高二数学基本不等式
高二数学基本不等式的实际应用
?“你要买水果，不要在外头买，贵参参地给人唬不知，去给巷子底那个查甫人买，伊爱饮烧酒，不
时一个面红光光，臭酒现，若是到十二点，日头一下晒，伊就人晕头壳痛，伊就轻彩卖，外头的红肉木瓜一斤三十，伊喊三斤五十。” 持家的学位在此吧！要不然，苦日子怎么捱得过？如果战争、灾荒、病乱的年岁让我碰上了，为着存活，也许还捏得更紧更狠？
? “莫
彩钱！哼（不屑的声调），买那个花干啥？看没三天就谢去，你拢免呷饭静静坐住看，就会饱啊？你买那把花的钱，我买一甲地的菠宁菜还有剩！” “看‘水’呀，瘄内插一盆花‘水’呀！” “‘水’去壁！人说‘猪仔牵去唐山还是猪’，你这已经讲不变了！”
?
阿嬷的老磨功，我是及不上的。她能够把市场的每一条曲巷壁缝都探摸得如视掌纹，找出卖价最便宜的摊贩，使自己永远不在钱字上吃闷亏，这些技巧很顶有心理学修养的，她说：
一粒吃又揣了一粒在口袋，再将它放回原处，装作啥事都不知晓。过不了几日，便会听到她的抱怨：“半包软糖仔那是你们阿姑买给我的，放在棉被堆里也给你们偷拿去呷。看看，剩三粒，比日本仔还野！夭鬼囡仔，我藏到无路啰！－－喏，敏嫃，剩这粒给你。”
?我
的确是特权了，可以分享到阿嬷的卷仔饼，及她那个年代的甜处。于是，公事包里常常有些奇怪的东西：五条卷仔饼、一把纽仔饼、六粒龙眼球、两块爆米香、一块红龟仔果......我便拿着去普渡众生，遇到谁就给谁。回到家，阿嬷还要问食后心得：“好呷莫？”我说：“马马虎虎啦，
气息。扑蝶事件将成为他生命中的奇异点，此後因不断被引述、传诵而有了亮度。浮生甚暖，一陌生男孩抓到奇异光点时，你正好在现场。 ? 中场休息。孩子奔来，肥鸭们赶忙递水、擦汗、喂面包、抹驱蚊膏。你打开波兰女诗人辛波丝卡诗集，阳光捆著你的眼眸放在〈越南〉那页： ?
妇人，你叫什么名字？── 我不知道。 ? 你生於何时，来自何处？──我不知道。 ? 你为什么在地上挖洞？──我不知道。 ? 你在这里多久？」──我不知道。 ? 你看著树荫下十多个家庭的寻常早晨，相信太平盛世里所有的缺口都有办法弥补，即使「挖洞」这讨人厌的事，也能找
高二数学人教b版选修4-5课件：第一章_1.2_基本不等式
7．函数 y＝x4x＋2 9(x≠0)有最大值________，此时 x＝________.
解析：∵x≠0，∴x2>0.
∴y＝x4x＋2 9＝x2＋1 x92≤2
1x2·x92＝16，
当且仅当 x2＝x92，即 x4＝9，x＝± 3时取等号，
即当 x＝± 3时，ymax＝16.
答案：16 ± 3
围是
()
A．(－∞，lg 6]
B．(－∞，3lg 2]
C．[lg 6，＋∞)
D．[3lg 2，＋∞)
解析：∵lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)， 而 xyz≤x＋3y＋z3，∴lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2 (当且仅当 x＝y＝z＝2 时，等号成立)． 答案：B
4．设 a，b，c∈(0，＋∞)且 a＋b＋c＝1，令 x＝1a－11b－11c－1，
则 x 的取值范围为
()
A．0，18 C．[1,8)
1－a a·1－b b·1－c c＝b＋c·ca＋bca·a＋b
≥2
bc·2 ca·2 abc
ab＝8，
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0.
利用基本不等式证明不等式
[例 1] 已知 a，b，c 为正实数，且 abc＝1 求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8. [思路点拨] 本题考查基本不等式在证明不等式中的应 用，解答本题需要分析不等式的特点，先对 a＋b，b＋c，c＋ a 分别使用基本不等式，再把它们相乘． [精解详析] ∵a，b，c 为正实数， ∴a＋b≥2 ab＞0，
当且仅当 a＝b＝c 时取等号，∴x≥8.
答案：D
二、填空题
5．已知 x，y∈R＋，且满足x3＋4y＝1，则 xy 的最大值为_______． 解析：因为 x＞0，y＞0，
高中数学第三章不等式3.4基本不等式第一课时基本不等式aa高二数学
2
2
又 x>0,y>0,所以 x<y.
答案(dá àn):y>x
2021/12/9
第二十五页，共二十八页。
5.设 a,b,c 都是正数,试证明不等式: b c + c a + a b ≥6.
解:因为 0<a<1,0<b<1,a≠b,所以 a+b>2 ab ,a2+b2>2ab;所以四个数中最大的应 从 a+b,a2+b2 中选择.而 a2+b2-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),又因为 0<a<1,0<b<1,所以 a(a-1)<0,b(b-1)<0,所以 a2+b2-(a+b)<0,即 a2+b2<a+b,所以 a+b 最大.
R=lg a b ,则 P,Q,R 的大小关系是
.
2
解析:因为 a>b>1,所以 lg a>lg b>0,所以 Q= 1 (lg a+lg b)> lg a lgb =P; 2
Q= 1 (lg a+lg b)=lg a +lg b =lg ab <lg a b =R.所以 P<Q<R.
2
2
答案(dá àn):P<Q<R
2021/12/9
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题型三 利用基本(jīběn)不等式证明不等式
[例 3]已知 a,b,c>0,求证: a2 + b2 + c2 ≥a+b+c. b ca
规范解答:因为 a,b,c, a2 , b2 , c2 均大于 0,………………………………………2 分 b ca
高二数学不等式知识点
高二数学不等式知识点一、不等式的定义和性质不等式是用不等号连接的数学表达式，包括等于和不等于两种情况。
不等式的解是使得不等式成立的数的集合。
1. 不等式的基本性质- 对于任意实数a，b和c，有以下性质：- 自反性：a ≥ a，a ≤ a；- 对称性：如果a ≥ b，则b ≤ a，如果a > b，则b < a；- 传递性：如果a ≥ b，b ≥ c，则a ≥ c；- 加法性：如果a ≥ b，c ≥ d，则a + c ≥ b + d；- 乘法性：如果a ≥ b，c ≥ 0，则ac ≥ bc；如果c ≤ 0，则ac ≤ bc。
2. 不等式的解集表示法- 图形表示法：将不等式的解集表示在数轴上的一段区间；- 区间表示法：使用不等式的解表示出来的数的区间，如[a, b]表示包括a和b的闭区间；- 集合表示法：使用集合进行表示，如{x | x > 0}表示x大于0的数。
二、一元一次不等式一元一次不等式是指只含有一个未知量的线性不等式。
1. 不等式的解集表示- 当不等式是大于等于或小于等于形式时，解集可用区间表示；- 当不等式是大于或小于形式时，解集可用集合或图形表示。
2. 解一元一次不等式的基本步骤a) 将不等式化为标准形式，即将不等式移项并合并同类项；b) 判断不等式的方向，根据不等式的符号确定区间；c) 画出解集的图形表示或用集合表示出来。
三、一元二次不等式一元二次不等式是指含有一个未知量的二次式与0之间的关系。
1. 不等式的解集表示- 当不等式是大于等于或小于等于形式时，解集可用区间表示；- 当不等式是大于或小于形式时，解集可用集合或图形表示。
2. 解一元二次不等式的基本步骤a) 将不等式化为标准形式，即将不等式移项并合并同类项；b) 判断不等式的方向，根据二次项系数的正负情况确定区间；c) 画出解集的图形表示或用集合表示出来。
四、绝对值不等式绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
高二数学基本不等式知识点
高二数学基本不等式知识点一、不等式的基本性质在学习不等式之前，我们先来了解一下不等式的基本性质。
不等式具有以下性质：1. 若不等式两边同时加（减）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
2. 若不等式两边同时乘（除）一个相同的正（负）数，不等式的不等关系不变。
但是需注意，当乘（除）以一个负数时，不等号方向需要颠倒。
3. 若不等式两边交换位置，不等号方向需要颠倒。
二、基本不等式1. 两个正数的不等式：若a > 0，b > 0，则a > b等价于a² > b²。
2. 两个负数的不等式：若a < 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
3. 正负数的不等式：若a > 0，b < 0，则a > b等价于a² < b²。
4. 平方不等式：若x > 0，y > 0，则x < y等价于√x < √y。
同理，对于x < 0，y < 0的情况，不等号方向需要颠倒。
5. 两个正数与一个负数的不等式：若a > 0，b > 0，c < 0，则a > b等价于 -a < -b，a * c > b * c。
三、不等式的解集表示法当我们解不等式时，需要将解表示出来。
不等式的解集表示法有以下几种形式：1. 区间表示法：用数轴上的区间表示解集。
例：对于不等式x > 3，解集可以用开区间(3, +∞)表示。
2. 图形表示法：我们可以通过图形的方式表示解集。
例：对于不等式x ≤ -2，解集可以用沿x轴方向的线段表示。
3. 集合表示法：用集合的形式表示解集。
例：对于不等式2 < x ≤ 5，解集可以用集合表示为{x | 2 < x ≤ 5}。
四、不等式的应用不等式是数学中常见的工具，在现实生活中也有广泛的应用。
高二数学基本不等式
则有 x y 2 xy ( x, y 0)
不等式2：
ab ab (a, b 0, 当且仅当a b时，等号成立) 2
A 基本不等式
基本不等式
ab ab 2
两正数 几何平均数 不大于 算术平均数
A 基本不等式
例1.（1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。 最短的篱笆是多少？
解题反思 注意 正：正数 定：定值
等：等号成立条件
巩固练习
1. P100 练习1，2
2. 已知a 0, b 0且2a b 1 ，求a b的最大值。
A 基本不等式
归纳小结 1. 两个不等式
2. 运用不等式注意要点：正、定、等 3. 数学思想：数形结合，转化与化归，函数思想 课堂作业
A 基本不等式
§3.4 基本不等式（第1课时）
安徽省宿州市第二中学 陈勇
ICM2002会标
D
D
a
a 2 b2
E b F C A
Hale Waihona Puke a E(FGH) b CH
A
G
B
B
不等式1： 一般地，对于任意实数a、b，我们有
a b 2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立。
A 基本不等式
不等式1：a2 b2 2ab(当且仅当a b时，等号成立 )
解：（1）设矩形的长为xm，宽为ym，则2 x y 36, 即x y 18, 矩形菜园面积为x y m .
2
当且仅当x y 9m时, 矩形面积最大，面积为81m2 .
x y 由 xy 9, 知xy 81 2
高二数学基本不等式试题答案及解析
高二数学基本不等式试题答案及解析1.已知且，则的最大值为 .【答案】【解析】已知且，,因此，.【考点】基本不等式的应用.2.设为正实数，满足，则的最大值为．【答案】【解析】由,原式【考点】基本不等式3.若实数满足，则的最大值___________；【答案】【解析】因为，所以【考点】基本不等式的应用4.若a，b，cÎR+，且a+b+c=1，求的最大值．【答案】【解析】解：∵()2=a+b+c+2() 3分≤1+2()=1+2(a+b+c)=3． 6分∴，当且仅当a=b=c=时取“=”号． 8分【考点】不等式的求解最值点评：主要是考查了运用均值不等式来求解最值，属于基础题5.交通管理部门为了优化某路段的交通状况，经过对该路段的长期观测发现：在交通繁忙的时段内，该路段内汽车的车流量（千辆/时）与汽车的平均速度（千米/时）之间的函数关系为①求在该路段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到千辆/时）②若要求在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应限定在什么范围内？【答案】①时，（千辆/时）②【解析】解：①依题意，得=当且仅当，即时，上式等号成立，所以（千辆/时）②由条件得，整理，得即，解得答：当千米/时时，车流量最大，最大车流量约为千辆/时，如果要求在在该时段内车流量超过千辆/时，则汽车的平均速度应大于千米/时且小于千米/时。
【考点】基本不等式；解一元二次不等式点评：求式子的最值，方法可以结合二次函数、函数的导数、基本不等式和三角函数等。
本题就是结合基本不等式。
6.设、为正数，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当且仅当即时等号成立，所以最小值为9【考点】均值不等式点评：利用均值不等式求最值时要注意其成立的条件：都是正数，当和为定值时，乘积取最值，当乘积为定值时，和取最值，最后验证等号成立的条件是否满足7.设求证：【答案】可以运用多种方法。
【解析】证明[法一]：2分10分当且仅当，取“=”号。
高二数学必修5第三章《基本不等式基本不等式及其变形公式的应用(第三课时)》新授课详细教案
第三章 不等式3.4基本不等式2a bab +≤（第三课时）【创设情景 引入新知】前一节课我们学习了利用基本不等式解一些简单的实际应用问题，求一些简单的最值问题，在应用的过程中，我们对基本不等式2ba ab +≤的结构特征已是充分认识，并能够灵活把握.基本不等式不仅应用广泛，而且由基本不等式还可以推导出许多变形公式，为下一步的学习好应用提供了更多的思路和方法，那么你知道基本不等式有哪些变通形式？怎么灵活应用呢？另外，有一些代数式的积或和都不是定值，应该怎么求最值呢？对一些不等式我们能否利用基本不等式进行证明呢？本节课，我们将对基本不等式展开一些在求有关函数值域、最值的应用，更重要的是对基本不等式展开一些实际应用.【探索问题 形成概念】基本不等式的变通公式： 变式1：将基本不等式2a bab +≥两边平方可得22()a b ab +≥； 变式2：在不等式222a bab +≥两边同加上22a b +，再除以4，可得，22222()a b a b ++≥； 变式3：将不等式2(0,0)a b ab a b +≥>>两边同乘以ab ，可得2abab a b≥+，再让我再想想吧？将2ab a b+的分子、分母同除ab ，得211ab a b≥+.综合上述几种变式得出，2222211a b a b ab a b++≥≥≥+.（一）利用基本不等式求积或和都不是定值的函数的最值问题利用基本不等式求最值时，如果无定值，要先配、凑出定值，再利用基本不等式求解. 【例题】（1）已知3x <，求43()f x x x =+-的最大值；（2）已知01x << ，求 21x x -的最大值.【思路】（1）用基本不等式求最值时,构造积为定值，各项必须为正数,若为负数,则添负号变正.（2）构造和为定值，利用基本不等式求最值. 【解答】（1）330,.x x <∴-<4433334433233331()()()()f x x x x x x x x x ∴=+=+-+--⎡⎤=-+-+≤-⨯-+⎢⎥--⎣⎦=-当且仅当433()x x =--，即x ＝1时取等号．()f x ∴的最大值为－1.（2）2222201111122,()x x x x xx x <<+-∴-=-≤=当且仅当221xx =-，即22x =时取等号． ()f x ∴的最大值为12.【反思】对于某些问题,从形式上看不具备应用基本不等式的条件,可设法变形拼凑出应用基本不等式的条件,然后用基本不等式求解.（二）形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值思考两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？不一定．应用基本不等式求最值时还要求等号能取到． 【例题】求函数2232x y x +=+的最小值.【思路】由于分子变量的次幂是分母变量次幂的2倍，因此可化为1y t t=+型函数求解. 【错误解法】22223122222min,.x y x x x y +==++≥++∴=但是22x +与212x +不可能相等，即“＝”取不到，因此最小值不是2.【正确解法】222231222x y x x x +==++++，令22t x =+，则2t ≥，所以原式为12()y t t t=+≥.而函数1y t t=+在01(,)t ∈上为减函数，在1(,)t ∈+∞上为增函数，2t ≥，则当2t =时，y 取最小值，且132222min y =+=，此时0x =，故当0x =时，y 取最小值322.【反思】当形如0()by at t t=+>型函数无法使用基本不等式求最值时，可用函数的单调性求解，而函数0()b y at t t =+>在0,b a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，在,b a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭上为增函数.（三）利用基本不等式证明不等式证明不等式是均值不等式的一个基本应用,注意分析不等式的左右两边的结构特征,通过拆(添)项创设一个应用均值不等式的条件.在解决本类问题时注意以下几点: （1）均值不等式成立的前提条件;（2）通过加减项的方法配凑成算术平均数、几何平均数的形式; （3）注意“1”的代换;（4）灵活变换基本不等式的形式并注意其变形式的运用.【例题】已知,,a b c 为不全相等的正实数．求证222a b cab bc ac ++>++.【思路】先构造基本不等式的条件，再运用基本不等式证明，不要忘记判断等号成立的条件. 【证明】22222222200022222,,,,,,()(),a b c a b ab b c bc a c ac a b c ab bc ac >>>∴+≥+≥+≥∴++≥++ 即222,a b cab bc ac ++≥++又,,a b c 为不全等的正实数，故等号不成立． ∴222a b cab bc ac ++>++【反思】对要证明的不等式作适当变形，变出基本不等式的形式，然后利用基本不等式进行证明．如果本例条件不变，求证a b c ab bc ac ++>++.则可以类似的证明000,,,a b c >>>222,,,a b ab b c bc a c ac ∴+≥+≥+≥∴22()()a b c ab bc ac ++≥++即a b c ab bc ac ++≥++.由于,,a b c 为不全相等的正实数，故等号不成立． ∴a b c ab bc ac ++>++.【解疑释惑 促进理解】难点一、如何利用基本不等式求条件最值在条件最值中，一种方法是消元转化为函数最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式将要求最值的表达式放缩为一个定值． 【例题】已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值；【错误解法】0,0x y >>，且191x y +=，∴()1992212x y x y xy x y xy ⎛⎫+=++≥= ⎪⎝⎭故 ()min 12x y += 。
高二数学基本不等式试题
高二数学基本不等式试题1.下列结论中正确的是A．的最小值为B．的最小值为C．的最小值为D．当时，无最大值【答案】B【解析】使函数有意义，则，当且仅当，即取到等号；对于可能小于0，对于当且仅当，即时取等号，但的最大值为1，错；对于在上为增函数，因此有最大值.【考点】基本不等式的应用.2.下列各式中，最小值是2的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，当且仅当，即，取得最小值，故选择C，不选择A的原因是不满足是正数的条件，不选择B的原因是中的等号不成立，不选择D的原因是该式没有最小值，所以运用均值不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”是否都具备，缺一不可.【考点】利用均值不等式求最值.3.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ( )A．1B．5C．D．【答案】D【解析】由题可知直线进过圆心，即有.为求，可以利用前面的条件换掉,得,但考虑到不好求值，另寻它法.即将“1”.“2”换成,则有,故选D.【考点】巧用“1”和基本不等式证明不等式.4.已知，且，则的最小值是_______.【答案】9【解析】∵a+b=ab，∴，∴，当且仅当时，“=”成立，∴最小值为9.【考点】基本不等式求最值.5.已知,若恒成立,则实数的取值范围【答案】【解析】由题，则，则恒成立即恒成立，则【考点】基本不等式，恒成立问题6.已知x，y，z均为正数．求证：．【答案】不等式的证明可以考虑运用均值不等式法来得到。
【解析】证明：∵x，y，z都是为正数，∴． 4分同理，可得，． 6分将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得． 8分【考点】均值不等式点评：主要是考查了均值不等式的求证不等式的运用，属于中档题。
7.已知，，，则的最小值为．【答案】【解析】因为，，，，所以，=，当且仅当且时，的最小值为。
【考点】均值定理的应用点评：简单题，应用均值定理，要注意“一正，二定，三相等”，缺一不可。
8.已知函数在时取得最小值,则__________.【答案】36【解析】根据题意，由于函数在时取得，即时取得最小值故可知36，故答案为36.【考点】函数的最值点评：主要是考查了函数的最值的求解，属于基础题。
基本不等式
(4,6)
x y20
z ax by
2 0
2
3x y 6 0
x
2.若正数a,b满足ab=a+b+3，则ab的取值 [9,+∞) 范围是_______. 解：ab=a+b+3 2 ab 3
ab 2 ab 3 0
ab 3或 ab 1(舍去) ab 9
2 2
a b 2 ab
基本不等式公式： 2. a b 2 ab (a>0,b>0)
(当且仅当a b时, 等号成立) 1 特别地： （ 1） x 2 (x>0) x 1 （2） x -2 (x<0) x
b a （3） 2 (a,b同号) a b
例3.已知a>0,b>0,且ab=4,则a+b 的 最小值是______ 变式：已知a>0,b>0,且ab=4,则a+2b的 最小值是______ 4 例4.已知x>0,则 x 的最小值 x 是______
3.4基本不等式
（a b) b 0
2 2
a b 2ab
2 2
a b 2ab 当且仅当a=b时，
2 2
基本不等式公式：
1. a b 2ab (a, b R)
2 2
(当且仅当a b时, 等号成立)
a2 b2 变形： ab 2
基本不等式公式： ab (a>0,b>0) 3. ab 2
(当且仅当a b时, 等号成立)
ab 2 ) 变形：ab ( 2
( a , b R)
例7.要把一根20cm长的铁丝折成一个面积 最大的矩形，应当怎么折？
人教版A版高中数学必修5：基本不等式： ≤(a+b)_课件28
【证明】法一：∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴1＋1a＝1＋a＋a b＝
2＋ba.同理，1＋1b＝2＋ab.∴1＋1a 1＋1b ＝2＋ba2＋ab ＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9，当且仅当ba＝ab，即 a＝b 时取“＝”． ∴1＋1a1＋1b≥9，当且仅当 a＝b＝12时等号成立．
则 y＝14·2x(1－2x)≤142x＋21－2x2＝116，
当且仅当 2x＝1－2x，即 x＝14时取到等号，∴ymax＝116. (2)∵x<3，∴x－3<0，∴3－x>0，∴f(x)＝x－4 3＋x＝x－4 3＋ (x－3)＋3
＝－3－4 x＋（3－x）＋3≤－2 3－4 x·（3－x）＋3＝－1，
基本不等式
1．基本不等式：
a＋b ab≤ 2
基本不等式成立的条件是什么?等号成立的条件又是什么?
提示: a>0且b>0；a＝b时取等号
a＋2 b叫做 a，b 的算术平均数， ab叫做 a，b 的几何平均数.
2．常用的几个重要不等式
(1)a2＋b2≥__2_a_b__(a，b∈R)； (2)ab___≤___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (3)a2＋2 b2___≥___(a＋2 b)2(a，b∈R)； (4)ba＋ab≥__2____(a，b 同号且不为零)．
在利用基本不等式解决实际应用问题时，一定要注意问题中 所涉及变量的取值范围，即函数的定义域，分析在该范围内 是否存在使基本不等式的等号成立的变量值，若存在，则可 利用基本不等式求解，若使基本不等式的等号成立的变量值 不在函数定义域内，则应利用导数研究函数的单调性，根据 单调性求最值．
3．围建一个面积为 360 m2 的矩形场地， 要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧 墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧 墙对面的新墙上要留一个宽度为 2 m 的进出口，如图所示．已 知旧墙的维修费用为 45 元/m，新墙的造价为 180 元/m.设利 用的旧墙长度为 x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用 为 y(单位：元)． (1)将 y 表示为 x 的函数； (2)试确定 x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最 少总费用．
人教版高二年级数学教案分析《基本不等式》
人教版高二年级数学教案分析《基本不等式》【教案一】一、教材分析【教材地位及作用】基本不等式又称为均值不等式，选自北京师范大学出版社普通高中课程标准实验教科书数学必修5第3章第3节内容。
教学对象为高二学生，本节课为第一课时，重在研究基本不等式的证明及几何意义。
本节课是在系统的学习了不等关系和掌握了不等式性质的基础上展开的，作为重要的基本不等式之一，为后续进一步了解不等式的性质及运用，研究最值问题奠定基础。
因此基本不等式在知识体系中起了承上启下的作用，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，它也是对学生进行情感价值观教育的好素材，所以基本不等式应重点研究。
【教学目标】依据《新课程标准》对《不等式》学段的目标要求和学生的实际情况，特确定如下目标：过程与方法目标：通过探究基本不等式，使学生体会知识的形成过程，培养分析、解决问题的能力；情感与态度目标：通过问题情境的设置，使学生认识到数学是从实际中来，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而培养学生善于思考、勤于动手的良好品质。
【教学重难点】重点：理解掌握基本不等式，能借助几何图形说明基本不等式的意义。
难点：利用基本不等式推导不等式.关键是对基本不等式的理解掌握.二、教法分析本节课采用观察——感知——抽象——归纳——探究；启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以基本不等式为主线，从实际问题出发，放手让学生探究思索。
利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率.三、学法指导新课改的精神在于以学生的发展为本，把学习的主动权还给学生，倡导积极主动，勇于探索的学习方法，因此，本课主要采取以自主探索与合作交流的学习方式，通过让学生想一想，做一做，用一用，建构起自己的知识，使学生成为学习的主人。
四、教学过程教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。
这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。
高二数学《基本不等式》教学设计
3.42a b+≤一、教学过程（一）创设情景，提出问题；在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。
[问]你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？本背景意图在于利用图中相关面积间存在的数量关系，抽象出不等式ab b a 222≥+。
在此基础上，引导学生认识基本不等式。
（二）抽象归纳：一般地，对于任意实数a,b ，有ab b a 222≥+，当且仅当a ＝b 时，等号成立。
[问] 你能给出它的证明吗？特别地，当a>0,b>0时，在不等式ab b a 222≥+中，以a 、b 分别代替a 、b ，得到什么？设计依据：类比是学习数学的一种重要方法，此环节不仅让学生理解了基本不等式不等式的来源，突破了重点和难点，而且感受了其中的函数思想，为今后学习奠定基础. 答案： ),(02>+≤b a ba ab 。
【归纳总结】如果a,b 都是正数，那么2ba ab +≤，当且仅当a=b 时，等号成立。
我们称此不等式为均值不等式。
其中2ba +称为a,b 的算术平均数，ab 称为a,b 的几何平均数。
（三）理解升华：1、文字语言叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
2、联想数列的知识理解基本不等式已知a,b 是正数，A 是a,b 的等差中项，G 是a,b 的正的等比中项，A 与G 有无确定的大小关系？ 两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项。
3、符号语言叙述： 若0,0>>b a ，则有2b a ab +≤，当且仅当a=b 时，2ba ab +=。
[问] 怎样理解“当且仅当”？（学生小组讨论，交流看法，师生总结）“当且仅当a=b 时，等号成立”的含义是：当a=b 时，取等号，即2ba ab b a +=⇒=；仅当a=b 时，取等号，即b a ba ab =⇒+=2。
高二数学之人教版高中数学选修4-5课件：1.1不等式.2
所以 1 1 1 a b c a b c a b c
abc a
b
c
1 b c 1 a c 1 a b aa bb cc
3 b c a c a b aabbcc
3 2 b a 2 c b 2 c a 9, ab bc ac
当且仅当 b c 即a a, =b=c时,等号成立. abc
b
b
b
所以(1 1 )(1 1 ) (2 b )(2 a )
ab
ab
当 5且 仅2( b当 a ) 即5 a2=b2 时 9,，等号成立.
ab
故
b a,
ab
(11)(11)9.
ab
2.已知a,b,c都是正数,且a+b+c=1. 求证: 1 1 1 9.
abc
【证明】因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1.
16 此时x=6. y
故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.
类型二 利用基本不等式证明不等式
【典例】已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,证明:
(1)a2+b2+c2≥ .
1
(2)
3
abc3.
【解题探究】典例中如何建立a2与a的不等关系?
提示:由 a212 a2 12a，可建立a2与a的不等关系.
提示:由x+2y+xy=30,得y=
30 x . x2
【解析】1.选C.因为 1 2 ab ,所以a>0,b>0,由 ab
ab 12 2 12 ＝ 2
2 ， 所以ab≥2
(当且仅当
2
b=2a时a取等b 号),a所b以ab的a b最小值为2 .
高二基本不等式知识点总结
高二基本不等式知识点总结基本不等式是数学中常见的一种重要的不等式类型，它在解决实际问题和推导数学定理时起着重要的作用。
在高二数学学习中，基本不等式是一个必须要掌握的知识点。
本文将对高二基本不等式的相关知识点进行总结。
一、一元一次不等式一元一次不等式是形如ax + b > 0或ax + b < 0的不等式，其中a和b为常数。
解一元一次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
图像法：以一元一次不等式为方程y = ax + b，将其对应的直线画出来，然后根据题目所给条件确定直线上的点是否满足不等式，从而得出不等式的解集。
代数法：以ax + b > 0为例，若a > 0，则不等式解集为(-∞, -b/a)；若a < 0，则不等式解集为(-b/a, +∞)。
二、一元二次不等式一元二次不等式是形如ax² + bx + c > 0或ax² + bx + c < 0的不等式，其中a、b和c为常数且a ≠ 0。
解一元二次不等式时，我们可以使用图像法或代数法。
图像法：以一元二次不等式为方程y = ax² + bx + c，将其对应的抛物线画出来，然后根据题目所给条件确定抛物线上的点是否满足不等式，从而得出不等式的解集。
代数法：以ax² + bx + c > 0为例，首先求出二次函数的零点，即ax² + bx + c = 0，根据零点的位置判断解集的情况。
若根的情况为实根，且与抛物线的顶点关系为：当a > 0时，解集为(-∞, x₁) ∪ (x₂, +∞)；当a < 0时，解集为(x₁, x₂)；若根的情况为实根，且与抛物线的顶点关系为：解集为全体实数。
三、二元一次不等式二元一次不等式是形如ax + by > c或ax + by < c的不等式，其中a、b和c为常数。
解二元一次不等式时，我们可以使用平面直角坐标系中的图像法或代数法。
江苏省2020年高二数学第04讲 基本不等式 课件
解:方法一
由ab a b 3,得b a 3 0,则a 1, 所以ab= a2 3a ,
a1
a1
2，
t
所以 1 1 的最小值为3 2 2. xy
为什么要说 大于零？
解(1):方法二
1 1 =1 ( 1 1 ) ( x 2 y) ( 1 1 )
xy
xy
xy
1 x 2y 2 3 2 x 2y 3 2 2,
yx
yx
当 x 2 y , x 2 y,即y 1 2 取等号,
所以该说法正确.
(3)已知x 1,函数y x 2 2 x 2 ,当且仅当x 2
x1
x1
x1
即x 1时取等号,则此时函数有最小值ymin 2
2 2 2; 11
解(3):显然x=
1 2
时,
y
1 2
1
2
1
=
11 6
2,
2
所以该说法不正确.
思考：
函数y x 2 ( x 1)的最小值怎么求呢？ x1
解(1):x 3 ,有x 3 0，2x 3 0,
2
2
y x 3 8 + 3 2 ( x 3) 8 3 11 ,
2 2x 3 2
2 2x 3 2 2
x 3 8 ,即x 7 时取等号.
2 2x 3
2
所以函数的最小值为 11 . 2
例1.(2)当0 x 1 时,求函数y 1 x(1 2x)的最大值.
4 简记为"积定和最小，和定积最大."
变式1：
已知正实数 x y 1,则 x y的最小值为______.
解:方法一
由公式 a b a2 b2 ,则 a2 b2 2 (a b),
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高二数学基本不等式
基本不等式
第二课时
（1）教学目标
（a）知识与技能：能够运用基本不等式解决生活中的应用问题
（b）过程与方法：本节课是基本不等式应用举例的延伸。
整堂课要围绕如何引导学生分析题意、设未知量、找出数量关系进行求解这个中心。
3 道例题的安排从易到难、从简单到复杂，适应学生的认知水平。
教师要根据课堂情况及时提出针对性问题，同时通过学生的解题过程进一步发现学生的思维漏洞，纠正数学表达中的错误
（c）情感与价值：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识以及思维的创新性和深刻性
（2）教学重点、教学难点
教学重点：正确运用基本不等式
教学难点：注意运用不等式求最大（小）值的条件
（3）学法与教学用具
列出函数关系式是解应用题的关键，也是本节要体现的技能之一。
对例题的处理可让学生思考，然后师生共同对解题思路进行概括总结，使学生更深刻地领会和掌握解应用题的方法和步骤。
直尺和投影仪
（4）教学设想
1、设置情境。