高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义

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第三章 导数及其应用

一、变化率与导数

()()()()()()()()

000000000000000

10,0lim

lim lim

.

x x x x x y f x x x x x y

y x x x x

x y x x f x x f x y

x x

y x x f x y f x x f x f x x

∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆'''、定义:设在处取得一个增量.

函数值也得到一个增量称

为从到的平均变化率.若当时时,有极限存在,则称此极限值为函数在处的瞬时变化率,记为,也称为函

数在处的导数,记作或,即

()0y f x x x ==说明:导数即为函数在处的瞬时变化率.

()()00.

PT x f x P PT f x k ∆→='2、几何意义:时,Q 沿图像无限趋近于点时,切线的斜率.即

()()()()003==lim

lim .

x x f x x f x y

y f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆''''、导函数(简称为导数)

称为导函数,记作,即

二、?

三、

常见函数的导数公式

1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=;

2 若()f x x α=,则1

()f x x αα-'=;

3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=

4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;

5 若()x f x a =,则()ln x

f x a a '=

6 若()x f x e =,则()x

f x e '=

7 若()log x

a f x =,则1

()ln f x x a

'=

8 若()ln f x x =,则1()f x x

'=

四、导数的运算法则

:

1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±

2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•

3. 2

()()()()()

[

]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'=

四、复合函数求导

()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数,则

五、导数在研究函数中的应用

1.函数的单调性与导数:

*

(1)在某个区间(,)a b 内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减.

()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=''''''''说明:①若在定义域区间上不是单调的,则常常用的点划分的单调区间.

②若在某个区间恒有,则是常函数;若在某个区间内只有有限个点使,其余恒有则仍为增函数.

例如:在R 上有,其余恒有,仍为R 上的增函数,

其函数图像为:

(())()

y f g x g x '''=•

()()()()20.0.

f x f x f x f x ><'''()求单调区间的步骤:

①求的定义域;②求导;

③令,解集在定义域内的部分为增区间④令,解集在定义域内的部分为减区间

“”“”“”“”.说明:当函数有多个递增区间或递减区间时,不能用、或相连,应该用,隔开或用和

|

()()()()3“00?f x f x f x f x ≥≤''()一种常见的题型:

已知函数的单调性求参数的取值范围,利用若单调递增,则;若单调递减,则来求解,注意等号不能省略,否则可能漏解!

2.函数的极值与导数 (1)极大、极小值得定义:

()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x <①若对附近的所有的点,都有且,则称是函数的一个极 大值称是极大值点.

()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x >②若对附近的所有的点,都有且,则称是函数的一个极 小值称是极小值点.

说明:极大值与极小值统称为极值,极大值与极小值点统称为极值点,极值点是实数而不是点.

#

(2)求函数的极值的步骤:

()()()()()()()()()()00000000=0I 0,0,;II 0,0,;III f x f x x x f x x f x f x f x x f x f x f x x f x x <>><'''''''①确定定义区间,求导;②求方程的解;③检查左右两边的符号:

、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号,那么在处无极值.

说明:在解答过程中通常用列表:

|

3、函数的最值与导数

求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(,)a b 内的极值;

②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.

说明:“最值”是整体概念,“极值”是个局部概念.

~

4、生活中的优化问题

解决优化问题的基本思路:

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