网络图优化
第八讲图与网络优化
28.06.2021
湖州师范学院商学院
8
第八讲 图与网络优化
一、图与树
图的相关概念
定理1 图G=(V，E)中，所有点的次之和是边数的两倍，
即： d(v) 2q vV
证明：显然，在计算各点的次时，每条边被它 的端点各用了一次。
28.06.2021
28.06.2021
湖州师范学院商学院
22
第八讲 图与网络优化
一、图与树
树的性质
由定理5，很容易推出如下结论：
(1) 从一个树中去掉任意一条边，则余下的图是 不连通的。由此可知，在点集合相同的所有图中，树 是含边数最少的连通图。
(2) 在树中不相邻的两个点间添上一条边，则恰 好得到一个圈。进一步地说，如果再从这个圈上任意 去掉一条边，可以得到一个树。
( v 1 ,( v 1 ,v 3 ) ,v 3 ,( v 5 ,v 3 ) ,v 5 ,( v 5 ,v 6 ) ,v 6 )是一条链，但不是路。
注：对无向图，链 与路(圈与回路)两个概 念是一致的。
28.06.2021
湖州师范学院商学院
17
第八讲 图与网络优化
一、图与树
树
树：一类极其简单然而却很有用的图。
现在来证明：v1是悬挂点，即d(v1)=1。
用反证法，如果d(v1)≥2，则存在边 v1 ,vm 且m≠2。若点
vm不在P上，那么 (vm,v1,v2, ,vk)是G中的一条初等链，它含 的边数比P多一条，这与P是含边数最多的初等链矛盾。若点vm
在P上，那么 (v1,v2, ,vm,v1)是G中的一个圈，这与树的定义矛 盾。于是必有d(v1)=1，即v1是悬挂点。同理可证vk也是悬挂点， 因而G至少有两个悬挂点。
学会使用网络图片处理软件优化图片效果
学会使用网络图片处理软件优化图片效果一、简介随着互联网和社交媒体的普及，图片已经成为人们日常生活和工作中必不可少的一部分。
为了在网络上吸引更多的关注和用户，我们需要学会使用网络图片处理软件来优化图片效果。
本文将介绍一些常用的网络图片处理软件以及它们的功能和使用技巧。
二、常用网络图片处理软件1. Photoshop作为最知名的图像处理软件之一，Photoshop提供了强大的功能和工具，适用于从简单的调整到复杂的图像编辑。
它可以帮助我们修复图片中的瑕疵、调整色彩和光线、添加特效和滤镜等。
2. GIMPGIMP是一个开源的图像处理软件，具有类似于Photoshop的功能。
与Photoshop相比，GIMP具有更低的学习曲线和更友好的用户界面。
它支持多种文件格式，包括JPEG、PNG、GIF等，并提供了许多工具和滤镜供用户选择。
3. PixlrPixlr是一个在线图像编辑器，允许用户直接在浏览器中编辑和处理图像。
它提供了一套强大的工具，可以进行基本的图像调整、添加文字、修复图片缺陷等。
此外，Pixlr还具有一些特殊效果和滤镜，可以让图片更加生动和吸引人。
三、优化图片效果的常用技巧1. 裁剪图片裁剪是一种常见的优化图片效果的方式。
通过将图片的不必要部分去除，可以使图片更加专注和吸引人。
在裁剪图片时，应该留意视觉重点的位置，并确保裁剪的比例和尺寸符合需要。
2. 调整亮度和对比度亮度和对比度是影响图片质量的重要因素。
通过调整亮度，可以使图片更明亮或更暗，而调整对比度可以增强图片的细节和鲜明度。
网络图片处理软件通常提供了简单的滑动条或调节器，可以快速调整亮度和对比度。
3. 更改色彩和饱和度色彩和饱和度是影响图片感观效果的关键因素。
通过调整色彩和饱和度，可以使图片的颜色更加鲜艳或柔和，以符合设计或个人喜好。
网络图片处理软件通常提供了调整色彩和饱和度的选项，可以根据需要进行调整。
4. 添加滤镜和特效滤镜和特效可以为图片增添创意和个性。
网络图的优化分析
——费用优化
1.基本概念
（1）费用优化
又称工期成本优化。是指寻求工程总成本 最低时的工期或按要求工期寻求最低成本的
计划安排过程。
工程的成本是由直接费用、间接费用、 赶工费用等构成的。
直接费用由材料费、人工费、施工机械 使用费等构成。由于所采用的施工方案 不同，它的费用差异很大。
1
4
5
6
15(5)
12(9)
正常
最短
9.2(10.7) 3
7(4)
6.5(7.5) 持续
10(5)
时间
持续 时间
（１）按工作正常持续时间画出网络计 划，找出关键线路、工期、总费用；
工期T＝37天
总费用＝直接费用＋间接费用 ＝（7.0＋9.2＋5.5＋11.8＋6.5＋8.4）＋14.1 =62.5万元
3.费用优化的方法与步骤
（１）画出网络计划，求出关键线路、工期、 总费用；
（２）计算各工作的成本斜率ΔCｉ－ｊ （３）压缩工期；
（４）计算压缩后的总费用：
CTCTCijTij 间接费 T用 ij
（５）重复３、４步骤，直至总费用最低。
压缩工期时注意事项
压缩关键工作的持续时间； 不能把关键工作压缩成非关键工作； 选择直接费用率或其组合（同时压缩 几项关键工作时）最低的关键工作进 行压缩，且其值应≤间接费率。
由于将某项作业时间缩短到比正常时间短， 此时所用的成本往往会比正常成本高，达到 赶工点时，其成本最高。
直接成本与作业时间的关系为一曲线， 接近于赶工点与正常点的连线，该连线 的斜率，其意义是每缩短一个单位时间 所需增加的费用。
计算公式为：成本斜率＝（赶工成本-正 常成本）/（正常时间-赶工时间）
网络优化图及网络(运筹学)
最短路径问题有多种算法，如Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。这些算法通 过不断优化路径长度，最终找到最短路径。在现实生活中，最短路径问题广泛 应用于交通网络、通信网络和电力网络等领域。
最小生成树问题
总结词
最小生成树问题是图论中的另一个经典问题，旨在在给定连 通图中找到一棵包含所有节点且总权重最小的树。
网络优化图及网络(运筹学)
目 录
• 网络优化图概述 • 网络(运筹学)基础 • 网络优化模型 • 网络优化算法 • 网络优化实例分析 • 网络(运筹学)的未来发展与挑战
01
网络优化图概述
定义与特点
定义
网络优化图是一种数学模型，用于描 述现实世界中各种网络系统的结构和 行为。
特点
网络优化图具有节点和边的概念，能 够表示各种对象之间的关系和交互作 用，同时可以引入各种参数和约束条 件，以实现特定的优化目标。
详细描述
大数据的爆炸式增长使得传统的数据 处理和分析方法难以应对，需要采用 新的数据处理和分析技术，如分布式 计算、流处理等，以提高数据处理效 率。
人工智能与网络优化
总结词
人工智能技术的发展为网络优化提供了 新的思路和方法，可以更好地解决复杂 的问题。
VS
详细描述
人工智能技术如机器学习、深度学习等可 以用于网络优化，例如通过学习历史数据 来预测未来的流量和需求，从而更好地进 行资源调度和路径选择。
遗传算法通过模拟生物进化 过程中的自然选择和遗传机 制，不断迭代和优化种群中 的个体，最终找到最优解。
遗传算法适用于多目标优化、 约束满足问题等复杂问题，具 有较好的鲁棒性和全局搜索能
力。
05
网络优化实例分析
最短路径问题
网络图试题及答案
网络图试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在网络图中，节点代表什么？A. 活动B. 事件C. 资源D. 项目答案：B2. 网络图的绘制规则中，节点之间的连线表示什么？A. 资源分配B. 活动持续时间C. 活动依赖关系D. 项目进度答案：C3. 网络图中的“关键路径”是指什么？A. 最短的路径B. 最长的路径C. 影响项目总工期的路径D. 可以缩短工期的路径答案：C4. 网络图中的“浮动时间”是指什么？A. 项目总工期B. 活动持续时间C. 活动可以推迟的时间D. 项目提前完成的时间答案：C5. 网络图的优化通常包括哪些方面？A. 资源优化B. 时间优化C. 成本优化D. 所有以上选项答案：D二、填空题（每题2分，共10分）1. 网络图的三种基本类型是______、______和______。
答案：前向网络图、后向网络图、混合网络图2. 网络图的节点编号规则是______。
答案：从左到右，从上到下3. 在网络图中，如果两个节点之间没有直接的连线，那么这两个节点之间的路径被称为______。
答案：虚线路径4. 网络图中的“节点”也被称为______。
答案：事件点5. 网络图的优化目标通常是为了实现______、______和______。
答案：成本最小化、时间最短化、资源最优化三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述网络图在项目管理中的作用。
答案：网络图在项目管理中的作用是帮助项目管理者可视化项目的工作流程，识别关键路径，评估项目进度，以及进行资源分配和优化。
2. 描述网络图中的“关键路径”是如何确定的。
答案：关键路径是通过计算网络图中所有路径的总持续时间来确定的，具有最长总持续时间的路径即为关键路径。
3. 解释网络图中的“浮动时间”是如何影响项目进度的。
答案：浮动时间是指在不影响项目总工期的情况下，活动可以推迟的最大时间。
它为项目管理者提供了一定的灵活性，在不影响整体项目进度的情况下，可以调整活动的时间安排。
什么是计算机网络拓扑优化请介绍几种常见的拓扑优化算法
什么是计算机网络拓扑优化请介绍几种常见的拓扑优化算法计算机网络拓扑优化是指通过调整网络中的连接关系和节点布局，以提高网络性能和效率的过程。
通过合理配置拓扑结构和优化算法，可以减少网络拥堵、提高传输速度、提升网络可靠性等。
一、什么是计算机网络拓扑优化计算机网络拓扑优化是指在网络设计和部署过程中，根据网络需求和性能目标选择合适的拓扑结构，并通过优化算法对网络拓扑进行调整和优化，以提高网络性能和效率。
拓扑结构是指网络中各个节点之间的连接关系和布局方式。
不同的拓扑结构具有不同的特点和适用场景，而优化算法则是为了提高网络的性能和效率。
二、常见的拓扑优化算法1. 最小生成树算法最小生成树算法是一种常见的拓扑优化算法，它用于寻找一个连通图的最小生成树，即通过选择最短路径或最小代价的方式连接图中的节点。
常见的最小生成树算法有Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法从一个起始节点开始，逐步选择与当前生成树距离最近的节点加入生成树中，直到所有节点都被加入。
Kruskal算法则是按照边的权值从小到大的顺序选择边，如果已选择的边不会构成回路，则将其加入生成树中。
2. 最短路径算法最短路径算法用于寻找网络中两个节点之间的最短路径。
常见的最短路径算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法通过逐步选择距离起始节点最近的节点，并更新其他节点的距离值，最终找到最短路径。
Floyd-Warshall算法则是通过动态规划的思想，逐步求解任意两点之间的最短路径。
3. 负载均衡算法负载均衡算法是一种用于优化网络流量分布的拓扑优化算法。
网络负载均衡的目标是通过合理分配流量，使得网络中各个节点的负载尽可能均衡，从而提高整体网络的性能和吞吐量。
常见的负载均衡算法有轮询算法、加权轮询算法、最少连接算法等。
4. 冗余路由消除算法冗余路由消除算法是一种用于优化网络中冗余路由的拓扑优化算法。
冗余路由是指网络中存在多条路径连接同一目的地的情况，这样会导致资源浪费和传输延迟增加。
离散度意义下网络图的优化设计(Ⅰ)
＝ ３
顶点 相连 ． 则
＋ 剐 － 一
证 明 设 Ｓ 是 Ｐ阶连通 网络 图Ｇ 的Ｄ 一
集， 则
， … 、 ， … 、
Ｄ（ ） Ｇ
Ｄ（ ） Ｇ
二兰 二！
二兰
：
触 卜 变 为 Ｇ
设
ｓ
＝＂， ≤ ≤ Ｐ一１若 ｌ ，
”＝ Ｐ一１
第二步， Ｋ ， 的顶点与 Ｋ 将 Ｅ 的每一
顶 点相连 ， 则
Ｄ（ ） Ｇ
＋一 １字
故
：
Ｄ（ Ｇ卜
（ １≤ ≤ ｐ 一２ ）
‘
”
定 理 ２ 具有 Ｐ（ ４ 个顶 点 ， ≥ ） 且离散 度值为 的连通 网络 图可能具 有的最小 离散 度为
ｆ 一 ” ＝ １ ０Ｐ
（ ）点离散度 “ ５
ＤＧ： ｛ ＿＿ （） ＝ ） ＿＿
ｌ 主 要结果
：∈ （） ｓｃ Ｇ
为边集 ， Ｖ． ｓ 让 （ —Ｓ） ｒ Ｇ—Ｓ） Ｇ ，（ 分别表示 Ｇ ｓ 连通分 支数和最大分 支的顶点 数 ， Ｇ 不 当 是完全 图时 ， Ｇ —Ｓ不连 通 ， 称 ｓ是 Ｇ 的点 若 则 割集 ； Ｇ ＝Ｋ 当 时 ， Ｋ 的任 何 Ｐ １个 点 的子
Ｓ ｌ ．即 ＝
Ｄ（ Ｇ）：丛
Ｄ（ Ｇ）：
收稿 日期 ：０ １１ ．８ ２ ０ ．０ １ ．
作者简介： 王志平（９ ４）男 ． １６一 ， 湖北鄂州人 ， 副教授 ． 主要从事图论和网络系统建模的研究
维普资讯
大 连 海 事 大 学 学 报
计得不能 轻易被外界进攻 所破坏 ， 同时 ， 要求被 还
破 坏 后 能 轻 易 重 构 网 络 连 通 性 最 基 本 的 测 量 是
双代号网络图的工期优化
2
3(2)
4
4(2) ④ ⑤ 6 13
0
1
1
1
7.0 6(5)
3
① 6
1.0 4(3)
5
④③10
3.0 3(2)
压缩3-4和3-5各1天。改3-5的4（3）为3（3）；改3-4 的3（2）为2（2）；关键线路和工期如图。 2 ③ 8.0 3(2) 8
4.0 2(1)
2
4
6.0 4(2) ④ ⑤ 6 12
4）将所选定的关键工作的持续时间压缩至最短，并重新 确定计算工期和关键线路 5）当计算工期仍然超过要求工期时，则重复上述（2）~ （4），直至计算工期满足要求工期或计算工期已不能 再缩短为止 6）当所有关键工作的持续时间都已达到其能缩短的期限 而寻求不到继续缩短工期的方案，但网络计划的计算 工期仍不能满足要求工期时，应对网络计划的原技术 方案和组织方案进行调整，或对要求工期重新审定。
某工程双代号网络图如下，图中箭线下面括号外数 字为工作正常持续时间，括号内数字为工作最短持续时 间，箭线上面的数字为优选系数，（他是根据质量、安 全和费用增加情况确定的） 。优化时应选择优选系数最 小的工作来压缩 。如果同时压缩多个工作，则应考虑各 工作优选系数之和最小的组合来压缩。 注意：压缩非关键工作能否缩短工期？
3
6
1.0 4(3)
5
10
3.0 3(2)
第三步，按新的持续时间，用标号法计算新工期， 和关键工作。 4.0 2(1) 2 ③ 8.0 3(2) 9 6.0 4(2) ④ ⑤ 6 13
2
4
0
1
1
1
7.0 6(5) ①
3
6
1.0 4(3)
图论和网络优化
v4
2
4 5
v7
3
v6
2
v5
最小树，权为13
17
v3
v1 v2 v3
v1 v2
v5
v3
v3
v3
v5
v6v1 v4
v5 v6
v4
v1
v1
v2
v2
v3
v1 v2
v5 v6
(2)破圈法：
① 在图中寻找一种圈。
若不存在圈，则已经 得到最短树或网络不 存在最短树；
② 去掉该圈中权数最 大旳边； ③ 反复反复 ① ② 两
权数，记为：
w Tk w e e Ek
若 T T ，使
w T min Tk T
w Tk
则称 T * 为图G旳一棵最小支撑树。
14
b4
2 a
2
4
3
f5
c 5
2d 6
e
最小 树
例如，城市间交 通线旳建造等，能够 归结为这一类问题。
再如前面例3，在已知旳几种城市之间联结电话 线网，要求总长度最短和总建设费用至少，此类问 题旳处理都能够归结为最小树问题。
24
如下图所示旳单行线交通网，每个弧旁边旳
数字表达这条单行线旳长度。目前有一种人要从v1 出发，经过这个交通网到达v6，要谋求总旅程最短
旳线路。
v2
6
v4
3
v1
14
5
1 v3
3
2
v6
6
v5
25
v2
6
v4
3
3
v1
14
5
2 6
v6
1
v3
从v1到v6旳路线是诸多旳。例如:
网络图的优化
3、总费用=45000+4500x12+0=99000元 总费用=45000+4500x12+0=99000元 =45000+4500x12+0=99000
改进
富裕线路为1 >2->4，路长为10，总工期为10 富裕线路为1->2->4，路长为10，总工期为10 10 天有2天的富裕时间。 天有2天的富裕时间。 为使工期最短， 为使工期最短，就要缩短关键线路上的工作时 同时，为了使成本最低， 间；同时，为了使成本最低，就要从成本斜率 最低（单位时间的成本最低） 最低（单位时间的成本最低）的关键工作上着 手来缩短工期。 手来缩短工期。
改进： 改进：方案二
从表中可以看到， 种方案的赶工费用最低， 从表中可以看到，第3种方案的赶工费用最低，故首 赶工费用最低 先选择B 各赶工1天的方案。这样， 先选择B、D各赶工1天的方案。这样，关键线路仍然 保持不变，工期变为9 保持不变，工期变为9天。 B=6天
9|9
D=3天 D=2天
从表中可以看到， 从表中可以看到，第3种方案的赶工费用最低， 种方案的赶工费用最低， 赶工费用最低 故首先选择B 各赶工1天的方案。这样， 故首先选择B、D各赶工1天的方案。这样，关 键线路仍然保持不变，工期变为9 键线路仍然保持不变，工期变为9天。
网络图的优化与控制，主要讨论： 网络图的优化与控制，主要讨论：
1. 2. 3.
工期最短，即缩短工程进度； 工期最短，即缩短工程进度； 费用最低，即确定最低成本日程； 费用最低，即确定最低成本日程； 资源最优，使有限的资源得到合理的安排和使用。 资源最优，使有限的资源得到合理的安排和使用。
1、缩短工程进度
改进： 改进：方案一
大规模软件项目管理系统中PERT网络图的优化问题研究
九 Ｑ－Ｍ ：—
几一一
—
．
．
Ｉ） （） ３ ５
６
（ 式 中， ５ ） Ｑ为网络计划规定的完工 日 期或目标时间， 为关键线路上各项工作平均持续时间的总和， 为关 盯 键线路的标准差， 为概率系数．
图 ｌ Ｐ ＥＲＴ 网 络 图
１ 概 述
Ｐ Ｒ 网络 图是 工程 评价 技 术 的一 个重要 的工具，可 以直 观 的反 映 出任 务 间 的前后 调度 关 系 ．由于 工程 评 ＥＴ
估评审技术主要用于大规模的项 目开发和项 目管理， 因此通常使用计算机辅助完成 Ｐ Ｒ 图的绘制和生成． ＥＴ 由 于大规模的项 目 任务节点比较多， ， 任务间的关系也比较复杂，因此， 对于计算机 自动生成的 Ｐ Ｒ Ｅ Ｔ图质量是工 程评估的关键要素． 本文针对 Ｐ Ｒ Ｅ Ｔ网络图的优化问题进行 了研究， 分析了节点问的布局优化问题， 给出了基于 蚁群算法（ Ｃ ） Ａ Ｏ 和遗传算法（ Ａ ） Ｇ ｓ 来实现对 Ｐ Ｒ Ｅ Ｔ中的节点进行优化的新方法． 利用Ｇ ｓ Ａ 很强的 自 适应性和种群
摘
６ ０ ４ ； ．电子科技 大学计算机科 学与工程 学院，四川 成都 １０ １２ ６７０） ３ ０ ０
６ １３ ； １７ １
６ ０６ ； ．西华师 范大学数 学与信息 学院，四川 南充 １０ ０ ４
要：针对 大规模软件项 目管理中使用手 工方法生成 Ｐ Ｒ Ｅ Ｔ网络 图不方便等 问题， Ｐ Ｒ 对 Ｅ Ｔ网路 图的优化 问题进行 了
规 模 软 件 项 目中 工程 评 审 评 估 问题 ．
关键词 ： 划评价技 术；软件项 目管理；蚁群 算法；遗传算法； 计
运筹学-第7章-图与网络优化
20/139
连通图、子图、支撑子图、基础图
• 连通图 图G中，若任何两个点之间，至少有一条链，称为连通图。否 则称为不连通图。
• 奇点 次为奇数的点, 如 v5
18/139
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
• 链： 由两两相邻的点及其相关联的边构成的点边 序列, 如:
（v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2 ,e3 ,v3 ,…,vn-1 ,en , vn ）; 其中v0 ，vn分别为链的起点和终点， v1 ,v2 ,…,vn-1称 为中间点 ； • 圈： 起点与终点重合的链； • 简单链（圈）：链（圈）中所含的边均不相同； • 初等链（圈）：链（圈）中所含的点均不相同,也 称通路；
v2
a8
v5
a10
a4 a6
a9
a7
a5
v4
v7 a11 v6
•路 • 初等路 • 回路
(v1, a2 , v3 , a4 , v4 , a7 , v6 )是从v1到v6的路。也是一条初等路。 在上图中,(v3 , a3 , v2 , a5 , v4 , a6 , v5 , a8 , v3 )是一个回路。
vV1
vV2
vV
2m为偶数，且偶点的次之和 d(v)也为偶数，所以 d(v) 必为偶
数，即奇数点的个数必为偶数vV。2
vV1
27/139
第二节 树
本节主要内容： • 树的概念 • 构造生成树的方法 • 最小生成树问题
运筹学( 图与网络优化)
七桥问题
七桥问题图形
原理及方法
七桥问题是图论中的著名问题。1736年，Euler巧妙 地将此问题化为图的不重复一笔画问题，并证明了 该问题不存在肯定回答。原因在于该图形有顶点连 接奇数条边。
§10.1
图的基本概念
一个图(Graph) 定义为三元有序组
(V (G ), E (G ), G )
几何实现图例
在一个图的几何实现中，两条边的交点可能不是图的顶 点。例如下图 中，它共有4个顶点，6条边；而e 3 与e 4 的交点不是这个图的顶点。
v1
e1
v2 e4
e2
v3
e3
e5
v4
e6
e3
v1
v4
e1 e4
v2
e2
v3 e6
e5
v4
平面图
一个图称为平面图，如它有一个平面图形，使得边与边仅在
u 1
f5 u3 f6
f2 f4
u2
u4
同构
给定两个图
G (V (G), E(G), G )
H (V ( H ), E( H ), H )
称G和H是同构的，记为 G H ， 如果存在两个一一对应 ( , )
: V (G) V ( H )
: E (G) E ( H )
e7
v2
e3 v3
e6
v4
e4
关联矩阵性质
图G的关联矩阵M=(mij)为m×n矩阵；则每行元
素之和等于相应顶点的度；每列元素之和等于 2。
因此，图G的关联矩阵M所有元素之和既等于所
有顶点的度之和，又等于边数的2倍。 定理 设G是一个图，则
vV ( G )
d (v) 2
运筹学第7章图与网络优化
1
链，圈，初等链，初等圈，简单链（圈）
2
相邻节点的序列 {v1 ,v2 ,…, vn} 构成一条链(link)p178；
3
在无向图中，节点不重复出现的链称为初等链；
4
首尾相连的链称为圈(loop) ；首尾相连的初等链称为初等圈；
5
边不重复出现的链（圈）称为简单链（圈）
01
02
子图，部分图；连通图，成分
(1).与v3相连的临时标号有v5
第五步：
T(v5)=min{T(v5),P(v3)+d35}=min{9,7+3}=9
(2).P(v5)=9
最短路线：
vs→v1→v4→ v5 vs→v2→v4→ v5
vS
v2
v3
v4
v5
1
2
2
2
3
3
3
4
4
0
4
5
3
7
9
*
也可以用表格的形式求解。p190
斯坦纳树问题
假设我们在北京、上海、西安三城市之间架设电话线，一种办法是分别联通北京--上海和北京--西安。另一种办法是选第四个点，假设郑州。由此分别向三城市架线，可能你不会想到第二种办法所用的电话线只是第一种办法的86.6%，即可取得比第一种办法节约13%的显著经济效益。这就是离散数学界30年代提出的著名的斯坦纳树问题，但一直未能得到证明。
平面图(planar graph)，若在平面上可以画出该图而没有任何边相交
*
7基础图，路，回路，欧拉回路
在有向图D(V,A)中去掉箭头，称为D的基础图，G（D）
01
在有向图中，链 路
02
圈 回路
03
网络图的优化
编号 工作名称 每天资源需要量
9 5
编号依据
1
0-3
5
已开始
2
1-3
4
关键工作TF=0
3
0-2
3
TF=1
4
1-4
7
TF=7
11 12
编号 工作名称
1
1-3
2
0-2
3
1-4
19
12
14
9
5
每天资源需要量 4 3 7
编号依据 已开始 已开始 TF=4
进度计划(天)
进度计划(天)
0246
3 2
5
6 01
5
3
6
4
5
01
3
4
5 45
从图可以看出，时段（0，2）、（2，4）、 （4，5）每天所需的资源数量分别为14、19、 20个单位，都超过了可能供应的限制条件， 因此计划必须进行调整。
2、按总时差的大小，从小到大依次排序，如 果总时差相同，消耗资源多的排在前面
20 14 19 20
3、按编号顺序，把位于时段超过提供需要量 的时段进行累加，以累加数不超过可能供应 的条件为限，余下的工作右移至下一时段
125
2
4
12(8)
125
2
4
12(8)
125 125
18(10) 18(10)
1
62
6
1
6 62
84
58
3
5
30(18)
58
78
3
5
30(18)
第二步：缩短1-3，可能缩短10天，实 际缩短6天，增加的费用6×10=600元， 直接费为54684+600=55284元，工期 为78天 。
基于图论的网络优化模型
基于图论的网络优化模型图论是一门研究图结构的数学分支，广泛应用于网络优化问题的建模和解决。
网络优化模型基于图论可以帮助我们解决各种实际问题，如交通优化、物流配送、电力网络规划等。
本文将探讨基于图论的网络优化模型及其应用。
1. 图论基础在开始讨论基于图论的网络优化模型之前，我们需要了解一些图论的基本概念。
图是由节点和边组成的，节点表示对象，边表示对象之间的连接或关系。
图论研究的是如何用数学方法描述和分析这些连接或关系。
有向图是包含有向边的图，边有方向，表示从一个节点到另一个节点的箭头。
无向图是边没有方向的图，表示节点之间的双向连接。
路径是指在图中通过边从一个节点到另一个节点的序列。
最短路径是连接两个节点的路径中，边的数量最小的路径。
2. 网络优化模型网络优化模型利用图论的概念和方法，描述和解决各种实际网络问题，通过优化路径、流量分配等策略，提高网络效率和性能。
2.1 最短路径问题最短路径问题是网络优化中最基本的问题之一，它涉及找到两个节点之间的最短路径。
最短路径算法中，Dijkstra算法是一种常用的方法。
该算法用于计算带权有向图中的最短路径。
通过不断迭代找到从起始节点到其他节点的最短路径。
2.2 最小生成树问题最小生成树问题是在一个连通图中找到一棵包含所有节点的生成树，且其边的权重之和最小。
Prim和Kruskal算法是解决最小生成树问题的两种主要方法。
Prim算法从一个起始节点开始，逐步扩展生成树。
Kruskal算法则是按照边的权重进行排序，逐个添加边，直到生成树包含所有节点为止。
2.3 最大流问题最大流问题是在有向图中，从一个节点到另一个节点的最大流量路径。
Ford-Fulkerson算法是解决最大流问题的一种常用方法。
该算法通过在网络中找到增广路径，并根据路径上的最小剩余容量来增大流量，直到无法找到增广路径为止。
3. 应用案例基于图论的网络优化模型在各个领域有广泛的应用。
3.1 交通优化交通优化问题是指如何在城市交通网络中提高道路利用率，减少拥堵等问题。
优化配电网络图版管理典型经验
优化配电网络图版管理典型经验摘要配电网络接线复杂,设备多样,如何保证配网图实相符、如何实时反映配网设备运行状态是配网图版管理工作的一大难点。
株洲地调基于对省内外先进配网管理经验的积极吸取、对实际生产经验的总结提炼,积极挖掘自动化系统的潜能,通过理顺相关工作流程,建立全方位考核指标体系,并在实施过程中不断改进完善,实现了配网图版管理的模拟自动化。
关键词配电网络;管理;评估;改进中图分类号tm72 文献标识码a 文章编号1674-6708(2010)30-0191-021 专业管理的目标优化配网图版管理,是践行科学调度宗旨的具体体现。
配网图实相符是保证配网安全运行的基石,充分考虑配网特性,不断调整改进配网图版管理,用实际行动贯彻“努力超越,追求卓越”企业精神,体现株洲电业局安全生产和优质服务的宗旨。
2 专业管理的主要做法1)进行优化配网图版管理,加强自动化系统在配网图版中的应用,首先需要完成以下基础工作:一是将现有配网图、配网联络图绘制入自动化系统(ems);并与维护单位最新图纸核对,保证图实相符;二是设置断路器、隔离开关、熔断器等可操作设备点表;并与现场设备核对,保证设备状态与实际一致;三是为调度业务工作提供方便,设置变电站一次图至配网图、配网联络图;电缆分接箱分断器、用户接线图与配网图、配网联络图链接,实现各类图纸的方便调用,同时完善各类有用关联信息如:架空线路共杆、电缆共沟等信息。
2)优化配网图版管理的关键是配网图版的滚动修改及配网设备状态的实时对应。
据此,株洲地调通过流程化、精细化、多级把关,实现了闭环管理,保证了图实相符。
(1)流程化管理采用流程化管理,围绕自动化系统在配网图版管理中的应用,建立配网图版修改、配网设备状态改变2个标准工作流程,将原先散落的工作用完整和统一的闭环流程进行管理,将工作的管理和执行由个人推动变为流程自动推动,大大提高了工作效率,使工作更加规范,保证了图实相符。
(2)流程的过程控制为给配网图版管理工作创造良好的开展环境,保证该项工作的开展有章可循、有据可依,通过制定多项规定办法,对配网图版调度管理工作的执行过程严格控制。
大规模网络拓扑图分析与优化方法研究
大规模网络拓扑图分析与优化方法研究在数字化时代，网络已经成为了我们生活和工作中不可或缺的一部分。
无论是通信网络、社交网络还是云计算网络，网络的规模越来越大，拓扑图的复杂性也越来越高，因此需要进行网络拓扑图的分析与优化，以确保网络的高效性和稳定性。
本文将介绍大规模网络拓扑图分析与优化方法的研究现状和发展方向。
首先，我们需要了解大规模网络拓扑图的特点。
大规模网络通常包含大量的节点和边，由于其复杂性，传统的图分析算法和优化方法在处理大规模网络时往往效果不佳。
因此，研究者们提出了一系列针对大规模网络的分析与优化方法。
一种常见的大规模网络拓扑图分析方法是基于统计学的方法。
该方法通过对网络拓扑结构进行统计分析以揭示网络的特征和规律。
例如，可以通过计算网络的度分布、聚类系数和介数中心性等指标来描述网络的节点连接性和组织结构。
接着，可以利用这些统计指标来检测网络的异常和演化模式，并提出相应的优化策略。
此外，基于统计学的方法还可以应用于网络模块的发现、社区检测和节点分类等任务中，在网络拓扑图的优化过程中起到重要作用。
另一种常见的大规模网络拓扑图分析方法是基于机器学习的方法。
由于大规模网络数据的复杂性和高维度特征，传统的分析方法有时难以胜任。
因此，研究者们开始探索如何利用机器学习算法来处理大规模网络拓扑图。
例如，可以利用图卷积神经网络（Graph Convolutional Network, GCN）来学习节点和边的嵌入表示，从而实现节点分类、链接预测和图生成等任务。
此外，还可以利用支持向量机（Support Vector Machine, SVM）和随机森林（Random Forest）等算法来实现网络拓扑的分析和分类。
除了分析方法，大规模网络拓扑图的优化方法也是研究的重点。
网络的优化旨在通过调整网络拓扑结构和参数配置来提高网络的性能和效率。
例如，可以通过节点选择算法来减少网络的冗余节点，从而降低网络的能耗和延迟。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
2
基本方法：
建筑工程系
把时间差值加在某些关键的工序上，使得工序时间适当
加长，相应减少工序资源消耗，经反复调整，满足工期要求。
1.尽量避免某一项工序时间的单独增加，尽量均匀分散增
工序时间；
2.注意有特殊要求工序时间的增加的特殊限制性要求。
小，或组合优选系数为最小的工序或方案进行压缩。
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
3
建筑工程系
2.基本步骤：
（1）计算初始网络计划的工期Tc及确定关键线路及关键工 序；
（2）计算应缩短的工期ΔT=Tc-Tr； （3）确定各关键工序能缩短的的持续时间； （4）压缩相关各关键工序的持续时间：
不得将关键工序压缩成非关键工序；当出现多条关键线 路时，应将平行的各关键线路持续时间压缩相同的数值； （5）反复重复上述步骤，直到结果满足工期要求； 注意： 当反复调整不能达到要求时，说明网络图原始方案有问 题，应修改原网络图方案。
5
8-9
6
8-9、7-9
2020年5月14日星期四
6
2
31 1-2-3-5-6-8-9-10、1-2-4-5-6-8-9-10、
1-2-3-5-6-7-9-10 1-2-4-5-6-7-9-10
8
1
30 1-2-3-5-6-8-9-10、1-2-4-5-6-8-9-10、
1-2-3-5-6-7-9-10 1-2-4-5-6-7-9-10
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
11
建筑工程系
（6）第六次压缩： 继续找关键线路上优化系数最小的工序8-9及7-9工序进
行压缩，各自可压缩1天，如下图：
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
12
建筑工程系
至此工期达到30天，满足工期要求。优化过程列表如下：
优化次数
0
压缩工序
组合优 选系数
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
7
建筑工程系
（2）第二次压缩： 继续找关键线路上优化系数最小的工序1-2工序进行继续
压缩，可压缩2天，如下图：
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
8
建筑工程系
（3）第三次压缩： 根据上述结果，选择关键线路上关键工序优选系数最小的
工序2-3，虽然可以压缩4天，但此条线路将会变成非关键线 路，因此时非关键线路工序2-4为7天将长于2-3时间6天，变 为关键线路，为不改变原关键线路不会发生转变，只能压缩 3天，与工序2-4共同为关键工序，压缩后的网络图将有两条 关键线路，见下图：
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
4
例：
建筑工程系
已知：某双代号网络图如图所示，图中箭线上方括号外为
工序名称，括号内为优选系数；图中箭线下方括号外为工序
正常持续时间，括号内为最短持续时间。现要求施工工期为
30天，请对工期进行优化。
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
5
建筑工程系
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
9
建筑工程系
（4）第四次压缩：
观察上述结果，两线路同时压缩时，有一个公共的工序 5-6，且在原关键线路中也为最小优化系数工序，即可压缩 最大幅度4天可以同时在两条关键线路上都压缩4天工期，两 条关键线路未发生变化：
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
10
建筑工程系
（5）第五次压缩： 根据上述结果，选择关键线路上关键工序优选系数最小工
序8-9，虽然可以压缩4天，但此线路将会变成非关键线路， 因此时非关键线路工序7-9为8天将长于2-3时间6天，变为关 键线路，为不改变原关键线路的转变，只能压缩2天，与工 序7-9共同为关键工序，压缩后的网络图将会出现四条关键 线路，见下图：
建筑施工组织与管理
13
建筑工程系
注意：
1.尽量避免某一项工序时间的单独减少，尽量均匀分散减 少工序时间；
2.注意有特殊要求工序时间的减少的特殊限制性要求； 3.相应注意非关键线路的变化。 再举一例：
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
14
建筑工程系
解：经分析，理论工期为T=45天
1．分析各线路：
例:下图要求28天完成，请调整优化。
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
1
建筑工程系
解： 1.通过破圈法可以找出关键线路为： （1）→（2）→（3）→ （4）→ （5）,理论工期T=23天； 2．调整关键线路： 工序(3)→(4);(4)→(5)时间相对较少，可以增加,把(3)→(4) 加2天,(4)→(5)加3天,此时不影响其他线路，工期为28天，
压缩天数 工期
46
关键线路
1-2-3-5-6-8-9-10
1
9-10
2
4
42 1-2-3-5-6-8-9-10
2
1-2
3
2
40 1-2-3-5-6-8-9-10
3
2-3
6
3
37 1-2-3-5-6-8-9-10、1-2-4-5-6-8-9-10
4
5-6
6
4
33 1-2-3-5-6-8-9-10、1-2-4-5-6-8-9-10
解： 1.利用快捷方式计算初始网络计划的工期Tc及确定关键线路 及关键工序，其中关键线路用粗线标出，计算工期为Tc=46 天：
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
6
建筑工程系
2.计算应缩短的时间: ΔT=Tc-Tr=46-30=16天
3.工期调整： (1)第一次压缩：
找关键线路上优化系数最小的工序9-10工序进行压缩，可 压缩4天，如下图：
建筑工程系
3.6网络计划的优化
优化：通过时差的调整，以最优方案，最小的物资消耗，取 得最大的经济效果。
内容：1.工期优化；2.工期费用优化；3.工期资源优化。 3．6.1 工期优化 只考虑时间，不考虑各种资源。
一、当计划工期Tr＞理论工期Tc时： 当计划工期Tr与理论工期Tc相差较小时，可不调整； 当计划工期Tr ，与理论工期Tc相差较大时，需要调整。
（1）→（5）→（7）→（8）：36天；
（1）→（3）→（5）→（7）→（8）：42天；
（1）→（3）→（5）→（6）→（8）：45天；
（1）→（5）→（6）→（8）：39天；
（1）→（2）→（4）→（6）→（8）：33天。
结论：关键线路压缩5天，非关键线路需压缩2天。
2．调整：
方案Ⅰ：(3)→(5)减少2天,(5) →(6)减少3天,工期变为40天
序时间，但要注意非关键工序的变化。
方法：顺序发、加数平均法、选择法等。
介绍利用优选系数进行优化的选择法：
1.优化的考虑因素：
（1）缩短持续时间对质量和安全影响不大的工序；
（2）有充足备用资源的工序；
（3）缩短持续时间所增加的费用最小的工序。
满足上述三项要求的系数为优选系数，优化优选系数最
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
17
（关键线路2条）；方案Ⅱ：(3)→(5)减少3天,(5) →(6)减少2
天,工期变为40天（关键线路1条）。如有类似优选系数的要
求时，可选择第一种方案，如为保证唯一一条关键线路时，
则可选择第二种方案，本题选择第二种方案，即：
2020年5月14日星期四
建筑施工组织与管理
15
2020/5/14
建筑工程系