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(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)

一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (9)9、函数的极限 (10)10、函数极限的运算规则 (12)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

高等数学a1_学习笔记

第一章：函数与极限1.1函数的定义与性质1.2极限的概念与计算1.3右极限与左极限1.4极限的性质第二章：连续性2.1连续函数的定义2.2连续性的判别2.3连续函数的性质2.4介值定理第三章：导数与微分3.1导数的定义与几何意义3.2导数的计算法则3.3微分的概念与应用3.4逻辑与高阶导数第四章：应用导数4.1函数的单调性与极值4.2曲线的凹凸性与拐点4.3应用导数解决实际问题4.4L'Hôpital法则第五章：定积分5.1定积分的定义与性质5.2定积分的计算方法5.3牛顿莱布尼茨公式5.4定积分的应用第六章：不定积分6.1不定积分的基本概念6.2常见的不定积分公式6.3不定积分的计算技巧6.4分部积分法与换元积分法第1章：函数与极限函数的定义与性质函数的定义：一个函数是一个将每个输入（自变量）与一个唯一的输出（因变量）相对应的关系。

通常用f(x)表示，其中x是自变量。

定义域：函数的定义域是所有可能的自变量x的集合。

值域：函数的值域是所有可能的因变量f(x)的集合。

例子：f(x)=x^2，定义域为所有实数，值域为所有非负实数。

单调性：如果对于任意的x1<x2，有f(x1)<f(x2)，则f(x)是单调递增的；反之则是单调递减的。

有界性：如果存在M，使得对所有x，|f(x)|≤M，则f(x)是有界的。

奇偶性：如果f(x)=f(x)，则f(x)是奇函数；如果f(x)=f(x)，则f(x)是偶函数。

周期性：如果存在T，使得f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数。

例子：正弦函数sin(x)是周期函数，其周期为2π。

复合函数：如果g(x)是另一个函数，则复合函数f(g(x))是将g(x)的输出作为f(x)的输入。

例子：若f(x)=x^2，g(x)=x+1，则复合函数f(g(x))=(x+1)^2。

反函数：若f(x)是单调函数，则存在反函数f^(1)(x)，使得f(f^(1)(x))=x。

高数学公式和知识点笔记

高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含众多的公式和知识点。

以下是为您整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对您的学习有所帮助。

一、函数与极限1、函数的概念函数是一种对应关系，对于定义域内的每个自变量的值，都有唯一确定的因变量值与之对应。

2、基本初等函数包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。

3、极限的定义当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数，这个常数就是极限。

4、极限的计算方法（1）代入法：直接将趋近的值代入函数。

（2）化简法：通过约分、通分等方法化简函数。

（3）等价无穷小替换：在求极限时，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量替换。

5、两个重要极限（1）＄＼lim_{x\to 0} ＼frac{＼sin x}｛x} ＝ 1$（2）＄＼lim_{x\to ＼infty} （1 ＋＼frac{1}｛x}）＾x ＝ e$二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的变化率。

2、导数的几何意义导数表示函数在某一点处的切线斜率。

3、基本函数的导数公式（1）＄（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＄（2）＄（＼sin x)＇＝＼cos x$（3）＄（＼cos x)＇＝＼sin x$（4）＄（e^x)＇＝ e^x$（5）＄（＼ln x)＇＝＼frac{1}｛x}＄4、导数的四则运算（1）＄（u ＋ v)＇＝ u' ＋ v'＄（2）＄（u v)＇＝ u' v'＄（3）＄（uv)＇＝ u'v ＋ uv'＄（4）＄（＼frac{u}｛v}）＇＝＼frac{u'v uv'｝｛v^2}＄5、复合函数求导法则设$y ＝ f(g(x)）＄，则$y' ＝ f'（g(x)）＼cdot g'（x)＄6、微分的定义函数的微分等于函数的导数乘以自变量的增量。

三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数$f(x)＄满足：在闭区间$a, b$上连续，在开区间$（a, b)＄内可导，且$f(a) ＝f(b)＄，那么在$（a, b)＄内至少存在一点$＼xi$，使得$f'（＼xi) ＝ 0$。

(完整版)高数知识点总结

高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(x a y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶例如：1lim lim020==+→→x xxx x x x 4、两个重要极限：()e x ex xxxx xx x =⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∞→→→11lim 1lim )2(1sin lim )1(10 经验公式：当∞→→→)(,0)(,0x g x f x x ，[])()(lim )(0)(1lim x g x f x g x x x x ex f →=+→例如：()33lim 10031lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→==-→e ex x x xx x5、可导必定连续，连续未必可导。

例如：||x y =连续但不可导。

6、导数的定义：()0000')()(lim)(')()(limx f x x x f x f x f xx f x x f x x x =--=∆-∆+→→∆7、复合函数求导：[][])(')(')(x g x g f dxx g df •= 例如：xx x x x x x y x x y ++=++=+=24122211', 8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx例如：yxdx dy ydy xdx y xy yy x y x -=⇒+-=⇒=+=+22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法 9、由参数方程所确定的函数求导：若⎩⎨⎧==)()(t h x t g y ，则)(')('//t h t g dt dx dt dy dx dy ==，其二阶导数：()[])(')('/)('/)/(/22t h dt t h t g d dt dx dt dx dy d dx dx dy d dx y d === 10、微分的近似计算：)(')()(000x f x x f x x f •∆=-∆+ 例如：计算 ︒31sin11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxy sin =（x=0是函数可去间断点），)sgn(x y =（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x f 1sin )(（x=0是函数的振荡间断点），xy 1=（x=0是函数的无穷间断点） 12、渐近线：水平渐近线：c x f y x ==∞→)(lim铅直渐近线：.)(lim 是铅直渐近线，则若，a x x f ax =∞=→斜渐近线：[]ax x f b xx f a b ax y x x -==+=∞→∞→)(lim ,)(lim,即求设斜渐近线为例如：求函数11223-+++=x x x x y 的渐近线13、驻点：令函数y=f(x)，若f'(x0)=0，称x0是驻点。

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集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

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第1章函数§1 函数的概念一、区间、邻域自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,a<b,则称实数集{x|a<x<b}为一个开区间,记为<a,b>即<a,b>={x|a<x<b}a称为<a,b>的左端点,b称为<a,b>的右端点.a∉<a,b>,b∉<a,b>闭区间：[a,b]={x|a≤x≤b}a∈[a,b],b∈[a,b]半开区间：[a,b>={x|a≤x≤b},a∈[a,b>,b∉[a,b><a,b]={x|a<x≤b},a∈<a,b],b∉<a,b]a,b都是确定的实数,称<a,b>,[a,b>,<a,b],[a,b]为有限区间,"b−a〞称为区间长度.记号：+∞——正无穷大−∞——负无穷大区间：[a,+∞>={x|a≤x}<a,+∞>={x|a<x}<−∞,b]={x|x≤b}<−∞,b>={x|x<b}称为无穷区间〔或无限区间〕邻域：设有两个实数a,δ<δ>0>,则称实数集{x|a−δ<x<a+δ}为点a的δ邻域,记为N<a,δ>a称为N<a,δ>的中心,δ>0称为邻域N<a,δ>的半径.去心邻域：把N<a,δ>的中心点a去掉,称为点a的去心邻域,记为N<a^,δ>={x|0<|x−a|<δ}=N<a,δ>∖{a}注：其中,∖{a}表示去掉由a这一个数组成的数集.二、函数概念例1. 设圆的半径为x<x>0>,它的面积A=πx2,当x在<0,+∞>内任取一个数值〔记为∀x∈<0,+∞>〕时,由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值.例2. 设有半径为r的圆,作圆的内接正n边形,每一边对应的圆心角α=2πn,周长S n=n⋅2r sinπn,当边数n在自然数集N<n≥3>任取一个数,通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值.函数定义：设有数集X,Y,f是一个确定的对应法则,对∀x∈X,通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应,记为x→f y,或f<x>=y,则称f为定义在X上的函数.其中X称为f的定义域,常记为D f.X——自变量,Y——因变量.当X遍取X中的一切数时,那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f<x>,x∈X},称V f为函数f的值域.注意：〔1〕一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值X 围X所确定的.把"对应法则f〞、"定义域〞称为函数定义的两个要素.例如,y=arcsin<x2+2>这个式子,由于x2+2>2,而只有当|x2+2|≤1时,arcsin才有意义,因此这个式子不构成函数关系.又例如,y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数,因为定义域不同.而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数,因为定义域相同.〔2〕函数的值域是定义域和对应法则共同确定的.〔3〕确定函数定义域时,注意：若函数有实际意义,需依据实际问题是否有意义来确定.若函数不表示某实际问题,则定义域为自变量所能取得的使函数y=f<x>成立的一切实数所组成的数值.函数的几何意义：设函数y=f<x>定义域为D f,∀x∈D f,对应函数值y=f<x>在XOY平面上得到点<x,y>,当x遍取D f中一切实数时,就得到点集P={<x,y>|y=f<x>,x∈D f}.点集P称为函数y=f<x>的图形.三、函数的几个简单性质1. 函数的有界性若∃M>0,s.t.|f<x>|≤M,x∈I,则称y=f<x>在区间I上有界.否则称f<x>在I上无界.注：s.t.是"使得,满足于〞的意思,I表示某个区间.例如,y=sin x在I=<−∞,+∞>>上是有界的〔∵|sin x|≤1,x∈<−∞,+∞>〕.又如,y=1x2+1在<−∞,+∞>上有界.对任何正数M>0〔无论多么大〕,总∃x1∈I,s.t.|f<x1>|>M,则称f<x>在I上无界.例如,y=1x在<0,1>内无界.证明：对给定的M>0〔不妨设M>1〕,无论M多么大,必存在x1=12M∈<0,1>,使f<x1>=112M=2M>M函数的上界、下界：若∃M〔不局限于正数〕,s.t.f<x>≤M,∀x∈I,则称f<x>在区间I上有界.任何一个数N>M,N也是f<x>的一个上界.若∃P,s.t.f<x>≥P,∀x∈I,则称f<x>在区间I上有下界.若Q<P,则Q也是一个下界.f<x>在区间I上有界⇔f<x>在I上既有下界又有上界〔"⇔〞表示充分必要条件〕.证明：设f<x>在I上有界,根据定义,∃M>0,s.t.|f<x>|≤M,∀x∈I.|f<x>|≤M⇔−M≤f<x>≤M因此f<x>有下界−M,也有上界M〔对∀x∈I〕反之,设f<x>在I上既有下界m,又有上界N,即m≤f<x>≤N如果m=N=0,则f<x>≡0,∀x∈I∴f<x>在I上有界.如果m,N不同时为零,取M=max{|m|,|N|}>0,则−M≤−|m|≤m≤f<x>≤N≤|N|≤M即−M≤f<x>≤M⇒|f<x>|≤M,∀x∈I∴f<x>在I上有界.2. 函数的单调性若函数f<x>在区间I上,对任何x1,x2∈I,且x1<x2,恒有f<x1><f<x2>,则称f<x>在I上是严格单调增的.若x1<x2,恒有f<x1>≤f<x2>,则称f<x>在区间I上广义单调增〔或直接称为单调增,或称非减的〕.若x1<x2,恒有f<x1>>f<x2>,则称f<x>在I上严格单调减.类似地,也有广义单调减〔单调减,非增的〕的概念.例如,y=x2,D f=<−∞,+∞>在<0,+∞>上,y=x2严格单增.在<−∞,0>上,y=x2严格单减.又如,取整函数〔取一个数的整数部分〕：y=[x]=⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪−1,−1≤x<00,0≤x<11,1≤x<22,2≤x<3......其函数图形如下：取整函数是一个广义单增/单调增/非减函数.3. 函数的奇偶性若f<x>在关于原点对称的区间I上满足f<−x>=f<x>,则称f<x>为偶函数.若满足f<−x>=−f<x>,则称f<x>为奇函数.偶函数图形关于y轴对称〔例如：cos x,x2〕奇函数图形关于原点对称〔例如：sin x,x3〕4. 函数的周期性设f<x>的定义域为D f,如果存在非零的常数T,s.t.对任意的x∈D f,有<x±T>∈D f,且f<x+T>=f<x>,则称f<x>为周期函数,T称为f<x>的周期〔通常周期是指最小正周期〕.四、复合函数,反函数1. 复合函数设y=u√,u=1−x2,把u=1−x2代入y=u√中,得到y=1−x2−−−−−√,称为由y=u√与u=1−x2复合而成的复合函数.一般定义：设y=f是数集Y上的函数〔Y是f的定义域〕,u=φ<x>的定义域为X,值域为Yφ,且Yφ≠Φ〔Φ表示空集〕,Yφ⊆Y〔表示Yφ是Y的子集〕,这时,对∀x∈X,通过u都有唯一的y值与之对应,从而在X上产生一个新函数,用f⋅φ〔中间是一个实心的点〕表示,称f∘φ〔中间是一个空心的圈〕为X上的复合函数：f→f⋅φy,或y=f[φ<x>]y=f[φ<x>]的定义域：由u=φ<x>的定义域中使函数u=φ<x>的值域Yφ满足Yφ⊆Y的那一部分实数组成.1. 复合函数y=f,u=φ<x>⇒y=f[φ<x>]注意：f[φ<x>]与φ<x>定义域不一定相同.例1. 设f<x>=x2+1x2−1,φ<x>=11+x,求f[φ<x>]并确定定义域.解：f[φ<x>]=[φ<x>]2+1[φ<x>]2−1=[11+x]2+1[11+x]2−1=−x2+2x+2x<x+2>当x≠−1〔由11+x可知〕且x≠0,x≠−2时f[φ<x>]有定义.即f[φ<x>]定义域为：<−∞,−2>∪<−2,−1>∪<−1,0>∪<0,+∞>2. 反函数设有函数y=f<x>,定义域D f,值域V f.∀y∈V f,至少可以确定一个x∈D f,s.t.f<x>=y,如果把y看作自变量,把x看作因变量,由函数概念,可以看到一个新函数,记为x=f−1<y>,称为y=f<x>的反函数.反函数的定义域为V f,值域为D f,把y=f<x>称为直接函数,x=f−1<y>称为反函数.注意：1.虽然直接函数y=f<x>是单值的,但反函数x=f−1<y>不一定是单值的.例如,函数y=x2,D f:<−∞,+∞>,V f:[0,+∞]反函数x=f−1<y>不是单值的〔因为对∀y∈[0,+∞],得到x=±y√,有两个值−y√,+y√,为双值函数〕.x=y√是一个单值支.2.如果直接函数y=f<x>严格单调,则其反函数x=f−1<y>也是单值单调的.3.直接函数y=f<x>与反函数x=f−1<y>图形相同,习惯上以x表示自变量,y表示因变量,反函数记为y=f−1<x>.这时,y=f<x>与y=f−1<x>的图形关于直线y=x对称,如下图所示：例1. 设y=f<x>={x2,−2<x<1x2,1≤x≤2,求反函数y=f−1<x>解：当−2<x<1时,y=x2,−1<y<12⇒x=2y,定义域−1<y<12当1≤x≤2时,y=x2,−1≤y≤4⇒x=+y√〔因为x是正数〕,定义域−1≤y≤4综上所述,反函数为：x=f−1<y>={2y,−1<y<12y√,−1≤y≤4或：y=f−1<x>={2x,−1<x<12x√,−1≤x≤4ξ2初等函数一、基本初等函数6类函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、常量函数〔例如y=C〕称为基本初等函数.二、初等函数由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤所构成的、能够用一个数学式子表达的函数称为初等函数.例如：y=arcsin1−x2−−−−−√,y=ln<x+e x>初等函数结构分析例如：分析y=ln<1+x√>的结构解：y=ln u,u=1+x√=1+x12令u=1+x12,v=1,w=x12∴y=ln u,u=v+w,v=1,w=x12三、双曲函数双曲正弦函数shx=ex−e−x2双曲余弦函数chx=ex+e−x2双曲正切函数thx=shxchx=ex−e−xex+e−x以上函数与三角函数有类似性质：ch2x−sh2x=1sh2x=2shxchx类似于sin2x=2sin x cos xch2x=ch2x+sh2x三角函数有周期性,双曲函数没有周期性,这是最大的区别.反双曲正弦函数：arshx注意：不是arc反双曲余弦函数：archx反双曲正切函数：arthx求双曲函数的反函数的表达式：令y=arshx⇒x=shy=ey−e−y2令u=e y⇒2x=u−1u⇒u2−2xu−1=0由二次方程的求根公式,得：u=2x±4x2+4√2=x±x2+1−−−−−√即e y=x±x2+1−−−−−√∵e y>0∴e y=x+x2+1−−−−−√∴y=ln<x+x2+1−−−−−√>即arshx=ln<x+x2+1−−−−−√>用类似方法可推出：arshx=ln<x+x2+1−−−−−√>archx=ln<x+x2−1−−−−−√>arthx=12ln<1+x1−x>第2章极限主要内容：一、极限概念：数列概念、函数概念二、极限性质和运算,无穷小概念和比较三、函数的连续性ξ1数列的极限一、数列极限定义数列：设有定义在自然数集N上的函数u n=f<n>,称为整标函数〔标是指下标n〕.把函数值u n按照自然数n的顺序排列出来的无穷数串：u1,u2,u3,⋯,u n,⋯叫作数列〔序列〕,第n项u n称为一般项.数列简记为{u n},即{u n}表示u1,u2,⋯,u n,⋯例如：{nn+1}:12,23,34,⋯,nn+1,⋯{12n}:12,122,123,⋯,12n,⋯{1+<−1>n2}:0,1,0,1,⋯,1+<−1>n2,⋯{2n+<−1>n−1n}:3,32,73,74,115,116,⋯, 2n+<−1>n−1n,⋯要研究的问题：当n无限增大时〔记为n→∞〕,数列{u n}能否与某一常数A无限接近？如果{u n}能与A无限接近,在数学上如何描述？例如,设u n=2n+<−1>n−1n,当n→∞时{u n}的变化趋势如何？〔一般地说,两个常数a,b,用|a−b|来描述两数接近的程度〕u n=2n+<−1>n−1n=2+<−1>n−1n⇒u n−2=<−1>n−1n⇒|u n−2|=|<−1>n−1n|=1n∴当n越大,1n越小,u n与2越接近.给定一个很小的正数1100,则由|u n−2|=1n<1100⇒n>100,只要n>100,就有|u n−2|<1100|u n−2|<1100⇔2−1100=N<2,1100>〔此邻域以2为中心,以1100为半径〕当n>100时,|u n−2|<1100,说明u101,u102,⋯都落在N<2,1100>邻域内.同理给定正数11000,同理可推出：当n>1000时,|u n−2|<11000,u1001,u1002,⋯都落在N<2,1100>邻域内.无论给定多么小的正数ε,总存在正整数N,使得当n>N时的一切u n满足|u n−2|<ε从几何上看,给定邻域N<2,ε>,无论〔半径〕多么,总存在N,使得当n>N时,u n+1,u n+2,⋯都落在N<2,ε>内.数列极限定义：已知数列{u n}和常数A,如果对于任意给定的正数ε,都存在正整数N,使得对于n>N的一切u n,不等式|u n−A|<ε恒成立,则称当n→∞时,{u n}以A为极限,或{u n}收敛于A.记为：lim n→∞u n=A,或u n→A<n→∞>如果u n无极限,就说{u n}发散〔n→∞〕说明：1. 定义中的ε是任意给定的,只有任意给定ε>0,不等式|u n−A|<ε才能表达u n与A无限接近.2. 定义中的N与ε有关,记为N<ε>.随着ε的给定选定N,且N不唯一.3. 定义只描述了n→∞时u n→A,但未提供求A的方法.4. 定义的几何意义：任意给定邻域N<A,ε>,则必存在N,使u N+1,u N+2,⋯落在N<A,ε>内.例1. 证明lim n→∞2n+<−1>n−1n=2证：一般项u n=2n+<−1>n−1n=2+<−1>n−1n|u n−2|=|<−1>n−1n|对于任意给定的ε>0,为了使|u n−2|<ε,只需1n<ε即可〔这是由于|<−1>n−1|=1,而n>0,故1|n|=1n,即|<−1>n−1n|=1n〕或者说,n>1ε即可.所以,对于任意给定的ε>0,取正整数N=[1ε]〔注：[]表示取整符号〕当n>N时,,恒有不等式|u n−2|=|2n+<−1>n−1n−2|=1n<ε按数列极限定义,可知lim n→∞2n+<−1>n−1n=2注：有人可能不解——为什么N取[1ε]时,当n>N时有1n<ε？这里举一个实际的例子：假设ε=0.003,则N=[1ε]=[333.333333⋯]=333,当n>N时,n≥334,即1n=0.002994⋯<ε例2. 证明当n→∞时,<n−1><2n−1>6n2→13证：u n=<n−1><2n−1>6n2=13−12n+16n2⇒u n−13=−12n+16n2⇒|u n−13|=|12n−16n2|=12n|1−13n|<12n〔这是13n>0且13n<1⇒1−13n∈<0,1>对于任意给定的ε>0,只要12n<ε恒成立,即可证明成功.即,n>12ε时,便可得|u n−13|<12n<ε所以,对任意给定的ε>0,取正整数N=[12ε],则当n>N时,恒有|u n−13|<12n<ε按数列极限定义,有lim n→∞<n−1><2n−1>6n2=13注意：利用数列极限定义来验证lim n→∞u n=A时,关键步骤是指明定义中的N确实存在.由于N不是唯一的,所以不一定要找最小的N,只要找到一个N就可以了.例如,知道|u n−A|=φ<n>〔整标函数〕,那么由φ<n><ε,求出N,这时,n>N时φ<n><ε,从而知道|u n−A|<ε例3. 证明lim n→∞<−1>n<n+1>2=0证：|u n−0|=|<−1>n<n+1>2−0|=1<n+1>2<1n2<1n<φ<n>=1n>对任意给定的ε>0,只要φ<n>=1n<ε,即n>1ε时,恒有不等式|<−1>n<n+1>2−0|<ε所以,按照极限定义,lim n→∞<−1>n<n+1>2=0收敛数列的两个性质：1.定理1若{u n}的极限存在,则极限值是唯一的.证：〔用反证法来证明〕若{u n}收敛,且极限不唯一,即：同时有lim n→∞u n=a,lim n→∞u n=b,且a<b〔注：这是假设的〕由于lim n→∞u n存在,所以对于给定的ε=b−a4>0,有：必存在正整数N1,使得当n>N1时,恒有|u n−a|<b−a4；同理,必存在正整数N2,使得当n>N2时,恒有|u n−b|<b−a4.取N=max{N1,N2},则当n>N时,上面两个不等式同时成立.∴b−a=b−u n+u n−a≤|b−u n|+|u n−a|<b−a4+b−a4=b−a2而上式b−a<b−a2是不成立的∴lim n→∞u n是唯一的.例：证明数列{u n}={<−1>nnn+1}是发散的.证：{u n}:−12,23,−34,45,⋯当n取奇数2m−1<m<N>时,得到数列〔注：对应到原来的u1,u3,u5,⋯〕：−12,−34,−56,⋯,−2m−12m,⋯数列{u2m−1}从−12开始单调减.当n取偶数2m<m∈N>时,得到数列〔注：对应到原来的的u2,u4,u6,⋯〕：23,45,67,⋯,2m2m+1,⋯数列{u2m}从23开始单调增.如下图所示：下面,用反证法来证明.在这之前,要做一个准备工作〔进行一个"无厘头〞的推导〕,因为后后面的反证法会用到这个结论：u2−u1=23−<−12>=76>1这说明,距离最短的两个点u1,u2之间的距离大于1.这个无厘头的结论在后面会用到.假设u n→A<n→∞>〔A是唯一的〕由极限定义,给定正数ε=12>0,必存在一个正整数N,使得当n>N时,恒有不等式|u n−A|<12∴A−12,<n>N>∴u N+1,u N+2,u N+3,⋯∈<A−12,A+12>区间<A−12,A+12>长度为1而u N+1,u N+2落在长度为1的区间<A−12,A+12>内是不可能的〔由前面推导的"无厘头〞结论可知,距离最短的两个点都无法落在长度为1的区间内〕∴{<−1>nnn+1}是发散的.证毕.有界数列：对于数列{u n},如果存在一个正数M>0,使得一切u n都有|u n|≤M,则称{u n}有界.2.定理2如果{u n}收敛,则{u n}一定是有界的.证：∵{u n}收敛,可设lim n→∞u n=A由极限定义,对给定正数ε=1,必存在正整数N,使得n>N时,恒有|u n−A|<1⇔A−1N>〔有限个数,最大值一定存在〕于是|u n|≤M<n=1,2,⋯>∴{u n}是有界的.ξ2函数的极限讨论x为连续自变量时,函数y=f<x>的极限.1. 自变量x任意地接近于定值x0,或x趋向于x0〔记为x→x0〕,对应的函数值f<x>的变化趋势.2. 自变量x的绝对值|x|无限增大〔记为x→∞〕,对应的函数值f<x>的变化趋势.一、自变量x趋向于定值x0时,f<x>的极限假设函数f<x>在x0点的某邻域内有定义〔在x0点f<x>可以无定义,这并不影响我们讨论问题〕,问题：当x任意地趋近于x0时,即x→x0时,对应函数值f<x>是否无限接近于常数A？分析：当x→x0的过程中,对应函数值f<x>无限接近于常数A⇔当x→x0的过程中,|f<x>−A|能任意地小⇔当x→x0的过程中,对任意给定的整数ε>0,|f<x>−A|<ε当x→x0的过程中,只有充分接近x0的那些x,才能使|f<x>−A|<ε."充分接近x0的那些x〞这句话这样来定义：存在一个很小的正数δ>0,0<|x−x0|这样一个不等式就描述了x充分接近x0.定义：设有函数f<x>在x0点的某一去心邻域内有定义,A为一常数.如果对于任意给定的正数ε>0,都存在一个正数δ>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的函数值f<x>都满足：|f<x>−A|<ε则称x→x0时,f<x>以A为极限.记为：lim x→x0f<x>=A,或f<x>→A<x→x0>lim x→x0f<x>=A的几何意义〔如下图所示〕：对常数A,ε>0,在xOy平面上作直线y=A+ε,y=A−ε,对δ>0,得邻域N<x^0,δ>,当x∈N<x^0,δ><x≠x0>时,由定义可知,点M<x,f<x>>一定在y=A−ε与y=A+ε的区域内.下面用lim x→x0f<x>=A定义来证明一些函数极限等式.例1. lim x→x0C=C证：f<x>≡C,x0为一定值,A=Cf<x>−A=C−C≡0因此,对任意给定的δ>0,凡是适合0<|x−x0|<δ的一切x,都使|f<x>−A|=0<ε所以,按极限定义得lim x→x0C=C例2. 证明lim x→x0x=x0证：f<x>=x,A=x0,|f<x>−A|=|x−x0|因此,对任意给定的ε>0,取δ=ε,则当0<|x−x0|<δ=ε时,都能使|f<x>−A|=|x−x0|<ε按极限定义,有lim x→x0x=x0例3. 证明lim x→1<3x−5>=−2证：f<x>=3x−5,x0=1,A=−2|f<x>−A|=|<3x−5>−<−2>|=|3x−3|=3|x−1|对任意给定的ε>0,为了使3|x−1|<ε〔即|x−1|<ε3〕,可以取δ=ε3,则适合不等式0<|x−1|<δ的一切x都能使|f<x>−A|=3|x−1|=3⋅ε3=ε按照极限的定义,有lim x→1<3x−5>=−2例4. 证明lim x→111+x√=12证：f<x>=11+x√,x0=1,A=12|f<x>−A|=∣∣11+x√−12∣∣=∣∣1−x√2<1+x√>∣∣=∣∣∣<1−x√><1+x√>2<1+x√>2∣∣∣=∣∣x−1∣∣2<1+x√>2<∣∣x−1∣∣2<ε则当|x−1|<2ε时,就有|f<x>−A|<ε因此,对任意给定的ε>0,取δ=2ε,则适合0<|x−1|<δ的一切x,都使得|f<x>−A|=∣∣11+x√−12∣∣<ε按照极限的定义,有lim x→111+x√=12lim x→x0f<x>=Ax可以从x0的左侧趋于x0,也可以从右侧趋于x0.当从x0的左侧趋于x0<x<x0>时,记为x→x0−,或x→x0−0左极限：对于任意ε>0,都存在δ>0,凡适合x0−δ<x<x0的一切x,对应的函数值f<x>都满足|f<x>−A|<ε,则称A为f<x>的左极限.记为：lim x→x0−f<x>=A 或lim x→x0−0f<x>=A可统一表示为f<x0−0>=A右极限：把定义中0<|x−x0|<δ改为x0<x<x0+δ,其他不变,则得到右极限的定义.记为：lim x→x0+f<x>=A或lim x→x0+0f<x>=A可统一表示为f<x0+0>=Alim x→x0f<x>=A⇔f<x0−0>,f<x0+0>都存在且极限值都等于A〔注：⇔表示充分必要条件〕二、自变量x趋向于无穷大〔记为x→∞〕时函数f<x>的极限数列u n=f<n>,当n→∞时的极限,可以看作是f<x>当x→∞时的极限的特殊情形.依照数列极限定义,给出f<x>当x→∞时的极限定义：设函数f<x>在|x|充分大时有定义,A为常数,如果对于任意给定的ε>0,都存在正数N,使得凡是适合|x|>N的一切x,对应的函数值f<x>都满足|f<x>−A|<ε,则称当x→∞时,f<x>以A为极限.记为：lim x→∞f<x>=A或f<x>→A<x→∞>如果只考虑x>0,且|x|无限增大〔记为x→+∞〕,上面定义中把|x|>N改为x>N,就得到lim x→+∞f<x>=A的定义.如果只考虑x<0,且|x|无限增大〔记为x→−∞〕,上面定义中把|x|>N改为x<−N,就得到lim x→−∞f<x>=A的定义.lim x→∞f<x>=A⇔lim x→−∞f<x>和lim x→+∞f<x>都存在且等于A〔注：⇔表示充分必要条件〕例：证明lim x→∞11+x2=0证：f<x>=11+x2,A=0|f<x>−A|=∣∣11+x2−0∣∣=11+x2<1x2<ε对任意给定的ε>0,为了使|f<x>−A|<ε,只需1x2<ε,即x2>1ε⇒|x|>1ε√因此,对任意给定的ε>0,取N=1ε√,凡是适合不等式|x|>N的一切x,对应的函数值f<x>都满足：|f<x>−A|=∣∣11+x2−0∣∣<ε按定义,有lim x→∞11+x2=0三、无穷小量与无穷大量1.无穷小〔量〕如果lim x→x0f<x>=0〔或lim x→∞f<x>=0〕,则称当x→x0〔或x→∞〕时,f<x>是无穷小〔量〕.注意：①不能把一个很小的数看作无穷小.②常数0可以看作是无穷小的唯一一个常数.2.无穷大〔量〕如果当x→x0〔或x→∞〕时,对应的函数值f<x>的绝对值无限增大,则称当x→x0〔或x→∞〕时,f<x>是无穷大〔量〕.或者这样表述：若对于任意给定的正数M>0〔无论M多么大〕,总存在δ>0,凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x,对应的函数值f<x>都满足|f<x>|>M,则称当x→x0时,f<x>是无穷大,记为lim x→x0f<x>=∞注意：上式并不说明极限存在,只是说明其极限为无穷大量,无穷大不是一个常数.把上面定义中的"总存在δ>0,凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x〞改为"总存在正数N,凡是适合不等式|x|>N的一切x〞,其余表述不变,则得到lim x→∞f<x>=∞注意：1.不能把无穷大与一个很大的常数混为一谈；2.无穷大一定是无界函数,但无界函数不一定是无穷大.我们来证明一下结论2.先证明无穷大一定是无界函数.证：设lim x→x0f<x>=∞〔或lim x→∞f<x>=∞〕,即f<x>是无穷大对任意给定的正数M>0〔无论多么大〕,一定存在δ>0〔存在N>0〕,使得：|f<x>|>M〔对∀x∈N<x^0,δ>,或|x|>N〕所以,在N<x^0,δ>内〔或|x|>N〕,f<x>无界.证毕.再证明无界函数不一定是无穷大.证：此处举一个实例即可证明这一点.证明f<x>=x sin x在<0,+∞>内是无界函数；但是当x→+∞时,f<x>不是无穷大.先证f<x>=x sin x在<0,+∞>内是无界函数.对任何M>0〔无论多么大〕,现取足够大的正整数n,使x n=2nπ+π2>M,则：f<x n>=x n sin x n=<2nπ+π2>sin<2nπ+π2>=<2nπ+π2>⋅1>M可见,f<x>在<0,+∞>内是无界的.再证x→+∞时,f<x>=x sin x不是无穷大.给定M=1,则无论多么大的正整数N,当n>N时,x n=nπ>Nf<x n>=x n sin x n=nπsin nπ=0<1=M所以f<x>不是无穷大.即,当x→+∞时,f<x>不是无穷大.证毕.3. 无穷小与无穷大的关系定理：如果当x→x0〔或x→∞〕时f<x>是无穷大,则1f<x>是无穷小,如果当x→x0〔或x→∞〕时f<x>是无穷小,且f<x>≠0,则1f<x>是无穷大.证：下面只证x→x0的情形,x→∞的情形可类推.①设x→x0时,f<x>是无穷大,即lim x→x0f<x>=∞任意给定ε>0,因lim x→x0f<x>=∞,对于正数M=1ε,一定存在δ>0,使适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>满足|f<x>|>M=1ε∴∣∣1f<x>∣∣<ε,即lim x→x01f<x>=0即当x→x0时,1f<x>是无穷小.②设当x→x0时,f<x>是无穷小,且f<x>≠0任意给定正数M>0〔无论多么大〕,因lim x→x0f<x>=0对ε=1M,一定存在δ>0,使适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>满足|f<x>|<ε=1M⇒∣∣1f<x>∣∣>M即当x→x0时,1f<x>是无穷小.证毕.四、海涅定理/Heine定理连续自变量x的函数f<x>的极限lim x→x0f<x>〔或lim x→∞f<x>〕存在的充分必要条件：对任选的数列{x n|x n→x0,x n≠x0}〔或x n→∞〕,其所对应的数列{f<x n>}有同一极限.例. 〔用海涅定理〕证明当x→0时,f<x>=sin1x的极限不存在.证：取x n=1nπ,lim n→∞x n=lim n→∞1nπ=0f<x n>=sin1xn=sin nπ=0,{f<x n>}={0}〔即数列的每一项都为0〕∴lim n→∞f<x n>=0取x n′=12nπ+π2→0f<x n′>=sin<2nπ+π2>=1,{f<x n′>}={1}〔即数列的每一项都为1〕∴lim n→∞f<x n′>=1∵lim n→∞f<x n>≠lim n→∞f<x n′>∴lim x→0f<x>不存在〔由海涅定理可知〕ξ3函数极限的性质和极限的运算一、极限值与函数值的关系1. 〔极限值的唯一性〕如果lim x→x0f<x>存在,则其极限值是唯一的下面证明这个结论.证：用反证法来证明.设lim x→x0f<x>存在且不唯一：lim x→x0f<x>=A,lim x→x0f<x>=B,且A<B即B−A>0,这个假设后面要用到.对给定正数ε=B−A4>0,由于lim x→x0f<x>=A,故由极限定义,对正数ε=B−A4,一定存在δ1>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ1的一切x,所对应的函数值f<x>恒有|f<x>−A|<B−A4.同理,对给定正数ε=B−A4>0,由于lim x→x0f<x>=B,故由极限定义,对正数ε=B−A4,一定存在δ2>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x,所对应的函数值f<x>恒有|f<x>−B|<B−A4.取δ=min{δ1,δ2},则凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x,可以使以下两个不等式同时成立：|f<x>−A|<B−A4,|f<x>−B|<B−A4从而有：B−A=|B−f<x>+f<x>−A|≤|B−f<x>|+|f<x>−A|<B−A4+B−A4=B−A2即B−A<B−A2,而在B−A>0的情况下,这是不可能成立的.∴lim x→x0f<x>=A是唯一的.2. 极限值与函数值的同号性<1>设lim x→x0f<x>=A,且A>0〔或A<0〕,则必存在N<x^0>,s.t.∀x∈N<x^0>,都有f<x>>0〔或f<x><0〕.证：设A>0,由lim x→x0f<x>=A和极限定义,可知：对正数0<ε≤A,一定存在δ>0,s.t.适合不等式0<|x−x0|<δ〔即x ∈N<x^0,δ>〕的一切x,恒有|f<x>−A|<ε,即A−ε<f<x><A+ε∵0<ε≤A∴A−ε≥0即0≤A−ε<f<x>,其中x∈N<x^0,δ>证毕.<2>设lim x→x0f<x>=A,且在N<x^0>内f<x>≥0,则A≥0.证：用反证法来证明.假如A<0,又lim x→x0f<x>=A由已证的<1>,可知存在N<x^0>,使f<x><0,x∈N<x^0>这与f<x>≥0的假设矛盾,所以<2>成立.例1. 设f<x>在x0点的某邻域N<x0>内有定义,且lim x→x0f<x>−f<x0><x−x0>2=−1,则必存在某邻域N<x0,δ>,使：<A>f<x>>f<x0>f<x><f<x0>〔此项为正确答案〕<C>f<x>=f<x0><D>不能判断f<x>与f<x0>的大小关系解：令F<x>=f<x>−f<x0><x−x0>2,则lim x→x0F<x>=−1<0由前面所证的结论<1>可知：一定存在N<x0,δ>,使F<x><0,x∈N<x0,δ>由F<x>=f<x>−f<x0><x−x0>2<0⇒f<x>−f<x0><0⇒f<x><f<x0>〔分母为正数〕3.〔有界性〕如果当x→x0〔或x→∞〕时f<x>→A〔常数〕,则一定存在x0的某个邻域N<x^0>〔或存在N>0,|x|>N〕,使得f<x>是有界的.证：已知lim x→x0f<x>=A,由极限定义,对给定正数ε=1>0,必定存在δ>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ〔即x∈N<x^0,δ>〕的一切x所对应的f<x>,恒有：|f<x>−A|<1⇔A−1<f<x><A+1即f<x>在N<x^0,δ>内既有上界,又有下界⇒f<x>在N<x^0,δ>内有界.证毕.二、函数极限与无穷小的关系设lim x→x0f<x>=A〔或lim x→∞f<x>=A〕,讨论f<x>,A之间有何关系？<定理> lim x→x0f<x>=A〔或lim x→∞f<x>=A〕,A为常数⇔f<x>=A+α<x>,且lim x→x0α<x>=0〔或lim x→∞α<x>=0〕证：左推右：设lim x→x0f<x>=A〔或lim x→∞f<x>=A,下面只证前一种情况〕,根据函数极限定义,对任意给定的ε>0,一定存在δ>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>,恒有|f<x>−A|<ε.令α<x>=f<x>−A,就有|α<x>|<ε从而有f<x>=A+α<x>,lim x→x0α<x>=0右推左：设f<x>=A+α<x>,lim x→x0α<x>=0根据极限定义,对任意给定的ε>0,一定存在δ>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>,恒有|α<x>|<ε由f<x>=A+α<x>⇒α<x>=f<x>−A由|α<x>|<ε⇒|f<x>−A|<ε,即lim x→x0f<x>=A证毕.三、无穷小的性质1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小证：只证两个无穷小的情形〔更多个的情形,用数学归纳法便可得结果〕.设有lim x→x0α<x>=0,lim x→x0β<x>=0,需要证明：lim x→x0[α<x>+β<x>]=0由极限定义可知：任意给定正数ε>0,对正数ε2>0,一定存在δ1>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ1的一切x所对应的α<x>,恒有|α<x>|<ε2同理,对正数ε2>0,一定存在δ2>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x所对应的β<x>,恒有|β<x>|<ε2取δ=min{δ1,δ2}>0,当0<|x−x0|<δ时,这些x所对应的α<x>,β<x>同时满足：|α<x>|<ε2,|β<x>|<ε2从而有：|α<x>+β<x>|≤|α<x>|+|β<x>|<ε2+ε2=ε∴lim x→x0[α<x>+β<x>]=0,即当x→x0时,α<x>+β<x>是无穷小.证毕.2. 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小证：设f<x>在N<x^0,δ1>,δ1>0内有界,即存在M>0,δ1>0,使得f<x>≤M,x∈N<x^0,δ1>又设lim x→x0α<x>=0〔即当x→x0时,α<x>是无穷小〕要证明的是：当x→x0时,f<x>α<x>是无穷小.即要证：lim x→x0[f<x>α<x>]=0根据极限,任意给定ε>0,对εM>0,一定存在δ2>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x所对应的α<x>恒有|α<x>|<εM现取δ=min{δ1,δ2}>0,则凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x,都会使|f<x>|≤M,且|α<x>|<εM从而有|f<x>α<x>|=|f<x>||α<x>|<M⋅εM=ε即lim x→x0[f<x>α<x>]=0证毕.对一个常数C,f<x>≡C为有界函数；对lim x→x0γ<x>=0,在N<x^0>内γ<x>是有界函数,所以有：1∘常数与无穷小的乘积仍是无穷小2∘两个无穷小的乘积仍是无穷小〔有限个无穷小的乘积仍是无穷小〕3∘设lim x→x0f<x>=A≠0,lim x→x0α<x>=0〔或x→∞〕,则lim x→x0α<x>f<x>=0〔或x→∞〕证：α<x>f<x>=1f<x>⋅α<x>要证lim x→x0α<x>f<x>=0〔即α<x>f<x>是无穷小〕,只需证1f<x>是有界的,再由性质2∘就可得到性质3∘的结论.∵lim x→x0f<x>=A≠0,由极限定义,对给定正数ε=∣∣A∣∣2>0,必定存在δ>0,使得凡是适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的f<x>,恒有|f<x>−A|<∣∣A∣∣2又由|A|−|f<x>|≤|f<x>−A|<∣∣A∣∣2⇒|A|−|f<x>|<∣∣A∣∣2⇒|A|−∣∣A∣∣2<|f<x>|〔注：两个数差的绝对值一定≥它们绝对值的差〕∴0<∣∣A∣∣2<|f<x>|∴∣∣1f<x>∣∣<2∣∣A∣∣〔2∣∣A∣∣相当于有界函数定义中的M〕∴1f<x>在N<x^0,δ>内是有界的.所以结论成立.证毕.四、极限的四则运算公式以下公式中,自变量都是x→x0,或者都是x→∞设lim f<x>=A,lim g<x>=B,则有：1. lim[f<x>±g<x>]=A±B=lim f<x>±lim g<x>2. lim[f<x>g<x>]=AB=lim f<x>lim g<x>若C是常数,则lim[Cf<x>]=CA=C lim f<x>若n是正整数,lim[f<x>]n=lim[f<x>⋅f<x>⋯f<x>]=A n=[lim f<x>]n证明：由函数极限与无穷小的关系：lim f<x>=A⇔f<x>=A+α<x>,limα<x>=0lim g<x>=B⇔g<x>=B+β<x>,limβ<x>=0f<x>g<x>=[A+α<x>][B+β<x>]= AB+[Aβ<x>+Bα<x>+α<x>β<x>]=AB+γ<x>其中γ<x>=Aβ<x>+Bα<x>+α<x>β<x>由无穷小的性质,可知γ<x>是无穷小,即f<x>g<x>=AB+γ<x>,limγ<x>=0lim[f<x>g<x>]=AB=lim f<x>⋅lim g<x>证毕.3. 若B≠0,则lim f<x>g<x>=AB=lim f<x>lim g<x>证：f<x>g<x>−AB=A+α<x>B+β<x>−AB=Bα<x>−Aβ<x>B[B+β<x>]f<x>g<x>=AB+γ<x>,γ<x>=Bα<x>−Aβ<x>B[B+β<x>]∵Bα<x>,Aβ<x>都是无穷小∴lim[Bα<x>−Aβ<x>]=0,即分子为无穷小又∵lim B[B+β<x>]=lim[B2+Bβ<x>]=B2≠0由无穷小性质3可知limγ<x>=0证毕.4. 设f<x>≥g<x>,而lim f<x>=A,lim g<x>=B,则必有A≥B证：令F<x>=f<x>−g<x>≥0,则权限的四则运算公式得：lim F<x>=lim[f<x>−g<x>]=lim f<x>−lim g<x>=A−B根据函数值与极限值的同号性定理,可知：lim F<x>=A−B≥0⇒A≥B证毕.例1. 求lim x→−12x2+x−43x2+2解：lim x→−1<3x2+2>=lim x→−1<3x2>+lim x→−12=3lim x→−1x2+2=3<lim x→−1x>2+2=3⋅<−1>2+2=5lim x→−1<2x2+x−4>=lim x→−1<2x2>+lim x→−1x−lim x→−14=2<lim x→−1x>2−1−4=2⋅<−1>2−5=−3∴lim x→−12x2+x−43x2+2=lim x→−1<2x2+x−4>lim x→−1<3x2+2>=−35一般地,有：R<x>=a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+anb0xm+b1xm−1+⋯+bm−1x+bm分母的极限：lim x→x0<b0x m+b1x m−1+⋯+b m−1x+b m>=lim x→x0∑j=0m b j x m−j=∑j=0m<lim x→x0b j x m−j>=∑j=0m b j x0m−j分子的极限：lim x→x0<a0x n+a1x n−1+⋯+a n−1x+a n>=lim x→x0∑i=0m a i x n−i=⋯=∑i=0n a i x0n−i若分母极限∑j=0m b j x0m−j≠0,则：lim x→x0R<x>=∑i=0naix0n−i∑j=0mbjx0m−j=R<x0>例2. 求lim x→2x2−3x+2x2−5x+6解：由于lim x→2<x2−5x+6>=4−10+6=0,所以不能用极限的四则运算公式.原式=lim x→2<x−1><x−2><x−3><x−2>=lim x→2x−1x−3=1−1=−1例3. 求lim x→1x2+1x−1解：lim x→1<x−1>=lim x→1x−1=1−1=0lim x→1<x2+1>=[lim x→1x]2+1=2≠0∵lim x→11x2+1x−1=lim x→1x−1x2+1=lim x→1<x−1>lim x→1<x2+1>=02=0∴当x→1时,1x2+1x−1是无穷小由无穷小与无穷大的关系〔无穷小的倒数是无穷大〕,可知lim x→1x2+1x−1=∞例4. 求lim x→1<1x−1−2x2−1>解：当x→1时,1x−1→∞,2x2−1→∞∴不能直接用极限的四则运算公式来计算.lim x→1<1x−1−2x2−1>=lim x→1x+1−2x2−1=lim x→1x−1x2−1=lim x→1x−1<x−1><x+1>=lim x→11x+1=12例5. 求lim x→∞2x2+5x+1x2−4x−8解：分子、分母同时除以x2〔选分子多项式与分母多项式中最高的次数〕,得：原式=lim x→∞2+5x+1x21−4x−8x2=lim x→∞2+5lim x→∞1x+<lim x→∞1x>2lim x→∞1−4lim x→∞1x−8<lim x→∞1x>2=2+0+01−0−0=2ξ4极限存在准则,两个重要极限一、准则1：夹挤准则若在N<x0,δ0>内〔δ0>0〕,有F<x>≤f<x>≤G<x>成立,而且lim x→x0F<x>=lim x→x0G<x>=A,则lim x→x0f<x>>存在,且极限值为A.以上结论对x→∞也成立.证：∵lim x→x0F<x>=A∴对∀ε>0,必∃δ1>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ1的一切x所对应的F<x>,恒有|F<x>−A|<ε∵lim x→x0G<x>=A∴对∀ε>0,必∃δ2>0,使得适合不等式0<|x−x0|<δ2的一切x所对应的G<x>,恒有|G<x>−A|<ε现取δ=min{δ0,δ1,δ2},则适合不等式0<|x−x0|<δ的一切x所对应的F<x>,f<x>,G<x>都满足F<x>≤f<x>≤G<x>由上面推导出来的：。

高等数学笔记(含数一内容)

隐函数求导
参数方程确定的函数求导
分段函数求导
先讨论关键点是否连续，确定连续后再判断函数各个部分是否可导。
求函数高阶导
一般使用数学归纳法解决。
微分
可微
定义：设y=f(x) (x∈D)，x₀∈D。若∆y=A∆x+৹(∆x)，则称f(x)在x=x₀处可微。
性质
可微一定可导，可导一定可微（充要条件）
若∆y=A∆x+৹(∆x)，则A=f'(x₀)，即dy∣₍x=x₀₎=f'(x₀)dx
二阶线性微分方程解的结构齐+齐=齐齐 + 非齐 = 非齐非齐 + 非齐 = 齐（拆解性质）对于方程**，若f(x)=f1(x)+f2(x)（即可拆成两部分），则分别构造两个二阶非齐次线性微分方程，且φ1(x)，φ2(x)分别为它们的特解，则有原方程特解为：
y=φ1(x)+φ2(x) （系数和的特点）设φ1(x)，φ2(x)，...，φn(x)，为方程**的解，则通解的组合形式为y=k1φ1(x)+k2φ2(x)+...+knφn(x) 若y为方程*的通解，则k1+k2+...+kn=0（系数和为0）若y为方程**的通解，则k1+k2+...+kn=1（系数和为1）（二阶常系数线性微分方程通解形式推导定理）
函数f(x)∈ c【a，b】的性质（函数在区间内恒连续）
性质1：∃最大值 M 和最小值 m （最值）；性质2：∃M₀>0，使得∣f(x)∣≤M₀（有界）；
性质3： ∀η ∈【m，M】，∃ξ∈【a，b】，使得f(ξ)=η（介值定理）；
性质4：若 f(a)*f(b)<0，则∃c∈(a，b)，使得f(c)=0（零点定理）。连续函数的运算

大一高数第一章知识点笔记

大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。

可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。

2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。

(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。

(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。

(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。

二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。

2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。

3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。

(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。

(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。

三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。

2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。

3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。

(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。

(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。

《高等数学》笔记-知识归纳整理

- 1 -第一章函数与极限第一节函数1.区间(interval):介于某两个实数之间的全体实数构成区间.这两个实数叫做区间的端点..,,b a R b a <∈∀且}{b x a x <<开区间),(b a 记作}{b x a x ≤≤闭区间],[b a 记作ox a bo xab}{b x a x <≤}{b x a x ≤<左闭右开区间左开右闭区间),[b a 记作],(b a 记作}{),[x a x a ≤=+∞}{),(b x x b <=-∞o x aoxb注:两端点间的距离称为区间的长度.无穷区间2 邻域.0,>δδ且是两个实数与设a ,叫做这邻域的中心点a .叫做这邻域的半径δ.}{),(δδδ+<<-=a x a x a U xaδ-a δ+a δδ,}{邻域的称为点数集δδa a x x <-记作二、函数的概念1.函数的定义函——信函单值对应多值函数不是函数自变量因变量对应法则(())x )(0x f f xyDW------函数的定义域D 和函数的对应规律f 函数的值域称为派生要素。

2. 函数的两个要素w={y │y=f(x), x ∈D}xaδ- a δ+ a δδ,邻域的去心的点 δa) , ( δ a U记作 .}0{),(δδ<-<=a x x a U知识归纳整理- 2 -❖定义域的求法❖在实际问题中，定义域由实际问题的具体条件来确定。

（即使实际问题故意义的取值范围）。

如时光、长度、分量必须大等于0 。

❖对于数学式子表达的函数，如果给出了取值范围就不必再求。

否则，则是使解析式故意义的x的集合（使对应的函数值唯一确定）。

1. 在分式中，分母应不为0；2. 在偶次根式中，被开方数不能为负数；3. 在对数式中，真数不能为0和负数；▪ 4. 在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；▪ 5. 若函数表达式中含有分式、根式、对数式、反三角函数式等，则应取各部分定义域的交集。

大一高数知识点笔记

大一高数知识点笔记高等数学是大学理工科专业的重要基础课程，对于大一新生来说，掌握好这门课程的知识点至关重要。

以下是我整理的大一高数的一些重要知识点，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限1、函数的概念函数是一种从一个集合（定义域）到另一个集合（值域）的对应关系。

简单来说，对于定义域内的每一个输入值，都有唯一的输出值与之对应。

函数的表示方法有解析式法、图像法和列表法。

2、函数的性质（1）奇偶性：若对于定义域内的任意 x ，都有 f(x) ＝ f(x) ，则函数为偶函数；若 f(x) ＝ f(x) ，则函数为奇函数。

（2）单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜f(x₂) ，则函数在该区间上单调递增；若 f(x₁) ＞ f(x₂) ，则函数在该区间上单调递减。

3、极限的概念极限是指当自变量趋近于某个值或无穷大时，函数值趋近于的一个确定的值。

4、极限的计算（1）直接代入法：若函数在极限点处连续，则可直接将极限点代入函数计算。

（2）有理化法：对于含有根式的分式，可通过有理化来消除根式，从而计算极限。

（3）等价无穷小替换：当x → 0 时，sin x ～ x ，tan x ～ x ，e^x1 ～ x 等，利用等价无穷小可以简化极限的计算。

5、两个重要极限（1）lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1（2）lim(x→∞）（1 ＋ 1/x)＾x ＝ e二、导数与微分1、导数的定义函数在某一点的导数是函数在该点的瞬时变化率，即 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx2、导数的几何意义函数在某一点的导数就是该点处切线的斜率。

3、基本初等函数的导数公式（1）（C)＇＝ 0 （C 为常数）（2）（x^n)＇＝ nx^（n 1)（3）（sin x)＇＝ cos x（4）（cos x)＇＝ sin x（5）（e^x)＇＝ e^x（6）（ln x)＇＝ 1 ／ x4、导数的四则运算（1）（u ± v)＇＝ u' ± v'（2）（uv)＇＝ u'v ＋ uv'（3）（u ／ v)＇＝（u'v uv'）／ v²（v ≠ 0）5、复合函数的求导法则设 y ＝ f(u) ，u ＝ g(x) ，则复合函数 y ＝ fg(x) 的导数为 y' ＝ f'（u) g'（x)6、微分的定义函数的微分是函数增量的线性主部，即 dy ＝ f'（x)dx三、中值定理与导数的应用1、罗尔定理如果函数 f(x) 满足：（1）在闭区间 a, b 上连续；（2）在开区间（a, b) 内可导；（3）f(a) ＝ f(b) ，那么在区间（a, b) 内至少存在一点ξ ，使得 f'（ξ) ＝ 0 。

(完整版)高等数学完全归纳笔记(全)

集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。

比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。

我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。

如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。

⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。

记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。

记作N+或N+。

⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。

记作Z。

⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。

记作Q。

⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。

记作R。

集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。

⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。

⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。

⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。

记作，并规定，空集是任何集合的子集。

⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。

(完整版)大学全册高等数学知识点(全)

大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型:(1)数列: *()n a f n =; *1()n n a f a += (2)初等函数:(3)分段函数: *0102()(),()x x f x F x x x f x ≤⎧=⎨>⎩; *0()(),x x f x F x x x a ≠⎧=⎨=⎩;* (4)复合(含f )函数: (),()y f u u x ϕ== (5)隐式(方程): (,)0F x y =(6)参式(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩(7)变限积分函数: ()(,)xaF x f x t dt =⎰(8)级数和函数(数一,三): 0(),nn n S x a xx ∞==∈Ω∑2. 特征(几何):(1)单调性与有界性(判别); (()f x 单调000,()(()())x x x f x f x ⇒∀--定号) (2)奇偶性与周期性(应用).3. 反函数与直接函数: 11()()()y f x x f y y f x --=⇔=⇒=二. 极限性质:1. 类型: *lim n n a →∞; *lim ()x f x →∞(含x →±∞); *0lim ()x x f x →(含0x x ±→)2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量):3. 未定型:000,,1,,0,0,0∞∞∞-∞⋅∞∞∞4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性三. 常用结论:11n n →, 1(0)1n a a >→, 1()max(,,)nnn na b c a b c ++→, ()00!na a n >→1(0)x x→→∞, 0lim 1xx x +→=, lim 0n x x x e →+∞=, ln lim 0n x x x →+∞=, 0lim ln 0nx x x +→=, 0,xx e x →-∞⎧→⎨+∞→+∞⎩ 四. 必备公式:1. 等价无穷小: 当()0u x →时, sin ()()u x u x ; tan ()()u x u x ; 211cos ()()2u x u x -; ()1()u x eu x -; ln(1())()u x u x +; (1())1()u x u x αα+-;arcsin ()()u x u x ; arctan ()()u x u x2. 泰勒公式:(1)2211()2!xe x x o x =+++; (2)221ln(1)()2x x x o x +=-+;(3)341sin ()3!x x x o x =-+;(4)24511cos 1()2!4!x x x o x =-++;(5)22(1)(1)1()2!x x x o x αααα-+=+++.五. 常规方法: 前提: (1)准确判断0,,1,0M α∞∞∞(其它如:00,0,0,∞-∞⋅∞∞); (2)变量代换(如:1t x=) 1. 抓大弃小()∞∞, 2. 无穷小与有界量乘积 (M α⋅) (注:1sin1,x x≤→∞) 3. 1∞处理(其它如:00,∞)4. 左右极限(包括x →±∞):(1)1(0)x x→; (2)()xe x →∞; 1(0)x e x →; (3)分段函数: x , []x , max ()f x5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子)6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(00最后方法); (注意对比: 1ln lim 1x x x x →-与0ln lim 1x x x x→-)(2)幂指型处理: ()()ln ()()v x v x u x u x e=(如: 1111111(1)x x x x xee e e-++-=-)(3)含变限积分;(4)不能用与不便用7. 泰勒公式(皮亚诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: ()lim (,)n f x F x n →∞=(⇒分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则:(1)()lim ()n x a f n f x →+∞=⇒(2)双边夹: *?n n n b a c ≤≤, *,?n n b c a →(3)单边挤: 1()n n a f a += *21?a a ≥ *?n a M ≤ *'()0?f x >2. 导数定义(洛必达?): 00lim'()x ff x x→=3. 积分和: 10112lim [()()()]()n nf f f f x dx n n n n→∞+++=⎰,4. 中值定理: lim[()()]lim '()x x f x a f x a f ξ→+∞→+∞+-=5. 级数和(数一三):(1)1n n a ∞=∑收敛lim 0n n a →∞⇒=, (如2!lim n n n n n →∞) (2)121lim()n n n n a a a a ∞→∞=+++=∑,(3){}n a 与11()nn n aa ∞-=-∑同敛散七. 常见应用:1. 无穷小比较(等价,阶): *(),(0)?n f x kx x →(1)(1)()(0)'(0)(0)0,(0)n n f f f f a -=====⇔()()!!nn na a f x x x x n n α=+ (2)()xxn f t dtkt dt ⎰⎰2. 渐近线(含斜):(1)()lim,lim[()]x x f x a b f x ax x→∞→∞==-()f x ax b α⇒++(2)()f x ax b α=++,(10x→)3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, '()f x 连续性) 八. [,]a b 上连续函数性质1. 连通性: ([,])[,]f a b m M = (注:01λ∀<<, “平均”值:0()(1)()()f a f b f x λλ+-=)2. 介值定理: (附: 达布定理)(1)零点存在定理: ()()0f a f b <0()0f x ⇒=(根的个数); (2)()0(())'0xaf x f x dx =⇒=⎰.第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念:1. 差商与导数: '()f x =0()()limx f x x f x x→+-; 0'()f x =000()()lim x x f x f x x x →--(1)0()(0)'(0)limx f x f f x →-= (注:0()lim (x f x A f x→=连续)(0)0,'(0)f f A ⇒==)(2)左右导: ''00(),()f x f x -+;(3)可导与连续; (在0x =处, x 连续不可导; x x 可导) 2. 微分与导数:()()'()()'()f f x x f x f x x o x df f x dx =+-=+⇒=(1)可微⇔可导; (2)比较,f df ∆与"0"的大小比较(图示); 二. 求导准备:1. 基本初等函数求导公式; (注: (())'f x )2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数1'dx dy y = 三. 各类求导(方法步骤):1. 定义导: (1)'()f a 与'()x a f x =; (2)分段函数左右导; (3)0()()limh f x h f x h h→+--(注: 0()(),x x F x f x x x a ≠⎧=⎨=⎩, 求:0'(),'()f x f x 及'()f x 的连续性) 2. 初等导(公式加法则):(1)[()]u f g x =, 求:0'()u x (图形题); (2)()()xaF x f t dt =⎰, 求:'()F x (注: ((,))',((,))',(())'x b baaaf x t dt f x t dt f t dt ⎰⎰⎰)(3)0102(),()x x f x y x x f x <⎧=⎨≥⎩,求''00(),()f x f x -+及0'()f x (待定系数)3. 隐式((,)0f x y =)导: 22,dy d y dx dx (1)存在定理;(2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法.4. 参式导(数一,二): ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩, 求:22,dy d ydx dx 5. 高阶导()()n f x 公式:()()ax n n axe a e =; ()11!()()n n n b n a bx a bx +=--; ()(sin )sin()2n n ax a ax n π=+⨯; ()(cos )cos()2n n ax a ax n π=+⨯()()1(1)2(2)()'"n n n n n n uv u v C uv C u v --=+++注: ()(0)n f与泰勒展式: 2012()nn f x a a x a x a x =+++++()(0)!n n f a n ⇒=四. 各类应用:1. 斜率与切线(法线); (区别: ()y f x =上点0M 和过点0M 的切线)2. 物理: (相对)变化率-速度;3. 曲率(数一二):ρ=曲率半径, 曲率中心, 曲率圆)4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润) 五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点0'()0f x =): (1) '()0()f x f x ≥⇒; '()0()f x f x ≤⇒;(2)分段函数的单调性(3)'()0f x >⇒零点唯一; "()0f x >⇒驻点唯一(必为极值,最值). 2. 极值点:(1)表格('()f x 变号); (由0002'()'()''()lim0,lim 0,lim 00x x x x x x f x f x f x x x x x→→→≠≠≠⇒=的特点) (2)二阶导(0'()0f x =)注(1)f 与',"f f 的匹配('f 图形中包含的信息);(2)实例: 由'()()()()f x x f x g x λ+=确定点“0x x =”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明(()0f x ≥)(1)区别: *单变量与双变量? *[,]x a b ∈与[,),(,)x a x ∈+∞∈-∞+∞? (2)类型: *'0,()0f f a ≥≥; *'0,()0f f b ≤≥*"0,(),()0f f a f b ≤≥; *00"()0,'()0,()0f x f x f x ≥=≥ (3)注意: 单调性⊕端点值⊕极值⊕凹凸性. (如: max ()()f x M f x M ≤⇔=) 4. 函数的零点个数: 单调⊕介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. "y ⇒表格; (0"()0f x =)2. 应用: (1)泰勒估计; (2)'f 单调; (3)凹凸. 七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: ()()'()()0F b F a F f ξξ=⇒== 2. 辅助函数构造实例: (1)()f ξ⇒()()xaF x f t dt =⎰(2)'()()()'()0()()()f g f g F x f x g x ξξξξ+=⇒= (3)()'()()()'()0()()f x fg f g F x g x ξξξξ-=⇒= (4)'()()()0f f ξλξξ+=⇒()()()x dxF x e f x λ⎰=;3. ()()0()n ff x ξ=⇔有1n +个零点(1)()n f x -⇔有2个零点4. 特例: 证明()()n fa ξ=的常规方法:令()()()n F x f x P x =-有1n +个零点(()n P x 待定)5. 注: 含12,ξξ时,分家!(柯西定理)6. 附(达布定理): ()f x 在[,]a b 可导,['(),'()]c f a f b ∀∈,[,]a b ξ∃∈,使:'()f c ξ= 八. 拉格朗日中值定理1. 结论: ()()'()()f b f a f b a ξ-=-; (()(),'()0a b ϕϕξϕξ<⇒∃∍>)2. 估计:'()f f x ξ=九. 泰勒公式(连接,',"f f f 之间的桥梁) 1. 结论: 2300000011()()'()()"()()"'()()2!3!f x f x f x x x f x x x f x x ξ=+-+-+-; 2. 应用: 在已知()f a 或()f b 值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): [注:有定积分(不含变限)条件时使用] 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数()F x :(1)'()()F x f x =; (2)()()f x dx dF x =; (3)()()f x dx F x c =+⎰注(1)()()xaF x f t dt =⎰(连续不一定可导);(2)()()()()xx aax t f t dt f t dt f x -⇒⇒⎰⎰ (()f x 连续)2. 不定积分性质:(1)(())'()f x dx f x =⎰; (())()d f x dx f x dx =⎰(2)'()()f x dx f x c =+⎰; ()()df x f x c =+⎰二. 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法: 拆(线性性)1212(()())()()k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎰⎰⎰3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活(221sin cos x x =+)如: 211(),,ln ,2dx dx d ax b xdx dx d x a x =+==2=(1ln )(ln )x dx d x x =+=4. 变量代换:(1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): 1sin ,,,x t t t t x====(2)作用与引伸(化简):x t =5. 分部积分(巧用):(1)含需求导的被积函数(如ln ,arctan ,()xax x f t dt ⎰);(2)“反对幂三指”: ,ln ,n ax nx e dx x xdx ⎰⎰(3)特别:()xf x dx ⎰ (*已知()f x 的原函数为()F x ; *已知'()()f x F x =)6. 特例: (1)11sin cos sin cos a x b x dx a x b x ++⎰; (2)(),()sin kx p x e dx p x axdx ⎰⎰快速法; (3)()()n v x dx u x ⎰ 三. 定积分:1. 概念性质:(1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值)*2(0)8a a π>=⎰; *()02baa bx dx +-=⎰ (3)附:()()baf x dx M b a ≤-⎰,()()()bbaaf xg x dx M g x dx ≤⎰⎰)(4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重2: 变限积分()()xax f t dt Φ=⎰的处理(重点)(1)f 可积⇒Φ连续, f 连续⇒Φ可导 (2)(())'xaf t dt ⎰()f x =; (()())'()x xaax t f t dt f t dt -=⎰⎰;()()()xaf x dt x a f x =-⎰(3)由函数()()xaF x f t dt =⎰参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题3. N L -公式:()()()baf x dx F b F a =-⎰(()F x 在[,]a b 上必须连续!)注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含()baf t dt ⎰的方程.4. 变量代换: ()(())'()baf x dx f u t u t dt βα=⎰⎰(1)00()()()aa f x dx f a x dx x a t =-=-⎰⎰,(2)()()()[()()]aaaaaf x dx f x dx x t f x f x dx --=-=-=+-⎰⎰⎰ (如:4411sin dx x ππ-+⎰)(3)2201sin n n n n I xdx I nπ--==⎰,(4)2200(sin )(cos )f x dx f x dx ππ=⎰⎰;20(sin )2(sin )f x dx f x dx ππ=⎰⎰,(5)(sin )(sin )2xf x dx f x dx πππ=⎰⎰,5. 分部积分(1)准备时“凑常数” (2)已知'()f x 或()xaf x =⎰时, 求()baf x dx ⎰6. 附: 三角函数系的正交性: 22200sin cos sin cos 0nxdx nxdx nx mxdx πππ===⎰⎰⎰220sin sin cos cos ()0nx mxdx nx mxdx n m ππ=≠=⎰⎰22220sin cos nxdx nxdx πππ==⎰⎰四. 反常积分: 1. 类型: (1)(),(),()aa f x dx f x dx f x dx +∞+∞-∞-∞⎰⎰⎰(()f x 连续)(2)()baf x dx ⎰: (()f x 在,,()x a x b x c a c b ===<<处为无穷间断)2. 敛散;3. 计算: 积分法⊕N L -公式⊕极限(可换元与分部)4. 特例: (1)11p dx x +∞⎰; (2)101p dx x⎰ 五. 应用: (柱体侧面积除外)1. 面积, (1)[()()];baS f x g x dx =-⎰(2)1()dcS f y dy -=⎰;(3)21()2S r d βαθθ=⎰; (4)侧面积:2(b a S f x π=⎰ 2. 体积: (1)22[()()]bx aV f x g x dx π=-⎰; (2)12[()]2()d by caV f y dy xf x dx ππ-==⎰⎰(3)0x x V =与0y y V =3. 弧长: ds =(1)(),[,]y f x x a b =∈ as =⎰(2)12(),[,]()x x t t t t y y t =⎧∈⎨=⎩ 21t t s =⎰(3)(),[,]r r θθαβ=∈:s βαθ=⎰4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心,5. 平均值(中值定理): (1)1[,]()baf a b f x dx b a =-⎰;(2)0()[0)limx x f t dt f x→+∞+∞=⎰, (f 以T 为周期:0()Tf t dt fT=⎰)第四讲: 微分方程一. 基本概念1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件)2. 变换方程:(1)令()'""x x t y Dy =⇒=(如欧拉方程)(2)令(,)(,)'u u x y y y x u y =⇒=⇒(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程:1. 形式: (1)'(,)y f x y =; (2)(,)(,)0M x y dx N x y dy +=; (3)()y a b =2. 变量分离型: '()()y f x g y =(1)解法:()()()()dyf x dx G y F x Cg y =⇒=+⎰⎰(2)“偏”微分方程:(,)zf x y x∂=∂; 3. 一阶线性(重点): '()()y p x y q x +=(1)解法(积分因子法): 00()01()[()()]()xx p x dxx x M x e y M x q x dx y M x ⎰=⇒=+⎰ (2)变化: '()()x p y x q y +=;(3)推广: 伯努利(数一) '()()y p x y q x y α+= 4. 齐次方程: '()y y x=Φ (1)解法: '(),()ydu dxu u xu u x u u x =⇒+=Φ=Φ-⎰⎰(2)特例:111222a xb yc dy dx a x b y c ++=++ 5. 全微分方程(数一): (,)(,)0M x y dx N x y dy +=且N Mx y∂∂=∂∂ dU Mdx Ndy U C =+⇒=6. 一阶差分方程(数三): 1*()()x x x x x n xx y ca y ay b p x y x Q x b+=⎧-=⇒⎨=⎩ 三. 二阶降阶方程1. "()y f x =: 12()y F x c x c =++2. "(,')y f x y =: 令'()"(,)dpy p x y f x p dx=⇒== 3. "(,')y f y y =: 令'()"(,)dpy p y y pf y p dy=⇒== 四. 高阶线性方程: ()"()'()()a x y b x y c x y f x ++= 1. 通解结构:(1)齐次解: 01122()()()y x c y x c y x =+(2)非齐次特解: 1122()()()*()y x c y x c y x y x =++ 2. 常系数方程: "'()ay by cy f x ++= (1)特征方程与特征根: 20a b c λλ++=(2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: ()axf x ke =的算子法) (3)由已知解反求方程.3. 欧拉方程(数一): 2"'()ax y bxy cy f x ++=, 令2"(1),'tx e x y D D y xy Dy =⇒=-= 五. 应用(注意初始条件):1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切线和法线的截距2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设()(),()0xaf x dx F x F a ==⎰3. 导数定义立方程: 含双变量条件()f x y +=的方程4. 变化率(速度)5. 22dv d x F ma dt dt === 6. 路径无关得方程(数一): Q Px y∂∂=∂∂ 7. 级数与方程:(1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法:201201,(0),'(0)y a a x a x a y a y =+++==8. 弹性问题(数三)第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)000000(,),(,),(,)x y f f x x y y f f x x y f f x y y ∆=++∆=+∆=+ (2)lim ,lim,lim y x x y f ff f f x y∆∆∆==∆∆ (3)22,lim()()x y f df f x f ydf x y ∆-++ (判别可微性)注: (0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义: 00(,0)(0,0)(0,)(0,0)(0,0)lim,(0,0)lim x y x y f x f f y f f f x y→→--==2. 特例:(1)22(0,0)(,)0,(0,0)xyx yf x y ⎧≠⎪+=⎨⎪=⎩: (0,0)点处可导不连续;(2)(0,0)(,)0,(0,0)f x y ≠==⎩: (0,0)点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算:1. 显函数一,二阶偏导: (,)z f x y = 注: (1)yx 型; (2)00(,)xx y z ; (3)含变限积分2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): [(,),(,)]z f u x y v x y =熟练掌握记号''"""12111222,,,,f f f f f 的准确使用3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *(,,)0F x y z =; *(,,)0(,,)0F x y zG x y z =⎧⎨=⎩ (存在定理)(2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): 0x y z F dx F dy F dz ++= (要求: 二阶导) (3)注: 00(,)x y 与0z 的及时代入 (4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?);1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)(1)目标函数与约束条件: (,)(,)0z f x y x y ϕ=⊕=, (或: 多条件) (2)求解步骤: (,,)(,)(,)L x y f x y x y λλϕ=+, 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点).(1)(,){(,)(,)0}z f x y M D x y x y ϕ=⊕∈=≤ (2)实例: 距离问题四. 二重积分计算:1. 概念与性质(“积”前工作): (1)Dd σ⎰⎰,(2)对称性(熟练掌握): *D 域轴对称; *f 奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *12D D D =; *(,)f x y 分片定义; *(,)f x y 奇偶2. 计算(化二次积分):(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D ”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 22()f x y +附: 222:()()D x a y b R -+-≤; 2222:1x y D a b+≤;双纽线222222()()x y a x y +=- :1D x y +≤ 4. 特例:(1)单变量: ()f x 或()f y (2)利用重心求积分: 要求: 题型12()Dk x k y dxdy +⎰⎰, 且已知D 的面积DS与重心(,)x y5. 无界域上的反常二重积分(数三) 五: 一类积分的应用(():;;;;f M d D L σΩ⇒ΩΩΓ∑⎰):1. “尺寸”: (1)D Dd Sσ⇔⎰⎰;(2)曲面面积(除柱体侧面);2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念1. 定义: (1){}n a , (2)12n n S a a a =+++; (3)lim n n S →∞(如1(1)!n nn ∞=+∑)注: (1)lim n n a →∞; (2)n q ∑(或1n a∑); (3)“伸缩”级数:1()n n a a +-∑收敛{}n a ⇔收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: lim 0n n a →∞=;(2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→; 二. 正项级数1. 正项级数: (1)定义: 0n a ≥; (2)特征: nS ; (3)收敛n S M ⇔≤(有界)2. 标准级数: (1)1p n∑, (2)ln k n n α∑, (3)1ln k n n ∑3. 审敛方法: (注:222ab a b ≤+,ln ln ba ab =)(1)比较法(原理):np ka n(估计), 如10()n f x dx ⎰; ()()P n Q n ∑(2)比值与根值: *1limn n nu u +→∞*n (应用: 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项):1(1)n n a +-∑(0n a >)1. “审”前考察: (1)0?n a > (2)0?n a →; (3)绝对(条件)收敛?注: 若1lim1n n na a ρ+→∞=>,则n u ∑发散2. 标准级数: (1)11(1)n n +-∑; (2)11(1)n p n +-∑; (3)11(1)ln n p n+-∑ 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:na∑发散; (2)条件: ,0nn a a →; (3)结论:1(1)n n a +-∑条件收敛.4. 补充方法:(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2)221,0n n n n s s a s s s s +→→⇒→⇒→. 5. 注意事项: 对比 na∑;(1)n na-∑;na∑;2na∑之间的敛散关系四. 幂级数:1. 常见形式: (1)nna x∑, (2)()nna x x -∑, (3)20()nna x x -∑2. 阿贝尔定理:(1)结论: *x x =敛*0R x x ⇒≥-; *x x =散*0R x x ⇒≤- (2)注: 当*x x =条件收敛时*R x x ⇒=- 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1),n nn n a na x x n∑∑与n n a x ∑同收敛半径 (2)nna x∑与20()nna x x -∑之间的转换4. 幂级数展开法:(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) 23111,2!3!xe x x x R =++++Ω= 24111()1,22!4!x x e e x x R -+=+++Ω= 35111(),23!5!x x e e x x x R --=+++Ω= 3511sin ,3!5!x x x x R =-+-Ω= 2411cos 1,2!4!x x x R =-++Ω=;211,(1,1)1x x x x =+++∈--; 211,(1,1)1x x x x=-+-∈-+ 2311ln(1),(1,1]23x x x x x +=-+-∈-2311ln(1),[1,1)23x x x x x -=----∈-3511arctan ,[1,1]35x x x x x =-+-∈-(2)分解: ()()()f x g x h x =+(注:中心移动) (特别: 021,x x ax bx c=++) (3)考察导函数: ()'()g x f x 0()()(0)xf xg x dx f ⇒=+⎰(4)考察原函数: 0()()xg x f x dx ⎰()'()f x g x ⇒=5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1)(),S x =+∑∑(2)'()S x =,(注意首项变化)(3)()()'S x =∑,(4)()"()"S x S x ⇒的微分方程 (5)应用:()(1)n nn n aa x S x a S ⇒=⇒=∑∑∑.6. 方程的幂级数解法7. 经济应用(数三):(1)复利: (1)nA p +; (2)现值: (1)nA p -+五. 傅里叶级数(数一): (2T π=)1. 傅氏级数(三角级数): 01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 2. Dirichlet 充分条件(收敛定理): (1)由()()f x S x ⇒(和函数) (2)1()[()()]2S x f x f x =-++ 3. 系数公式: 01()cos 1(),,1,2,3,1()sin n n a f x nxdx a f x dx n b f x nxdx πππππππππ---⎧=⎪⎪==⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰4. 题型: (注: ()(),?f x S x x =∈) (1)2T π=且(),(,]f x x ππ=∈-(分段表示)(2)(,]x ππ∈-或[0,2]x π∈ (3)[0,]x π∈正弦或余弦 *(4)[0,]x π∈(T π=) *5. 2T l =6. 附产品: ()f x ⇒01()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞==++∑ 00001()cos sin 2n n n a S x a nx b nx ∞=⇒=++∑001[()()]2f x f x =-++第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算1. 12k a k b +; (平行b a λ⇔=)2. a ; (单位向量(方向余弦) 01(cos ,cos ,cos )a a aαβγ=)3. a b ⋅; (投影:()a a b b a⋅=; 垂直:0a b a b ⊥⇔⋅=; 夹角:(,)a b a b a b⋅=)4. a b ⨯; (法向:,n a b a b =⨯⊥; 面积:S a b =⨯) 二. 平面与直线1.平面∏(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z n A B C ⊕=(2)方程(点法式): 000:()()()00A x x B y y C z z Ax By Cz D π-+-+-=⇒+++= (3)其它: *截距式1x y za b c++=; *三点式2.直线L(1)特征(基本量): 0000(,,)(,,)M x y z s m n p ⊕= (2)方程(点向式): 000:x x y y z z L m n p---== (3)一般方程(交面式): 111122220A xB yC zD A x B y C z D +++=⎧⎨+++=⎩(4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段AB 的参数表示:121121121()(),[0,1]()x a a a t y b b b t t z c c c t=+-⎧⎪=+-∈⎨⎪=+-⎩)3. 实用方法:(1)平面束方程: 11112222:()0A x B y C z D A x B y C z D πλ+++++++= (2)距离公式: 如点000(,)M x y到平面的距离d =(3)对称问题;(4)投影问题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面(1)形式∑: (,,)0F x y z = 或(,)z f x y =; (注: 柱面(,)0f x y =) (2)法向(,,)(cos ,cos ,cos )x y z n F F F αβγ=⇒ (或(,1)x y n z z =--)2. 曲线(1)形式():()()x x t y y t z z t =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩, 或(,,)0(,,)0F x y z G x y z =⎧⎨=⎩;(2)切向: {'(),'(),'()}s x t y t z t = (或12s n n =⨯)3. 应用(1)交线, 投影柱面与投影曲线;(2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转;(3)锥面计算.四. 常用二次曲面1. 圆柱面: 222x y R += 2. 球面: 2222x y z R ++=变形: 2222x y R z +=-,z =,2222x y z az ++=, 2222000()()()x x y y z z R -+-+-=3. 锥面: z =变形: 222x y z +=, z a = 4. 抛物面: 22z x y =+,变形: 22x y z +=, 22()z a x y =-+ 5. 双曲面: 2221x y z +=± 6. 马鞍面: 22z x y =-, 或z xy =五. 偏导几何应用 1. 曲面(1)法向: (,,)0(,,)x y z F x y z n F F F =⇒=, 注: (,)(,1)x y z f x y n f f =⇒=- (2)切平面与法线:2. 曲线(1)切向: (),(),()(',',')x x t y y t z z t s x y z ===⇒= (2)切线与法平面3. 综合: :Γ00F G =⎧⎨=⎩, 12s n n =⨯六. 方向导与梯度(重点) 1. 方向导(l 方向斜率):(1)定义(条件): (,,)(cos ,cos ,cos )l m n p αβγ=⇒ (2)计算(充分条件:可微):cos cos cos x y z uu u u lαβγ∂=++∂ 附: 0(,),{cos ,sin }z f x y l θθ==cos sin x y zf f lθθ∂⇒=+∂ (3)附: 2222cos 2sin cos sin xx xy yy f f f f lθθθθ∂=++∂2. 梯度(取得最大斜率值的方向) G :(1)计算:()(,)(,)x y a z f x y G gradz f f =⇒==; ()(,,)(,,)x y z b u f x y z G gradu u u u =⇒== (2)结论 ()a ul∂∂0G l =⋅; ()b 取l G =为最大变化率方向; ()c 0()G M 为最大方向导数值.第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分(fdV Ω⎰⎰⎰)1. Ω域的特征(不涉及复杂空间域):(1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: 22212{(,)}(,)(,)xy D x y x y R z x y z z x y =+≤⊕≤≤ (3)截面法: 222(){(,)()}D z x y x y R z a z b =+≤⊕≤≤ (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. f 的特征:(1)单变量()f z , (2)22()f x y +, (3)222()f x y z ++, (4)f ax by cz d =+++ 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *dv Ω⎰⎰⎰; *利用对称性(重点)(2)截面法(旋转体): ()baD z I dz fdxdy =⎰⎰⎰(细腰或中空, ()f z , 22()f x y +)(3)投影法(直柱体): 21(,)(,)xyz x y z x y D I dxdy fdz =⎰⎰⎰(4)球坐标(球或锥体): 220sin ()RI d d f d παθϕϕρρ=⋅⋅⋅⎰⎰⎰,(5)重心法(f ax by cz d =+++): ()I ax by cz d V Ω=+++ 4. 应用问题:(1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)Gauss 公式二. 第一类线积分(Lfds ⎰)1. “积”前准备:(1)Lds L =⎰; (2)对称性; (3)代入“L ”表达式2. 计算公式:()[,]((),(()b aLx x t t a b fds f x t y t y y t =⎧∈⇒=⎨=⎩⎰⎰3. 补充说明: (1)重心法:()()Lax by c ds ax by c L ++=++⎰;(2)与第二类互换: LLA ds A dr τ⋅=⋅⎰⎰4. 应用范围(1)第一类积分 (2)柱体侧面积 (),Lz x y ds ⎰三. 第一类面积分(fdS ∑⎰⎰)1. “积”前工作(重点): (1)dS ∑=∑⎰⎰; (代入:(,,)0F x y z ∑=)(2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式:(1)(,),(,)(,,(,xyxy D z z x y x y D I f x y z x y =∈⇒=⎰⎰(2)与第二类互换:A ndS A d S ∑∑⋅=⋅⎰⎰⎰⎰四: 第二类曲线积分(1):(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰ (其中L 有向)1. 直接计算: ()()x x t y y t =⎧⎨=⎩,2112:['()'()]t t t t t I Px t Qy t dt →⇒=+⎰常见(1)水平线与垂直线; (2)221x y += 2. Green 公式: (1)()LDQ PPdx Qdy dxdy x y∂∂+=-∂∂⎰⎰⎰; (2)()L A B →⎰: *P Q y y ∂∂=⇒∂∂换路径; *P Q y y∂∂≠⇒∂∂围路径(3)L⎰(x y Q P =但D 内有奇点)*LL =⎰⎰(变形)3. 推广(路径无关性):P Q y y∂∂=∂∂ (1)Pdx Qdy du +=(微分方程)()BA L AB u →⇔=⎰(道路变形原理)(2)(,)(,)LP x y dx Q x y dy +⎰与路径无关(f 待定): 微分方程.4. 应用功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰(Γ有向τ,(,,)F P Q R =,(,,)d r ds dx dy dz τ==)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰, 或(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰ (其中∑含侧)2. 计算:(1)定向投影(单项):(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰, 其中:(,)z z x y ∑=(特别:水平面);注: 垂直侧面, 双层分隔(2)合一投影(多项,单层): (,,1)x y n z z =-- [()()]xyPdydz Qdzdx Rdxdy P z Q z R dxdy ∑∑⇒++=-+-+⎰⎰⎰⎰(3)化第一类(∑不投影): (cos ,cos ,cos )n αβγ= (cos cos cos )Pdydz Qdzdx Rdxdy P Q R dS αβγ∑∑⇒++=++⎰⎰⎰⎰3. Gauss 公式及其应用: (1)散度计算: P Q R divA x y z∂∂∂=++∂∂∂ (2)Gauss 公式: ∑封闭外侧, Ω内无奇点Pdydz Qdzdx Rdxdy divAdv ∑Ω++=⎰⎰⎰⎰⎰(3)注: *补充“盖”平面:0∑∑+⎰⎰⎰⎰; *封闭曲面变形∑⎰⎰(含奇点)4. 通量与积分: A d S ∑Φ=⋅⎰⎰ (∑有向n ,(),,A P Q R =,(,,)d S ndS dydz dzdx dxdy ==)六: 第二类曲线积分(2):(,,)(,,)(,,)P x y z dx Q x y z dy R x y z dz Γ++⎰1. 参数式曲线Γ: 直接计算(代入)注(1)当0rot A =时, 可任选路径; (2)功(环流量):I F dr Γ=⋅⎰2. Stokes 公式: (要求: Γ为交面式(有向), 所张曲面∑含侧) (1)旋度计算: (,,)(,,)R A P Q R x y z∂∂∂=∇⨯=⨯∂∂∂ (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 0F G =⎧⇒⎨=⎩同侧法向{,,}x y z n F F F =或{,,}x y z G G G ;(3)Stokes 公式(选择): ()A dr A ndS Γ∑⋅=∇⨯⋅⎰⎰⎰(a )化为Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰; (b )化为(,,)R x y z dxdy ∑⎰⎰; (c )化为fdS ∑⎰⎰高数重点知识总结1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xa y =)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c) 2、分段函数不是初等函数。

大一高数知识点笔记

大一高数知识点笔记一、函数与极限1. 函数的概念函数是一种特殊的关系，它将一个数集映射到另一个数集。

在数学中，我们用f(x)表示函数，其中x表示自变量，f(x)表示与x对应的函数值。

2. 极限的定义在函数的定义域内，当自变量趋近于某个值时，如果函数的函数值趋近于一个确定的值，那么这个确定的值就是极限。

数学上用lim表示极限。

3. 重要的极限公式- 极限四则运算法则- 基本初等函数的极限- 夹逼定理- 无穷小量与无穷大量的极限二、导数与微分1. 导数的定义导数是描述函数在某一点的变化率。

对于函数f(x)，其导数可以通过极限的方法定义为f'(x) = lim((f(x+h)-f(x))/h)，其中h趋近于0。

2. 常见函数的导数- 幂函数的导数- 指数函数与对数函数的导数- 三角函数的导数3. 导数的基本运算法则- 常数乘法法则- 和差法则- 乘法法则- 除法法则- 复合函数的导数4. 微分的概念微分是导数的一种形式，它是函数在某一点的线性逼近。

微分可以表示为df(x) = f'(x)dx。

三、积分与应用1. 积分的定义积分是导数的逆运算，用来求解曲线下的面积、求解函数的原函数等。

数学上用∫表示积分。

2. 定积分与不定积分- 定积分是求解函数在一定区间上曲线下的面积，可以用定积分符号表示∫[a,b]f(x)dx。

- 不定积分是求解函数的原函数，可以用不定积分符号表示∫f(x)dx。

3. 积分的基本公式- 常数乘法法则- 和差法则- 分部积分法- 替换变量法4. 积分的应用- 面积与曲线长度的计算- 物理学中的应用：质量、能量、功等- 经济学中的应用：消费、生产函数等四、级数与收敛性1. 级数的定义级数是由一列数按照一定规律相加得到的无穷数列。

数学上用∑表示级数。

2. 数项级数与部分和数项级数是级数中的每一项，部分和是前n项的和。

3. 收敛与发散如果数项级数的部分和能够在某个值上趋于有限的数，那么该级数就是收敛的；否则，该级数就是发散的。

高等数学第八章笔记

高等数学第八章笔记一、多元函数的基本概念。

1. 多元函数的定义。

- 设D是n维空间R^n中的一个非空子集，映射f:D→ R称为定义在D 上的n元函数，记为z = f(x_1,x_2,·s,x_n)，(x_1,x_2,·s,x_n)∈ D。

- 当n = 2时，z=f(x,y)，(x,y)∈ D，D是xy-平面上的一个区域。

2. 多元函数的极限。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数varepsilon，总存在正数δ，使得当0<√((x - x_0))^2+(y - y_{0)^2}<δ时，都有| f(x,y)-A|成立，则称常数A为函数z = f(x,y)当(x,y)to(x_0,y_0)时的极限，记作lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=A。

- 注意：(x,y)to(x_0,y_0)是指(x,y)以任何方式趋向于(x_0,y_0)。

3. 多元函数的连续性。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，如果lim_(x,y)to(x_{0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0)，则称函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)处连续。

- 如果函数z = f(x,y)在区域D内的每一点都连续，则称函数z = f(x,y)在区域D内连续。

二、偏导数。

1. 偏导数的定义。

- 设函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)的某邻域内有定义，固定y = y_0，函数z = f(x,y_0)在x = x_0处的导数，称为函数z = f(x,y)在点(x_0,y_0)对x的偏导数，记作f_x(x_0,y_0)或(∂ z)/(∂ x)|_(x_{0,y_0)}，即f_x(x_0,y_0)=lim_Δ xto0frac{f(x_0+Δ x,y_0) - f(x_0,y_0)}{Δ x}。

(完整版)高等数学笔记(可编辑修改word版)

⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1．数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2．函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点（点 x0 除外）有：
第一章函数、极限和连续 §1.1 函数
一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1．无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2．无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3．无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B

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第一章函数、极限和连续§1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1)4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极限一、主要内容㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。

高数学公式和知识点笔记

高数学公式和知识点笔记高等数学是一门重要的基础学科，包含了众多的公式和知识点。

以下是我为大家整理的一份较为全面的高数学公式和知识点笔记，希望能对大家的学习有所帮助。

一、函数与极限（一）函数函数的概念：设 x 和 y 是两个变量，D 是给定的数集，如果对于每个 x∈D，按照某种确定的对应关系 f，变量 y 都有唯一确定的值与之对应，则称 y 是 x 的函数，记作 y ＝ f(x)，x∈D。

函数的性质：1、单调性：若对于定义域内的任意 x₁＜ x₂，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞ f(x₂)），则称函数 f(x)在该区间上单调递增（或单调递减）。

2、奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数f(x)为偶函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数。

（二）极限极限的定义：设函数 f(x)在点 x₀的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当 x 满足 0 ＜｜x x₀| ＜δ 时，对应的函数值 f(x)都满足|f(x) A|＜ε，那么常数 A 就叫做函数 f(x)当x→x₀时的极限，记作lim(x→x₀) f(x) ＝ A。

极限的运算：1、四则运算：若lim(x→x₀) f(x) ＝ A，lim(x→x₀) g(x) ＝ B，则lim(x→x₀) f(x) ± g(x) ＝ A ± B；lim(x→x₀) f(x) × g(x) ＝ A × B；lim(x→x₀) f(x) ／ g(x) ＝ A ／ B（B ≠ 0）。

2、两个重要极限：lim(x→0) （sin x ／ x) ＝ 1；lim(x→∞）（1 ＋1 ／ x)ⁿ ＝ e（n 为常数）。

二、导数与微分（一）导数导数的定义：函数 y ＝ f(x)在点 x₀处的导数 f'（x₀) ＝lim(Δx→0) f(x₀＋Δx) f(x₀) ／Δx。

高等数学(一)学习笔记

在，則稱函數 y=f(x)在點 x0 處可導，并稱這個極限为函數 y=f(x)在點 x0 處的導數，記为
y’|x=x0,即：
m
y’|x=x0= lim = lim
n n→0
n→0
f (x0
+ n) − n
f
(x0
)
,或
f’(
x0
),
dy dx
df (x) | x=x0 , dx
| x=x0
f (x + n) − f (x)
A、定理一(无穷小与函数极限的关系)：在自变量的同一变化过程中(x → x0 或 x → ∞ )，具有极限
的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果一函数可表示为一常数和无穷小之和，则这常数即为这函数的极限。
B、运算法则：I，有限个无穷小的和也是无穷小。II，有界函数与无穷小的积是无穷小(常数与无穷小的积是无穷小;有限个无穷小的积也是无穷小) C、无穷小的比较：
4、切線方程： y − y0 = f ' (x0 )(x − x0 )
1
法線方程：
y
−
y0
=
−
f
(x '(x0 )
−
x0 )
5、可導与連續的關係：可導一定連續，連續不一定可導。
6、反函數的導數：反函數的導數等於直接函數導數的倒數。即 f ' (x) = 1 (無需換元) ϕ ' ( y)
dy dy du 7、複合函數的求導：複合前之各函數在其有效的定義域內可導，則複合函數也可導，且 =
22
反余切函数：y=Arccosx 定义域 D={ x 一 ∞ ≤ x ≤ + ∞ },为多值函数，π 为周期。若限制值域为

高数笔记(定理和常用公式)

ln(1 x) x
x 2 x3 2 3
(1) n 1
x2n x 2n2 (1) n 1 cos x (2n)! (2n 2)! xn x n 1 (1) n n (n 1)(1 x) n 1 n 1 ( n 1) xn x (1 x) n n 1
(3)对于
f ( x) f ( x0 ) lim g ( x), x x0 (1) f ( x)很复杂，按定义求,f ( x0 ) x x0 x x0 f ( x) , A,x x0 (2)否则，先求出f ( x)，再求 lim f ( x)
x x0
0 1
tg 3
半角公式
3tg tg 3 1 3tg 2
1 cos 1 cos sin cos 2 2 2 2
tg
1 cos 1 cos sin 2 1 cos sin 1 cos
6.对数求导法 7.分段函数求导 (1)按求导法则求连接点处的左右导数设 3.2 泰勒公式求泰勒公式的方法：
f (b) f (a) f ( ) g (b) g (a) g ( )
g ( x), x x x0 ( x0 ) h ( x0 ) A, 则f ( x0 ) A. f ( x) , 若g h( x), x0 x x
x x2 1! 2!

xn x n 1 x e n ! (n 1)! (1) n 1 (1) n x 2 n 1 x 2 n 1 (1) n cos x (2n 1)! (2n 1)!
sin x x cos x 1