第一章作业参考答案

1.证明：（1）若a|b,c|d,则ac|bd

(2)若a|b 1,a|b 2,…,a|b k ,则对任意整数c 1,c 2,…,c k ,有a|(b 1c 1+b 2c 2+…b k c k ).

证：1）a|b 可知存在整数m 使得b=ma ， c|d 可知存在整数n 使得d=nc

得bd=acmn 即ac|bd 。

2） a|b 1,a|b 2,由性质1-1(3)可得a|(b 1c 1+ b 2c 2),其中c 1和c 2为任意整数。递归可证得a|(b 1c 1+b 2c 2+…b k c k )。

2.若3|a,5|a 且7|a,则105|a.

证明： 3|a ∴存在整数m 使得a=3m

5|a 即 5|3m,又∵ 5|5m

∴ 5|(2*3m-5m)即5|m

∴ 5*3|m*3 即 15|3m 即 15|a

同理, 15|a ∴存在整数n 使得a=15n ，7|a 即7|15n,又∵7|7n

∴ 7|(15-7*2)n 即7|n

∴ 7*15|15n 即105|a

3.设p 是正整数n 的最小素因数，证明，若n>p>n 1/3,则n/p 是素数。

证明：反证法。

假设n/p 不是素数，则必是合数，则有：

n/p=p 1*p 2*…*p k （其中k ≥2, p 1,p 2,…,p k 为素数，且都≥p ，且都为n 的因数） p 为最小素因数， ∴p 1,p 2,…,p k 都≥p

∴n/p= p 1*p 2*…*p k ≥p 1*p 2≥p 2 ∴n ≥p 3,即p ≤n 1/3与题设矛盾，所以n 一定是素数，得证。

4.设n ≠1，证明：(n-1)2|(n k -1)的充要条件是(n-1)|k.

证： n k -1≡((n-1)+1) k -1≡ 011221(1)(1)...(1)(1)k k k k k k k k C n C n C n C n ----+-++-+- ≡ k(n-1)mod(n-1)2

充分条件：若(n-1)|k ，则(n-1)2|k(n-1)，上式= 0mod(n-1)2，所以(n-1)2|(n k -1)

必要条件：Q (n-1)2|(n k -1) ∴ (n-1)2|k(n-1) ∴ (n-1)|k

7.证明：形如6k-1的素数有无穷多个。

证明：反证法。

1.首先证明形如6k-1的正整数必有6k-1形式的素因数。

假设n 的所有素因子都为6k+1的形式，即：

n=p 1p 2…p k ， p i =6k i +1 （i=1，2，…,r)

则n 必为6k+1形式，这与题设矛盾。

2.假如形如6k-1的素数有有限个（s 个），记为q 1,q 2,…,q s . 设整数n=6q 1q 2…q s -1，则n 为形如6k-1的整数。根据n 的构造，它不是s 个素数中的某一个，为合数

一定存在1j s ，使得q j |n 又q j |6q 1q 2…q s

由整除的性质1-1(3)得：q j |(6q 1q 2…q s -n)=1

而这是不可能的，所以存在无穷多个形如6k-1的素数。

8.证明：若k 为素数，则对任意正整数n ，都有k|(n k -n).

证：（这一题用到第二章的小费马定理）

k 为素数，∴ 即存在整数m ，使得

=km+1 ∴

=n(km+1) ∴

=nmk ∴ k|(n k -n) 9.证明：(1)24|n(n+1)(n+2)(n+3) (2)30|n 5-n

证：

1）因子n ，n+1,n+2,n+3为连续的四个整数，因此其中必有一个能被3整除的，和一个能被4整除的，以及一个能被2整除但不能被4整除的数，因此24|n(n+1)(n+2)(n+3)

2）n 5-n=n(n-1)(n+1)(n 2+1)

其中因子(n-1),n, (n+1)为连续的3个整数，因此其中必有分别能被2，3整除的数，因此6|( n 5-n)

设n=5k+r, (0r 4) 则

r=0时，5|n 5|( n 5-n) 又6|( n 5-n) 30| ( n 5-n)

r=1时，5|(n-1) 5|( n 5-n) 又6|( n 5-n) 30| ( n 5-n)

r=4时，5|(n+1) 5|( n 5-n) 又6|( n 5-n) 30| ( n 5-n)

r=2或3时，5|n 2 5|( n 5-n) 又6|( n 5-n) 30| ( n 5-n)

10.证明：对任意正整数n, 531175315

n n n ++是整数。 证：n=1时，式子=1为整数

假设n=k 时，上式为整数，则

n=k+1时

5354323254323253432117(1)(1)(1)5315

117(5101051)(331)(1)53151111772255331515

117()12325315

k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++=+++++++++++=+++++++++++=+++++++ 为整数，得证。

11.求出n 2被3整除后可能取到的最小非负余数、最小正余数和绝对值最小余数。 解：最小非负余数0,1,4；最小正余数1,4,8；绝对值最小余数0,1,4（或0,1,-4）

12.证明：当n 为大于1的正整数时，11111...23s n =+++和21111...3521s n =+++-都不是正整数。

证：1.设P=[1, 2, …, n] ，则P*(1+1/2+1/3+1/4+…+1/n)=P*s 1，

设k 是满足2k ≤n 的最大正整数，即2k ≤n<2k+1，显然2k |P*s 1

下面证明P*s 1=P/1+P/2+…+P /n 不是2的倍数。

显然P/i 是整数（i=1, 2, … . n ）。