反比例的图像及性质
反比例函数的图像和性质
反比例函数的图像和性质反比例函数是数学中的一种基本函数类型，其图像和性质具有一定的特点。
本文将从图像和性质两个方面进行论述。
一、图像反比例函数的基本形式为y=k/x，其中k为常数，且k不等于0。
根据函数的定义域和值域，可得反比例函数的图像具有如下特点：1. 对称轴：对于反比例函数y=k/x来说，其对称轴为y轴和x 轴，即函数图像关于y轴和x轴对称。
2. 渐近线：反比例函数的图像会与y轴、x轴以及非对称轴（y=k/x中对称轴为y轴和x轴）形成三条渐近线。
当x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0；当y趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值趋近于0。
3. 图像形状：反比例函数的图像呈现双曲线的形状，即左右两侧趋近于无穷大而且不相交。
二、性质除了图像特点外，反比例函数还具有以下性质：1. 变化趋势：反比例函数的特殊之处在于当自变量x增大时，因为分母逐渐增大，所以函数值y会逐渐减小；反之，当x减小时，函数值y会逐渐增大。
2. 强调比值关系：反比例函数中，自变量和因变量之间存在着比值关系。
当自变量增大或减小时，因变量的大小相应呈现相反的变化。
3. 零点和定义域：反比例函数在定义域内除了零点x=0外，它的函数值不为零。
定义域一般为除零点的所有实数。
4. 单调性：反比例函数在定义域内通常是单调的，当自变量增大时，因变量会单调减小；当自变量减小时，因变量会单调增大。
5. 特殊情况：当反比例函数中的常数k为正数时，其图像位于第一象限和第三象限；当k为负数时，图像位于第二象限和第四象限。
这决定了函数图像关于原点的对称性。
综上所述，反比例函数的图像呈现双曲线的形状，具有对称轴、渐近线等特点。
同时，反比例函数的性质包括变化趋势、比值关系、零点和定义域、单调性以及特殊情况等。
在实际问题中，反比例函数具有广泛的应用，比如经济学中的供需关系、物理学中的电阻和电流关系等。
通过研究反比例函数的图像和性质，可以更好地理解和应用数学知识。
6.2.1 反比例函数的图像和性质
2 4 6 8
x
x 如图所示,P为该图象上任意一点,PQ⊥y轴于Q
反比例函数 y=
k
(k>0)在第一象限内的图象
,MN⊥x轴于N,△POM的面积与梯形PQNM面积
之间的关系
y
P
·
0
M
Q N
x
如图，已知双曲线 y= x （x＞0）经 过矩形OABC的边AB、BC上的点F、E，
其中CE=
1 3
k
CB，AF=
知识回顾
作一次函数图象的一般步骤：
y 6x
列 表
一条直线
描点法
描 点
连 线
反比例函数的图象是怎样的？
6 y x
x 1. 列表
6 y x 6 y x
在同一个坐标系中画出 6 和 y 6 的图像 y
x
... -4 -3 -2 -1 1
x
2 3
4
...
2. 描点
y
O
x
3. 连线
（3）研究表明，每立方米的
y（mg）
含药量不低于3mg且持续时间
不低于10min时，才能有效杀
6 o
灭空气中的病菌，那么此次消
毒是否有效？为什么？
8
x(min) 胜利 之舟
想一想
例、如图，已知反比例函数 y=
12
x 的图象与一次函数
y= kx+4的图象相交于P、Q两点，且P点的纵坐标是6. （1）求这个一次函数的解析式 （2）求△POQ的面积
m2 2、函数 y x 的图象在二、四象限，
m<2 则m的取值范围是 _______
1 3、对于函数 y ，当 x<0时，图象在 2x
反比例函数的图像与性质.
x 0
y
0
x
如图，函数y=k/x和y=－kx+1(k≠0)在同 一坐标系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
A
-4
B
y
6
-4
先假设某个函数 图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
6
y
4
4
2
2
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5
x
-4
C
D
-4
k 3.已知反比例函数 y (k≠0) x
b’
b B A a’ a
0 书本练习P53. 1 .2
x
已知直线y=kx（k>0） 绕原点旋转，与反比例函数 8 在第一象限交于点P。 y=— X 过点P向X轴，y轴作垂线， 垂足分别是A，B。 问 OAPB是一个什么图形？ 随着直线的转动，这个图形 的面积将如何变化？
B B
P
y=kx P
A
A
不变，等于8
C 4
x
Gibco胎牛血清/xueqing/ Gibco胎牛血清
mqu79hno
次装满一大海碗，对耿兰说：“兰儿，你去姥爷那儿跑一趟哇，这个饺子应该比饭店里做的好吃呢，让姥爷和舅舅他们也尝一 尝！”剩下的，郭氏装在干净的竹篮子里，吩咐耿英悬挂到地窖里去了。耿兰从姥爷那儿返回来的时候，娘和姐姐已经把所有 的剩饭剩菜都收拾妥当，并且把几大摞碗碟，以及酒瓶子酒盅筷子什么的都洗刷干净归置好了。郭氏说：“咱们都歇息一会儿 哇，晚上还要热闹呢！娘今儿个很高兴，可也有些个累了呢！”于是，娘三个就在东、西两个厢房内小睡去了。半下午时分， 耿英醒来了。看到妹妹还在酣睡呢，就轻手轻脚地起身下炕来。再轻轻走到西厢房的门口探头往里瞧瞧，见娘还睡得很沉，就 动作轻轻地把晚上“供月”的各色水果都洗干净了空在漏箩里。看到娘和妹妹还没有睡醒的迹象，耿英想，俺也看看水稻去！ 于是，她轻手轻脚地出门倒挂上院门，又尽量动作轻轻地拉齐了。然后，就脚步轻盈地往爹试种的水稻田那边去了。耿英先去 了自家的水田边，看到齐刷刷秀了穗儿的水稻在微风中略显沉重地摇曳着。用手捏一捏，真是已经灌了半饱的浆了呢！再看看 稻田周围的几十个草人儿，见它们“手”里绑着的那些个拉了很长的纸旗儿一飘一飘的忒好玩儿，耿英不觉笑出了声儿。高高 兴兴地独自观看一圈后，她又往不远处舅舅家的水田那边溜达过去了。一直到黄昏时分，父子四个才高高兴兴地返回家来。这 个时候，郭氏和耿兰已经把八仙桌和餐桌全都搬到当院儿里了，正在那里摆放各种鲜瓜和鲜果子呢。见父子四个回来了，郭氏 说：“哎呀，这一下午，睡得可真叫个香哇。醒来以后，一点儿都不觉得累了！英子啊，你还是那样经得起摔打哇，早早地就 起来洗好了瓜果，还去看你爹的水稻了？”耿英轻轻笑一笑说：“俺睡了一会儿就不觉得累了。咱们上午那点儿活计，小菜一 碟儿！”耿兰不好意思地说：“可俺像死猪一样，几乎睡了整整一个下午呢！”耿直夸张地瞪大眼睛大声儿对妹妹说：“兰兰 啊，你哪里能跟咱姐比哇！你是咱娘在暖房里养大的嫩苗苗，咱姐可是在旷野中疯长的圪针啊，不光是硬实无比，还扎人呢！” 耿英笑着说：“小直子你就摆忽哇。将来啊，非得让你在咱们家盖的大戏台上，好好儿地过一把你这个喜欢瞎摆忽的瘾不可！” 郭氏不解地看看耿英，又看看耿直，说：“你们都在说些什么呢？嫩苗苗、圪针的，还要让小直子过什么瞎摆忽的瘾？俺怎么 越听越糊涂了？”耿兰假装生气地斜了姐姐和二哥一眼，恨恨地说：“俺也只是听明白了一半呢！娘，咱俩不理他们，还给咱 们咬文嚼字呢！谝他们强，看俺将来不超过他们！”耿老爹听了小女儿这话却非常高兴，笑着说：“就是，俺兰儿一点儿也不 比他们差，将来一定能超过他们的！”耿正对爹说：“俺就喜欢兰
反比例函数的图像和性质3要用
x<-2或x>0 当y﹥-1时,x的取值范围是 _________ .
考察函数 y k 的图象,当x=-2时,y= __3 ；
0<y<3 当x<-2时,y的取值范围是 _____ ;
y
x
y>3或y<0 当x﹥-2时,y的取值范围是 _________ -2<x<0 当y﹥3时,x的取值范围是 _________ .
p
y
N
o x
M
如图，已知A（-2，1）、B（n，-2）是一次 m 函数y=kx+b的图象与反比例函数 y 的图 x 象的两个交点； （1）求此反比例函数和一次函数的解析式 （2）根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数 的值的x的取值范围； （3）求△AOB的面积．
拓展练习
1、已知点（ x1，-1 ）（ x2，5），
1 的图象上， （x3，-9）在函数y= x
则下列关系式正确的是（ C
A C x1＜x2＜x1＞x2＞x3
D x1＜x3＜x2
练一练
2、若M(-3.5,y1)、N(-1.2,y2)、P(2.7,y3)三点都 在函数y=k/x（k>0）的图象上，则y1、y2、y3 的大小关系是( C ) (A)y1>y2>y3 (B)y1>y3>y2 (C)y3>y1>y2 (D)y2>y3>y1
A 面积分别为S1 , S 2 , S3 , 则有 __ .
A.S1 = S2 = S3 B. S1 < S2 < S3 C. S3 < S1 < S2 D. S1 > S2 >S3
y
A S1 B S2
反比例函数反比例函数的图象与性质
2023-11-06
contents
目录
• 反比例函数概述 • 反比例函数的图象 • 反比例函数的性质 • 反比例函数的应用 • 反比例函数的扩展知识
01
反比例函数概述
反比例函数的定义
反比例函数定义
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数 。
反比例函数的积分特性
反比例函数在区间(-∞,0)和(0,+∞) 上的积分等于常数k。
VS
反比例函数在区间(-∞,x)和(x,+∞)上 的积分等于常数k乘以x。
04
反比例函数的应用
用反比例函数解决实际问题
电力分布
在电力分布问题中，常常 需要使用反比例函数来计 算电力的分布情况，以便 合理规划电力设施。
反比例函数的定义域和值域
定义域为{x|x≠0}，值域为{y|y≠0}。
反比例函数的单调性
在区间(-∞,0)和(0,∞)上单调递减。
反比例函数的基本形式
反比例函数的基本形式
01
一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。Biblioteka 反比例函数的解析式02
反比例函数通常被表示为y = k / x的形式，其中k是常数且不
热传导
在热传导中，可以使用反比例函数 来描述热量在介质中的传导规律。
在几何中的应用
圆的面积
在计算圆的面积时，可以使用 反比例函数来描述圆的面积与
半径之间的关系。
球的体积
在计算球的体积时，可以使用 反比例函数来描述球的体积与
半径之间的关系。
光线反射
在光线反射问题中，可以使用 反比例函数来描述光线反射的
26.1.2反比例函数的图像和性质
03
反比例函数性质分析
单调性判断方法
01
02
03
求导判断法
通过对反比例函数求导， 根据导数的正负判断函数 的单调性。
图像观察法
通过观察反比例函数的图 像，可以直接判断出函数 在不同区间的单调性。
特殊点比较法
选取反比例函数上的特殊 点，比较它们的函数值大 小，从而判断函数的单调 性。
奇偶性讨论
奇函数性质
02
反比例函数图像特点
图像形状及位置
01
反比例函数的图像是一条双曲线 ，该曲线以原点为中心，分布在 两个象限内。
02
当$k > 0$时，双曲线的两支分别 位于第一、第三象限；当$k < 0$ 时，双曲线的两支分别位于第二 、第四象限。
渐近线与坐标轴关系
反比例函数的图像无限接近于坐标轴 ，但永远不会与坐标轴相交。
的关系等。
工程学
在工程学中，复合反比例函数可用 于描述某些物理量之间的关系，如 电阻、电容和电感等。
数学建模
在数学建模中，复合反比例函数可 作为一种数学模型来描述实际问题 ，如人口增长、资源消耗等。
THANKS
感谢观看
在第一、三象限内，双曲线无限接近 于$x$轴和$y$轴的正半轴；在第二、 四象限内，双曲线无限接近于$x$轴和 $y$轴的负半轴。
图像对称性
反比例函数的图像关于原点对称，即如果点$(x, y)$在双曲线上，则点$(-x, -y)$ 也在双曲线上。
此外，反比例函数的图像还关于直线$y = x$和$y = -x$对称。
04
反比例函数在实际问题中应用举例
面积问题求解
矩形面积
当矩形的长度和宽度成反比例关系时 ，可以通过反比例函数求解其面积。
反比例函数的图象和性质课件
３.甲乙两地相距100km，一辆汽车从甲地开往乙地， 把汽车到达乙地所用的时间y(h)表示为汽车的平均
速度x(km/h)的函数，则这个函数的图象大致是（ C ）
反比例函数的性质
y
1.当k>0时,图象的两个分
支分别在第一、三象限内，
x
在每一个象限内，y随x的
0
增大而减小；
y
2.当k<0时,图象的两个分
-4
函数y=kx-k 与 y k k 0在同一条直角坐标系中的 图象
x
可能是
:D
y ox (A)
y ox (B)
y ox (C)
y ox (D)
在每一象限内，Y 随x 的增大而___增___大___.
3. 函数y=—x5— ,当x>0时,图象在第__一__象限, Y 随x 的增大而___减__小____.
4.下列函数中,图象位于第二、四象限的
有 (3)、；(在4)图象所在象限内，y的值随x
的增大而增大的有
(2).、(3)、(5)
(1)y 2 (2)y 2x
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-4
-4
-5 -5
-6 -6
y
6
5
y
=-
6 x
4
y
=
6 x
3
2
请大家仔细观察反比例函数
y 6
和
y
6
的函数
x
x
1
图象，找找看，他们有什么共同
-6
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 -1
23 4
5
6x
-2
的特征？
-3
18.3(2)反比例函数的图像和性质
图象名称
K>0
y=kx (k≠0)
直 线
(过原点）
图象位于：一、三象限 增减性：y随x的增大而增大 图象位于：二、四象限
性 质
K<0 增减性： y随x的增大而减小
小练习:
1、正比例函数y=2x经过第
一、三
象限.
2、已知矩形面积为6，则它的长y与宽x之间的函数关系 6 ，y是x的 式为 函数. y 反比例
为
y 1 ＞0 ＞y 2
.
A
y
y1
o
x2
x
B
x1
y2
1.已知点A(-2,y ),B(-1,y A(-2,y1 ),B(-1,y 1 2) 2),C(4,y 3) 都在反比例函数 为
y 3 ＞y 1＞y 2
4 y x
的图象上,
则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)
.
-2
y
-1 y3
A
B
o y1 y2
） D不能确定 y
C非正数
本题要注意A,B是否在同一象限内 o 若A,B在不同的象限则可能有多种情况出现
x
数学题目形式灵活多变，大家要善于思考
3 y （x 0) x
D、
y 2x
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2) 都在反比例函数 为
y 1＞ y 2
4 y x
的图象上,
则y1与y2的大小关系(从大到小)
.
当k>0时:
在每一个象限内，y随x的增大而减小
1.已知点A(-2,y1),B(-1,y2)
4 k 都在反比例函数 y y x(k＜0) 的图象上, x
1 标由小到大的顺序联结起来，再向两方伸展 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5 -6 0 1 2 3 4 5 6 3
反比例函数的性质及图像
反比函数的图像是在一个坐标轴上有两根相互对称的曲线而组成，性质分别为：①单调性、②面积、③图想表达、④对称性。
反比例函数图像：
具体性质：
①单调性：反比函数是具有单调性的，当函数内容k大于零的时候，图像分别位于第一三象限，而在每一个象限的内部，从左往右来数，y是随着x的增大而减少，如果K小于零的时候，图像分别位于第二四象限，在每一个象限的内部，y随着x的增大而增大。
当K大于零的时候，函数在x小于零上是一个减函数，而在x大于零的时候，也是为减函数。
在k小于零的时候，函数在x小于零上为增函数，在x大于零的时候同为增函数。
②面积：在一个反比例函数上面取两个点，这两个点可以随意的取，然后过点分别做一个x轴和
一个y轴的平行线，而这个平行线是可以和坐标轴围成一个矩形，而这一个矩形的面积为绝对值得K。
而在反比例函数上，找到一个点，向X/Y轴分别做一个垂线，设置一个围好的矩形，而这个矩形则为QOWM，这个垂线分别位于y轴和x轴，则围成形状的这个面积为绝对值得K，则连接这个矩形的对角线为OM，则满足RT△OMQ的面积等于二分之一绝对值得K。
③图像表达：对于反比例函数的图像来说的话，不和x轴或者是y轴的相交渐近线为x轴和y轴，K值相等的反比例函数图像是相互重合的，k值不相等的反比例函数图像是永远都不会相交的，而绝对值得K越大的话，反比例函数距离坐标轴就会越来越远。
④对称性：反比例函数是一种中心对称的图形，对称中心是原点，而正是这样的一个反比例函数的图像也是轴对称图形，随意反比例函数上的点是关于原点坐标对称的，图像关于原点对称。
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像与性质反比例函数是一种常见的数学函数类型，其图像非常有特点，具有一些独特的性质。
本文将介绍反比例函数的图像及其性质，以帮助读者更好地理解和应用这一函数类型。
一、反比例函数的图像反比例函数的一般形式可以表示为 y = k/x，其中 k 为非零常数。
根据这个函数形式，我们可以研究其图像及其性质。
1. 关于 y 轴和 x 轴的对称性：我们可以观察到反比例函数的图像关于 y 轴和 x 轴均具有对称性。
也就是说，如果一个点 (x, y) 在反比例函数的图像上，那么点 (-x, y)、(x, -y)、(-x, -y) 也会在图像上。
2. 渐近线：对于反比例函数 y = k/x，当 x 趋近于 0 时，y 趋于正无穷大或负无穷大。
也就是说，反比例函数的图像会有两个垂直于 x 轴的渐近线，分别位于第一象限和第三象限。
这两条渐近线可以用方程 x = 0 和 y =0 来表示。
3. 变化趋势：反比例函数的图像随着 x 的增大而逐渐趋向于 x 轴正半轴，随着 x的减小而逐渐趋向于x 轴负半轴。
换句话说，当x 趋近于正无穷大时，y 趋于 0；当 x 趋近于负无穷大时，y 也趋于 0。
这一性质可以通过直观的图像来观察和理解。
二、反比例函数的性质除了图像特点外，反比例函数还具有一些性质，对于解题和实际应用有重要意义。
下面我们将介绍一些常见的性质。
1. 定义域和值域：反比例函数 y = k/x 的定义域为除了 x=0 外的所有实数，值域也为除了 y=0 外的所有实数。
这是因为 0 不能作为分母。
2. 增减性：当 x1<x2 时，对于反比例函数，由于 x1 和 x2 在同一侧相对于 0，所以可以推出 y1 和 y2 在同一侧相对于 0。
也就是说，反比例函数在定义域内的不同点上具有相同的增减性。
3. 零点：反比例函数的零点为x=0，即在坐标系的原点处。
当x 不等于零时，反比例函数的值不会等于零，因此没有其他零点。
反比例函数图象及性质
2x
2x
4x
800x
3、下列反比例函数图像的一个分支,在第三象限的是( B )
3
21k3(A) y (B)y (C) y (D) y
x
x
x
x
4、函数 y 1 a2 的图象在第 二、四 象限.
x
例题讲解
2 例1：在反比例函数 y x 的图象上有两点（x1，y1）、
（x2，y2）,若x1>x2 ，则y1>y2吗？
x 当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而减小.
当k<0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限， 在每个 象限内y值随x值的增大而增大.
y
6
y=
6 x
5 4
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2 -3
-4 -5
-6
观察y 6 和y 6 的图象
x
x
发现函数值y怎样随着自变量x的变化而变化？
1、在每一个象限内 2、在整个自变量的取值范围内
如图xB< xA 但yB< yA
y
6
6
5
y x
4
· 3
A
y
· C 6
6
5
y
x
4
3
2
2
xB
1
x -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
A
· -2
B
-3
-4 -5
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2
3
-1
-2
第十四讲反比例函数的图像和性质
选择合适坐标系
为了清晰地展示反比例函 数的图像，需要选择合适 的坐标系，通常使用笛卡 尔坐标系。
绘制函数图像
在坐标系中，通过计算不 同 $x$ 值对应的 $y$ 值 ，可以绘制出反比例函数 的图像。
图像变化趋势及拐点分析
变化趋势
当 $x$ 从负无穷增加到 0 时，反比例函数的值 $y$ 会从负无穷增加到负无穷 大；当 $x$ 从 0 增加到正无穷时，反比例函数的值 $y$ 会从正无穷大减小到 正无穷小。因此，反比例函数图像在坐标系中呈现双曲线形状。
图像特征
反比例函数的图像是以原点为对称中 心的两条曲线，当 $k > 0$ 时，图像 位于第一、三象限；当 $k < 0$ 时， 图像位于第二、四象限。
渐近线
反比例函数的图像无限接近于但永不 相交于 $x$ 轴和 $y$ 轴，这两条轴 是反比例函数的渐近线。
单调性
在每一象限内，随着 $x$ 的增大（或
03
与指数函数、对数函数关系
反比例函数与指数函数、对数函数在图像和性质上都有显著区别，一般
不会混淆。但在某些特定条件下，它们之间可能存在一定的联系或转化
关系。
02
反比例函数图像绘制与特点
坐标系中绘制反比例函数图像
01
02
03
确定函数表达式
首先确定反比例函数的表 达式，例如 $y = frac{k}{x}$（其中 $k neq 0$）。
定义
形如 $y = frac{k}{x}$（$k$ 为常 数且 $k neq 0$）的函数称为反 比例函数。
表示方法
反比例函数通常用 $y = frac{k}{x}$ 或 $xy = k$（$k$ 为 常数且 $k neq 0$）来表示，其 中 $x$ 是自变量，$y$ 是因变量 。
反比例函数图象及性质
反比例函数图象及性质【知识点】定义：一般的，如果两个变量x ，y 之间的关系可以表示成(k 为常数，k≠0，x≠0），其中k 叫做反比例系数，x 是自变量，y 是x 的函数，x 的取值范围是不等于0的一切实数,且y 也不能等于0。
表达式：y*x=-1,y=x^(-1)*k ，y=kx^-1（k 为常数(k≠0），x 不等于0）函数的图像：当k>0时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内，两个分支无限接近x 和y 轴，但永远不会与x 轴和y 轴相交.函数的性质：Y 与x 的变化：当k>0时，图象分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而减小； 当k<0时，图象分别位于第二、四象限，每一个象限内，从左往右，y 随x 的增大而增大。
因为在(k≠0)中，x 不能为0，y 也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x 轴相交，也不可能与y 轴相交，只能无限接近x 轴，y 轴。
面积：在一个反比例函数图像上任取两点，过点分别作x 轴，y 轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为|k|， 反比例函数上一点 向x 、y 轴分别作垂线，分别交于y 轴和x 轴，则QOWM 的面积为|k|，则连接该矩形的对角线即连接OM,则RT △OMQ 的面积=½|k|。
对称性：类型一：函数性质，比较大小例1.如果两点P 1（1，y 1）和P 2（2，y 2）在反比例函数xy 1=的图象上，那么y 1与y 2间的关系是（ ） A. y 2＜y 1＜0 B.y 1＜y 2＜0 C.y 2＞y 1＞0 D.y 1＞y 2＞0 例2.对于函数3x ky x+＝（k ＞0）有以下四个结论： ①这是y 关于x 的反比例函数；②当x ＞0时，y 的值随着x 的增大而减小； ③函数图象与x 轴有且只有一个交点；④函数图象关于点（0，3）成中心对称．其中正确的是 。
反比例函数的图像和性质
18.3 反比例函数的图像和性质
（2）
函数 解析式 定义域 图像形状
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 一切实数 直线
位 置
反比例函数
y=k x ( k是常数,k≠0 )
不为零的一切实数
k>0 性质
k<0 性质
一三 象限
增 减 y随x的增大而增大 性 位 置
二四 象限
9 3k 1、若反比例函数 y 的图像位于第二、四象限， x
k>3 则k的取值范围是_________.
2a 3 2、已知反比例函数 y 的图像在每一象限内， x 3
y随x增大而减小，则a_____________. 2
k 1 3、若反比例函数 y 的图像上两点 M ( x1 , y1 ) 、 x N ( x2 , y2 ) ，且当 x1 x2 0 时，y1 y2 ，则k的取
位 置 增 减 性 位 置 增 减 性
正比例函数
y=kx ( k≠0 ) 一切实数 直线 一三 象限
反比例函数
y=k x ( k是常数,k≠0 )
不为零的一切实数 双曲线 一三象限
y随x的增大而增大 y随x的增大而减小
二四 象限 二四象限
k<0 性质
y随x的增大而减小 y随x的增大而增大
练习册：18.3(2) 一课一练： 18.3(2)
下列函数中，其图像位于第一、三象限的 有 ⑴、⑵、⑶、(6) ； 在其图像所在的每一个象限内，y 的值随着 x 的增大而增大的有 ⑷ 、(5) ．
10 1 y x
0.3 2 y x
1 3 y 2x
7 4 y xΒιβλιοθήκη 5 y k 1 x
第1节 反比例函数的图像和性质
第二十六章反比例函数第一节反比例函数的图像和性质一、课标导航二、核心纲领1.反比例函数⑴定义：一般地，形如kyx=（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数.注：①自变量x在分母上，指数为1.②比例系数k≠0.③自变量x的取值为一切非零实数，函数值的取值范围是y≠0.④反比例函数的其他形式：xy=k（k≠0）或y=kx-1（k≠0）.⑵图像：反比例函数的图像是双曲线，也称双曲线kyx=（k≠0）⑶性质（如下表所示）注：⑴y随x变化的情况必须指出“在每个象限内”或“在每一分支上”这一条件.⑵kyx=（k为常数，k≠0）中自变量x≠0，函数值y≠0，所以双曲线不经过原点，两个分支逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交.2.待定系数法求反比例函数的解析式只需图像上一个点的坐标即可求出k.3.反比例函数的图像的对称性⑴中心对称：对称中心是原点.⑵轴对称：对称轴是直线y=x和直线y=—x.4.k的几何意义（如下表所示）5.数学思想⑴数形结合；⑵分类讨论.本节重点讲解：一个定义，一个性质，一个对称性，一个几何意义.三、全能突破基础演练1.如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的正比例函数，那么y 是x 的（ ）A. 反比例函数B. 正比例函数C.一次函数D. 反比例或正比例函数 2.若反比例函数22(21)m y m -=-的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）A.-1或1B.小于12的任意实数 C.-1 D.不能确定 3.如图26-1-1所示，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图像上.若点A 的坐标为（-2，2）则k 的值为（ ）A. 1B.-3C.4D.1或-34.若函数1mm y x-=为反比例函数，则m =______.5.三个反比例函数y 1，y 2，y 3的图像的一部分如图26-1-2所示，则k 1，k 2，k 3的大小关系为______.6. 反比例函数2k y x-=的图像一个分支经过第一象限，对于给出的下列说法： ①常数k 的取值范围是k ＞2；②另一个分支在第三象限；③在函数图像上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2；④在函数图像的某一分支上取点A （a 1，b 1）和点B （a 2，b 2），当a 1＞a 2时，则b 1＜b 2； ⑤函数的图像是中心对称图形但不是轴对称图形. ⑥一元二次方程x 2—（2k —1）x +k 2—1=0无实数根. 其中正确的是______（在横线上填出正确的序号）7.已知y =y 1+y 2，而y 1与x +1成反比例，y 2与x 2成正比例，并且x =1时，y =2；x =0时，y =2. 求y 与x 的函数关系式.3y图26-1-18.如图26-1-3所示，定义：若双曲线kyx=（k＞0）与它的其中一条对称轴y=x相交于A、B两点，则线段AB的长度为双曲线kyx=（k＞0）的对径.⑴求双曲线1yx=的对径；⑵若双曲线kyx=（k＞0）的对径为k的值；⑶仿照上述定义，定义双曲线kyx=（k＜0）的对径.能力提升9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图26-1-4所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数ayx=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（）10.下列选项中，阴影部分面积最小的是（）BACD11.根据图26-1-5（a ）所示的程序，得到了y 与x 的函数图像如图26-1-5（b ），过点M 作PQ ∥x 轴交图像于点P 、Q ，连接OP 、OQ .则以下结论：①x ＜0时，2y x=；②△OPQ 的面积为定值；③x ＞0时，y 随x 的增大而增大；④MQ =2PM ；⑤∠POQ 可以等于90°. 其中正确的结论是（ ）A.①②④B.②④⑤C.③④⑤D.②③⑤12.⑴正比例函数y =k 1x (k 1≠0)和反比例函数2k y x=(k 2≠0)的一个交点为（1，-2），则另一个交点为______.（2）直线y=ax （a ）0）与双曲线y=x3交于A ()11,y x 、B ()22,y x 两点，则122134y x y x -= .13.如图26-1-6所示，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数()0>=k xky 的图像上与正方形的一个交点，若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 .（a ）（b ）图26-1-5A14. 如图26-1-7所示，点A 、B 是函数y=x 与y=x1的图像的两个交点，作AC ⊥x 轴于C ，作BD ⊥x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积为 .15. 如图26-1-8所示，已知双曲线()0>=k xky 经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ，若△OBC 的面积为6，则k= .16. 如图26-1-9所示，正方形OABC 的面积是4，点B 在反比例函数()0,0>>=x k xky 的图像上.若点R 是该反比例函数图像上异于点B 的任意一点，过点R 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足为M 、N ，从矩形OMRN 的面积中减去其与正方形OABC 重合部分的面积，记剩余部分的面积为S ，则当S=m （m 为常数，且0<m<4）时，反比例函数解析式为 ，点R 的坐标是 （用含m 的代数式表示）.17. 如图26-1-10所示，在平行四边形AOBC 中，对角线交与点E ，双曲线()0>=k xky 经过A 、E 两点，若平行四边形AOBC 的面积为18，则k = .18. 如图26-1-11所示，△AOB 为等边三角形，点B 的坐标为（-2，0），过点C （-2，0）作直线l交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在某反比例函数图像上，当△ADE 和△DCO 的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 19.（1）两个反比例函数xy x y 63==、在第一象限内的图像如图26-1-12所示，点321P P P 、、、…、2013P 在反比例函数xy 6=的图像上，它们的横坐标分别是321x x x 、、、…、2013x ，纵坐标分别是1、3、5、…共2013个连续奇数，过点分别作y 轴的平行线与的图像交点依次是()111,y x Q 、()222,y x Q 、()333,y x Q 、…、()201320132013,y x Q ，则2013y = .（2）如图26-1-13所示，在函数()08>=x xy 的图像上有点321P P P 、、、…、n P 、1+n P ，点1P 的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点321P P P 、、、…、n P 、1+n P 分别作x 轴、y 轴的垂线段，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为321S S S 、、、…、n S ，则1S ，n S .（用含n 的代数式表示）20.（1）①如图26-1-14（a ）所示，一个正方形的一个顶点在函数()01>=x xy 的图像上，则点1P 的坐标是（ ， ）.②如图26-1-14（b ）所示，若有两个正方形的顶点1P 、2P 都在函数()01>=x xy 的图像上，则点2P 的坐标是（ ， ）.（2）如图26-1-14（c ）所示，若将两个正方形改为两个等腰直角三角形，直角顶点在函数()04>=x xy 的图像上，斜边1OA 、21A A 都在x 轴上， ①求点的坐标；②求点2P 的坐标.（3）如图26-1-14（d ）所示，若有两个等边三角形的顶点都在函数()034>=x xy 的图像上，点1A 、1A 在x 轴上，直接写出点2P 的坐标.21.（1）探究：如图26-1-15（a ）所示，已知△ABC 和△ABD 的面积相等，试判断AB 与CD 的位置关系，并说明理由.（2）应用：①如图26-1-15（b ）所示，点M 、N 在反比例函数()0>=k xky 图像上，过点M 作ME ⊥y 轴，过点N 作NF ⊥x 轴，垂足分别为E 、F ，试证明：MN ∥EF .②若①中其它条件不变，只改变点M 、N 的位置，如图26-1-15（c ）所示，请判断MN 与EF 是否平行，直接写出结论。
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x … -8 -4 -3 -2 -1 1
y4 x
…
1 2
1
4 3
2
4
2
8
…1 12 2
… -8 -4 -2
3
4 3
48
-1
1 2
… …
. y
6
y = —-x4
5
.4
3
．
． ．.
2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2
-3 -4 -5 -6
1 2 ．3 4. ．5 6 x . .
且图象经过 一、三象限， 求m的值
2、u与t成反比，且当u=6时，t 1 8
这个函数关系式为
.
作业
（A层）如图，当 x 0 时， 下列图象中，
有可能表示 y与知xy2 成 反y1比+y例2 ，，y 且1与 当x x成=正2与比x例=3，时，
1 2x
，这部分图像在第
活学活用 巩固提高
1、已知
y
k x
(k
o)
的图象的一部分如图，
则k > 0 k
2、在反第比二例、函四数象y限 ，mx 则的点（图m象,m两-2支）分在布( C )
A 第一象限 B第二象限 C 第三象限 D第四象限
挑战自我 能力提升
问题: 1、反比例函数图象是中心对称图形吗？
2 .描点时要严格按照表中所列的对应值描点，绝对不能把 点的位置描错。
3.一定要养成按自变量从小到大的顺序依次画线,连线时必 须用光滑的曲线连接各点,不能用折线连接。
4.图像是延伸的，注意不要画成有明确端点。
5.曲线的发展趋势只能靠近坐标轴,但不能和坐标轴相交.
驶向胜利 的彼岸
巩固新知 夯实基础
小华画的反比例函数y=6/x 的图象如图所示， 你认为他画的对吗？
1
2
.
．3 4.
5
6
x
-3 4
．
-5
-6
．
形状:
图像分别都是由两支曲线组成，因此称反比例函 数的图象为双曲线。
位置: 4
函数
y= x
的两支曲线分别位于第一、三象限
内.函数 y = —-x4 的 两支曲线分别位于第二、四
象限内.
想一想
2.反比例函数 y
k x
的图象在哪两个象限,由什么确定？
答：由k决定。
）
A：
o
x
B：
o
x
y
C：
o
x
D：
y
o x
测一测
y=
5
1.函数 y =
的图象在第
5 x
的图像在第_二_,_四__象限，函数
一、三 象限。
x
2. 双曲线 y =
1 3x
经过点（-3，__91_）
3.函数
y
=
m-2 x
的图像在二、四象限，则m的
取值范围是 _m__<_2 .
4.对于函数 y = ___一__、__三_象限.
3注意事项： （1）因k≠0,x≠0故y≠0,所以它们都不与坐标轴相交。 （2）画图时注意其美观性（对称性、延伸性）：反比例函数
的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形。它们各自都有 一个对称中心两条对称轴；图象分别都是由两支曲线组成的 ，两个分支都无限趋近但永远不能与x轴和y轴相交。
B层
1、已知函数 y(m2)xm22m9是反比例函数，
．
．
驶向胜 利的彼
岸
想一想
1.观察函数y
4 x
和 y=-x—4
的图象,有什么相同点和不同点.
y
6
5 4
. y=—4x
3 2
．．．
1
. -6-5 ．-4．-3-．2 --10 1 2 3 4 5 6 x
1-
.-3-2
-4 -5
6
.
y
6
y = —-x4
.
5 4
3
．
．．.
2 1
-6 -5 -4 -3 -2 -1-10 -2
1．画出函数 y = -x—4 的图象(直接画在课本上) 解：1．列表：
x
… -8 -4 -3 -2 -1 1 2
…
1 2
1
2
3
4
8
y = —-x4 …
1 2
1
4 3
2
4
8
…
-8 -4
-2
4 3
-1
1 2
2．描点：以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐 标系内描出相应的点.
3．连线：用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到 图象.
当k>0时,两支双曲线分别位于一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于二,四象限内;
随堂练习
“双胞胎”之间的差异
下面给出了反比例函数y=
2 x
的图象，你能知道哪一个是 y=
？为什么？
和-2y图=象-吗x2 x
y
y
y 2 x
y2 x
ox
ox
活学活用
1、反比例函数y= - 5
y
x
的图象大致是（ D y
x≠0
，y≠0
回顾 已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是 一条直线
大家想不想知道：反比例函数 y
k
(k≠0)的
图象是什么样子呢？
x
让我们一起画个反比例函数的图象看一看。
例题
请画出函数 y = —4x 的图象。
思考：
（1）还记得作函数图象的三个步骤是什么？
列表、描点、连线。
注意： ① x≠0 ②列表时自变量 取值易于计算, 易于描点
解： 1．列表：
x
y 4 x
… -8
-4
-3
-2
-1
1 2
…
…
1 2
-1 4 3
-2
-4
-8 …
1 2
1
84
2 2
3
4 3
4 1
8
1 2
列表(在自变量取值范围内取一些值,并计算相应的函数值)
x
-8
-4
-3
-2
-1
1 2
1 2
12348
y
1 2
-1
4 3
-2 -4 y -8
8
4
2
4 3
反比例函数的图象和性质
复习提问
1. 下列函数中哪些是反比例函数？
① y = 3x-1 ② y = 2x2
③y=
1 x
④
y
=
2x 3
⑤ y = 3x
⑥ y=
1 x
⑦
y
=
1 3x
⑧
y
=
3 2x
2. 上节课我们学的反比例函数关系式是什么？ y = k （k ≠0，k是常数）
x
自变量x的取值范围是什么？ 函数y的取值范围是什么？
11
2
8● 7
6
描点
5 4●
3
2
●
1
● ●
●
连线
-8●–7–6 –5–4 –3 -2-1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
●
-1
●
x
● -2
-3
● -4
-5
-6
-7
-●8
议一议
你认为作反比例函数图象时应注意哪些问题？
1.列表时,选取的自变量的值,既要易于计算,又要便于描点, 尽量多取一些数值(取互为相反数的一对一对的数),多描 一些点,这样既可以方便连线 ，又可以使图象精确。
若是的话，请找出对称中心.
2、反比例函数图象是轴对称图形吗？ 若是的话，你能试着说明它的对称轴 是什么吗？
回顾：
你学到了什么？
驶向胜利 的彼岸
小结 拓展
反比例函数的图象和性质
1:形状 反比例函数的图象是由两支曲线组成的. 因此称反比例函数的图象为双曲线;
2:位置 当k>0时,两支双曲线分别位于第一,三象限内; 当k<0时,两支双曲线分别位于第二,四象限内;