高一：零点问题的解题方法
二次函数零点问题题类型方法总结
二次函数零点问题题类型方法总结二次函数是高中数学中的重要内容，求其零点是常见的题目类型之一。
本文将对二次函数零点问题的题型和解题方法进行总结。
题型总结在求解二次函数零点的过程中，常见的题型可以归纳为以下几种：1. 一元二次方程的解法：给定一个一元二次方程，要求求解方程的解。
2. 零点的个数：给定一个二次函数，要求计算其零点的个数。
3. 零点的坐标：给定一个二次函数，要求计算其零点的坐标。
4. 求参数：已知一个二次函数的零点和另外一个点的坐标，要求求解该二次函数的参数。
解题方法总结对于不同的题型，可以采用不同的解题方法来求解二次函数零点问题。
以下是常见的解题方法总结：1. 完全平方公式：对于一元二次方程，可以使用完全平方公式进行求解，即 $$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$。
通过代入方程中的系数，即可得到方程的解。
2. 判别式法：通过计算方程的判别式来判断二次函数的零点个数。
若判别式 $$\Delta=b^2-4ac$$ 大于0，则方程有两个不相等的实数根；若判别式等于0，则方程有两个相等的实数根；若判别式小于0，则方程没有实数根。
3. 坐标法：对于求零点坐标的问题，可以通过将二次函数表示为顶点形式，然后根据顶点坐标和其他给定的坐标求解未知参数，进而得到零点的坐标。
4. 求参数法：对于求参数的问题，可以利用已知的零点坐标和另一点的坐标，构建方程组，然后通过解方程组求解未知参数。
总结通过以上的总结，我们可以了解到二次函数零点问题的常见题型和解题方法。
在实际解题中，根据题目要求选择合适的方法，并根据具体情况灵活运用，以获得正确的解答。
希望本文对您理解和解决二次函数零点问题有所帮助。
考点1零点的求法及零点的个数
考点 1零点的求法及零点的个数题型 1：求函数的零点。
[例1]求函数 y x32x2x 2的零点.[ 解题思路 ] 求函数yx 32x 2x 2的零点就是求方程 x 32x 2x 2 0的根[解析]令 x32x2x 2 0，∴ x2 ( x 2) ( x 2) 0∴ (x 2)( x 1)( x 1) 0 ，∴x1或x 1或 x 2即函数yx32x 2x2的零点为 -1 ，1，2。
[ 反思归纳 ]函数的零点不是点，而是函数函数y f ( x) 的图像与x轴交点的横坐标，即零点是一个实数。
题型 2：确定函数零点的个数。
[例2]求函数 f(x)=lnx＋2x － 6 的零点个数 .[ 解题思路 ] 求函数 f(x)=lnx＋ 2x －6 的零点个数就是求方程 lnx ＋ 2x －6=0 的解的个数[ 解析 ] 方法一：易证 f(x)= lnx＋ 2x －6 在定义域(0,)上连续单调递增，又有 f (1) f (4)0，所以函数 f(x)= lnx ＋ 2x－6 只有一个零点。
方法二：求函数 f(x)=lnx ＋2x－ 6 的零点个数即是求方程lnx ＋2x－ 6=0 的解的个数y ln x即求y62x 的交点的个数。
画图可知只有一个。
[ 反思归纳 ]求函数y f ( x)的零点是高考的热点，有两种常用方法：①（代数法）求方程f ( x)0的实数根；②（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y f ( x)的图像联系起来，并利用函数的性质找出零点。
题型 3：由函数的零点特征确定参数的取值范围[ 例3] (2007 ·广东 ) 已知 a 是实数 , 函数f x2ax22x 3a, 如果函数y f x在区间1,1上有零点，求 a 的取值范围。
[ 解题思路 ] 要求参数 a 的取值范围，就要从函数y f x 在区间1,1 上有零点寻找关于参数 a 的不等式（组），但由于涉及到 a 作为x2的系数，故要对 a 进行讨论[ 解析]若a 0, f ( x)2x 3 ,显然在1,1上没有零点 ,所以a 0.48a 3a8a 224a4, 解得a37令2 a37y f x1,12时,上;①当恰有一个零点在②当f1 f 1a1a50 ，即1 a 5 时，yf x在1,1 上也恰有一个零点。
函数零点问题-学会解题之高三数学多题一解【原卷版】
函数零点问题【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查.类型一 零点或零点存在区间的确定万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0； 第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【变式演练1】（2023·全国·高三专题练习）在下列区间中，函数()23xf x x =--的零点所在的区间为（ ）A ．)(01，B ．()12，C ．()23，D ．()34，【变式演练2】（2022·江苏·金沙中学高一阶段练习）函数sin sin()13y x x π=-+-在区间(0,2)π上的零点所在的区间为（ ）A ．(0,)2πB ．(,)2ππC ．3(,)2ππ D ．3(,2)2ππ 【变式演练3】（2022·全国·高一课时练习）已知函数()226xf x x =+-的零点为0x ，不等式06x x ->的最小整数解为k ，则k ＝（ ） A ．8B ．7C ．5D ．6类型二 零点的个数的确定方法1：定义法万能模板 内 容使用场景一般函数类型解题模板 第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其 零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【变式演练4】（2022·重庆·三模）已知函数()21,02log ,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，则函数()()12g x f x =-的零点个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【变式演练5】（2023·全国·高三专题练习）已知函数|2|1()2x f x -=，()g x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)(2)g x g x +=-，当[0,2]x ∈时，2()log (1)g x x =+．则当[0,2022]x ∈时，方程()()f x g x =实根的个数为_______．【变式演练6】（2022·北京·高三开学考试）已知函数()x af x a x a+=--，给出下列四个结论： ①存在a ，使得函数()f x 可能没有零点； ②存在a ，使得函数()f x 恰好有1个零点； ③存在a ，使得函数()f x 恰好有2个零点； ④存在a ，使得函数()f x 恰好有3个零点. 其中所有正确结论的序号是______.方法2：数形结合法万能模板 内 容使用场景 一般函数类型解题模板第一步 函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题； 第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像；第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. 方程3()|log |3x x =的解的个数是 （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0【变式演练7】（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，满足()()1f x f x +=-，当[]0,1x ∈时，()πcos 2f x x =，则函数()y f x x =-的零点个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【变式演练8】（2022·河北省曲阳县第一高级中学高三阶段练习）（多选）已知函数()31,0log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨->⎩，若()()()1g x f f x =+，则下列说法正确的是（ ） A ．当0a >时，()g x 有4个零点 B ．当0a >时，()g x 有5个零点 C ．当0a <时，()g x 有1个零点D ．当0a <时，()g x 有2个零点【变式演练9】（2022·湖南师大附中三模）（已知）已知函数()[)[)1,0,1,21,1,2,3x x f x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪-⎩对定义域内任意x ，都有()(2)f x f x =-，若函数()()=-g x f x k 在[0，+∞）上的零点从小到大恰好构成一个等差数列，则k 的可能取值为（ ） A ．0B ．1C 2D 21【高考再现】1．【2021年北京市高考数学试题】已知函数，给出下列四个结论： ①若，则有两个零点； ①，使得有一个零点； ①，使得有三个零点； ①，使得有三个零点． 以上正确结论得序号是_______．2.【2021年天津高考数学试题】设，函数，若在区间()lg 2f x x kx =--0k =()f x 0k ∃<()f x 0k ∃<()f x 0k ∃>()f x a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．3.【2020年高考天津卷9】已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx xk =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是（ ） A ．1,(22,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,(0,22)2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．(,0)(0,22)-∞ D ．(,0)(22,)-∞+∞4.【2020年高考上海卷11】已知a R ∈，若存在定义域为R 的函数()f x 同时满足下列两个条件，①对任意0x R ∈，0()f x 的值为0x 或02x ；②关于x 的方程()f x a =无实数解；则a 的取值范围为 ．5. 【2016高考天津理数】已知函数f （x ）=2(4,0,log (1)13,03)a x a x a x x x ⎧+<⎨++≥-+⎩（a >0,且a ≠1）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ） （A ）（0，23] （B ）[23，34] （C ）[13，23]{34}（D ）[13，23）{34}6.【2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷）】已知λ①R ，函数f (x )={x −4,x ≥λx 2−4x +3,x <λ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________①7.【2017江苏】设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上,2,,(),,x x D f x x x D ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩其中集合1,*n D x x n n -⎧⎫==∈⎨⎬⎩⎭N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 .8.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）】已知a >0，函数f(x)={x 2+2ax +a, x ≤0,−x 2+2ax −2a,x >0.若关于x 的方程f(x)=ax 恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是______________.【反馈练习】1．函数的图象与函数的图象交点横坐标所在的区间可能为（ ）95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭()()=x f x e ()2ln g x x =-A ．B ．C ．D ．【来源】重庆市南开中学2022届高三上学期7月考试数学试题2．（2022·河南·高三阶段练习（文））已知直线l 与曲线ln (01)y x x =<<相切于点00(,)M x y ，若OM l ⊥，则0x 所在的取值区间是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭3．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）已知函数()()2ln 16f x x x =++-，则下列区间中含()f x 零点的是（ ）A ．()0,1B ．()1,2C ．()2,3D ．()3,44．（2023·全国·高三专题练习）已知()=ln f x x ，()e x g x =，若()()f s g t =，则当s t -取得最小值时，()g t 所在区间是（ ） A ．11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．11,e 2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()ln 2,1D ．1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭5．（2023·全国·高三专题练习）正实数,,a b c 满足422,33,log 4ab a bc c -+=+=+=，则实数,,a b c 之间的大小关系为（ ） A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c d <<D ．b c a <<6．（2022·江西·南昌二中高三开学考试（理））已知a 是()323652f x x x x =--+-的一个零点，b 是()e 1x g x x =++的一个零点，132log 5c =，则（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．a c b <<或c b a <<7．（2022·陕西·武功县普集高级中学高三阶段练习（理））定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x x x =+-，则函数()()21g x xf x x=-的零点个数为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．68．（2022·甘肃·兰州市第五十五中学高三开学考试（文））定义域在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，12log (1),01()13,1x x f x x x +≤<⎧⎪=⎨⎪--≥⎩，则关于x 的函数()()12g x f x =-的所有零点的和是（ ）A 21B ．122C ．122-D ．129．（2022·河南·高三开学考试（文））已知定义域为R 的偶函数()f x 的图像是连续不间断的曲线，且()0,1()1,2()2,3()3,4(2)()(1)f x f x f ++=，对任意的1x ，20[]2,x -∈，12x x ≠，()()12120f x f x x x ->-恒成立，则()f x 在区间[]100,100-上的零点个数为（ ） A ．100B ．102C ．200D ．20210．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()33f x x x =-，则函数()()h x f f x c =-⎡⎤⎣⎦，[]2,2c ∈-的零点个数（ ） A ．5或6个B ．3或9个C ．9或10个D ．5或9个11．（2023·全国·高三专题练习）若()f x 为奇函数，且0x 是()2e x y f x =-的一个零点，则0x -一定是下列哪个函数的零点（ ）A ．()e 2x y f x -=--B ．()e 2x y f x =+C ．()e 2x y f x =-D ．()e 2x y f x =-+12．（2022·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数()222,0,23,0lnx x x x f x x x x ⎧-+>=⎨--≤⎩的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．313．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数()2,1,121,11,,1,1xx x f x x x x x x ⎧<-⎪+⎪=--≤≤⎨⎪⎪>-⎩方程()()()()2220f x a f x a a R -++=∈的不等实根个数不可能是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个14．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知函数e x y x =+的零点为1x ，ln y x x =+的零点为2x ，则（ ） A ．120x x +>B ．120x x <C ．12ln 0xe x +=D ．12121x x x x -+<15．（2022·福建·上杭一中高三阶段练习）（多选）已知函数()1,0ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，下列关于函数()1y f f x =+⎡⎤⎣⎦的零点个数判断正确的是（ ） A ．当0k <时，有1个零点； B ．当0k >时，有4个零点； C ．无论k 取何值，均有2个零点；D ．无论k 取何值，均有4个零点；16．（2022·全国·高二专题练习）设定义域为(0,)+∞的单调函数()f x ，对任意的,()0x ∈+∞，都有[]3()log 4f f x x -=，若0x 是方程()2()3f x f x '-=的一个解，且*0,(1),N x a a a ∈+∈，则实数a =_____． 17．（2022·重庆·高三阶段练习）函数||21()2x f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点个数是______．18．（2021·福建·福州市第十中学高三开学考试）已知函数24,1()lg 1,1x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩，则((9))f f -=__________，()f x 的零点个数为__________个．19．已知函数有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________. 【来源】河北省衡水市饶阳中学2021届高三5月数学精编试题20．【陕西省榆林市2020-2021学年高三上学期第一次高考模拟测试文科】已知函数2,0()12,02x e x f x x x x ⎧≤⎪=⎨-+->⎪⎩. （1）求斜率为12的曲线()y f x =的切线方程； （2）设()()f x g x m x=-，若()g x 有2个零点，求m 的取值范围.()()112 ()1421x x f x k -=-+-。
热点15 函数的零点问题处理策略与解题技巧-2022年高考数学核心热点突破
当 时， ，
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得则 ，（舍去）；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得 ，（舍去），
所以函数 ．当 时，函数 的最大值 与最小值 的差为2， 或 ，
综上： .
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
在 时有2个交点,符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时有2个交点,不符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时无交点,不符合题意；
若 ,,直线 与 的图象至多有一个交点，不符合题意.
所以只有 符合题意.
故选：D.
7.函数 ， 的图象与直线 （ 为常数）的交点可能有（）
一、单选题
5.函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出 在 上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
【详解】∵ 和 在 上是增函数，
函数零点问题基本解题策略
（3） 函数图像的交点： 通过作图可直观的观察到交点的 个数， 并能初步判断交点所在区间．
三者转化： 函数 ｆ（ｘ）的零点圯方程 ｆ（ｘ）=0 的根 方程变形 方 程 g（ｘ）=h（ｘ）的根圯函数 g（ｘ）与 h（ｘ）的交点．
A． -1
B． -2
C． 2-2 姨 2
D． 1-2 姨 2
【解析】 因为 ｆ ′（ｘ）=1- １ = ｘ+1 ，所以函数在（-2，-1）上 ｘ+２ ｘ+２
单调递减，在（-1，+∞）单调递增，故 ｆ （ｘ）min=ｆ （-1）=0，故 x=-1 为方程的根，故 x1=-1，故│-1-x2│≤1，解得-2≤x2≤0，所以 g（x）=x2-2ax+4a+4=0 在[-2，0]上有解，即 2a= ｘ2+4 在[-2，0]上有
【例 5】
0
（'
' '
1 2
x+1）3，
-2≤x≤0
已知函数
f（x）=
' &
'
'
1
， x＞0
的横坐标， 是方程 ｆ（ｘ）=0 的根．
应用举例：
1. 函数零点所在区间的判断
【例 1】
函数
ｆ（ｘ）=lnｘ-
2 ｘ2
的零点所在的区间为
（
）
A． （0， 1）
B． （1， 2）
C． （2， 3）
D． （3， 4）
【解析】 由题干
知道原函数是增函
数， 故可以根据零
高一数学零点问题解题技巧
高一数学零点问题解题技巧
1. 零点存在性定理：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，即f(a) f(b) < 0，则函数在区间(a,b)内至少存在一个零点。
2. 二分法：如果函数在区间[a,b]上连续，且f(a)和f(b)异号，则可以通过不断将区间[a,b]分成两半，并判断中间点的函数值是大于0还是小于0，来确定零点所在的子区间。
3. 函数零点与方程根的关系：如果函数y=f(x)在x=a处的值为0，即
f(a)=0，则x=a是方程f(x)=0的根。
反之，如果x=a是方程f(x)=0的根，则f(a)=0。
4. 零点存在定理的推论：如果函数在区间[a,b]上连续，且在该区间上函数值从正变负或从负变正，则函数在该区间内至少存在一个零点。
5. 零点定理的应用：在求解方程的根、判断函数的单调性、求函数的极值等方面都有应用。
高中数学函数零点问题及解题策略探究
高中数学函数零点问题及解题策略探究郭文峰(福建省宁德市民族中学ꎬ福建宁德３５５０００)摘㊀要:函数是高中数学学习的重难点ꎬ函数零点问题则是函数的重点所在.本论文结合具体的例题ꎬ对不同类型的函数零点问题的解题方式进行了探究.关键词:高中数学ꎻ零点问题ꎻ策略探究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３６－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:郭文峰(１９８３.２－)ꎬ男ꎬ福建省福安人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀函数零点是沟通函数㊁方程和图象的重要媒介ꎬ充分体现了函数和方程之间的内在联系ꎬ也蕴含了丰富的数学思想.在函数零点问题解答中ꎬ由于题目类型不同ꎬ解题思路也就有所不同ꎬ学生不仅要理清这一类型题目的特点ꎬ还应掌握多种零点问题的解答方法ꎬ才能灵活应对各种函数零点问题的解答ꎬ真正提升学生的解题效率.１高中函数零点问题常考类型分析１.１求函数零点的值求函数零点值问题只要掌握了函数零点的定义ꎬ将函数问题转化成为方程ꎬ即可通过方程的根得出函数的零点值.例１㊀已知ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ２－４ｘꎬ求该函数的零点.㊀解析㊀令ｆ(ｘ)＝０ꎬ即ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０ꎬ解方程得出ｘ１＝０ꎬｘ２＝４ꎬｘ３＝－１.因此ꎬ函数ｆ(ｘ)的零点就是ｘ３－３ｘ２－４ｘ＝０的三个根ꎬ即０ꎬ４ꎬ－１.例２㊀已知ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂꎬ求该函数的极值点.解析㊀由题可知ｆᶄ(ｘ)＝２ｘ(３ｘ－ａ)ꎬ令ｆᶄ(ｘ)＝０ꎬ得出ｘ＝０或ｘ＝ａ３.当ａ＝０时ꎬ在(－¥ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)ȡ０.因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎬ不存在极值点.当ａ>０时ꎬ在(－¥ꎬ０)ꎬ(ａ３ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ因此ꎬｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ在该区间内单调递增ꎻ在(０ꎬａ３)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.此时ꎬ该函数具备极大值点０ꎬ极小值点ａ３.当ａ<０时ꎬ在(－¥ꎬａ３)ꎬ(０ꎬ＋¥)上ꎬｆᶄ(ｘ)>０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递增ꎻ在(ａ３ꎬ０)上ꎬｆᶄ(ｘ)<０ꎬ则ｆ(ｘ)＝２ｘ３－ａｘ２＋ｂ单调递减.因此ꎬ该函数具备极大值点ａ３ꎬ极小值点为０[１].１.２求函数零点个数此类题目可以先将函数的零点求出来ꎬ然后看零点一共有多少个ꎻ还可以利用零点存在性定理ꎬ并结合函数的单调性ꎬ对函数零点的个数进行确定ꎻ也可以通过构造函数的方式ꎬ将函数的零点问题进行转化ꎬ使其成为求函数图象的交点个数问题.例３㊀求函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ的零点６３个数.解析㊀令ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ＝０ꎬ得出ｌｏｇ０.５ｘ＝(１２)ｘꎬ令ｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘꎬ绘制出函数图象(如图１所示).图１结合图象分析得出ꎬｙ１＝ｌｏｇ０.５ｘꎬｙ２＝(１２)ｘ之间存在两个交点.因此ꎬ原函数ｆ(ｘ)＝ｌｏｇ０.５ｘ－(１２)ｘ存在２个零点.例４㊀已知ａ>１ｅꎬ判断ｆ(ｘ)＝ａｘ２＋(ａ＋１)ｘ－(ａ＋１)ｘｌｎｘ－１的零点个数.解析㊀在函数定义域(０ꎬ＋¥)内ꎬｆᶄ(ｘ)＝２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘꎬ令２ａｘ－(ａ＋１) ｌｎｘ＝ｈ(ｘ)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝２ａ－ａ＋１ｘ＝２ａｘ－(ａ＋１)ｘ.令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ则ｘ＝ａ＋１２ａ.当０<ｘ<ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)<０ꎻ当ｘ>ａ＋１２ａ时ꎬ则ｈᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)在区间(０ꎬａ＋１２ａ)内单调递减ꎬ在区间(ａ＋１２ａꎬ＋¥)内单调递增ꎬ因此ꎬｆᶄ(ｘ)的最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ).因为ａ>１ｅꎬ所以ａ＋１２ａ＝１２＋１２ａ<１２＋ｅ２<ｅꎬ即ｆᶄ(ｘ)最小值为ｆᶄ(ａ＋１２ａ)＝(ａ＋１)(１－ｌｎａ＋１２ａ)>０.因此ꎬｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)单调递增ꎬ至多存在一个零点.因为ｆ(１)＝２ａ>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间(１ꎬ＋¥)内没有零点.又因为ａ为常数ꎬ当ｘң０时ꎬ在原函数中ꎬａｘ２ң０ꎬ(ａ＋１)ｘң０ꎬｌｎｘң－¥ꎬ所以ｆ(ｘ)ң－１<０.综上ꎬ函数ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ１)内有一个零点ꎬ在(０ꎬ＋¥)内有一个零点[２].１.３求函数零点的范围例５㊀已知函数ｆ(ｘ)＝１ｘ－２ｘ在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ则正整数ｎ的值为多少?解析㊀易知函数ｆ(ｘ)为减函数ꎬ因为ｆ(１２)＝２－２>０ꎬｆ(１)＝１－２<０ꎬ因此该函数在(１２ꎬ１)中存在零点.同时ꎬ由已知条件得出ｆ(ｘ)在(ｎ－１ｎꎬｎｎ＋１)上存在零点ꎬ因此ꎬ０<ｎ－１ｎ<ｎｎ＋１<１ꎬ得出ｎɤ２ꎻ将ｎ＝２代入ｎｎ＋１ꎬ得出ｎｎ＋１＝２３ꎬ所以ｆ(２３)<０ꎬ因此ｎ＝２符合题意.１.４根据函数零点个数求解参数范围１.４.１基于转化思想解决零点问题例６㊀已知函数ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１ꎬｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘ(ｘ>０).(１)若ｇ(ｘ)＝ｍ存在零点ꎬ求ｍ的取值范围ꎻ(２)确定ｍ的取值范围ꎬ使得函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.解析㊀(１)因为ｇ(ｘ)＝ｘ＋ｅ２ｘȡ２ｅ２＝２ｅ(ｘ>０)ꎬ当且仅当ｘ＝ｅ２ｘ时ꎬ取等号.因此ꎬ该函数存在最小值ꎬ即２ｅ.所以ꎬ当ｍɪ[２ｅꎬ＋¥)时ꎬ函数存在零点.(２)要使得ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点ꎬ即ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)＝０存在两个不同的实数根(如图２所示)ꎬ即两个函数的图象有两个不同的交点.因为ｆ(ｘ)＝－ｘ２＋２ｅｘ＋ｍ－１＝－(ｘ－ｅ)２＋ｍ－１＋ｅ２ꎬ其对称轴为ｘ＝ｅ.所以当ｍ>－ｅ２＋２ｅ＋１７３图２时ꎬ函数ｈ(ｘ)＝ｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)存在两个零点.１.４.２基于数形结合思想解决零点问题在高中函数零点问题中ꎬ数形结合思想是一种非常有效的方法ꎬ主要是借助函数零点的概念ꎬ引导学生对函数图象进行观察ꎬ明确函数图象与坐标轴的交点ꎬ在图象的辅助下ꎬ顺利解决函数零点问题.例７㊀已知函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{若方程ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ求实数ａ的取值范围.解析㊀将ｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根ꎬ看做成为ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｘ－ａ存在两个不相同的零点.在平面直角坐标系中分别作出函数ｆ(ｘ)＝２－ｘ－１ꎬｘɤ０ꎬｆ(ｘ－１)ꎬｘ>０ꎬ{以及ｈ(ｘ)＝ｘ的图象(如图３)ꎬ接着对ｈ(ｘ)＝ｘ进行平移.当ａ<１时ꎬ两个函数存在两个交点ꎻ此时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ＋ａ有且只有两个不相等的实数根.图４１.４.３基于分类与整合思想解决零点问题分类讨论与整合ꎬ就是化整为零㊁各个击破ꎬ是一种非常有效的函数零点问题解决手段.通常ꎬ这一种方法常常被用于综合性的函数零点问题中ꎬ需要在解题的过程中ꎬ通过分类讨论ꎬ最终在各个击破的基础上ꎬ整合到一起.例８㊀已知函数ｆ(ｘ)是定义在Ｒ上的偶函数ꎬ当ｘȡ０时ꎬｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍꎬ如果函数存在两个不同的零点ꎬ求ｍ的取值范围.解析㊀因为ｆ(ｘ)＝ｘ２－２ｍｘ＋ｍ的图象开口向上ꎬ且图象必须经过(０ꎬｍ)点㊁图象对称轴为ｘ＝ｍ.(１)当ｍ>０时ꎬ由于函数必然经过(０ꎬｍ)点ꎬ且ｙ轴为图象的对称轴ꎬ根据判别式值等于０ꎬ得出ｍ＝１ꎻ(２)当ｍ＝０时ꎬ因为函数只有一个零点ꎬ所以ｍ＝０与题意不相符ꎻ(３)当ｍ<０时ꎬ通过函数图象即可得知ꎬ该函数存在两个不同的零点ꎬ其符合题意.２基于函数零点问题解答的日常教学启示结合上述例题研究显示ꎬ学生对函数零点的概念㊁零点存在性定理的掌握情况以及对函数和方程㊁图象之间的关系熟悉程度ꎬ直接决定了学生的解题能力.鉴于此ꎬ为了真正提升学生的数学解题能力ꎬ高中数学教师在日常教学中ꎬ唯有坚持以生为本的理念ꎬ引导学生积极主动参与到相关数学概念和定理的探究学习中.为了全面提升学生的解题能力ꎬ唯有彻底转变传统的教学模式ꎬ指向数学新课程的要求ꎬ灵活借助多种方式优化课堂教学ꎬ包括:探究式学习㊁多媒体信息技术教学等ꎬ使得学生在多样化学习中ꎬ高效完成课堂学习目标.在最新的课程标准中明确提出了数学六大核心素养ꎬ并且已经成为当前考查的方向.在常见的函数零点问题中就蕴含了数形结合思想㊁转化化归思想㊁分类讨论思想等ꎬ学生唯有熟练掌握这些数学思想ꎬ才能促使其形成正确的解题思路.鉴于此ꎬ高中数学教师在日常教学时ꎬ应结合不同的例题内容ꎬ针对性地融入数学思想ꎬ使得学生在日常学习中ꎬ逐渐完成数学思想的内化和应用ꎬ进而提升自身的数学解题能力.参考文献:[１]孟彩彩ꎬ巩铠玮.基于波利亚 怎样解题表 的习题教学案例研究 以 函数的零点 为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２２(０９):６－８.[２]寿啸天.高中数学函数零点解决方法探究[Ｊ].试题与研究ꎬ２０２０(２８):３１－３２.[责任编辑:李㊀璟]８３。
高中数学导数求零点做题方法及例题
高中数学导数求零点做题方法及例题《高中数学导数求零点做题方法及例题》导数求零点是高中数学中的一个重要概念和解题方法。
理解和掌握此方法，对于解决各种数学问题以及考试取得优异成绩都非常关键。
本文将介绍导数求零点的做题方法，并通过例题加深理解。
首先，我们回顾一下导数的定义。
在数学中，给定一个函数f(x)，若其在某一点x_0处的导数f'(x_0)等于0，那么x_0就被称为函数f(x)的一个零点。
换句话说，零点就是函数曲线与x轴相交的点，即函数取值为零的位置。
那么，如何求解导数为零的点呢？我们可以运用微积分中的导数概念以及一些求根的方法，例如二分法、牛顿迭代法等。
下面以实际例题来说明导数求零点的做题方法。
例题1：已知函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求其在(-∞,+∞)上的所有零点。
解：首先，我们需要求出导数f'(x)。
对于f(x)=x^3-3x^2-9x+5，求导后可得到f'(x)=3x^2-6x-9。
其次，我们将求得的导数f'(x)令为0，并解方程得到零点。
即3x^2-6x-9=0，两侧同时除以3，化简得到x^2-2x-3=0。
利用求根公式或配方法，解得x=-1，x=3。
因此，函数f(x)=x^3-3x^2-9x+5在(-∞,+∞)上的零点为 x=-1 和 x=3。
通过此例题，我们可以总结出求导数零点的方法：1. 求函数的导数。
2. 将导数等于0，即f'(x)=0，转化为方程。
3. 解方程得到零点。
导数求零点的方法在高中数学中经常出现，它常被应用于曲线的切线问题、函数图像的性质研究等。
掌握此方法不仅可以提升解题效率，还可以更加深刻地理解函数的性质。
总结起来，导数求零点是一种常用的数学方法，通过对函数的导数进行求解得到函数的零点。
掌握了此方法，我们可以在解决各种数学问题时更加轻松而高效。
因此，同学们在学习数学时，应该注重理解和运用导数求零点的做题方法，才能在考试中取得好成绩。
高中数学解多项式函数的零点和极值的方法和实例
高中数学解多项式函数的零点和极值的方法和实例一、引言多项式函数是高中数学中常见的函数类型，解多项式函数的零点和求取极值是数学学习中的重要内容。
本文将介绍解多项式函数零点和求取极值的方法，并通过具体的例题进行说明和分析，帮助高中学生和他们的父母更好地理解和掌握这一内容。
二、解多项式函数的零点1. 二次多项式函数的零点二次多项式函数一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数且a≠0。
要解二次多项式函数的零点，可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a。
下面通过一个例题进行说明。
例题：解方程f(x) = 2x^2 + 3x - 5 = 0的零点。
解答：根据求根公式，可得x = (-3 ± √(3^2 - 4×2×-5)) / (2×2) = (-3 ± √(9 + 40)) / 4 = (-3 ± √49) / 4。
故方程的零点为x = (-3 + 7) / 4 = 1和x = (-3 - 7) / 4 = -5/2。
2. 高次多项式函数的零点高次多项式函数的零点求解相对复杂，通常需要借助图像或数值计算方法。
下面通过一个例题进行说明。
例题：解方程f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = 0的零点。
解答：首先，我们可以通过观察函数图像的变化趋势来估计零点的范围。
根据函数的性质，当x取较小的负数时，f(x)的值较大且为正；当x取较大的正数时，f(x)的值也较大且为正。
因此，我们可以判断方程的零点位于x的取值范围为(-2, 2)之间。
接下来，我们可以使用数值计算方法，如二分法、牛顿法等，逐步逼近方程的零点。
这里以二分法为例进行说明。
选择x = -2和x = 2作为初始区间的端点，计算f(-2)和f(2)的值。
若f(-2)和f(2)异号，则方程在该区间内有一个零点。
专题13 函数的零点的问题(解析版)
专题13 函数的零点的问题一、题型选讲题型一 函数零点问题中参数的范围已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路：(1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法2就是此法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图像的交点问题来加以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题．(3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解． 例1、(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －12，x>0，x 3－3mx －2，x ≤0(其中e 为自然对数的底数)有3个不同的零点，则实数m 的取值范围是________．例2、(2018扬州期末）已知函数f(x)＝e x ，g(x)＝ax ＋b ，a ，b ∈R . 若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．例3、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )．(1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求ba 的值；题型二 函数零点个数证明与讨论函数的零点：有“零点存在性定理”作为理论基础，可通过区间端点值的符号和函数的单调性确定是否存在零点。
例4、(2017南通一调）已知函数f (x )＝ax 2－x －ln x ，a ∈R .(1) 当a ＝38时，求函数f (x )的最小值；(2) 若－1≤a ≤0，证明：函数f (x )有且只有一个零点； (3) 若函数f (x )有两个零点，求实数a 的取值范围．例5、（2016南通一调）已知函数f (x )＝a ＋x ln x (a ∈R )．(1) 求f (x )的单调区间；(2) 试求f (x )的零点个数，并证明你的结论．题型三 函数零点问题的不等式的证明函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围以及证明零点方面的不等问题时，这些问题时要用到这三者的灵活转化。
导数与函数零点问题解题方法归纳
导数与函数零点问题解题方法归纳导函数零点问题一、方法综述导数是研究函数性质的有力工具，其核心是由导数值的正负确定函数的单调性。
应用导数研究函数的性质或研究不等式问题时，绕不开研究$f(x)$的单调性，往往需要解方程$f'(x)=0$。
若该方程不易求解时，如何继续解题呢？在前面专题中介绍的“分离参数法”、“构造函数法”等常见方法的基础上，本专题举例说明“三招”妙解导函数零点问题。
二、解题策略类型一：察“言”观“色”，“猜”出零点例1】【2020·福建南平期末】已知函数$f(x)=x+ax+\frac{1}{e^{2x}}$1）讨论$f(x)$的单调性；2）若函数$g(x)=x+\frac{1}{e^{-mx}-1}$在$[-1,+\infty)$有两个零点，求$m$的取值范围。
分析】1）首先求出函数的导函数因式分解为$f'(x)=(x+a+1)(x+1)e^{-2x}$，再对参数$a$分类讨论可得：①当$a=0$时，$f'(x)=(x+1)e^{-2x}$，当且仅当$x=-1$时，等号成立。
故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数。
②当$a>0$时，$-10$得$x-1$，由$f'(x)<0$得$-a-1<x<-1$；所以$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，在$-a-1,-1$为减函数。
③当$aa+1$，由$f'(x)>0$得$x>-a-1$或$x<-1$，由$f'(x)<0$得$-1<x<-a-1$；所以$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$-a-1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。
综上，当$a=0$时，$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$为增函数；当$a>0$时，$f(x)$在$(-\infty,-a-1)$，$(-1,+\infty)$为增函数，在$-a-1,-1$为减函数；当$a<0$时，$f(x)$在$(-\infty,-1)$，$-a-1,+\infty$为增函数，在$-1,-a-1$为减函数。
高中数学零点解题技巧
高中数学零点解题技巧
1、解方程时采用“分类讨论法”，将不同情况拆分开来分析，以简化问题。
2、用变量代替“陌生”的表达式，降低复杂度，引入简化的替代形式。
3、比较相似的数学题，学会利用已求出的结果求新题。
4、学会发现和使用规律，找出规律性强的题目是解决数学难题的有力帮助。
5、用适当的图形可以帮助理解题意，并更容易把握思维定势。
6、多方考虑，考虑问题有多种解决方式，用尽量简单易懂的方法解出来更容易被考官接受。
7、把一个复杂的问题分解成多个相互联系的小问题，再分别解决，解决一次可能较难的问题，也是分析数学知识的一种有效方法。
【推荐】专题08+函数零点问题的解题模板-备战2019高考技巧大全之高中数学黄金解题模板
【高考地位】函数的零点是新课标的新增内容，其实质是相应方程的根，而方程是高考重点考查内容，因而函数的零点亦成为新课标高考命题的热点.其经常与函数的图像、性质等知识交汇命题，多以选择、填空题的形式考查. 【方法点评】一、零点或零点存在区间的确定使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 直接根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；第二步 若其乘积小于0，则该区间即为存在的零点区间；否则排除其选项即可.例1 函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（ ）A 【答案】B考点：零点存在定理．【变式演练1】方程220xx +-=的解所在的区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3) 【答案】B【解析】试题分析：由题意得，设函数()22xf x x =+-，则()()0102021,12121f f =+-=-=+-=，所以()()010f f <，所以方程220x x +-=的解所在的区间为(0,1)，故选B. 考点：函数的零点.【变式演练2】【南昌市2017-2018学年度二轮复习测试卷文科数学】函数的零点所在的大致区间为( )A ．B ．C ．D ．【答案】B考点：函数零点的判断．二、零点的个数的确定方法1：定义法使用情景：一般函数类型解题模板：第一步 判断函数的单调性；第二步 根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0，则该区间即为存在唯一的零点区间或者直接运用方程的思想计算出其零点；第三步 得出结论.例2.函数x e x f x 3)(+=的零点个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】第一步，判断函数的单调性:由已知得03)(>+='xe xf ，所以)(x f 在R 上单调递增；第二步，根据零点的存在性定理验证区间端点处的函数值的乘积是否小于0；若其乘积小于0， 则该区间即为存在唯一的零点区间：又因为03)1(1<-=--e f ，03)1(>+=e f ，所以0)1-()1(<∙f f 第三步，得出结论：所以)(x f 的零点个数是1，故选B ． 考点：函数的零点．【变式演练3】【宁夏银川一中2018届高三第四次模拟】定义在R 上的奇函数满足，且当时，不等式恒成立，则函数的零点的个数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C由图象知，函数的零点的个数为3个．故选：C ．考点：函数的零点.【方法点晴】本题考查了函数的单调性与导数之间的应用问题，也考查了函数零点个数的判断问题，是中档题目．【变式演练4 ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C 【解析】642246810πππ2π3π4π5π考点：图象的交点．【思路点晴】本题考查的是两个函数的交点个数问题．首先运用函数与方程的思想,把给定方程转化成为两个基本函数的交点问题,再通过函数的性质与比较函数在相同自变量处的函数值的大小关系画出两个基本函数图象,需要注意的是,两个函数都过)0,0(点,而y 轴右侧的高低情况需要比较两个函数在0=x 处的切线斜率得到,为本题的易错点．【变式演练5】【吉林市2018届高三第三次调研考试】已知函数（1）当1a =时，求函数()f x 的极值；（2，若函数()g x 在()()0,11,⋃+∞内有两个极值点12,x x ，求证：【答案】（1（2）见解析 【解析】试题分析：（1）当1a =时，，求导后根据导函数的符号判断函数()f x 的单调性，从而可得函数的极值．（2，设()()2222h x x a x =-++，结合题意可得方程()0h x =在()()0,11,⋃+∞上有两个不相等的实根12,x x ，且1不能是方程的根，故可得，由此可得2a >．然后求得2a >可得结论成立．（2设()()2222h x x a x =-++，∵函数()g x 在()()0,11,⋃+∞内有两个极值点12,x x ，∴方程()()22220h x x a x =-++=在()()0,11,⋃+∞上有两个不相等的实根12,x x ，且1不能是方程的根，，解得2a >．∴2,a > 考点：（1）利用导数求函数闭区间上的最值；（2）利用导数研究函数的单调性．方法2：数形结合法 使用情景：一般函数类型解题模板：第一步函数()g x 有零点问题转化为方程()()f x m x =有根的问题；第二步 在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像； 第三步 观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数；第四步 由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论.例3. （ ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 【答案】B【解析】第一步，在同一直角坐标系中，分别画出函数()y f x =和()y m x =的图像：第二步，观察并判断函数()y f x =和()y m x =的图像的交点个数 ：2个交点；第三步，由()y f x =和()y m x =图像的交点个数等于函数()0g x =的零点即可得出结论： 所以方程有2个解。
高一数学重点：零点问题的解题方法
谈函数与方程(零点问题)的解题方法——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒] 此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y ＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内，有f(a)·f(b)<0成立，那么y＝f(x)在(a，b)内存在唯一的零点吗？提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0) (x1，0) 无交点零点个数210对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )A．(0，1) B．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________．【解析】求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2，3)内，故n ＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1，3}B ．{－3，－1，1，3}C ．{2－7，1，3}D ．{－2－7，1，3}【解析】令x ＜0，则－x ＞0，所以f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－3(－x )]＝－x 2－3x ．求函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点等价于求方程f (x )＝－3＋x 的解．当x ≥0时，x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 1＝3，x 2＝1；当x ＜0时，－x 2－3x ＝－3＋x ，解得x 3＝－2－7．【答案】D确定函数f (x )零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f (x )＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上． (2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0．若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( )。
高考数学6类隐零点的终极解题套路
高考导数例1.已知函数=()ln f xx x ，（1）证明：≥-()1f x e⑵ 已知函数()2=-+-g x x x k ，若对区间e[1,1]上任意x 均有≤f x g x ()()恒成立，求k 的最大值。
解：⑴ 略 ⑵由题设条件知：ln 2≤-+-x x x x k 在e[1,1]上恒成立 ln 2⇔≤--+k x x x x 在e[1,1]上恒成立⇔≤--+k x x x x (ln )2m in 令()ln 2=--+h x x x x x ，∈x e[1,1]则'=--()2ln h x x x h x x e x ''=--<<<()210(11)，即'h x ()为减函数，又h e e '=-+>(1)110 h '=-<(1)20∴'h x ()在e[1,1]上有唯一的零点x 0，且=-x x ln 200 当∈x ex 0(1,)时'>h x h x ()0,()单调递增，当∈x x 0(,1)时'<h x h x ()0,()单调递减。
∴h x h e h min ()min (1),(1)=⎧⎨⎩⎫⎬⎭又 h e e e =->2(1)210 h =(1)0 ∴h x =min ()0 ∴k ≤0 故k =max 0隐零点的六类终极解题套路技巧一虚设零点-----媒介过渡；技巧一：虚设零点-----媒介过渡技巧二：敏锐洞察——观察零点技巧三：反带消参—构造单变量函数，研究参数值及范围技巧四：降次或减元留参，达到证明或求值的目的技巧五：巧设零点---超越式划代数式技巧六：巧妙转化（含放缩，讨论等）24581410例2（19课标1）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数． 证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．解：（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+ 令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减； ()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()0sin 0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++ 00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '= ∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '< 即()g x 在()01,x -上递增；在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，则0x x =为()g x 唯一极大值点； 即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x . （2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞ ①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减 又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点，又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭。
高中数学讲义：函数零点的个数问题
函数零点的个数问题一、知识点讲解与分析：1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =Î，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =Î的零点2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b Î，使得()00f x =。
（1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提（2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续）① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x <Þ在(),a b 的零点唯一4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系设函数为()y f x =，则()f x 的零点即为满足方程()0f x =的根，若()()()f x g x h x =-,则方程可转变为()()g x h x =，即方程的根在坐标系中为()(),g x h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。
由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵活转化。
（详见方法技巧）二、方法与技巧：1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。
例如：对于方程ln 0x x +=，无法直接求出根，构造函数()ln f x x x =+，由()110,02f f æö><ç÷èø即可判定其零点必在1,12æöç÷èø中2、函数的零点，方程的根，两函数的交点在零点问题中的作用（1）函数的零点：工具：零点存在性定理作用：通过代入特殊值精确计算，将零点圈定在一个较小的范围内。
函数零点问题的题型归类及解题策略
函数零点问题的题型归类及解题策略一、函数零点问题的题型归类在数学中，函数零点问题是一个常见的题型，通常是要求求出一个函数的零点或根。
根据不同的函数形式和解法，可以将这些题型分为以下几类：1. 多项式函数的零点问题：多项式函数是指由一系列单项式相加或相减而成的函数，例如f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5就是一个三次多项式函数。
对于多项式函数而言，求解它的零点通常使用因式分解、配方法、牛顿迭代法等方法。
2. 三角函数的零点问题：三角函数包括正弦、余弦、正切等等，例如f(x) = sin(x) - x就是一个三角函数。
对于三角函数而言，求解它的零点通常使用周期性、奇偶性等特征来进行简化。
3. 指数和对数函数的零点问题：指数和对数函数包括指数、自然对数等等，例如f(x) = e^x - x就是一个指数和对数函数。
对于指数和对数函数而言，求解它们的零点通常需要使用到特殊技巧如换底公式、取对数等方法。
4. 分段定义的复合函数的零点问题：分段定义的复合函数是指一个函数在不同的区间内采用不同的定义方式，例如f(x) = {x^2 + 1, x < 0; x - 1, x >= 0}就是一个分段定义的复合函数。
对于这类函数，求解它们的零点通常需要将其分成不同的部分进行讨论。
二、解题策略针对以上不同类型的函数零点问题，我们可以采用以下几种解题策略：1. 因式分解法因式分解法是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个多项式函数f(x)，我们可以先将其进行因式分解，然后再求出每个因子的零点。
例如f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x可以写成f(x) = x(x-1)(x-2)，然后再求出每个因子的零点即可得到f(x)在实数范围内所有的零点。
2. 配方法配方法也是一种常见的求多项式函数零点的方法。
对于一个二次或三次多项式函数，我们可以通过配方将其转化为完全平方或完全立方形式，然后再根据完全平方或完全立方公式来求解它们的零点。
高中数学解二次函数的零点的方法和实例分析
高中数学解二次函数的零点的方法和实例分析引言：二次函数是高中数学中非常重要的一种函数形式，解二次函数的零点是解方程的一种特殊情况。
本文将介绍解二次函数零点的常用方法和实例分析，帮助高中学生掌握解题技巧。
一、二次函数的零点定义及意义二次函数的零点是指函数图像与x轴交点的横坐标值。
解二次函数的零点可以帮助我们找到函数的根、求解方程，进而解决实际问题。
例如，对于一个表示物体运动的二次函数，求解其零点可以得到物体的位置和时间的关系，从而确定物体的起始位置和运动时间。
二、利用因式分解法解二次函数的零点对于形如f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，其中a、b、c为实数且a≠0，我们可以尝试利用因式分解法来解零点。
具体步骤如下：1. 将二次函数表示为因式相乘的形式，即f(x) = a(x - x1)(x - x2)，其中x1、x2为零点。
2. 通过观察二次函数的系数a、b、c来确定因式分解的形式。
当a=1时，我们可以通过分解c来确定x1、x2的值；当a≠1时，我们需要先将二次函数化简为a=1的形式，再进行因式分解。
3. 通过解方程 a(x - x1)(x - x2) = 0，求解x1、x2的值。
例题1：解二次函数f(x) = x^2 - 5x + 6的零点。
解析：根据二次函数的形式，我们可以通过因式分解法解零点。
将f(x)表示为因式相乘的形式：f(x) = (x - 2)(x - 3)。
通过解方程 (x - 2)(x - 3) = 0，我们可以得到x1 = 2，x2 = 3。
因此，二次函数f(x)的零点为x1 = 2，x2 = 3。
三、利用求根公式解二次函数的零点除了因式分解法，我们还可以利用求根公式解二次函数的零点。
对于形如f(x) = ax^2 + bx + c的二次函数，其中a、b、c为实数且a≠0，求根公式可以表示为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)通过求根公式，我们可以直接求解二次函数的零点。
完整版高一：零点问题解题方法
谈函数与方程 ( 零点问题 ) 的解题方法课题——解题技术篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热门，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考察转变与化归、数形联合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝ f(x) (x∈D )，把使 f(x)＝ 0 建立的实数x 叫做函数y＝ f(x) (x∈ D)的零点．(2)零点存在性定理 (函数零点的判断 )若函数y＝ f(x)在闭区间 [a，b] 上的图像是连续曲线，而且在区间端点的函数值符号相反，即f(a) ·f(b) ＜ 0，则在区间 (a，b)内，函数 y＝ f(x)起码有一个零点，即相应方程f(x)＝ 0 在区间 (a，b)内起码有一个实数解．也能够说：假如函数y＝f(x)在区间 [a，b]上的图象是连续不停的一条曲线，而且有f(a) ·f(b)＜ 0，那么，函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得 f(c) ＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝ 0 的根．[提示 ]此定理只好判断出零点存在，不可以确立零点的个数．(3)几个等价关系函数 y＝ f(x)有零点?方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与函数y＝ 0(即 x 轴 )有交点．推行：函数 y＝ f( x)－ g(x)有零点?方程f(x)－g(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴 )有交点．推行的变形：函数 y＝ f(x)－ g(x)有零点 ? 方程 f(x)＝ g(x) 有实数根 ? 函数 y＝ f(x)的图象与 y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点吗？能否随意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝ f(x)与 x 轴的交点，而是y＝ f(x)与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并不是随意函数都有零点，只有f(x) ＝0 有根的函数y＝ f(x)才有零点．2．若函数 y＝ f(x) 在区间 (a， b)内有零点，必定有f(a) ·f(b)<0 吗？提示：不必定，以下图，f(a) ·f(b)>0 ．提示：不必定，可能有多个．(4)二次函数 y＝ ax2＋ bx＋ c (a>0)的图象与零点的关系＝ b2－ 4ac ＞ 0 ＝ 0 ＜ 0二次函数y＝ ax2＋ bx＋c(a＞ 0)的图象与 x 轴的交点(x1， 0)， (x2， 0) (x1， 0) 无交点零点个数 2 1 0对于往后的考试中仍以考察函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转变为主要考点，波及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1． (2015 ·州十校联考温 )设 f(x)＝ ln x＋ x－ 2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A ．(0， 1)B． (1， 2)C．(2， 3)D． (3， 4)【分析】法一：∵ f(1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f(2)＝ln 2＞0，∴ f(1)·f(2)＜0，∵ 函数f(x)＝ln x＋x－2 的图象是连续的，∴函数 f(x)的零点所在的区间是(1， 2) ．法二：函数 f(x)的零点所在的区间转变为函数g( x)＝ ln x，h(x)＝－ x＋ 2 图象交点的横坐标所在的范围，以下图，可知 f(x) 的零点所在的区间为(1， 2)．【答案】 B1的图象交点的横坐标所在区间为( ) 2． (2015 西·安五校联考 )函数 y＝ ln(x＋ 1)与 y＝xA ．(0， 1) B． (1， 2)C．(2， 3) D． (3， 4)1＋∞)上为增函数，且f(1) ＝ ln 2 －1＜ 0， f(2)＝ ln 3 －2＞ 0，∴f(x)的零点所在区间为(1， 2)．【答案】 B3．函数 f(x)＝ 3x－7＋ ln x 的零点位于区间(n，n＋ 1)(n∈ N)内，则 n＝________．【分析】求函数 f(x)＝ 3x－ 7＋ ln x 的零点，能够大概估量两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，因为 ln 2 ＜ln e ＝ 1，所以 f(2)＜ 0， f(3) ＝2＋ ln 3 ，因为 ln 3 ＞ 1，所以 f(3)＞ 0，所以函数f(x)的零点位于区间(2， 3)内，故 n＝ 2．【答案】 24．(2015 长·沙模拟 )若 a＜ b＜ c，则函数 f(x)＝ (x－ a)(x－ b)＋ (x－ b)(x－ c)＋ (x－ c)(x－ a)的两个零点分别位于区间 ()A ．(a， b)和 (b， c)内B． (－∞， a)和( a， b)内C．(b， c)和 (c，＋∞ )内D． (－∞， a)和 ( c，＋∞ )内【分析】此题考察零点的存在性定理．依题意得f(a)＝ (a － b)( a－ c)＞ 0 ， f(b)＝ (b－ c)(b－ a) ＜ 0， f(c) ＝ (c－b)( c－a) ＞0，所以由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a， b)和 (b， c)内．【答案】 A5． (2014 ·考湖北卷高 )已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当x≥ 0 时， f(x)＝ x2－ 3x，则函数g(x)＝ f(x) － x＋ 3 的零点的会合为()A ．{1 ，3}B． { － 3，－ 1， 1， 3}C．{2 －7， 1， 3}D． { － 2－7， 1，3}【分析】令 x＜ 0，则－ x＞0，所以 f(x) ＝－ f(－ x)＝－ [( － x)2－ 3(－ x)] ＝－ x2－ 3x．求函数 g(x)＝ f(x)－ x ＋ 3 的零点等价于求方程f(x) ＝－ 3＋ x 的解．当 x≥ 0 时， x2－3x＝－ 3＋x，解得 x1＝ 3，x2＝ 1；当 x＜ 0 时，－x2－3x＝－ 3＋x，解得 x3＝－ 2－7．【答案】 D确立函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x) ＝0 易解时，可先解方程，再看解得的根能否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：第一看函数 y＝ f(x)在区间 [a，b] 上的图象能否连续，再看能否有 f(a) ·f(b) ＜ 0．如有，则函数 y＝ f(x)在区间 (a， b)内必有零点．(3)数形联合法：经过画函数图象，察看图象与x 轴在给定区间上能否有交点来判断．61．已知函数f(x)＝x－ log2x，在以下区间中，包括f(x)零点的区间是()【分析】 因为 f(1) ＝6－ log 21＝ 6＞ 0， f(2)＝ 3－ log 22＝ 2＞0， f(4) ＝ 3－ log 24＝－ 1＜ 0，所以函数 f(x)的2 2 零点所在区间为 (2， 4)．【答案】 C2．方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根所在的区间为 ( )A ．(0， 1)B ． (1， 2)C ． (2， 3)D ．(3， 4)【分析】法一：方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根即是函数 f(x)＝ log 3x ＋ x － 3 的零点，因为 f(2) ＝ log 32＋ 2－ 3＝log 32－ 1<0 ， f(3) ＝ log 33＋ 3－ 3＝ 1>0 且函数 f(x)在 (0，＋ ∞ )上为单一增函数．∴函数 f(x)的零点即方程 log 3x ＋ x ＝ 3 的根所在区间为 (2， 3)．法二 ：方程 log 3x ＋ x ＝3 的根所在区间即是函数y 1＝ log 3x 与 y 2＝ 3－ x 交点横坐标所在区间，两函数图象以下图．由图知方程 log 3的根所在区间为 (2， 3)．x ＋ x ＝ 3【答案】 C3．(2015 ·武汉调研 )设 a 1， a 2，a 3 均为正数， λ1＜ λ2＜λ3，则函数a 1 ＋ a 2 ＋ a 3 的两个零点 f(x)＝123x － λ x － λ x － λ分别位于区间 ( )A ．(－∞， λ1)和 (λ1， λ2)内B ． (λ1， λ2)和 (λ2， λ3)内C ．(λ，λ) 和 (λ，＋∞ )内D ． (－∞， λ) 和(λ，＋∞ )内23313【分析】 此题考察函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈ (λ1， λ2)时，函数图象连续，且x → λ，1f(x)→ ＋ ∞ ，x → λ2， f(x)→－ ∞ ，所以函数 f(x)在 (λ1， λ2)上必定存在零点；同应当x ∈ (λ2， λ3)时，函数图象连续，且 x → λ， f(x)→ ＋∞ ， x → λ， f(x)→ － ∞ ，所以函数 f(x)在 (λ， λ)上必定存在零点，应选B ．2323【答案】 B考向二、判断函数零点个数x －2， x>0，g(x)＝ f(x)＋ x 的1．已知函数 f(x)＝ 知足 f(0) ＝ 1，且 f(0)＋ 2f( －1) ＝0，那么函数－x 2＋bx ＋ c ， x ≤ 0零点个数为 ________．【分析】 ∵f(0) ＝ 1，∴c ＝ 1，又∵f(0) ＋ 2f(－1)＝ 0，∴f(－ 1)＝－ 1－ b ＋ 1＝－ 112，∴b ＝2．∴当 x ＞ 0 时，g( x)＝ 2x－ 2＝ 0 有独一解 x＝1；当 x≤ 0 时， g(x)＝－ x2＋3x＋1，令 g(x)＝ 0 得 x＝－1或 x＝2(舍去 )，2 2综上可知， g(x)＝ f(x)＋ x 有 2 个零点．【答案】 22． (2013 高·考天津卷 )函数 f(x)＝ 2x|log x|－ 1 的零点个数为 () A ．1 B． 2C．3 D． 4x 1 x．【分析】由 f(x) ＝2 |logx|－ 1＝ 0，可得 |log0．5x|＝ 2设 g(x)＝ |log x|， h(x)＝1 xg( x)， h(x)的图象，能够发现两个函数图2 ，在同一坐标系下分别画出函数象必定有 2 个交点，所以函数f(x)有 2 个零点．【答案】 B3． (2015 ·考天津卷高)已知函数2－ |x|， x≤2，函数 g(x)＝ 3－ f(2－ x)，则函数y＝ f(x)－ g(x) f(x) ＝x－ 2 2， x＞ 2，的零点个数为 ( )A ．2 B． 3C．4 D． 5【分析】分别画出函数 f(x)， g(x)的草图，察看发现有 2 个交点．【答案】 A4．若定义在R 上的偶函数f( x)知足 f( x＋2) ＝ f(x)，且当 x∈ [0， 1]时， f(x)＝ x，则函数y＝f(x)－ log 3|x| 的零点个数是________．【分析】由题意知， f(x)是周期为 2 的偶函数．在同一坐标系内作出函数y＝ f(x)及 y＝ log3 |x|的图象，以下：察看图象能够发现它们有 4 个交点，即函数y＝ f(x)－ log3|x|有 4 个零点．5判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令 f(x)＝ 0，假如能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不单要求函数在区间[a ， b] 上是连续不停的曲线，且f(a) ·f(b)＜ 0，还一定联合函数的图象与性质( 如单一性、奇偶性、周期性、对称性 )才能确立函数有多少个零点或零点值所拥有的性质．(3)数形联合法：转变为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，此中交点的横坐标有几个不一样的值，就有几个不一样的零点．1． (2015 ·博期末淄 )函数 f(x)＝ x － ln(x ＋ 1)－ 1 的零点个数是 ________．【分析】 函数 f( x)＝ x －ln( x ＋ 1)－ 1 的零点个数，即为函数 y ＝ ln( x ＋ 1)与 y ＝ x － 1 图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ ln( x ＋ 1)与 y ＝ x － 1 的图象，如图，由图可知函数 f(x)＝ x － ln(x ＋ 1)－ 1 的零点个数是 2． 【答案】 2lg x ， x>0， 2．若定义在 R 上的函数 f(x)知足 f(x ＋ 2)＝ f(x)，且 x ∈[ － 1，1]时，f(x)＝1－ x 2，函数 g( x)＝ 0， x ＝0， － 1，x<0，x则方程 f(x)－g(x)＝0 在区间 [ － 5， 5]上的解的个数为 ()A ．5B ． 7C ．8D ． 10【分析】 依题意得，函数 f(x)是以 2 为周期的函数，在同一坐标系下画出函数 y ＝ f(x)与函数 y ＝g(x)的图象，联合图象得，当 x ∈ [－ 5， 5]时，它们的图象的公共点共有8 个，即方程 f(x)－ g(x)＝ 0 在区间 [－ 5， 5]考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1． (2014 合·肥检测 )若函数 f(x)＝ ax2－ x－ 1 有且仅有一个零点，则实数 a 的取值为 ()1A ．0 B．－41C．0 或－4 D． 2【分析】当 a＝ 0 时，函数 f(x)＝－ x－ 1 为一次函数，则－ 1 是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a≠ 0 时，函数 f(x)＝ ax2－ x－ 1 为二次函数，而且仅有一个零点，则一元二次方程ax2－ x－ 1＝ 0 有两个相1 1等实根．∴Δ＝1＋ 4a＝0，解得 a＝－4．综上，当 a＝ 0 或 a＝－4时，函数仅有一个零点．【答案】 C2．(2014 ·阳模拟洛)已知方程 |x2－ a|－ x＋ 2＝ 0(a＞ 0)有两个不等的实数根，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(0， 4) B． (4，＋∞ )C．(0， 2) D． (2，＋∞ )【分析】依题意，知方程 |x2－ a|＝ x－ 2 有两个不等的实数根，即函数y＝ |x2－ a|的图象与函数y＝ x－ 2 的图象有两个不一样交点．如图，则a＞ 2，即 a＞ 4．【答案】 B3．已知函数2 1x，若实数 x是方程 f(x)＝0 的解，且1 0 1f(x)＝ log x－3 0<x <x ，则 f(x )的值为 ()A ．恒为负B．等于零C．恒为正D．不小于零1【分析】在同一坐标系中作出y＝ log2x 和 y＝3x的图象，由图象知f(x1 )＜0．【答案】 A4．(2014 高·考江 卷 )已知 f(x)是定 在 R 上且周期3 的函数，当 x ∈ [0，3) ，f(x)＝x 2－ 2x ＋1．若2函数 y ＝ f(x) －a 在区 [ － 3， 4]上有 10 个零点 (互不同样 )， 数 a 的取 范 是 ________．【分析】 当 x ∈ [0 ，3) ， f(x)＝ x 2－ 2x ＋1 ＝ x － 1 2－ 1 ，由 f(x)是周期 3 的函数，作出 f( x)在 [－2 23， 4]上的 象，如 ．函数 y ＝ f(x)－a 在区 [ － 3， 4]上有互不同样的 10 个零点，即函数 y ＝ f(x)，x ∈ [－ 3， 4]与 y ＝ a 的象有 10 个不一样交点，在座 系中作出函数f(x) 在一个周期内的 象如 ，可知当0＜ a ＜1足 意．2【答案】0， 125． (2015 湖·北八校 考 )已知 x ∈ R ，符号 [x] 表示不超 x 的最大整数，若函数[x]－ a(x ≠ 0)有且f(x)＝ x有 3 个零点， a 的取 范 是 ( )3 443 34 4 3 A ． 4，5 ∪ 3， 2B ． 4，5 ∪3，2 1， 2 ∪ 5， 31，2 ∪5，3C ． 2 3 42D ． 2 3 4 2[x][x]1【分析】 当 0＜ x ＜ 1 ， f(x)＝ x － a ＝－ a ；当 1≤ x ＜ 2 ， f(x)＝ x －a ＝ x － a ；当 2≤ x ＜ 3 ， f(x)[x]2 [ x] [x][x]＝ x － a ＝ x － a ； ⋯ ． f(x)＝ x － a 的 象是把y ＝ x 的 象 行 向平移而获得的，画出y ＝ x 的 象，3 44 3如 所示，通 数形 合可知a ∈ 4， 5 ∪ 3， 2 ．【答案】 A已知函数有零点 (方程有根 )求参数取 范 常用的方法：(1)直接法：直接依据 条件建立对于参数的不等式，再通 解不等式确立参数范 ．(2)分别参数法：先将参数分别， 化成求函数 域 加以解决．(3)数形 合法：先 分析式 形，在同一平面直角坐 系中，画出函数的 象，而后数形 合求解．2x－1， x≤ 1，1． (2015 莱·芜一模 )已知函数 f(x)＝则函数 f(x)的零点为 ()1＋ log x， x>1，2A ．1， 0 B．－ 2，02 1C．2 D． 0【分析】当 x≤ 1 时，由 f(x)＝ 2x－1＝ 0，解得 x＝ 0；当 x＞ 1 时，由 f(x)＝1＋ log21 x＝ 0，解得 x＝，2又因为 x＞1，所以此时方程无解．综上，函数f(x) 的零点只有 0．【分析】 D2x－ 1， x＞ 0，若函数 g(x)＝ f(x)－ m 有 3 个零点，则实数m 的取值范围是2．已知函数f( x)＝－x2－2x，x≤0，________．2x－ 1， x＞ 0，【分析】画出 f(x)＝的图象，如图．－ x2－ 2x， x≤ 0由函数 g(x) ＝ f(x)－ m 有 3 个零点，联合图象得：0＜ m＜ 1，即 m∈ (0，1) ．【答案】 (0，1)3．已知函数 f(x)＝2x－ a， x≤ 0，a 的取值范围是 ________．有三个不一样的零点，则实数x2－ 3ax＋ a， x＞ 0【分析】要使函数 f(x)有三个不一样的零点，则当x≤ 0 时，方程2x－ a＝ 0，即 2x＝ a 必有一根，此时 0 ＜ a≤ 1；当 x>0 时，方程 x2－ 3ax＋ a＝ 0 有两个不等实根，即方程x2－ 3ax＋ a＝ 0 有 2 个不等正实根，于＝9a2－ 4a＞ 0，3a＞ 0，4 4是∴a＞9，故9＜ a≤1．a＞ 0，【答案】49，1必记结论相关函数零点的结论(1)若连续不停的函数f(x)在定义域上是单一函数，则f(x)至多有一个零点．9(3)连续不停的函数图象经过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1． (2015 ·考安徽卷高 )以下函数中，既是偶函数又存在零点的是()A ．y＝ cos x B． y＝ sin xC．y＝ ln x D． y＝ x2＋ 1【分析】 y＝ cos x 是偶函数，且存在零点；y＝ sin x 是奇函数； y＝ ln x 既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1 是偶函数，但不存在零点．【答案】 A2．函数 f(x)＝ 2x－2－ a 的一个零点在区间(1，2) 内，则实数 a 的取值范围是 () xA ．(1， 3) B． (1， 2) C．(0， 3) D． (0， 2)【分析】由题意知 f(1) ·f(2) ＜ 0，即 a(a－ 3)＜0，∴0＜ a＜ 3．【答案】 C3． (2016 东·城期末 )函数 f(x)＝ e x＋1x－ 2 的零点所在的区间是( ) 2A ．11，1 0，2 B．2C．(1， 2) D． (2， 3)【分析】∵f 1 7 7 3 12＝e－4＜ 3－4＜ 0， f(1) ＝ e－2＞ 0，∴零点在区间2， 1 上．【答案】 B4．(2014 昆·明三中、玉溪一中统考 ) 若函数 f(x)＝3ax＋ 1－ 2a 在区间 (－1， 1)内存在一个零点，则 a 的取值范围是 ( )A ．1，＋∞B． (－∞，－ 1)∪1，＋∞5 5C．－ 1，1D． (－∞，－ 1) 5【分析】当 a＝ 0 时， f(x)＝ 1 与 x 轴无交点，不合题意，所以a≠ 0；函数 f(x)＝ 3ax＋ 1－ 2a 在区间 (－11， 1)内是单一函数，所以 f( －1) ·f(1) ＜ 0，即 (5a－ 1)(a＋ 1)＞0，解得 a＜－ 1 或 a＞5．【答案】 B5．f(x)是 R 上的偶函数， f(x＋ 2)＝ f( x)，当 0≤ x≤1 时， f(x)＝ x2，则函数 y＝ f(x)－ |log5 x|的零点个数为()A ．4B ． 5 C． 8 D ．10【分析】由零点的定义可得f( x)＝ |log5x|，两个函数图象如图，总合有 5 个交点，所以共有 5 个零点．【答案】 B6． (2014 ·封模拟开 )偶函数 f(x)知足 f(x－ 1)＝f(x＋ 1)，且当 x∈ [0， 1]时， f(x)＝－ x＋ 1，则对于x 的方程 f(x)＝ lg(x＋ 1)在 x∈ [0，9] 上解的个数是 ()A ．7B ． 8C．9D． 10【分析】依题意得 f(x＋ 2)＝f(x)，所以函数f(x)是以 2 为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝ f(x)的图象与y＝ lg(x＋ 1)的图象 (以下图 )，察看图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9] 上的公共点共有9 个，所以，当 x∈ [0，9]时，方程 f(x) ＝ lg( x＋ 1)的解的个数是9．【答案】 C7．(2014 ·宁模拟南 ) 已知函数f(x)＝ ln x＋ 3x－ 8 的零点 x0∈ [a，b]，且 b－ a＝ 1， a，b∈ N*，则 a＋ b＝________．【分析】∵f(2)＝ ln 2 ＋ 6－ 8＝ ln 2 － 2<0 ，f(3)＝ ln 3 ＋ 9－ 8＝ ln 3 ＋ 1>0，且函数f(x) ＝ln x＋3x－ 8 在(0，＋∞ )上为增函数，∴ x0∈ [2， 3]，即 a＝ 2， b＝ 3．∴a＋ b＝5．【答案】 58．已知函数 y＝ f(x) (x∈R )知足 f(－ x＋ 2)＝f(－ x)，当 x∈[ －1， 1]时， f(x)＝ |x|，则 y＝ f(x)与 y＝log7 x 的交点的个数为 ________．【分析】因为 f(－ x＋ 2)＝ f(－x)，所以 y＝ f(x)为周期函数，其周期为2．在同向来角坐标系中，画出函数y＝ f(x)和 y＝log 7x 的图象如图，当x＝7 时， f(7) ＝1， log77＝ 1，故 y＝ f( x)与 y＝log7 x 共有 6 个交点．【答案】 69．若函数y＝ f(x)( x∈R) 知足 f(x＋ 2)＝ f(x)且 x∈ [ － 1， 1]时， f(x)＝ 1－ x2；函数 g(x)＝ lg|x|，则函数y ＝f(x)与 y＝ g(x)的图象在区间 [ － 5， 5]内的交点个数共有 ________个．【分析】函数 y＝ f(x)以 2 为周期， y＝g( x)是偶函数，画出图象可知有8 个交点．【答案】 810． (2015 高·考湖南卷 )已知函数 f(x)＝x3， x≤ a，若存在实数 b，使函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，x2， x＞ a.则 a 的取值范围是 ________．【分析】令φ(x)＝ x3(x≤ a)，h(x)＝ x2(x＞a) ，函数 g(x)＝ f(x)－ b 有两个零点，即函数 y＝ f( x)的图象与直线y＝ b 有两个交点，联合图象 (图略 )可得 a＜ 0 或φ(a)＞ h(a)，即 a＜ 0 或 a3＞ a2，解得 a＜ 0 或 a＞1，故 a∈ (－∞， 0)∪(1 ，＋∞)．【答案】 (－∞， 0)∪ (1，＋∞ )1． (2014 ·考山东卷高 )已知函数f( x)＝ |x－2|＋ 1， g(x)＝ kx．若方程f(x)＝ g(x)有两个不相等的实根，则实数 k 的取值范围是 ( )A ． 0，1B ．1， 1 C． (1，2) D ．(2，＋∞ ) 2 2【分析】先作出函数f(x)＝|x－ 2|＋ 1 的图象，以下图，1 当直线 g(x) ＝ kx 与直线 AB 平行时斜率为1，当直线 g( x)＝ kx 过 A 点时斜率为2，故 f(x)＝ g(x) 有两个不1相等的实根时， k 的范围为2， 1 ．【答案】 B2．若函数 f(x)＝a x－ x－ a(a＞ 0 且 a≠ 1) 有两个零点，则实数 a 的取值范围是 ()A ．(2，＋∞ )B ． 0，1C． (1，＋∞ ) D ．(0， 1) 2【分析】函数 f(x)＝ a x－x－ a(a＞ 0 且 a≠ 1)有两个零点，就是函数y＝ a x(a＞ 0 且 a≠ 1)与函数 y＝ x＋ a(a ＞ 0 且 a≠ 1)的图象有两个交点，由图 1 知，当 0＜ a＜1 时，两函数的图象只有一个交点，不切合题意；由图 2 知，当 a＞ 1 时，因为函数y＝ a x(a＞ 1)的图象与y 轴交于点 (0，1)，而直线 y＝ x＋ a 与 y 轴的交点必定在点 (0， 1)的上方，所以两函数的图象必定有两个交点，所以实数 a 的取值范围是a＞ 1．【答案】 C2－ |x|，x≤2，3． (2015 ·考天津卷高 )已知函数f(x)＝函数 g(x)＝ b－ f(2－ x)，此中 b∈ R．若函数 y x－ 2 2， x＞ 2，＝ f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，则 b 的取值范围是 ()7 7 7 7A ．4，＋∞B ．－∞，4 C．0，4 D ．4，2【分析】函数 y＝f(x)－ g(x)恰有 4 个零点，即方程f(x)－ g(x)＝0，即 b＝ f(x)＋ f(2－ x)有 4 个不一样的实数根，即直线 y ＝ b 与函数 y＝ f(x) ＋ f(2 － x) 的图象有 4 个不同的交点．又 y ＝ f(x) ＋ f(2 － x) ＝x2＋ x＋ 2， x＜ 0，2， 0≤ x≤ 2，7作出该函数的图象以下图，由图可得，当4＜ b＜2 时，直线 y＝ b 与函数 y＝ f(x)x2－ 5x＋8， x＞ 2，＋f(2－ x)有 4 个交点．【答案】 D4．已知函数1 ，当 x∈ [0，1]时， f( x)＝ x，若在区间 (－ 1，1]内，函数 g(x)＝ f(x) f(x)知足 f(x)＋ 1＝f x＋1－ mx－m 有两个零点，则实数 m 的取值范围是 ( )A ．0，1B ．1，＋∞C． 0，1 D ． 0，1 2 2 3 2【分析】当 x∈ (－1， 0]时， x＋ 1∈ (0， 1]．因为函数f(x)＋ 1＝ 1 ，所以 f(x) ＝ 1 － 1＝1－f x＋ 1 f x＋ 1 x＋ 1x－x， x∈ － 1， 0]，.即 f(x)＝x＋ 1函数 g(x)＝ f(x)－ mx－m 在区间 (－ 1，1]内有两个零点等价1＝－x＋ 1x， x∈ 0，1].于方程 f(x)＝ m(x＋ 1)在区间 (－ 1， 1]内有两个根，令y＝m(x＋ 1)，在同一坐标系中画出函数y＝ f(x)和 y＝1m(x＋ 1)的部分图象 (图略 )，可知当 m∈0，2 时，函数 g(x)＝ f(x)－ mx－ m 有两个零点．|x2＋ 5x＋ 4|，x≤ 0，5．(2014 ·高考天津卷 ) 已知函数f(x)＝若函数 y＝ f(x)－ a|x|恰有 4 个零点，则实数2|x－2|， x＞ 0.a 的取值范围为________．【分析】画出函数 f(x)的图象以下图．函数 y＝ f(x)－ a|x|有 4 个零点，即函数y1＝ a|x|的图象与函数f(x)的图象有 4 个交点 (依据图象知需a＞0)．当 a＝2 时，函数 f(x)的图象与函数 y ＝ a|x|的图象有 3 个交点．故 a＜ 2．1当 y1 2＋ 5x＋ 4|相切时，在整个定义域内，f(x)的图象与 y15 个交点，＝ a|x|(x≤ 0)与 y＝ |x ＝ a|x|的图象有y＝－ ax，得 x2＋ (5－ a)x＋4＝ 0．此时，由y＝－ x2－ 5x－ 4由＝ 0 得(5－ a)2－16＝ 0，解得 a＝ 1，或 a＝9( 舍去 )，则当 1＜ a＜ 2 时，两个函数图象有 4 个交点．故实数 a 的取值范围是1＜ a＜ 2．【答案】 (1， 2)考向四、二分法(1)定义：对于在区间 [a， b] 上连续不停且f( a) ·f(b)＜ 0 的函数 y＝ f(x)，经过不停地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐渐迫近零点，从而获得零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精准度ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤以下：①确立区间 [a， b] ，考证 f(a) ·f(b)<0 ，给定精准度ε；②求区间(a， b)的中点 c；(ⅰ )若 f(c)＝ 0，则 c 就是函数的零点；(ⅱ )若 f(a) ·f(c)＜ 0，则令 b＝c(此时零点x0∈ (a， c))；(ⅲ )若 f(c) ·f(b)＜ 0，则令 a＝c(此时零点x0∈ (c， b))．④判断能否达到精准度ε：即若 |a－ b|<ε，则获得零点近似值a(或 b)；不然重复②③④．1． (教材习题改编 )以下函数图象与x 轴均有交点，此中不可以用二分法求图中函数零点的是()A B C D【分析】由图象可知，选项 C 所对应零点左右双侧的函数值的符号是同样的，故不可以用二分法求解．【分析】 C2． (教材习题改编 )用二分法求函数y＝ f(x)在区间 (2， 4)上的近似解，考证f(2) f(4)·＜ 0，给定精准度ε＝，取区间 (2， 4)的中点 x12＋4＝3，计算得 f(2) ·f(x1)＜ 0，则此时零点所在的区间为 () ＝ 2 xA ．(2， 4) B． (3， 4)C．(2， 3) D． (2． 5， 3)【分析】∵f(2) ·f(4) ＜ 0， f(2) ·f(3) ＜ 0，∴f(3) ·f(4)＞ 0，∴零点 x0所在的区间为 (2， 3)．【分析】 C3．用二分法求方程 x2＝ 2 的正实根的近似解(精准度0.001)时，假如我们选用初始区间[1.4 ，1.5] ，则要达到精准度要求起码需要计算的次数是________．－【分析】设起码需要计算n 次，由题意知2n＜0．001，即2n＞100，由26＝64，27＝128知n＝7．【分析】 7。
求函数零点的四种解题方法
求函数零点的四种解题方法在代数学中，函数的零点是使得函数值为零的输入值。
求解函数的零点是数学中常见的问题之一、以下将介绍四种常用的方法来求解函数的零点。
方法一：图像法图像法是一种常用的直观方法，在解决函数零点问题时非常有用。
它主要通过绘制函数图像来确定函数零点的位置。
具体步骤如下：1.首先，根据函数的定义确定函数的定义域和值域。
2.使用合适的比例和区间，在坐标轴上绘制函数的图像。
3.根据图像的形状和变化，使用直观的方法估计函数的零点的位置。
4.根据估计的位置，使用更精确的方法来求解函数的零点。
图像法的优点是直观、易于理解，在初步估计函数零点的位置时非常有用。
然而，它对于精确求解函数的零点并不总是有效，需要进一步使用其他方法来提高精度。
方法二：因数分解法因数分解法是一种常见的方法，适用于多项式函数（特别是一次、二次和三次多项式函数）。
它的基本思想是将多项式函数分解为两个或更多个因式相乘的形式，然后根据因式为零的性质来求解函数的零点。
具体步骤如下：1.将多项式函数表示为二项式或多项式的乘积。
2.令每个因式为零，解得每个因式的解。
3.将解代入原多项式函数，验证是否为零点。
因数分解法通常适用于可因式分解的多项式函数。
然而，对于高次多项式函数，因数分解法可能不太实用，因为需要找到合适的因式分解形式。
方法三：代入法代入法是一种常用的方法，适用于无法通过因数分解或图像法求解函数的零点。
具体步骤如下：1.首先，从函数的定义出发，选择一个合适的变量替换，将原函数转化为一个新的函数。
2.将新函数设置为零，并求解变量的值。
3.将求解得到的变量值代回原函数，验证是否为零点。
在实际应用中，选择合适的变量代换往往是关键。
代入法通常适用于复杂函数的求解，但也可能需要使用其他数值或近似方法来解决问题。
方法四：数值法数值法是一类通过数值计算来解决函数零点问题的方法。
它主要通过数值逼近的原理和算法，以迭代的方式逐步求解函数的零点。
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谈函数与方程(零点问题)的解题方法课题——解题技能篇从近几年高考试题看，函数的零点、方程的根的问题是高考的热点，题型主要以选择题、填空题为主，难度中等及以上．主要考查转化与化归、数形结合及函数与方程的思想．(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)零点存在性定理(函数零点的判定)若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．也可以说：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[提醒]此定理只能判断出零点存在，不能确定零点的个数．(3)几个等价关系函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与函数y＝0(即x轴)有交点．推广：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)－g(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)－g(x)的图象与y＝0(即x轴)有交点．推广的变形：函数y＝f(x)－g(x)有零点⇔方程f(x)＝g(x)有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与y＝g(x)有交点．1．函数的零点是函数y＝f(x)与x轴的交点吗？是否任意函数都有零点？提示：函数的零点不是函数y＝f(x)与x轴的交点，而是y＝f(x)与x轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是一个实数；并非任意函数都有零点，只有f(x)＝0有根的函数y＝f(x)才有零点．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，一定有f(a)·f(b)<0吗？提示：不一定，如图所示，f(a)·f(b)>0．3．若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )，有f (a )·f (b )<0成立，那么y ＝f (x )在(a ，b )内存在唯一的零点吗？ 提示：不一定，可能有多个．(4)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ＝b 2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的交点 (x 1，0)，(x 2，0)(x 1，0) 无交点 零点个数21对于日后的考试中仍以考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标的等价转化为主要考点，涉及题目的主要考向有：1．函数零点的求解与所在区间的判断；2．判断函数零点个数；3．利用函数的零点求解参数及取值范围．考向一、函数零点的求解与所在区间的判断1．(2015·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)D ．(3，4) 【解析】法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0，∴f (1)·f (2)＜0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1，2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1，2)．【答案】B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标所在区间为( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】函数y＝ln(x＋1)与y＝1x的图象交点的横坐标，即为函数f(x)＝ln(x＋1)－1x的零点，∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝ln 2－1＜0，f(2)＝ln 3－12＞0，∴f(x)的零点所在区间为(1，2)．【答案】B3．函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点位于区间(n，n＋1)(n∈N)，则n＝________．【解析】求函数f(x)＝3x－7＋ln x的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f(2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e＝1，所以f(2)＜0，f(3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f(3)＞0，所以函数f(x)的零点位于区间(2，3)，故n＝2．【答案】24．(2015·长沙模拟)若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c) B．(－∞，a)和(a，b)C．(b，c)和(c，＋∞)D．(－∞，a)和(c，＋∞)【解析】本题考查零点的存在性定理．依题意得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－b)(c－a)＞0，因此由零点的存在性定理知f(x)的零点位于区间(a，b)和(b，c)．【答案】A5．(2014·高考湖北卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为()A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}C．{2－7，1，3} D．{－2－7，1，3}【解析】令x＜0，则－x＞0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－3(－x)]＝－x2－3x．求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点等价于求方程f(x)＝－3＋x的解．当x≥0时，x2－3x＝－3＋x，解得x1＝3，x2＝1；当x＜0时，－x2－3x＝－3＋x，解得x3＝－2－7．【答案】D确定函数f(x)零点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，再看解得的根是否落在给定区间上．(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0．若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．1．已知函数f (x )＝6x －log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)【解析】因为f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝32－log 24＝－12＜0，所以函数f (x )的零点所在区间为(2，4)．【答案】C2．方程log 3x ＋x ＝3的根所在的区间为( ) A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)【解析】法一：方程log 3x ＋x ＝3的根即是函数f (x )＝log 3x ＋x －3的零点，由于f (2)＝log 32＋2－3＝log 32－1<0，f (3)＝log 33＋3－3＝1>0且函数f (x )在(0，＋∞)上为单调增函数．∴函数f (x )的零点即方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．法二：方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间即是函数y 1＝log 3x 与y 2＝3－x 交点横坐标所在区间，两函数图象如图所示．由图知方程log 3x ＋x ＝3的根所在区间为(2，3)．【答案】C3．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正数，λ1＜λ2＜λ3，则函数f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( )A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)【解析】本题考查函数与方程．利用零点存在定理求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函数图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同理当x ∈(λ2，λ3)时，函数图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函数f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B ．【答案】B考向二、判断函数零点个数1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0满足f (0)＝1，且f (0)＋2f (－1)＝0，那么函数g (x )＝f (x )＋x的零点个数为________．【解析】∵f (0)＝1，∴c ＝1，又∵f (0)＋2f (－1)＝0，∴f (－1)＝－1－b ＋1＝－12，∴b ＝12．∴当x ＞0时，g (x )＝2x －2＝0有唯一解x ＝1；当x ≤0时，g (x )＝－x 2＋32x ＋1，令g (x )＝0得x ＝－12或x ＝2(舍去)，综上可知，g (x )＝f (x )＋x 有2个零点． 【答案】 22．(2013·高考天津卷)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】由f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0，可得|log 0．5x |＝⎝⎛⎭⎫12x．设g (x )＝|log 0.5x |，h (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，在同一坐标系下分别画出函数g (x )，h (x )的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f (x )有2个零点．【答案】B3．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，x －22，x ＞2，函数g (x )＝3－f (2－x )，则函数y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解析】分别画出函数f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点．【答案】A4．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．【解析】由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点．【答案】4判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．【解析】函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2． 【答案】22．若定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，0，x ＝0，－1x ，x <0，则方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为( )A ．5B ．7C ．8D ．10【解析】依题意得，函数f (x )是以2为周期的函数，在同一坐标系下画出函数y ＝f (x )与函数y ＝g (x )的图象，结合图象得，当x ∈[－5，5]时，它们的图象的公共点共有8个，即方程f (x )－g (x )＝0在区间[－5，5]上的解的个数为8．【答案】C考向三、利用函数的零点求解参数及取值范围1．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( ) A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2【解析】当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14．综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．【答案】C2．(2014·洛阳模拟)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0，4)B ．(4，＋∞)C ．(0，2)D ．(2，＋∞)【解析】依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4．【答案】B3．已知函数f (x )＝log 2x －⎝⎛⎭⎫13x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0<x 1<x 0，则f (x 1)的值为( ) A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正D ．不小于零【解析】在同一坐标系中作出y ＝log 2x 和y ＝⎝⎛⎭⎫13x的图象，由图象知f (x 1)＜0．【答案】A4．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12．若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．【解析】当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪x －12－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3，4]上的图象，如图．函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．【答案】⎝⎛⎭⎫0，12 5．(2015·湖北八校联考)已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则a 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32B ．⎣⎡⎦⎤34，45∪⎣⎡⎦⎤43，32 C ．⎝⎛⎦⎤12，23∪⎣⎡⎭⎫54，32D ．⎣⎡⎦⎤12，23∪⎣⎡⎦⎤54，32【解析】当0＜x ＜1时，f (x )＝[x ]x －a ＝－a ；当1≤x ＜2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1x －a ；当2≤x ＜3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2x －a ；…．f (x )＝[x ]x －a 的图象是把y ＝[x ]x 的图象进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]x的图象，如图所示，通过数形结合可知a ∈⎝⎛⎦⎤34，45∪⎣⎡⎭⎫43，32．【答案】A已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．1．(2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0B ．－2，0C ．12D ．0【解析】当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0．【解析】D2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．【解析】画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0，1)． 【答案】(0，1)3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x ≤0，x 2－3ax ＋a ，x ＞0有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．【解析】要使函数f (x )有三个不同的零点，则当x ≤0时，方程2x －a ＝0，即2x ＝a 必有一根，此时0＜a ≤1；当x >0时，方程x 2－3ax ＋a ＝0有两个不等实根，即方程x 2－3ax ＋a ＝0有2个不等正实根，于是⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9a2－4a＞0，3a＞0，a＞0，∴a＞49，故49＜a≤1．【答案】⎝⎛⎦⎤49，1必记结论有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．1．(2015·高考安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1【解析】y＝cos x是偶函数，且存在零点；y＝sin x是奇函数；y＝ln x既不是奇函数又不是偶函数；y＝x2＋1是偶函数，但不存在零点．【答案】A2．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1，2)，则实数a的取值范围是() A．(1，3) B．(1，2)C．(0，3) D．(0，2)【解析】由题意知f(1)·f(2)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3．【答案】C3．(2016·东城期末)函数f(x)＝e x＋12x－2的零点所在的区间是()A．⎝⎛⎭⎫0，12B．⎝⎛⎭⎫12，1C．(1，2) D．(2，3)【解析】∵f⎝⎛⎭⎫12＝e－74＜3－74＜0，f(1)＝e－32＞0，∴零点在区间⎝⎛⎭⎫12，1上．【答案】B4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间(－1，1)内存在一个零点，则a 的取值范围是()A ．⎝⎛⎭⎫15，＋∞ B ．(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫15，＋∞ C ．⎝⎛⎭⎫－1，15D ．(－∞，－1)【解析】当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15．【答案】B5．f (x )是R 上的偶函数，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函数y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个数为( )A ．4B ．5C ．8D ．10【解析】由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函数图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．【答案】B6．(2014·开封模拟)偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝－x ＋1，则关于x 的方程f (x )＝lg(x ＋1)在x ∈[0，9]上解的个数是( )A ．7B ．8C ．9D ．10【解析】依题意得f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与y ＝lg(x ＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0，9]上的公共点共有9个，因此，当x ∈[0，9]时，方程f (x )＝lg(x ＋1)的解的个数是9．【答案】C7．(2014·南宁模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________．【解析】∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函数，∴x 0∈[2，3]，即a ＝2，b ＝3．∴a ＋b ＝5．【答案】58．已知函数y ＝f (x ) (x ∈R )满足f (－x ＋2)＝f (－x )，当x ∈[－1，1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点的个数为________．【解析】因为f (－x ＋2)＝f (－x )，所以y ＝f (x )为周期函数，其周期为2．在同一直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )和y ＝log 7x 的图象如图，当x ＝7时，f (7)＝1，log 77＝1，故y ＝f (x )与y ＝log 7x 共有6个交点． 【答案】69．若函数y ＝f (x )(x ∈R) 满足f (x ＋2)＝f (x )且x ∈[－1，1]时，f (x )＝1－x 2；函数g (x )＝lg|x |，则函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象在区间[－5，5]内的交点个数共有________个．【解析】函数y ＝f (x )以2为周期，y ＝g (x )是偶函数，画出图象可知有8个交点．【答案】810．(2015·高考湖南卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．【解析】令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，0)∪(1，＋∞)1．(2014·高考山东卷)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ．若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫0，12 B ．⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)【解析】先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k的范围为⎝⎛⎭⎫12，1．【答案】B2．若函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．⎝⎛⎭⎫0，12C．(1，＋∞)D．(0，1)【解析】函数f(x)＝a x－x－a(a＞0且a≠1)有两个零点，就是函数y＝a x(a＞0且a≠1)与函数y＝x＋a(a ＞0且a≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a＜1时，两函数的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a＞1时，因为函数y＝a x(a＞1)的图象与y轴交于点(0，1)，而直线y＝x＋a与y轴的交点一定在点(0，1)的上方，所以两函数的图象一定有两个交点，所以实数a的取值范围是a＞1．【答案】C3．(2015·高考天津卷)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x|，x≤2，x－22，x＞2，函数g(x)＝b－f(2－x)，其中b∈R．若函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，则b的取值范围是()A．⎝⎛⎭⎫74，＋∞B．⎝⎛⎭⎫－∞，74C．⎝⎛⎭⎫0，74D．⎝⎛⎭⎫74，2【解析】函数y＝f(x)－g(x)恰有4个零点，即方程f(x)－g(x)＝0，即b＝f(x)＋f(2－x)有4个不同的实数根，即直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)的图象有4个不同的交点．又y＝f(x)＋f(2－x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋x＋2，x＜0，2，0≤x≤2，x2－5x＋8，x＞2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74＜b＜2时，直线y＝b与函数y＝f(x)＋f(2－x)有4个交点．【答案】D4．已知函数f (x )满足f (x )＋1＝1f x ＋1，当x ∈[0，1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1，1]，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．⎣⎡⎭⎫0，12B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫0，13D ．⎝⎛⎦⎤0，12【解析】当x ∈(－1，0]时，x ＋1∈(0，1]．因为函数f (x )＋1＝1f x ＋1，所以f (x )＝1f x ＋1－1＝1x ＋1－1＝－x x ＋1.即f (x )＝⎩⎨⎧－xx ＋1，x ∈－1，0]，x ，x ∈0，1].函数g (x )＝f (x )－mx －m 在区间(－1，1]内有两个零点等价于方程f (x )＝m (x ＋1)在区间(－1，1]内有两个根，令y ＝m (x ＋1)，在同一坐标系中画出函数y ＝f (x )和y ＝m (x ＋1)的部分图象(图略)，可知当m ∈⎝⎛⎦⎤0，12时，函数g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点． 【答案】A5．(2014·高考天津卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x ＞0.若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数a 的取值范围为________．【解析】画出函数f (x )的图象如图所示．函数y ＝f (x )－a |x |有4个零点，即函数y 1＝a |x |的图象与函数f (x )的图象有4个交点(根据图象知需a ＞0)．当a ＝2时，函数f (x )的图象与函数y 1＝a |x |的图象有3个交点．故a ＜2．当y 1＝a |x |(x ≤0)与y ＝|x 2＋5x ＋4|相切时，在整个定义域内，f (x )的图象与y 1＝a |x |的图象有5个交点，此时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ax ，y ＝－x 2－5x －4得x 2＋(5－a )x ＋4＝0．由Δ＝0得(5－a )2－16＝0，解得a ＝1，或a ＝9(舍去)， 则当1＜a ＜2时，两个函数图象有4个交点．故实数a 的取值范围是1＜a ＜2． 【答案】(1，2)考向四、二分法(1)定义：对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函数y ＝f (x )，通过不断地把函数f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f (x )零点近似值的步骤如下： ①确定区间[a ，b ]，验证f (a )·f (b )<0，给定精确度ε； ②求区间(a ，b )的中点c ； ③计算f (c )；(ⅰ)若f (c )＝0，则c 就是函数的零点；(ⅱ)若f (a )·f (c )＜0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))； (ⅲ)若f (c )·f (b )＜0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．④判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复②③④．1．(教材习题改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )A B C D【解析】由图象可知，选项C 所对应零点左右两侧的函数值的符号是相同的，故不能用二分法求解． 【解析】C2．(教材习题改编)用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2，4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2，4)的中点x 1＝2＋42＝3，计算得f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0所在的区间为( )A ．(2，4)B ．(3，4)C ．(2，3)D ．(2．5，3)【解析】∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0，∴f (3)·f (4)＞0，∴零点x 0所在的区间为(2，3)． 【解析】C3．用二分法求方程x 2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间[1.4，1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．【解析】设至少需要计算n 次，由题意知1.5－1.42n ＜0．001，即2n ＞100，由26＝64，27＝128知n ＝7．【解析】7。