电动力学答案(郭硕鸿+第三版) chapter6

v v v
并令此方向为 x 轴方向 由 x 轴向上的速度合成有
v=
v′ + u uv 1+ 2 c
v ′ 是火箭相对于 Σ ′ 系的速度
∴ 在 Σ 系中 加速度为 a =
本题中 a ′ = 20m ⋅ s
−2
而 Σ ′ 系相对于火箭瞬时静止 ∴ u = v, v ′ = 0
0.9999c
0
得
t=
100 0.9999c = 47.5 年 a′
∴ ∆t 3 =
答
解 根据题意 Σ ′ 系 取固着于观察者上的参考系 又取固着于 A B 两物体的参考系为 Σ ′′ 系
l = l0 1 − ∴ l0 = l
u2 c2
1−
w.
又 Σ ′ 系相对于 Σ 以速度 v 沿 x 轴运动 Σ ′′ 系相对于 Σ 系以速度 u 沿 x 轴运动 由速度合成公式 Σ ′′ 系相对于 Σ ′ 系以速度
电动力学习题参考
第六章 狭义相对论
′ = −l 0 v − βvl 0 = − x左
v (1 + ) c v 1− 2 c
2
l0
′ = x右 ′ − o′ = ∴ d右
v (1 − ) c v2 1− 2 c v (1 + ) c v2 1− 2 c l0
l0
′ = x左 ′ o′ = d左
∆t =
w.
kh
一束频率为 ω 0 与水平线成 θ 0 夹角的平面光波自 并令
10
一平面镜以速度 v 自左向右运动
ww
左向右入射到镜面上 求反射光波的频率 ω 及反射角 θ 垂直入射的情况如何 解 1 平面镜水平放置 取相对于平面镜静止的参考系为 Σ ′ 系 取静止系为 Σ 系 入射光线在平面 xoy 内 在 Σ 系中 有 入射光线
2
液体沿着 S R 连线方向以速度 v 运动 取固着于介质的参考系 Σ ′ 各个方向上均是
w. ww
3
由速度变换关系得在 Σ 系中
kh
∆t1 = nl 0 c c n c +v n v′ = v 1+ cn
∴ R 接收到讯号的时间为
液体垂直于 S R 连线方向以速度 v 运动 同 2 中取相对于 S-R 装置静止的参考系为 Σ 系 系 如下建立坐标
将 E′ =
v
4πε 0 r ′ q [
v er ′ 写成直角分量形式; x′
2 2 2 3 2
v E′ =
da
4πε 0 r ′ 2 v v er′ , B ′ = 0 v e x′ + y′
2 2 3 2
后
v v d 2 [ x ′ + vt , y ′, z ′] d 2 x′ r ′ ∴F = m =m = F′ dt ′ 2 dt ′ 2
w.
kh
观察两塔的位置为
da
并 Z(z’) c c 右
l = = u0 + v u−v −v u 0 u0v 1+ 2 c
ww
课
但在 Σ ′ 系中
后
l0 1 −
v2 c2
l 0 (1 +
u0 v ) c2 v2 1− 2 c
l0 的时间后 同时照亮左右两塔 c 左 v (1 − ) c v2 1− 2 c l0
-4-
da
∆t 2 = (1 + c +v n v )l 0 cn
5. 有一光源 S 与接收器 R 相对静止 距离为 l S R 装置浸在均匀无限的液体介质 静 止折射率 n 中 试对下列三种情况计算光源发出讯号到接收器收到讯号所经历的时间 1 液体介质相对于 S R 装置静止 2 液体沿着 S R 连线方向以速度 v 运动 3 液体垂直于 S R 连线方向以速度 v 运动 解 1 液体介质相对于 S R 装置静止时
∴ tgθ ′ =
ly lx
′ ′ =
tgθ
8. 两个惯性系 Σ 和 Σ ′ 中各放置若干时钟 v 沿 x 轴运动 设两系原点相遇时
同一惯性系的诸时钟同步
′ t0 = t0 = 0
问处于 Σ 系中某点
kh
z 解得
x − vt LL (1) x′ = 2 v 1− 2 c ′ y = y LLLL (2) z ′ = z LLLL (3) v t− 2 x t ′ = c LL (4) v2 1− 2 c
w.
Σ Σ′
v P o o’ z’
指示的时刻相同
案 网
与 Σ ′ 系中何处时钟相遇时 解 根据变换关系 得
读数是多少 y y’
da
x= = x v2 (1 + 1 − 2 ) v c 0.9999c
-6-
课
后
答
co
x y z Q x
Σ ′ 相对于 Σ 以速度
处的时钟
设 Σ 系中 P ( x, y, z , t ) 处的时钟与 Σ ′ 系中 Q ( x ′, y ′, z ′, t ′) 处时钟相遇时
由变换关系
得 Σ ′ 系中的入射光线
课
∴
∫
dv = a ′dt v 2 32 ∫ 0 (1 − 2 ) c
t
k ix = k cosθ 0 , k iy = k sin θ 0 , k iz = 0, ω i = ω 0
3 2
v ez
可见 ∇ × E 不恒为零
v
于是有磁场 B =
故麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 在各自静止的参考系中的长度均为 l 0 且平行于尺子
kh
但运动方向相反
v v ∂B 于是 ∇ × E ≠ − ∂t
da
它们以相同的速率 v 相 求站在一根尺子上测量另一根 可得 Σ 2 系
w.
对于某一参考系运动 尺子的长度
m
有
v2 c2
电动力学习题参考 解 取固着于观察者上的参考系为 Σ ′ 在 Σ 系中 在 Σ ′ 系中
第六章 狭义相对论
l x = l cosθ
l y = l sin θ
v2 v2 ′ l x = l x 1 − 2 = l cosθ 1 − 2 c c ′ l y = l y = l sin θ
′ = l 0 v − βvl0 = x右
w.
由车后壁到车前壁
案 网
l = l0 1 −
v2 c2
百度文库
车速
v
球速
u=
x = −l 0 Σ′
co
u0 + v u v 1 + 02 c
o v o’ x’
-3-
m
x = l0
x
静止长度为 l 0 的车厢
以速度 v 相对于地面 s 运行 车厢的后壁以速度 u 0 向前推出一
2
设有两根互相平行的尺
课
后
v ∂B 此时 有 =0 ∂t
答
µ 0 qv 2πR
R 是场点到 x 轴的距离
ww
解
根据相对论速度交换公式
′
w.
Z
案 网
又在 Σ 系中观察
q 以速度 v e x 运动
v
故产生电流 J = qve x
v
v
相对于 Σ1 的速度大小是
′
′ z1 v v ′ Σ1 Σ2 ′
2v v′ = v2 1+ 2 c ′
故在地面参考系 S 中观察
小球在此后
答
∆t =
4.一辆以速度 v 运动的列车上的观察者 在经过某一高大建筑物时 看见其避雷针上跳起 一脉冲电火花 电光迅速传播 先后照亮了铁路沿线上的两铁塔 求列车上观察者看到的 两铁塔被电光照亮的时间差 设建筑物及两铁塔都在一直线上 与列车前进方向一致 铁 塔到建筑物的地面距离已知都是 l 0 由题意 得右示意图 取地面为静止的参考系 Σ 列车为运动的参考系 Σ ′ 取 x 轴与 x ′ 轴平行同向 与列车车速方向一致 令 t = 0 时刻为列车经过建筑物时 令此处为 Σ 系与 Σ ′ 的原点 如图 解 在 Σ 系中 光经过 t =
v′ =
ww
∴ 在 Σ ′ 系中看到两物体相距 v2 v′ 2 c2 1− 2 = uv c 1− 2 c l 1−
今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动 他
l ′ = l0
7. 一把直尺相对于 Σ 系静止 直尺与 x 轴交角 θ 看到直尺与 x 轴交角 θ ′ 有何变化
-5-
kh
u2 c2 u−v uv 1− 2 c
w.
指示时间相同
∴ 在 4 式中 有 t = t ′
ww
c2 v2 t (1 − 1 − 2 ) 代入 1 式 v c
得
x′ = −
c2 v2 t (1 − 1 − 2 ) = − x v c x
相遇时
t = t′ =
c2 v2 (1 − 1 − 2 v c
即为时钟指示的时刻 火箭由静止状态加速到 v =
牛顿定律有相同的形式
2
所以 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的
w.
v v ∂B 以真空中的麦氏方程 ∇ × E = − 为例 设有一正电荷 q 位于 O ′ 点 并随 Σ′ 系运动 ∂t
在 Σ′ 中 q 是静止的 故: E ′ =
kh
v q q
2
ww
r v ∂B ′ 于是 方程 ∇ ′ × E ′ = − 成立 ∂t ′
时间差为
m
y 电动力学习题参考 y’
可见
u′ x = −v u ′y = c2 − v2 t 2 n
v ′ = −v R ux
c n
第六章 狭义相对论
v u ′y
s x x’
o
o’
∴ 在 Σ 系中 测得 y 方向上的速度 v2 c2 uy = = u′ xv 1+ c u ′y 1 − l0 1 − v2 c2 c2 − v2 2 n c2 v2 2 − v 1 − n2 c2 = (−v ) ⋅ v 1+ c c2 − v2 2 n 1−
v v d 2x F =m 2 dt
m
o’
x’
电动力学习题参考 由伽利略变换关系有 在Σ 中
第六章 狭义相对论
v E=
x − vt y v v { ex + ey + 3 3 4πε 0 [( x − vt ) 2 + y 2 + z 2 ] 2 [( x − vt ) 2 + y 2 + z 2 ) 2 q + z [( x − vt ) 2 + y 2 + z 2 )
课
后
答
Σ ′ 系沿 x 轴以速度 v 运动 在 Σ ′ 系中测得光速在
沿介质运动方向的光速
w.
案 网
′ d′ d左 − 右 = c c
2vl0 1 v v (1 + ) − (1 − ) = c c v2 c v2 1− 2 c2 1− 2 c c l0
co
相对于介质静止的系为 Σ ′
9
v & = 20m ⋅ s −2 设瞬时惯性系上加速度为 v
m
x’ 问按
v2 1− 2 c
电动力学习题参考 照静止系的时钟和按火箭内的时钟加速火箭各需要多少时间 解 1 在静止系中 加速火箭 令静止系为 Σ 系 瞬时惯性系为 Σ ′ 系
第六章 狭义相对论
且其相对于 Σ 系的速度为 u
& , u 同向 可知 v , v
答
课
4πε 0 ( x ′ + y ′ + z ′ ) z′ ( x′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) v e z′ ]
+
-1-
w.
v v d 2 x′ F ′ == m′ 2 dt ′ ( x′ + y ′ + z ′ )
2 3 2
案 网
v & v d& x F =m 2 dt
co
v e y′ +
沿 x 轴运动
da
课
后
在Σ 中
A,B 以速度 u 沿 x 轴运动 相距为 l
w.
在 Σ ′′ 系中
案 网
6. 在坐标系 Σ 中有两个物体都以速度 u 沿 x 轴运动 在 Σ 系看来 它们一直保持距离 l 不 变 今有一观察者以速度 v 沿 x 轴运动 他看到这两个物体的距离是多少
co
A B 静止相距为 l 0
z z’
x ′ = x − vt y′ = y z′ = z t ′ = t
1 牛顿定律在伽利略变换下是协变的 以牛顿第二定律为例
Σ
y
Σ′ v r
v v v r′
y’
o
x
在 Σ 系下
Q x ′ = x − vt , y ′ = y, z ′ = z , t ′ = t
可见
在 Σ′ 系中
电动力学习题参考
第六章 狭义相对论
l = l0
v′ 2 1− 2 c
代入 v ′ =
2v v2 1+ 2 c ′
v2 c2 即得 l = l 0 v2 1+ 2 c 1−
3
此即是在 Σ1 系中观测到的相对于 Σ 2 静止的尺子的长度
′
个小球 求地面观测者看到小球从后壁到前壁的时间 解 根据题意 取地面为参考系 S 车厢为参考系 S ′ 于是相对于地面参考系 S 车长
电动力学习题参考
第六章 狭义相对论
1 证明牛顿定律在伽利略交换下是协变的 麦克斯韦方程在伽利略变换下不是协变的 证明 根据题意 不妨取如下两个参考系 并取分别固着于两参考系的直角坐标系 且令 t 0 时 两坐标系对应轴重合 根据伽利略变换 有 计时开始后
Σ′ 系沿 Σ 系的 x 轴以速度 v 作直线运动
O
co
z2 ′ v v ′ x1 o2 ′ x2 ′
X
v v + ( z − x + vt )e y + ( x − vt − y )e z ]
∴ 在 Σ1 系中测量 Σ 2 系中静长为 l 0 的
尺子的长度为
′
′ o1
-2-
m
v q 3 v [( y − z )e x + ∴∇ × E = − 3 4πε 0 [( x − vt ) 2 + y 2 + z 2 ] 2