类比法在数学解题中的运用

类比法在数学解题中的应用

摘要：类比是一种重要的逻辑方法，通过列举实例来说明类比法在数学解题中的应用，可以拓宽数学的解题思路，有助于培养学生的灵活性、独创性、广阔性和敏捷性。

关键词：类比法；数学解题；应用

类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相

同或相似的思维方法，它通常称为类比法。它是以比较为基础，通过对两个(或两类)不同的对象进行比较，找出它们的相同点或相似点，然后以此为依据，将关于某一些知识或结论推移到另一种对象中去。其结论的可靠程度依赖于两个研究对象的共同属性，一般说来，共有属性愈多，结论的可靠程度就愈大；共有属性于是本质的，结论的可靠程度就愈高。类比既是一种逻辑方法又是一种科学研究的方法，它是人们思考问题和处理问题的重要手段，是发明创造的一把金钥匙。

类比分为简单类比和复杂类比两类。简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征，其模式为

对象 A具有属性 a、b、c，

对象B具有属性a、b

猜测对象B具有属性c

复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测，其

模式为

H蕴涵A

H蕴涵B，B真

猜测 A可能真

类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其正确性，还必须经过严格的逻辑论证。运用类比法解决问题，其基本过程可用框图表示如下：

类比思维在数学知识的延伸拓展过程中常借助于比较、联想，用作启发诱导以寻求思维的变异和发散。在数学学习中，我们可以通过类比学习新知识，也可以通过类比来寻求解题思路，甚至通过类比来推广数学命题。利用类比法，可使我们的思维能力、观察能力得到良好的锻炼。下面我们从数学解题的角度来谈谈类比法的应用。

一、平面几何与立体几何的类比

有些立体几何问题的解决可类比于平面几何问题解决的思路方法，有时可简化运算与推理，优化解题过程。

例1 如图1，在四面体ABCD 中，截面AEF 经过四面体的内切球（于四个面都相切的球）的球心O ，且与BC 、DC 分别截于E 、F ，如过截面将四面体分成体积相等的两部分，设四棱锥A —BEFD 与三棱锥A —EFC 的表面积分别为12,S S ，则必有( )

(A) 12S S > (B) 12S S < (C) 12S S = (D) 12S S 与的大小关系不能确定

图1 图2

分析 本题是立体几何问题，将立体中的有关图形、有关量与平面相应的元素进行类比:

由此可得到平面几何中相应的问题：

如图2，在ABC 中，直线EF 经过其内切圆的圆心O ，且与AB 、AC 分别交于E 、F ，如果线段EF 将ABC 分成面积相等的两部分,设AEF 与四边形EBCF 的周长分C

别为L1、L2，求L1、L2关系。

设内切圆半径为r ，将四边形BCEF 分割为EOB BOC COF 、、三部分, 将AEF 分割为,AOE AOF ,则

EOB BOC COF AOE AOF S S S S S ++=+

∴()(),BE BC CE r AE AF r ++=+

∴AE AF BE BC CE +=++

由此得L1=L2，由类比思维可以猜想例1中的12S S =，其思路与相应的平面几何问题相仿，即将四棱锥A-BEFD 分割为O-ABD,O-ABE,O-ADF 与O-BEFD 四部分，而将三棱锥A-EFC 分割为O-AEC,O-AFCO-EFC 三部分，再利用两部分体积相等求解，本题答案为C 。

除此之外，高中数学中常见的还有解析几何中不同圆锥曲线之间性质的类比，不同类型三角函数性质的类比，等差数列与等比数列的类比，平面向量与空间向量的类比。

我们也可以利用两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题或猜想。

例2 在ABC 中，,AB AC AD BC ⊥⊥于D 。 求证：222

111AD AB AC =+，那么在四面体ABCD 中，类比上述论据，你能得到怎样的猜想，并说明理由。

证明：如右图所示，由射影定理，

222,,,AD BD DC AB BD BC AC BC DC =⋅=⋅=⋅ 所以：

又222BC AB AC =+,

2222222111AB AC AD AB AC AB AC +==+⋅，即222111AD AB AC

=+。 猜想：类比,AB AC AD BC ⊥⊥，猜想四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两B

C

22

22211BC BC AD BD DC BD BC DC BC AB AC ===⋅⋅⋅⋅⋅

垂直，AE BCD ⊥平面，则

2222

1111AE AB AC AD =++。 证明上述猜想成立。 如右图所示，连接BD 交CD 于F ，连接AF 。

因为,AB AC AD BC ⊥⊥，所以AB ACD ⊥平面。

而AF ACD ⊂面，故AB AF ⊥。

在Rt ABC 中，AE BF ⊥,故

222111.AE AB AF

=+ 在Rt ACD 中，AF CD ⊥,故222111.AF AC AD

=+ 所以：22221111AE AB AC AD =++．故猜想正确。 二、形式结构上的类比

某些待解决的问题没有现成的类比物，但可通过观察，凭借结构上的相似性等寻找类比问题，然后可通过适当的代换，将原问题转化为类比问题来解决。

例3 任给7 个实数(1,2,3,7)k x k =，证明其中有两个数,i j x x ，满足不等式

01i j

i j x x x x -≤≤+ 分析 若任给7 个实数中有某两个相等，结论显然成立。若7 个实数互不相等，则难以下手，但仔细观察可发现：1i j

i j x x x x -+与两角差的正切公式在结构上极

为相似，故可选后者为类比物，并通过适当的代换将其转化为三角问题。作代换：tan (1,2,,7)k k x a k ==，证明必存在,i j x x

满足不等式0tan()i j a a ≤-≤。 证明 令tan (1,2,,7)k k x a k ==，,22k a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

，则则原命题转化为： 证明存在两个实数,,22i j a a ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦

，满足0tan()i j a a ≤-≤ 将,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦平均分为6个子区间，则在17,,a a 中至少有两个落到同一个子区间