安徽省中考数学二轮复习题型四：规律探索题(含答案)

题型四规律探索题

类型一数式规律探索

1. (2018霍邱县一模)如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：

(1)第9行的最后一个数是________；

(2)第n行的第一个数是________，第n行共有________个数；第n行各数之和为____________．

2. (2018安庆二模)观察下列等式：

(1)1－1

2

＋

1

1×2

＝1；

(2)1

2

－

1

4

＋

1

3×4

＝

1

3

；

(3)1

3

－

1

6

＋

1

5×6

＝

1

5

；

…

根据上述规律解决下列问题：

(1)写出第(4)个等式：(________)－(________)＋(________)＝(________)；

(2)写出你猜想的第(n)个等式，并证明．

3. 观察下列等式：

①1

1

＋

1

2

－

1

2

＝

1

1

；

②1

3

＋

1

4

－

1

12

＝

1

2

；

③1

5

＋

1

6

－

1

30

＝

1

3

；

④1

7

＋

1

8

－

1

56

＝

1

4

；

…

(1)请根据以上规律写出第5个等式：__________________________；

(2)猜想并写出第n个等式，并验证其正确性．

4. 观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：

第1层1＋2＝3；

第2层4＋5＋6＝7＋8；

第3层9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；

第4层16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；

…

(1)填空：第6层等号右侧的第一个数是________，第n层等号右侧的第一个数是________(用含n的式子表示，n是正整数)，数字2017排在第几层？请简要说明理由；

(2)求第99层右侧最后三个数字的和．

5. (2018太和县模拟)观察下列等式：

①1＋2＝3；

②4＋5＋6＝7＋8；

③9＋10＋11＋12＝13＋14＋15；

④16＋17＋18＋19＋20＝21＋22＋23＋24；

…

(1)试写出第五个等式；

(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？

6. 按如下方式排列正整数，第1行有1个数，第2行有3个数，第3，4行分别有7个、13个数．依此规律，解答下列问题：

1

2 3 4

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10…15 16

…

(1)第10行有________个数，第n行有________个数(结果用含n的式子表示)；

(2)第2，3，4行都含有数4，其中第2行最先出现4，那么2019最先出现在第几行？

7. 已知下列等式：

①32－12＝8，

②52－32＝16，

③72－52＝24，

…

(1)请仔细观察，写出第4个式子；

(2)根据以上式子的规律，写出第n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；

(3)利用(2)中发现的规律计算：8＋16＋24＋…＋792＋800.

8. 【问题提出】观察下列图形，回答问题：

第8题图

由此可以得出第1个图形中所有线段的长度的和是1，第2个图形中所有线段的长度的和是4，第3个图形中所有线段的长度的和是10，第4个图形中共有________条线段，所有线段的长度的和是________；

【规律探索】在计算第1，2，3个图形中所有线段的长度的和的时候，得出了下列等式：

1×1＝

1×2×3

6

； 1×2＋2×1＝

2×3×4

6

； 1×3＋2×2＋3×1＝3×4×5

6；

第4个等式为____________； …

【问题解决】求第n 个图形中所有线段的长度的和．

9. (2017安徽19题)我们知道，1＋2＋3＋…＋n ＝

n （n ＋1）

2

，那么12＋22

＋32＋…＋n 2结果等于多少呢？

在图①所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12；第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22；……；第n 行n 个圆圈中数的和为n ＋n ＋…＋n ,\s \do 4(n

个n ))，即n 2

.这样，该三角形数阵中共有

n （n ＋1）

2

个圆圈，所有圆圈中数的和为

12＋22＋33＋…＋n 2.

第9题图①

【规律探究】

将三角形数阵经两次旋转可得如图②所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数(如第n －1行的第一个圆圈中的数分别为n －1，2，

n )，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________．由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为：3(12＋22＋32＋…＋n 2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n 2＝________．