2013 数理统计复习题资料

补充内容 §2 参数的点估计

例2.1 设总体服从泊松分布X ~P (λ)，X 1,X 2,…,X n 为来自X 的样本，求λ的矩估计量与λ

的极大似然估计。

解 因E (X )=λ，D (X )=λ.。所以λ的矩估计量为X =λˆ或2ˆn

S =λ。 X ~P (λ)，其分布律为 )(x X P ==!

x e x λλ-， x =0,1,2,⋯

设x 1,x 2,…,x n 为样本观察值，则似然函数

),,,(21λn x x x L =∏∏=-=-∑=n

i i x n n

i i x x e x e i i 1

1

!

!λλλλ ∑∑==-⨯+-=n

i i n i i x x n L 1

1

!ln ln ln λλ

令 0

ln 1

=+-=∑=λ

λn

i i

x n d L d ，解得λ的极大似然估计 x x n n

i i ==∑=1

1ˆλ。 例2.2 设总体X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<=-其它0

10),(1x x x f θθθ,其中0θ>为未知参

数，X 1,X 2,…,X n 为来自X 的样本，试求θ的矩估计与极大似然估计。

解 因为 θ

θ

θθθθ+=

===⎰⎰⎰

-∞+∞

-1)(1

10

1dx x dx x x dx x xf EX

令θ

θ

+==1EX X ，解得θ 的矩估计量为X

X -=

1ˆθ。 似然函数1

1

121

1

(,,

,)()

n

n

n

n i

i i i L x x x x x θθθθθ--====∏∏，1

ln ln (1)ln n

i i L n x θθ==+-∑

令1

ln ln 0,n

i i d L n x d θθ==+=∑解得θ的极大似然估计 1

ˆln n

i

i n

x

θ

==-∑

练习题

2.1 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测验,得到如下数据(单位:h):

1050 1100 1130, 1040, 1250, 1300, 1200, 1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.

2.2 设X 1,X 2,…,X n 是容量为n 的样本，试分别求总体未知参数的矩估计量与极大似然估计量。已知总体的分布密度如下：

(1) f (x ;α)=(α+1)x α,0

(2) ⎪⎩⎪⎨

⎧≤≤=-其它

,

010,);(1

x x

x f θθθ，其中0>θ为未知参数；

§3 区间估计

例3.1 一车间生产滚珠直径服从正态分布，从某天的产品里随机抽取6个，测得直径为(单位：mm)

14.6，15.1，14.9，14.8，15.2，15.1

若该天产品直径的方差σ2=0.06，求该天生产的滚珠平均直径μ的置信区间(α=0.01;α=0.05)。 解 因为σ2=0.06，由式(2.2.2)知μ的1-α的置信区间为),(2

2

αασ

σ

u n

X u n

X +

-

。

当α=0.01时，查正态分布表得2

αu =2.58，计算得,95.14=x 将,95.14=x σ2=0.06,

n =6,u 0.005=2.58，代入上述置信区间，得μ的99%置信区间为(14.95-6

06.058.2,14.95+606.058.2)=(14.69, 15.21)

当α=0.05时，查正态分布表得2

αu =1.96，类似求得μ的95%的置信区间为(14.75，15.15)。

例 3.2 水体中的污水和工业污染的多少会通过减少水中被溶解的氧气而影响水体的

水质，生物的生长与生存有赖于正中氧气。两个月内，从污水处理厂下游1英里处的一条小河里取得8个水样。检测水样里溶解的氧气含量，数据列表2.2.1。

表2.2.1

水样 1 2 3 4 5 6 7 8 n 氧(ppm)

5.1 4.9 5.6 4.2 4.8 4.5 5.3 5.2 8

根据最近的研究，为了保证鱼的生存，水中溶解的氧气的平均含量需达到百万分之五，即5.0ppm.试求两个月期间平均氧气含量的95%的置信区间(假定样本来自正态总体)。

解 σ2未知,所以由式(2.2.3)知μ的1-α置信区间为))1(),1((22-+--n t n S X n t n S X αα，由

已知n =8，1-α=0.95，查附表2得t 0.025(7)=2.3646，由样本计算得x =4.95，S =0.45，故μ的

1-α的置信区间为(4.78，5.12)。

例3.3 从自动机床加工的同类零件中随机地抽取10件测得其长度值为(单位:mm)

12.15 , 12.12, 12.10 , 12.28 , 12.09, 12.16 , 12.03 , 12.01 , 12.06 ,12.11 .

假定样本来自正态总体，试求方差σ2的95%的置信区间。

解 已知 α=0.05，查附表3得7

.2)9()1(2975.022

1==--χαn χ, 023.19)9()1(2025.022

==-χαn χ, 又由已知数据算得 S =0.076, 于是003.0023.19076.09)1()1(22

2

2=⨯=--n S n αχ, 019.07.2076.09)

1()1(222

12=⨯=---

n S n αχ， 所以，方差σ2的95%的置信区间是])1(,)1([22

12

22

2

α

αχχ---S n S n =[0.003,0.019]。

练习题

2.3 某乡农民在联产承包责任制前，人均纯收入X ~N (300,252)(单位：元)，推行联产承包责任制后，在该乡抽得n =16的样本得325x = 元，假设2252σ=没有变化，试确定μ的95%的置信区间。