高考数学指数指数函数
2025届高中数学一轮复习课件《指数函数》PPT
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求解与指数函数有关的复合函数问题时，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性 等相关性质，其次要明确复合函数的构成，当涉及单调性问题时，要借助“同增异减”这一 性质分析判断．
高考一轮总复习•数学
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对点练 4(1)(2024·山东莱芜模拟)已知函数 f(x)＝|－2x－x＋15|，，xx≤>22，， 若函数 g(x)＝f(x)－
解析：∵y＝35x 是 R 上的减函数，∴35－13 >35－14 >350，即 a>b>1，又 c＝32－34 <320 ＝1，∴c<b<a.
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4．(2024·四川成都模拟)若函数 f(x)＝13－x2＋4ax 在区间(1,2)上单调递增，则 a 的取值范 围为___－__∞__，__12_ _．
在(4，＋∞)上单调递增．令12x≤4，得 x≥－2，令12x>4，得 x<－2， 代入外层函数的单调递减区间，得到自变量 x 的取值范围，这才是复合函数的单调递增 区间． 而函数 t＝12x 在 R 上单调递减，所以函数 y＝122x－8·12x＋17 的单调递增区间为[－2， ＋∞)．
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所谓“底大图高”，反映指数函数的排列规律．
高考一轮总复习•数学
第8页
1．判断下列结论是否正确． (1)函数 y＝a－x(a>0，且 a≠1)是 R 上的增函数．( ) (2)函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)与 x 轴有且只有一个交点．( ) (3)若 am>an，则 m>n.( ) (4)函数 y＝ax 与 y＝a－x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称．( √ )
高考数学中的指数函数与对数函数题详解
高考数学中的指数函数与对数函数题详解指数函数和对数函数是高考数学中的重要内容，涉及到的题型和考点较多。
本文将对指数函数和对数函数的基本定义、性质以及解题方法进行详细解析。
一、指数函数指数函数是以指数为自变量的函数，其一般形式为y = a^x （其中a>0且a≠1）。
下面，我们来讨论指数函数的基本性质。
1. 指数函数的定义域和值域指数函数的定义域为实数集R，值域为正实数集(0, +∞)。
2. 指数函数的图像特点当指数a>1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势；当0<a<1时，指数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势。
3. 指数函数的性质(1) 指数函数在定义域内具有严格单调性，即当a>1时为严格递增函数，当0<a<1时为严格递减函数。
(2) 指数函数在定义域内具有连续性，无间断点。
(3) 指数函数在定义域内具有无界性，即当x趋向于正无穷时，函数值也趋向于正无穷。
(4) 指数函数具有经过点(0, 1)的特点。
接下来，我们通过解题的方式来进一步认识指数函数。
例题1：已知方程2^x = 4的解为x = 2，则方程e^(x-1) = 1的解为多少？解题思路：首先，根据指数函数的性质可知，2^x = 4 等价于 x = 2。
然后，代入方程e^(x-1) = 1，得到e^(2-1) = 1，即e^1 = 1，因此方程e^(x-1) = 1的解为x = 1。
二、对数函数对数函数是指以对数为自变量的函数，其一般形式为y = loga(x)（其中a>0且a≠1，x>0）。
下面，我们来探讨对数函数的基本性质。
1. 对数函数的定义域和值域对数函数的定义域为正实数集(0, +∞)，值域为实数集R。
2. 对数函数的图像特点当0<a<1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐减小，形状呈现递减趋势；当a>1时，对数函数的图像在x轴的右侧逐渐增大，形状呈现递增趋势。
指数与指数函数高考知识点
指数与指数函数高考知识点指数和指数函数是高考数学中的重要知识点，涉及到数学中的指数概念、指数运算、指数函数及其性质等内容。
本文将以深入浅出的方式，详细介绍指数与指数函数的相关知识。
一、指数的概念及性质指数是数学中常用的表示方式，用于表示一个数的乘方。
指数的定义为：若a为非零实数，n为自然数（n≠0），则aⁿ称为以a为底的指数。
其中，a称为底数，n称为指数。
指数的性质有以下几点：1. 任何非零数的0次方都等于1，即a⁰=1（a≠0）；2. 任何非零数的1次方都等于它本身，即a¹=a（a≠0）；3. 指数相同、底数相等的两个指数相等，即aⁿ=aᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 任何数的负整数次方都可以表示为其倒数的相应正整数次方，即a⁻ⁿ=1/(aⁿ)（a≠0，n≠0）；5. 不同底数、相同指数的指数大小可以通过底数的大小来判断，当0<a<b时，aⁿ<bⁿ（a，b，n都是实数且n>0）。
二、指数运算法则指数运算是指在进行乘方运算时，如何将指数进行运算。
在指数运算中，有以下几条法则：1. 乘法法则：同底数的指数相加，保持底数不变，指数相加，即aⁿ⋅aᵐ=aⁿ⁺ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；2. 除法法则：同底数的指数相减，保持底数不变，指数相减，即aⁿ/aᵐ=aⁿ⁻ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；3. 乘方法则：一个数的乘方再乘以另一个数的乘方，底数不变，指数相乘，即(aⁿ)ᵐ=aⁿᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）；4. 开方法则：一个数的乘方再开方，底数不变，指数取两个数的最小公倍数，即(aⁿ)^(1/ᵐ)=aⁿ/ᵐ（a≠0，n≠0，m≠0）。
三、指数函数的定义与图像指数函数是一种特殊的函数形式，具有以下定义：形如y=aᵘ（a>0，且a≠1）的函数称为指数函数。
在指数函数中，a称为底数，u称为自变量，y称为因变量。
指数函数的图像特点如下：1. 当底数0<a<1时，函数图像呈现下降趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；2. 当底数a>1时，函数图像呈现上升趋势，越接近x轴，函数值越接近于0；3. 当底数a=1时，函数图像为水平直线y=1，与自变量无关。
高考数学中的指数函数基本性质及应用
高考数学中的指数函数基本性质及应用数学是一门高考的重要科目，其中指数函数是重点考察的内容之一。
指数函数在应用中有着广泛的用途，因此，了解指数函数的基本性质和应用是做好高考数学的关键。
本文将介绍指数函数的定义、性质和应用，帮助大家全面地了解指数函数。
1. 定义指数函数是一种以常数a为底的数学函数，其形式为y=a^x，其中x为自变量，y为因变量，a为正实数，且a≠1。
指数函数的定义域为实数集，其值域为正实数集。
2. 基本性质2.1 增减性当0<a<1时，指数函数y=a^x呈现为递减函数；当a>1时，指数函数y=a^x呈现为递增函数。
这是因为指数函数具有单调性，当底数a>1时，指数函数单调递增，当底数0<a<1时，指数函数单调递减。
2.2 奇偶性当指数函数满足a=-1时，指数函数为奇函数；当指数函数满足a=1时，指数函数为常函数；当指数函数满足a>1或0<a<1时，指数函数为偶函数。
2.3 对数函数的性质指数函数与对数函数是相互关联的，其性质如下：（1）指数函数和对数函数互为反函数。
（2）logaA=x 的意义是a^x=A，其中A>0，a>0且a≠1。
（3）对数函数与指数函数具有相同的基本性质。
3. 应用指数函数在实际应用中有着广泛的用途，如：3.1 复利问题在投资、贷款等领域中，复利问题是比较常见的，此时就可以利用指数函数的性质求解。
例如，在一年后，本金10000元，年利率为5%的情况下，3年后的本金是多少？根据复利公式，得到本金为10000 ×（1+0.05）^3 ≈ 11576.25。
3.2 科学计数法指数函数常常被用于科学计数法中。
科学计数法是一种标识极大或极小的物理数值的方法，特点是用10^x的形式表示数值。
例如，太阳距离地球约为1.496×10^8千米。
3.3 生物增长模型在生物学中，指数函数也有着重要应用。
2024年新高考版数学专题1_3.3 指数函数、对数函数
例2
(多选)(2021河北高碑店月考,11)已知函数f(x)=
2x 2x
1
+m(m∈R),则下
列说法正确的是 ( )
A.f(x)的定义域为R
B.若f(x)为奇函数,则m=- 1
2
C.f(x)在R上单调递减
D.若m=0,则f(x)的值域为(0,1)
解析 对于A,由2x+1≠0恒成立,知函数f(x)的定义域为R,所以A正确;
考点二 指数函数与对数函数的图象与性质
1.指数函数的图象与性质
a>1
0<a<1
图象
定义域 值域 性质
R
(0,+∞)
过定点(0,1),即当x=0时,y=1
当x>0时,y>1; 当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1; 当x>0时,0<y<1
在(-∞,+∞)上是增函数
在(-∞,+∞)上是减函数
2.对数函数的图象与性质
a>1 图象
0<a<1
定义域 值域 性质
过定点(1,0),即当x=1时,y=0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是增函数
(0,+∞) R
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 在(0,+∞)上是减函数
3.反函数 一般地,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反 函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称.
对于B,由函数f(x)为奇函数,得f(-x)=-f(x),即
新高考指数函数知识点归纳
新高考指数函数知识点归纳随着中国教育改革的不断深入，新高考已经逐渐取代了传统的高考制度，成为了学生们普遍关注和备考的焦点。
在新高考中，数学是必考科目之一，而指数函数作为数学中的重要内容之一，将在新高考中扮演重要的角色。
本文将对指数函数这一知识点进行归纳总结，帮助同学们对此进行深入理解和掌握。
一、指数与幂指数函数的首要概念是指数与幂的概念。
在数学中，幂指的是一个数自乘若干次的运算，即n的m次方。
而指数则表示幂的次数，即指数n对应幂的次数m。
在指数函数中，指数可以是整数、分数或者是其他实数。
二、指数的性质1.指数为正数时，幂的结果是一个正数，表现为指数函数的增长特性。
指数为负数时，幂的结果是一个小于1的分数或小数，表现为指数函数的递减特性。
2.指数为0时，幂的结果为1，这可以视为幂的特殊情况。
3.指数为分数时，幂的结果可以找到对应的根的概念，是求幂运算的逆运算。
三、指数函数的图像指数函数的图像呈现出一种特殊的形状，具有一条渐近线（y轴）。
当指数为正数时，函数图像会从渐近线方向无线接近，但永远不会达到渐近线。
当指数为负数时，函数图像则会无限接近于x轴，并且在第一象限与x轴正半轴交于一点，并在第二象限与y轴交于一点。
四、指数函数的定义域与值域指数函数的定义域是所有实数集合R，而值域则取决于指数的正负情况。
当指数为正数时，值域为(0, +∞)，表示函数的范围为正实数大于0；当指数为负数时，值域为(0,1)，表示函数的范围为小于1的正实数。
五、指数函数的性质与运算1.指数函数具有多个性质，如指数零定律、指数等比加法规律、指数等基乘法规律、指数等差加法规律等，这些性质在求解指数函数问题时有着重要的作用。
2.指数函数之间的运算涉及到指数根的概念以及对数的概念，在解决实际问题时可以通过这些运算与性质来简化计算和求解过程。
六、指数函数的应用指数函数在科学、经济、生活等各个方面都有着广泛的应用。
在自然科学领域，指数函数可以用来描述物质的放射性衰变、细菌的繁殖等自然现象。
高中数学高考第2章 §2 6 指数与指数函数
∴1.70.3>0.93.1，故C正确；
3
2
∵y＝23x 为减函数，∴
2 4 3
2 3
3
，
2
又y＝ x 3 在(0，＋∞)上单调递增，
2
2
∴
2 3 3
3 4
3
，
3
2
2
∴
2 3
4
2 3
3
3 4
3
，故D正确.
2.(2022·泸州模拟)已知函数f(x)＝ex－e1x ，若f(a－2)＋f(a2)≤0，则实数a的 取值范围是__[－__2_,_1_]_.
(2)(2020·全国Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则
√A.ln(y－x＋1)>0
C.ln|x－y|>0
B.ln(y－x＋1)<0 D.ln|x－y|<0
设函数f(x)＝2x－3－x. 因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增. 原式等价于2x－3－x<2y－3－y， 即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确. 因为|x－y|与1的大小关系不能确定，所以C，D不正确.
正数的正分数指数幂，a
m n
＝_n_a_m_(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
m
正数的负分数指数幂，a n＝_a__n_＝
1
(a>0，m，n∈N*，n>1).
n am
0的正分数指数幂等于_0_,0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras＝_a_r_＋_s_；(ar)s＝_a_rs_；(ab)r＝_a_r_b_r_(a>0，b>0，r，s∈R).
2024届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用第五讲指数与指数函数课件
7－2－1＝98.
3212
54
(2)原式＝
a2 a
b b2
2
a6
1
a3
b6
1
b3
a3 b3
27
a3 b3
a. b
【题后反思】指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底 数是带分数的，先化成假分数. (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示， 运用指数幂的运算性质来解答.
解析：因为函数 y＝ax－b 的图象经过第二、三、四象限，所 以函数 y＝ax－b 单调递减且其图象与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴
上.令 x＝0，则 y＝a0－b＝1－b，由题意得01＜－ab＜＜10，，
解得0b＜＞a1＜，1， 故 ab∈(0，1). 答案：(0，1)
考点三 指数函数的性质及应用 考向 1 利用指数函数的单调性比较大小 通性通法：比较指数式的大小时，能化成同底数的先化成同 底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入 “1”等中间量比较大小.
2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理 问题.
解指数函数的概念.
2.题型一般为选择、填空
3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数 题，若题型为解答题，
的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点 则题目中等偏难
1.根式 (1)一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n>1， 且 n∈N*.
即函数 f(x)在定义域 R 上单调递增.
(3)解：f(2x－1)＋f(x－2)＞0，且 f(x)为奇函数， ∴f(2x－1)＞f(－x＋2)， ∵函数 f(x)在 R 上单调递增， ∴2x－1＞－x＋2，∴x＞1， ∴不等式的解集为(1，＋∞).
备战2024年高考数学一轮复习13、指数函数与对数函数
指数函数与对数函数知识回顾：1、指数函数)1,0(≠>=a a a y x 与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 的图象与性质2、指数函数)1,0(≠>=a a a y x与对数函数)1,0(log ≠>=a a xy a 互为 ，其图象关于直线 对称 典型例题分析：一、指对函数的图象及性质应用例1、已知实数,a b 满足等式11()()23ab=，下列五个关系式（1）0b a <<（2）0a b <<（3）0a b <<（4）0b a <<（5）a b = 其中不可能成立的关系式有A 、4个B 、1个C 、2个D 、3个 例2、对于函数()f x 定义域中任意1212,,()x x x x ≠，有如下结论 （1）1212()()()f x x f x f x += （2）1212()()()f x x f x f x =+ （3）1212()()0f x f x x x ->- （4）1212()()22x x f x x f ++<当()lg f x x =时，上述结论中正确结论的序号是 。
例3、如图，是指数函数（1）x y a =，（2）x y b =，（3）x y c =， （1） （2） （3） （4） （4）x y d =的图象，则,,,a b c d 与1的大小关系是 A 、1a b c d <<<<0 B 、1b a d c <<<< C 、1a b c d <<<< 2 D 、1a b d c <<<< 3例4、若函数log ()(0,1)a y x b a a =+>≠的图象过两点(1,0)-和(0,1)，则A 、2,2a b ==B 、2a b ==C 、 2,1a b ==D 、a b ==例5、方程log 2(01)a x x a =-<<的实数解的个数是 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 例6、函数2xy -=的单调递增区间是A 、(－∞,+∞)B 、(－∞, 0)C 、(0, +∞)D 、不存在例7、当a ＞1时,函数x y a -=与log a y x =的图像是 ( )例8、设01a <<，函数2()log (22)x x a f x a a =--，则使()0f x <的x 取值范围是 A 、(－∞,0) B 、(0, +∞) C 、(－∞,log 3a ) D 、（log 3a , +∞） 例9、函数x y a =在[]0,1上的最大值与最小值的和为3，则a 的值为 A 、12 B 、2 C 、4 D 、14例10、已知不等式2log (21)log (3)0x x x x +<<成立，则实数x 的取值范围是 A 、1(0,)3 B 、1(0,)2 C 、1(,1)3 D 、11(,)32二、比较大小例1、若92log 3a =, 8log b =14c =，则这三个数的大小关系是 A 、a c b << B 、a b c << C 、c a b << D 、c b a <<例2、若60a =︒, 2log sin30b =︒, 3log 45c tg =︒，则,,a b c 的大小关系是（ ）。
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数
高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数一般地，形如y=a^x(a>0 且 a≠1) (x∈ R)的函数叫做指数函数，下边是高考数学复习初等函数知识点：指数与指数函数，希望对考生有帮助。
指数函数的一般形式为，从上边我们关于幂函数的议论便可以知道，要想使得x 能够取整个实数会合为定义域，则只有使得如下图为 a 的不一样大小影响函数图形的状况。
能够看到：(1) 指数函数的定义域为全部实数的会合，这里的前提是a 大于 0，关于 a 不大于 0 的状况，则必定使得函数的定义域不存在连续的区间，所以我们不予考虑。
(2)指数函数的值域为大于 0 的实数会合。
(3)函数图形都是下凹的。
(4) a 大于 1，则指数函数单一递加;a 小于 1 大于 0，则为单调递减的。
(5) 能够看到一个明显的规律，就是当 a 从 0 趋势于无量大的过程中 (自然不可以等于 0)，函数的曲线从分别靠近于Y 轴与 X 轴的正半轴的单一递减函数的地点，趋势分别靠近于Y 轴的正半轴与X 轴的负半轴的单一递加函数的地点。
此中水平直线 y=1 是从递减到递加的一个过渡地点。
第1页/共3页(6) 函数老是在某一个方向上无穷趋势于X 轴 ,永不订交。
(7)函数老是经过 (0，1)这点。
家庭是少儿语言活动的重要环境，为了与家长配合做好少儿阅读训练工作，孩子一入园就召开家长会，给家长提出初期抓好少儿阅读的要求。
我把少儿在园里的阅读活动及阅读状况实时传达给家长，要求孩子回家向家长朗读儿歌，表演故事。
我和家长共同配合，一道训练，少儿的阅读能力提升很快。
宋此后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称呼皆称之为“教谕”。
至元明清之县学一律循之不变。
明朝当选翰林院的进士之师称“教习”。
到清末，学堂盛行，各科教师仍沿用“教习”一称。
其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。
而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。
“教授”“学正”和“教谕”的帮手一律称“训导”。
指数函数-高考数学复习
数.
（
√
目录
）
2. （多选）下列函数中，值域为（0，＋∞）的是（
）
A. y ＝ x 2
D. y ＝3 x －1
C. y ＝2 x
解析：
2
2
y ＝ x 的值域为[0，＋∞）； y ＝ 的值域为（－∞，
0）∪（0，＋∞）； y ＝2 x 的值域为（0，＋∞）； y ＝3 x －1的值域
为（0，＋∞）.
解析：由结论2，在函数 y ＝ ax －1－1中，当 x ＝1时，恒有 y ＝0，即
函数 y ＝ ax －1－1的图象恒过定点（1，0）.
目录
课堂演练
考点 分类突破
精选考点 典例研析 技法重悟通
PART
2
目录
指数函数的图象及应用
【例1】
（1）函数 f （ x ）＝ ax － b 的图象如图所示，其中 a ， b 为常
1
解析：依题意，当 x ∈（0， ）时， y ＝ ax 与 y ＝
2
1
1
有交点，作出 y ＝ 的图象，如图，所以
൝
> 1，
1
2
> 2，
解得 a ＞4.
目录
指数型函数性质的综合问题
【例4】 （2023·新高考Ⅰ卷4题）设函数 f （ x ）＝2 x （ x － a ）在区间
（0，1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（
解析： 由题意知 a ＞1，所以 f （－4）＝ a 3， f （1）＝ a 2，由指
数函数的单调性知 a 3＞ a 2，所以 f （－4）＞ f （1）.
目录
2. 若函数 f （ x ）＝ ax － b 的图象如图所示，则（
高考数学中的指数函数基本概念及应用
高考数学中的指数函数基本概念及应用指数函数是一种常见的数学函数，也是高考数学中重要的一部分。
理解指数函数的基本概念和应用非常重要，能够帮助考生更好地掌握数学知识，提高数学成绩。
本文将详细介绍指数函数的基本概念及应用。
一、什么是指数函数指数函数是以一个正实数作为底数，以变量为指数的函数。
一般表示为y=a^x，其中a>0且a≠1。
以2^x为例，当x为0时，2^0=1；当x为1时，2^1=2；当x 为2时，2^2=4……指数函数的图像一般为一条单调递增或递减的曲线，并且经过点(0,1)。
二、指数函数的基本性质指数函数有许多重要的基本性质，掌握这些性质是理解指数函数的关键。
1、当a>1时，指数函数(0,+∞)单调递增；当0<a<1时，指数函数(0,+∞)单调递减。
2、指数函数在原点处必过点(0,1)，即当x=0时，y=a^0=1。
3、当a>1时，指数函数具有水平渐近线y=0；当0<a<1时，指数函数具有水平渐近线y=+∞。
4、对于任意正整数m,n，a^m*a^n=a^(m+n)，即同底数幂相乘是底数不变指数相加。
5、对于任意正整数m,n(k≠0)，(a^m)^n=a^(mn)，即指数的幂次等于幂次的指数。
三、指数函数的常用变形在实际应用中，为方便计算，我们常常要对指数函数进行基本变形，其中最常见的有以下几种：1、y=a^x+b，a>0且a≠1，b∈R。
这是指数函数的平移变形，可以将原来单调递增或递减的图像沿y轴向上或向下平移b个单位。
2、y=(a+b)^x，a,b>0且a≠b。
这是指数函数的合成变形，可以将两个指数函数的图像合并成一个新的图像。
3、y=a^(x+b)，a>0且a≠1，b∈R。
这是指数函数的左右平移变形，可将原来单调递增或递减的图像沿x轴向左或向右平移b个单位。
四、指数函数的应用指数函数广泛应用于自然科学、社会科学等领域，深化对指数函数的理解，有助于我们更好地应用于实际问题的解决。
指数函数-高考数学复习
考向4 指数型函数的综合应用
2
1 -2-3
f(x)=(3)
的图象经过点(3,1),
例 5(多选题)(2024·重庆云阳模拟)若函数
则( AC )
A.a=1
B.f(x)在(-∞,1)内单调递减
1
C.f(x)的最大值为 81
D.f(x)的最小值为81
解析 对于 A,由题意
1 9a-6-3
f(3)=( )
解析 若a>1,则f(x)在[-1,0]上单调递增,所以f(x)max=f(0)=a=2,即a=2;
若0<a<1,则f(x)在[-1,0]上单调递减,所以f(x)min=f(-1)=a-1=2,
即
1
a= .综上,a=2
2
或
1
a= .
2
考向2 比较幂值的大小
例3(1)(2024·江西赣州模拟)已知函数f(x)=ex,若a=f(40.99),b=f(21.99),c=f(ln 2),
则a,b,c的大小关系为( C )
A.a<b<c
B.a<c<b
C.c<a<b
D.c<b<a
解析 依题意,21.99>21.98=40.99>20=1>ln 2,而函数f(x)=ex在R上单调递增,
因此f(21.99)>f(40.99)>f(ln 2),即c<a<b,故选C.
(2)(2024·辽宁大连模拟)已知
e +1
1-()
1-()
当-1<f(x)<0 时,[f(x)]=-1;当 0≤f(x)<1 时,[f(x)]=0,
因此[f(x)]的值域为{-1,0},故选 B.
高考数学复习知识点讲义课件25---指数函数的概念及其图象和性质
答案：(－1，－1) (2)y＝13x＋1＋2＝3－(x＋1)＋2.作函数 y＝3x 的图象关于 y 轴的对称图象得函数 y＝3－x 的图象，再向左平移 1 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)的图象，最后再 向上平移 2 个单位长度就得到函数 y＝3－(x＋1)＋2＝13x＋1＋2 的图象，如图所示．
x0 1
2
3
…
y 200 210 220.5 231.525 …
作直线y＝300与函数y＝200(1＋5%)x的图象交于A点，则A(x0,300)，A点的横 坐标x0的值就是函数值y＝300时(木材蓄积量为300万立方米时)所经过的时间x年 的值．
∵8<x0<9，则取x＝9(计划留有余地，取过剩近似值)，即经过9年后，林区的 木材蓄积量能达到300万立方米．
[解析] (1)函数 y＝13x 是指数函数，且 y＝4x 也是指数函数，其它函数不 符合指数函数的三个特征．
(2)设指数函数 fx＝ax，由 f2－f1＝6 得 a2－a＝6，解得 a＝－2(舍去)或 a＝3，则 f3＝33＝27.
[答案](1)①④ (2)27
[方法技巧] (1)判断一个函数是否为指数函数，只需判断其解析式是否符合y＝ax(a＞0， 且a≠1)这一形式，其具备的特点为：
2.底数与指数函数图象的关系 (1)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝1 相交于点(1，a)可知，在 y 轴右侧， 图象从下到上相应的底数由小变大． (2)由指数函数 y＝ax 的图象与直线 x＝－1 相交于点－1，1a 可知，在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小． 如图所示，指数函数底数的大小关系为 0＜a4＜a3＜1＜a2＜a1.
(一)指数函数的概念 一般地，函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义 域是 R .
指数函数高考知识点总结
指数函数高考知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，也是高考数学考试中经常涉及到的知识点之一。
指数函数是指以常数 e（自然对数的底数）为底数的函数，其形式可以写作 f(x) = a^x，其中 a 是一个大于 0 且不等于 1 的实数，x 是变量。
一、指数函数的定义和性质指数函数的定义是 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
它的定义域是实数集，值域是正实数集。
指数函数的图像随着底数的不同而变化，底数 a 大于 1 时，图像呈现上升趋势；底数是 (0, 1) 之间的小数时，图像呈现下降趋势。
指数函数具有以下性质：1. 指数函数的导数等于其本身乘以常数 ln(a)（自然对数的底）。
2. 指数函数的导数在正实数上是严格递增的。
3. 当底数 a 大于 1 时，指数函数是增函数且过点 (0, 1)；当底数 a 是 (0, 1) 之间的小数时，指数函数是减函数且过点 (0, 1)。
4. 指数函数是奇函数，即 f(-x) = 1 / a^x，其图像关于 y 轴对称。
5. 指数函数的图像在横轴上的渐近线为 y = 0，即当 x 趋近负无穷时，函数值趋近于 0。
二、指数函数的特殊情况1. 当底数 a 等于 e（自然对数的底数）时，指数函数称为自然指数函数，记作 f(x) = e^x。
自然指数函数具有特殊的性质，其导数和原函数等于它本身，即 f'(x) = e^x，∫ e^x dx = e^x + C。
2. 当指数 x 为 0 时，任何底数的指数函数的值都等于 1，即 a^0 = 1。
三、指数函数的应用指数函数广泛应用于各个领域，以下列举几个常见的应用：1. 经济增长模型：指数函数可以描述经济增长模型中的指数增长。
在经济学中，常用指数函数来预测人口增长、物价上涨以及国内生产总值的增长等。
2. 物质衰变模型：指数函数可以用来描述放射性物质的衰变过程。
放射性衰变的速率与剩余物质的量成正比，因此可以用指数函数来描述物质衰变的速度。
2023高考数学基础知识综合复习第6讲指数与指数函数 课件(共21张PPT)
考点一
考点二
指数与指数幂运算
◆角度1.根式的运算
例1下列各式正确的是(
8
A. a8 =a
4
4
C. (-4) =-4
)
B.a0=1
5
D. (-π)5 =-π
答案 D
解析 对于A,当a为负数时等式不成立,故A不正确;
对于B,a0=1,当a=0时无意义,故B不正确;
对于C,左边为正,右边为负,故C不正确;
3.指数函数的图象与性质
y=ax
a>1
(a>0且a≠1)
0<a<1
图象
定义域
值域
性质
R
(0,+∞)
过定点(0,1)
当x>0时,y>1;
当x>0时,0<y<1;
当x<0时,0<y<1
当x<0时,y>1
在R上是增函数
在R上是减函数
y=ax的图象与y=a-x=( 1 )x的图象关于y轴对称(a>0且
a≠1)
5
对于 D, (-)5 =-π,故 D 正确.故选 D.
考点一
考点二
◆角度2.分数指数幂运算
例2化简下列各式(a>0,b>0).
(1)
1
3 ·
;
1
a-1 b-1
2
(2) 1
÷
b a
- 3 -2
2
a
解 (1)原式=
1 1
3 ·2
2
3
.
=
1 1
1
2 2
-1 2
(2)原式= 1 2 ÷
2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题(含答案解析)
2023届高考数学---指数与指数函数综合练习题（含答案解析）1、已知a ，b ∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x ＞0时，1＜b x ＜a x ，则( ) A ．0＜b ＜a ＜1 B ．0＜a ＜b ＜1 C ．1＜b ＜aD ．1＜a ＜bC [∵当x ＞0时，1＜b x ，∴b ＞1.∵当x ＞0时，b x ＜a x ，∴当x ＞0时，(ab )x ＞1. ∴ab ＞1，∴a ＞b .∴1＜b ＜a ，故选C.]2、设f (x )＝e x ，0＜a ＜b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b2)，r ＝f （a ）f （b ），则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝r ＜pB ．p ＝r ＜qC ．q ＝r ＞pD ．p ＝r ＞qC [∵0＜a ＜b ，∴a ＋b 2＞ab ，又f (x )＝e x 在(0，＋∞)上为增函数，∴f (a ＋b2)＞f (ab )，即q ＞p .又r ＝f （a ）f （b ）＝e a e b ＝e a ＋b2＝q ，故q ＝r ＞p .故选C.]3、已知函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值为________．12或32 [当0＜a ＜1时，a －a 2＝a 2， ∴a ＝12或a ＝0(舍去)． 当a ＞1时，a 2－a ＝a2， ∴a ＝32或a ＝0(舍去)． 综上所述，a ＝12或32.]4、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围． [解] (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a， 解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0等价于f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t ＞－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k ＞0， 从而Δ＝4＋12k ＜0，解得k ＜－13. 故k 的取值范围为(－∞，－13)．5、设y ＝f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎨⎧f （x ），f （x ）≤K ，K ，f （x ）＞K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x ，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1D [根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1上恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0，2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.]6、已知函数f (x )＝14x －λ2x －1＋3(－1≤x ≤2)．(1)若λ＝32，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )的最小值是1，求实数λ的值． [解] (1)f (x )＝14x －λ2x －1＋3＝(12)2x －2λ·(12)x ＋3(－1≤x ≤2)． 设t ＝(12)x ，得g (t )＝t 2－2λt ＋3(14≤t ≤2)． 当λ＝32时，g (t )＝t 2－3t ＋3 ＝(t －32)2＋34(14≤t ≤2)．所以g (t )max ＝g (14)＝3716，g (t )min ＝g (32)＝34. 所以f (x )max ＝3716，f (x )min ＝34， 故函数f (x )的值域为[34，3716]． (2)由(1)得g (t )＝t 2－2λt ＋3 ＝(t －λ)2＋3－λ2(14≤t ≤2)，①当λ≤14时，g (t )min ＝g (14)＝－λ2＋4916， 令－λ2＋4916＝1，得λ＝338＞14，不符合，舍去； ②当14＜λ≤2时，g (t )min ＝g (λ)＝－λ2＋3，令－λ2＋3＝1，得λ＝2(λ＝－2＜14，不符合，舍去)；③当λ＞2时，g(t)min＝g(2)＝－4λ＋7，令－4λ＋7＝1，得λ＝32＜2，不符合，舍去．综上所述，实数λ的值为 2.一、选择题1．设a＞0，将a2a·3a2表示成分数指数幂的形式，其结果是()A．a 12B．a 5 6C．a 76D．a32C[a2a·3a2＝a2a·a23＝a2a53＝a2a56＝a2－56＝a76.故选C.]2．已知函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，6) B．(1，5)C．(0，5) D．(5，0)A[由于函数y＝a x的图像过定点(0，1)，当x＝1时，f(x)＝4＋2＝6，故函数f(x)＝4＋2a x－1的图像恒过定点P(1，6)．]3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜aC[y＝0.6x在R上是减函数，又0.6＜1.5，∴0.60.6＞0.61.5.又y＝x0.6为R上的增函数，∴1.50.6＞0.60.6，∴1.50.6＞0.60.6＞0.61.5，即c＞a＞b.]4．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图像的大致形状是( )A BC DD [函数的定义域为{x |x ≠0}，所以y ＝xa x |x |＝⎩⎨⎧a x，x ＞0，－a x ，x ＜0，当x ＞0时，函数是指数函数y ＝a x ，其底数0＜a ＜1，所以函数递减；当x ＜0时，函数y ＝－a x 的图像与指数函数y ＝a x (0＜a ＜1)的图像关于x 轴对称，所以函数递增，所以应选D.]5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1－2－x ，x ≥0，2x －1，x ＜0，则函数f (x )是( )A ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递增B ．偶函数，在[0，＋∞)上单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减C [易知f (0)＝0，当x ＞0时，f (x )＝1－2－x ，－f (x )＝2－x －1，此时－x ＜0，则f (－x )＝2－x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝2x －1，－f (x )＝1－2x ，此时，－x ＞0，则f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x ＝－f (x )．即函数f (x )是奇函数，且单调递增，故选C.]二、填空题1、若函数f (x )＝a |2x －4|(a ＞0，a ≠1)满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是________．[2，＋∞) [由f (1)＝19得a 2＝19，所以a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝(13)|2x －4|.由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上单调递减，在[2，＋∞)上单调递增， 所以f (x )在(－∞，2]上单调递增，在[2，＋∞)上单调递减．] 2、不等式2－x 2＋2x＞(12)x ＋4的解集为________．(－1，4) [原不等式等价为2－x 2＋2x＞2－x －4，又函数y ＝2x 为增函数，∴－x 2＋2x ＞－x －4， 即x 2－3x －4＜0，∴－1＜x ＜4.]3、若直线y 1＝2a 与函数y 2＝|a x －1|(a ＞0且a ≠1)的图像有两个公共点，则a 的取值范围是________．(0，12) [(数形结合法)当0＜a ＜1时，作出函数y 2＝|a x －1|的图像，由图像可知0＜2a ＜1， ∴0＜a ＜12；同理，当a ＞1时，解得0＜a ＜12，与a ＞1矛盾． 综上，a 的取值范围是(0，12)．] 三、解答题4、已知函数f (x )＝(13)ax 2－4x ＋3.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3，令u ＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7.则u 在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)u 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝(13)h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1.因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1.(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，函数y ＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，则必有a ＝0. 5、已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a ＞0，a ≠1)的图像经过点A (1，6)，B (3，24)．(1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b )x －m ≥0在(－∞，1]上恒成立，求实数m 的取值范围． [解] (1)因为f (x )的图像过A (1，6)，B (3，24)， 所以⎩⎨⎧b ·a ＝6，b ·a 3＝24. 所以a 2＝4，又a ＞0，所以a ＝2，b ＝3. 所以f (x )＝3·2x .(2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时，(12)x ＋(13)x －m ≥0恒成立，即m ≤(12)x ＋(13)x 在(－∞，1]上恒成立．又因为y ＝(12)x 与y ＝(13)x 均为减函数，所以y ＝(12)x ＋(13)x也是减函数，所以当x＝1时，y＝(12)x＋(13)x有最小值56.所以m≤56.即m的取值范围是(－∞，56]．本课结束。
高考数学冲刺指南指数函数与对数函数的性质
高考数学冲刺指南指数函数与对数函数的性质高考数学冲刺指南：指数函数与对数函数的性质在高考数学中，指数函数与对数函数是非常重要的知识点，它们不仅在函数的领域中占据重要地位，还常常与其他数学知识相结合，出现在各种题型中。
在高考冲刺阶段，掌握好这部分内容的性质，对于提高数学成绩至关重要。
一、指数函数的性质指数函数的一般形式为 y ＝ a^x （a ＞ 0 且a ≠ 1），其中 a 被称为底数，x 是自变量。
1、定义域和值域指数函数的定义域为 R，即全体实数。
因为 a^x 恒大于 0，所以其值域为（0，＋∞）。
2、单调性当 a ＞ 1 时，指数函数单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，指数函数单调递减。
例如，y ＝ 2^x 是单调递增的，因为随着 x 的增大，2^x 的值也越来越大；而 y ＝（05)＾x 是单调递减的，x 增大时，（05)＾x 的值越来越小。
指数函数的图像恒过定点（0，1）。
当 a ＞ 1 时，图像在 R 上呈上升趋势，且越来越陡峭；当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像在 R 上呈下降趋势，且越来越平缓。
4、函数值的变化当 x ＞ 0 时，若 a ＞ 1，则 a^x ＞ 1；若 0 ＜ a ＜ 1，则 0 ＜ a^x ＜1。
当 x ＜ 0 时，若 a ＞ 1，则 0 ＜ a^x ＜ 1；若 0 ＜ a ＜ 1，则 a^x ＞1。
二、对数函数的性质对数函数的一般形式为 y ＝ log_a x （a ＞ 0 且a ≠ 1），其中 a 是底数，x 是真数。
1、定义域和值域对数函数的定义域为（0，＋∞），值域为 R。
2、单调性当 a ＞ 1 时，对数函数在（0，＋∞）上单调递增；当 0 ＜ a ＜ 1 时，对数函数在（0，＋∞）上单调递减。
例如，y ＝ log_2 x 在（0，＋∞）上单调递增，而 y ＝ log_(05) x 在（0，＋∞）上单调递减。
对数函数的图像恒过定点（1，0）。
当 a ＞ 1 时，图像在（0，1）区间内平缓，在（1，＋∞）区间内陡峭上升；当 0 ＜ a ＜ 1 时，图像在（0，1）区间内陡峭，在（1，＋∞）区间内平缓下降。
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２.９ 指数 指数函数——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一一、明确复习目标1．理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； ２.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。
二．建构知识网络1.幂的有关概念(１)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n个零指数幂)0(10≠=a a ； 负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈ (2）正分数指数幂()0,,,1m nm na a a m n N n *=>∈>;(3)负分数指数幂()10,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>(4)0的正分数指数幂等于０,０的负分数指数幂没有意义． 2．有理数指数幂的性质:()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式（1)根式的定义:如果a x n=()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根，用na 表示,na 叫做根式，n 叫根指数,a 叫被开方数。
(２)根式的性质: ①当n 是奇数,a a n n =;当n 是偶数，⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a nn②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数:（1)定义:y=a x (a >0且ａ≠1),叫指数函数,x 是自变量,y 是ｘ的函数。
（2）图象：(3）性质:定义域（-∞,+ ∞)；值域 (0，＋ ∞)；过定点（0，1）；单调性 a > １时为增函数 0<a <１时为减函数值分布:x 取何值时,y>1,0<y ＜1？ (分a >1和0<a <１两种情况说明）三、双基题目练练手１.3a ·6a -等于 （ )Ａ.－a - B.－a C.a - D ． a2．当10<<a 时，aa aaa a ,,的大小关系是 ( ） ﻩＡ．aa aaa a >>ﻩＢ.a aa aa a>>Ｃ．aa aa aa>>D.aa aaa a>>3.下图是指数函数(1）y =ａｘ，（2)y =b ｘ,（3)y =ｃｘ，(4)y =d x 的图象，则ａ、b 、c 、d 与１的大小关系是Oxy1(1) (2) (3) (4)A ．a ＜ｂ<１<c ＜d ﻩ ﻩﻩB.b <a ＜1＜d ＜cC.1<ａ＜ｂ<ｃ<d ﻩD.ａ<b <１<d <ｃ4.如果函数f （x)＝a x (a x －3a 2-1)(a>0且ａ≠1),在区间[０,＋∞)上是增函数,那么实数ａ 的取值范围是 ( )A.2(0,]3B.3[,1) C.(1,3] D.3[,)2+∞５．计算:()0.7522310.25816--⎛⎫+- ⎪⎝⎭=_＿＿＿＿_＿______6.若ln 2ln 3ln 5,,235a b c ===，则a 、b 、ｃ的大小顺序是 简答.精讲: 1－4. ABBB; 1.3a ·6a-=ａ31·(－a )61=-（-a ）6131+=-(－a ）21; 3． 令x =1，由图知c 1＞ｄ１>a 1＞b 1；4.记u=a x ,则 f(x)=u[u －(３ａ2＋1)]=g(u)对称轴为u=(3a 2+1)/２，要使ｆ(x ）在x ∈[０,＋∞)时递增,当0＜a ＜1时u ＝a x ∈(0，1］且递减,只须1≤（3ａ2+１)／2,1a ≤<;当ａ＞１时无解.故选B; 5.12;６．只须看1113522,3,5的大小，把11322,3６次乘方, 把11522,510次乘方可知c<a<b四、经典例题做一做【例１】已知9x －１0·3x +9≤０，求函数ｙ=(41）ｘ－1-4(21)x+2的最大值和最小值. 解:由9x -10·3ｘ＋9≤０得(3x -1)(３x －9)≤0，解得１≤3x ≤9.∴0≤ｘ≤2.令（21）ｘ＝t ，则41≤ｔ≤1,y ＝４t ２－4ｔ+２=4（ｔ－21)２+1.当t =21即x =１时,y ｍin =1;当t ＝1即x＝0时，y ma ｘ＝2．方法提炼 １．由不等式求ｘ的范围;2.换元法转化为地次函数的闭区间上的最值问题..【例２】已知44221)31)(21(,31aa aa aa a a aa +++++=+求的值.解:719)1(312=+⇒=+⇒=+aa aa aa ， 47149)1(222=+⇒=+∴aa a a ,])())[((1221212122121212323a aa a a a aa aa a a +⋅-+=+=+∴---1863)11)(1(=⨯=+-+=a a aa ,而512)1(124444=++=+=+aa aa aa ，5200550205)347()218(=⨯=+⨯+=∴原式方法归纳 1.用好2211a a a a++与的关系.２.根式化分数指数幂再计算． 【例3】（2０0４全国Ⅲ）解方程４x +|1－2x |=11．解:当ｘ≤0时，1－2x ≥0.原方程⇔4x -2x －1０＝０⇔2x =21±241⇔2x =21-241<0（无解）或２ｘ=21+241>1知ｘ>0（无解）. 当ｘ＞0时，1－2x <0．原方程⇔4x +2ｘ－12=0⇔2x =-21±27⇔2x =－4（无解)或2x =3⇔ｘ=ｌｏｇ23(为原方程的解).思想方法 1．分类讨论——分段去绝对值;2。
换元法。
【例4】设函数()221xxf x a -=+⋅-(a 为实数）.⑴若ａ<0,用函数单调性定义证明：()y f x =在(,)-∞+∞上是增函数;⑵若a ＝0,()y g x =的图象与()y f x =的图象关于直线y =x 对称,求函数()y g x = 的解析式．解： (1）设任意实数ｘ1<x ２,则f(x １)－ f(x 2）＝1122(221)(221)x x x x a a --+⋅--+⋅-＝1212(22)(22)x x x x a ---+-=1212122(22)2x x x x x x a++--⋅121212,22,220;x x x x x x <∴<∴-<120,20x x a a +<∴->．又1220x x +>,∴ｆ(ｘ1)－ f(x ２）＜０，所以f(ｘ)是增函数.(２)当a ＝０时，y ＝f(x)=2x -1,∴２ｘ＝y ＋１, ∴x=log 2(y ＋1)， y=ｇ(x ）= l ｏg ２(ｘ＋1)．【研究.欣赏】（2002上海)已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+ (1)证明f (x)在（-1，＋∞）上为增函数；(2）用反证法证明方程ｆ(x ）=0没有负数根。
证明（1)设－1<ｘ1<ｘ221211212121212121212122()()1122113()(1)(1)(1)x x x x x x x x x f x f x a a x x x x a a x x x x a a x x ----=+--++--=-+-++-=-+++∵ｘ2-ｘ1>0,又a >１, ∴211x x a ->,而－1<ｘ1<x 2，∴x 1＋1>0, x 2＋1>0, ∴f (x 2)-f (x 1)>０,ｆ(x )在(-１，＋∞)上为增函数。
(2)设x０为方程ｆ(ｘ）＝０的负根,则有000201xx a x -+=+即00000023(1)31111x x x a x x x --+===-++++ 显然,01x ≠-,若00003301,110,3,1211x x x x >>->+>>-+>++则 与011x a a<<矛盾； 若x ０<-１则,x 0＋1<0,00130,1111x x <-+<-++，而00x a >矛盾,即不存在x 0＜-１的解，综上知，不存在负根。
提炼方法: 1.方法:单调性定义,反证法，分类讨论；２．反证法推矛盾时,体现了明确的目的性和数式变换的技巧和能力.五．提炼总结以为师1.根式的运算——根据分数指数幂的意义,转化为分数指数幂的运算；2.指数函数的定义重在“形式”,像y =2·3ｘ，12,xy y ==,ｙ=3x ＋1等都不是指数函数，是复合函数.3.指数函数y =a x （a ＞0，ａ≠１）的图象和性质，要分a ＞1与０＜ａ<1来研究.4.对于含有字母参数的指数式,必须对字母参数或自变量取值进行分类讨论,用好用活指数函数单调性，还要注意换元的灵活运用。
同步练习 2.9 指数 指数函数【选择题】 1．若∈n N ＊，则=+-+++----12412411n n n n ( )ﻩＡ.2 Ｂ.n-2ﻩＣ．n-12D ．n22-2. ( ２０0５全国卷III )设173x =,则 （ )(Ａ)－２<ｘ<-１ (Ｂ）－3<x <-2 （C)-1<x ＜0 （D)0＜x ＜13.若函数y =a x +b －１(ａ>0且ａ≠1）的图象经过二、三、四象限,则一定有 ( )Ａ.０＜ａ＜1且b >0ﻩﻩ ﻩ B.a ＞1且ｂ＞0 C ．0<ａ＜1且b <0 ﻩﻩ Ｄ.a >1且ｂ＜04. 已知13x x-+=,A =1122x x -+,B =3322x x -+，则,A B 的值分别为（ )A.±ﻩB ．±,C ． Ｄ【填空题】 ５.函数y =（21）222+-x x 的递增区间是__＿_＿______.6.求值:bc a c a b c b c a b a x x 11x x 11x x 11------++++++++=＿＿_____＿简答提示: 1-4.AA ＣＤ; 5． （-∞，１］;6． １;【解答题】7． (1)求值(2）若42121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值解(1)213134245555÷-÷21315534241245555--=-=-=(2）原式=1111331222211112222()()()(1)a a a a a a a aa a-------++=--1115a a -=++=8．函数y=ａ2x +2ａｘ-1（a>0,a ≠1)在区间[-１,1]上的最大值为１4，求a 的值。