合情推理和演绎推理基础+复习+习题+练习)

典例分析：

考点一 归纳推理

问题1．()1（2013陕西）观察下列等式:

211=

22123-=- 2221236-+=

2222123410-+-=- ⋅⋅⋅

照此规律, 第n 个等式可为 .

()2（09浙江理）观察下列等式：

1535522C C +=-,1597399922C C C ++=+,159131151313131322C C C C +++=-,

1591317157171717171722C C C C C ++++=+, ……，由以上等式推测到一个一般的结论：

对于*

n N ∈，1594141414141n n n n n C C C C +++++++++=… 2^(4n-2)+2^(2n-1)*(-1)^n

()3（2012福建）

某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数. ()122sin 13cos 17sin13cos17︒+︒-︒︒； ()222sin 15cos 15sin15cos15︒+︒-︒︒； ()322sin 18cos 12sin18cos12︒+︒-︒︒； ()4()()22sin 13cos 48sin 13cos48-︒+︒--︒︒； ()5()()22sin 25cos 55sin 25cos55-︒+︒--︒︒。

（I ）试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

（II ）根据（Ⅰ）的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论.

()4（2013湖北）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数。如三角形数

1,3,6,10，…，第n 个三角形数为

()2111

222

n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 ()211

,322

N n n n =

+ 正方形数 ()2

,4N n n = 五边形数 ()231,522

N n n n =

- 六边形数 ()2

,62N n n n =- ……

可以推测(),N n k 的表达式，由此计算()10,24N = 1000 ((k-2)/2)*n^2+(2-k/2)n

考点二 类比推理

问题2．()1（09江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1:2，则它们的面积比为1:4，类似地，在空间，若两个正四面体的棱长的比为1:2，则它们的体积比为

()2在平面几何里，有“若ABC △的边长分别为,,a b c ，内切圆半径为r ，则三角形的面

积为()1

2

ABC S a b c r =++△”,拓展到空间，类比上述结论，

“若四面体ABCD 的四个面 的面积分别为1234,,,S S S S ，内切球的半径为r ，则四面体的体积为V = .”

()3(2013郑州模拟)二维空间中圆的一维测度(周长)2l r π=，

二维测度(面积)2

S r π=，观察发现S l '=；三维空间中球的二维测度(表面积)2

4S r π=，三维测度(体

积)3

43

V r π=，观察发现V S '=.则由四维空间中“超球”的三维测度38V r π=，猜想其四维测度W =

()4平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：①三角形

两边之和大于第三边；②三角形的面积S =

1

2

×底×高；③三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的

1

2

；…… 请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．

考点三 演绎推理 问题3．()1用三段论形式写出下列演绎推理： ①0.332⋅⋅

是有理数； ②()()sin y f x x x R ==∈是周期函数.

()2在锐角ABC △中，AD BC ⊥，BE AC ⊥，D 、E 是垂足，AB 的中点为M .

求证：MD ME =

课后作业：

1.有下列各式：

11

11

23

++>，

113

1

272

+++>，

111

12

2315

++++>，……

则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：

2.黑白两种颜色的正六形地面砖块按如图

的规律拼成若干个图案，则第五个图案中有

白色地面砖（）块.

.A20.B21.C22.D23

3.一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…

若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●的个数是

4.（2014

届湖北潜江中学暑期阶段性考试）

.

1

2

3

3

10

21 S

S

S

=++=

=++

++=

=++++++=

那么

5

S= 45

5.(2013台州联考)观察下列几个三角恒等式：

①tan10tan20tan20tan60tan60tan101

︒︒+︒︒+︒︒=；

②()()tan5tan100tan100tan 15tan 15tan51︒︒+︒-︒+-︒︒=； ③tan13tan 35tan 35tan 42tan 42tan131︒︒+︒︒+︒︒=

一般地，若tan ,tan ,tan αβγ都有意义，你从这三个恒等式中猜想得到的一个结论 为

6.（2013济南一中模拟）下图中()1、()2、()3、()4为四个平面图形.表中给出了各平

面图形中的顶点数、边数以及区域数

.

7.在ABC △中，AB AC ⊥于A ，AD BC ⊥于D .求证：

222

111

AD AB AC

=+， 那么在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明你的理由.

现已知某个平面图形有1009顶点，且围成了1006个区域，试根据以上关系确定这个平面图形的边数为 2017