第4节平行线拐点专题
22、几何专题：平行线拐点问题
平行线拐点问题
一、平行线拐点基本模型
模型一“铅笔”模型
点P在EF右侧，在AB、CD内部“铅笔”模型
模型二“猪蹄”模型（M模型）
点P在EF左侧，在AB、CD内部“猪蹄”模型
模型三“臭脚”模型
点P在EF右侧，在AB、CD外部“臭脚”模型
模型四“骨折”模型
点P在EF左侧，在AB、CD外部“骨折”模型
二、平行线拐点模型的证明
三、平行线拐点模型的进阶
1、处理方法
⎩⎨⎧拐点作平行
构造三角形关键作有效截线“铅笔”模型“铅笔”模型
3、模型二“猪蹄”模型（M 模型）
“猪蹄”模型
注意：铅笔模型与M 模型在一定程度可以相互转换。
4、核心
平行线拐点模型的核心在于平行线间的点，这些点有一个，两个和多个，这些点决定模型的类型和处理手段。
例1、平行线拐点模型的简单应用
例2、平行线拐点模型的探究问题
∠，F A平分HAD ECD
∠，若
例3、平行线拐点模型的具体应用
的度数为.
课后作业。
专题：巧解平行线中的拐点问题(原卷版)
七年级下册数学《第五章 相交线与平行线》专题 巧解平行线中的拐点问题【例题1】（2022春•内乡县期末）如图，AB ∥CD ，∠1＝45°，∠2＝30°，则∠3的度数为（ ）A ．55°B ．75°C ．80°D ．105°【变式1-1】（2022春•香洲区校级期中）如图，已知AB∥DE，∠B＝150°，∠D＝145°，则∠C＝ 度．【变式1-2】（2022•博山区一模）如图，直线a∥b，点M、N分别在直线a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3等于（ ）A．360°B．300°C．270°D．180°【变式1-3】（2022春•信都区期末）为增强学生体质，某学校将“抖空竹”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学抖空竹时的一个瞬间，数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°．求∠AEC的度数．小明在解决过程中，过E点作EF∥CD，则可以得到EF∥AB，其理由是 ，根据这个思路可得∠AEC＝ ．【变式1-4】如图，已知AB∥DE，∠1＝120°，∠2＝110°，求∠3的度数．【变式1-5】如图，AB∥DE，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD的度数．【变式1-6】（2021秋•南召县期末）课堂上老师呈现一个问题：下面提供三种思路：思路一：过点F作MN∥CD（如图（1））；思路二：过点P作PN∥EF，交AB于点N；思路三：过点O作ON∥FG，交CD于点N．解答下列问题：（1）根据思路一（图（1）），可求得∠EFG的度数为 ；（2）根据思路二、思路三分别在图（2）和图（3）中作出符合要求的辅助线；（3）请你从思路二、思路三中任选其中一种，试写出求∠EFG的度数的解答过程．【例题2】如图，直线l 1∥l 2，∠A ＝125°，∠B ＝85°，则∠1+∠2等于（ ）A ．40°B ．35°C ．36°D ．30°【变式2-1】（2022春•新洲区期末）如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠D ，∠E 满足的数量关系是（ ）A ．∠A +∠C +∠D +∠E ＝360°B ．∠A +∠D ＝∠C +∠E C ．∠A ﹣∠C +∠D +∠E ＝180°D ．∠E ﹣∠C +∠D ﹣∠A ＝90°【变式2-2】如图所示，若AB ∥CD ，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数是 ．【变式2-3】（2022春•金湖县期末）如图，AB∥CD，E、F分别是AB、CD上的点，EH、FH分别是∠AEG 和∠CFG的角平分线．若∠G＝110°，则∠H＝ °．【变式2-4】（2022春•潜山市月考）如图，AB∥CD，点E，F分别是AB，CD上的点，点M位于AB与CD之间且在EF的右侧．（1）若∠M＝90°，则∠AEM+∠CFM＝ ；（2）若∠M＝n°，∠BEM与∠DFM的角平分线交于点N，则∠N的度数为 ．（用含n的式子表示）【变式2-5】（1）填空：如图1，MA1∥NA2，则∠A1+∠A2＝ °．如图2，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝ °．如图3，MA1∥NA4，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝ °．如图4，MA1∥NA5，则∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝ °．（2）归纳：如图5，MA1∥NA n，则∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n＝ °．（3）应用：如图6，已知AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分线相交于F，∠E＝80°，求∠BFD的度数．【例题3】小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B ，∠D 和∠BOD 的关系进行了探究：（1）如图1，AB ∥CD ，点O 在AB ，CD 之间，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系？并说明理由；小华添加了过点O 的辅助线OM ，并且OM ∥CD 请帮助他写出解答过程；（2）如图2，若点O 在CD 的上侧，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系？并说明理由；（3）如图3，若点O 在AB 的下侧，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系？请直接写出它们的关系式．【变式3-1】如图,已知∠1=70°，∠2=30°, EF平分∠BEC,∠BEF=50°，求证：AB∥CD.【变式3-2】如图，点E在线段AC上，AB∥CD，∠1=∠B，∠2=∠D．求证：BE⊥DE.【变式3-3】（2022春•阳江期末）如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O＝∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．【变式3-4】（2022秋•驿城区校级期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝135°，∠PCD＝125°．求∠APC 度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可求得∠APC的度数．请写出具体求解过程．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【变式3-5】阅读下面内容，并解答问题在学习了平行线的性质后，老师请同学们证明命题：两条平行线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直．小颖根据命题画出图形并写出如下的已知条件．已知：如图1，AB∥CD，直线EF分别交AB，C于点E，F．∠BEF的平分线与∠DFE的平分线交于点G．（1）直线EG，FG有何关系？请补充结论：求证：“ ”，并写出证明过程；（2）请从下列A、B两题中任选一题作答，我选择 题，并写出解答过程．A．在图1的基础上，分别作∠BEG的平分线与∠DFG的平分线交于点M，得到图2，求∠EMF的度数．B．如图3，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线AB，CD之间，且在直线EF右侧，∠BEO的平分线与∠DFO的平分线交于点P，请猜想∠EOF与∠EPF满足的数量关系，并证明它．【例题4】（2022秋•小店区校级期末）（1）问题背景：如图1，已知AB∥CD，点P的位置如图所示，连结PA，PC，试探究∠APC与∠A、∠C之间的数量关系，以下是小明同学的探索过程，请你结合图形仔细阅读，并完成填空（理由或数学式）：解：过点P作PE∥AB∵AB∥CD（已知），∴PE∥CD（ ），∴∠A＝∠APE，∠C＝∠CPE（ ），∴∠A+∠C＝ + （等式的性质）．即∠APC，∠A，∠C之间的数量关系是 ．（2）类比探究：如图2，已知AB∥CD，线段AD与BC相交于点E，点B在点A右侧．若∠ABC＝41°，∠ADC ＝78°，则∠AEC＝ ．（3）拓展延伸：如图3，若∠ABC与∠ADC的角平分线相交于点F，请直接写出∠BFD与∠AEC之间的数量关系 ．【变式4-1】（2021秋•长春期末）小明同学遇到这样一个问题：如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．求证：∠BED＝∠B+∠D．小亮帮助小明给出了该问的证明．证明：过点E作EF∥AB，则有∠BEF＝∠B．∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FED＝∠D，∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D．请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．【变式4-2】（2022春•龙亭区校级期末）如图，已知AB∥CD，E、F分别在AB、CD上，点G在AB、CD之间，连接GE、GF．（1）当∠BEG＝40°，EP平分∠BEG，FP平分∠DFG时：①如图1，若EG⊥FG，则∠P的度数为 ；②如图2，在CD的下方有一点Q，EG平分∠BEQ，FD平分∠GFQ，求∠Q+2∠P的度数；（2）如图3，在AB的上方有一点O，若FO平分∠GFC．线段GE的延长线平分∠OEA，则当∠EOF+∠EGF ＝100°时，请直接写出∠OEA与∠OFC的数量关系．【变式4-3】（2021春•安徽月考）（1）如图1，直线AB∥CD．点P在直线AB，CD之间，试说明：∠BAP+∠APC+∠PCD＝360°．小明说明的过程是这样的：“过点P作PE∥AB，…”请按照小明的思路写出完整的解答说明过程．（2）①直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的同侧，如图2，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由；②直线AB∥CD，点P，Q在直线AB，CD之间，且点P，Q在直线AC的两侧．如图3，试探究∠BAP，∠APQ，∠PQC，∠QCD之间的数量关系，并说明理由．请在①②任选一个问题进行解答．（3）如图4，若a∥b，直接写出图中x的度数（不用说理）．【变式4-4】（2022春•兴国县期末）【感知】（1）如图①，AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°，求∠EPF 的度数．小乐想到了以下方法，请帮忙完成推理过程．解：如图①，过点P作PM∥AB，【探究】（2）如图②，AB∥CD，∠AEP＝50°，∠PFC＝120°，求∠EPF的度数；【应用】（3）如图③，在以上【探究】条件下，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数．（4）已知直线a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上（点C在点D的左侧），连接AD，BC，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线所在的直线交于点E，设∠ABC＝α，∠ADC＝β（α≠β），请画出图形并求出∠BED的度数（用含α，β的式子表示）．。
第4节平行线拐点专题
第二讲平行线的拐点问题（一）情景引入1、设计情景：如图.一条公路修到湖边时.需拐弯绕湖而过.如果第一次拐的角ZA是12L,第二次拐的角ZR是15『・第三次拐的角是,C・这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行.则z（-（）.2、知识点归纳：我们把实际问题图形抽象成几何图形，来看看ZA、ZB、ZC之间有什么数量关系？下而我们就来研究下。
（二）新课教学：Q讲点1巧作一条平行线,木杆与FC平行，（1>图（肿中■之间冇何关系？（2>图（C中.ZA・ZB・ZC之间冇何关系？（3）图W）中.ZA<ZB<ZCX间有何关系？⑷图⑺中,ZA，ZB，ZC之间有何关系？师：观察以上几个图形，由题目所给的平行线我们能否利用所学的平行线的性质得角度的关系？师：如果不行，是什么原因？师：有两直线却没有截线，下而教师来给大家演示增添一条辅助线，使得平行线都有截线。
师：通过过拐点A作平行线，我们可以把原本的两直线平行转化为多组两直线平行，从而运用平行线的性质来找ZA> ZB、ZC之间的数呈关系。
板书：解析：以（1〕为例：过A点做AD〃EB ・•・ZB=ZBAD・・・EB〃FC , AD/7EB ・・.AD〃FC ・・・ZC=ZCAD:.Z BAC= ZBAD+ ZCAD= ZB+ZC(2) ZA+ZB+ZC=180°⑶ ZA+ZB=ZC(4) ZA+ZC=ZB归纳总结：上述是常见的平行线拐点问题的根本模型，证明方法都是过拐点作平行线。
稳固练习：练1・3如图AB//CD.交宜答案:155°或如图所示.AE//BD ・Zl=a ・= 求ZC.（用含a 代数式表示〉 师：图中有没有我们如图.一条公路修到湖边时.需拐弯绕湖而过.如 果第一次拐的角ZA 是1206,第二次拐的角是 150',第三次拐的练1.1 一大门的栏杆（如图所示九BA 垂直地面AE 于凡丿 ________ D *快七'CD 平行地面AE.则ZHBC 十ZbC ：D=（）.占厂" A. 180c B. 27俨C. 280?D. 2 9贷 -- ------------- E A答案：B 解析：过B 点作BF 〃CD,那么可以得岀两组同位角，其中ZABC 的一局部等于90° ,另外一局部和Z BCD 互补。
专题 平行线间的拐点问题(解析版)--七年级数学下册
专题01平行线间的拐点问题类型一：“猪蹄”模型类型二：“铅笔”模型类型三：“鹰嘴”模型平行线间的拐点问题均过拐点作平行线的平行线，有多少个拐点就作多少条平行线。
一．选择题1．（2023•新城区校级一模）如图，直线m∥n，含有45°角的三角板的直角顶点O在直线m上，点A在直线n上，若∠1＝20°，则∠2的度数为（）A．15°B．25°C．35°D．45°【分析】过B作BK∥m，推出BK∥n，由平行线的性质得到∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，求出∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝25°，即可得到∠2＝25°．【解答】解：过B作BK∥m，∵m∥n，∴BK∥n，∴∠OBK＝∠1＝20°，∠2＝∠ABK，∵∠ABO＝45°，∴∠ABK＝∠ABO﹣∠OBK＝45°﹣20°＝25°，∴∠2＝∠ABK＝25°．故选：B．2．（2023•海南）如图，直线m∥n，△ABC是直角三角形，∠B＝90°，点C在直线n上．若∠1＝50°，则∠2的度数是（）A．60°B．50°C．45°D．40°【分析】根据平行线的性质可以得到∠1＝∠BDC，然后直角三角形的性质，即可求得∠2的度数．【解答】解：延长AB交直线n于点D，∵m∥n，∠1＝50°，∴∠1＝∠BDC＝50°，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°，∴∠2＝90°﹣∠BDC＝90°﹣50°＝40°，故选：D．3．（2023秋•渝中区校级期中）如图，直线AB∥CD，GE⊥EF于点E．若∠EFD＝32°，则∠BGE的度数是（）A．62°B．58°C．52°D．48°【分析】过点E作AB的平行线HI，利用平行线的性质即可求解．【解答】解：过点E作直线HI∥AB．∵AB∥CD，AB∥HI，∠EFD＝32°，∴CD∥HI，∴∠HEF＝∠EFD＝32°，∵GE⊥EF于点E，∴∠GEF＝90°，∴∠GEH＝∠GEF﹣∠HEF＝90°﹣32°＝58°，∵AB∥HI，∴∠BGE＝∠GEH＝58°．故选：B．4．（2022秋•杜尔伯特县期末）如图，已知AB∥CD，BE，DE分别平分∠ABF和∠CDF，且交于点E，则（）A．∠E＝∠F B．∠E+∠F＝180°C．2∠E+∠F＝360°D．2∠E﹣∠F＝180°【分析】过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可证得∠BED＝（∠ABF+∠CDF），可以得到∠BED 与∠BFD的关系．【解答】解：过点E作EM∥AB，如图：∵AB∥CD，EM∥AB∴CD∥EM，∴∠ABE＝∠BEM，∠CDE＝∠DEM，∵∠ABF的平分线与∠CDF的平分线相交于点E，∴∠ABE＝∠ABF，∠CDE＝∠CDF，∴∠BED＝∠BEM+∠DEM＝（∠ABF+∠CDF），∵∠ABF+∠BFD+∠CDF＝360°，∴∠ABF+∠CDF＝360°﹣∠BFD，∴∠BED＝（360°﹣∠BFD），整理得：2∠BED+∠BFD＝360°．故选：C．5．（2022秋•榆树市期末）如图，AB∥CD，则图中∠1、∠2、∠3关系一定成立的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2+∠3＝360°C．∠1+∠3＝2∠2D．∠1+∠3＝∠2【分析】首先过点E作EF∥AB，由AB∥CD，可得EF∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，继而可得∠1+∠3＝∠2．【解答】解：过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠AEF＝∠1，∠CEF＝∠3，∵∠2＝∠AEF+∠CEF＝∠1+∠3．故选：D．6．（2023秋•湖北月考）将含有30°角的直角三角板在两条平行线中按如图所示摆放．若∠1＝120°，则∠2为（）A．120°B．130°C．140°D．150°【分析】过A作AB∥l1，得到AB∥l2，推出∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，即可求出∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．【解答】解：过A作AB∥l1，∵l1∥l2，∴AB∥l2，∴∠3＝∠1＝120°，∠2＝∠BAC，∴∠2＝∠3+∠4＝30°+120°＝150°．故选：D．二．填空题7．（2023•江油市开学）如图，AB∥CD，P为AB，CD之间的一点，已知∠2＝28°，∠BPC＝58°，则∠1＝30°．【分析】过P作PQ∥AB，得到PQ∥CD，推出∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，求出∠BPQ＝∠BPC ﹣∠CPQ＝30°，即可得到∠1的度数．．【解答】解：过P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CPQ＝∠2＝28°，∠BPQ＝∠1，∵∠BPQ＝∠BPC﹣∠CPQ＝58°﹣28°＝30°，∴∠1＝30°．故答案为：30°．8．（2023秋•南岗区校级期中）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝105°，点F在射线BA上，且∠EDF＝125°，则∠DFB的度数为20°．【分析】过F作FM∥DE，推出FM∥BC，得到∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，求出∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，即可得到∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．【解答】解：过F作FM∥DE，∵DE∥BC，∴FM∥BC，∴∠ABC+∠MFB＝180°，∠D+∠MFD＝180°，∵∠ABC＝105°，∠EDF＝125°，∴∠MFB＝75°，∠MFD＝55°，∴∠DFB＝∠MFB﹣∠MFD＝20°．故答案为：20°．9．（2023秋•道里区校级期中）为增强学生体质，望一观音湖学校将“跳绳”引入阳光体育一小时活动．图1是一位同学跳绳时的一个瞬间．数学老师把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，则∠AEC＝35°．【分析】过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，利用平行线的性质求得∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，进而可求解．【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠EAB+∠FEA＝180°，∠ECD+∠FEC＝180°，∵∠EAB＝70°，∠ECD＝105°，∴∠FEA＝110°，∠FEC＝75°，∴∠AEC＝∠FEA﹣∠FEC＝35°，故答案为：35°．10．（2022秋•雅安期末）如图，AB∥CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E﹣∠F＝60°，则∠E＝100°．【分析】过F作FH∥AB，依据平行线的性质，可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，根据四边形内角和以及∠E﹣∠F＝60°，即可得到∠E的度数．【解答】解：如图，过F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴FH∥AB∥CD，∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∴可设∠ABF＝∠EBF＝α＝∠BFH，∠DCG＝∠ECG＝β＝∠CFH，∴∠ECF＝180°﹣β，∠BFC＝∠BFH﹣∠CFH＝α﹣β，∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC＝360°﹣α﹣（180°﹣β）＝180°﹣（α﹣β）＝180°﹣∠BFC，即∠E+2∠BFC＝180°，①又∵∠E﹣∠BFC＝60°，∴∠BFC＝∠E﹣60°，②∴由①②可得，∠E+2（∠E﹣60°）＝180°，解得∠E＝100°，故答案为：100°．11．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，∠ABG的平分线与∠CDE的平分线交于点M，∠M＝45°，∠F＝64°，∠E＝66°，则∠G＝88°°．【分析】过点G，F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，根据平行线的传递性得出AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，再根据两直线平行内错角相等以及角平分线的定义即可求解；【解答】解：过点G、F、E、M分别作GH∥AB，FQ∥AB，EP∥AB，MN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥GH∥FQ∥EP∥MN，∴∠BNN＝∠1，∠NMD＝∠4，∵BM平分∠ABG，MD平分∠CDE，∴，∵∠BMD＝45°，∴2∠1+2∠3＝90°，∴∠5＝2∠1，∠10＝2∠3，∠6＝∠7，∠8＝∠9，∴∠GFE＝∠7+∠8＝∠6+∠9＝64°，∠FED＝∠9+∠D＝∠9+2∠3＝66°，∴2∠3﹣∠6＝2°，∴2∠1+∠6＝90°﹣2°＝88°，∴∠BGF＝∠5+∠6＝2∠1+∠6＝88°．故答案为：88°．三．解答题12．（2022秋•宝丰县期末）已知直线MN、PQ，点A、B为分别在直线MN、PQ上，点C为平面内一点，连接AC、BC，且∠C＝∠NAC+∠CBQ．（1）求证：MN∥PQ；（2）如图2，射线AE、BD分别平分∠MAC和∠CBQ，AE交直线PQ于点E，BD与∠NAC内部的一条射线AD交于点D，若∠C＝2∠D，求∠EAD的度数．【分析】（1）过C作CS∥MN，由已知可以得到PQ∥CS，从而得到MN∥PQ；（2）连接DC并延长交AE于点F，由已知可以得到∠DAC＝∠NAC，再由∠EAD＝∠EAC+∠CAD及平角的意义可以得到解答．【解答】（1）证明：过C作CS∥MN，如图，∵CS∥MN，∴∠NAC＝∠ACS，∵∠ACB＝∠ACS+∠BCS＝∠NAC+∠CBQ，∴∠BCS＝∠CBQ，∴PQ∥CS，∴MN∥PQ；（2）解：如图，连接DC并延长交AE于点F，则：∠ACF＝∠DAC+∠ADC，∠BCF＝∠DBC+∠BDC，∴∠ACB＝∠DAC+∠DBC+∠ADB＝2∠ADB，∴∠ADB＝∠DAC+∠DBC，∴2∠ADB＝2∠DAC+2∠DBC＝2∠DAC+∠QBC，又∠ACB＝∠NAC+∠CBQ＝2∠ADB．∴∠NAC+∠CBQ＝2∠DAC+∠QBC，即∠NAC＝2∠DAC，∴∠DAC＝∠NAC，∴∠EAD＝∠EAC+∠CAD＝∠MAC+∠NAC＝（∠MAC+∠NAC）＝90°．13．（2022秋•莘县期末）综合与实践如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD 于点F．（1）当所放位置如图①所示时，∠PFD与∠AEM的数量关系是∠PFD+∠AEM＝90°；（2）当所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°；（3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝15°，∠PEB＝30°，求∠N的度数．【分析】（1）作PH∥AB，根据平行线的性质得到∠AEM＝∠HPM，∠PFD＝∠HPN，根据∠MPN＝90°解答；（2）根据平行线的性质得到∠PFD+∠BHN＝180°，根据∠P＝90°解答；（3）根据平行线的性质、对顶角相等计算．【解答】解：（1）如图①，作PH∥AB，则∠AEM＝∠HPM，∵AB∥CD，PH∥AB，∴PH∥CD，∴∠PFD＝∠HPN，∵∠MPN＝90°，∴∠PFD+∠AEM＝90°，故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°；（2）猜想：∠PFD−∠AEM＝90°；理由如下：如图②，∵AB∥CD，∴∠PFD+∠BHN＝180°，∵∠BHN＝∠PHE，∴∠PFD+∠PHE＝180°，∵∠P＝90°，∴∠PHE+∠PEB＝90°，∵∠PEB＝∠AEM，∴∠PHE+∠AEM＝90°，∴∠PFD−∠AEM＝90°；（3）如图②，∵∠P＝90°，∠PEB＝15°，∴∠PHE＝∠P−∠PEB＝90°−15°＝75°，∴∠BHF＝∠PHE＝75°，∵AB∥CD，∴∠DFH+∠BHF＝180°，∴∠DFH＝180°−∠BHF＝105°，∴∠OFN＝∠DFH＝105°，∵∠DON＝20°，∴∠N＝180°−∠DON−∠OFN＝55°．14．（2022秋•洛宁县期末）问题情境：如图1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP ＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【分析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【解答】（1）解：∠CPD＝∠α+∠β，理由是：如图3，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）当P在BA延长线时，∠CPD＝∠β﹣∠α；当P在AB延长线时，∠CPD＝∠α﹣∠β．15．（2023春•鼎城区期末）已知直线AB∥CD，点P为直线AB，CD所确定的平面内的一点．问题提出：（1）如图1，∠A＝120°，∠C＝130°，求∠APC的度数；问题迁移：（2）如图2，写出∠APC，∠A，∠C之间的数量关系，并说明理由；问题应用：（3）如图3，点E在射线BA上，过点E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，点G在直线CD上，作∠BEG的平分线EH交PC于点H，若∠APC＝20°，∠PAB＝150°，求∠PEH的度数．【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠APQ＝60°，∠CPQ＝50°，最后可以求出∠APC＝110°；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可证得∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，先证∠BEF＝∠PQB＝110°、∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，根据∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH可得答案．【解答】解：（1）∠A+∠C+∠APC＝360°如图1所示，过点P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，∵∠A＝120°，∴∠APQ＝180°﹣∠A＝180°﹣120°＝60°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∵∠C＝130°，∴∠CPQ＝180°﹣∠C＝180°﹣130°＝50°，∴∠APC＝∠APQ+∠CPQ＝60°+50°＝110°；（2）∠APC＝∠A﹣∠C，理由如下：如图2，作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠A﹣∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB﹣∠PCD，∵∠APC＝20°，∠PAB＝150°，∴∠PCD＝130°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝130°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝130°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG﹣∠GEH＝∠FEG﹣∠BEG＝∠BEF＝65°．16．（2023秋•南岗区校级期中）已知：如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点G，H，点P为直线EF上的点，连接AP，CP．（1）如图1，点P在线段GH上时，请你直接写出∠BAP，∠DCP，∠APC的数量关系；（2）如图2，点P在HG的延长线上时，连接CP交AB于点Q，连接HQ，AC，若∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，求证：AC∥EF；（3）在（2）的条件下，如图3，CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，GK与CK交点K，连接AK，若∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ，∠CKG＝∠CHQ，∠AKC+∠KAC＝159°，求∠BAC的大小．【分析】（1）过P作PN∥AB，根据平行线的传递性得出PN∥CD，再根据两直线平行，内错角相等即可解答；（2）过点Q作QN∥AC，证出∠PHQ＝∠2，根据平行线的传递性即可证明；（3）根据三角形内角和即可算出∠1＝21°，再根据角平分线定义以及已知条件即可得出∠PQH＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，结合（2）即可解出∠5＝18°，过K作KM∥AC，证出∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3，根据平行线性质得出∠EGA＝∠EHC，即可得∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，即可求解；【解答】解：（1）过P作PN∥AB，∴∠BAP＝∠1，∵AB∥CD，∴PN∥CD，∴∠DCP＝∠2，∴∠APC＝∠1+∠2＝∠BAP+∠DCP；（2）过点Q作QN∥AC，∴∠ACP＝∠1，∵∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，∠1+∠2＝∠CQH，∴∠PHQ＝∠2，∴QN∥EF，∴AC∥EF；（3）∵CK平分∠ACP，GK平分∠AGP，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∵∠AKC+∠KAC＝159°，∵∠1＝180°﹣159°＝21°，∴∠PQH＝4∠PCK+2∠PHQ＝4∠2+2∠5＝84°+2∠5，由（2）知∠ACP+∠PHQ＝∠CQH，即42°+∠5＝180°﹣∠PQH，∴180°﹣42°﹣∠5＝84°+2∠5，∴∠5＝18°，过K作KM∥AC，∵AC∥EF，∴KM∥AC∥EF，∴∠CKM＝∠1，∠GKM＝∠3．∴∠CKG＝∠1+∠3＝21°+∠3．∵AB∥CD，∠CKG＝∠CHQ，∴∠EGA＝∠EHC，即2∠3＝∠5+∠CHQ＝∠5+∠CKG＝∠5+∠3+21°，∴∠3＝∠5°+21°＝18°+21°＝39°，∵AC∥EF，∴∠BAC＝∠EGA＝2∠3＝78°．17．（2023秋•道里区校级期中）已知：直线AB与直线CD内部有一个点P，连接BP．（1）如图1，当点E在直线CD上，连接PE，若∠B+∠PEC＝∠P，求证：AB∥CD；（2）如图2，当点E在直线AB与直线CD的内部，点H在直线CD上，连接EH，若∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，求证：AB∥CD；（3）如图3，在（2）的条件下，BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，BG和EF相交于点G，EF和直线AB相交于点F，当BP⊥PE时，若∠BFG＝∠EHD+10°，∠BGE＝36°，求∠EHD的度数．【分析】（1）过点P作PF∥AB，推出∠PEC＝∠EPF，进而得PF∥CD，根据平行公理的推论即可得证；（2）分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，推出∠PEM＝∠FPE，进而得PF∥EM，根据平行公理的推论即可得证；（3）过点E作EN∥AB，根据（1）（2）的思路证∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG ＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，结合角平分线的定义及（2）的条件得2β+2γ＝90°+α，接着分别用含α的式子代替β和γ，代入2β+2γ＝90°+α求出α的值即可．【解答】解：（1）证明：过点P作PF∥AB，∴∠B＝∠BPF，∵∠B+∠PEC＝∠BPE＝∠BPF+∠EPF，∴∠PEC＝∠EPF，∴PF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：如图2，分别过点P和点E作PF∥AB，EM∥CD，∴∠ABP＝∠BPF，∠MEH＝∠EHD，∵∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，即∠ABP+∠PEM+∠MEH＝∠BPF+∠FPE+∠EHD，∴∠PEM＝∠FPE，∴PF∥EM，∴EM∥AB，∴AB∥CD；（3）如图3，过点E作EN∥AB，由（2）得AB∥CD，∴EN∥CD，∠BFE＝∠FEN，∠NEH＝∠EHD，∴∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，设∠EHD＝α，∠PBG＝β，PEG＝γ，则∠BFG＝α+10°，∵BG、EF分别是∠ABP、∠PEH的角平分线，∴∠ABP＝2β，∠PEH＝2γ，∵BP⊥PE，∴∠P＝90°，由（2）得∠ABP+∠PEH＝∠P+∠EHD，∴2β+2γ＝90°+α，∵∠FEH＝∠FEN+∠NEH＝∠BFE+∠EHD，∴γ＝α+10°+α＝2α+10°，∵∠BGE＝36°，∠FGB＝180°﹣（∠BFG+∠FBG），∠FGB＝180°﹣∠BGE，∴∠BFG+∠FBG＝∠BGE＝36°，∴α+10°+β＝36°，∴β＝26°﹣α，∴2（26°﹣α）+2（2α+10°）＝90°+α，∴α＝18°．18．（2023秋•南岗区校级期中）已知，过∠ECF内一点A作AD∥/EC交CF于点D，作AB∥/CF交CE于点B．（1）如图1，求证：∠ABE＝∠ADF；（2）如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥DN；（3）如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC＝∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC＝50°，求∠MPA+∠PQF的度数．【分析】（1）由平行线的性质得出∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，即可得出结论；（2）过点A作AG平分∠BAD，由角平分线定义得出∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，证出∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，得出BM∥AG，DN∥AG，即可得出结论；（3）设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，得出∠BAD＝100°，∠BAQ＝100°+x，由平行线的性质得出∠BAC＝∠GCA＝50°+x，求出∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，由平行线的性质得出∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB ＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，求出∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+8°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD∥EC，AB∥CF，∴∠A＝∠ABE，∠A＝∠ADF，∴∠ABE＝∠ADF；（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：则∠DAG＝∠BAG＝∠BAD，∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM＝∠ABE，∠ADN＝∠ADF，∵∠ABE＝∠ADF＝∠BAD，∴∠ABM＝∠DAG＝∠BAG＝∠ADN，∴BM∥AG，DN∥AG，∴BM∥DN；（3）解：∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ＝∠QAD，设∠GAQ＝∠QAD＝x，则∠DAC＝50°﹣x，∠GAC＝50°+x＝∠GCA，∴∠BAD＝100°，∴∠BAQ＝100°+x，∵AB∥CF，∴∠BAC＝∠GCA＝50°+x，∵∠BAP+∠BAQ＝180°，∴∠BAP＝180°﹣∠BAQ＝80°﹣x，过点P作PH∥AB，过点Q作QI∥AC，如图3所示：∵AD∥EC，∴∠BAD＝∠ABE＝100°，∠ABM＝∠ABE＝50°，∴∠MPH＝∠ABM＝50°，∠HPA＝∠PAB＝80°﹣x，∠QAC＝∠IQA＝50°，∠FQI＝∠FCA＝50°+x，∴∠MPA＝∠MPH+∠HPA＝50°+80°﹣x＝130°﹣x，∠PQF＝∠IQA+∠FQI＝50°+50°+x＝100°+x，∴∠MPA+∠PQF＝130°﹣x+100°+x＝230°．19．（2023秋•南岗区校级期中）已知，射线FG分别交射线AB、DC于点F、G，点E为射线FG上一点．（1）如图1，若∠A+∠D＝∠AED，求证：AB∥CD．（2）如图2，若AB∥CD，求证：∠A﹣∠D＝∠AED．（3）如图3，在（2）的条件下，DI交AI于点Ⅰ，交AE于点K，∠EDI＝∠CDE，∠BAI＝∠EAI，∠I＝∠AED＝25°，求∠EKD的度数．【分析】（1）过点E作EH∥AB，证明∠A＝∠AEF，再根据已知条件证明∠D＝∠DEF，从而证明EF ∥CD，最后根据平行公理的推论证明结论即可；（2）先根据平行线的性质证明∠A＝∠EHG，再根据外角性质证明∠A＝∠D+∠AED，通过变换得出结论即可；（3）设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，把∠BAI和∠EAB都用x表示出来，然后根据已知条件，找出角与角之间的关系，最后得出∠CHE＝∠CDE+∠AED，列出关于x的方程，求出x，最后根据∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I，求出答案即可．【解答】（1）证明：如图所示：过点E作EH∥AB，∴∠A＝∠AEF，∵∠A+∠D＝∠AED，∠AED＝∠AEF+∠DEF，∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，∴AB∥CD；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠A＝∠EHG，∵∠EHG＝∠D+∠AED，∴∠A＝∠D+∠AED，∴∠A﹣∠D＝∠AED；（3）解：设AE与CD交于点H，∠EAI＝x，则∠BAI＝，，∵AB∥CD，∴∠EHC＝∠EAB＝，∵∠I＝∠AED＝25°，∠EKI＝∠EAI+∠I＝∠EDI+∠AED，∴x+25°＝∠EDI+25°，∴∠EDI＝x，∵∠EDI＝∠CDE，∴∠CDI＝，∵∠CHE＝∠CDE+∠AED，∴，解得：x＝60°，∴∠EKD＝∠AKI＝180°﹣∠EAI﹣∠I＝180°﹣60°﹣25°＝95°．20．（2023春•栾城区校级期中）【问题解决】：如图①，AB∥CD，点E是AB，CD内部一点，连接BE，DE．若∠ABE＝40°，∠CDE＝60°，求∠BED 的度数；嘉琪想到了如图②所示的方法，请你帮她将完整的求解过程补充完整；解：过点E作EF∥AB∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等）；∵EF∥AB，AB∥CD（已知）；∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行）；∴∠CDE＝（∠DEF）（两直线平行，内错角相等）；又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换）；∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知）；∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换）；【问题迁移】：请参考嘉琪的解题思路，解答下面的问题：如图③，AB∥CD，射线OM与直线AB，CD分别交于点A，C，射线ON与直线AB，CD分别交于点B，D，点P在射线ON上运动，连接AP，CP，设∠BAP＝α，∠DCP＝β．（1）如图③，当点P在B，D两点之间运动时（点P不与点B，D重合），写出α，和∠APC之间满足的数量关系，并说明理由；（2）当点P在B，D两点外侧运动时（点P不与点B，D重合），请画出图形，并直接写出α，β和∠APC 之间满足的数量关系．【分析】问题解决：两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两直线平行；∠DEF；两直线平行，内错角相等；角的和与差；等量代换；问题迁移：（1）∠APC＝a+β，理由见解析；（2）∠APC＝α﹣β或∠APC＝β﹣α【分析】问题解决：根据过程填写依据即可；问题迁移：（1）过点P作PQ∥AB，可证∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ+∠CPQ 即可求解；（2）①当P在BN上时，过点P作PQ∥AB，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC ＝∠CPQ﹣∠APQ，即可求解；②当P在OD上时，过点P作PQ∥CD，同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，由∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，即可求解．【解答】问题解决：解：过点E作EF∥AB，∴∠ABE＝∠BEF（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴EF∥CD（平行于同一条直线的两直线平行），∴∠CDE＝∠DEF（两直线平行，内错角相等），又∵∠BED＝∠BEF+∠DEF（角的和与差），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE（等量代换），∵∠ABE＝40°，∠CDE＝60°（已知），∴∠BED＝∠ABE+∠CDE＝100°（等量代换），问题迁移：（1）解：∠APC＝a+β，理由：过点P作PQ∥AB，∴∠APQ＝∠BAP（两直线平行，内错角相等），∵AB∥CD（已知），∴PQ∥CD（平行于同一直线的两直线平行），∴∠CPQ＝∠DCP（两直线平行，内错角相等），又∵∠APC＝∠APQ+∠CPQ（角的和与差），∴∠APC＝∠BAP+∠DCP（等量代换），∵∠BAP＝α，∠DCP＝β（已知），∴∠APC＝α+β（等量代换），（2）如图所示：解：①如图，当P在BN上时，∠APC＝β﹣α，理由：过点P作PQ∥AB，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠CPQ﹣∠APQ，∴∠APC＝∠DCP﹣∠BAP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝β﹣α；②如图，当P在OD上时，∠APC＝α﹣β，理由：过点P作PQ∥CD，由（1）同理可证：∠APQ＝∠BAP，∠CPQ＝∠DCP，∵∠APC＝∠APQ﹣∠CPQ，∴∠APC＝∠BAP﹣∠DCP，∵∠BAP＝α，∠DCP＝β，∴∠APC＝α﹣β．。
第04节 平行线拐点专题+张来
第四节平行线拐点专题中考考点分析在教材中的地位重点、难点相交线与平行线是历年中考的热点，也是每年中考必考的知识点之一．有关相交线与平行线这一考点的试题在试卷中所占的比重相对稳定，题型涉及选择题、填空题、解答题，难度一般．本节课是在学习平行线性质和判定的基础上，探究复杂（有“拐点”）图形中角度的数量关系及证明，相交线与平行线在初中数学图形的认识基本概念和基本理论知识模块中占有极其重要的地位，是今后研究三角形、平行四边形等知识点的理论基础．重点：平行线性质、判定的综合运用．难点：平行线辅助线作法．考点与实例分析讲点1 巧作一条平行线例1如图(a)，木杆EB与FC平行，木杆的两端B，C用一橡皮筋连接，现将图(a)中的橡皮筋拉成下列各图的形状，试解答下列各题：(1)图(b)中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？(2)图(c)中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？(3)图(d)中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？(4)图(e)中，∠A，∠B，∠C之间有何关系？FCBEFECBACABFE(a) (b) (c)CABFECAB FE(d ) (e )题意分析 常见平行线中拐点问题的几种基本模型，都是过“拐点”作一条平行线． 解答过程：解题后的思考：练1．1 一大门的栏杆如图所示，BA 垂直地面AE 于A ，CD 平行地面AE ，则∠ABC ＋∠BCD ＝（ ）． A ．180° B ．270°C ．280°D ．295°EDCBA练1．2 如图，已知AB ∥CD ，EF 分别交AB ，CD 于M ，N ，∠BMN ：∠MND ＝5：4，MQ ，NQ 分别平分∠BMN ,∠MND ． (1)求∠MQN ；(2)若∠PMQ 与∠EMP 的差为90°，求∠AMP ．(2013，武汉二中期末）FEPQNMDCBA练1．3如图，AB∥CD，AB，CD分别交直线EF于E，F两点，点P为直线EF右边平面上一点，且∠AEP＝160°，∠EPF＝45°，则∠CFP的度数为（2013，洪山区期中）FEBDCA例2如图，AE∥BD，∠1＝α，∠2＝13∠1，求∠C．（用含α的代数式表示）21FEDCBA题意分析水平方向的平行线比较容易辨析，非水平方向的平行线同样过“拐点”作平行线.，解答过程：解题后的思考：练1．4如图，一条公路修到湖边时，需转弯绕湖而过，如果第一次转的角即∠A是120°，第二次转的角即∠B是150°，第三次转的角是∠C，这时的道路恰好和第一次转弯之前的道路平行，则∠C＝( )．A．120°B．130°C．140°D．150°例3 如图，已知BE平分∠ABD, DE平分∠BDC．且∠EBD＋∠EDB＝90°．(1)求证：AB∥CD：(2)H 是直线CD 上一动点（不与点D 重合)．BI 平分∠HBD ．写出∠EBI 与∠BHD 的数量关系，并说明理由．EDCBA题意分析 将角平分线融入拐点问题，我们通常将相等角设为参数x ，y ，再利用拐点问题中角度的数量关系来解题． 解答过程： 解题后的思考：练1．5 如图，AB ∥CD ,∠B ＋∠D ＝5∠DEF ，则∠DEB ＝FEDCBA练1．6 如图，EF ∥HG ，AB 平分∠DAC ，BD 平分∠FBC ，∠ACB ＝100°，则∠DBA 的度数为 ．（2013．武珞路中学期中）HGFEDCBA讲点2 巧作多条平行线例4 (1)①如图1，已知AB ∥CD ．点E 在AB ,CD 的外部，探究∠ABE ，∠D ，∠E 之间有何数量关系，并说明理由；EBDCA②在图1中，将直线AB 绕点B 逆时针旋转一定角度后．AB 交CD 于点F ，如图2．探究∠ABE ，∠D ，∠E ，∠BFD 之间有何数量关系，并说明理由；DF ECBA(2)①在图1中，将点E 移动到AB ，CD 的内部，如图3，AB ∥CD 成立，则∠ABE ，∠D ，∠E 之间的数量关系为 ____；DECBA②在图3中，将直线AB 绕点B 逆时针方向旋转一个小于90°的角度后，AB 交CD 于点F ，此时点E 在锐角∠BFD 的内部，画 出符合题意的图形，并直接写出∠ABE ，∠D ，∠E ，∠BFD 之间的数量关系为 ．（2013．武汉二中期末）题意分析 一个“拐点”问题可以作一条平行线来解决，要是有两个或多个“拐点”，自然想到作多条平行线，从而将“多拐点”问题转化为已解决的“一个拐点”问题来处理． 解答过程： 解题后的思考：练2．1 如图，已知AB ∥CD ，求∠B ＋∠E ＋∠F ＋∠D 的度数；FE BDC A(2)若将(1)中的条件与结论互换，是否仍然成立？说明理由．练2．2 如图，AB ∥EF ，则∠A ，∠C ，∠D ，∠E 满足的数量关系是( )． A ．∠A ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝360° B ．∠A ＋∠D ＝∠C ＋∠E C ．∠A －∠C ＋∠D ＋∠E ＝180° D ．∠E －∠C ＋∠D －∠A ＝90°FEBDCA练2．3 如图，直线AB ∥CD ，∠EF A ＝30°，∠FGH ＝90°，∠HMN ＝30°，∠CNP ＝50°，求∠GHM ．500x300300PAMN H G FE BCD讲点3 平行线拐点压轴题例5 如图，D 是△ABC 的边BC 的延长线上的一点，CE ∥AB ． (1)如图1，求证：∠ACD ＝∠A ＋∠B ；(2)如图2，过点A 作BC 的平行线交CE 于点H ，CF 平分∠ECD ，F A 平分∠HAD ，若∠BAD ＝70°，求∠F 的度数；(3)如图3，AH ∥BD ，G 为CD 上一点，Q 为AC 上一点，GR 平分∠QGD 交AH 于R ，QN 平分∠AQG 交AH 于N ，QM ∥GR ，试猜想∠MQN 与∠ACB 的关系，并说明理由．（2013．洪山区期中）EDCBAH FE DC BAQRGHNM DC BA题意分析 角平分线与拐点问题综合． 解答过程： 解题后的思考：练3．1 已知AB ∥CD ，M ，N 分别在AB ，CD 上，点G 在AB ，CD 之间．（1）如图1，点E 是AB 上方一点，MF 平分∠AME ，若点G 恰好在MF 的反向延长线上，且NE 平分∠CNG ，2∠E 与∠G 互余，求∠AME 的大小；GN MF E B DC A(2)如图2，在(1)的条件下，若点P 是EM 上一动点，PQ 平分∠MPN ，NH 平分∠PNC ，交AB 于点H ，PJ ∥NH ．当点P 在线段EM 上运动时，∠JPQ 的度数是否改变？若不变，求出其值；若改变，说明你的理由．（201 2．武汉二中期未）H P J QN M E B DC A考点与课堂练习★☆☆☆1．如图，AB ∥CD ，∠B ＝23°，∠D ＝42°，则∠E ＝EDCBA★★☆☆2．如图1，MA 1∥NA 2，则∠A 1＋∠A 2＝____； 如图2，MA l ∥NA 3，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＝____；如图3，MA 1∥NA 4，则∠A 1＋∠A 2＋∠A 3＋∠A 4＝ ，如图4，MA l ∥NA 5，则∠A 1＋∠A 2 ＋∠A 3 ＋∠A 4 ＋∠A 5＝ ， 从上述结论中你发现了什么规律？如图5，MA l ∥NA n ，则∠A 1＋∠A 2 ＋∠A 3＋…＋∠An ＝NA 2A 1M NA 1A 2A 3M图1 图24A 1A 3A 2MNA 1NA 2A 3A 5MA 4图3 图4A 5A 2NA nA 1A 4MA 3图5★★★☆3．如图，AE ∥BF ，∠1＝110°，∠2 ＝130°，则∠3的度数为321FEDCBA★★★☆4．如图，某煤气公司安装煤气管道，从点A处铺设管道到点B时，由于有一个人工湖挡住了去路，需要改变方向经过点C，再拐到点D，然后沿与AB平行的DE方向继续铺设．如果∠ABC＝135°，∠BCD＝65°，则∠CDE的度数应为( )．A．135°B．115°C．110°D．105°★★★☆5．如图，AB∥CD，求∠B，∠C，∠BEC三者之间的数量关系．EBDCA★★★★6．如图1～图3，已知AB∥CD，AM，CM分别平分∠BAP，∠DCP．试分别探索∠M与∠P的数量关系．C DP MA BBAC DMPA BC DP M图1 图2 图3★★★★7．如图，AB∥CD，试用含∠A，∠C，∠F的式子表示∠E．ECBAFD★★★★★8．在平面直角坐标系中，已知点A （a ，1），B (2，b )，且a ，b 满足 （2a －3b －2）2＋2a b ＝0． (1)求A ，B 两点的坐标；(2)如图，MB ∥NO ，OD 平分∠AON ．延长AB 交OD 于C ，BC 平分∠DBM ，且∠D ＋12∠A ＝60°，求∠DBM 的度数．（2013．武珞路中学期中）课后反馈1．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE ＝ ．E ADCB2．如图所示是赛车跑道的一段示意图，其中AB ∥DE ，测得∠B ＝140°，∠D ＝120°，则∠C ＝ ．ECABD3．如图，B 处在A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东80°方向，则从C 看AB 两处的视角∠ACB 的度数为_________B AC4．如图，若AB ∥EF ，∠C ＝90°，求x ＋y －z 的度数．z y xF E DAC B5．如图，AB ∥CD ，BE 平分∠ABF ，DE 平分∠CDF ，∠BFD ＝120°，求∠BED 的度数．BDC A E F6．(1)如图1～图3，若AB ∥CD ，请分别写出∠B ，∠D ，∠E 之间有什么关系，并挑选任意一个证明，A D E C A BDC EA B D C E(2)在图4中，AB ∥CD ，∠E ＋∠G 与∠B ＋∠F ＋∠D 又有何关系？在图5中，若AB ∥CD ，又得到什么结论？请直接写出结论．AB DC E G F F n-1E 1D AB C E n E 2F 2F 17．如图，AB ∥CD ，∠EAF ＝14∠EAB ，∠ECF ＝14∠ECD ，求证：∠AFC ＝34∠AEC ． A D E B F8．如图，已知∠DAB ＋∠ABC ＋∠BCE ＝360°．(1)指出AD 与CE 的位置关系，并说明理由；G HB C EDA(2)如图，作∠BCF ＝∠BCG ，CF 与∠BAH 的平分线交于点F ，若∠F 的余角等于2∠B 的补角，求∠BAH 的度数；G HC E BDA F(3)在前面的条件下，如图，若P 是AF 上一点，Q 是GE 上一点，QR 平分∠PQG ，PN 平分∠APQ ，PM ∥QR ．下列结论：①∠APQ ＋∠NPM 的值不变；②∠NPM 的度数不变．可以证明，只有一个是正确的，请你作出正确的选择并证明．R P HQ MND A E9．已知DH ∥GE ，点A ，C 分别在直线HD ，GE 上．(1)如图，试求∠BCE ，∠ABC ，∠BAD 三者之间的等量关系；G H DA EBC(2)如图，分别作∠BAH 与∠BCG 的角平分线，两线交于点F ，求∠B 与∠F 的数量关系；G H ABC D EF(3)如图，分别作∠ABC 与∠BCE 的角平分线，两线交于点M ，过点B 作BN ∥CM ，若∠BAD ＝m °，下列结论：①∠ABC ＋∠NBM 的值与m 有关；②∠NBM 的度数与m 有关，可以证明只有一个与m 的值有关，请你作出正确的选择并求值．G H N ME DC BA。
人教版七下数学第04讲 平行线中的“拐点”问题突破技巧(学生版)
第04讲 平行线中的“拐点”问题突破技巧（原卷版）第一部分 专题典例剖析+针对训练类型一 过拐点作平行线——“M”型图形研究（1）基本型“M”型及变式运用典例1 如图，已知：AB∥CD ，试说明：∥B ＋∥D ＋∥BED ＝360°．典例2（2019•菏泽）如图，AD ∥CE ，∥ABC ＝100°，则∥2﹣∥1的度数是 ．针对练习11．（2019•荆州）已知直线m ∥n ，将一块含30°角的直角三角板ABC 按如图方式放置（∥ABC ＝30°），其中A ，B 两点分别落在直线m ，n 上，若∥1＝40°，则∥2的度数为（ ）A ．10°B ．20°C ．30°D ．40°2．(2021•徐州期中)如图，AB ∥DE ，∥1＝26°，∥2＝116°，则∥BCD ＝ °．BA EDC（2）“M”型套“M”型典例2 如图，已知AB ∥CD ，∥AFC ＝120°，∥EAF =15∥EAB ，∥ECF =15∥ECD ，则∥AEC 的度数为 ．针对练习23．如图，AB ∥CD ，BN ，DN 分别平分∥ABM ，∥MDC ，试问∥M 与∥N 之间的数量关系如何？请说明理由．（3）“M”型叠“M”型典例3 （2019春•老河口市期中）如图，AB ∥CD ，∥E ＝35°，∥F ＝∥G ＝30°，则∥A +∥C 的度数为 35° ．针对训练34．如图，AB ∥CD ，∥E +∥G ＝∥H ，则∥A +∥B +∥C +∥D +∥F 的度数为 ．类型二过拐点作平行线——“钩”型图形研究典例4（2020春•硚口区期末）已知AB∥CD（1）如图1，求证：∥ABE+∥DCE﹣∥BEC＝180°（2）如图2，∥DCE的平分线CG的反向延长线交∥ABE的平分线BF于F∥若BF∥CE，∥BEC＝26°，求∥BFC．∥若∥BFC﹣∥BEC＝74°，则∥BEC＝°．针对练习45．如图，AB∥CD，点E在AB与CD的上方，请你探索∥1，∥2，∥E三者之间的数量关系，并说明理由．6．（2021春•揭阳期末）已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB∥BC于B．（温馨提示：本题可能用到知识点：三角形三角和为180°）（1）如图1，若∥A＝40°，求∥C的度数；（2）如图2，过点B作BD∥AM于点D，说明：∥ABD＝∥C；（3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在射线DM上，连结BE、BF、CF，BF平分∥DBC，BE平分∥ABD，若∥FCB+∥NCF＝180°，∥BFC＝3∥DBE，求∥EBC的度数．。
课件七年级数学人教版下册平行线中的拐点(拐角)问题专题
∴A．∠A1E2C0°=∠C-∠BA．130° C．140° D．150°
83．如图，所直示线，a若∥AbB，∥则CD∠，AB则D∠的A度，数∠D是，（∠E之）间的度数关系是（ ）
3（．3）如图利所用示上，述若结论AB解∥决CD问，题则：∠如A，图∠④D，，A∠BE∥之C间D，的∠度A数BE关和系∠是CD（E的平）分线相交于点F，∠E＝140°，求∠BFD的度数．
10．如图，桌面上有木条b、c固定，木条a在桌面上绕点O旋转n°（0＜n＜90）后与b平行，则n=（ ）
过点E作EF,使得EF∥AB
如图②，MA1∥NA3，则∠A1+∠A2+∠A3＝
，请你说明理由；
3．如图所示，若AB∥CD，则∠A，∠D，∠E之间的度数关系是（ ）
A．72° B．68° C．63° D．18°
（A．2）340如°．图③如，BM．图A315∥°，NA4A，CD则．∠∥4A01°C+∠BA2+，D∠．A34∠+5∠°DA4=＝43°； ，∠B=25°，则∠DEB的度数为（
）
7．如图，已知AB∥CD，∠C=70°，∠F=30°，则∠A的度数为（ ）
如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（ ）
模型3:平行线间的“枝丫”模型（锄头型和犀牛角型）
小结
问题1：关于平行线中“拐角”问题，如何添加辅助线？ 问题2：如何寻找动角之间的数量关系？
课后检测
1．如图，已知AB∥DE，∠B=20°，∠D=130°，那么∠BCD等于（ ） A．60° B．70° C．80° D．90° 2.如图AB∥CD，∠1=140°，∠2=90°，则∠3的度数是（ ）
模型2:平行线间的“铅笔”模型（子弹头）
第4讲 平行线拐点问题 讲义 2023-2024学年人教版七年级数学下册
第4讲平行线拐点问题【教学目标】：掌握平行线拐点的几种模型，能够根据相关模型的结论解题。
【教学重难点】：拐点模型的运用。
【考点解析】情景引入：已知如图，AB∥CD，若线段BC是拉直的橡皮筋，在BC上任取一点E，向不同的方向拉动点E，那么∠B、∠C、∠BEC之间有何关系呢？一个动点与两条平行线的位置关系①点在两平行线之间②点在两平行线之外【典例讲解】例1.铅笔型如图，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？例2.猪蹄型如图2，已知：AB∥CD，点E是平面内一点，那么∠BED与∠B、∠D之间的数量关系是什么呢？总结：辅助线添法：过拐点作已知直线的平行线或延长线（利用邻补角互补，三角形内角和），逢“拐点”,作平行。
一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线。
针对练习11..如下图所示，直线AB∥CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=______。
2.如果AB∥CD∥EF，那么∠BAC+∠ACE+∠CEF=( )A.180°B. 270°C.360°D.540°135°145°A DE BC第2题图第3题图3.如图，AD∥BC，∠B=135°，∠A=145°，则∠E=___________.4.已知：如图，AB//CD，试解决下列问题：（1）∠1＋∠2＝______；（2）∠1＋∠2＋∠3＝_____；（3）∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝____；（4）试探究∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋…＋∠n ＝_______；例3. 锄头型将点E 向线段AB 的右上方拉动，如图. 已知AB ∥CD ，∠A 、∠C 、∠AEC 之间的关系. D C BA E例4. 犀牛角型或靴子型若将点E 向线段AB 的左上方拉动（如图）. 已知AB ∥CD ，问∠B 、∠D 、∠ABE 的关系.针对练习21. 如图，AB ∥CD ，∠C=75°，∠A=25°，则∠E 的度数的为___________.75°25°CD FB AE2.如图，已知：AB∥CD，CE分别交AB、CD于点F、C，若∠E=20°，∠C=45°，则∠A 的度数为（）A. 5°B. 15°C. 25°D. 35°总结：模型结论【综合练习】1.如图：已知AB∥CD∥EF，EH⊥CD于H，则∠BAC+∠ACE+∠CEH等于（）A．180°B．270° C．360° D．450°2.如图，若AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ之间关系是（）A．∠α+∠β+∠γ=180°B．∠α+∠β﹣∠γ=360°C．∠α﹣∠β+∠γ=180°D．∠α+∠β﹣∠γ=180°3.学习平行线的性质后，老师给小明出了一道题：如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则∠C是多少度？请你帮小明求出（）A．120°B．130°C．140°D．150°4.已知:如图所示∠ABC=80°,∠BCD=40°,∠CDE=140°.求证：AB//DE.5.如图所示，已知：AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且AB∥CD．求证：∠1+∠2=90°．【课后作业】1.如图，直线l1∥l2，∠1=50°，∠2=22°，则∠3的度数为（）A．28°B．38°C．68°D．82°2.如图，AB∥MP∥CD，MN平分∠AMD，∠A=40°，∠D=60°，那么∠NMP的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°3.如图，nm//，那么∠1、∠2、∠3的关系是（）A ∠1+∠2+∠3=360°B ∠1+∠2-∠3=180°C ∠1-∠2+∠3=180°D ∠1+∠2+∠3=180°4.如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（）A．70°B．100°C．140°D．170°5.如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝度．6.如图，将一张长方形纸片ABCD折叠成如图所示的形状，∠EGC＝26°，求∠DFG的度数．。
人教版初中数学七年级数学下册《专题：平行线的拐点》
当堂检测
已知E，F分别是AB、CD上的动点，P也为一动 点．（1）如图1，若AB∥CD，求证： ∠P=∠BEP+∠PFD；（2）如图2，若∠P=∠PFD∠BEP，求证：AB∥CD；（3）如图3，AB∥CD， 移动E，F使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP，求
AEG 的值． PFD
畅所欲言谈收获……
作业布置
整理试卷
人教版数学教材七年级下册
专题 平行线的拐点
回顾： 平行线的判定和性质有什么 不同？
一、简单几何证明题
如图，∠BAP+∠APD=180°，∠1=∠2，
求证：∠E=∠F．
二、拐点问题
◆ 如图 AB∥CD，求∠B,∠E,∠D的数量关系。
A E B A E
B 1
2 F D 方法一
C
D
A
C B E 3 C F 方法二 D
◆ 动点E的位置改变时？你能画出几种情况？ 三角的数量关系？
如图 AB∥CD，求∠B,∠E,∠D的数量关系。
A E C D B E D C A
B
A
C
2
B
D
A
B D
C
E
E
E E
A C
B D
A
C
B D
变式一：
如图AB∥DC，∠B，∠E，∠F，∠G，∠D之间又会有何关系？
A
B
E M G C
F
D
变式二：
（2）若点A在点B的左侧，∠ABC=α °, ∠ADC=60°,如图②所示，求∠BED的度数；
（3）若点A在点B的右侧，∠ABC=α °， ∠ADC=β°，如图③所示，求∠BED的度数．
应用二、（与平面直角坐标系结合）
七年级数学下册-解题技巧专题：平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练)(解析版)
第03讲解题技巧专题：平行线中有关拐点的模型专题问题(4类热点题型讲练)目录【考点一平行线中含一个拐点问题】 (1)【考点二平行线中含两个拐点问题】 (11)【考点三平行线中含多个拐点问题】 (21)【考点四平行线中在生活上含拐点问题】 (27)【考点一平行线中含一个拐点问题】例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图，直线【答案】134︒/134度【分析】本题主要考查利用平行线的性质求解相关角度，两直线平行内错角相等，直接过点∠进行分割转移，最后利用邻补角的概念，直接求出线把E【详解】见试题解答内容∴C FEC ∠=∠，BAE FEA ∠=∠，∵44C ∠=︒，90AEC ∠=︒；∴44FEC ∠=︒，904446BAE AEF ∠=∠=︒-︒=︒，∴118018046134BAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒；故答案为：134︒．【变式训练】【答案】180APD A ∠=︒+∠-【分析】过点P 作PM AB ∥，从而可得PM CD ∥，然后利用平行线的性质可得A APM ∴∠=∠，AB CD ∥ ，PM CD ∴∥，【答案】25︒/25度【分析】本题主要考查等边三角形的性质，平行线的判定与性质，过点平行线的性质可得结论．【详解】解：过点B 作BF ∴35,ABF α∠=∠=︒∵ABC 是等边三角形，∴60,ABC ∠=︒∴FBC ABC ABF ∠=∠-∠∵12l l ∥，【答案】（1）见解析；（2）F BMF DNF ∠=∠-∠；（3）20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF AB∥，根据平行线的性质可求解；∥，根据平行线的性质即可得到结论；（2）如图②，过F作FH AB∥，根据平行线的性质即可得到结论．（3）如图③，过C作CG AB【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF AB∥，则MEF BME∠=∠，∥，又∵AB CD∥，∴EF CD∴∠=∠，NEF DNE∴∠=∠+∠，MEN MEF NEF∠=∠+∠；即MEN BME DNE（2）解：BMF MFN FND∠=∠+∠．，证明：如图②，过F作FK AB∴∠=∠，BMF MFK∥，∵AB CD，∴FK CD∴∠=∠，FND KFN∴∠=∠-∠=∠-∠，MFN MFK KFN BMF FND即：BMF MFN FND∠=∠+∠．故答案为：BMF MFN FND∠=∠+∠；∥，（3）如图③，过C作CG AB18060∴∠=︒-∠=︒，GCA BAC∥，∵AB DE∥，∴CG DEGCD CDE∴∠=∠=︒，80∴∠=︒，20ACD故答案为：20．4．（2023上·七年级课时练习）已知AB CD ，点E 为,AB CD 之外任意一点．（1）如图1，探究BED ∠与,B D ∠∠之间的数量关系，并说明理由；（2）如图2，探究CDE ∠与,B BED ∠∠之间的数量关系，并说明理由．【拓展变式】如图，“抖空竹”是国家级非物质文化遗产．在“抖空竹”的一个瞬间如图1所示，将图1抽象成一个数学问题：如图2，若,70,110AB CD EAB ECD ︒∠=∠=︒∥，则E ∠=_______________．【答案】（1）B BED D ∠=∠+∠，理由见解析；（2）CDE B BED ∠=∠+∠，理由见解析；[拓展变式]40︒．【分析】（1）过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据平行线的性质可得,BEF B D DEF ∠=∠∠=∠，进而得出结论；（2）理由如下：过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据平行线的性质可得B BEF ∠=∠，CDE DEF ∠=∠，进而得出结论；（3）过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥，根据平行线的性质得出180110AEF EAB ∠=︒-∠=︒，18070CEF ECD ∠=︒-∠=︒，进而即可求解．【详解】解：（1）B BED D ∠=∠+∠．理由如下：过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥．,BEF B D DEF ∴∠=∠∠=∠．BEF BED DEF ∠=∠+∠ ，B BED D ∴∠=∠+∠．（2）CDE B BED ∠=∠+∠．理由如下：过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥．B BEF ∴∠=∠，CDE DEF ∠=∠．DEF BEF BED ∠=∠+∠ ，CDE B BED ∴∠=∠+∠．【拓展变式】过点E 作EF AB ∥，则AB CD EF ∥∥．70,110EAB ECD ︒︒∠=∠= 180110AEF EAB ∠=︒-∠=︒，18070CEF ECD ∠=︒-∠=︒11070AEC AEF CEF ∴∠=∠-∠=︒-︒=40︒，故答案为：40︒．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．5．（2023上·吉林长春·七年级统考期末）如图，AB CD ∥，点E 、F 分别在直线AB 、CD 上，点P 是AB 、CD 之间的一个动点．【感知】如图①，当点P 在线段EF 左侧时，若50AEP ∠=︒，70PFC ∠=︒，求EPF ∠的度数．分析：从图形上看，由于没有一条直线截AB 与CD ，所以无法直接运用平行线的性质，这时需要构造出“两条直线被第三条直线所截”的基本图形，过点P 作PG AB ∥，根据两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，可知PG CD ∥，进而求出EPF ∠的度数．【探究】如图②，当点P 在线段EF 右侧时，AEP ∠、EPF ∠、PFC ∠之间的数量关系为______．【答案】感知：120︒探究：360AEP EPF PFC ∠+∠+∠=︒【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．感知：过点P 作PG AB ∥，根据猪脚模型，即可解答；探究：过点P 作PG AB ∥，根据铅笔模型，即可解答．【详解】感知：解：过点P 作PG AB ∥，50EPG AEP ∴∠=∠=︒，AB CD ∥ ，PG CD ∴∥，70GPF PFC ∴∠=∠=︒，5070120EPF EPG GPF ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，EPF ∠∴的度数为120︒；探究：解：过点P 作PG AB ∥，180EPG AEP ∴∠+∠=︒，AB CD ∥ ，PG CD ∴∥，180GPF PFC ∴∠+∠=︒，360AEP EPG FPG PFC ∴∠+∠+∠+∠=︒，360AEP EPF PFC ∴∠+∠+∠=︒，【答案】（1）90；（2）①56︒②见解析；（3）12290∠+∠=︒，理由见解析．【分析】（1）利用角平分线的定义可得，112PAC BAC ∠=∠=∠，122PCA ∠=∠=性质，求解即可；（2）①根据垂直可得90ACP ∠=︒，从而得到ACD ∠的度数，利用平行线的性质得到求解；②利用角平分线的定义和平行线的性质，求解即可；（3）根据角平分线的定义可得22ACD ∠=∠，再根据平行线的性质可得ACD ∠+∠∠=∠+∠．（完成下面的填空部分）(1)【基础问题】如图1，试说明：AGD A D证明：过点G作直线MN AB∥，∵72∠=︒AFC ，∴18072108GAB ∠=︒-︒=∵AH 平分GAB ∠，∴1122HAB GAB ∠=∠=【考点二平行线中含两个拐点问题】例题：如图所示，AB CD ∥、BEFD 是AB 、CD 之间的一条折线，则∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】540︒【分析】连接BD ，根据平行线的性质由AB ∥CD 得到∠ABD +∠CDB =180°，根据四边形的内角和得到∠2+∠3+∠EBD +∠FBD =360°，于是得到结论．【详解】解：连接BD ，如图，∵AB ∥CD ，∴∠ABD +∠CDB =180°，∵∠2+∠3+∠EBD +∠FBD =360°，∴∠2+∠3+∠EBD +∠FDB +∠ABD +∠CDB =540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案为：540°．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．【变式训练】【答案】34︒/34度【分析】过E 作EG AB ∥BED BEG DEG ∠=∠+∠AB CD ∥ ，AB EG FH CD ∴∥∥∥ABE BEG ∴∠=∠，DEG ∠DFH CDF ∠=∠，BFH ∠【答案】②③④【分析】①过点E作EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；②过点点E作EF∥AB，由平行线的性质即可得出结论；③如图3，过点C作CD∥AB，延长AB到G，由平行线的性质可得出180④过点P作PF∥AB，由平行线的性质可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+②如图2，过点E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠A =∠AEF ，∠C =∠CEF ，∴∠A +∠C =∠CEF +∠AEF =∠AEC ，则②正确；③如图3，过点C 作CD ∥AB ，延长AB 到G ，∵AB ∥EF ，∴AB ∥EF ∥CD ，∴∠DCF =∠EFC ，由②的结论可知∠GBH +∠HCD =∠BHC ，又∵180GBH ABH =︒-∠∠，∠HCD =∠HCF -∠DCF∴180°-∠ABH +∠HCF -∠DCF =∠BHC ，∴180°-∠ABH +∠HCF -∠EFC =∠BHC ，∴180x αβγ︒-+-=∠∠∠∠，故③正确；④如图4，过点P 作PF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥PF ∥CD ，∴∠A =∠APF ，∠C =∠CPF ，∴∠A =∠CPF +∠APC =∠C +∠APC ，则④正确；故答案为：②③④．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．3．（23·24八年级上·广东江门·阶段练习）（1）如图①，如果AB CD ∥，求证：APC A C ∠=∠+∠．（2）如图②，AB CD ∥，根据上面的推理方法，直接写出A P Q C ∠+∠+∠+∠=___________．（3）如图③，AB CD ∥，若ABP x BPQ y PQC z QCD m ∠=∠=∠=∠=，，，，则m =___________（用x 、y 、z 表示）．【答案】（1）见解析；（2）540︒；（3）x z y+-【分析】（1）过P 作PM AB ∥，利用平行线的判定与性质证明即可；（2）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，根据平行线的性质即可求解；（3）过点P 作PN AB ∥，过点Q 作QM AB ∥，根据平行线的性质求解即可．【详解】（1）证明：过P 作PM AB ∥，如图，∴A APM ∠=∠，∵PM AB AB CD ∥，∥（已知），∴PM CD ∥，∴C CPM ∠=∠，∵APC APM CPM ∠=∠+∠，∴APC A C ∠=∠+∠；（2）如图，过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴180A APE ∠+∠=︒，180EPQ PQF ∠+∠=︒，=180FQC QCD ∠+∠︒，∴=540A APQ PQC C ∠+∠+∠+∠︒，故答案为：540︒；（3）过点P 作PE AB ∥，过点Q 作QF AB ∥，∵AB DC ∥，PE AB ∥，QF AB ∥，∴AB PE QF CD ∥∥∥，∴B BPE ∠=∠，QPE PQF ∠=∠，=FQC C ∠∠，∴=B PQC C BPQ ∠+∠∠+∠，即=x z m y ++，∴=m x z y +-，故答案为：x z y +-．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，灵活运用平行线的性质和判定是解题的关键．4．（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图1，AB CD ∥，点P 为直线AB CD ，间一点，点E ，F 分别是直线AB CD ，上的点，连接EP FP ，.(1)【证明推断】求证：EPF AEP CFP ∠=∠+∠，请完善下面的证明过程，并在（）内填写依据.证明：过点P 作直线MN AB ∥，MN AB ∥ （已作），AEP EPN ∴∠=∠（______），又MN AB ∥ ，AB CD ∥（已知）∴______，（______）CFP FPN ∴∠=∠，AEP CFP EPN FPN ∴∠+∠=∠+∠=______.(2)如图2，若AEP ∠的平分线与PFC ∠的平分线交于点Q .①【类比探究】试猜想EPF ∠与EQF ∠之间的关系，并说明理由；②【结论运用】若240BEP DFP ∠+∠=︒，求EQF ∠的度数.(3)【拓展认知】如图3，直线AB CD ∥，点P ，H 为直线AB CD 、间的点，请直接写出AEP ∠，PHF ∠，EPH ∠，HFD ∠的数量关系：______.【答案】(1)两直线平行，内错角相等；MN CD ∥；平行于同一直线的两直线平行；EPF∠（3）过点P、H作m∥【点睛】本题考查平行的性质，角平分线的定义，添加合适的辅助线是解题关键．5．（2023上·重庆九龙坡·八年级重庆市育才中学校考开学考试）如图CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且(1)求BEO OFD ∠+∠的值；(2)如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出EMN ∠-(3)如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线FH 分别于点M 、N ，且80FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．【答案】(1)280︒(2)50︒（2）解：如图2，过点M ，AB CD∥∴∥∥∥，AB MK NI CD∠∴∠=∠，KMN BEM EMK∴∠-∠=∠EMN FNM EMK（3）解：如图3，设直线FH∥，AB CD∴∠=∠，AHF DFHAHF EPH PEH∠=∠+∠=∴∠=∠+∠，DFH EPH AEG【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质及三角形的外角性质，熟练掌握平行线的性质、角平分线的性质及三角形的外角性质并正确作出辅助线是解题关键．【考点三平行线中含多个拐点问题】例题：如图，直线AB CD ∥，则23415∠+∠+∠-∠-∠的度数为___________°．【答案】360【分析】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，根据平行线的判定得出EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质得出即可．【详解】过E 作EF ∥CD ，过G 作GH ∥CD ，过M 作MN ∥CD ，如图所示：∵CD ∥AB ，∴EF ∥GH ∥MN ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠BEF ，∠GEF +∠EGH =180°，∠HGM +∠GMN =180°，∠NMC =∠5，∵∠2=∠BEF +∠GEF ，∠3=∠EGH +∠HGM ，∠4=∠GMN +∠NMC ，∴23415∠+∠+∠-∠-∠BEF GEF EGH HGM GMN NMC BEF NMC=∠+∠+∠+∠+∠+∠-∠-∠360GEF EGH HGM GMN =∠+∠+∠+∠=︒．故答案为：360．【点睛】本题考查了平行线的性质，能灵活运用平行线的性质进行推理是解此题的关键．【变式训练】【答案】88︒/88度【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义等，解题的关键是会添加常用辅助线（即过2．（2023上·七年级课时练习）观察图形：已知a b ，在图1中，可得12∠+∠=_______________度，在图度……按照以上规律，则112n P P ∠+∠+∠++∠= _______________【答案】180，360，()1801n +．【详解】解：如图1，∵a b ，∴12180∠+∠= ；如图2，过1P 作11PQ a ，∵a b ，∴11PQ a b ，∴111180APQ ∠+∠=︒，112180BPQ ∠+∠=︒，∴112360APB ∠+∠+∠=；同理可得：112180(1)n P P n ∠+∠+∠++∠=+ ；故答案为：180，360，()1801n +．【点睛】本题考查平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．3.如图：(1)如图1，1l ∥2l ，若65P ∠= ，计算并直接写出A B ∠∠+的大小．(2)如图2，在图1的基础上，将直线PB 变成折线PQB ，证明：180A B Q P ∠∠∠∠++=+(3)如图3，在图2的基础上，继续将且线BQ 变成折现BMQ ．请你写出一条关于1∠、2345∠∠∠∠，，，的数量关系（无需证明直接写出）【答案】(1)65°(2)见解析(3)∠1+∠3+∠5=∠2+∠4【分析】（l ）过P 作PE ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论；（2）过点P 、Q 分别作l 1和l 2的平行线分别记为l 3和l 4，根据平行线的性质和等量代换即可得到结论；（3）分别过P ，Q ，M 作PC ∥l 1，QD ∥l 1，ME ∥l 1，根据平行线的性质和角的和差即可得到结论．（1）解：过P作PE∥l1∵l1∥l2∴PE∥l2∥l1∴∠A=∠1，∠B=∠2∴∠APB=∠1+∠2=∠A+∠B=65°即∠A+∠B=65°；（2）证明：过点P、Q分别作l1和l2的平行线分别记为l3和l4∵l1∥l2∴l1∥l2∥l3∥l4∵l1∥l3（已知）∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）∵l3∥l4（已知）∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）∵l2∥l4（已知）∴∠4+∠B=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A+∠3+∠4+∠B=∠1+∠2+180°又∵∠1+∠2=∠P，∠3+∠4=∠Q∴∠A+∠B+∠Q=∠P+180°．（3）解：如图，分别过P，Q，M作PC∥l1，QD∥l1，ME∥l1，∵12l l ∥，∴12////////PC QD ME l l ∴∠1=∠APC ，∠QPC =∠PQD ∴∠2=∠1+∠PQD ，∠4=∠∴∠2+∠4=∠1+∠PQD +∠5∴∠1+∠3+∠5=∠2+∠4．【点睛】本题考查了平行线的性质及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．4．猜想说理：（1）如图，AB CD EF ∥∥形说明理由：拓展应用：（2）如图4，若AB CD ，则A C AFC ∠+∠+∠=（3）在图5中，若1n A B A D ∥，请你用含n 的代数式表示【答案】（1）A C AFC ∠∠∠＋＝；A C AFC ∠-∠∠＝；∠（2）360（3）-1180n ⨯︒（）【分析】（1）根据平行线的性质可直接得到结论；度数；通过前面的计算，找出规律．利用规律得到有n 个折点的结论；【详解】解：（1）如图1：A C AFC ∠∠∠＋＝，如图2：A C AFC ∠-∠∠＝，如图3：C A AFC ∠-∠∠＝，如图1说明理由如下：∵AB CD EF ∥∥，∴A AFE C EFC ∠∠∠∠＝，＝，∴A C AFE EFC ∠∠∠∠＋＝＋，即A C AFC ∠∠∠＋＝；（2）如下图：过F 作FH AB ∥，∴180A AFH ∠∠︒＋＝，又∵AB CD ∥，∴CD FH ∥，∴180C CFH ∠∠︒＋＝，∴360A AFH C CFH ∠∠∠∠︒＋＋＋＝，即360A C AFC ∠∠∠︒＋＋＝；故答案为：360；（3）如下图：AB CD ∥，过E 作EG AB ∥，过F 作FH AB ∥，∵AB CD ∥，∴AB EG FH CD ∥∥∥，∴180A AEG ∠∠︒＋＝，180GEF EFH ∠∠︒＋＝，180HFC C ∠∠︒＋＝，∴1803A AEG GEF EFH HFC C ∠∠∠∠∠∠︒⨯＋＋＋＋＋＝，即540A AEF EFC C ∠∠∠∠︒＋＋＋＝；综上所述：由当平行线AB 与CD 间没有点的时候，180A C ∠∠︒＋＝，当A 、C 之间加一个折点F 时，2180A AFC C ∠∠∠⨯︒＋＋＝；当A 、C 之间加二个折点E 、F 时，则3180A AEF EFC C ∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；以此类推，如图5，1n A B A D ∥，当1A 、5A 之间加三个折点234A A A 、、时，则123454180A A A A A ∠+∠∠∠∠⨯︒＋＋＋＝；…当1A 、n A 之间加n 个折点231n A A A -⋯、、时，则123-1180n A A A A n ∠∠∠⋯∠⨯︒＋＋＋＝（），即1234n ∠∠∠∠∠＋＋＋＋＋L 的度数是-1180n ⨯︒（）．【点睛】本题是探索型试题，主要考查了平行线的性质，根据题意作出辅助线，利用平行线的性质及三角形外角的性质等知识求解是解答此题的关键．【考点四平行线中在生活上含拐点问题】例题：（2023·广东深圳·校考模拟预测）“绿水青山，就是金山银山”在两个景区之间建立上的一段观光索道如图所示，索道支撑架均为互相平行（AM CN ∥），且每两个支撑架之间的索道均是直的，若65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，则ABC ∠=（）A ．110︒B ．115︒C ．120︒D ．125︒【答案】C 【分析】过点B 作∥BD AM ，则BD AM CN ∥∥，由平行线的性质可得65ABD MAB ∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，由此进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，过点B 作∥BD AM ，，AM CN ∥，A BD M CN ∴∥∥，65MAB ∠=︒，55NCB ∠=︒，65ABD MAB ∴∠=∠=︒，55CBD NCB ∠=∠=︒，6555120ABC ABD CBD ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解此题的关键．【变式训练】1．（2023下·山西临汾·七年级统考期中）图①是某种青花瓷花瓶，图②是其抽象出来的简易轮廓图，已知AG EF ，AB DE ∥，若120DEF ∠=︒，则A ∠的度数为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°【答案】A 【分析】连接CF ，根据AB CF ，AG EF 可得出CFE BAG ∠=∠，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：连接CF ，延长AG 交CF 于点H ，作MN AG ，如图AB CF DE ∥∥，120DEF ∠=︒18012060CEF ∴∠=︒-︒=︒，AHF BAG∠=∠∵AG EF ，AG MN∥∴AHF MNF ∴∠=∠，EF MN∥60CFE FNM BAG ∴∠=∠=∠=︒．故选：A ．【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键．2．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部AB 与支撑平台CD 平行．若130∠=︒，3150∠=︒，则2∠=（）A ．60︒B ．50︒【答案】C 【分析】过2∠顶点作直线l 【详解】解：如图所示，过∠∵工作篮底部与支撑平台平行、直线∴直线l 支撑平台 工作篮底部，∴1430∠=∠=︒，53180∠+∠=︒∴230∠=︒，∴24560∠=∠+∠=︒，故选：C ．【答案】100︒/100度【分析】过点D 作DG AB ∥，过点【详解】解：过点D 作DG ∥∵EF MN ⊥，∴90MFE ∠=︒，∵AB MN ∥，∴AB DG EH MN ∥∥∥，∴180ACD CDG ∠+∠=︒，DEH GDE ∠=∠，90HEF MFE ∠=∠=︒∵120,110DEF BCD ∠=︒∠=︒，∴30GDE DEH ︒∠=∠=，18011070CDG ∠︒=︒-︒=，∴100CDE CDG GDE =∠+∠=︒∠．故答案为：100︒【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是过拐点构造平行线．。
平行线中的拐点问题
D
B
1
F
2
E
4
知识点二：‘凹’进去的模型
学以致用
1、如图，AB∥CD，∠A=65°－ α ，∠P=80°+α，
∠C=60°－α，则α= 15°。
A
B
P
C
D
5
知识点二：‘凹’进去的模型
学以致用
2、如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果
∠2=20°，那么∠1= 6 7 8 9 10 11
孝感市文昌中学学生专用尺 2
Cm
6
知识点三：“猪手图”模型
新知究
P1 A
C
F
B D
A
C
1
P
解：过点P作PF∥AB，则PF∥CD（
）
∴∠CPF＋∠C=180°∠1＋∠A=180°（
）
∴∠CPF=180°－∠C ,∠1=180°－∠A
∴∠APC＝∠CPF－∠1
=(180°－∠C)－(180°－∠A)=∠A－∠C
又∵∠A=100°，∠C=110°（已知）
∴ ∠ 1 = 80 °, ∠2 = 70 ° （等量代换）
∴∠AEC=∠1+∠2= 80 ° + 70 °=150 °
1
知识点一：‘凸’出来的模型
学以致用
1、如图，a//b,M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点， 如果∠3= 135° ，∠2=60°那么∠1= 165º。
3）如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的 反向延长线交PF于点F．当∠PEQ＝70°时，请求出∠PFQ的度数．
M
1
a
P
2 3
b
N
2
湘教版七下数学 平行线拐点问题专题
平行线拐点问题专题作平行线的技巧当两条平行线间遇到拐点时，常过拐点作平行线构造出同位角、内错角和同旁内角．通过平行线的性质，得到题目中所求角与已知角之间的关系，从而解决问题．一般而言，有几个“拐点”就需要作几条平行线．类型1形图(燕尾型)1．如图，AB ∥CD ，P 为AB ，CD 之间的一点，已知∠1＝32°，∠2＝25°，则∠BPC＝ .2．如图，已知AB ∥CD ，∠1与∠D ，∠B 之间存在怎样的数量关系？解： 类型2形图(铅笔型)3．(1)如图1所示，若AB ∥DE ，∠B ＝135°，∠D ＝145°，求∠C 的度数；(2)如图1所示，在AB ∥DE 的条件下，你能得出∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系吗？请说明理由；(3)如图2所示，AB ∥EF ，根据(2)中的结果，直接写出∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E 的度数．解：类型3形图4．(2019·河南鹤壁一模)如图，已知AB ∥CD ，若∠A ＝25°，∠E ＝50°，则∠C ＝ .5．(2019·安徽淮北五校联考)小华在学习“平行线的性质”后，对图中∠B ，∠D 和∠BOD的关系进行了探究：(1)如图1，若点O 在CD 的上侧，试探究∠B ，∠D 和∠BOD 之间有什么关系，并说明理由；(2)如图2，若点O在AB的下侧，试探究∠B，∠D和∠BOD之间有什么关系，请直接写出它们的关系式．解：类型4形图(靴子型)6．如图，直线AB∥CD，若∠A＝100°，∠E＝15°，则∠ECD＝.7．如图，已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点，探究∠CDE与∠B，∠E之间的数量关系，并说明理由．解：类型5形图8．(2019·江苏南京二十九中模拟)如图，已知AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，求∠BCD的度数．解：方法1：如图1，过点C作FG∥AB.方法2：如图2，反向延长DE交BC于点M.类型6形图9．(2019·湖北武汉蔡甸区期末)如图，已知AB∥CD，∠ABE＝110°，∠DCE＝36°，求∠BEC的度数．解：如图，过点E作直线EF∥AB.类型7多拐点型10.如图所示，AB∥EF，∠B＝45°，∠E＝35°，则∠C＋∠D的值为.11．如图，m∥n，试说明：∠1＋∠3＝∠2＋∠4.解：如图，分别过点P1，P2作P1C∥m，P2D∥m.类型8复合“拐点”型12．已知直线AB∥CD.(1)如图1，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，那么∠BFD和∠BED有怎样的数量关系？请说明理由；(3)如图2，若点E在直线BD的右侧，BF，DF仍分别平分∠ABE，∠CDE，求∠BFD 和∠BED的数量关系．解：(1)∠BFD＝12∠BED.理由：因为BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE，所以∠ABF＋∠CDF＝12∠ABE＋12∠CDE＝12(∠ABE＋∠CDE)．因为∠ABE＋∠CDE＝∠BED，∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，所以∠BFD＝1 2∠BED.(2)过点E作EG∥CD，如图所示．因为AB∥CD，EG∥CD，所以AB∥CD∥EG，所以∠ABE＋∠BEG ＝180°，∠CDE＋∠DEG＝180°，所以∠ABE＋∠CDE＋∠BED＝360°.因为∠BFD＝∠ABF＋∠CDF，BF，DF分别平分∠ABE，∠CDE，所以∠ABF＝12∠ABE，∠CDF＝12∠CDE.所以∠BFD＝12(∠ABE＋∠CDE)，所以2∠BFD＋∠BED＝360°.。
平行线的性质 —平行线间的“拐点”问题说课课件 2023-2024学年人教版七年级数学下册
例1：已知：如图，AB//EF,请你猜想 ∠BAC、∠ACE、∠CEF它们之间的数量 关系，并说明理由。
A
B
C
1 2
D
E
F
学生易错点：1.添加辅助线叙 述错误，如：过点C作AB、EF 的平行线CD。 2、推理过程不严谨：如过点C 作CD//AB， 所以∠A+∠1=180° 又因为CD//EF, 所以∠2+∠E=180°。
M
1
a
P 23 N
b
(第1题图)
D
E
(第2题图)
笃行
3. 如图，有一块含有45°角的三角尺放在直尺上，如果∠2=20°， 那么∠1= ( ) A .15°B.20° C.25° D .30°
C
1 2
建模思想
笃行
4.如图，直线AB、EF,点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一 点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF=（ C ）
时间 安排
0 3
从时间分配上来看，由于前面一题 多解上用时有点多，导致后面两种 模型的研究有些匆忙。
设计思路
A
B
C
E
F
7.教学反思
Fresh and simple teacher's lecture
通过一个基本图形，延伸到三种基本图形，启发 学生如何从题目中提炼出基本模型。渗透特殊到 一般、类比、转化等数学思想。引导学生善于观 察分析题目的内在联系，做到做一题、懂一类、 会一片的目的。
设计意图：分层布置作业，A组题让全体学生对今天的学习有练习，有巩固； B组题让学有余力的学生有探究，有提高。同时把数学的研究深入到课后，体
现深度学习的理念。
6.板书设计
人教版初一数学下册《平行线中的“拐点“问题》教案
即ZE=ZB+ZD
小结：拐点问题常常需要过拐点图中点E）添加平行线，几何题也常会出现一题多解，一题多变（如今天的作业就是它的变
式）等。同学们要多动手、多动脑，积极思考，不断积累、 总结、归纳。数学会让你更加聪明，同学们，加油吧！
教学重点：
猜想的方法，辅助线的添加，学生思维能力培养。
教学难点：
猜想的方法，辅助线的添加。
教学方法：
注重引导自学，注重启发思维，鼓励参与、鼓励质疑、合 作学习。倡导教学灵活性、多样性和实效性的统一。
教学过程：
已知：如图，已知ABIICD。
探究：/B、/D、/E的数量关系，并说明理由。
活动一：
什么?
结论：/E=/B+ZD
人教版初一数学下册平行线中的拐点问题教案由会员分享可在线阅读更多相关人教版初一数学下册》教案
璧山正则中学李俊英
教学目标：
1、正确解决常见的拐点问题
2、培养学生一题多解能力。
3、经历动手操作、猜想、论证等环节，培养学生学习的 动手能力和表达能力，提高学生学习数学的兴趣。
N3+上2=11^0。C邻木卜角的性质〉
「.NANB+上D
即ZE =N B+ND
方法二：（连接BD）
（2）构造被截线
二ZD=Z2 C两宜线平行*
二傀r〃ud（:已知）
/.ABZZEFC平行于同一宜线的两条直线互相平行）二t两直线平行*内错角相等〉
二Z詩+Z1>=Z1 +Z2
即NF： =NB+ZD
…MTJf-r-J~T*T—1 OU
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第二讲平行线的拐点问题
（一）情景引入
1、设计情景：
2、知识点归纳：
我们把实际问题图形抽象成几何图形，来看看∠A、∠B、∠C之间有什么数量关系下面我们就来研究下。
（二）新课教学：
师：观察以上几个图形，由题目所给的平行线我们能否利用所学的平行线的性质得角度的关系
师：如果不行，是什么原因
师：有两直线却没有截线，下面老师来给大家演示增添一条辅助线，使得平行线都有截线。
师：通过过拐点A作平行线，我们可以把原本的两直线平行转化为多组两直线平行，从而运用平行线的性质来找∠A、∠B、∠C之间的数量关系。
板书：
解析：以（1）为例：
过A点做AD∥EB ∴∠B=∠BAD
EB∥FC ，AD∥EB ∴AD∥FC
∴∠C=∠CAD
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=∠B+∠C
（2）∠A+∠B+∠C=180°
（3）∠A+∠B=∠C
（4）∠A+∠C=∠B
归纳总结：上述是常见的平行线拐点问题的基本模型，证明方法都是过拐点作平行线。
巩固练习：
答案：B
解析：过B点作BF∥CD，则可以得出两组同位角，其中∠ABC的一部分等于90°，另外一部分和∠BCD互补。
答案：155°或115°
解析：画出图形，过P点作出平行线求解，注意P的不同位置，两种情况。
师：图中有没有我们刚刚讲过的平行线拐点基本图形
师：同学们习惯于看水平方向的平行线，对于非水平的平行线，可以转动书本变成熟悉的水平平行线来看。
师：看懂图形后，谁知道该如何求解
2
解析：过C点作CH∥AE ，易得∠C=∠1-∠2=
3
归纳总结：过拐点作平行线解决拐点求值问题。
师：平行线的判定的有哪些根据题目所给条件我们应该用哪个判断来证明平行师：题目中有没有点H没有我们就需要先画出图形。
师：H点到底在D点的左边还是右边我们需要分类讨论；
板书：
（1） BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，∴∠ABD=2∠EBD，∠BDC=2∠EDB
∠EBD+∠EDB=90°，∴∠ABD+∠CDB=2（∠EBD+∠EDB）=180°∴ AB∥CD
（2）分析：根据双角平分线可设参数x,y，然后用含x,y的代数式表示∠EBI 和∠BHD
①当H点在D点右侧时：2∠EBI+∠BHD=180°
②当H点在D点左侧时：∠BHD=2∠EBI
归纳总结：过拐点作平行线解决拐点证明问题。
巩固练习：
师：下面大家仿照前面所讲的例题自己来证明；答案：
（1）①∠ABE+∠E=∠D；②∠D－∠E+∠BFD=∠ABE （2）①∠E=∠D+∠E；②∠E=∠D+∠ABE+∠BFD 归纳总结：过拐点作平行线解决拐点证明问题。
（1）答案：540°
（2）成立
答案：C
答案：∠GHM=40°
师：第（1）问我们能够根据平行线的性质很快得证；
师：第（2）问已知角度很少，两条角平分线会有两组角相等，我们应该怎么办师：根据图中的平行线，哪个点是拐点那么我们的辅助线是过哪个点作平行师：设了未知数，作了辅助线，下面我们应该怎么办
板书及答案：
（1） CE∥AB ∴∠B=∠ECD，∠A=∠ACE
∴∠ACD=∠ACE+∠ECD=∠A+∠B；
（2）设∠HAF=∠DAF=x，则∠HAB=∠BAD+∠HAD=70°+2x
AH∥BD ∴∠BAH+∠B=180°∴∠B=180°-(70°+2x)=110°-2x
CE∥AB ∴∠HCD=∠B=110°-2x
1∠HCD=55°-x
FC平分∠ECD，∴∠HCF=∠FCD=
2
过F作平行线，易得：∠F=∠HAF+∠HCD=x+55°-x=55°
（3）∠ACB=2∠MQN
归纳总结：利用参数思想，过拐点作平行线解决拐点证明问题。
探究题：
1、如图，AB∥CD，直线l分别交AB，CD于E，F两点，点M在线段EF上（点M 不与E，F重合），N是直线CD上的一个动点（点N不与F重合）。
（1）当点N在射线FC上运动（点F除外）时，则∠FMN+∠FNM=∠AEF成立吗说明理由。
（2）当点N在射线FD上运动（点F除外），则∠FMN+∠FNM和∠AEF有什么关系，
l l
请画图证明。
2、如图，AB ∥CD ，P 为定点，E ，F 分别是AB ，CD 上的动点。
（1）求证：∠P=∠BEP+∠PFD ；
（2）若M 为CD 上一点，∠FMN=∠BEP ，且MN 交PF 于N ，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系，并证明你的结论。
（3）移动E ，F 使得∠EPF=90°，作∠PEG=∠BEP ，求PFD AEG ∠∠的值。