第四章第三节1

I r PAQ O O O
（4.3-2）
且通过对分块矩阵
A I n Im O
的前m行施行初等变换，而对前n列施行列初等变换，使 P AQ变为形如（4.3-2）式的矩阵，那么I m块记录下P， I n 块记录下Q。
例2
将矩阵A化为相抵标准形，并把变换矩阵记录下来，其中
0 1 1 1 1 0 1
0 0 1 1 1 0 0 2 0 0 1 2 1 1 1
s
1 0 0 1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
1 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0 2 0 1 2 1 1 . 1 0 1 0 1
第四章
矩阵的满秩分解
如果对矩阵只施行行初等变换（这相当于解线性方程 组），那么可以得到矩阵的Hermite标准型，它在计算上有 广泛的用途。 定义 一个m × n 矩阵，如果它满足下面的条件，则称它 为Hermite梯形矩阵。 （1）它的首r行是非零行，且每一个非零行的第一个非零 元是1； （2）设第i行的第一个非零元出现在第ni 列中，则有
P
（4.3-1）
其中H＝P A是Hermite标准形，实质上是一个消元的过程。
例1 其中
将矩阵A化为Hermite标准，并把变换矩阵记录下来，
0 1 2 2 3 4 . A 0 2 4 2 0 4 0 3 6 0 3 0
解
0 1 2 2 3 4 1 0 0 0 2 4 2 0 4 0 1 0 0 3 6 0 3 0 0 0 1
A [ A1
mr m( n r )
A2 ] ,
那么存在r × (n－ r)矩阵S，使A2＝A1S，从而
A [ A1
A1S ] A1[ I r
S].
令 F A1 , G [ I r S ] ，显然F，G是满秩矩阵，且A＝FG是
A的一个满秩分解。
为了找出A的哪r个列向量是线性无关的，以及其余的
n－r个列向量如何由这r个列向量线性表出，由前面的讨
论可知，只要将A施行行初等变换化为Hermite标准形即可。
例6
求矩阵A的满秩分解，其中
1 0 1 5 6 0 0 2 0 0 0 14 . A 2 1 2 4 0 1 2 1 2 2 10 25
2 3 4 1 0 0 0 1 2 0 0 0 6 6 12 2 1 0 0 0 0 6 6 12 3 0 1 0 1 2 2 3 4 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 2 0 6 0 0 0 0 0 0 3 1 1 1 1 1 0 1 2 0 1 0 0 3 3 1 1 0 0 0 1 1 2 0 3 6 0 0 0 0 0 0 1 1 1
对于列满秩或行满秩的矩阵，有一些特殊的性质。 如果矩阵F C nmr 是列满秩的，则r阶方阵FHF是可逆的。 事实上，对于任意的 x C ，有
r
x H F H Fx Fx , Fx 0 ,
且若
Fx , Fx 0 ，则有F
x
= 0。又因F是列满秩的，故F的列
向量是线性无关的，所以有x = 0。因此，FHF是正定Hermite 矩阵，它是可逆的，即（FHF）－1是存在的。 类似地，若矩阵 G C rn 是行满秩的，则r阶方阵GGH 是正定Hermite矩阵，(GGH)－1是存在的。 于是，我们有
因此，A的Hermite标准形和变换矩阵分别为
1 1 0 3 0 1 2 0 1 0 3 0 0 0 1 1 2 , 1 1 0 . 3 6 0 0 0 0 0 0 1 1 1
如果进一步把A的Hermite标准形H的第n1, n2,…, n r 列 依次调换到前r列的位置上，则有更简单的形式：
便是一个Hermite梯形矩阵。 任何一个m × n 矩阵A都可以通过施行初等变换化为 Hermite梯形矩阵，称为A的Hermite标准形。亦即存在可 逆矩阵P，使P A为Hermite标准
形，且P是一系列初等矩阵的乘积。事实上，若对分块矩阵
A
I 施行行初等变换化成如下形式：
p A I PA P H
由上一定理可知，A中的第一个列向量A1和第2个列向量A2组 成A的一个最大线性无关向量组，且A的第三个列向量A3=3A1A2,第四个列向量A4=-3A1+4A2. 定义 设A是秩为r >0的m × n矩阵，如果存在列满秩矩 A＝FG， 则称（4.3-3）式为A的满秩分解。 （4.3-3） 阵F和行满秩矩阵G，使
P是可逆的，且
PB H A , 因而B的Hermite标准形
与A的相同. 定理 对矩阵A施行行初等变换不会改变其列的线性组合 关系。 证 记PA=B，则它们的第i个列向量 ( PA)i , Bi 相等，即有
( PA) i PAi Bi .
如果A的某些列向量有某个线性组合关系，如
a 1 Ai1 a 2 Ai 2 a k Ai k 0 ,
则可得
a 1 B i1 a 2 B i 2 a k B i k
a
j 1
k
j
PA i j P a j Ai j 0 .
j 1
k
由于P是可逆矩阵，故同理可得，若矩阵B的某些列向量 有某个线性组合关系，则A中相对应的列向量也有相同的线 性组合关系. 例4 设
1 2 1 5 , A 2 5 1 14 4 9 3 24
定理 若矩阵A通过行初等变换可化为矩阵B，则A，B的 Hermite标准形是相同的。 证 设A的Hermite标准形是HA，则存在可逆矩阵P1使
P1 A H A , 又因 B P2 A , 故 P21 B A , 从而有 P1 P21 B H A . 令
P P1 P2 1 ,
n1 n2 nr ( n);
（3）在第ni 列中除第i 行处的元为1外，其余的元均为零。
显然，该矩阵的秩为r，且Hermite梯形矩阵中必包含一 个r 阶单位矩阵。例如，矩阵
0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 1 i 0 i 0 3 1 1 i 0 0
1 0 1 1 . 0 2 2 2 A 5 3 1 4
解
1 0 1 1
0 1 1 1 2 2 2 1 4 1 1 1 5 3
1 0 0 1 1
解
对A施行行初等变换，化为Hermite标准形：
0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 1 0
1 2 1 1 0 0 0
0 0
1 0
5 0 0 5 5 10 5 52 4 11 2
2 10 2 10
0 2 5 0 0 2 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1
1 0 10 29 1 0 0 0 7 0 0 1 5 13 0 0 0 0 0 0
因此，取A的第一、第二和第四列所组成的矩阵为F，取上述 行变换所得最后一个矩阵的前三行所组成的矩阵为G，则有
1 1 0 0 2 1 0 1 0 10 29 0 . 0 1 0 0 A FG 0 7 2 1 4 0 0 0 1 5 13 2 1 2
因此，
1 1 0 0 0 1 P 0 0 , Q 0 1 22 1 0
1 0 0 0 . PAQ 0 1 0 0 0 0 0 0
0 1 1 1 1 1 , 0 1 0 0 0 1
例3 设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB=O，证明
rankB n rankA .
证 令rankA=r，则存在可逆矩阵P，Q使
I O A P r Q, O O
从而由AB=O得
I r O P QB O, O O I r O 即 QB O . O O
由此可见，QB的前r行必为零行，故QB的非零行至多为 n-r行，即 rankQB rankB n r , 因而 rankB n rankA .
I r O B1 , O
B1 , O
这相当于H＝P A被左乘置换矩阵Q1，即
I r PAQ1 O
如果对上述矩阵再作列初等变换，那么得到A的相抵 . 标准形
I r O O O
这就是说，任何一个秩为r的m × n矩阵A，都存在可逆 矩阵P和Q，使
它是Q的前r行组成的子矩阵，便得（4.3-3）式。
注：A的满秩分解不唯一。因为若D为任意一个r阶可逆 矩阵，则有
A FG FDD 1G ( FD)( D 1G ) F1G1 ,
其中 F1 FD, G1 D 1G 它也是A的一个满秩分解。 求矩阵A的满秩分解的一种方法如下。 由于rank A = r >0，所以它有r个线性无关的列向量，而 其余的n－r个列向量均可由这r个列向量线性表出。 不妨假设A的前r个列向量是线性无关的，并将A分块表示为
定理 证
任何秩为r >0的m × n矩阵A必有形如（4.3-3）式的 由于rank A = r，所以存在可逆矩阵P和Q，使
I r A P O O I r Q P I r O O O Q .
满秩分解。
I r F P 令 O ，它是P的前r列组成的子矩阵；令 G I r OQ ，
求A的最大线性无关的列向量，并将其余的列向量用它们 线性表出.
解
1 2 4
2 1 5 5 1 14 9 3 24