浙大四版概率论与数理统计《样本容量的选取》PPT课件

例4 考虑在显 0.0著 下 5 水 进 t检 平 行 ,验
H 0 : 1 ,H 4 1 : 1 ,4
要求H1在 中140.4时 ,犯第 类 错误的
率不超 0过 .1,求所需样 . 本容量
解 0 . 0 , 5 0 . 1 , 0 . 4 ,
第五节 样本容量的选取
一、特征函数的定义 二、Z 检验法的OC 函数 三、 t 检验法的OC 函数 四、小结
一、特征函数的定义
在某些实际问题中, 我们除了希望控制犯第I
类错误的概率外, 往往还希望控制犯第 II类错误
的概率. 以上在进行假设检验时, 总是根据问题的需
要, 预先给出显著性水平以控制犯第I类错误的概
若给定 ,以及 0,
则可从6附 查表 得所需n,容量
使当 H 1且 0 时,
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
例3 考虑在 显 0.0下 著 5 进 水 t检 行 平 ,验 H 0:6,8H 1:6,8
(1要 ) 求 H 1中 在 16 8时 ,犯Ι第 类 Ι 错误
概率不 0超 .05 求 过 , 所需.样本容
求所需样本的容量。
3. 双边检验问题
假H 设 0 : 0 ,H 检 1 : 0 的 验 O 函 C数
()P (接H 受 0)P z/2 X/n 0z/2
P z/2 X / n z/2
( z / 2 ) ( z / 2 )
( z / 2 ) ( z / 2 ) 1 ,
/
0
n
.
此OC 函数的图形如下:
只要n 样 满n 本 足 (z/2 容 z),量
就能使|0|时 ,犯第 II类错误的概率不
超过给定的 .
例2 练习册：第7章自测题 第五大 题
某元件的寿 X ~命N(,2.52),要求犯I第 类错误
的概率 0.025,并且当 20时或18时犯第 II类
率, 而犯第 II类错误的概率则依赖于样本容量的
选择. 在本节中, 我们将阐明如何选取样本的容量
使得犯第 II类错误的概率控制在预先给定的限 度内, 为此, 引入施行特征函数.
施行特征函数的定义:
若C是参数 的某检验问题的验 一法 个 , 检 () P (接受H0)
称为检验C的 法施行特征函O数 C函或数,其图 形称为 OC曲线.
(2若 ) 样本 n容 30问 量 , 在 H1中 1680.75
时 ,犯Ι第 类 Ι 错误的概率是多少
解 (1 ) 0 .0,5 0 68,
附表6-1
1 0
(68 )681,
查6知 表 n1.3
(2) 0.0,5n30,
附表6-2
1 0
(6 80.7 5)6 80.7,5
查6知 表 0.0.1
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
2. 左边检验问题
假H 设 0 :0 检 , H 1 : 验 0 .
若给定 ,以及 0,
则可从6附 查表 得所需n,容量
使当 H 1且 0时,
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
3. 双边检验问题
假H 设 0 :0 检 , H 1 : 验 0 .
n
.
当真值 0时()为作出正确判;断的
当真 值 0时 ()给出 I类 I犯错 第误 . 的
此OC 函数的图形如下:
此OC 函数的性质如下:
(1)它是 0的单调递减;连续函 / n
( 2 ) l 0 i ( m ) 1 , l i( m ) 0 .
根据 OC 函数 ()可以确定n 样 , 本容
其 X S / 中 n 0 X / n S ,
0 . / n
我们称X变 0量 服从非中心 ,自 参由 数度 为
S/ n 为n1的非中 t分心 布 .
当 0时 ,它是t(通 n1)变 常 . 量 的
若给 ,以 定及 0则 , 可6 从 查附 得表 所
量 n,使当 H 1且 0 时,
使当 0 真 (值 0 为取 )时 wk.baidu.com定的
犯第 II类错误的概率不超过给定的 .
因为 ()是的递减 , 函数
故 当 0 时 , (0 ) (),
于是只 (0要 )z
n,
即n满足 z nz,只要 n(zz),
就能使0时 ,犯第 II类错误的概率不超过
给定的 .
为使假 H 0:设 0 检 ,H 1: 验 0
犯第一类错误的概率不超过， 当 0时 ,
犯第 II类错误的概率不超过给定的
只要 n(zz),
2. 左边检验问题
假H 设 0 : 0 ,H 检 1 : 0 的 验 O 函 C数
()P (接H 受 0)(z),
0 . / n
当真 值 0时 ()为作出正确;判断
当真 0时 值 ()给出 I类 I犯 错 第 误 . 的
只要样 n满 本 n 足 (容 z z量 )
就能使0 犯第 II类错误的概率不超过给定
的 .
例1 练习册：7.1-7.2 第六大题
设需要对某一正 的态 均总 值体 进行假设检验
H0:15,H1:15,已知 2 2.5取 , 0.05，若要求当 H1中的 13时犯I第 I类错误的概率不 0超 .05， 过
施行特征函数的作用: 适当地选取样本的容量, 使得犯第 II类错误
的概率控制在预先给定的限度内.
二、 Z 检验法的OC 函数
1. 右边检验问题
假H 设 0 : 0 ,H 检 1 : 0 的 验 O 函 C数
()P (接H 受 0)PX/n0 z
P X/ nz /n 0 (z),
/
0
错误的概率不超 0过 .025，求所需样本的容量
四、小结
两种检验法的OC函数如表 右边检验 左边检验 双边检验
Z 检验
() (z )
0
.
/ n
() (z )
0
.
/ n
() (z/2)(z/2)1
0
.
/ n
t 检验
()
()
()
P
X
0
S/ n
t
(n1)
P
X
0
S/ n
t
(n1)
P t/2(n1)X S/n0 t/2(n1)
X 0 S/ n
X / n
S
X 0 S/ n
X / n
S
X 0 S/ n
X / n
S
三、 t 检验法的OC函数
1. 右边检验问题
假H 设 0 : 0 ,H 检 1 : 0 的 验 O 函 C数
()P (接H 受 0)P X S/n0t(n1)