导数求函数的最值应用题

所以当该公司用于广告投入1.27百万元，用 于技术改造投入1.73百万元时，公司将获得 最大收益．
一、选择题 1．曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋ 3＝0的最短距离为( )

A. 5 C．3 5

B．2 5 D．0
[答案] A
[解析]
设曲线在点 P(x0， y0)处的切线与 2x－y＋3＝0

(2)引入数学符号，建立数学模型．一般地， 设自变量为x，函数为y，并用x表示相关的 量，运用已掌握的数学知识、物理知识及 其他相关的知识，将问题中的数量关系表 示为一个数学关系式，实现问题的数学化， 即建立数学模型． (3)运用数学知识和方法解决上述问题． (4)检验结果的实际意义并给出答案．
平行，则切线与 2x－y＋3＝0 间的距离即为所求．由 y′ 2 2 ＝[ln(2x－1)]′＝ ，则 ＝2，x0＝1，所以 P(1， 2x－1 2x0－1 5 0)， 切线方程为 y＝2(x－1)， 即 2x－y－2＝0， d＝ 2 ＝ 2 ＋1 5，故选 A.




2．以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内 接矩形面积的最大值为( ) A．10 B．15 C．25 D．50 [答案] C

40 解法 2：设∠BCD＝θ，则 BC＝sinθ，
π CD＝40· cotθ0<θ<2.
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∴AC＝50－40· cotθ.
设总的水管费用为 f(θ) ，依题意，有 f(θ)＝3a(50－ 5－3cosθ 40 40· cotθ)＋5a· sinθ＝150a＋40a· sinθ ∴f′(θ) (5－3cosθ)′· sinθ－(5－3cosθ)· (sinθ)′ ＝40a· sin2θ 3－5cosθ ＝40a· sin2θ . 3 令 f′(θ)＝0，得 cosθ＝5.
令 V′＝0 得 S＝6πr2，∴h＝2r，
又 r＝
S 6π，∴h＝2
S 6πS 6π＝ 3π .
6πS 即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为 . 3π

[例2] 有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直 线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同 侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到 河岸的垂足D与A相距50km，两厂在此岸 边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和 乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元， 问供水站C建在岸边何处才能使水管费用 最省？
∴BC＝ BD2＋CD2＝ x2＋402， 又设总的水管费用为 y 元，依题意有 y＝3a(50－x)＋5a x2＋402 (0<x<50)． 5ax y′＝－3a＋ 2 2， x ＋40

令y′＝0，解得x＝30. 当0<x<30时，y′<0；当30<x<50时，y′>0.
因此函数在 x ＝ 30(km) 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20(km)． ∴供水站建在A， D之间距甲厂20km处，可 使水管费用最省．
3 根据问题的实际意义，当 cosθ＝5时，函数取得最小 4 3 值， 此时 sinθ＝5， ∴cotθ＝4， ∴AC＝50－40cotθ＝20(km)， 即供水站建在 A，D 之间距甲厂 20km 处，可使水管费用 最省．

[点评] 解决实际应用问题关键在于建立数学模 型和目标函数，把“问题情景”译为数学语言， 找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近 似化、形式化、抽象成数学问题，再划归为常 规问题，选择合适的数学方法求解．对于这类 问题，学生往往忽视了数学语言和普通语言的 理解与转换，从而造成了解决应用问题的最大 思维障碍．运算不过关，得不到正确的答案， 对数学思想方法不理解或理解不透彻，则找不 到正确的解题思路，在此需要我们依据问题本 身提供的信息，利用所谓的动态思维，去寻求 有利于问题解决的变换途径和方法，并从中进 行一番选择．
[解析] 设矩形长为 2a，宽为 b，则 S＝2ab，且 a2
＋b2＝25，∴S＝2a 25－a2(0<a<5)，
2 2 a ∴S′＝2 25－a2－ 25－a2
25 令 S′＝0，得 a ＝b ＝ 2
2 2
5 2 当 0<a< 2 时，S′>0； 5 2 当 2 <a<5 时，S′<0， 25 因此当 a ＝b ＝ 2 时，S 取得最大值，最大值为 2ab

∴当x＝10时，V(x)取极大值，这个极大值 就是V(x)的最大值． 答 ： 当 箱 子 的 高 为 10cm ， 底 面 边 长 为 40cm时，箱子的体积最大． [点评] 在解决实际应用问题中，如果函 数在区间内只有一个极值点，那么只需根 据实际意义判定是最大值还是最小值．不 必再与端点的函数值进行比较．
现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告 投入和技术改造投入，请设计一种资金分配 方案，使得该公司获得最大收益． (注：收益＝销售额－投入，答案数据精确到 0.01)

(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
[ 解析 ] 设 3 百万元中技术改造投入为 x 百 万元，广告费投入为(3－x)百万元， 则广告投入带来的销售额增加值为 y1＝－2(3－x)2＋14(3－x)(百万元)， 技术改造投入带来的销售额增加值为

[分析] 根据题设条件作出图形，分析各已 知条件之间的关系，借助图形的特征，合 理选择这些条件间的联系方式，适当选定 变元，构造相应的函数关系，通过求导的 方法或其他方法求出函数的最小值，可确 定点C的位置．


[ 解析 ] 解法 1 ：根据题意知，只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置，才能使总运费最省，设 C 点距D点xkm，则 ∵BD＝40，AC＝50－x，

2．求最优化问题的步骤 求实际问题中的最大 ( 小 ) 值，主要步骤如 下： (1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量 之间的函数关系式y＝f(x)； (2)求出函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和使 f′(x)＝0的点的 取值大小，最大者为最大值，最小者为最 小值．
答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最 大利润为315万元． [点评] 建立数学模型后，注意找准函数的定 义域，这是此类题解答过程中极易出错的地 方．

某公司决定采用增加广告投入和技术改造投入两项 措施来获得更大的收益．通过对市场的预测，当对两项投 入都不大于 3 百万元时，每投入 x 百万元广告费，增加的 销售额可近似的用函数 y1＝－2x2＋14x(百万元)来计算； 每投入 x 百万元技术改造费用，增加的销售额可近似的用 1 3 函数 y2＝－3x ＋2x2＋5x(百万元)来计算．
设有一个容积 V 一定的有铝合金盖的圆柱 形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁 的3倍，问如何设计使总造价最小？ [ 解析 ] 设圆柱体的高为 h ，底面半径为 r ， 又设单位面积铁的造价为 m ，桶的总造价 为y，则y＝3mπr2＋m(πr2＋2πrh)．

V 2mV 2 由于 V＝πr h， 得 h＝πr2， 所以 y＝4mπr ＋ r (r>0)．
2
2mV 所以 y′＝8mπr－ r2 ，
令 y′＝0，得 r＝
V ，此时，h＝ 2＝4 πr
.
当 r∈
时， y′<0， 当 r∈
时，
y′>0， 因此 r＝ 点，也是最小值点．
2mV 是函数 y＝4mπr ＋ r (r>0)的极小值
2
故当 r＝ 造价最小．
时，y 有最小值，即 h∶r＝4∶1 时，总

[分析] 根据题意，月收入＝月产量×单价＝px， 月利润＝月收入－成本＝px－(50000＋ 200x)(x≥0)，列出函数关系式建立数学模型后再 利用导数求最大值．
[解析]
每月生产 x 吨时的利润为
1 2 f(x)＝(24200－5x )x－(50000＋200x) 1 3 ＝－5x ＋24000x－50000 (x≥0)． 3 2 由 f ′(x)＝－5x ＋24000＝0 解得 x1＝200，x2＝－200(舍去)． 因 f(x)在[0，＋∞)内只有一个点 x＝200 使 f ′(x)＝0， 1 故它就是最大值点，且最大值为： f(200) ＝ － 5 ×2003 ＋ 24000×200－50000＝3150000(元)
1.4 生活中的优化问题举例
能利用导数知识解决实际生活中的最优化问 题．
本节重点：利用导数知识解决实际中的最优 化问题． 本节难点：将实际问题转化为数学问题， 建立函数模型．
1．解决实际应用问题的基本步骤 一般地，高考中的数学应用往往是以现实 生活为原型设计的，其目的在于考查学生 对数学语言的阅读、理解、表达与转化能 力，求解时一般按以下几步进行： (1)阅读理解，认真审题．就是读懂题中的 文字叙述，理解叙述所反映的实际背景， 领悟实际背景中的数学本质，写出题中的 数量关系，实现应用问题向数学问题转 化．
2 2
＝25，故应选 C.
3 ．用总长为 6m 的钢条制作一个长方体容 器的框架，如果所制作容器的底面的相邻 两边长之比为3 4，那么容器容积最大时， 高为 ( ) A．0.5m B．1m C．0.8m D．1.5m [答案] A

[解析]
设容器底面相邻两边长分别为 3xm,4xm，则


[ 例 1] 在边长为 60cm 的正方形铁片的四 角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚 线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底 的边长是多少时，箱子的容积最大？最大 容积是多少？
[ 分析 ] 根据所给几何体的体积公式建 模． [ 解析 ] 设箱高为 xcm ，则箱底边长为 (60 －2x)cm，则得箱子容积V是x的函数， V(x)＝(60－2x)2·x(0<x<30) ＝4x3－240x2＋3600x. ∴V′(x)＝12x2－480x＋3600， 令V′(x)＝0，得x＝10，或x＝30(舍去) 当0<x<10时，V′(x)>0， 当10<x<30时，V′(x)<0.


已知圆柱的表面积为定值 S ，求当圆柱的 容积V最大时圆柱的高h的值．
[解析] 设圆柱的底面半径为r，高为h， 则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，

2 S － 2π r ∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh.∴h＝ 2πr ， 3 2 rS － 2π r S － 6π r 又圆柱的体积 V＝πr2h＝ ，V′＝ ， 2 2

答：当此铁桶的高与底面半径之比等于4 1 时，总造价最小.
[例 3]
某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量
x(吨)与每吨产品的价格 P(元/吨)之间的关系为 P＝24200 1 2 －5x ，且生产 x 吨的成本为 R＝50000＋200x 元．问该产 品每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润 是多少？(利润＝收入－成本)．

1 ．解决实际应用问题时，要把问题中所 涉及的几个变量转化成函数关系式，这需 要通过分析、联想、抽象和转化完成，函 极值 和 端点的函数值 数的最值要由 确定，当定义域是开区间 且 函 数 只 有 一 个 极值时，这个 极值 也就是它的 最值 ． 2 ．生活中经常遇到求利润最大、用料最 省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题 ．通过前面的学习，我们知道导数 导数 是求函数最大(小)值的有力工具，运用 可以解决一些生活中的 优化问题 ．

1 3 y2＝－3x ＋2x2＋5x(百万元)， 所以，投入带来的销售额增加值为 F(x)＝－2(3－x)2 1 3 ＋14(3－x)－ x ＋2x2＋5x.(0≤x≤3) 3
由于投入为常量， 采取措施前的收益、 投入也是常量． 所以该公司收益最大时就是销售额增加值最大的时 1 3 候．整理上式得 F(x)＝－3x ＋3x＋24， 因为 F′(x)＝－x2＋3， 令 F′(x)＝0，解得 x＝ 3或 x＝－ 3(舍去)， 当 x∈[0， 3)，F′(x)>0， 当 x∈( 3，3]时，F′(x)<0， 又因为 F(0)＝24，F(3)＝24，F( 3)＝24＋2 3， 所以 x＝ 3≈1.73 时，F(x)取得最大值．