高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
第三章 导数及其应用
一、变化率与导数
()()()()()()()()
000000000000000
10,0lim
lim lim
.
x x x x x y f x x x x x y
y x x x x
x y x x f x x f x y
x x
y x x f x y f x x f x f x x
∆→∆→=∆→==∆∆≠∆∆+∆∆∆→=+∆-∆=∆∆=+∆-=∆'''、定义:设在处取得一个增量.
函数值也得到一个增量称
为从到的平均变化率.若当时时,有极限存在,则称此极限值为函数在处的瞬时变化率,记为,也称为函
数在处的导数,记作或,即
()0y f x x x ==说明:导数即为函数在处的瞬时变化率.
()()00.
PT x f x P PT f x k ∆→='2、几何意义:时,Q 沿图像无限趋近于点时,切线的斜率.即
()()()()003==lim
lim .
x x f x x f x y
y f x y f x y x x ∆→∆→+∆-∆==∆∆''''、导函数(简称为导数)
称为导函数,记作,即
二、?
三、
常见函数的导数公式
1若()f x c =(c 为常数),则()0f x '=;
2 若()f x x α=,则1
()f x x αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x f x a =,则()ln x
f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x
f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1
()ln f x x a
'=
8 若()ln f x x =,则1()f x x
'=
四、导数的运算法则
:
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•
3. 2
()()()()()
[
]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''•-•'=
四、复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数,则
五、导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
*
(1)在某个区间(,)a b 内,如果()0f x '>,那么函数()y f x =在这个区间单调递增; 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间单调递减.
()()()()()()()()()()()()()()33=0000,000,f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f x x f f x f x x ==>==>=''''''''说明:①若在定义域区间上不是单调的,则常常用的点划分的单调区间.
②若在某个区间恒有,则是常函数;若在某个区间内只有有限个点使,其余恒有则仍为增函数.
例如:在R 上有,其余恒有,仍为R 上的增函数,
其函数图像为:
(())()
y f g x g x '''=•
()()()()20.0.
f x f x f x f x ><'''()求单调区间的步骤:
①求的定义域;②求导;
③令,解集在定义域内的部分为增区间④令,解集在定义域内的部分为减区间
“”“”“”“”.说明:当函数有多个递增区间或递减区间时,不能用、或相连,应该用,隔开或用和
|
()()()()3“00?f x f x f x f x ≥≤''()一种常见的题型:
已知函数的单调性求参数的取值范围,利用若单调递增,则;若单调递减,则来求解,注意等号不能省略,否则可能漏解!
2.函数的极值与导数 (1)极大、极小值得定义:
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x <①若对附近的所有的点,都有且,则称是函数的一个极 大值称是极大值点.
()()()()()00000=0.x f x f x f x f x f x x >②若对附近的所有的点,都有且,则称是函数的一个极 小值称是极小值点.
说明:极大值与极小值统称为极值,极大值与极小值点统称为极值点,极值点是实数而不是点.
#
(2)求函数的极值的步骤:
()()()()()()()()()()00000000=0I 0,0,;II 0,0,;III f x f x x x f x x f x f x f x x f x f x f x x f x x <>><'''''''①确定定义区间,求导;②求方程的解;③检查左右两边的符号:
、如果在附近的左侧右侧那么是极大值、如果在附近的左侧右侧那么是极小值、如果在左右两侧导函数不改变符号,那么在处无极值.
说明:在解答过程中通常用列表:
|
3、函数的最值与导数
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 ①求函数()y f x =在(,)a b 内的极值;
②将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ,()f b 比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.
说明:“最值”是整体概念,“极值”是个局部概念.
~
4、生活中的优化问题
解决优化问题的基本思路: