勾股定理和两点间的距离公式讲义
八秋13-勾股定理和两点之间的距离公式(教师版)
初中数学备课组 教师 班级 八年级 学生 日期 上课时间 教学内容： 勾股定理和两点的距离公式 知识点归纳一、勾股定理知识点1. 定理1 在直角三角形中，斜边大于直角边.2. 勾股定理： 直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方.3. 勾股定理的逆定理： 如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三 角形是直角三角形. 二、例题讲解例1. 如图，已知在ABC ∆中，BC AD ⊥,3=AB ,1,2==DC BD ,求AC 的长度. 答案：6解析：因为BC AD ⊥，所以ABD ∆和ACD ∆都是直角三角形.所以在ABD ∆中， 222AB AD BD =+（勾股定理） 所以5232222=-=-=BD AB AD .因为ACD ∆是直角三角形，所以222AC DC AD =+（勾股定理） 所以61522=+=+=DCAD AC例2 如图，在ABC ∆中，AD C ,90 =∠平分BAC ∠,交BC 于点D ,5:13:,10,26===DC BD AC AB ,求点D 到AB 边的距离. 解：作AB DE ⊥于点E .10,26,90===∠AC AB C （已知）， 222AC BC AB +=∴（勾股定理），得.2410262222=-=-=AC AB BC 320185,5:13:==∴=BC CD DC BD AD 平分∴∠,BAC 点D 到AB 边的距离DE 等于点D 到AC 边的距离320=CD . 例 3 如图，在长方形ABCD 中，4,8==BC AB ,将长方形沿AC 折叠，点D 落在'D 处，求重叠部分AFC ∆的面积.解： 长方形ABCD 中，CD AB //（已知） 21∠=∠∴（两直线平行，内错角相等） 由折叠知C AD ADC '∆≅∆,31∠=∠∴ 32∠=∠∴（等量代换），CF AF =∴（等角对等边）设，,x CF AF ==则x FB -=8.DCBAEDCBA321FDCB A在BCF Rt ∆中，222FC BC BF =+（勾股定理），()22248x x =+-∴解方程得：5=x .1021,5=⋅==∴∆BC AF S AF AFC 说明：图形经过翻折、旋转、平移运动后，形状与大小不会改变，因此对这类问题要注意使用全等图形的性质.在解答有关图形的问题时，可以采用代数方法，合理的设定未知数，根据题意或图形的性质列方程来解决.例4 如图，在ABC ∆中，BC AD ⊥于点D ,且DC BD AD ⋅=2.判断ABC ∆是不是直角三角形？ 解： BC AD ⊥于点D （已知），222BD AB AD -=∴ 222DC AC AD -=（勾股定理）()()222222DC BD AC AB AD +-+=∴ DC BD AD ⋅=2,()DC BD DCBD AC AB ⋅⋅=+-+∴22222.22222DC BD DC BD AC AB ⋅++=+∴ ()2222BC DC BD AC AB =+=+∴即222BC AC AB =+, ABC ∆∴是直角三角形（勾股定理的逆定理）例5 如图，在ABC ∆中，M BC AC ACB ,,90==∠ 是ABC ∆内一点，且2,1,3===CM BM AM ,求BMC ∠的度数.解： 作CM CD ⊥，使CM CD =. 联结DM 、DB .90=∠+∠=∠+∠BCM DCB BCM ACM ,ACM DCB ∠=∠∴又()S A S ACM BCD CD CM BC AC ⋅⋅∆≅∆∴==,, ,3==∴AM BD90,2=∠==DCM CM CD . 45,2222=∠=+=∴CMD CM CD DM1359045=+=∠+∠=∠∴BMD CMD BMC巩固练习: 一、填空题1. 等腰三角形的两边长分别为8和6，则其底边上的高为____10____.2. 如果直角三角形的三边长分别为5、12、13，那么这个三角形最大边上的中线为__213___. 3. 如果直角三角形的两直角边长分别为3、4，则斜边上的高为__512____. 4. 直角三角形周长为12cm ，斜边上中线是2.5cm ，则三角形的面积是___26cm _____.DCBAMDCBA5. 已知ABC ∆中，,4,30,90==∠=∠BC C A 那么以AC 为一边的正方形的面积为__12___.6. 已知ABC ∆中，,90 =∠C 若,20,3:4:==c b a 则a =___16_____,=b ___12______.7. 如图，直线l 过正方形ABCD 的顶点A ,点B 、D 到直线l 的距离分别为8、15，则正方形的面积为____289______.(第7题) (第8题)8. 如图，已知在ABC Rt ∆中， 30,90=∠=∠C B ,将ABC ∆绕点A 逆时针旋转 30后得到'''C B A ∆,若1=AB ,则两个三角形重叠部分的面积为____63_____. 9. (1) 若ABC ∆的三条边长a 、b 、c ，满足函数关系式0422224=--+b c a c b a ，则ABC ∆的形状是____等腰三角形或直角三角形_____.(2) 已知a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，若关于x 的方程()()022=---+b a cx x b a 有两个相等的实数根，则ABC ∆的形状是___直角三角形______. 10. 如图，已知在ABC Rt ∆中，,90=∠C 1,30==∠AC B, 点D 在AB 上，且AB BD 41=,那么CD 的长是___27____.二、解答题1. 如图，在四边形ABCD 中，.12,13,4,3,90=====∠BC DC AB AD A 求四边形ABCD 的面积.答案：362. 如图，一架2.5米长的梯子AB ,斜靠在一竖直的墙AC 上，这时梯足B 到墙底端C 的距离为0.7米，如果梯子顶端A 沿墙垂直下滑0.4米至1A ,那么梯足将外移多少米？ 答案：0.8米DCBAl D C BA C'B'CBAC DBA A1A3. 如图，矩形ABCD 中，8,10==AB AD ,将矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在边BC 上的点F 处，求EF 及AE 的长.答案：55,5==AE EF4. 如图，AB ABC DC AD BC AB ,90,6,3,3 =∠====交DC 于点E,求DAB ∠的度数. 答案： 155. 已知矩形ABCD 中，E BC AB ,4,3==、F 分别在AC AB ,上，且,1==BF BE 求F 到ED 的距离. 答案：5536. 根据下列三角形的三边a 、b 、c 的值，判断三角形是不是直角三角形，如果是直角三角 形，指出哪个角是直角： （1）;25,24,7===c b a （2）;11,8,7===c b a （3）5:12:13::=c b a答案：（1）是， 90=∠C ;(2)不是；（3）是 90=∠A7. 如果一个直角三角形的三边长为三个连续偶数，求这个三角形的三边长. 答案：所以此直角三角形的三边长为6,8,10.8. 如图，已知ABC ∆的三边25,20,15===AC BC AB ,求ABC ∆最长边上的高. 答案：12三、两点间的距离公式1.设在数轴上点A 表示数A x ，点B 表示数B x ,则B A x x AB -=2.设在平面直角坐标系中点()11,y x A ，点()22,y x B ，则()()221221y y x x AB -+-=例6 已知()()()2,1,4,3,3,4C B A -，判断ABC ∆的形状.CFEDBACEDBAC FEDBA解答： 90=∠C ,ABC ∆是直角三角形.例7 在直角坐标平面内，点A 坐标为()4,3-，点B 坐标为()6,8，点O 为坐标原点. （1）判断AOB ∆的形状,并说明理由. （2）求OB 边上中线的长.解：（1）直角三角形；（2）25=AC .例8、如图，直角梯形ABCD 中，∠A=90°，AB ∥CD ，且AB=2，AD=23，∠BCD=60°。
两点之间距离公式初中
两点之间距离公式初中在初中学习中，我们会接触到两点之间的距离公式。
两点之间的距离可以用直线距离来衡量，通常使用的公式是勾股定理或者坐标系中的距离公式。
下面将详细介绍这些公式。
1.勾股定理：勾股定理适用于平面上两个点之间的距离计算。
假设有一个直角三角形ABC，其中∠ABC为直角，边AB和AC分别表示直角三角形的两个边。
根据勾股定理，边AB的平方加上边AC的平方等于边BC的平方。
即：AB²+AC²=BC²。
我们可以利用这个定理计算两个点之间的直线距离。
例如，假设在平面上有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们可以计算这两个点之间的距离（即边AB的长度）。
距离AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]其中，(x₂-x₁)表示两个点在x轴上的坐标差，(y₂-y₁)表示两个点在y 轴上的坐标差。
将这些差值的平方相加，然后取平方根，即可得到两个点之间的距离。
2.坐标系中的距离公式：在坐标系中，我们可以计算两个点之间的距离。
假设有两个点A(x₁,y₁)和B(x₂,y₂)，我们知道两个点之间的水平距离等于x坐标的差值，垂直距离等于y坐标的差值。
因此，我们可以使用以下公式计算两个点之间的距离：距离AB=，x₂-x₁，+，y₂-y₁在计算距离时，我们使用绝对值符号，，取两个坐标差的绝对值，确保结果为正数。
需要注意的是，在计算距离时，我们通常使用绝对值符号来确保结果为正数，因为距离应该是非负的。
总结起来，初中学习中的两点之间的距离公式主要是勾股定理和坐标系中的距离公式。
这些公式可以用来计算平面上两个点之间的直线距离。
在实际问题中，我们可以根据具体的情况选择合适的公式进行计算。
平面上两点间的距离公式
平面上两点间的距离公式在平面上，两点之间的距离可以通过使用勾股定理或坐标公式来计算。
一、勾股定理勾股定理适用于直角三角形，根据该定理，直角三角形斜边的长度可以通过其两条直角边的长度计算得出。
在平面上，两点之间的直线可以看做是直角三角形的斜边，因此我们可以使用勾股定理来计算两点之间的距离。
设两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则PQ的距离为d。
根据勾股定理，d的计算公式为：d=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)其中，^表示乘方运算，√表示开方运算。
这个公式代表了将两点之间的直线看作斜边，利用两条直角边的长度计算斜边的长度。
二、坐标公式坐标公式是通过计算两点间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。
这种方法适用于不确定两点坐标的直角坐标系。
假设P(x1,y1)和Q(x2,y2)是两点，横坐标之间的差为Δx，纵坐标之间的差为Δy，d是两点之间的距离，则d的计算公式如下：d=√(Δx^2+Δy^2)=√((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)这个公式表示了通过计算两点之间的水平和垂直距离，然后应用勾股定理来求得两点之间的距离。
无论使用勾股定理还是坐标公式，最终的计算结果都是两点之间的距离。
这个距离表示了两点之间的直线长度。
这些公式在计算机图形学、几何学和物理学等领域都有广泛的应用。
它们提供了一种简单而有效的方法来计算平面上两点之间的距离。
最后，值得注意的是，上述的距离公式适用于平面上的欧几里得距离。
在一些特殊情况下，如曼哈顿距离或切比雪夫距离等，计算方法可能会有所不同。
这些距离公式适用于特定的应用场景，根据实际情况选择合适的距离公式进行计算。
勾股定理及两点间距离公式B(学生版)
学科教师辅导讲义2． 已知直角三角形的两边长分别是8cm 和6cm ，求它的面积.题型三：【例9】如下图，字母B 所代表的正方形的面积是 ；【例10】如图，在一块用边长为cm 20的正方形的地砖铺设的广场上，一只飞来的鸽子落在A 点处，，鸽子吃完小朋友洒在B 、C 处的鸟食，最少需要走多远？【例11】欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？B16925C B A【例12】如图，有一个高是1.5米、半径是1米的圆柱形油桶，在上地面靠边的地方有一小孔，从孔中插入一根铁棒，已知铁棒在油桶外的部分最短是0.5米，这根铁棒有多长？【例13】中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。
赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。
你能结合这幅“勾股圆方图”证明勾股定理吗？【借题发挥】1．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩的头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？2．如图，每个小方格都是边长为1的正方形，C（1）求图中格点四边形ABCD 的面积和周长。
（2）求∠ADC 的度数。
6．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.这个水池的深度和这个芦苇的长度各为多少？题型四：两点间距离公式【例14】求下列两点间的距离：（1）()2,8A -和()3,4B - （2）()2,1C 和()2,3D -（3）()3,2P-和()23,1Q （4）()5,2M-和()2,5N1．在直角三角形ABC 中，3,4a b ==，则c = .2．直角边分别为8cm 和15cm 的直角三角形的斜边上的中线长 cm . 3．等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则它的面积等于 . 4．已知代数式2425x z -+-与代数式21449y y -+的值互为相反数，则以,,x y z 为三边的三角形的形状为三角形,5．如图，在圆O 中，AB 是弦，直径CD 垂直平分AB 于M ，CD 15cm =，:3:5OM OC =,则弦AB 的长为 .解答题：1．在直角坐标平面内，已知点()6,2A -，点()2,4B -，在x 轴上有一点P ，且PA PB =.求点P 的坐标.2．已知：在△ABC 中，26,24,10AB cm AC cm BC cm ===，D 是AB 中点.求线段CD 的长.3．以()()()1,1,0,3,3,1A B C --三点为顶点，能否构成一个三角形？若能，请判断这个三角形的形状;若不能，请说明原因,4．菱形的周长为20cm ，它的一个锐角等于60°，求它的面积.【课堂总结】【课后作业】 一、基础巩固训练填空题：1．如果等腰直角三角形有一条边长2厘米，那么它的另两条边长分别长 厘米.2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠BCA =90°，CD ⊥AB 于D ，E 为AB 的中点，3,33AC BC ==,则∠DCE 的度数为 .3．点()2,1A -和点()3,2B -之间的距离AB 为 .4．如果边长为3厘米的小正方形的面积之和等于一个大正方形的面积，那么大正方形的边长为 厘米.5．如果点()4,8M 和点(),5N a 之间的距离等于5，那么a 的值为 .选择题：1．以下列各组数为三边长的三角形中，不能组成三角形的是（ ）A.31,31,22+-;B.3.5,4.5,5;C.4,7.5,8.5;D.()221,2,11n n n n -+>.2．在直角三角形中，若斜边上的中线是奇数，一条直角边是偶数，则另一条直角边一定是（ ） A.偶数; B.奇数; C.自然数; D.以上结论都不对. 3．在下列命题中，真命题有（ ）①有一个角等于另外两个角的差的三角熊是直角三角形；②有一条边的平方等于另外两条边的平方和的三角形是直角三角形； ③三条边长分别为10,20,30的三角形是直角三角形；④三个外角的度数之比为3:4:5的三角形是直角三角形. A.4个; B.3个; C.2个; D.1个.4．三角形三个内角的度数比为3:2:1，那么它的三条边的长度之比为（ ） A.3:2:1; B.3:2:1; C.2:3:1; D.9:4:1.5．已知直角三角形有一条直角边长11厘米，另外两条边的长度都是自然数，那么这个三角形的周长为（ ） A.120厘米; B.132厘米; C.144厘米; D.156厘米. 解答题：1．已知：在△ABC 中，AB AC =，D 是底边BC 上任意一点，连结AD .求证：22AB AD BD DC -=⋅.2．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，2AB BC a==，AD是BC边上的中线，把点A翻折与点D重合，得到折痕EF，求线段AE与线段BE的长度之比.3．点P、Q为Rt△ABC斜边AB的三等分点.（1）若CP⊥AB，CP=2，求斜边AB的长.（2）若2CP CQ==，求斜边AB的长.二、综合提高训练1．△ABC三边a,b,c为边向外作正方形，正三角形，以三边为直径作半圆，若S1+S2=S3成立，则是直角三角形吗？A BCabcS1S3S2ACabcS2S3BS12．你能用下面的图形也来验证一下勾股定理吗？试一试！。
2点之间距离怎么求
2点之间距离怎么求在几何学中，计算两点之间的距离是一个基本问题。
无论是在平面上还是在三维空间中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
本文将介绍一些常见的方法和公式来计算两点之间的距离，旨在帮助读者更好地理解和解决这个问题。
1. 在平面上的两点之间的距离在平面上，给定两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们可以使用勾股定理计算两点之间的距离。
勾股定理表明，对于一个直角三角形，设其两个直角边的长度为a和b，斜边的长度为c，则有：c^2 = a^2 + b^2。
应用到平面上的两点之间，我们可以将该问题转化为计算两个坐标点之间的直线距离，即斜边的长度。
根据勾股定理，可以得到两点之间的距离公式：距离= √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)2. 在三维空间中的两点之间的距离在三维空间中，给定两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，我们仍然可以利用勾股定理来计算两点之间的距离。
类似于平面上的情况，我们将该问题转化为计算两个坐标点之间的直线距离。
根据勾股定理，可以得到三维空间中两点之间的距离公式：距离= √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)3. 利用向量计算两点之间的距离除了勾股定理，我们还可以用向量来计算两点之间的距离。
在平面上和三维空间中，我们可以将两个点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)分别表示为向量P和Q。
•在平面上，向量P = (x1, y1)和Q = (x2, y2)，两个向量的差向量为V = Q - P = (x2 - x1, y2 - y1)。
两点之间的距离等于差向量的模，即距离为||V|| = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)。
•在三维空间中，向量P = (x1, y1, z1)和Q = (x2, y2, z2)，两个向量的差向量为V = Q - P = (x2 - x1, y2 - y1, z2 - z1)。
勾股定理-综合讲义
数学学科辅导讲义教学内容勾股定理教学目标一．考点：1．求线段长；2．最短路径问题；3．两点之间距离公式．教学重点根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长．教学难点1．在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；2．所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”．教学过程知识详解一．求线段长求线段长1．直接利用勾股定理：已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；特殊三角形比例关系图1中，图2中，等面积法求高勾股定理与角平分线结合已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD勾股定理与折叠问题结合直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，C△ABE=AB+BC=9+12=21网格与勾股定理辅助线构造直角三角形（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长二．勾股定理与最短距离1. 画出立体图形的展开图2. 利用“两点之间线段最短”和“勾股定理”求出最短距离分类思路图示正方体1. 画出平面展开图2. 确定A、B两点的对应点，连接后求解长方体长方体的平面展开图会有两种情况，选择路径更短的求解圆柱 B 点应该在侧面展开图的中间线上缠绕多圈1.圆柱体：看做是多个最短路径的结合2.长方体：展开侧面，连接A 、B 两点即可典型例题进门测：1. 适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为( ) ①;51,41,31===c b a ②,6=a ∠A=450; ③∠A=320, ∠B=580; ④;25,24,7===c b a ⑤.4,2,2===c b aA. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 2. 在⊿ABC 中，若1,2,122+==-=n c n b n a ，则⊿ABC 是（ ）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 等腰三角形D . 直角三角形3. 直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍, 这个三角形有一个锐角是( )A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°4.已知，如图2，长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ ）A ．6cm 2B ．8cm 2C ．10cm 2D 12cm 25．如图（第17题）底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A 爬到点B ，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．A ．10B ．8C ．5D ．4AB EF DC （图2）6．如图（第18题），已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C'处，BC，交AD于点E，AD＝8，AB ＝4，则DE的长为( )．A．3 B．4 C．5 D．67．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，△ABC是等边三角形，∠ADC＝30°，AD＝3，BD＝5，则CD的长为( )．A．32B．4 C．25D．4.51．点P、Q分别是边长为4cm的等边△ABC的边AB、BC上的动点，点P从顶点A，点Q从顶点B同时出发，且它们的速度都是1cm/s，设运动时间为t秒．（1）连接AQ、CP交于点M，则在P、Q运动的过程中，∠CMQ变化吗：若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数；（2）连接PQ，①当t=2秒时，判断△BPQ的形状，并说明理由；②当PQ⊥BC时，则t=秒．（直接写出结果）2．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为△ABC内一点，且BD=AD．（1）求证：CD⊥AB；（2）∠CAD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA．①求证：DE平分∠BDC；②若点M在DE上，且DC=DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明；③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数．3．如图１，△ABC和△EDC中，D为△ABC边AC上一点，CA平分∠BCE，BC=CD，AC=CE．（1）求证：∠A=∠CED；（2）如图2，若∠ACB=60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CG=CF，连接DG交BE于H．①求∠DHF的度数；②若EB平分∠DEC，试说明：BE平分∠ABC．随堂检测1．直角三角形两锐角的平分线所成钝角的度数是( )A．115°B．125°C．135°D．无法确定2．有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另外两个内角之和；②三个内角之比为3：4：5；③三边之比为5：12：13；④三边长分别为7，24，25．其中直角三角形有( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，周长为60，斜边与一条直角边之比为13：5，则这个三角形三边长分别为( ) A．5，4，3 B．13，12，5 C．10，8，6 D．26，24，104．一等腰三角形底边长为10 cm，腰长为13 cm，则腰上的高为( )A．12 cm B．6013cm C．12013cm D．135cm6．△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，则△ABC的周长为( )A．42 B．32 C．37或33 D．42或32课后练习1．平面直角坐标系中，已知A（8，0），△AOP为等腰三角形且面积为16，满足条件的P点有( ) A．12个B．10个C．8个D．6个2．如图，在△ABC中，已知∠ACB=90°，AB=10cm，AC=8cm，动点P从点A出发，以2cm／s的速度沿线段AB向点B运动．在运动过程中，当△APC为等腰三角形时，点P出发的时刻t可能的值为（）A．5 B．5或8 C．52D．4或52第2题图第3题图3．如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值_________．4．直角三角形三角形两直角边长为5和12，三角形内一点到各边距离相等，那么这个距离为________．4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD=2∠ACB．若DG=3，EC=1，则DE的长为6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AC的中点，作∠ADB的角平分线DE交AB于点E，（1）求证：DE∥BC；（2）若AE=3，AD=5，点P为线段BC上的一动点，当BP为何值时，△DEP为等腰三角形．请求出所有BP的值.选择题专题6．如图，在把易拉罐中的水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为( )A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm7．如图，一架长2.5 m的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子顶端离地面2.4 m，为了安装壁灯．梯子顶端离地面降至2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向移动( )A．0.4 m B．0.8 m C．1.2 m D．不能确定8．如图，在一个高为3m，长为5m的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为( )A．7 m B．8 m C．9 m D．10 m9．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为( )A．600 m B．500 m C．400 m D．300 m。
沪教版八年级上册-勾股定理及两点间距离公式讲义
点 ， 之间所连线段的中点 坐标为（ ， ）
公式对于 和 两点在平面内任意位置都是成立的
热身练习
1、在 中， 那么AC长等于（B）
A. B. C. D.
2、三角形的三边长是9、15、12，它的最长边上的高是（A）
A。7.2 B.6.5 C.10 D无法求出
3、两船分别从港口向东北、西北方向行驶，速度分别为15海里/小时和10海里/小时，若两船同时开出，2小时后相距（A）
，解得 或 ，所以B的坐标是（0，0）或（6，0）；
（2）点B在 轴上，那么可设B的坐标为（0， ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（0，8）；
（3）点B在第一、三象限的角平分线上，那么可设B的坐标为（ ）
，解得 或 ，所以点B的坐标是（0，0）或（7，7）；
（4）点B与 轴的距离等于1，则点B在与 轴平行且分布在 轴两侧的直线上，那么可设B的坐标为（1， ）和（-1， ）
证明：利用面积相等有，
整理得c2＝a2＋b2.
例2、如果一个直角三角形的三边长为三个连续的偶数，求这三角形的三边长。
解：设直角三角形的三边长为 （ 为正整数），显然 最长，则有
，
，
所以直角三角形的三边为6、8、10
例3、如图，E、F分别是正方形ABCD中BC和CD边上的点，且AB=4，CE= BC，F为CD的中点，连接AF、AE，问△AEF是什么三角形？请说明理由.
解： 联结AC
在Rt 中，因为 ，AB=12,BC=9
所以AC= （勾股定理）
在 中，AC=15，AD=8，CD=17
而 ，即
所以 为直角三角形，且 （勾股定理逆定理）
所以
例5、已知在直角坐标平面内，A、B两点的坐标为A（2，2）、B（-1，-2），点P在X轴上且
勾股定理及两点间的距离公式
模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．例题解析【例1】（1）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，则AB=_________；（2）在直角△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，AB=3，则AC=_________．【例2】（1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【例3】（1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________；（3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【例4】（1）若直角三角形的三边长分别为N+1，N+2，N+3则N的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于点D ，求CD 的长．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路，请你求出这条小路的长（结果保留根号）．A BCD A BCM MNBC D【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒?【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，求出重叠部分△AFC 的面积．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）．APQMNABCD EF A BC DA B CDP2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例12】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形【例13】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．【例14】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用例题解析知识精讲【例15】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断△ABC 的形状．【例16】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ．（1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【例17】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB 的度数．ABCD A BCDE【例18】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD 的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值．3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -； （2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例19】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ．例题解析模块三：两点间的距离公式ABCDEF知识精讲【例20】（1）已知A（x，3）、B（3，x+1）之间的距离为5，则x的值是_________；（2）已知点P在第二、四象限的平分线上，且到Q（2，-3）的距离为5，则点P的坐标为_________．【例21】（1）以点A（1，2）、B（-2，-1），C（4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A（0，3）、B（0，-1），△ABC是等边三角形，则点C的坐标是_______．【例22】已知直角坐标平面内的点A（4，1）、B（6，3），在坐标轴上求点P，使P A=PB．【例23】已知直角坐标平面内的点P（4，m），且点P到点A（-2，3）、B（-1，-2）的距离相等，求点P的坐标．【例24】已知点A（2，3）B（4，5），在x轴上是否存在点P，使得PA PB的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由．【例25】已知直角坐标平面内的点A（4，32）、B（6，3），在x轴上求一点C，使得△ABC是等腰三角形．【例26】已知点A（4，0）、B（2，-1），点C的坐标是（x，2-x），若△ABC是等腰三角形，求C的坐标．【习题1】六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A．2、4、8B．4、8、10C．6、8、10D．8、10、12随堂检测【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． A B CDABC DEF【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC 的面积．【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标．AB D CABQP M【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==o ，，是ABC ∆内一点，且 312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等 （2） 有一直角边和斜边上对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3课后作业ABCM【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，C 与E 重合，且AC =3，BC =4，则CD 等于_____________.【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是 ____________．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D 两点的距离为_______. 5072A【作业8】 知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=o o ，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30o 后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________.【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状.【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状.解：Q 222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B )222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错? 请写出该步的代号：____________； （2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.ABCDQPABCQP【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.。
平面上两点间的距离公式
平面上两点间的距离公式勾股定理是一个基本的几何定理，它指出在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
根据这个定理，我们可以得到以下两点间的距离公式：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)其中，d表示两点之间的距离。
这个公式的推导非常简单，下面我们来进行推导过程。
假设有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以将这两个点看作是直角三角形的两个顶点。
两条直角边分别是垂直于x轴和y轴的线段。
假设这两条直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c，根据勾股定理有：a²+b²=c²其中，a=x2-x1，b=y2-y1代入上述表达式，我们得到：(x2-x1)²+(y2-y1)²=c²那么，c就是A点和B点之间的距离。
将c²开方，我们得到：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)这个公式就是平面上两点间的距离公式。
例如，假设有两个点A(1,2)和B(4,6)，我们可以使用上述公式来计算这两个点之间的距离：d=√((4-1)²+(6-2)²)=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5所以，点A和点B之间的距离为5个单位。
此外，还有其他更简洁的方式来表示两点之间的距离。
例如，我们可以使用矢量的减法来计算两点之间的距离，即：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²)=√((x2-x1)(x2-x1)+(y2-y1)(y2-y1))=√(x2²-2x1x2+x1²+y2²-2y1y2+y1²)=√(x2²+y2²+x1²+y1²-2x1x2-2y1y2)这个公式可以更方便地用于计算两点之间的距离。
总结起来，平面上两点间的距离公式是通过应用勾股定理得出的。
沪科版八年级下册数学-18.1勾股定理1——两点之间的距离公式-课件(共19张PPT)
x
平面内有一点A（3,4），如何求O，A之间的距 离|OA|？
|OB|=3 |AB|=4 |OA|=5
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,5) C （5，,2）
-2 -1 0 1 2 3 4 5
x
B1
平面上两点A（1,2），B（5,5），如何计算这两点之间的距离|AB|？
|AC|=|xA-xC|=|1-5|=4
两点之间的距离公式
两点间距离公式及应用（复习导入）
A
B
-2 -1 0 1 2 3
|AB|=|-2-3|=|-5|=5
两点间距离公式及应用（复习导入）
C
D
x1
-2 -1 0 1 2 3
x2
|CD|=|x1-x2|
两点间距离公式及应用（授新）
y
5
|AB|=|5-1|=4
4
3
A(1,2)
2
1
B(5,2)
|BC|= |yB-yC|=|5-2|=3
|AB|=5
两点间距离公式及应用（授新）
平面上任意两点A（x1，y1）和B（x2，y2），如何计算AB两点之间的距离|AB|
y
A(x1,y1)
|BC|=|x2-x1|
C(x1,y2)
B(x2,y2)
0
A1
x
平面直角坐标系中两点之间的距离公式:
|AC|=|y2-y1|
两点间距离公式及应用（作业）
1、P62思考 2、P63.3
两点间距离公式及应用（拓展延伸）
1、在平面内，已知A（1，-1），B（b，3），且AB=5，求b 2、已知A（1，1），B（3，-1），C（3，y），且△ABC为等腰三角形， 求y
两点坐标距离公式
两点坐标距离公式两点坐标距离公式是指用来计算两点之间距离的公式。
在二维平面中，两点坐标距离公式为勾股定理:距离= √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2)其中(x1, y1) 和(x2, y2) 是两点的坐标。
在三维空间中，两点坐标距离公式为：距离= √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)其中(x1, y1, z1)和(x2, y2, z2) 是两点的坐标。
需要注意的是，这个公式适用于欧几里得空间或欧几里得平面，在其他空间中可能不适用。
这个公式又叫欧几里得距离公式，这个距离公式是来自欧几里得空间的距离公式，是最常见的距离公式之一。
它的优点是简单易用，适用范围广，可以在二维平面和三维空间中使用，在很多场景下能得到满足要求的结果。
然而，在一些场景下，这个公式可能不能得到满足要求的结果，比如在空间中较大的距离可能被忽略，在地理空间数据中，通常使用曼哈顿距离或海星距离来更准确地计算在守恒律弱解中，还有另外一种常用的定义是欧拉第二定律，即∫Fdx = ∫d(E)，它表示物体运动时动能E发生变化，其变化等于受力F积分。
这个公式可以用牛顿第二定律F = ma 和能量守恒定律E = K+U 来证明，欧拉第二定律和牛顿第二定律等价。
例如, 可以将F = ma 积分得到∫Fdx = ∫madx = m ∫adx = m(v^2-u^2)/2 = K, 其中K为动能，U为势能。
由能量守恒公式E = K+U 可知，∫Fdx = ∫dE.续，这两种距离公式在地理空间数据中使用较广泛，因为它们能更准确地反映地理空间中两点之间的相对距离。
比如，城市间的道路交通距离往往更接近曼哈顿距离，而在棋盘游戏中，棋子之间的距离更接近海星距离。
同时，还有其他类型的距离公式，如马氏距离、夹角余弦距离等，它们在不同的场景下有着不同的应用。
需要根据具体场景和需求来选择合适的距离公式。
总的来说，欧几里得距离是一种常用的距离公式，其简单易用，适用范围广。
两点间的距离公式课件
工具。
精度要求
对于需要高精度计算的应用场景，如地理信息系统（GIS），需要使用更 高精度的计算方法。
在某些特定领域，如物理学或工程学，对距离计算的精度有更高的要求 。
在日常应用中，一般使用默认的浮点数精度即可满足需求。
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实例计算
使用两点间的距离公式：d = sqrt[(x2-x1)^2 + (y2-y1)^2]。
计算过程中需要注意运算顺序和精度 ，确保结果准确。
将点A和点B的坐标值代入公式中进行 计算。
实例结果分析
根据计算结果，分析两点间的距离。 比较不同点对之间的距离，了解距离与坐标值之间的关系。
通过实例分析，加深对两点间距离公式的理解和应用。
公式推导
该公式是通过勾股定理推导出来 的，即直角三角形的斜边平方等
于两直角边平方之和。
在平面直角坐标系中，设两点 A(x1, y1)和B(x2, y2)，则线段
AB的中点M的坐标为 ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2)。
线段AB的长度即为AM的长度， 根据勾股定理，有d² = [(x2-
x1)² + (y2-y1)²]，开方得到d = √[(x2-x1)² + (y2-y1)²]。
公式应用场景
两点间的距离公式在几何学、 物理学、工程学等领域都有广 泛应用。
在计算两点之间的直线距离、 确定物体运动轨迹、解决实际 问题等方面都需要用到该公式 。
在地理信息系统、地图绘制、 导航等领域，该公式也是不可 或缺的工具。
02
公式中的符号解释
符号含义
d：表示两点间的距 离。
√：表示开平方运算 。
06
公式注意事项
两点之间距离公式
两点之间距离公式两点之间的距离是空间中的两个点之间的直线距离。
它是计算几何学的一个重要概念，可应用于许多领域，包括物理学、工程学和地理学等。
在一个平面坐标系中，我们可以通过使用勾股定理计算两点之间的距离。
勾股定理是一个关于直角三角形的定理，表示直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。
用数学表达式表示，可以表示为：c²=a²+b²，其中c是斜边的长度，a和b是直角边的长度。
假设我们有两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)，我们可以使用勾股定理来计算它们之间的距离。
首先，我们需要计算两个点之间在x轴和y轴上的差值，即Δx=x2-x1和Δy=y2-y1、然后，我们可以计算斜边的长度c=√(Δx²+Δy²)。
下面是通过勾股定理计算两点之间距离的具体步骤：1.确定两点的坐标：假设我们有点A(x1,y1)和点B(x2,y2)。
2.计算两点在x轴和y轴上的差值：Δx=x2-x1，Δy=y2-y13.计算两点之间的直线距离c：c=√(Δx²+Δy²)。
4.若需要，可以使用适当的单位进行转换。
例如，若需要将距离从像素转换为英寸，则需要知道每英寸的像素数。
以下是一个计算两点之间距离的示例，假设点A为(2,3)和点B为(5,7)：1.Δx=5-2=3Δy=7-3=42.c=√(3²+4²)=√(9+16)=√25=5因此，点A和点B之间的距离为5个单位（可以是任何单位，根据给定的坐标系和应用的领域而定）。
需要注意的是，这种方法只适用于求解平面上两点之间的距离。
如果涉及到三维或更多维的空间，则需要使用其他方法，如欧氏距离或曼哈顿距离。
-欧氏距离是指平面上两点之间的最短路径距离。
在三维空间中，可以使用以下公式来计算两点之间的欧氏距离：d=√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
(精品)数学讲义八年级秋季班-第19讲：勾股定理及两点间的距离公式-教师版
本章节主要讲解两部分内容，一是直角三角形的三条边之间的数量关系即勾股定理，包括勾股定理的证明、应用及逆定理的证明和应用两方面；二是两点间的距离公式．难点是勾股定理的证明及应用，它是解决直角三角形三边之间关系的常用方法，是一个工具公式，在以后的学习中运用非常广泛．1、勾股定理：（1）直角三角形中，两条直角边的平方和，等于斜边的平方．利用勾股定理往往构造方程，已达到解决问题的目的；（2）应用勾股定理解决实际问题，要注意分析题目的条件，关注其中是否存在直角三角形，如果存在直角三角形，根据所给的三边条件，建立方程，从而解决问题；如果问题中没有直角三角形，可以通过添加辅助线构造出直角三角形，寻求等量关系，再根据勾股定理建立相应的方程，因此，在解决直角三角形中有关边长的问题时，要灵活的运用方程的思想．勾股定理及两点间的距离公式知识结构模块一：勾股定理的证明及应用知识精讲内容分析【例1】 （1）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°，BC =1，则AB =_________；（2）在直角△ABC 中，∠C =90°，∠A =45°，AB =3，则AC =_________．【难度】★【答案】（1）2；（2）223． 【解析】（1）由直角三角形性质推论即可得结论；（2）设x BC AC ==，则由勾股定理可得：2223=+x x ，解得：223=x ， ∴223=AC ． 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的综合应用．【例2】 （1）等边三角形的边长是3，则此三角形的面积是___________；（2）等腰三角形底边上的长为2，腰长为4，则它底边上的高为__________．【难度】★ 【答案】（1）349；（2）15． 【解析】（1）作出等边三角形的高，则可得高为323，则三角形的面积为349； （2）作底边上的高，由三线合一性质和勾股定理可得底边上的高为15 【总结】考察等腰三角形的三线合一和勾股定理的综合运用．【例3】 （1）直角三角形两边长为3和4，则此三角形第三边长为_________；（2）直角三角形两直角边长为3和4，则此三角形斜边上的高为_________； （3）等腰三角形两边长是2、4，则它腰上的高是____________．【难度】★★【答案】（1）5或7；（2）512；（3）215．【解析】（1）3和4可以是两直角边长，也可以是一个直角边和斜边；例题解析（2）由勾股定理可得：斜边长为5，则由等面积法可知：三角形斜边上的高为512543=⨯；（3）∵2、2、4不能构成三角形，所以三角形的三边长为4、4、2， 作等腰三角底边上的高，则由等腰三角形三线合一性质和勾股定理可得：底边上的高为15，则由等面积法可知：此三角形腰上的高为2154152=⨯． 【总结】考察等腰三角形的性质和勾股定理的应用，注意分类讨论．【例4】 （1）若直角三角形的三边长分别为N +1，N +2，N +3则N 的值是____________；（2）如果直角三角形的三边长为连续偶数，则此三角形的周长为______________．【难度】★★【答案】（1）2；（2）24．【解析】（1）由题意有：()()()222321+=+++N N N ，解：2=N （负值舍去）；（2）可设直角三角形的三边长分别为N -2，N ，N +2 ∴()()22222+=+-N N N ，∴8=N∴三角形的周长为243=N【总结】考察勾股定理的应用．【例5】 如图，在直角△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=60°，D 是斜边AB 的中点，BC =2，求△ADC 的周长． 【难度】★★ 【答案】324+．【解析】∵∠ACB =90°，D 是斜边AB 的中点，∴AB AD CD BD 21===．∵∠B=60°，∴△BDC 是等边三角形，∴BC CD =．∵∠ACB =90°，∠B=60°，∴∠A=30°，∴4=AB ．∵AB AD CD BD 21===，∴2=CD ．∵∠ACB =90°，BC =2，4=AB ，∴322422=-=AC ，∴3243222+=++=++=AC CD AD C ADC △ 【总结】考察直角三角形的性质和勾股定理的运用．【例6】 如图，已知：R t △ABC 中，∠ACB 是直角，BC =15，AB 比AC 大9，CD ⊥AB 于CBC D点D ，求CD 的长． 【难度】★★【答案】17120．【解析】设9AC x AB x ==+，， ∵222CB AC AB +=，∴()222159+=+x x ，解得：8=x∴817AC AB ==，由等面积法可知：1712017158=÷⨯=÷⋅=AB BC AC CD ． 【总结】考察勾股定理和等面积法的应用．【例7】 已知已直角三角形的周长为4+26，斜边上的中线为2，求这个直角三角形的面积． 【难度】★★【答案】52．【解析】∵斜边上的中线为2，所以斜边长为4．∵直角三角形的周长为4+26，∴两直角边之和为26． ∵斜边长为4，则两直角边的平方和为16，∴设两直角边分别为x y ，，则有⎩⎨⎧=+=+261622y x y x ，解得：()()52222=+-+=y x y x xy ，∴直角三角形的面积为25． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意方法的运用．【例8】 如图，直线MN 是沿南北方向的一条公路，某施工队在公路的点A 测得北偏西30°的方向上有一栋别墅C ，朝正北方向走了400米到达点B 后，测得别墅C 在北偏西75°的方向上，如果要从别墅C 修一条通向MN 的最短小路， 请你求出这条小路的长（结果保留根号）． 【难度】★★【答案】3100100+．【解析】根据垂线段最短，过C 作垂线的垂线段是最短的． 过C 作CD ⊥MN ，垂足为D ，过B 作BE ⊥AC ，垂足为E ．由题意可知：︒=∠30CAB ，︒=∠75CBM ，∴︒=∠45BCA ．A BCM M ND M EM在Rt △ABE 中，︒=∠30CAB ，400=AB ，∴20021==AB BE ． ∴由勾股定理可得：3200=AE在Rt △CBE 中，︒=∠45BCA ，200=BE ，∴200=CE ∴2002200+=+=CE AE AC在Rt △ACD 中，︒=∠30CAB ，3200200+=AC ，∴3100100+=CD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用．【例9】 如图，公路MN 和公里PQ 在点P 处交汇，且∠QPN =30°，点A 处有一所中学，AP =160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在MN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到噪音的影响?请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度是18千米/时，那么学校受影响的时间是多少秒? 【难度】★★ 【答案】24秒．【解析】过A 做AB ⊥MN ，垂足为B ．在Rt △ABP 中，∠QPN =30°，160=AP ，∴8021==AP AB∵80<100，所以学校会受到噪音的影响．假设在C 处开始受到噪音影响，在D 处开始不受影响， ∴100100==AD CA ，由勾股定理可得：60==BD CB∴受影响的路程为120米=0.12千米∴学校受影响的时间为秒2436001812.0=⨯．【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的应用，解题时注意对题意的分析．【例10】 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =4，将矩形沿AC 进行翻折，点D 落在E 处，CDAPQMNB求出重叠部分△AFC 的面积． 【难度】★★ 【答案】10．【解析】∵AB DC ∥，ACF DCA ∠=∠，∴CAF ACF ∠=∠，∴FC AF = 设x FC AF ==，则x FB -=8∵222CF BF BC =+，∴()22284x x =-+，解得：5=x∴10452121=⨯⨯=⋅⋅=CB AF S AFC △ 【总结】考察翻折图形的性质和勾股定理的应用．【例11】 如图，AB 两个村子在河边CD 的同侧，A 、B 两村到河边的距离分别为AC =1千米，BD =3千米，CD =3千米．现在河边CD 建一座水厂，建成后的水厂，可以直接向A 、B 两村送水，也可以将水送一村再转送另一村．铺设水管费用为每千米2万元，试在河边CD 选择水厂位置P 确定方案，使铺设水管费用最低，并求出铺设水管的总费用（精确到0.01万元）． 【难度】★★★ 【答案】10万元．【解析】延长AC 至点E ，使得CE =AC ，连接EB 交CD 于一点，，则此时铺设水管费用最低． 过E 作EF ∥CD ，交BD 延长线于F ∵四边形CEFD 是长方形，∴1==DF CE ∵34EF BF ==，，∴由勾股定理可得：5=BE 此时5==+=+BE BP EP PB AP ∴总费用为1025=⨯万元．【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例12】 如图，在直角△ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，E 、F 是BC 上的两点，且∠EAF =45°，求证：222+=BE CF EF ．ABC D A B C D PEF【难度】★★★ 【答案】见解析【解析】过C 作CG ⊥BC ，使CG CE =，连接AG 、FG ．∵∠BAC =90°，AB =AC ， ∴45B BCA ∠=∠=．∵CG ⊥BC ， ∴45ACG BCA ∠=∠=， ∴ACG B ∠=∠． ∵AB =AC ，BE =CG ， ∴AEB AGC △≌△∴AE AG BAE CAG =∠=∠，． ∵︒=∠45EAF ， ∴︒=∠+∠45CAF BAE ，∴45CAF CAG ∠+∠=︒，即45FAG ∠=︒， ∴GAF EAF ∠=∠∵AF AF =，AE AG =， ∴AFG AFE △≌△， ∴EF GF =．在Rt CFG 中，由勾股定理，可得：222GF CG CF =+， 又EF GF =，CG CE =，∴222+=BE CF EF ．【总结】本题综合性较强，本质上是对三角形的旋转，同时结合了勾股定理进行解题．模块二：勾股定理的逆定理的证明及应用ABC G2、 逆定理：（1） 如果三角形一条边的平方等于其他两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形；利用逆定理来判断三角形是否为直角三角形．（2） 在直角三角形的三边中，首先弄清楚哪条边是斜边，另外应用逆定理时，最大边的平方和等于较小两边的平方和．【例13】 下列命题中是假命题的是（）A ． 在△ABC 中，若∠B =∠C -∠A ，则△ABC 是直角三角形 B ． 在△ABC 中，若2()()a b c b c =+-，则△ABC 是直角三角形 C ． 在△ABC 中，若∠B ：∠C ：∠A =3:4:5，则△ABC 是直角三角形D ． △ABC 中，若::5:4:3a b c =，则△ABC 是直角三角形 【难度】★ 【答案】C【解析】A 答案中：C A B ∠=∠+∠，且C A B ∠-︒=∠+∠180，∴︒=∠90C ，所以是直角三角形；B 答案中：222c b a -=，∴222b c a =+，所以是直角三角形；C 答案中：x A x C x B 5,4,3=∠=∠=∠，∴︒=++180543x x x ，∴︒=15x ，∴︒=∠75C ， ∴不是直角三角形；D 答案中：设543a m b m c m ===，，，∵222c b a +=，所以是直角三角形． 【总结】考察判断直角三角形的方法．【例14】 （1）将直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，得到的三角形是______三角形；（2）若△ABC 的三边A 、B 、C 满足222()()0a b a b c -+-=则△ABC 是________三角形．例题解析知识精讲【难度】★【答案】（1）直角三角形；（2）等腰三角形或直角三角形．【解析】（1）直角三角形的三边都扩大相同的倍数后，三边也满足勾股定理，所以得到的三角形是直角三角形；（2）由题意有：b a =或222c b a =+，∴三角形为等腰三角形或直角三角形． 【总结】考察勾股定理的应用．【例15】 （1）一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，则旗杆折断之前有多少米?（2）如果梯子的底端离建筑物8米，那么17米长的梯子可以到达建筑物的高度是__________米． 【难度】★★【答案】（1）24米；（2）15米．【解析】（1）由题意可知：折断的旗杆的部分长度为1512922=+，则旗杆长为9+15=24米；（2）由题意可得：可达到建筑物的高度为1581722=-． 【总结】考察勾股定理在实际问题中的应用．【例16】 ABC ∆的三边分别为A 、B 、C ，且满足222506810a b c a b c +++=++， 判断△ABC 的形状． 【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】∵222506810a b c a b c +++=++，∴()()()0543222=-+-+-c b a ，∴345a b c ===，，．∵222c b a =+，∴△ABC 是直角三角形．【总结】考察完全平方公式的应用和勾股定理逆定理的运用．【例17】 如图，公路上A 、B 两点相距25千米，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA =15千米，CB =10千米，现要在公路AB 上建一车站E ． （1） 若使得C 、D 两村到E 站的距离相等，E 站建在离A 站多少千米处? （2） 若使得C 、D 两村到E 站的距离和最小，E 站建在离A 站多少千米处?【难度】★★【答案】（1）10=AE ；（2）15AE =． 【解析】（1）设25AE x BE x ==-，则，∴()222222152510ED x EC x =+=-+，，∵EC ED =，∴()2222102515+-=+x x ，∴10=x ，即10=AE ．（2）找出C 点关于AB 的对称点F ，联结DF 交AB 于点E '， 则此时的E '满足C 、D 两村到E 站的距离和最小， 设x BE x AE -==25，，∴()222222152510ED x EF x =+=-+，， ∵225252522=+=DF ，∴()2251025152222=+-++x x ，解得：15x =，∴15AE =【总结】考察勾股定理的应用，注意最小值的求法．【例18】 如图，在四边形ABCD 中，AB =BC =2，CD =3，DA =1，且∠B =90°，求∠DAB的度数． 【难度】★★ 【答案】135°． 【解析】连接AC∵AB =BC =2，∠B =90°，∴222222=+=AC ，︒=∠45BAC ． ∵2213AC AD CD ===，，，∴222CD AC AD =+， ∴︒=∠90DAC ，∴︒=∠+∠=∠135BAC DAC DAB ． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【例19】 如图，已知在△ABC 中，∠B =90°，AB =BC ，AD 是BC 边上的中线，EF 是AD的垂直平分线，交AB 于点E ，交AC 于点F ，求AE ：BE 的值． 【难度】★★ 【答案】5：3．ABCDE FE’ABCD ABCE F【解析】连接ED ，∵EF 是AD 的垂直平分线，∴ED AE = 设2==BC AB ，x ED AE ==，则x BE -=2∵222ED BD BE =+，∴()22212x x =+-，解得：45=x ． 则434522=-=-=x BE ， ∴3:543:45:==BE AE ． 【总结】考察勾股定理和线段垂直平分线性质的综合运用．【例20】 如图，∆ABC 是等边三角形，P 是三角形内一点，P A =3，PB =4，PC =5，求∠APB 的度数． 【难度】★★★ 【答案】150°．【解析】在BC 的下方作︒=∠60PBD ，在BD 上截取一点D ，使得BD=BP ，连接CD 、PD∵︒=∠+∠60PBC ABP ，︒=∠+∠60PBC DBC ∴CBD ABP ∠=∠∵BC AB =，CBD ABP ∠=∠，BP BD = ∴CBD ABP ≌△△，∴3==AP CD∵︒=∠60PBD ，BP BD =，∴△BPD 为等边三角形，∴4==BP DP ． ∵435DP DC PC ===，，，∴222PC DC DP =+，∴︒=∠90PDC ∴︒=∠+∠=∠150PDC BDP BDC ∵CBD ABP ≌△△， ∴︒=∠=∠150BDC APB【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．【例21】 如图，P 是凸四边形内一点，过点P 作AB 、BC 、CD 、DA 的垂线，垂足分别为E 、F 、G 、H ，已知AH =3，DH =4，DG =1，GC =5，CF =6，BF =4，且BE -AE =1， 求四边形ABCD 的周长． 【难度】★★★CDFGHPBAP C【答案】34．【解析】由勾股定理可得：22222PE AE PH AH AP +=+=， 22222PF BF PE BE BP +=+=， 22222PG CG CF PF CP +=+=， 22222PH DH GP DG DP +=+=，等式相加后代入数据可得：2222222454163+++=+++AE BE ， 整理得：2211BE AE -=，即()()11BE AE BE AE +-=，∵BE -AE =1， 解得：65BE AE ==，． 所以周长为：3415646534+++++++=． 【总结】考察勾股定理的应用，注意解题方法的合理选择．【例22】 已知，如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于点D ，设AC =b ，BC =a ，AB =c ，CD =h ． 求证：（1）c h a b +>+；（2）以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】（1）由等面积可知：ch ab =，∵222c b a =+，∴()ch c b ab a b a 222222+=++=+，()ch h c h c 2222++=+． ∵ch h c ch c 22222++<+，∴()()22h c b a +<+，∴c h a b +>+．（2）∵()ch h c h c 2222++=+；()ab b a h b a h 222222+++=++，222c b a =+，ch ab = ∴()()222b a h h c ++=+，∴以a b +、c h +、h 为三边可构成一个直角三角形．【总结】考察勾股定理及其逆定理的应用、等面积法的综合应用．模块三：两点间的距离公式知识精讲AB CD3、 距离公式：如果平面内有两点11()A x y ，、22()B x y ，，则A 、B 两点间的距离为：221212()()x x y y -+-．（1） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在x 轴上或平行于x 轴的直线上，则有12y y =，AB =12||x x -；（2） 当11()A x y ，、22()B x y ，两点同在y 轴上或平行于y 轴的直线上，则有12x x =，AB =12||y y -．【例23】 已知点A （2，2）、B （5，1）．（1） 求A 、B 两点间的距离； （2） 在x 轴上找一点C ，使AC =BC ． 【难度】★【答案】（1）10；（2）()30C ，． 【解析】（1）()()10125222=-+-=AB ；（2）设()0C x ，， ∵AC =BC ，∴()()22221522+-=+-x x ，3=x ，∴()30C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例24】 （1）已知A （x ，3）、B （3，x +1）之间的距离为5，则x 的值是_________；（2）已知点P 在第二、四象限的平分线上，且到Q （2，-3）的距离为5，则点P 的坐标为_________．【难度】★例题解析【答案】（1）16-=或x ；（2）()66P -，或()11P -，． 【解析】（1）由题意有：()()513322=--+-x x ，∴16-=或x ；（2）设()a a P -，，∴()()53222=+-+-a a ，∴16-=或a ，∴()66P -，或()11P -，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例25】 （1）以点A （1，2）、B （-2，-1），C （4，-1）为顶点的三角形是________；（2）已知点A （0，3）、B （0，-1），△ABC 是等边三角形，则点C 的坐标是_______．【难度】★【答案】（1）等腰直角三角形；（2）()1C 或()1C -．【解析】（1）∵233322=+=AB ，60622=+=BC ，233322=+=AC ，∴222BC AC AB =+，AC AB =， ∴该三角形为等腰直角三角形； （2）()C a b ，，（3）∵4=AB ，∴()4322=-+=b a AC ，()4122=++=b a BC ，解得：a =±，1b =，∴()1C 或()1C -． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例26】 已知直角坐标平面内的点A （4，1）、B （6，3），在坐标轴上求点P ，使P A =PB ． 【难度】★★【答案】()70P ，或()07P ，． 【解析】①当点P 在x 轴上时，设()0P x ，，∵P A =PB ，∴()()22223614+-=+-x x ，7=x ，∴()70P ，②当点P 在y 轴上时， 设()0P y ，，∵P A =PB ，∴()()22226341+-=+-y y ，7=y ，∴()07P ，∴满足条件的P 点的坐标为()70P ，或()07P ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，由于点P 在坐标轴上，注意分类讨论．【例27】 已知直角坐标平面内的点P （4，m ），且点P 到点A （-2，3）、B （-1，-2）的距离相等，求点P 的坐标． 【难度】★★ 【答案】845P ⎛⎫⎪⎝⎭，．【解析】由题意可知：()()22225263++=+-m m ，解得：58=m ，∴845P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例28】 已知点A （2，3）B （4，5），在x 轴上是否存在点P ，使得PA PB +的值最小?若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【难度】★★【答案】存在，最小值为172．【解析】找出A （2，3）关于x 轴对称的点为()23C -，，连接BC ， 则PA PB +的值最小值为1728222=+=BC ． 【总结】考察两点之间距离公式的应用．【例29】 已知直角坐标平面内的点A （4，32）、B （6，3），在x 轴上求一点C ，使得 △ABC 是等腰三角形．【难度】★★★【答案】10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，．【解析】设()0C x ，， 当CA =CB 时，∴()()222236234+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-x x ，16107=x ，∴10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，∴()2222223234+⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x ，62或=x ，∴()60C ，或()20C ，； 当CB =AB 时，∴()222222336+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-x ，方程无解，所以不存在．综上，满足条件的点C 的坐标为：10704C ⎛⎫⎪⎝⎭，或()60C ，或()20C ，． 【总结】考察两点之间距离公式的应用，注意分类讨论．【例30】 已知点A （4，0）、B （2，-1），点C 的坐标是（x ，2-x ），若△ABC 是等腰三角形，求C 的坐标． 【难度】★★★【答案】7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或C ⎝⎭或C ⎝⎭或()11C -，或()42C -，．【解析】由两点间距离公式，可得：22(42)15AB =-+=，22(4)(2)AC x x =-+-，22(12)(2)BC x x =---+-．当CA =CB 时，即()()()()222221224x x x x +--+-=-+-，解得：27=x ，∴7322C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当CA =AB 时，即()()22221224+=-+-x x ，解得：266266-+=或x ，∴662622C ⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222C ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭，； 当CB =AB 时，即()()222221212+=+--+-x x ，解得：14x x ==或，所以()11C -，或()42C -，． 综上，满足条件的C 点的坐标为：7322⎛⎫- ⎪⎝⎭，或662622⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭，或666222⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭， 或()11-，或()42-，． 【总结】本题主要考察两点之间距离公式及勾股定理的应用，由于题目中并没有说明斜边是哪条边，因此要分类讨论．【习题1】 六根细木棒，她们的长度分别是2、4、6、8、10、12（单位：cm ）从中取出三根，首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这些木棒的长度分别为（）．A ． 2、4、8B ．4、8、10C ．6、8、10D ．8、10、12随堂检测【难度】★ 【答案】C【解析】只有C 答案满足勾股定理逆定理． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题2】 已知点A （2，4）B （-1，-3）C （-3，-2），那么△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不是【难度】★ 【答案】D【解析】∵587322=+=AB ，51222=+=BC ，616522=+=AC ，∴222BC AC AB ≠+，∴该三角形不是直角三角形，也不是等腰三角形． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【习题3】 （1）如果等腰直角三角形一边长为2，另外两边长为_________；（2）如果直角三角形两边长为5和12，第三边长度为_______________． 【难度】★★【答案】（1）2，22或22，；（2）13或119．【解析】两题目中的边长可能为两直角边或一条直角边和一条斜边． 【总结】考察勾股定理的应用．【习题4】 如图，将长方形ABCD 沿AE 折叠，使得点D 落在BC 上的点F 处，AB =8，AD =10．求EC 的长． 【难度】★★ 【答案】3=CE ．【解析】由翻折性质，可知：10==AF AD ，∴622=-=AB AF BF ，∴4610=-=-=BF BC CF ．ABC DEF设x DE EF x EC -===8，∵222EF CF CE =+，∴()22284x x -=+，解得：3=x ．∴3=CE ．【总结】考察勾股定理的应用．【习题5】 如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AB =9，BC =12，CD =15，DA =152．求四边形ABCD 的面积． 【难度】★★【答案】2333．【解析】联结AC ，过C 作CE ⊥AD∵AB ⊥BC ，AB = 9，BC =12，∴15=AC ．∵CD =15，15=AC ，152，∴222CD AC AD +=， ∴ACD 为直角三角形．∴1122ABC ADC ABCD S S S AB BC AD EC =+=⋅⋅+⋅⋅△△四边形111523339121522222=⨯⨯+⨯⨯=． 【总结】考察勾股定理及其逆定理的综合运用．【习题6】 如图，在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，AB =5，AC =3，AD =2．求：△ABC的面积． 【难度】★★ 【答案】6．【解析】延长AD 至E ，使得DF=AD ，联结CE∵CD BD =，CDE ADB ∠=∠，DF=AD ， ∴CDE ABD ≌△△，∴5==CE ABAB CDAB DCE∵345AC AE CE ===，，，∴222CE AE AC =+， ∴︒=∠90DAC ，∴321=⋅⋅=AC AD S ADC △． ∵CD BD =，∴62==ADC ABC S S △△．【总结】考察勾股定理逆定理的应用和等底同高的面积相等的应用．【习题7】 若A 、B 、C 是三角形的边长且关于x 的方程222()20x a b x c ab -+++=有两个相等的实数根，试判断这个三角形的形状．【难度】★★ 【答案】直角三角形．【解析】由题意可知：()[]()024222=+-+-ab c b a ，∴222c b a =+，∴这个三角形为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【习题8】 如图，在一条公路上有P 、Q 两个车站，相距27km ，A 、B 是两个村庄，AP ⊥PQ ，BQ ⊥PQ ，且AP =15km ，BQ =24km ，现在要在公路上建立一个商场M 使得A 、B 两个村庄到商场M 的距离相等，求PM 的长 ． 【难度】★★ 【答案】20=PM ．【解析】设x MQ x PM -==27，，∵MB MA =，∴()2222242715+-=+x x ，解得：20=x ， ∴20=PM ．【总结】考察勾股定理的应用及对最小值的应用．【习题9】 已知点()()2814A B -，，,点C 在y 轴上，使ABC ∆为直角直角三角形，求满足条件的点C 的坐标． 【难度】★★【答案】()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或1304C ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】设()0C y ，，则24(8)AC y =+-，21(4)BC y =+-，22345AB =+=．当222AB BC AC =+时，则()()222222431428+=+-++-y y ，ABQPM解得：6666y y =+=-或，∴()066C +，或()066C -，； 当222BC AB AC =+时，则()()222222144328+-=+++-y y ，解得：219=y ， ∴1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，；当222AC AB BC =+时，则()()222222284314+-=+++-y y ，解得：413=y ， ∴1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．∴综上所述，满足条件的C 点的坐标为：()066C +，或()066C -，或1902C ⎛⎫⎪⎝⎭，或 1304C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【总结】考察两点之间的距离公式的运用，注意分类讨论．【习题10】 如图，在ABC ∆中，90ACB AC BC M ∠==，，是ABC ∆内一点，且312AM BM CM ===，，,求BMC ∠的度数．【难度】★★★ 【答案】135°．【解析】在过点C 作CD ⊥CM 于点C ，在CD 上截取一点D ，使得CD=CM ，连接BD∵︒=∠+∠90DCA ACM ，︒=∠+∠90BCM ACM ∴BCM DCA ∠=∠∵BC AC =，BCM DCA ∠=∠，CM CD =ABCMD∴BCM ACD ≌△△， ∴1==AD BM∵︒=∠90MCD ，CM CD =， ∴22=DM ，︒=∠45CDM∵13DA DM AM ===，， ∴222AM DM DA =+， ∴︒=∠90ADM∴︒=∠+∠=∠135CDM ADM ADC ∵BCM ACD ≌△△， ∴︒=∠=∠135ADC BMC【总结】考察旋转辅助线的作法和勾股定理逆定理的应用．【习题11】 若在△ABC 中，AB =c ，AC =b ，BC =a ，∠ACB =90°，则222a b c +=试用两种方法证明． 【难度】★★★ 【答案】见解析．【解析】方法一：如图，△CDE ≌△ADE ，且B 、C 、D 在一条直线上，联结AE∵△CDE ≌△ADE ，∴CED ACB ∠=∠∵︒=∠+∠90CED ECD ，∴︒=∠+∠90CED ACB ，∴︒=∠90ACE∴梯形ABDE的面积为()()22121221c ab b a b a +⨯=++整理得：222a b c +=，即得证．方法二、如图，由四个△ABC 拼成以下图形， 则四边形BCEG 和四边形ADFH 都为正方形∵四边形BCEG 的面积为2c ，∴四边形ADFH 的面积为()22214b a c ab +=+⨯，整理得：222a b c +=，即得证．【总结】本题主要考查学生对勾股定理的理解及通过几何说理方法说明定理的正确性．【作业1】 下列命题中，正确的有()个（1） 腰长及底边上的高对应相等的两个等腰三角形全等课后作业（2） 有一直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 （3） 有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【难度】★ 【答案】C【解析】（1）（2）正确，（3）错误，分锐角三角形和钝角三角形两种情况．故选C ． 【总结】考察三角形全等的判定．【作业2】 如图，图中的字母、数代表正方形的面积，则A =______． 【难度】★ 【答案】22．【解析】根据勾股定理得A 的面积等于另外两正方形面积之差． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业3】 如图，Rt ABC ∆中，斜边1AB =，则222AB BC AC ++的值是_________． 【难度】★ 【答案】2．【解析】222=1+1=2AB BC AC ++． 【总结】考察勾股定理的应用．【作业4】 已知点()35A -，，点B 的横坐标为-3，且A 、B 两点之间的距离为10，那么点B 的坐标是____________． 【难度】★【答案】()()33313B B ---，或，． 【解析】设()3B m -，，∵BA =10，∴()106522=++m ，解得：133-=或m ，∴()()33313B B ---，或，． 【总结】考察两点之间的距离公式的应用．【作业5】 现将直角三角形ABC 的直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，点C与点E 重合，已知AC =3，BC =4，则CD 等于_____________. 【难度】★★ 【答案】23=CD ． 5072A【解析】由翻折性质，可得：3==AE AC ，∴2=BE ．设4CD DE x DB x ===-，则，∵222BD BE DE =+，∴()22242x x -=+，解得：23=x ，∴23=CD ． 【总结】考察翻折性质及勾股定理的综合应用．【作业6】 如果ABC ∆的周长为12，而22AB BC AC AB BC +=-=，，那么ABC ∆的形状是____________．【难度】★★ 【答案】直角三角形．【解析】∵12=++AC BC AB ，22AB BC AC AB BC +=-=，， 联立方程，解得：534AB BC AC ===，，． ∵222CB AC AB +=，∴ABC ∆为直角三角形． 【总结】考察勾股定理逆定理的应用．【作业7】 已知等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，DBC ∆为等边三角形，那么A 、D两点的距离为_______. 【难度】★★【答案】13-=AD 或13+．【解析】∵CD BD AC AB ==，，∴DA 垂直平分BC ．设DA 交BC 于E ，∵等腰直角三角形ABC 斜边BC 的长为2，∴1=AE∵DBC ∆为等边三角形，∴根据勾股定理和直角三角形的性质可得：3=DE 当A 点在DBC ∆内部时，13-=AD ； 当A 点在DBC ∆外部时，13+=AD ．【总结】考察勾股定理和直角三角形的性质的综合运用，注意分类讨论．【作业8】 已知：如图，已知在Rt ABC ∆中，9030B C ∠=∠=，，将ABC ∆绕点A 逆时针旋转30后得到APQ ∆，若1AB =，则两个三角形重叠部分的面积为_________. 【难度】★★ 【答案】63． ABCQPD【解析】设AC 与PQ 相交于D由题意可得：︒=∠30BAO ，︒=∠30PAD ，1==AB AP ∵︒=∠90P ，︒=∠30PAD ，∴设2PD x AD x ==，∴()2221x x =+，解得：33=x ． ∴6321=⋅⋅=PD AP S APD △． 【总结】考察勾股定理和直角三角形性质的综合运用．【作业9】 已知：如图，四边形ABCD 的三边（AB 、BC 、CD ）和BD 都为5厘米，动点P 从A 出发（A B D →→），速度为2厘米/秒，动点Q 从点D 出发（D C B A →→→）到A ，速度为2.8厘米/秒，5秒后P 、Q 相距3厘米，试确定5秒时APQ ∆的形状. 【难度】★★ 【答案】直角三角形．【解析】P 点的运动路程为10厘米，则此时P 与D 重合；Q 点的运动路程为14厘米，此时BQ =4厘米． ∵534===BP PQ BQ ，，∴△BPQ 为直角三角形，且︒=∠90BQP ，即︒=∠90AQP ． ∴APQ ∆的形状为直角三角形．【总结】考察动点背景下勾股定理逆定理的运用，注意对动点运动路线的判断．【作业10】 阅读下列题目的解题过程： 已知a 、b 、c 为ABC ∆的三边，且满足222244a c b c a b -=-，试判断ABC ∆的形状. 解：222244a c b c a b -=-（A ），()()()2222222c a b a b a b ∴-=+-(B ) 222c a b ∴=+(C )，∴ABC ∆是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出错?请写出该步的代号：____________；ABCDQP（2）错误的原因：_______________；（3）本题正确的结论为：____________.【难度】★★【答案】（1）C ；（2）两边同时除一个不为零的数，等式成立．（3）直角三角形或者等 腰三角形．【解析】C 步骤应该为：222220c a b a b =+-=或， 所以应为直角三角形或者等腰三角形． 【总结】考察因式分解和勾股定理的综合应用．【作业11】 如图，一根长度为50CM 的木棒的两端系着一根长度为70CM 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子与木棒构成一个直角三角形，求满足条件的点有几个，并且这个点将绳子分成的两段各有多长？【难度】★★【答案】满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【解析】设其中的一段长为x cm ，则另一段长为()cm x -70∴()2225070=-+x x ，解得：4030或=x ．∴满足条件的点有2个，一段长为30厘米，一段长为40厘米． 【总结】考察勾股定理的应用，注意两个点的考虑．【作业12】 在直角坐标平面内，已知()()1054A B -，，，，在坐标轴上求一点P ，使得PAB ∆为直角三角形，求点P 的坐标.【难度】★★★【答案】()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，或()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【解析】当点P 在y 轴上时，设()0P y ，，当222AB BP AP =+，∴()22222246541+=+-++y y ，解得：15-=或y ， ∴()05P ，或()01P -，； 当222BP AB AP =+，∴()22222254461+-=+++y y ，解得：23-=y ，∴302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，； 当222AP AB BP =+，∴()22222214654+=+++-y y ，解得：223=y ，∴2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，；当点P 在x 轴上时，设()0P x ，， 当222AB BP AP =+，∴()()222222464501+=+-+++x x ，解得：15-=或x ， ∴()50P ，或()10P -， 当222BP AB AP =+，∴()()222222454601+-=++++x x ，解得：1-=x ，∴()10P -，当222AP AB BP =+，∴()()222222014645++=+++-x x ，解得：323=x ，∴2303P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 综上所述：满足条件的点P 的坐标为：()05P ，或()01P -，或302P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，或2302P ⎛⎫⎪⎝⎭，或 ()50P ，或()10P -，或2303P ⎛⎫⎪⎝⎭，． 【总结】考察勾股定理的运用和两点之间的距离公式的综合应用，本题综合性较强，要进行多角度的分类讨论．。
勾股定理及两点间的距离公式
勾股定理及两点间的距离公式勾股定理是几何学中的一条定理，描述了直角三角形中的边与斜边之间的关系。
它由古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现，并且是几何学基础知识之一、在数学教学中，教师可以通过讲解勾股定理及两点间的距离公式，帮助学生理解直角三角形的性质和应用。
首先，我们来介绍勾股定理。
勾股定理的表述如下：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
设直角三角形的两条直角边分别为a和b，斜边为c，则根据勾股定理，有a^2+b^2=c^2教师可以通过几何图形的展示，引导学生理解勾股定理的定义和性质。
例如，可以画一个直角三角形，用尺子测量各边的长短，并将结果记录下来。
然后，教师可以让学生计算三边的平方和，发现它们符合勾股定理的关系。
通过实际的操作和计算，学生可以更深入地理解和记忆勾股定理。
接下来，我们来介绍两点间的距离公式。
在平面几何中，计算两点之间的距离是一个基本的概念。
设平面上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2)，则两点间的距离公式为√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。
教师可以通过示意图或者具体的平面坐标来引导学生理解两点间的距离公式。
例如，可以提供一个平面坐标系的图形，将两点的坐标标记在图中，并让学生测量两点的实际距离。
然后，教师可以引导学生根据坐标计算距离公式，并比较实际测量的结果。
通过对比和分析，学生可以更加深刻地理解和掌握两点间的距离公式。
在教学过程中，教师可以采用许多不同的教学策略来帮助学生理解和应用勾股定理及两点间的距离公式。
例如，可以组织学生参与实际测量和计算的活动，提供具体的例子和练习来巩固学生的理解，以及引导学生思考和讨论两个公式的应用场景。
通过这些教学策略，学生可以更好地掌握勾股定理及两点间的距离公式。
在教学的最后阶段，教师可以组织学生进行相关的问题解决活动和综合应用练习，以加深学生对勾股定理及两点间的距离公式的理解和应用能力。
此外，教师还可以引导学生探索更多的相关知识和定理，例如勾股定理的逆定理和勾股定理的扩展应用等，以进一步提高学生的几何学知识水平和应用能力。
19-勾股定理及两点的距离公式 - 学生版
教师姓名 学生姓名 年级上课时间学科 数学 课题名称勾股定理及两点的距离公式待提升的知识点/题型Ⅰ知识梳理知识点一：勾股定理（1）定理：在直角三角形中，斜边大于直角边；（2）勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和，等于斜边的平方；（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于其它两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．知识点二：两点的距离公式（1）平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 之间的距离公式为12PP = 222121()()x x y y -+-．（2）中点坐标公式：对于平面上两点111222(,),(,)P x y P x y ，线段12PP 的中点是00(,)M x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩．Ⅱ知识精析一.勾股定理（一）典例分析.学一学例1-1利用222c b a =+求未知边在一直角三角形中有两边长分别是3.4，则其第三边长为例1-2勾股数的考察（345、51213、81517、72425） 下面四组数中是勾股数的有（ ）．（1）1.5，2.5，2 （2）2，2，2 （3）12，16，20 （4）0.5，1.2，1.A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组例1-3直角三角形的判定问题已知：在△ABC 中，∠A.∠B.∠C 的对边分别是a.b.c ，满足a 2+b 2+c 2+338=10a +24b +26c . 试判断△ABC 的形状.例1-4面积问题已知：如图，已知∠B =∠D =90°，∠A =60°，AB =10，CD =6. 求：四边形ABCD 的面积.AB CD例1-5折叠问题如图，矩形纸片ABCD 的边AB =10cm ，BC =6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠， 点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.例1-6最短路程问题一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A 点爬到B ’点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?已知长方体的长2cm.宽为1cm.高为4cm .例1-7实际问题如图，一个梯子AB =5米，顶端A 靠在墙AC 上，这时梯子下端B 与墙角C 间的距离为3m 梯子滑动后停在DE 位置上，如图，测得DB 的长为1m ，则梯子顶端A 下落了多少m ?例1-8思维发散在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=,则122006m m m ++=_____.（二）限时巩固，练一练1．已知直角三角形的两边长为3.2，则另一条边长是________________．2．在一个直角三角形中，若斜边长为5cm ，直角边的长为3cm ，则另一条直角边的长为D ˊ ABCD A ˊB ˊC ˊ_______________．3.以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．10，8，4 C．7，25，24 D．7，15，12 4.若△ABC的三边a.b.c满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，试判断△ABC的形状.5.已知，如图，四边形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，且∠A=90°，则四边形ABCD的面积6.如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.7.有一立方体礼盒如图所示，在底部A处有壁虎，C’处有一蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.若立方体礼盒的棱长为20cm，壁虎要在半分钟内捕捉到蚊子，求壁虎的每分钟至少爬行__________________厘米（用根号表示）8.如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．•当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯多少米?9.细心观察下图，认真分析各式，然后解答问题．（1）2+1=2 S1=1 2（2）2+1=3 S2=2 2（3）2+4=5 S3=3 2（1）请用含n（n是正整数）的等式表示上述变化规律；（2）推算出OA10的长；（3）求出S12+S22+S22+…+S102的值．二.两点的距离公式（一）典例分析.学一学例2-1（1）求A(-1,3).B（2，5）两点之间的距离；（2）已知A（0，10），B（a，-5）两点之间的距离为17，求实数a的值．例2-2已知三角形ABC的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)22A B C-，试判断ABC∆的形状．例2-3已知ABC∆是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：12AM BC=．例2-4已知ABC ∆的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1.式子22(1)(2)a b ++-可以理解为( )()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离； ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离； ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离2.以A (3,-1), B (1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为( )()A 2x +y -5=0 ()B 2x +y +6=0 ()C x -2y =0 ()D x -2y -8=03. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是 ． 4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值．※三.延伸拓展：对称性问题（选讲）（一）典例分析，学一学 例3-1已知直线1:12l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程．例3-2一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程．（二）限时巩固.练一练1．点(-1,2)关于直线x +y -3=0的对称点的坐标为( )()A (1,4) ()B (-1,4) ()C (1,-4) ()D (-1,-4)2．直线3x -y -2=0关于x 轴对称的直线方程为 ．3．已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),试求D 点的坐标,使四边形ABCD 为等腰梯形．4．已知定点(2,2)A ，(8,4)B ，求2222(2)2(8)4x x -++-+的最小值．Ⅲ课堂测评一.填空题.1.如果直角三角形的边长分别是6.8.x ，则x 的取值范围是 .2.如图，D 为△ABC 的边BC 上的一点，已知AB ＝13，AD ＝12，BD ＝5，AC ＝BC ，则BC ＝ .第2题图13125DCBA第3题图DCB A第5题图DCB A3.如图，四边形ABCD 中，已知AB ∶BC ∶CD ∶DA ＝2∶2∶3∶1，且∠B ＝900，则∠DAB ＝ .4.等腰△ABC 中，一腰上的高为3cm ，这条高与底边的夹角为300，则ABC S ∆＝ .5.如图，△ABC 中，∠BAC ＝900，∠B ＝2∠C ，D 点在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB ＝1，则BD 的长为 .6.已知Rt △ABC 中，∠C ＝900，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6，则ABC S ∆＝ .7.如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，腰长为8cm ，AC.BD 相交于O 点，且∠AOD ＝600，设E.F 分别为CO.AB 的中点，则EF ＝ .第7题图 FEODC BA第8题图 EQPDCBA第9题图 DC BA8.如图，点D.E 是等边△ABC 的BC.AC 上的点，且CD ＝AE ，AD.BE 相交于P 点，BQ ⊥AD .已知PE ＝1，PQ ＝3，则AD ＝ .9.如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A.B.C.D 的面积的和是 .二.选择题1.如图，已知△ABC 中，AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，则三个结论：①AS ＝AR ；②QP ∥AR ；③△BRP ≌△QSP 中（ ）A.全部正确B.仅①和②正确C.仅①正确D.仅①和③正确2.如果一个三角形的一条边的长是另一条边的长的2倍，并且有一个角是300，那么这个三角形的形状是（ ）A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.不能确定3.在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AB ＝13，BC ＝12，CD ＝4，AD ＝3，则∠ACB 的度数是（ ） A.大于900 B.小于900 C.等于900 D.不能确定第1题图S R Q PCBA第4题图OCBA4.如图，已知△ABC 中，∠B ＝900，AB ＝3，BC ＝3，OA ＝OC ＝6，则∠O AB 的度数为（ ） A.100 B.150 C.200 D.250 三.解答题1.阅读下面的解题过程：已知a .b .c 为△ABC 的三边，且满足42222a c b c a =-4b -，试判断△ABC 的形状.解：∵42222a c b c a =-4b -……①∴))(()(2222222b a b a b ac -+=-……② ∴222c b a =+……③ ∴△ABC 是直角三角形.问：（1）上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ； （2）错误的原因是 ； （3）本题的正确结论是 . 2.已知△ABC 中，∠BAC ＝750，∠C ＝600，BC ＝33+，求AB 、AC 的长.3.如图，△ABC 中，AD 是高，CE 是中线，DC ＝BE ，DG ⊥CE 于G . （1）求证：G 是CE 的中点； （2）∠B ＝2∠BCE .第3题图G E D CB A4.已知△ABC 的两边AB.AC 的长是方程023)32(22=++++-k k x k x 的两个实数根，第三边BC ＝5.（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，求出此时其中一个三角形的面积.Ⅳ 回顾总结1.勾股定理及其逆定理分别是？常考题型有哪些？常见勾股数有哪些？2.两点的距离公式及中点坐标公式思维点拔：平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离公式为222121()()x x y y -+-，线段12PP 中点坐标为1212(,)22x x y y ++.平面上两点间距离公式及中点坐标公式有着广泛的应用，如：计算图形面积，判断图形形状等.同时也要注意掌握利用中点坐标公式处理对称性问题.Ⅴ 课后巩固1．已知△ABC 中，∠A =12∠B =13∠C ，则它的三条边之比为（ ）． A ．1：1：2 B ．1：3：2 C ．1：2：3 D ．1：4：1111222(,),(,)P x y P x y 中点坐标1212(,)22x x y y ++ 22122121()()PP x x y y =-+-2．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（）．A．52B．3 C．322+D．332+3．下列各组线段中，能够组成直角三角形的是（）．A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．3，4，54．下列各命题的逆命题成立的是（）A．全等三角形的对应角相等B．如果两个数相等，那么它们的绝对值相等C．两直线平行，同位角相等D．如果两个角都是45°，那么这两个角相等5．若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为（）．A．3cm2B．23cm2C．33cm2D．4cm26．在Rt△ABC中，已知其两直角边长a=1，b=3，那么斜边c的长为（）．A．2 B．4 C．22D．107．如图所示，△ABC中，CD⊥AB于D，若AD=2BD，AC=5，BC=4，则BD的长为（）．A．5B．3C．1 D．1 28．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长都是自然数，则周长为（）A．182 B．183 C．184 D．1859．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=3，将其沿直线MN折叠，使点C与点A重合，•求CN的长10.已知，如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F•处，•如果AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．.。
勾股定理-讲义
勾股定理一、知识梳理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2=c2的变形有：a2=c2﹣b2，b2= c2﹣a2及c2=a2+b2．（4）由于a2+b2=c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2. 直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．3．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．4．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．二、经典例题+基础练习1. 勾股定理．【例1】已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为（）A．21 B．15 C．6 D．以上答案都不对．练1.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84练2.如图所示，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=（）A．1 B． C． D．2 2. 等腰直角三角形．【例2】已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1练3.将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）A． B． C． D．3.等边三角形的性质；勾股定理．【例3】以边长为2厘米的正三角形的高为边长作第二个正三角形，以第二个正三角形的高为边长作第三个正三角形，以此类推，则第十个正三角形的边长是（）A．2×（）10厘米 B．2×（）9厘米C．2×（）10厘米 D．2×（）9厘米练4.等边三角形ABC的边长是4，以AB边所在的直线为x轴，AB边的中点为原点，建立直角坐标系，则顶点C的坐标为．4．勾股定理的应用．【例4】工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm 练5.现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米B．米C．米或米 D．米5．平面展开-最短路径问题．【例5】如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D 出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm 练6．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8 B． C．5 D．三、课堂练习1．已知两边的长分别为8，15，若要组成一个直角三角形，则第三边应该为（）A．不能确定 B． C．17 D．17或2．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，若∠A：∠B：∠C=1：2：3．则a：b：c=（）A．1：：2 B．：1：2 C．1：1：2 D．1：2：33．直角三角形的两边长分别为3厘米，4厘米，则这个直角三角形的周长为（）A．12厘米 B．15厘米 C．12或15厘米 D．12或（7+）厘米4．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．5．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．6．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）四、能力提升1．若一个直角三角形的三边长分别为3，4，x，则满足此三角形的x值为（）A．5 B． C．5或 D．没有2．已知直角三角形有两条边的长分别是3cm，4cm，那么第三条边的长是（）A．5cm B．cm C．5cm或cm D．cm3．已知Rt△ABC中的三边长为a、b、c，若a=8，b=15，那么c2等于（）A．161 B．289 C．225 D．161或2894．一个等腰三角形的腰长为5，底边上的高为4，这个等腰三角形的周长是（）A．12 B．13 C．16 D．185．长方体的长、宽、高分别为8cm，4cm，5cm．一只蚂蚁沿着长方体的表面从点A爬到点B．则蚂蚁爬行的最短路径的长是cm．6．如图所示一棱长为3cm的正方体，把所有的面均分成3×3个小正方形．其边长都为1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点，最少要用秒钟．7．如图，一个长方体盒子，一只蚂蚁由A出发，在盒子的表面上爬到点C1，已知AB=5cm，BC=3cm，CC1=4cm，则这只蚂蚁爬行的最短路程是cm．8．如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是米．9．如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10（单位：cm），在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm，小孔到图中边AB距离为1cm，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为hcm，则h的最小值大约为cm．（精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.2）．10．如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为mm．勾股定理的逆定理一、知识点梳理1．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．2．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．3．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．方向角（1）方位角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向．（2）用方位角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方位角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．）（3）画方位角以正南或正北方向作方位角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线．5．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．6．作图—复杂作图复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．7．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．二、经典例题+基础练习1.勾股定理的逆定理．【例1】下列四组线段中，能组成直角三角形的是（）A．a=1，b=2，c=3 B．a=2，b=3，c=4 C．a=2，b=4，c=5 D．a=3，b=4，c=5练1.下列各组线段能构成直角三角形的一组是（）A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6练2.下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（）A．，，B．1，，C．6，7，8 D．2，3，42. 勾股定理的应用．【例2】如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（）A．8米B．10米C．12米D．14米练3.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）为（）A．12m B．13m C．16m D．17m 3.平面展开-最短路径问题．【例3】如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（）A．13cm B．2cm C．cm D．2cm练4.如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为．4．勾股定理的应用：方向角．【例4】已知A，B，C三地位置如图所示，∠C=90°，A，C两地的距离是4km，B，C两地的距离是3km，则A，B两地的距离是km；若A地在C地的正东方向，则B地在C 地的方向．练5.如图，小明从A地沿北偏东60°方向走2千米到B地，再从B地正南方向走3千米到C地，此时小明距离A地千米（结果可保留根号）．5．坐标与图形性质；勾股定理的逆定理．【例5】在平面直角坐标系中有两点A（﹣2，2），B（3，2），C是坐标轴上的一点，若△ABC 是直角三角形，则满足条件的点共有（）A．1个 B．2个 C．4个 D．6个练6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．三、课堂练习1．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行米．2．如图，小聪用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距3米，小聪身高AB为1.7米，则这棵树的高度= 米．3．如图，是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM=4米，AB=8米，∠MAD=45°，∠MBC=30°，则警示牌的高CD为米（结果精确到0.1米，参考数据：=1.41，=1.73）．4．在底面直径为2cm，高为3cm的圆柱体侧面上，用一条无弹性的丝带从A至C按如图所示的圈数缠绕，则丝带的最短长度为cm．（结果保留π）5．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．四、能力提升1．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3 2．若a、b、c为三角形三边，则下列各项中不能构成直角三角形的是（）A．a=7，b=24，c=25 B．a=5，b=13，c=12C．a=1，b=2，c=3 D．a=30，b=40，c=503．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（）A．3、4、6 B．9、12、15 C．5、12、14 D．10、16、25 4．工人师傅从一根长90cm的钢条上截取一段后恰好与两根长分别为60cm、100cm的钢条一起焊接成一个直角三角形钢架，则截取下来的钢条长应为（）A．80cm B． C．80cm或 D．60cm5．现有两根铁棒，它们的长分别为2米和3米，如果想焊一个直角三角形铁架，那么第三根铁棒的长为（）A．米 B．米 C．米或米 D．米6．现有两根木棒的长度分别为40厘米和50厘米，若要钉成一个直角三角形框架，那么所需木棒的长一定为（）A．30厘米 B．40厘米 C．50厘米 D．以上都不对7．如图A，一圆柱体的底面周长为24cm，高BD为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点D出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程大约是（）A．6cm B．12cm C．13cm D．16cm8．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A 点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7 B． C． D．59．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm 10．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB 的距离为4，且△ABC是直角三角形，则满足条件的点C有个．11．设a＞b，如果a+b，a﹣b是三角形较小的两条边，当第三边等于时，这个三角形为直角三角形．12．有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．13．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在根部4米处，这棵大树在折断前的高度为m．14．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）15．校车安全是近几年社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学九年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验，如图，先在笔直的公路l旁选取一点A，在公路l上确定点B、C，使得AC⊥l，∠BAC=60°，再在AC上确定点D，使得∠BDC=75°，测得AD=40米，已知本路段对校车限速是50千米/时，若测得某校车从B到C匀速行驶用时10秒，问这辆车在本路段是否超速？请说明理由（参考数据：=1.41，=1.73）16．如图，一根长6米的木棒（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，与地面的倾斜角（∠ABO）为60°．当木棒A端沿墙下滑至点A′时，B端沿地面向右滑行至点B′．（1）求OB的长；（2）当AA′=1米时，求BB′的长．勾股定理中的折叠问题一、经典例题例1．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8。
两点之间距离公式推理过程
两点之间距离公式推理过程在数学中，我们经常需要计算两个点之间的距离。
这个问题在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将简要介绍如何推导出两点之间的距离公式。
假设有两个点A和B，其坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)。
我们的目标是计算出点A和点B之间的距离d。
我们可以利用勾股定理来解决这个问题。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方等于另外两个边的平方之和。
根据这个定理，我们可以得到以下等式：d^2 = (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2接下来，我们需要将这个等式转化为求距离d的公式。
我们可以通过对上述等式两边取平方根来实现这一步骤。
这样我们就得到了最终的距离公式：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)这个公式被称为两点之间的距离公式。
它描述了平面上任意两个点之间的距离。
通过这个公式，我们可以计算出任意两个点之间的距离。
例如，假设点A的坐标为(1, 2)，点B的坐标为(4, 6)。
我们可以将这些值代入距离公式中，计算出点A和点B之间的距离：d = √((4 - 1)^2 + (6 - 2)^2)= √(3^2 + 4^2)= √(9 + 16)= √25= 5因此，点A和点B之间的距离为5个单位。
需要注意的是，这个距离公式适用于平面上的两点。
如果我们需要计算三维空间中两点的距离，我们可以使用类似的方法来推导出距离公式。
除了平面上的距离，我们还可以使用其他的距离公式来计算两点之间的距离。
例如，在球面上，我们可以使用球面距离公式来计算两个经纬度坐标之间的距离。
这个公式基于大圆弧的长度来计算距离，考虑了地球的曲率。
总结起来，两点之间的距离公式是通过勾股定理推导出来的。
它可以用于计算平面上任意两个点之间的距离。
这个公式在几何学和其他科学领域中有着广泛的应用，帮助我们解决许多实际问题。
通过理解和应用这个公式，我们可以更好地理解和描述空间中的距离关系。
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泽仕学堂学科教师辅导讲义
学员姓名：丁鹏程 辅导科目：数学 年级：初二 学科教师：张先安
授课日期及时段
课
题
勾股定理和两点间的距离公式 重点、难点、考点
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边
2.运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形 .
.
1.理解勾股定理的内容，已知直角三角形的两边，会运用勾股定理求第三边 .
2.勾股定理的应用 .
学习目标
3.会运用勾股定理的逆定理，判断直角三角形
.
教学内容
1.勾股定理：
(1)直角三角形两直角边的 ______和等于 _______ 的平方． 就是说， 对于任意的直角三角形， 如果它的两条直角边分别为 a 、 b ，斜边为 c ，那么一定有： ———————————— .这就是勾股定理．
2.勾股定理逆定理
“若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为 ________. ”这一命题是勾股定理的逆定理 .它可以帮
助我们判断三角形的形状 .
3.勾股定理的作用：
(1）已知直角三角形的两边，求第三边；
(2）在数轴上作出表示 n
（ n 为正整数）的点．
(3)判断三角形的形状 4.两点间的距离公式
平面直角坐标系中，两点间的距离公式为 d ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 。
知识点和例题讲解
一、勾股定理
直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
用字母表示：
a 2
b 2
c 2
A
ABC 中， AD ⊥BC ， AB=3 ， BD=2 ， DC=1. 求 AC 的长度。
例 1、如图所示，已知在△
B D
C
B
D
练习：（ 1）如图，已知在△ ABC 中，∠ACB=90 °，CD ⊥AB 于 D ，如果∠ BCD=30 °， BD=3 ，求 AD 、 AC 、 CD 的长。
A C
（ 2）已知，在△ ABC 中， AB=5,BC=6,AC=7, 求： BC 边上的高AD 和S ABC
A
B C
二、勾股定理的逆定理
如果三角形的一条边的平方等于其他两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。
例 2、已知：如图所示，在△ABC中，AB=13，BC=10，BC边上的中线AD=12，求证：AB=AC
A
C
B D
练习：（ 1）如图：已知四边形ABCD 的四边 AB 、 BC 、 CD、 DA 的长分别为6，8， 24，26，∠ ABC=90 °，求四边形ABCD 的面积。
B
C A
D
（2）已知在△ ABC 中， AC=8 ，BC=6 ，AB=10 ， BD 平分∠ B 交 AC 于点 D，DE⊥ AB 于 E，求 DE
的长。
三、两点的距离公式
如果直角坐标平面内有两点 A ( x1, y1)、 B ( x2, y2)，那么 A 、B 两点的距离 AB= (x1x2)2( y1 y2 )2.
例 3、在直角坐标平面内，点A坐标为（-3,4），点B坐标为（8,6），点O为坐标原点。
（ 1）
判断△ AOB 的形状，并说明理由；
（ 2）求 OB 边上中线的长。
练习：（ 1）在 x 轴上求一点P，使它到点 A （ 1,2）的距离与它到点B（ -1,1）的距离相等。
（ 2）在直角坐标平面内，有Rt△ABC ，已知 A （ 2,4），B （ 0,-2），点 C 在 x 轴上，求点C 的坐标。
四、实际问题
例 4、如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑 0.4 米，那么梯足将向外移多少米？
A
A 1
B1B C
练习：（1）如图，一根长度为50cm 的木棒的两端系着一根长度为70cm 的绳子，现准备在绳子上找一点，然后将绳子拉直，使拉直后的绳子构成一个直角三角形，这个点将绳子分成的两段各有多长？
基础练习一、填空题：
二、选择题：
三、解答题：
1、有一正方形纸片边长为2，怎样通过折纸，可得线段长为 5 ？画出示意图，并说明理由。
2、在△ ABC 中，∠ B=45 °， AB= 4 2 ，BC=7，求AC的长。
3、在直角坐标平面内，已知 A （ -1,0），B （ 5,4），在 y 轴上求一点P，使得△PAB 为直角三角形，求点P 的坐标。
4、如图：已知在 Rt△ ABC 中，∠ C=90 °， D 是 AC 的中点，求证：AB23BC 24BD 2
A
D
B C
能力提高
三、本次课后作业：
四、学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：
五、教师评定：
1、学生上次作业评价：○ 好○较好○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○好○较好○一般○差
主任签字：
泽仕学堂教务处。