性空间3P 中的一个线性变换, 321,,εεε是3P 的一组基, 且已知()11,1,0A ε=，
()20,1,1A ε=，()30,0,0A ε=，则A 的值域()3A P 的一个基为 ( ) , A 的核
()10A -的一个基为_________。

10．设βα,分别是线性变换A 的属于不同特征值21,λλ的特征向量，则βα+一定
_________A 的特征向量（填是，或 不是）。

11．设,W V 同是数域P 上的线性空间，则,W V 同构的充分必要条件是_________。

12．设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换, A 的矩阵可以在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件为_____。

二、选择题
1．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（ ）：
（1）在][x P 中，)1()(+=x f x Af ； （2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +-= ；
（3）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数α，定义αασ=)(； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（ ）：
（1）把复数域看成复数域上的向量空间，对任意复数α，定义αασ=)(； （2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +-= ； （3）在][x P 中，)()(0x f x Af =，其中P x ∈0是一固定的数； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．下面所定义的变换中，线性变换的个数是（ ）：
（1）在][x P 中，)()(0x f x Af =，其中P x ∈0是一固定的数； （2）在3P 中，),,2(),,(13221321x x x x x x x x A +-= ； （3）在][x P 中，)1()(+=x f x Af ； A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．下列四个命题中正确命题的个数是（ ）
命题1 线性空间V 中的线性变换σ在V 的给定基下的矩阵是唯一的。

命题2 线性空间V 中的线性变换σ在V 的给定基下的矩阵是可逆的。

命题3 同一个线性变换在不同基下的矩阵可能相同。

命题4 两个n 阶矩阵相似当且仅当它们的秩相等。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5．设σ是线性空间V 中的线性变换，21W W ，是V 的σ的不变子空间，下列V 的四个子集中有（ ）个是σ的不变子空间。

（1）21W W +； （2）21W W ； （3）)()(21W W σσ+；（4）21W W 。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 6．下列四个命题中正确的个数是（ ）
命题1 一个特征向量可能属于两个不同的特征植。

命题2 一个特征向量只能属于一个特征植。

命题3 两个特征向量的线性组合仍是特征向量。

命题4 属于同一个特征值的两个不同特征向量的非零线性组合一定还是特征向量。

A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 7．设σ，τ是向量空间][x R 中如下定义的两个线性变换：).()(),()(x xf x f x f x f ='=τσ 下列两个等式εετσσττσστ(,)2(;
)1(+==为恒等变换）中正确的个数是（ ）。

A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
8．设σ是数域P 上n 维向量空间Ｖ中的一个线性变换，n ααα,,21 是V 的一个基，下列说法正确的是（ ）。

A ．))(,),(),((21n L V ασασασσ =
B ．))(,),(),((21n L ασασασ 的维数一定等于n
C ．)(,),(),(21n ασασασ 一定线性无关
D ．)(,),(),(21n ασασασ 一定线性相关
9．设σ是n 维线性空间V 中的线性变换，下列命题中错误的是（ ）。

A ．若{}0)0(1=-σ 则 维()V n σ=； B ．若{}0)0(1≠-σ 则 维()V n σ<； C ．V V =+-)()0(1σσ；
D ．若维()V n σ< 则 {}001
≠-）（σ。

10．设σ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，且V s ∈ααα,,21 ，下列说法正确的是（ ）。

A ．s ααα,,21 线性无关 则)(,),(),(21s ασασασ 一定线性无关；
B ．s ααα,,21 线性无关，则)(,),(),(21s ασασασ 一定线性相关；
C ．s ααα,,21 线性相关，则)(,),(),(21s ασασασ 一定线性相关；
D ．s ααα,,21 线性相关，则)(,),(),(21s ασασασ 一定线性无关。

三、基础题
1、设142034043A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，求
100.A 2、求方阵4322111529B A A A A E =-+-+的逆矩阵，其中1331A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭
.
3、已知n 阶方阵的特征值是12,,,,n λλλ ，求（1）T
A 的特征值；（2）A α的特征值；（3）2
A
的特征值；（4）k
A 的特征值；（5）A 可逆时，1
A -的特征值；（6）A 可逆时，A *
的特征值；
（7）25A A E +-的特征值；（8）设1
011()m m m m f x a x a x a x a --=++++ ，求()f A 的特征值。

4、设有4阶方阵A 满足条件350E A +=，2AA E '=，0A <，求A *
的一个特征值。

5、设A 是n n ⨯方阵，若2A E =（对合矩阵），证明A 的特征值只有1或-1。

6、假设A 是幂等矩阵，即2
A A =，试证A 的特征值只有1或0。

7、已知三阶矩阵A 与三维列向量x 使得向量组2
,,x Ax A x 线性无关，且满足3232A x Ax A x =-，
（1）记2[]P x
Ax
A x =，求3阶矩阵
B ，使1A PBP -=；（2）计算行列式A E +，其中E
为3阶单位矩阵。

8、已知22R ⨯的线性变换22
(),.X MXN X R σ⨯=∀∈1011,1111M N -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，求σ的特征值与
特征向量。

9、设12,,,s λλλ 是线性变换A 的s 个不同的特征值，12,,,s ααα 是分别属于12,,,s λλλ 的特征向量。

证明：1122s s k k k ααα+++ 是A 的特征向量的充分必要条件是数12,,,s k k k 中有且仅有一个不为零。

四、提高题
1、设200121101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
，设k 为正整数，求k
A .
2、设110001010A ⎛⎫ ⎪= ⎪
⎪-⎝⎭。

（1）证明：22(3)n n A A A E n -=-++≥（2）计算：102103,.A A
3、已知下列两矩阵相似20022311A x -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12B y -⎛⎫ ⎪
=
⎪ ⎪⎝
⎭
（1）求,x y 的值；
（2）求矩阵P ，使1
P AP B -=。

4、设A 为n 阶方阵，且满足2320A A E -+=，求一可逆矩阵T ，使1
T AT -为对角形.
5、设A 是数域P 上n 阶可逆矩阵，证明以下条件等价：（1）A 与对角阵相似；（2）1
A -与对
角阵相似；（3）A *与对角阵相似，（A *
为A 的伴随矩阵）.
6、设32
122
2361A -⎛⎫ ⎪
=-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
，求A 的特征值和特征向量，并说明A 是否与对角矩阵相似。

若与对角矩阵相似，试求可逆矩阵T ，使1
T AT -为对角形.
7、在3
P 中定义线性变换σ为12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=-+
（1）求σ在基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===下的矩阵；
（2）设(1,0,2)α=-求()σα在基123(2,0,1),(0,1,1),(1,0,2)ααα==-=-下的坐标； （3）σ是否可逆，若可逆求1
σ-.
8、设σ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，证明σ可逆的充要条件是σ无零特征值。

9、设σ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，若有,V ξ∈使1
()0k σξ-≠，但()0k σξ=，证
明（1）1
,(),,()k ξσξσ
ξ- 线性无关；（2）若dim(),V n =，且ξ满足1()0n σξ-≠，()0n
σξ=，
求V 的一组基，使σ在这组基下的矩阵是0
0001
0000
1000010⎛⎫
⎪
⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭。

10、设1234,,,εεεε是4维线性空间V 的一组基，线性变换σ在这组基下的矩阵为
10
211213125522
12⎛⎫
⎪- ⎪ ⎪
⎪--⎝⎭
（1）求σ在基11242234334442,3,,2αεεεαεεεαεεαε=-+=--=+=下的矩阵； （2）求σ的核与值域；
（3）在σ的核中任选一组基，把它扩充成V 的一组基，并求σ在这组基下的矩阵； （4）在σ的值域中选一组基，把它扩充成V 的一组基，并求σ在这组基下的矩阵.
11、P 为数域，设33101010111A P ⨯-⎛⎫ ⎪=-∈ ⎪
⎪--⎝⎭
，对任意的33X P ⨯∈，定义线性变换σ：()X AX σ=，求 Im ,,Ker σσ并分别给出它们的一组基和维数。

12、设V 是数域P 上的n 向量空间，σ是V 的线性变换，(,a a P V σεε≠∀∈为的恒等变换），
2()4g x x =-而且()0g σ=。

证明：（1）2和2-都是σ的特征值；（2）22V V V -=⊕。

13、设σ是数域P 上n 维线性空间V 的线性变换，2σσ=，证明：（1）{}1
(0)()V σξσξξ-=-∈；（2）1(0)()V V σσ-=⊕；（3）若τ是V 的一个线性变换，则1
(0)σ-和()V σ都在τ之下不变的
充要条件是τσστ=.。