角平分线的性质-湘教版八年级数学下册优秀教案设计

1．4 角平分线的性质

1．理解并掌握角平分线的性质及判定；(重点)

2．能够对角平分线的性质及判定进行简单应用．(难点

)

一、情境导入

在S 区有一个集贸市场P ，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P 点建两条路，一条到公路，一条到铁路．

问题1：怎样修建道路最短？ 问题2：往哪条路走更近呢？

二、合作探究

探究点一：角平分线上的点到角两边的距离相等

【类型一】 利用角平分线的性质求线段长

如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，

AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AB ＝7cm ，则△DBE 的周长是____________．

解析：在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，根据角平分线的性质，可得CD ＝ED ，AC ＝AE ＝BC ，继而可得△DBE 的周长为DE ＋BD ＋BE ＝CD ＋BD ＋BE ＝BC ＋BE ＝AE ＋BE ＝AB .故答案为7cm.

方法总结：此题考查了角平分线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．

【类型二】 利用角平分线的性质求面积

如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB

于点E ，DF ⊥BC 且交BC 的延长线于点F .若AB ＝18cm ，BC ＝12cm ，DE ＝2.4cm ，求△ABC 的面积．

解析：根据角平分线的性质得到DE ＝DF ，再将△ABC 分成△BCD 和△ADB 两个三角形，分别求出它们的面积再求和．

解：∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB ，DF ⊥BF ，∴DE ＝DF .∵S △ABC ＝S △BCD ＋S △ABD ＝12BC ·DF ＋12AB ·DE ＝12(BC ＋AB )·DE ＝12

×30×2.4＝36(cm 2)．

方法总结：如果求三角形面积出现困难可将此三角形分成几个三角形再利用一些性质，如角平分线的性质或等腰三角形的性质，求这几个三角形面积的和．

【类型三】 利用角平分线的性质进行证明

如图，已知∠1＝∠2，P 为BN 上

一点且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC ＝2BD ，求证：∠BAP ＋∠BCP ＝180°.

解析：过点P 作PE ⊥BA ，根据已知条件得Rt △BPE ≌Rt BPD ，再根据AB ＋BC ＝2BD 得AE ＝CD ，可证Rt △APE 和Rt PDC ，可得∠PCD ＝∠P AE ，根据邻补角互补可得∠BAP ＋∠BCP ＝180°.

证明：过P 作PE ⊥AB ，交BA 的延长

线于E .∵PD ⊥BC ，∠1＝∠2，∴PE ＝PD ，

在Rt △BPE 和Rt △BPD 中，⎩

⎪⎨⎪⎧PE ＝PD ，

BP ＝BP ，∴

Rt △BPE ≌Rt △BPD (HL)，∴BE ＝BD .∵AB

＋BC ＝2BD ，BC ＝CD ＋BD ，AB ＝BE －AE ，∴AE ＝CD .∵PE ⊥BE ，PD ⊥BC ，∴∠PEA ＝∠PDC ＝90°.在△PEA 和△PDC 中，⎩⎪⎨⎪

⎧PE ＝PD ，∠PEB ＝∠PDC ，AE ＝CD ，

∴△PEA ≌△PDC (SAS)，∴∠PCD ＝∠P AE .∵∠BAP ＋∠EAP ＝180°，∴∠BAP ＋∠BCP ＝180°.

方法总结：题目中有角平分线可过角平分线上的点作角两边的垂线，这是角平分线题目中常见的辅助线．

探究点二：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上

如图所示，在△ABC 中，PD 垂直

平分BC ，PM ⊥AB 于点M ，PN ⊥AC 交AC 的延长线于点N ，且BM ＝CN .求证：∠1＝∠

2.

解析：先根据中垂线性质得出PB ＝PC ，再根据HL 证Rt △PBM ≌Rt △PCN ，再根据角平分线性质的逆定理得出结论．

证明：连接PB 、PC .∵PD 垂直平分BC ，∴PB ＝PC .∵PM ⊥AB ，PN ⊥AC ，∴∠PMB ＝∠PNC ＝90°.在Rt △PBM 与Rt △PCN 中，∵PB ＝PC ，BM ＝CN ，∴Rt △PBM ≌Rt △PCN (HL)．∴PM ＝PN .∴点P 在∠BAC 的平分线上，即∠1＝∠2.

方法总结：证明一条射线是角的平分线

有两种方法：一是利用三角形全等证明；二是利用角平分线性质定理的逆定理证明．显然，方法二比方法一更简捷，在用方法二判定一条射线是一个角的平分线时一般分两步：一是找出或作出射线上的一点到角两边的垂线段；二是证明这两条线段相等．

探究点三：角平分线的性质和判定的综合应用

如图所示，在△ABC 外作等腰三

角形ABD 和等腰三角形ACE ，且使它们的顶角∠DAB ＝∠EAC ，连接BE 、CD 相交于P 点，AP 的延长线交BC 于F 点，试判断∠BPF 与∠CPF 的关系，并加以说明．

解析：首先猜想∠BPF ＝∠CPF ，即∠DP A ＝∠EP A ，显然这两个角所在的三角形不一定全等，可考虑用角平分线的判定来求解．

解：∠BPF ＝∠CPF ，理由如下：过A 点作AM ⊥DC 于M ，作AN ⊥BE 于N .∵∠DAB ＝∠EAC ，∴∠DAB ＋∠BAC ＝∠EAC ＋∠BAC ，∴∠DAC ＝∠BAE ，在△BAE 和△DAC 中，⎩⎪⎨⎪

⎧AB ＝AD ，∠BAE ＝∠DAC ，AE ＝AC ，

∴△BAE ≌△DAC (SAS)，∴BE ＝DC ，S △BAE ＝S △DAC .∵AM ⊥DC ，AN ⊥BE ，∴

12

BE ·AN ＝1

2DC ·AM ，∴AN ＝AM ，∴P A 平

分∠DPE ，∴∠DP A ＝∠APE .又∵∠DP A ＝∠CPF ，∠EP A ＝∠BPF ，∴∠BPF ＝∠CPF .

方法总结：证明两个角相等：①如果在一个三角形里，通常利用等边对等角；②如果在两个三角形里，通常证所在的两个三角形全等或利用角平分线的判定．

探究点四：利用角平分线的性质作图

如图所示，一条南北走向的铁路

与一条东西走向的公路交叉通过，一工厂在