函数黎曼可积性

函数黎曼可积性深究

罗俊逸

以下的“可积”皆指“黎曼可积”。

定义1：称有界函数f 为[a,b]上的次级离散函数（简称次离散函数）， 若：1、f 仅有有限个间断点；

或：2、f 有无限个间断点，所有这些间断点仅有有限个聚点。

定义2：在闭区间[a,b]上，连续函数与次离散函数统称次级函数。

定义3：称有界函数f 为[a,b]上的超级离散函数（简称超离散函数），若f 有无限个间断点且它们有无限个聚点。

性质：[a,b]上的任何有界离散函数，要么是次离散函数，要么是超离散函数。（这是显然的）

根据定义和性质，[a,b]上的所有有界函数的集合关系如下：

定理1：所有次级函数可积。

推论1：若f 为[a,b]上的连续函数，则f 在[a,b]上可积。

推论2：若f 是[a,b]上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[a,b]上可积。

定义4：设f 为[a,b]上的超离散函数，若存在[a,b]上的次级函数g ，任取I ∈

[a,b]，g 在I 上有f 上的无穷个点，则称f 在[a,b]上可聚，g 称为f 的聚集函数（简称聚函数）。

定理2（可聚性定理）：任何超离散函数f 可聚，即f 至少有一个聚函数。

定理3：超离散函数f 可积的充要条件．．．．

是：f 唯一可聚，即f 仅有唯一的聚函数。

定理4：设f 是定义在[a,b]上的可积超离散函数，其聚函数是g ， 则：=

连续函数 次级离散函数 超级离散函数 次级函数 离散函数

补充：

为方便叙述，笔者自做了些定义，若有冒犯前辈的文献，请谅解。本文的主要思想是函数的划归，点有聚点，函数也可有聚函数。