最新14-5线段的最大值与最小值的解题策略汇总

14-5线段的最大值与最小值的解题策略

14-5线段最大值与最小值的解题思路

回顾：1．线段公理——两点之间，线段最短；2．对称的性质——①关于一条直线对称的两个图形全等；②对称轴是两个对称图形对应点连线的垂直平分线；3．三角形两边之和大于第三边；4．三角形两边之差小于第三边。5、垂直线段最短

一、两点之间线段最短、垂线段最短

线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

例1. 如图，在平面直角坐标系«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»三个点的坐标分别为«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，«Skip Record If...»，延长AC到点D,使CD=«Skip Record

If...»,过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E.

（1）求D点的坐标；（2）作C点关于

直线DE的对称点F,分别连结DF、EF，若

过B点的直线«Skip Record If...»将四

边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析

式；（3）设G为y轴上一点，点P从直线«Skip Record

If...»与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，若P点在y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达A点所用的时间最短。（要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明）

这不是一道简单的作图题，需要经历以下的思索路径：

简化图形→转化题意→由果索因→画图说理

课堂练习：1如图，在△ABC中，AC=BC=2，

∠ACB=90。，D是BC边的中点，

E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是________

2在锐角«Skip Record If...»中，«Skip Record If...»，

«Skip Record If...»的平分线交«Skip Record If...»于点«Skip Record If...»分别

是«Skip Record If...»和«Skip Record If...»上的

动点，则«Skip Record

If...»的最小值是__

看数据的特殊性，30°

P点在y轴上运动的速度是

它在直线GA上运动速度的

P点在GH上运动速度等于

2倍．

它在直线GA上运动速度．

求GH+GA的最小

值．

D C

B

A A B

C

D

A B

C

D

例2、如图2，正方形ABCD 的边长为4，∠DCB 的平分线CE 交DB 于点E ，若点P,Q 分别是CD 和CE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值（ ） A.2 B. «Skip Record If...» C.4 D. «Skip Record If...»

已知:在△ABC 中，BC=a ，AC=b ，以AB 为边作等边三角形ABD. 探究下列问题: （1）如图1，当点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，则CD= ；

（2）如图2，当点D 与点C 位于直线AB 的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，则CD= ；

（3）如图3，当∠ACB 变化,且点D 与点C 位于直线AB 的两侧时，求 CD 的最大值及相应的∠ACB 的度数.

图1 图2

图3

二、三角形两边之和大于第三边

求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差。在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

例1.在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，tan ∠BAC =«Skip Record If...». 点D 在边

AC 上（不与A ，C 重合），连结BD ，F 为BD 中点.

（1）若过点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CF 、EF 、CE ，如图1． 设«Skip Record If...»，则k = ；

（2）若将图1中的△ADE 绕点A 旋转，使得D 、E 、B 三点共线，点F 仍为BD 中点，如图2所示．求证：BE -DE =2CF ；

（3）若BC =6，点D 在边AC 的三等分点处，将线段AD 绕点A 旋转，点F

始终为BD 中点，求线段CF 长度的最大值．

课堂练习

（西城8）如图，在△ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =2，

点A 、C 分别在x 轴、y 轴上，当点A 在x 轴上运动时，点C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B 到原点的最大距离是

A ． «Skip Record If...»

B ．«Skip Record If...»

C 。 «Skip Record If...»

D ． 6 三、线段差的问题

B

C A

D E

F

B D

E

A

F

C

B

A

C

1

图2

图

备图

已知两点A、B与直线«Skip Record If...»（AB与«Skip Record If...»不平行

且在«Skip Record If...»同侧），动点P在«Skip Record If...»上，求«Skip Record If...»。

连接«Skip Record If...»并延长交直线«Skip Record If...»于点P，则点P为所求最

大值时所取的点，«Skip Record If...»。

先阅读下面材料，然后解答问题：（本小题满分10分）

【材料一】：如图⑴，直线l上有«Skip Record If...»、«Skip Record If...»两个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的距离之和最小，很明显点P的位置可取在«Skip Record If...»和

«Skip Record If...»之间的任何地方，此时距离之和为«Skip Record If...»到«Skip Record If...»的距离.

如图⑵，直线l上依次有«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»三个点，若在直线l上要确定一点P，且使点P到点«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»的距离之和最小，不难判断，点P

的位置应取在点«Skip Record If...»处，此时距离之和为«Skip Record If...»到

«Skip Record If...»的距离. (想一想，这是为什么？)

不难知道，如果直线l上依次有«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、

«Skip Record If...»、«Skip Record If...»四个点，同样要确定一点P，使它到各点

的距离之和最小，则点P应取在点«Skip Record If...»和«Skip Record If...»之间的任何地方；如果直线l上依次有«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»、«Skip Record If...»五个点，则相应点P的位置应取在点«Skip Record If...»的位置.

【材料二】：数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为«Skip Record If...».

图⑴图⑵

3

2

l

1

2

l

1