类比法在数学解题中的运用
运用类比方法,提高学生数学能力
运用类比方法，提高学生数学能力类比，是人们认识事物的一种重要方法，它是根据两个对象之间在某些方面的相似或相同点，从而推出它在其他方面也可能相似或相同的逻辑推理方法类比法是各种逻辑推理方法中最富有创造性的一种方法。
因而在数学教学过程中，要充分利用类比方法，去发现知识，探索规律，提高分析问题，解决问题的能力。
一、运用类比法，探索新知识初中数学应用类比的地方很多，例如：可用类比方法学习分式的性质。
学习时，首先让，并且指出这个性质正是分数通分和约分的理论依据，数、式通性，如果A、B、M，（其中M是不等于零的整式）约分的理论依据，运用它可以进行分式的加减运算和乘除运算。
这样，通过分式和分数的类比，加深了对分式性质的理解和记忆。
这样，通过分式和分数的类比，加深了对分式性质的理解和记忆。
再如，对实数的引入，也用类比法：先回顾一下算术数集扩张到有理数集，有理数集扩张到实数集的原因和必要性，让学生认识到，每一次数集的扩张的共同特点，即增添了新的元素及新的数集，解决了旧数集里所不能解决的矛盾。
如为了解决在算术数集里减数大于被减数的这种“不够减”的矛看，必须对算术数集进行扩张，即必须引人负数，并把新旧数（算术数和负数）合在一起构成新的数集称为有理数集。
接着，通过有理数的研究得知：有理数都是有限小数或无限循环小数。
而像π，2，33…这一类数都具有“无限不循环小数”的特点，类比前面做法，必须对有理数集进行扩张，即引入无理数，并把有理数集和无理数集所构成的新数集称为实数集。
由以上二例可以看出，类比比归纳更富有想象力，具有培养学生探素新知识和预测能力的作用。
二、运用类比法，把知识系统化刻卜勒曾说：“我珍惜类比胜于任何别的东西，它是我最可依赖的老师，它能提示自然界的秘密，在几何中应该是最不容忽视的。
”在平面几何中，全等三角形与相似三角形的关系也是特殊与一般的关系，当我们研究了全等三角的性质和判定后，便可以通过相似三角形与全等三角形进行类比，去探索相似三角形的性质与判定。
浅谈类比、归纳法在高考中的应用
浅谈类比、归纳法在高考中的应用摘要：近年来，我省高考数学中都有用类比归纳法解的题，多数都是填空题，下面就来谈谈如何解决这类题，首先谈谈类比、归纳法思想和应用。
关键词：高考类比归纳应用一、类比法1.类比法的思想所谓类比法是指根据两个或两类事物在某些属性上都相同或相似，而推出它们在其它属性上也相同或相似的推理方法，也称为类比或类比推理法。
类比法不仅是一种以特殊到特殊的推理方法，也是一种寻求解题思路，猜测问题答案或结论的发现方法。
2.类比的分类（1）降维类比。
将三维空间的对象降到二维（或一维）空间中的对象，此种类比方法即为降维类比。
（2）结构类比。
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。
（3）简化类比。
简化类比，就是将原命题类比到比原命题简单的类比命题，通过类比命题的解决思路和方法的启发，寻求原命题的解决思路与方法。
比如可先将多元问题类比为少元问题，高次问题类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。
但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的。
二、归纳法1.归纳法思想归纳法也称归纳推理，是指由个别到一般的推理方法。
即从几个单称判断或特殊判断（前提）得出的一个新的全称判断（结论）的推理方法。
它根据考察分析的对象是否完全分为完全归纳法和不完全归纳法。
2.归纳法分类归纳法分为完全归纳法和不完全归纳法。
完全归纳法是指通过考察一类事物的全体对象，肯定它们都具有某一属性，从而作出这类事物都具有这一属性的一般性结论的归纳推理方法。
不完全归纳法是指根据考察一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该事物都具有这一属性的一般结论的归纳推理方法。
在高考中经常使用的是不完全归纳法。
但是，利用类比推理得出的结论不一定是正确的。
三、类比、归纳法的应用例1：（2010陕12理）观察下列等式：13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102根据上述规律，第五个等式为___________________。
类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似
类比是根据两个对象之间在某些方面的相同或相似，从而推出它们在其他方面也可能相同或相似，类比法是初中重要的教学方法，数学中的许多定理、公式和法则是通过类比得到的，在解题中寻找问题的线索，往往也借助于类比方法，从而达到启发思路的目的。
下面根据自己的教学实践，谈几点运用类比法的做法。
一、解一元一次不等式与解一元一次方程类比在讲解“一元一次不等式”时，学生由于刚刚接触不等式，对不等式本来就不是很熟悉，对不等式的解法也就感到陌生。
如果照着书上的例题直接讲解，学生可能会感到有点模糊，不那么得心应手，不知道为什么要这样来解题，就会照着按部就班的做题，以至于没有掌握解题的方法，思维会有点混乱。
为了让学生一开始就能从根本上弄清楚一元一次不等式的解法，能明白每一步的算理，真正地掌握一种学习的方法，在讲授这节内容时，我类比了解一元一次方程的方法，这样的讲解学生接受起来就容易多了。
例如：解一元一次方程：2x+6=3-x解：移项得： 2 x+ x=3-6合并同类项得： 3 x=-3系数化为1得： x =-1解一元一次不等式： 2x+6＜3-x解：移项得： 2 x+ x＜3-6合并同类项得： 3 x＜-3两边都除以3得： x ＜-1学生只要注意最后一步：系数化为1时，不等式的两边如果都乘以或除以同一个负数时，不等号的方向改变即可。
通过这种类比，学生掌握起来就容易得多了。
二、分解因式与分解因数类比在讲解“分解因式”这节内容时，我先提出两个问题：问题1： 993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴一起交流。
解：因为993-99=99×992-99×1 =99×（992-1）=99×9800=98×99×100这里，我们把一个数式化成了几个数的乘积的形式，所以993-99能被100整除。
问题2：你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？解：a3 －a= a×a2－ a×1 = a（a2－1）对问题1，学生做起来不难。
类比法在数学解题中的应用
类比法在数学解题中的应用
1. 类比法可以帮助学生学习并掌握一个概念，并利用此概念解决新问题，而无需重新学习新的知识。
2. 比如可以用类比容易解释平面图形的各种特征，并使用这些启发思路解决新的问题。
3. 例如，在几何中，如果已知两个三角形的外角相等，可以用一条直线类比它们，这样，就可以证明到它们都有一个共同的平分线，而且这两个三角形是相等的。
4. 例如，如果学生已经学习过圆的定义，则可以在支持立体几何的教程中，将圆当作圆柱，将面积计算公式类比移植到圆柱上，去得出该圆柱的体积。
类比法在初中数学解题教学中的应用技巧
㊀㊀㊀解题技巧与方法１４３㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０７类比法在初中数学解题教学中的应用技巧类比法在初中数学解题教学中的应用技巧Һ杨㊀梅㊀（毕节市第一中学，贵州㊀毕节㊀５５１７００）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是一门实用性较强且较为抽象的学科，对学习者的逻辑思维能力具有较高要求．现阶段在初中数学解题教学中，大部分学生缺乏完善的思维体系，在解题时思路较为混乱，因而导致其学习成绩迟迟无法得到提升．为帮助学生掌握良好的解题技巧，文章对类比法在初中数学解题教学中的应用意义进行了总结，从结构化类比㊁模式化类比㊁特殊化类比㊁跨学科类比㊁降维化类比等角度出发，阐述了类比法的实际应用策略，旨在为学生搭建良好的学习生态环境，让学生通过类比梳理解题思路，养成良好的解题习惯，提高自身问题解决能力．ʌ关键词ɔ类比法；初中数学；解题技巧；教学策略‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“中指出，帮助学生建立数学对象之间，数学与现实世界之间的逻辑联系，构建数学逻辑体系是初中数学教学中的核心任务．由此可见，培养学生思维能力已经成为广大教师关注的重点．教师应充分关注类比法的应用价值，帮助学生突破固有学习思维模式，促进自身多元发展，通过解题训练深入感受知识的本质，从而有效提高学生的解题能力，构建更加完善的知识体系．一㊁类比法简介由两类对象具有的某些相近特征和其中一类对象的已知特征所推理出的另一类对象也具有此种特征的推理被称之为类比．例如学生在数学学习中通常会经历推测与联想，这种学习行为便是类比思想从特殊到一般的体现．学生可以根据两个对象之间的相似属性，猜测它们之间所存在的关联，进而通过类比寻求解决数学问题的新方法与新途径．二㊁类比法在初中数学解题教学中的应用意义类比是一种对某些方面存在相似性的不同个体的对比㊁引申㊁演化推理活动． 解题 是初中数学教学中的重点内容，通过解题训练能够帮助学生掌握解题技巧，避免学生在考试或练习中出现低级错误，在潜移默化中帮助学生养成良好的学习习惯，从而助力其学习水平的提升．首先，将类比法引入初中数学解题教学能够有效帮助学生获得解题灵感及思路，让学生在趣味化的解题过程中，提高自身创新能力．借助两种事物之间的相似之处进行推理，在提高解题效率的同时，也能够帮助学生通过长期训练养成独立自主的探究习惯，有效促进其核心素养的发展．其次，类比法能够进一步促进学生对知识的全面理解．在这样的解题过程中，学生经过推理，会发现自己在过往知识学习中存在的漏洞，不断完善，并通过类比搭建新旧知识之间的桥梁，构建更加完整的知识体系．最后，利用类比法进行解题教学，区别于传统机械刻板的课堂讲授，能够充分激发学生的主观能动性，有助于其从多角度更为全面地对数学问题进行思考，进而有效实现思维品质的发展．由此可见，类比法对提高初中数学解题教学质量，促进学生核心素养的发展具有积极作用．因此教师要充分挖掘数学知识之间的内部联系，在开展解题教学的过程中，为学生渗透类比思想，引导学生借助类比优势提高解题质量，在长期训练中养成良好的思考习惯，有效提高自身学习能力，为后续深度学习奠定坚实基础．三㊁类比法在初中数学解题教学中的应用技巧如何发挥类比法的优势帮助学生顺利提高解题质量，已经成为广大教师所关心的焦点问题．笔者结合多年实践教学经验，对类比法在初中数学解题教学中的应用技巧进行解读，并提出合理化建议，以供广大教师借鉴参考，共同推动初中数学教学的可持续发展．（一）结构化类比，探求数学解题本质在传统的解题教学过程中，大部分教师通常会采用理论知识讲授的教学方法，反复强调此道题目中所蕴含的公式㊁定理，忽视了知识点之间的内在联系，并未引导学生采用类比的方式开展训练．为解决这一问题，教师可以在解题教学中采用结构化类比的方式，引导学生基于问题的结构特征，将其转化㊁引申为自己较为熟悉的题目，并进行比较，从中获取解题灵感，探究题型结构，追寻数学解题的本质．以北师大版八年级上册 勾股定理的应用 这一课的教学为例，在课程开始前教师首先带领学生回顾勾股定理的定义，唤醒学生的已有学习经验．在活跃的课堂氛围下，教师提出了这样的一道例题：例１㊀如图１，已知ＡＢ＝３，ＢＣ＝７，ＡＣ＝５，那么øＡ的值为多少？图１解题思路：在已知三边长度后，此类问题可以采用正弦或余弦定理轻松解决．然而这对于初中刚接触勾股定理学习的学生而言较为困难，许多学生都不知该如何入手．这时，教师可以采用结构化类比的方式，引导学生尝试思考，结合直角三角形知识，将øＡ与直角联系起来．在教师的引导下，学生先延长ＢＡ作辅助线，再过Ｃ点作ＢＡ延长线的垂线，设垂足为点Ｄ，并将ＡＤ的长设定为ｘ，如图２．图２在这一环节中，学生利用所学知识并借助辅助线，将㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１４４数学学习与研究㊀２０２３ ０７ＣＤ边长表示为２５－ｘ２．根据勾股定理得出ＢＣ＝（３＋ｘ）２＋２５－ｘ２()２＝４９，从而借助等式推断出未知数ｘ的值为５２，根据直角三角形性质及ＡＤ＝１２ＡＣ，易得øＢＡＣ＝１２０ʎ．与此同时，在成功解决问题后，为发展学生的创新思维，教师可以尝试引导学生在三角形内构造直角三角形，并探索这两种解题方式的差异．设计说明：上述例题中，学生由于并未接触过正余弦定理，难以顺利完成解题．教师借助结构化类比的优势，引导学生将难以求解的图形类比为已经学过的直角三角形，从而通过直角三角形知识以及勾股定理解决问题．如上，结构化类比的方式能够帮助学生建立知识点之间的内部联系，寻找部分关联或结构相似的问题，让学生在比较和分析中，求出答案，感受类比在解题过程中的应用优势．（二）模式化类比，寻找数学解题路径区别于结构化类比，模式化类比是指根据待解决问题的表象，寻找可以类比的相同性质的问题，其关联表现在解题方法以及解题策略上，例如最为常见的行程问题及工程问题．在模式化类比的导向下，教师可以带领学生在解题过程中进行总结与概括，寻找最优解题路径，通过模式的类比感受数学知识之间的内部联系．以北师大版八年级下册 不等式的解集 这一课的教学为例，在教学环节，教师搜集资源后向学生分享了这样的一道竞赛题目：例２㊀实数ａ，ｂ，ｃ满足ａɤｂɤｃ，且ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝０，ａｂｃ＝１．求最大实数ｋ，使得不等式ａ＋ｂȡｋｃ恒成立．解题思路：首先根据条件不难看出，题目中给出了两个方程及三个变量，学生在解题的过程中极易受到已知线索的干扰．在模式化类比过程中，教师可以引导学生由已知条件出发，得到一个与其等价的条件，由ａｂｃ＝１可知，ａ，ｂ，ｃ均不等于０，且其中有０个负数或２个负数，又因为ａｂｃ＝１，所以ａｂ＝１ｃ＞０，代入ａｂ＋ｂｃ＋ｃａ＝０就可得出ａ＋ｂ＝－１ｃ２＜０，故ａɤｂ＜０．后续步骤，教师可以引导学生基于基本不等式的性质进行类比，根据 一元二次方程根与系数的关系 构造以ａ，ｂ为两根的一元二次方程并建立不等关系，类比推理得出ａ，ｂ为一元二次方程ｘ２＋１ｃ２ｘ＋１ｃ＝０的两个实数根，于是ａ＋ｂ＝１ｃ２ȡ４ｃ＝４ｃ，不等式对满足题设条件的实数ａ，ｂ，ｃ恒成立，因此最大实数ｋ的值为４．设计说明：此道题目具有一定的难度，学生需要根据问题的表象寻找可类比的相同性质的问题，此题中表象为不等式的关系，将其与一元二次方程进行类比创建不等关系，能够帮助学生求得问题的答案，找到解决问题的最优路径．如上，模式化类比的引入能够帮助学生建立更为完整的知识体系，让学生在总结与概括中掌握解题模式，从而最大限度地提升自身的解题质量，实现学习能力的提升与发展．（三）特殊化类比，捕获数学解题灵感特殊化类比是将原命题中较为复杂的元素进行精简，运用多维化的诉求方式将复杂问题类比为简单问题进行求解的一种方法．在传统的解题过程中，部分教师为学生提供的题目信息较为复杂，且由于新高考改革，类似于情境化的试题也随之增多，部分思维能力较弱的学生在解题过程中极易受到复杂的条件线索的影响从而降低解题质量．因此教师可以采用特殊化类比方法，引导学生简化问题内容，捕获数学解题灵感，提高自身解题水平．以北师大版九年级下册 弧长及扇形的面积 这一课的教学为例，通过本单元的学习，学生已经进一步掌握了弧长公式以及扇形面积的表达方法．结合本章重点内容，教师为学生带来了这样的一道例题：例３㊀如图３，在ＲｔәＡＢＣ中，已知øＡＣＢ＝９０ʎ，ＡＣ＝８，ＢＣ＝４，分别以ＡＣ，ＢＣ为直径画半圆，则图中阴影部分的面积应为多少？图３解题思路：面对此问题，大部分学生都不知道如何入手，陷入了思维的停滞状态．此时，教师应引导学生进一步梳理解题思路，采用特殊化类比的方式观察图中的阴影部分，并将其类比为两个半圆的面积，将此问题转化为两个半圆的面积减去三角形的面积．将图中各部分阴影面积分别设为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，Ｓ５，如图４所示．图４由此得出两个半圆的面积和为Ｓ１＋Ｓ５＋Ｓ４＋Ｓ２＋Ｓ３＋Ｓ４，әＡＢＣ的面积是Ｓ３＋Ｓ４＋Ｓ５，阴影部分的面积为Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ４，图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积，经过计算最终求出结果为１０π－１６．设计说明：此类题目能够帮助学生在巩固扇形面积计算方法的同时，有效帮助学生复习三角形的面积相关知识．将原命题中较为复杂的内容化简，能够使学生轻松求得问题答案．教师通过特殊化类比的化简方法，能够有效培养学生的思维能力，帮助其在解题过程中养成举一反三的良好习惯．如上，教师通过特殊化类比的方式能够有效帮助学生捕获数学解题灵感，让学生在类比的过程中提高自身思维能力，构建新旧知识之间的联系，更好地实现核心素养的提升．㊀㊀㊀解题技巧与方法１４５㊀数学学习与研究㊀２０２３ ０７（四）跨学科类比，开阔数学解题视野设立跨学科主题学习活动，加强学科间相互关联，带动课程综合化实施，强化实践性要求，是当前初中数学教育改革的大方向．在进行类比解题教学的过程中，教师要及时突破自身固化思维模式，注重数学知识与其他学科的关联，为学生设计内容㊁形式丰富多样的数学例题，促使学生在类比的过程中找寻知识内所存在的同一性与关联互补性，进而有效拓宽学生的解题思路，帮助其在掌握数学知识的同时了解更多丰富的学习内容．以北师大版八年级上册 一次函数的应用 这一课的教学为例，结合本章学习内容，教师将数学与物理知识进行融合，为学生带来了这样的一道例题：例４㊀已知甲㊁乙两地相距３００ｋｍ，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发前往乙地，如图５，线段ＯＡ表示了货车离甲地的距离ｙ与时间ｘ的函数关系，折线ＢＣＤＥ则表示了轿车离甲地的距离ｙ与时间ｘ的函数关系．根据图像内容，回答以下问题：图５（１）线段ＤＥ对应的函数解析式；（２）计算轿车从甲地出发后需要经过多长时间才能够追赶上货车．解题说明：此类问题为路程问题，学生需要结合所学物理知识进行求解．首先观察第一个问题，教师引导学生结合物理知识进行类比可知，行程问题中路程＝速度ˑ时间，根据对图像内容的观察可知横轴为时间㊁纵轴为路程，通过对Ｄ点坐标以及Ｅ点坐标的分析，教师可以引导学生类比待定系数法，设ＤＥ所对应的函数解析式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（２．５ɤｘɤ４．５），在确定Ｄ点坐标后代入求解，得出线段ＤＥ对应的函数解析式．在第二个问题的求解过程中，教师同样要指导学生基于问题的关键信息寻找其与所学知识的联系，类比待定系数法求出ＯＡ的解析式ｙ＝６０ｘ（０ɤｘɤ５），再继续解题即可．设计说明：跨学科类比的方式能够帮助学生进一步巩固物理中所学的路程知识，深化对理论知识的理解．与此同时，将其融入数学题目，能够帮助学生开阔数学解题视野，借助其他学科的特性类比，有效提高学生的解题能力，实现类比教学的真正目标．如上，跨学科类比的方式能够帮助学生在掌握数学知识的同时，了解数学与其他科目的关联性，更好地适应此类情境化试题的解决方法，为后续参与中考㊁高考做好准备．（五）降维化类比，突破数学解题难点降维化类比能够帮助学生简化问题所运用的知识，降低思考的难度．从近年来的中考题型中不难发现，其所呈现的问题更加注重对学生核心素养的检测，学生不仅要具备良好的知识能力，还要具有对题目线索㊁题目信息的分辨能力．目前，部分教师在集体教学中仍旧过于重视对学生知识能力的培养，忽视了对其思维能力的训练．为解决这一问题，教师应充分发挥类比法在数学解题过程中的重要价值，帮助学生掌握化简技巧，运用类比手段降低题目难度，帮助学生更好地理解数理概念的内部关系．以北师大版七年级上册 整式的加减 这一课的教学为例，该部分内容是初中数学学习中的重点，在中考的简答㊁选择题型中均有涉及．因此，教师结合教学内容为学生带来以下例题：例５㊀计算：１１ˑ２＋１２ˑ３＋１３ˑ４＋ ＋１２０２１ˑ２０２２．解题说明：此道题目中分子都是１，分母从 １ˑ２ ２ˑ３一直到 ２０２１ˑ２０２２ ，倘若学生采取常规的计算方法将浪费较多时间．因此，秉持着降维化类比的理念，教师可以引导学生结合所学知识内容进行简化类比．在对原式的观察中不难发现，每一项的分母中后一个乘数都比前一个大１，基于这一发现，可以将１２０２１ˑ２０２２ 类比为 １ｎｎ＋１()，故通过所得公式，根据分解原则可以将其转化为１ｎ－１ｎ＋１．在此环节结束后，教师指导学生尝试对原式进行转化．在解题过程中，学生发现每一项都与前一项互为相反数，经过抵消最终得出计算结果为２０２１２０２２．设计说明：此道题目的重点在于类比化简，学生需要细致阅读题目线索，找出其内在联系，发现每个加数都可以分裂为两个数的差，最终相互抵消求出正确答案．如上，降维化类比的方式能够有效降低题目难度，在后续几何学习中应用此种方法能够在极大程度上提高学生对于知识的理解程度，对提升解题教学质量具有积极的促进作用．结㊀语综上所述，在初中数学解题教学中应用类比法，能够启发学生的类比推理㊁知识迁移思维，对于增进学生对知识的理解㊁提高学生的综合应用能力有着积极意义．因此，教师应充分关注类比法的重要教学价值，在解题教学中渗透类比思想，帮助学生通过训练养成良好的类比习惯，找寻各知识点之间的内部联系，从而更好地实现自身解题能力的提升与发展，有效实现高效解题课堂的构建．ʌ参考文献ɔ［１］陈拾英．巧妙运用类比法㊀高效解答数学题［Ｊ］．数理化解题研究，２０２１（３５）：４６－４７．［２］刘鹏．初中数学教学中对学生核心素养的培养浅析［Ｊ］．学周刊，２０２１（３６）：１３９－１４０．［３］包五弟．例谈类比教学在初中数学教学中的应用策略［Ｊ］．考试周刊，２０２１（９０）：４９－５１．［４］陈贇．初中数学课堂教学中渗透数学思想的策略［Ｊ］．新智慧，２０２１（２９）：１００－１０２．。
数学教学中类比思想的应用
数学教学中类比思想的应用摘要：类比(格亚斯)，意思是用推理的方法或与同类事物相比较。
类比是根据两种事物在某些特征上的相似，做出它们在其他特征上也可能相似的结论。
类比是这样的一种推理，它把不同的两个(两类)对象进行比较，根据两个(两类)对象在一系列属性上的相似，而且已知其中一个对象还具有其他的属性，由此推出另一个对象也具有相似的其他属性的结论。
类比思想是一种重要的思想，在数学的教学中有着至关重要的作用。
关键字：数学、类比思想数学教学过程中，加强类比思想在数学学科教学中的应用，有利于数学课堂的教学，有利于学生对新知识的探究与学习，更有利于数学教学的发展。
课程设计时巧用数学类比思想，优化课堂设计教师认真备课是有效有开展教学活动的前提，而课程设计是备课过程的主要环节，也是提升课堂质量的保障。
数学知识之间存在着紧密的联系，新知识往往是若干旧知识点的重新组合或是旧知识的引伸和扩展。
著名的数学家波利亚所说：“类比是一个伟大的引路人”。
数学中的类比基础，就是数学对象间的相似性。
数学中有些概念是难以让学生理解和接受的，倘若在课程设计时，将类比思想融入新课中，在讲授新知识时联系旧知识，将新旧类比分析，将能让学生更加理解知识，同时也能突破难点，降低教学难度。
因此，教师在进行课程设计时，教师应充分将数学类比思想融入课程中，从而加强对学生数学类比思想的渗透，优化课堂课设，让学生可在原来的基础上进行自我提高，让新知识掌握得更牢固找，进一步优化课堂教学。
探究新知时巧用数学类比思想，激发学生兴趣在数学中，有些新概念比较抽象，学生不太容易理解，用类比法引入新概念，可使学生更好地理解新概念的内涵与外延。
数学中的许多概念有类似的地方，在新概念的提出过程中，运用类比的方法，能使学生易于理解和掌握。
教师在讲授新课引出新知识，将新知识与旧知识联系起来，并将新旧进行类比分析，将能让学生更加理解知识，同时也能突破难点，降低教学难度。
例如，教师在讲授小学数学教学中的“乘法”这一课时，教师在引出“乘法”这一新概念时，可以先让学生复习一下“几个数的加法”这一概念。
类比法在初中数学解题中的应用技巧
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５８㊀类比法在初中数学解题中的应用技巧类比法在初中数学解题中的应用技巧Һ赵㊀静㊀（甘肃省兰州市第十一中学，甘肃㊀兰州㊀７３００３０）㊀㊀ʌ摘要ɔ数学是抽象且逻辑关系严谨的一门学科，故而在初中数学课程中，学生经常需要解答抽象复杂的问题．为帮助学生解决问题，学好㊁用好数学，文章提出了结构化类比㊁降维类比㊁跨学科类比等技巧．教师应在初中数学教学中设计解决问题环节，同时指导学生应用类比法，培养学生创新解题能力，促进学生巩固学习内容，形成知识框架．ʌ关键词ɔ初中数学；类比法；解决问题；应用技巧‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“在描述数学课程核心素养在初中阶段的主要表现时指出：运用归纳和类比发现数学关系与规律，提出数学命题与猜想，并加以验证．类比作为数学研究的一种经典方法，能够应用于初中数学解题中，对学生解决问题起到促进作用，能培养学生的创新意识㊁推理能力等．类比法在初中数学解题中的应用技巧亟待研究，教师应当在初中数学教学中，借助丰富的问题为学生搭建解题平台，同时指导学生应用类比法，使其掌握结构化类比㊁降维类比等技巧，活跃学生的数学解题思维．一㊁类比法在初中数学解题中的应用价值类比法是通过未知或不确定对象与已知或确定对象的归类和比较，猜测或确认未知或不确定对象的一种古老的认知思维与推测方法．在数学领域，类比法有其独特的应用价值．具体到初中数学解题方面，类比法既有助于学生梳理思路，建立解题思维，又有利于学生巩固学习内容，形成知识框架．（一）梳理思路，建立解题思维从小学过渡到初中阶段，学生需要面对愈发复杂的数学问题，这对学生解题思维提出了更高层次的要求．类比法作为一种古老的认知思维，对学生解题思维的建立至关重要．比如，基于类比法的归类的比较步骤，学生首先将初中数学问题划分为特定类别，其次以问题类别为依据分析解决问题的具体方法，最后根据类比得到的问题特点落实精准解题．从分析问题到解决问题，学生并非如无头苍蝇一般反复尝试，而是巧妙地在归类㊁比较中梳理思路，能够更加快速地建立解题思维，提升逻辑思维水平．（二）巩固学习内容，形成知识框架类比的本质是利用已知推理未知，这决定了类比法在初中数学解题中的应用本质 迁移已有经验探索未知答案．学生应用类比法解题，便是在不断迁移已有经验探索未知答案的过程中巩固学习内容，形成知识框架．比如在学习 直角三角形的证明 时，学生应用类比法解题，可以将 等腰三角形的证明 相关知识和经验加以应用．通过这样的解题过程，学生既能学会证明直角三角形，又能巩固 等腰三角形的证明 学习内容，明确等腰三角形与直角三角形的内在联系．二㊁类比法在初中数学解题中的应用技巧如何在初中数学解题中正确构建归类和比较关系，优化逻辑推理？下面，文章将参考北师大版初中数学教材知识结构，列举问题实例，研究类比法在初中数学具体问题中的应用技巧．（一）结构化类比：把握问题本质，构建熟悉题型许多学生面对初中数学题不能灵活解决问题，是因为只注重对单一问题的解题公式㊁定理等分析，忽略了问题之间的本质联系，没有依据题型规律建立解题模型．初中数学问题万变不离其宗，许多问题看似不同，但是深挖其本质，能够发现其题型结构高度相似．学生可按照此规律应用类比法解题，从把握问题本质入手，通过构建熟悉题型解决陌生问题，此为结构化类比．比如在 勾股定理的应用 知识领域，许多问题并非直接依托直角三角形呈现，而应用勾股定理解决问题，必须使问题满足 直角三角形 这一前提．教师可指导学生应用类比法挖掘问题的本质，将普通三角形题型转化为直角三角形题型，以便准确解题．㊀图１例题呈现㊀如图１所示的是一个圆柱形饮料罐，底面半径是５，高是１２，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分ａ的长度ｘ（罐壁厚度和小圆孔大小忽略不计）的范围是（㊀㊀）．Ａ．１２ɤｘɤ１３㊀㊀㊀㊀Ｂ．１２ɤｘɤ１５Ｃ．５ɤｘɤ１２Ｄ．５ɤｘɤ１３㊀㊀㊀解题技巧与方法１５９㊀㊀解题思路㊀若吸管垂直于饮料罐底部正中心，则吸管在罐内的长度最短，即１２．若吸管斜插入饮料罐，与饮料罐底部某一端重合，则吸管在罐内的长度最长．类比问题与 勾股定理的应用 基础题型，吸管㊁饮料罐底面半径㊁饮料罐高呈现直角三角形关系，吸管在饮料罐内的长度为直角三角形的斜边长，可将题中数学信息代入勾股定理公式，即ｘ＝５２＋１２２＝１３，吸管在饮料罐内的最长距离为１３，选项Ａ正确．初读问题，其考查对象缺乏清晰性，联系选项再读问题，类比吸管㊁饮料罐底面半径㊁饮料罐高与直角三角形短直角边㊁长直角边㊁斜边的联系，可确认本题为勾股定理基础题型的变形，故可利用直角三角形的勾股定理特性解题．（二）降维类比：分析已知条件，简化问题内容降维类比是指通过对问题复杂线索与已知简单信息的对比，将复杂问题化繁为简，从而由繁到简地解题．该解题技巧在初中数学解题中的应用，要求学生细心审题，联想分析已知条件．比如在学习 弧长及扇形的面积 这部分内容时，虽然教材已经讲解了弧长及扇形面积的计算公式，但是在某些求阴影部分面积的问题中，阴影部分并非扇形，学生极易陷入解题困境．教师可指导学生应用类比法分析阴影部分的已知条件，自主将阴影部分转化为简单的图形，化简问题，简化解题．㊀图２例题呈现㊀如图２，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，以点Ｂ为圆心，ＢＣ的长度为半径画弧，交ＡＢ于点Ｅ；以点Ａ为圆心，ＡＥ的长度为半径画弧，交ＡＤ于点Ｆ．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）解题思路㊀已知在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，则ＢＥ＝ＢＣ＝４，ＡＥ＝ＡＢ－ＢＥ＝２．Ｓ阴影＝Ｓ矩形ＡＢＣＤ－Ｓ扇形ＡＥＦ－Ｓ扇形ＢＥＣ，Ｓ阴影＝６ˑ４－９０πˑ２２３６０－９０πˑ４２３６０＝２４－５π．初看示意图，图中阴影部分为不规则图形，无法直接代入任何面积公式．结合已知信息展开类比，示意图整体为矩形，空白处为一大一小两个扇形，故而可将阴影部分转化为矩形与两个扇形的面积差．复杂问题与简单信息同时出现时，简单信息可为复杂问题提供解题思路，学生可在解题过程中，类比简单信息与复杂问题，将复杂问题简单化，简化解题过程．以本题为例，复杂问题为阴影部分面积，简单信息为矩形面积与扇形面积．经过降维类比，充分分析已知条件，找准化繁为简的切入点，问题简单化，代入公式轻松解决问题．（三）跨学科类比：应用非数学元素，发散解题思维根据‘义务教育数学课程标准（２０２２年版）“，义务教育数学课程特别设计跨学科主题活动，意在培养学生跨学科的应用意识与实践能力．跨学科是指将数学学科与其他非数学学科相联系，发散学生思维，使其将数学知识广泛运用在学习㊁生活中，同时迁移其他学科知识理解数学问题，跨学科类比由此成为类比法在初中数学解题中的应用技巧之一．教师在指导学生应用类比法解决初中数学问题时，应当避免局限在数学元素的归类㊁对比中，应使学生大胆应用非数学元素与数学元素的类比，实现创新解题．比如在 一次函数的应用 知识领域，许多问题为路程问题，学生可联系物理学科 平均速度的测量 等学习经验，类比分析路程问题，发散求解．例题呈现㊀从地面垂直向上抛射一个物体，在落地之前，物体向上的速度ｖ（ｍ／ｓ）是运动时间ｔ（ｓ）的一次函数．经测量，该物体的初始速度（ｔ＝０时物体的速度）为２５ｍ／ｓ，２ｓ后物体的速度为５ｍ／ｓ．（１）写出ｖ，ｔ的函数表达式．（２）经过多长时间后，物体将到达最高点？（此时物体的速度为０）．解题思路㊀（１）解：设ｖ＝ｋｔ＋ｂ，２５＝０＋ｂ，５＝２ｋ＋ｂ，{解得ｂ＝２５，ｋ＝－１０，{则ｖ＝－１０ｔ＋２５．（２）解：已知物体到达最高点时速度为０，则０＝－１０ｔ＋２５，解得ｔ＝２．５．答：经过２．５ｓ后，物体将到达最高点．类比数学元素与非数学元素，本题与物理中 平均速度的测量 相关．假设物体做平抛运动，其速度与时间仍存在函数关系，即ｖ＝ｋｔ＋ｂ．从地面垂直向上抛射的物体符合平抛运动特征，物体在下落的过程中不断减速，可直接设ｖ－ｔ关系式为ｖ＝ｋｔ＋ｂ．紧接着，运用 两点式 求解函数关系式，将（０，２５）（２，５）分别代入ｖ＝ｋｔ＋ｂ，可得到ｋ与ｂ的具体数值，解得ｖ＝－１０ｔ＋２５．最后根据题意，将ｖ＝０代入ｖ＝－１０ｔ＋２５，得到物体到达最高点的时间．㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀本问题体现了初中数学跨学科应用与实践理念，满足跨学科类比解题技巧在初中数学解题中的应用条件．细心审题会发现问题隐含的非数学元素，大胆联想，在物理知识与数学解题中建立通道，在物理层面还原 平抛运动 ｖ－ｔ图像，是类比解题的重要保障．学生可使图像跃然纸上，也可根据头脑中的图像记忆提炼函数关系式．此后，代入数学元素于函数关系式，学生可融合类比法与一次函数核心知识，高效解题．（四） 数 形 类比：运用数形结合思想，化抽象为直观数形结合是初中数学解题的 法宝 ．古今中外，无数数学家提出数形结合思想．数学问题的解决过程中，数是重要依据，形是关键工具．初中数学函数㊁方程㊁不等式㊁立体几何等问题中，学生均可运用数形结合思想解决问题，此为 数 形 类比．学生可根据问题已知条件化 数 为 形 或以 数 化 形 ，从而化抽象问题为直观信息，提高解题效率．比如在学习 应用一元一次方程 追赶小明 知识时，学生若无法凭借问题文字信息理清解题思路，便可应用 数 形 类比技巧，将问题文字转化为图形语言，以具象化的方程关系帮助解题．例题呈现㊀小彬和小强每天早晨坚持跑步，小彬每秒跑４ｍ，小强每秒跑６ｍ．（１）如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？（２）如果小强站在百米跑道的起点处，小彬站在他前面１０ｍ处，两人同时同向起跑，几秒后小强能追上小彬？解题思路㊀如图３，４．图３㊀同时相向起跑示意图解㊀设ｘ秒后两人相遇．（４＋６）ｘ＝１００１０ｘ＝１００ｘ＝１０答：如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，１０秒后两人相遇．图４㊀同时同向起跑示意图解㊀设ｙ秒后小强能追上小彬．４ｙ＋１０＝６ｙ２ｙ＝１０ｙ＝５答：小彬站在小强前面１０ｍ处，两人同时同向起跑，５秒后小强能追上小彬．类比问题第（１）小问与图３，小彬和小强同时相向起跑，两人相遇，即共同跑完１００米，可根据 路程和＝速度和ˑ时间和 等量关系，列出方程 （４＋６）ｘ＝１００ 解题．类比问题第（２）小问与图４，小彬和小强一前一后同时同向起跑，小强追上小彬时，小彬跑步的距离与两人跑步起点距离之和，等于小强跑步的距离，等量关系隐含在示意图中，可列出方程 ４ｙ＋１０＝６ｙ 并解题．本题为典型的相遇追及问题，共分为两个小问，学生若仅凭文字信息分析问题，极易落入解题陷阱，混淆一元一次方程的应用思维．学生若应用类比法，将文字信息类比为图形语言，即图３与图４，有助于将小彬和小强的相遇㊁追及关系具象化，把握等量关系，列出方程并解题．学生可结合题意应用类比法，通过图形表现归类和比较结果，从而快速判断等量关系，保证列方程㊁解方程的准确性．结㊀语基于类比法在初中数学解题中的应用价值，类比法在初中数学解题中的应用技巧已经成为教师关注的焦点．类比法在初中数学解题中的具体应用，可以是把握问题本质，构建熟悉题型，也可以是分析已知条件，简化问题内容，还可以是应用非数学元素，发散解题思维，更可以是运用数形结合思想，化抽象为直观．教师应当在初中数学课程中，积极指导学生应用类比法解决问题，使学生建立良好的解题思维，达成高效学习㊁学以致用．ʌ参考文献ɔ［１］唐美依． 类比法 让初中数学解题教学提质增效［Ｊ］．数学之友，２０２２，３６（２３）：１６－１７．［２］贺湘雲，赖冬梅．类比法在初中数学教学中的应用［Ｊ］．学周刊，２０２２（３５）：６１－６３．［３］段发一．类比思维在初中数学解题教学中的应用［Ｊ］．数理天地（初中版），２０２２（１６）：３３－３５．。
类比教学法在小学数学教学中的应用探究
2019第3期中（总第294期）XUE XIAO JIAO YAN ／学校教研小学是基础教育的初始阶段，在小学阶段有效培养学生的学习习惯以及数学学习思维对于学生今后的学习有很大的帮助，因此，如何在小学阶段提高学生学习数学的能力是小学数学重要的教学内容。
类比法简单讲就是用已知类似的数学解决方法来解答类似数学问题，类比法可以大大降低学生学习的难度，提高学生学习的效率，对学生学习习惯和学习能力的培养具有十分重要的作用，因此，小学数学老师应在实践教学中加强类别法的使用，有效提高小学数学课堂的教学质量。
一、类比法在小学数学教学中应用的作用（一）类比教学法提高知识的关联程度小学数学知识的关联度较高，小学数学老师可以运用类比法将已学习的知识与新学习知识进行类比，学生在学习新知识的同时也复习了已有的知识，可以帮助学生建立知识点脉络，复习巩固重难点，提高各知识点的关联程度，提高学生学习的效率。
例如，在学习小数乘法这一知识点时，老师可以分为整数乘法和小数知识点两个部分对学生进行讲解，整数乘法和小数的知识点在小数乘法学习之前已经做了详细的讲解，通过这两部分的讲解可以降低知识点的难度，提高学生对知识点的把握度和理解度。
（二）类比教学法提高学生知识理解力数学课程的学习具有一定的抽象性和逻辑性，小学是学生刚刚接触到数学学习阶段，数学能力没有完全建立起来，对许多复杂抽象的知识无法理解和掌握，有时会导致学生产生厌学情绪，不利于学生今后的学习和发展。
老师可以利用类比法加强学生对数学知识点的理解力，为学生今后的数学学习打好基础。
（三）类比教学法增强学生知识创新能力随着我国教育改革的不断深入，数学教学的目标由原来的注重知识点学习到注重学生综合素质的学习，老师在教学过程中除了知识点的教授外还需要培养学生的逻辑思维和创新能力，帮助学生进行知识的创新与研究，而类比法的学习可以将知识点的共通性通过类比进行比较和思考，为学生的自主学习提供了有效的方法，同时也为学生创新能力的培养打下了基础。
类比法在数学解题中的应用
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１５６㊀类比法在数学解题中的应用类比法在数学解题中的应用Һ陈镇伟㊀（福建仙游华侨中学，福建㊀莆田㊀３５１２００）㊀㊀ʌ文摘ɔ类比是两事物在一些方面相同或类似去推知在另外一些方面也相同或类似，但这种合情推理的结论可能正确，也可能错误，它还要靠逻辑推理去证明正确与否．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．有意识地培养应用类比法解题可提高思维能力和创造力，是获得新思路新发现的一条重要途径，并且能有效巩固和保持已有的知识．ʌ关键词ɔ类比；合情推理；数学问题；新旧问题；核心素养在瀚如浩海的初等数学题中，有大量的题目可用一种特殊的数学解题方法 类比法解决．什么是类比法呢？著名教育家波利亚说过， 在解答一个显然难以求解的问题时，提出一个适当的辅助问题，并加以解答，以找到解决原来问题的途径．这是一个最独特的智力活动 一个辅助问题，只要和原来问题相似，而且较为容易，它就可以给予方法论方面的意义 ．实际上类比法的实质就是如此．它是根据新旧问题在某些方面相似或相同，推导出它们在其他方面也可能相似或相同的方法，如果我们从逻辑上来看待类比法，它的形式就是数学推理中的类比推理，用符号表示即为：研究对象㊀㊀㊀㊀属性ȵ甲㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣＤ㊀乙㊀㊀㊀㊀㊀ＡＢＣʑ乙也有属性Ｄ．类比推理是一种或然推理，因而应用类比法所推得的结论是不确定的，我们不能把类比法作为一种严格的数学推理方法．但是，当我们面对一道数学题束手无策时，我们若考虑用类比法来打开思路，则往往能激发我们的思维火花，使我们找到解题线索，为解决问题描出一个大概的过程和轮廓．正如康德所说的： 每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进． 应用类比法解题，首先必须全面㊁细致地审清题意，在审清题意的基础上，在脑海中闪现出与此类似的旧问题及相关的理论，并深刻分析问题的实质所在，把未知问题和已知问题加以对照，从而根据已知结论对未知问题的结论做出预测，解决新问题．类比法的关键就在于善于从新问题联想到旧问题，并把新旧问题进行类比．在具体应用中，我们一般可以根据四个原则来进行类比解题，把新旧问题相类比，把简单与复杂问题相类比，把直观与抽象问题相类比，把学科间的问题相类比．一㊁把新问题和旧问题相类比已有的知识㊁经验和方法往往对我们所要解决的问题有着重要的指导意义，适当地把新问题和旧问题相类比，能开阔我们的思路，使我们寻得解题方法．例１㊀解方程ｘ３＋（１＋２）ｘ２－２＝０．分析㊀这是以ｘ为未知数的三次方程，学生对三次方程的解法较为陌生，但对一元二次方程的解法则是掌握的，因此，我们可考虑把三次方程转化为一元二次方程，观察原方程结构特点，若把ｘ视为 已知数 ，把 ２ 看作未知数，则原方程便可以看作关于 ２ 的一元二次方程．解㊀设ｙ＝２，则原方程可化为ｙ２－ｘ２ｙ－（ｘ３＋ｘ２）＝０，解方程得：ｙ＝－ｘ或ｙ＝ｘ２＋ｘ，ʑｘ＝－２或ｘ２＋ｘ－２＝０，ʑｘ１＝－２，ｘ２＝－１＋１＋４２２，ｘ３＝－１－１＋４２２是原方程的解．例２㊀已知ｘ，ｙ，ｚ均为实数，且ｘｙʂ－１，ｙｚʂ－１，ｚｘʂ－１，求证：ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．分析㊀此题若用代数方法证明，则很冗繁，由于这道题的结论形式是三个代数式和等于它们三者之积，因此我们可以回忆一下所解过的类似问题，如下题：在әＡＢＣ中，求证：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．这道题的证法是：ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝π，ʑＡ＋Ｂ＝π－Ｃ，等式两边取正切得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，去分母整理得：ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ．要将该题的证法进一步移植到原题中，还必须使：ｔａｎＡ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ．经过分析研究，证法如下：令ｘ＝ｔａｎα，ｙ＝ｔａｎβ，ｚ＝ｔａｎγ，Ａ＝α－β，Ｂ＝β－γ，Ｃ＝γ－α，则ｔａｎＡ＝ｔａｎ（α－β）＝ｔａｎα－ｔａｎβ１＋ｔａｎα㊃ｔａｎβ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ，同理ｔａｎＢ＝ｙ－ｚ１＋ｙｚ，ｔａｎＣ＝ｚ－ｘ１＋ｚｘ，ȵＡ＋Ｂ＋Ｃ＝（α－β）＋（β－λ）＋（λ－α）＝０，ʑＡ＋Ｂ＝－Ｃ，取正切得ｔａｎＡ＋ｔａｎＢ１－ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ＝－ｔａｎＣ，ʑｔａｎＡ＋ｔａｎＢ＋ｔａｎＣ＝ｔａｎＡ㊃ｔａｎＢ㊃ｔａｎＣ，即ｘ－ｙ１＋ｘｙ＋ｙ－ｚ１＋ｙｚ＋ｚ－ｘ１＋ｚｘ＝ｘ－ｙ１＋ｘｙ㊃ｙ－ｚ１＋ｙｚ㊃ｚ－ｘ１＋ｚｘ．二㊁把复杂问题和简单问题相类比面对复杂的问题，可把它简单化并解决之，从而获得解决原问题的启示和依据．例３㊀已知角α，β，γ，θ都是锐角，且α＋β＋γ＋θ＝π，求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的最大值．分析㊀这里的ｙ是多个角的三角函数的积，较复杂，求解难以入手，不妨先来探讨一个相似的简单问题：已知角α，β都是锐角，α＋β＝Ａ（Ａ为定值且０＜Ａ＜π），求ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的最大值．ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎ（Ａ－α）＝１２ｃｏｓ（２α－Ａ）－ｃｏｓＡ[]，㊀㊀㊀解题技巧与方法１５７㊀㊀依题设条件可知：当且仅当α＝Ａ２，即α＝β＝Ａ２时，ｙ取得最大值ｓｉｎＡ２()２．这个简单问题的解决给了我们什么启示呢？它使我们自然会猜想原问题正确的结论也许是：当且仅当α＝β＝γ＝θ＝π４时，ｙ取得最大值ｓｉｎπ４()４，这个结论果真正确吗？需要证明，直接证明此结论似难入手，正难则反，试证若α，β，γ，θ不都相等，则ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值就无法取到最大．有了前面对简单问题的探究，此命题是很容易解决的，事实上，若α，β，γ，θ不都相等，不妨设αʂβ，我们暂且固定γ，θ的值不变，而让α，β值变化．则有α＋β＝π－（γ＋θ）为定值，且０＜π－（γ＋θ）＜π．ȵαʂβ，ʑｓｉｎα㊃ｓｉｎβ的值不是最大，从而ｙ＝ｓｉｎα㊃ｓｉｎβ㊃ｓｉｎγ㊃ｓｉｎθ的值也不是最大，所以我们对原问题的猜想是正确的，问题得以顺利解决．例４㊀解方程组ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，（１）ｘ２＋ｙ２＋ｚ２＝３，（２）ｘ３＋ｙ３＋ｚ３＝３．（３）{分析㊀粗看之下，很难入手，若用代入消元法，则计算十分繁杂，因此先考虑方程组ｘ＋ｙ＝３，（４）ｘ２＋ｙ２＝５，（５）{虽然这两个方程组的元数，次数均不相同，但仍有不少与原题相似的地方，如每一方程未知数的次数都是一样的，都是关于未知数的轮换式，都没有不同未知数乘积的项等．根据ｘ＋ｙ＝３，再由（４）２－（５）２，求出ｘｙ＝２，根据韦达定理得方程ｘ２－３ｘ＋２＝０，ʑｘ＝１或２，ʑ方程组的解为ｘ１＝１，ｙ１＝２，{或ｘ２＝２，ｙ２＝１．{类比于上述解法，在原方程组中已知ｘ＋ｙ＋ｚ＝３，同样设法求ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ和ｘｙｚ的值，最后用韦达定理求解．具体解法是：由（１）２－（２）２得ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ＝３２－３２＝３，由（１）３－（３）得（ｘ＋ｙ＋ｚ）３－（ｘ３＋ｙ３＋ｚ３）＝２４，ʑ（ｘ＋ｙ）（ｙ＋ｚ）（ｚ＋ｘ）＝８，即（３－ｚ）（３－ｘ）（３－ｙ）＝８，ʑｘｙｚ＝１．根据韦达定理得ｕ３－３ｕ２＋３ｕ－１＝０，ʑ（ｕ－１）３＝０．从而可知ｘ＝１，ｙ＝１，ｚ＝１是原方程组的解．三㊁把抽象的问题和直观的问题相类比直观图形有助于挖掘问题的本质东西，帮助我们理清条序，迅速解题．图１例５㊀已知ａ＞０，ｂ＞０且ａ＋ｂ＝１，求证ａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．分析㊀我们注意到左边两个平方项有相同的结构，可以类比联想到具有这种结构的函数ｆ（ｘ）＝ｘ－１ｘ()２，利用导数性质容易断定此函数图像是凹的．如图１所示，ʑｆ（ａ）＋ｆ（ｂ）２ȡｆａ＋ｂ２()，ʑａ－１ａ()２＋ｂ－１ｂ()２ȡ９２．四㊁把这一学科的问题和邻近学科的问题相类比数学各门分科并不截然孤立，而是有着千丝万缕的联系的．正是由于这种学科间的相互联系，相互渗透使我们得以根据类比思想方法创造性解决问题，使思维得到更高层次发展．例６㊀从四面体的四个顶点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ分别向所对的平面引垂线，其长分别为ｈａ，ｈｂ，ｈｃ，ｈｄ，Ｐ为四面体内任一点，从Ｐ向Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四点所对的平面作垂线，垂线长分别为ｐａ，ｐｂ，ｐｃ，ｐｄ，求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝１．分析㊀立体几何问题一般可以和平面几何问题相类比，故可考虑如下的一平面几何题以获得启发．设әＡＢＣ的三边ＡＢ，ＡＣ，ＢＣ的高分别为ｈｃ，ｈｂ，ｈａ，并且三角形内任一点Ｐ到这三边的距离分别为ｐｃ，ｐｂ，ｐａ．求证：ｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝１．图２证法为：如图２，连接ＰＢ，ＰＣ，ｐａｈａ＝１２ＢＣ㊃ｐａ１２ＢＣ㊃ｈａ＝ＳәＰＢＣＳәＡＢＣ．同理ｐｂｈｂ＝１２ＡＣ㊃ｐｂ１２ＡＣ㊃ｈｂ＝ＳәＰＡＣＳәＡＢＣ，ｐｃｈｃ＝１２ＡＢ㊃ｐｃ１２ＡＢ㊃ｈｃ＝ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＝ＳәＰＢＣ＋ＳәＰＡＣ＋ＳәＰＡＢＳәＡＢＣ＝１．原题与上题类比可得证法如下：ｐａｈａ＝１３ＳәＢＣＤ㊃ｐａ１３ＳәＢＣＤ㊃ｈａ＝ＶＰ－ＢＣＤＶＡ－ＢＣＤ，同理ｐｂｈｂ＝ＶＰ－ＡＣＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｃｈｃ＝ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ，ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＢＣＶＡ－ＢＣＤ，ʑｐａｈａ＋ｐｂｈｂ＋ｐｃｈｃ＋ｐｄｈｄ＝ＶＰ－ＡＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＣ＋ＶＰ－ＢＣＤ＋ＶＰ－ＡＢＤＶＡ－ＢＣＤ＝１．可以说，在数学中类比法可解决许多难题，它的应用范围较为广泛，使用类比法解题要求我们首先要有扎实的知识基础，其次要善于联想，善于分析，合情推理，挖掘事物间本质㊁必然的联系，以经过论证的事实为依据，去推测出问题的结论．正是由于类比法的这种特征，所以教师有意识地培养学生应用类比法解题可提高学生思维能力和创造力，并且使其巩固和保持已有的知识，这是获得新思路新发现的一条重要途径．ʌ参考文献ɔ［１］吴卓．类比推理在高中生物新课程教学中的应用研究［Ｄ］．长春：东北师范大学，２０１１．［２］陈慧敏．把握问题结构叩开解决问题大门 用连除解决问题 教学思考［Ｊ］．教育界：基础教育研究（中），２０１６（０６）：５７－５９．。
类比法解题
类比法解题在解题过程中，可通过联想找到一个与要解答的题目相类似的原型题，用原型题的解题方法使新问题获得解答。
这种思考方法叫做类比法。
常见的类比题型如下：钟表问题：可以与环形跑道赛跑问题类比进行思考。
钟表中的时针和分钟与赛跑中的运动员是对应的，分针对时针的追及与运动员追及中的行程问题相似。
还有的题目可类比成工程问题、平均数问题等等。
例1 某时，分针与时针正好在一条直线上，至少再过多少时间，两针重合？提示：如果把时针、分针的运动看作是甲乙两运动员在跑道上赛跑，把时针1小时所走的一格看作路程单位，那么可以把上题类比成追及问题：甲乙两人同向而行，甲在乙前面6千米，甲每小时走1千米，乙每小时走12千米。
如果甲乙两人同时出发，乙经过多长时间能追上甲？拓展一小明每天6点回家吃晚饭。
一天，她妈妈从6点钟开始等，一直等到时针与分针第二次成直角时小明才回家，问小明几点钟回家的？提示：这道题也可以类比成追及问题，看作是两针在钟面作匀速圆周运动并且同向而行的问题。
当分针位于时针后面15格或者前面15格时，两针都成直角。
从6点整同时出发，分针在时针后面5×6=30（格），可列式为：拓展二有一只手表，每小时慢4分，早上8点整时将时间对准，那么当这只表指向12点整的时刻，实际时间是几点几分？提示: 如果将标准时间看作甲个人的工作量，手表时间看作工人的工作量，手表时间比标准时间每小时慢4分，即标准时间60分，手表时间走56分，可看成乙工人的工效是甲工人的5660，这样可把原题类比成工程问题：乙工人的工效是甲工人的5660，两人同时加工，当乙工人完成4份工作量时，甲工人完成多少工作量？拓展三某运输队为商店运输花瓶500箱，每箱6个花瓶。
已知每10个花瓶的运费为5.5元，损坏一个花瓶，要赔偿成本11.5元（这只花瓶的运费当然也就得不到了），结果运输队共得到1553.6元。
共损坏了多少只花瓶？提示：这样的问题可以类比为鸡兔同笼问题来解答。
初中数学课堂教学中类比法的应用
初中数学课堂教学中类比法的应用初中数学教学强调知识的发生、发展过程，即在发展学生智力因素的同时也发展非智力因素，以提高全体学生的数学素质。
《初中数学新课程标准》强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。
从教学具体内容来看，知识是抽象的，因此，在初中数学课堂教学中对学生进行数学思想方法的渗透是非常必要的。
在众多的数学思想方法中，类比法是其中一种常用并且有效的方法。
康德曾说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。
”类比是根据两种或两类对象在某些方面的相似，得出它们在其他方面也有可能相似的结论。
通过类比，学生可以发现新旧知识的相同点，利用已有的旧知识，来认识新知识。
类比不仅能突出问题的本质，提高教学质量，而且有助于培养学生的创造能力等思维品质，提高认识问题和解决问题的能力。
这也是素质教育所需求的核心内容。
下面就本人的教学实践来谈谈初中数学教学中类比思想的一些应用。
一、新旧概念、法则、定理的类比数学概念是数学知识的基础，对于许多概念的教学，可先引导学生研究已学过的概念属性，然后创设类比发现的问题情境，引导学生去发现，尝试给新概念下定义，这样新的概念容易在原有的认知结构中得以同化与构建。
如“一元一次方程”与“一元一次不等式”，“ 一元一次方程”与“一元二次方程”，“ 一元一次方程”与“二元一次方程”等概念都可以通过类比思想去展开教学。
此外，在开立方与开平方的概念，中心对称与轴对称的概念；扇形面积公式与三角形面积公式等等，都可以通过类比法进行教学。
欧拉曾说过：“类比就是大胆创造，不过，你应该先找到双方的相似属性。
”如在学习分式这章时，分式加减法则与分数加减法则类比，以旧引新，使学生对新的定理的理解会更深入、记忆也会更加牢固，运用会更灵活。
在讲授相似三角形时，由于“相似”与“全等”有很多类似的地方，便于使用类比法。
类比法在初中数学教学
类比法在初中数学教学中的应用松江区九亭中学 彭晓丹类比是根据两个事物之间的相似性，得出这两个事物的其他相似性质的一种推理方法。
通过类比能找出新旧知识之间的相同点，利用已掌握的旧知识学习新知识。
学生在学习数学的过程中有一个困惑，就是尽管做了大量的题目，但一旦考试遇到新题型或稍稍变换一下，就不知从何下手，原因是在平时的学习中，缺乏掌握数学思考方法。
掌握一种新的思考方法要比学会解几道具体习题更为重要，这些解题方法和技巧是数学不可或缺的工具，数学方法的领悟在数学学习中起到事半功倍的效果，本文笔者就数学类比法在初中教学中的应用谈谈个人的观点。
一、 类比相同点和不同点，加深知识的理解在数学教学中我们会发现许多知识点是相近或相反的，如果学生对知识点理解不透彻，那么就很容易出现知识点之间的混淆。
如果在教学中能对相近或相反的内容进行类比，那么能使学生加深对概念、定理、公式、典型例题的理解和应用。
如：在学习无限循环小数时，学生会错误的认为无限循环小数就是有规律的数。
若从正面反复强调无限循环小数的概念，消除学生误解的效果不明显，如果巧妙的运用正反类比，举一反例：0.1212212221….是循环小数吗？则能很快澄清模糊概念。
教材中有很多知识点可以进行类比异同，例如，分式有意义与无意义进行比较，分式的值为正数与值为负数进行比较，一元二次方程有实数根与无实数根进行比较，两圆的位置关系与圆心距和半径关系进行外离、外切、相交、内切、内含的比较等。
二、 类比旧知，促进正迁移迁移是一种学习情境对另一种学习情境的影响。
教师应充分利用学生认知心理的“正迁移”规律，引导学生把具有某些相同或相似结构的对象加以类比，应用已学过的旧知识，以旧引新。
通过知识迁移，建立合理、实质性的联系，帮助解决教学中教材的难点。
1、 运用类比方法引进新概念例如：在学习分式时，关键是用分数类比的方法导出分式的概念，分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零。
类比思维在高等数学中的应用
职业教育◇高等数学是一切自然科学的基础，高等数学教学的主要目的是要让学生掌握数学的基本理论知识，学会运用数学思维和思想解决问题。
(本文来源:轩辕文献网)教学实践证明，只要运用科学的思维方法学习这些理论知识，尤其是对相关内容进行类比，不仅能使难理解的概念容易理解，难记忆的公式更容易记忆，而且可以使解题思路变得更加开阔。
1.什么是类比法类比法是指由两个对象内在关系某方面的相似推出他们在结论方面也可能相似的一种推理思维方法，它是数学研究中最基本的创新思维形式，历史上的很多数学结论都是应用这种方法建立的。
下面将通过举例来说明大学数学中应用类比法产生的结论：高等数学中，闭区间上的连续函数有如下性质：性质1（最大值与最小值定理）：在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值。
性质2（介值定理）：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，则f(x)可以取其最大值与最小值之间的一切值。
利用类比法，我们可以得到多元函数在闭区域上类似的性质：性质1：在有界闭区域上的连续函数一定有最大值和最小值。
性质2：设函数f(x，y)在有界闭区域上连续，则f(x，y)可以取其最大值与最小值之间的一切值。
如果掌握了得到定积分概念的过程（分割、求和、取极限）的思想，那么二重积分的概念通过类比的方法就很容易得到。
在《概率论》中，事件独立性的概念是：设A，B 是两个事件，若P(AB)=P(A)P(B), 则两个事件A 与 B 独立。
在定义两个随机变量之间的独立性时，也有类似的结论：设X，Y 是两个A，B 随机变量，若（X，Y）的联合分布函数F(x，y)=FX(x)FY(y), 则，随机变量X，Y 独立。
同样，高等数学中的牛顿-莱布尼兹公式，格林公式，高斯公式和斯托克斯公式也是类比推理方法的产物。
在常微分方程的内容中，一阶线性非齐次微分方程的通解是其对应的齐次微分方程的通解加该非齐次微分方程的特解，通过类比可得到以下结论：结论1：二阶线性非齐次微分方程的通解是其对应的齐次微分方程的通解加该非齐次微分方程的特解。
浅论如何在数学解题中培养学生的类比思想-最新文档
浅论如何在数学解题中培养学生的类比思想
类比思想，是根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相同或相似而推出它们在其他方面也可能相同或相似的一种逻辑
思维方法，它是高中数学重要的思想方法之一。
哲学家康德说过：“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往可以指引我们前进。
”类比法是从旧知识推出新知识的一种思考方法，也是探究新方法的一条有效途径，更可以培养学生的创新意识，提高认识问题和解决问题的能力。
本人结合自己的教学，从三个方面来浅述如何在数学解题中培养学生的类比思想。
一、结构类比，拓宽解题思路
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。
例1.等差数列与等比数列类比。
类比法在数学解题中的应用_数学教育
类比法在数学解题中的应用_数学教育
类比法在数学解题中是一种非常重要的应用方法。
类比法是指将一个问题与已知解决方法相似的问题进行比较，从而推导出未知问题的解决方法。
例如，在解决一个复杂的代数方程的时候，我们可以先寻找类似的已知问题，然后应用相同的解决方法来解决问题。
如果我们已经知道了一个类似的问题的解决方法，那么我们可以将其类比到未知问题上，从而简化并加速解题过程。
类比法在数学教育中也是非常重要的工具，因为它可以帮助学生理解抽象的概念和理论，以及建立重要的数学思考能力。
通过类比法，学生可以将以前学到的知识应用到新的问题中，从而加深对数学概念的理解，并提高数学解题的能力。
总之，类比法在数学解题中的应用非常广泛，不仅可以帮助我们快速解决数学问题，同时也可以帮助我们更好地理解数学概念，提高数学思维能力和解题能力。
类比法在小学数学教学中的运用 (5)
类比法在小学数学教学中的运用：数学是一门重要的学科，它可以让我们在生活中更好的理解和应用，而数学教学也是学生必修的课程。
但是，少数学生对数学的学习及理解存在困难。
在小学数学教学中，教师可以运用不同的教学方法，以便更好地促进学生的学习。
本文将探讨其中一个较为常用的类比法，以及如何在小学数学教学中运用该方法，让学生更好地理解和应用数学知识。
一、类比法的简介类比法是一种教学方法，它通过将所学知识与某些具体的事物相比较来加深学生的理解，并提高其记忆和应用能力。
这种方法不仅可以帮助学生更好地理解所学内容，还可以引起他们的兴趣，从而开发他们的创造力和想象力。
二、类比法的优点类比法有以下优点：1.提高学生的理解能力：类比法将所学知识与具体的事物相比较，易于让学生理解其内涵和逻辑。
2.促进学生的记忆能力：在类比中，学生可以通过观察和记忆事物的特征和规律，来应用到所学知识中，进而加深记忆。
3.激发学生的情感投入：类比法运用生动具体的事例，帮助学生在学习过程中加深对知识的喜爱和情感认同，激发学生的学习兴趣和积极性。
三、类比法在小学数学教学中的运用1. 数学概念类比法在数学教学中，教师可以将数学概念与生活中的具体事例相比较，来帮助学生理解和应用所学知识。
例如，教师可以以自行车的轮子为例来讲解圆形的周长和面积，以公共汽车站的候车人群密集程度来理解概率的含义等等。
2. 数学运算法则类比法数学运算是数学学习的重要组成部分，教师可以将数学运算规则与具体的生活事例相比较，辅助学生理解记忆所学内容。
例如，让学生将一些有规律的实物排列起来，如彩色珠子、小球等，以此来演示数列和等数学知识。
3. 数学问题类比法在数学问题的解决中，教师可以通过丰富的类比法找到问题的关键，引导学生将所学知识和生活中的情境联系起来。
例如，教师可以将数学问题与魔方一起讲解，让学生通过旋转魔方来理解正反对称、平移对称等数学概念。
四、小学数学教学中应用类比法的优缺点小学数学教学中应用类比法的优点是十分显著的，它可以让学生在生动具体的情境下认知他们所学的知识，从而提高他们的学习效果。
中学数学中的类比法及其功能研究
中学数学中的类比法及其功能研究类比法是一种常见的数学思维方法，它可以帮助中学学生分析和解决各种复杂的数学问题。
这种思维方法主要是通过把新的数学问题和熟悉的数学知识所形成的类比，从而帮助学生从历史经验中得出结论，从而便于理解新的问题以及解决新的问题。
类比法有助于促进中学生思考深刻，并以新的观点去看待问题，把平时所学的各种数学概念联系起来，把新的数学问题和熟悉的数学问题相结合，从而形成新的类比，同时可以加强和巩固学习的效果。
类比法也有助于帮助学生在解决各种不同的数学问题时能够有序而系统地思考，加快解题的进程，从根本上提高解决问题的能力。
此外，类比法还可以锻炼学生的分析思考能力，帮助学生掌握复杂数学问题的分析思维模式，培养学生对数学问题的总体思维能力，增强学生对数学问题的感性认知，从而增强学生在分析解决数学问题中的解决问题能力。
总之，类比法是一种较为常用的数学思维方法，它可以帮助中学生在解决数学问题时更有效率、更有系统、更有分析性，从而更好地掌握数学知识，更好地掌握总体思维能力，更好地掌握解决问题的方法，从而使中学生能够更有效率、更全面地掌握数学知识，提高数学成绩。
类比法也为中学数学教学和学习带来了新的视角。
首先，类比法可以帮助教师更好地利用课堂上各种不同的数学课程资源，将新的数学知识灵活的与历史的经典知识相结合，更好地引导学生在理解新知识时可以从自身学习经历进行比较，从而快速理解新知识，并能够很快活学到正确的概念。
其次，类比法可以帮助学生把数学学习看成一个系统的拼图游戏，使学生思路更加开阔，为解决数学问题找到一条新的解决途径，使数学学习变得轻松有趣。
最后，类比法帮助学生在解决数学问题时建立积极的情绪，当学生发现自己的类比是正确的，当他的解题思路正确的时候，可以增加他的信心，激发他的学习兴趣，从而使他对数学学习有更高的兴趣，更好地激发他对数学学习的热情，从而达到优化数学学习效果的目的。
在实际教学中，类比法可以帮助教师将复杂的数学课文简单化，使学生能够更加快速地理解和掌握。
类比法在高中数学解题教学中的应用
教学参谋解法探究2017年11月类比法在高中数学解题教学中的应用江省宁波中学陈文雅类比法是数学解题方法中/种重要的方法，教师/定要认真总结、积累经验.从完善数学解题技巧的教学 理念出发，提高自身的数学思维逻辑能力，使学生对于 高中数学问题解答简单而高效.一、 高中数学类比法理论内涵学生遇到很多数学问题时都会联想到某种数学定 义或者概念，常常会有“似曾相识”的感觉，教师应该把 这些类似点进行不断的整合和比较，并加以联想，会得 到许多意想不到的课堂教学效果，通常情况下，这种把 类似点进行比较、不断联想，由/个数学对象或者某种 特定规律和已知特殊性质迁移到另/个数学对象上，进 行扩展、推移、猜测、结合等，从而获得另/个对象的性 质，提高学习效率的方法就是类比法.类比法是/种高效的学习方法，它不仅是从特殊到 /般的推理方法，也是/种从各个层面、各个角度寻求 解题思路，猜测问题答案或结论的数学解题方法.二、 高中数学类比法解题教学1.注重类比法解题策略，灵活运用数学思想在运用类比思想进行数学解题的过程中，要学会将 题目进行简化，并结合各类数学概念和公式，找到数学 解题的突破口.通过类比命题的解决思路，进行逻辑推 理，寻求新的解决思路与方法.比如可先将多元问题转 化为少元问题，高次函数转化为低次函数，高次问题转 化为低次问题，普遍问题转化为特殊问题等.例1/个球从100米高处自由落下，每次着地后又 跳回至原高度的/半落下，请根据数学知识进行类比思 考，求当它第10次着地时，共经过了多少米？解析：根据题意，在100米的过程中，小球/上/下74十•？炎，？高中版共经过了 2x^°°=100米，类比可知，球第10次着地时共2经过的路程为100+100+I+I+I+…+1"100+2 2*2232(100$(")j2 &300(米），即共经过300米的路程.1-丄22. 熟悉类比法解题模式，培养学生数学意识教师要加强学生的数学意识，首先应是加强课堂 数学活动的教学，从网络上搜寻各种有利于学生思考 和想象的学习问题，使书本上的知识“活”起来.许 多新知识往往是由于若干旧有知识点的重新堆积和组 合，或是旧有知识的引伸和扩展从而演变而来的，通 过/系列的思维活动把知识串起来，真正做好类比法的 运用.教师/定要培养学生善于发现细节的能力和扩展 知识点的能力，旧知识是学习新知识的基础，而反过来 新知识是旧知识的延伸和发展，两类知识相辅相成，协 调发展.在高中数学课堂的教学中，采用类比的方法既 可以加强学生对知识间的纵向沟通，同时又鲜明地展示 了类比知识的获取过程，把新知识纳人原有认知结构 中，这样使学生将所学知识条理化、系统化.3. 完善类比法解题教学，提高学生数学思维能力对于类比法在高中数学教学中的应用，有关专家已 经做了比较系统、全面的研究，教师可以合理地针对学 生的学习进度，进行教学研究.在教学等比数列和等差 数列时，教师可以训练学生的类比思想.例2已知等差数列|%\的前&项之和记为'…，'1。
类比法在高中数学教学中的应用
类比法在高中数学教学中的应用【摘要】类比法在高中数学教学中扮演着重要的角色，能够帮助学生更好地理解抽象的数学知识。
在代数学习中，类比法可以将代数表达式和现实生活中的情景联系起来，帮助学生理解概念。
在几何学习中，类比法可以通过类比物体之间的相似性来解决几何问题。
在概率统计学习中，类比法可以帮助学生理解概率事件的发生规律。
通过实际案例，我们可以看到类比法在数学解题中的实际应用效果。
有效地运用类比法进行数学教学，可以提高学生的学习兴趣和学习效果。
类比法在高中数学教学中发挥着重要作用，并且未来仍有广阔的应用前景。
【关键词】高中数学教学、类比法、代数、几何、概率统计、数学解题、教学方法、学习效果、实际案例、教学技巧、教学应用、数学教育、应用前景。
1. 引言1.1 介绍类比法在高中数学教学中的重要性类比法在高中数学教学中起着至关重要的作用。
通过类比法，教师可以将抽象难懂的数学知识转化为生活中常见的事物或现象，使学生能够轻松理解和掌握数学概念。
类比法可以激发学生的学习兴趣，让他们更加主动积极地参与到数学学习中。
在高中数学教学中，许多抽象概念和推理过程对学生来说是较难理解的。
而通过类比法，教师可以引入生活中的类比事例，帮助学生建立直观的认识，加深他们对数学知识的理解。
比如在解释向量的加法时，可以比喻成两个人在不同方向上的力的合成，让学生更容易掌握向量的概念。
类比法还可以帮助学生将不同的数学知识联系起来，构建知识体系。
通过将不同领域的概念进行类比，学生可以更好地理解数学的整体架构，提高他们的综合运用能力和解决问题的能力。
类比法在高中数学教学中的重要性不可忽视，它不仅可以帮助学生理解抽象概念，提高学习兴趣，还可以促进知识的整合和运用。
通过合理运用类比法，可以使数学教学更加生动有趣，让学生更有效地掌握数学知识。
1.2 阐述类比法对学生学习数学的帮助类比法在高中数学教学中的应用是非常重要的，它能够帮助学生更容易地理解抽象的数学概念，提高他们的学习效率。
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类比法在数学解题中的应用
摘要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。
关键词：类比法；数学解题；应用
类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相
同或相似的思维方法，它通常称为类比法。
它是以比较为基础，通过对两个(或两类)不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。
其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。
类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。
类比分为简单类比和复杂类比两类。
简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为
对象 A具有属性 a、b、c，
对象B具有属性a、b
猜测对象B具有属性c
复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其
模式为
H蕴涵A
H蕴涵B，B真
猜测 A可能真
类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。
运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：
类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。
在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。
利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。
下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。
一、平面几何与立体几何的类比
有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。
例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为12,S S ，则必有( )
(A) 12S S > (B) 12S S < (C) 12S S = (D) 12S S 与的大小关系不能确定
图1 图2
分析 本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比:
由此可得到平面几何中相应的问题：
如图2，在ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将ABC 分成面积相等的两部分,设AEF 与四边形EBCF 的周长分C
别为L1、L2，求L1、L2关系。
设内切圆半径为r ，将四边形BCEF 分割为EOB BOC COF 、、三部分, 将AEF 分割为,AOE AOF ,则
EOB BOC COF AOE AOF S S S S S ++=+
∴()(),BE BC CE r AE AF r ++=+
∴AE AF BE BC CE +=++
由此得L1=L2，由类比思维可以猜想例1中的12S S =，其思路与相应的平面几何问题相仿，即将四棱锥A-BEFD 分割为O-ABD,O-ABE,O-ADF 与O-BEFD 四部分，而将三棱锥A-EFC 分割为O-AEC,O-AFCO-EFC 三部分，再利用两部分体积相等求解，本题答案为C 。
除此之外，高中数学中常见的还有解析几何中不同圆锥曲线之间性质的类比，不同类型三角函数性质的类比，等差数列与等比数列的类比，平面向量与空间向量的类比。
我们也可以利用两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或猜想。
例2 在ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥于D 。
求证：222
111AD AB AC =+，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由。
证明：如右图所示，由射影定理，
222,,,AD BD DC AB BD BC AC BC DC =⋅=⋅=⋅ 所以：
又222BC AB AC =+,
2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+⋅，即222111AD AB AC
=+。
猜想：类比,AB AC AD BC ⊥⊥，猜想四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两B
C
22
22211BC BC AD BD DC BD BC DC BC AB AC ===⋅⋅⋅⋅⋅
垂直，AE BCD ⊥平面，则
2222
1111AE AB AC AD =++。
证明上述猜想成立。
如右图所示，连接BD 交CD 于F ，连接AF 。
因为,AB AC AD BC ⊥⊥，所以AB ACD ⊥平面。
而AF ACD ⊂面，故AB AF ⊥。
在Rt ABC 中，AE BF ⊥,故
222111.AE AB AF
=+ 在Rt ACD 中，AF CD ⊥,故222111.AF AC AD
=+ 所以：22221111AE AB AC AD =++．故猜想正确。
二、形式结构上的类比
某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。
例3 任给7 个实数(1,2,3,7)k x k =，证明其中有两个数,i j x x ，满足不等式
01i j
i j x x x x -≤≤+ 分析 若任给7 个实数中有某两个相等，结论显然成立。
若7 个实数互不相等，则难以下手，但仔细观察可发现：1i j
i j x x x x -+与两角差的正切公式在结构上极
为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为三角问题。
作代换：tan (1,2,,7)k k x a k ==，证明必存在,i j x x
满足不等式0tan()i j a a ≤-≤。
证明 令tan (1,2,,7)k k x a k ==，,22k a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，则则原命题转化为： 证明存在两个实数,,22i j a a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
，满足0tan()i j a a ≤-≤ 将,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦平均分为6个子区间，则在17,,a a 中至少有两个落到同一个子区间
内，不妨设为,i j a a ，故有06i j a a π≤-≤，于是0tan()3
i j a a ≤-≤。
从而0tan()
i j a a ≤-≤。
三、多元与少元的类比
将复杂的多元命题类比较简单的少元命题，通过求解简单命题的思路和方法，寻求解决多元命题的思路和方法。
即方法上的类比。
例4 已知0(1,2,3,)i x i n ≥=，且121n x x x +++=。
求证：
1n x ≤+≤分析 我们可先类比简单问题：
已知：12120,0,1,1x x x x ≥≥+=≤≤且求证：
该题的解题思路是：由1211x x +=≤≤，得0，
∴1212x x ≤++≤
即 212≤
≤，
∴1≤≤
上述证明过程中用到了基本不等式和配方法，这正是要寻找的证明原命题的思路和方法。
证明 由基本不等式，有
0i j x x ≤+，
12102
(1)()1n i j n x x x n ≤≤≤≤≤-+++=-∑
12112,n i j x x x n ≤≤≤≤++
++≤∑
即 21),n x n ≤+≤
1n x +≤ 多元问题类比为少元问题解决的思想方法，我们不难想到，有关高次问题也可以类比到低次问题，普遍问题类比为特殊问题等。
四、数与形的类比
数是代数问题研究的对象，形是几何问题研究的对象。
常常在解析几何中我们运用数形结合的思想方法解决问题。
其实在研究其他数学问题时，有时也可以将“数”、“形”结合，已达到化简为繁，使所研究的问题变得简捷、直观。
例5 已知,,αβγ为锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=。
求证：tan tan tan αβγ≥
分析 已知,,αβγ的余弦平方和为1，可以将它们类比成长方体ABCD —— 1111A B C D 的对角线1AC 与相邻三条棱的交角，此时关系式
222cos cos cos 1αβγ++=成立。
故而可以借助长方体的三边长a,b,c 类表达三个正切的积，最后再由基本不等式获得证明。
tan tan tan a b c
αβγ=⋅⋅
≥= 类比是数学中发现概念、定理、公式的重要手段，也是开拓新领域、创造新分支的重要手段，类比的关键是把两个对象之间的某种相似性确切的表达出来。
类比思想有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性，值得我们研讨。
参考文献
【1】（美)波利业（Polya,G .）．数学与猜想：数学中的归纳和类比．北京：科学出版社．2001
【2】朱月珍．一种特殊的数学思维方法——类比法．甘肃高师学报．2008．13．5
【3】孙卫东．浅谈类比法在数学教学中的应用．甘肃科技纵横．2006．2。