中职数学圆的一般方程教学课件
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第二章2.4.2圆的一般方程PPT课件(人教版)
反思 感悟
圆的一般方程的辨析 (1)由圆的一般方程的定义，若D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否 则不表示圆. (2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解.
跟踪训练1 (1)圆x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的半径和圆心坐标分别为
A.r＝1，(－2,1) C.r＝2，(2，－1)
B.r＝2，(－2,1)
4.圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圆心到直线x－y＝1的距离为
A.2
B.
2 2
C.1
√D. 2
解析 因为圆心坐标为(1，－2)， 所以圆心到直线 x－y＝1 的距离为 d＝|1＋22－1|＝ 2.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.如果圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)关于直线y＝x对称，则有
则
1＋1－4m>0，所以
1 m<2.
二、求圆的一般方程
例2 已知圆过P(4，－2)，Q(－1,3)两点，且在y轴上截得的线段长为 4 3，求 圆的方程.
解 方法一 (待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得4DD－－32EE－＋FF－＋1200＝＝00. ，
例1 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆. (1)求实数m的取值范围；
解 由表示圆的条件， 得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0， 解得 m<15，即实数 m 的取值范围为－∞，15.
(2)写出圆心坐标和半径.
解 将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为 (x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m，1)，半径 r＝ 1－5m.
圆的一般方程ppt课件
x2 + 3y2 − 2x + 4y + 5 = 0不是圆的一般方程；
对于D，因为方程x2 + y2 − 3xy − 12 = 0中存在xy项，所以方程
x2 + y2 − 3xy − 12 = 0不是圆的一般方程.故选BCD.
课中探究
探究点二 求圆的一般方程
例2（1） 已知△ ABC的三个顶点为A 4,3 ，B 5,2 ，C 1,0 ，求△ ABC外接
又圆心在第二象限，所以D
= 2，E =
−4，
故圆C的一般方程为x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0.
课中探究 （2）圆C关于直线x − y = 0对称的圆的一般方程. 解： 由（1）知圆C的圆心为C −1,2 ，设它关于直线x − y = 0对称的点为
C′ m, n ，则
m−1 − n+2 = 0,
半径的圆，我们把方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 − 4F > 0 叫作圆的
一般方程.
课前预习
（1）圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是__1_;②没有__x_y_这样的二次
项;③D2 + E2 − 4F__>_0.
（2）方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0并不一定表示圆,当其系数满足
解得m < 1.故选B.
课中探究
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( BCD )
A.x2 + y2 − 2x + 4y + 3 = 0
B.x2 + y2 − 2x + 2y + 7 = 0
圆的一般方程ppt课件
( − ) +( − ) =
点 在圆外
| | >
( − ) +( − ) >
点 在圆内
| | <
( − ) +( − ) <
圆的标准方程的方法：
（1）几何法，数形结合
（2）待定系数法，计算上必须仔细。
直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中
,半径长为
8
2 4
8
课本P88 习题2.4
3.已知圆 C 经过原点和点 A 2,1 ，并且圆心在直线 l : x 2 y 1 0 上，求圆 C 的标准方程．
【详解】设圆 C 的标准方程为 x a y b r 2 ，
2
2
6
a
0 a 2 0 b 2 r 2
课本P88 练习
3.如图，在四边形 ABCD 中， AB 6 ， CD 3 ，且 AB / /CD ， AD BC ，AB 与 CD 间的距
离为 3．求等腰梯形 ABCD 的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径．
3
【详解】由题意可知 A (-3,0),B (3,0),C ,3 设所求圆的方程为 x2 y 2 Dx Ey F 0 ,
+ + + + = ()
+
+ +
=
+ −
()
当2 + 2 − 4 > 0时，比较方程(2)和圆的标准方程，可以看出方程(1)
圆的一般方程PPT教学课件
2 的方程，并画出曲线.
图解
例3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2x 0， 若 点 P 在圆C上，试确定点的P 坐 标 ， 使点P到直线l的距离最 小 ， 并 求这个最小值。
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到 圆 心 的 距 离 为 d ， 则 有:
图解
例5.已知圆与直线xy 3 和 两 坐 标 轴 都 相 切 ， 求圆 的标准方程.
第十五课 张骞通西域与丝绸之路
一、张骞出使西域
{第一次：联合大月氏夹击匈奴
1、出使的原因 （前138年）
第二次：招引乌孙对付匈奴
（前119年）
2、出使的经过3、Fra bibliotek响 —开辟丝绸之路
二、丝绸之路
1、丝绸之路的概况
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
设 圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直 线 l： Ax By C 0, 圆 心 (a,b)到 直 线 l的 距 离 为d， 则有几何特征：
(1)d r 直线与圆相交； (2)d r 直线与圆相切； (3)d r 直线与圆相离；
渭城朝雨浥轻尘，
客舍青青柳色新。 劝君更尽一杯酒， 西出阳关无故人。
凉州词 王之涣
黄河远上白云间， 一片孤城万仞山。 羌笛何须怨杨柳， 春风不度玉门关。
西域：阳关、玉门关以西包括今天的 新疆、中亚地区。
张骞拜别汉武帝图
张骞出使西域图
张骞出使西域路线图
丝绸之路的得名：
19世纪，德国地理学家李希霍芬第一次把从 中国中原地区，经新疆而抵中亚的陆上通道翻译 为“silkroad”,翻译成中文就是“丝绸之路”。这 就 是丝绸之路得名的由来，后来所指范围逐渐扩大， 另外还有草原丝绸之路和海上丝绸之路。
图解
例3.已知直线:lx 2y 3 0, 圆 C:x2 y2 2x 0， 若 点 P 在圆C上，试确定点的P 坐 标 ， 使点P到直线l的距离最 小 ， 并 求这个最小值。
图 例4 线与圆
1、点与圆的位置关系 设圆C：(x a)2 (y b)2 r2，点M（x0,y0 )到 圆 心 的 距 离 为 d ， 则 有:
图解
例5.已知圆与直线xy 3 和 两 坐 标 轴 都 相 切 ， 求圆 的标准方程.
第十五课 张骞通西域与丝绸之路
一、张骞出使西域
{第一次：联合大月氏夹击匈奴
1、出使的原因 （前138年）
第二次：招引乌孙对付匈奴
（前119年）
2、出使的经过3、Fra bibliotek响 —开辟丝绸之路
二、丝绸之路
1、丝绸之路的概况
(1)d r 点M在圆外 (2)d r 点M在圆上 (3)d r 点M在圆内
设 圆 C:( x a )2 ( y b )2 r2 , 直 线 l： Ax By C 0, 圆 心 (a,b)到 直 线 l的 距 离 为d， 则有几何特征：
(1)d r 直线与圆相交； (2)d r 直线与圆相切； (3)d r 直线与圆相离；
渭城朝雨浥轻尘，
客舍青青柳色新。 劝君更尽一杯酒， 西出阳关无故人。
凉州词 王之涣
黄河远上白云间， 一片孤城万仞山。 羌笛何须怨杨柳， 春风不度玉门关。
西域：阳关、玉门关以西包括今天的 新疆、中亚地区。
张骞拜别汉武帝图
张骞出使西域图
张骞出使西域路线图
丝绸之路的得名：
19世纪，德国地理学家李希霍芬第一次把从 中国中原地区，经新疆而抵中亚的陆上通道翻译 为“silkroad”,翻译成中文就是“丝绸之路”。这 就 是丝绸之路得名的由来，后来所指范围逐渐扩大， 另外还有草原丝绸之路和海上丝绸之路。
职高数学8.4.1圆的标准方程课件
故，圆心的坐标为 C(2, 1)，半径为 r 5．
8．4 圆
应用举例
(x a)2 (y b)2 r2
例3. 说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 (2) x2 + （y+2）2 = 1
解：(1) (x + 7)2 + ( y 4)2 = 36 【x –(- 7)】2 + ( y 4)2 = 62
• （2）明确三个量a,b,r • （3）将式子化简
随堂检测
1、以点（2，-1）为圆心，以 2 为半径的圆的标准方程是（ C）
A (x 2)2 ( y 1)2 2 B (x 2)2 ( y 1)2 2
C (x 2)2 ( y 1)2 2
D (x 2)2 ( y 1)2 2
固
知
识
例2 写出圆 (x 2)2 ( y 1)2 5 的圆心的坐标及半径．
使用公式求圆
典
解 方程 (x 心2)的2 坐(标y 时1，)2 要 5
注意公式中两个
型
可化为 (x 括2)号2 内都y 是(“1－)2 ( 5)2
例
” 号．
题
所以
a 2, b 1, r 5
问题二：平面直角坐标系中，如何确定一个 圆？
圆心：确定圆的位置 半径：确定圆的大小
探究新知
问题三：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 P = { M | |MC| = r }
y M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r
高教版中职数学(基础模块)下册8.4《圆》ppt课件1
编后语
• 常常可见到这样的同学，他们在下课前几分钟就开始看表、收拾课本文具，下课铃一响，就迫不及待地“逃离”教室。实际上，每节课刚下课时的几分 钟是我们对上课内容查漏补缺的好时机。善于学习的同学往往懂得抓好课后的“黄金两分钟”。那么，课后的“黄金时间”可以用来做什么呢？
• 一、释疑难 • 对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已
2
2
故所求圆的方程为
(x 5)2 ( y 1)2 5．
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(−2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
固
知
⑶ 由于圆心在直线 x y 0上，故设圆心为C(x0, x0 )，
识
于是有
CP CQ ，
典
(x0 2)2 (x0 4)2 (x0 0)2 (x0 2)2，
型
解得
x0 2
例
因此，圆心为(－2，2)．半径为
题
r (2 0)2 (2 2)2 2，
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(－2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
固
分析 根据已知条
知
件求出圆心的坐标和 解 ⑴ 由于点（−2，5）与点（半3径，，− 从）而间确的定距字离母就是半径，
圆的一般方程课件
的位置分别有什么特点？
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
7
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
即 (x 2)2 ( y 3)2 25
10
练习1： 求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6, E 8.
15
∴圆心为(4,1),半径 r= (4 2)2 (1 2)2 5 .
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 (x 4)2 ( y 1)2 5. 把点D(6,0)代入方程的左边= (6 4)2 (0 1)2 5.
y
y
y
C
C
C
O
O
x
x
O
x
D=0
E=0
F=0
7
练习: 判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
(1) x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 (2) 2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 (3) x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 (4) x2+y2-12x+6y+50=0 不是 (5) x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
解法一:设所共圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
将A、B、D三点坐标代入得
2D 2E F 8 0, D 8,
5D 3E F 34 0, 解得E 2,
6D F 36 0.
F 12.
故过A、B、D三点的圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0.
把点C(3,-1)代入方程的左边=9+1-24+2+12=0.
即 (x 2)2 ( y 3)2 25
10
练习1： 求过三点 A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .
解：设所求圆的方程为：x2 y2 Dx Ey F 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F 0
62 6D F 0
82 8E F 0
D 6, E 8.
15
∴圆心为(4,1),半径 r= (4 2)2 (1 2)2 5 .
故过 A、B、C 三点的圆的方程为 (x 4)2 ( y 1)2 5. 把点D(6,0)代入方程的左边= (6 4)2 (0 1)2 5.
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
圆的一般方程公开课课件
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程有两个相等实根 ，则两圆相切。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
21
两圆相离条件判断
两圆圆心距大于两圆半径之和或小于 两圆半径之差（包含内含情况），则 两圆相离。
VS
通过比较两圆方程，消元后得到一元 二次方程，若该方程无实根，则两圆 相离。
2024/1/26
22
典型例题解析
例题1
圆心坐标求解
$(-frac{D}{2}, -frac{E}{2})$
半径求解
$r = frac{sqrt{D^{2} + E^{2} - 4F}}{2}$
注意事项
在求解过程中要确保$D^{2} + E^{2} - 4F > 0$，否则方程不表示一 个圆。
2024/1/26
11
特殊情况下的圆方程
圆心在原点
圆的方程与性质
掌握圆的标准方程和一般方程， 理解圆的性质，如圆心、半径、 直径等。
直线与圆的位置关
系
理解直线与圆的三种位置关系— —相离、相切、相交，并能运用 相关知识点解决问题。
圆锥曲线的综合应
用
了解椭圆、双曲线等圆锥曲线的 基本概念和性质，并能与圆的知 识点结合，解决综合问题。
2024/1/26
01
平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合
。
基本要素
02
圆心、半径。
圆的表示方法
03
一般用圆心和半径表示，如圆O，半径为r。
4
圆心、半径与直径
1 2
圆心
圆的中心，用字母O表示。
半径
连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母r表示 。
3
直径
通过圆心且两端点都在圆上的线段，用字母d表 示，d=2r。
4.1.2 圆的一般方程PPT课件
例2:求过点 O(0,0), M1(1,1), M2(4, 2)的圆的
方程,并求出这个圆的半径长和圆心.
解:设圆的方程为: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
因为O, M1, M2都在圆上,所以其坐标都满足圆的
方程,即 F = 0
D = -8
D
+
E
+
F
+
2
=
0
E
=
6
பைடு நூலகம்
4D + 2E + F + 20 = 0 F = 0
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
由于a,b,r均为常数
令 - 2a = D,-2b = E,a2 + b2 - r 2 = F
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 问：是不是任何一个形如
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
思考
一般式有那些特点 ？
(1) x2和y2 的系数相同，且不等于零；
(2) 没有 xy 项； (3) D2 + E2 - 4F>0
圆的标准方程与一般方程各有什么优点？
标准方程：明确地指出了圆心和半径； 一般方程：突出了代数方程的形式结构，更适合方程理论的应用
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程
方法一： 几何方法
8.6.2《圆的一般方程》课件
2 2
特点 ： （1） x 和 y 的系数相同，都不为0． （2）没有形如 xy 的二次项．
结论: 二元方程Ax By Cxy Dx Ey F 0表
2 2
示圆 A B 0, C 0, D E 4F 0.
2 2
与圆的标准方程相比： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心 和半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结 构，更适合方程理论的运用.
(C )a
1 2
1 ( D )a 2
D
小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x y Dx Ey F 0 2 2 D E 4F 0
2 22. 圆的一般方程与圆 Nhomakorabea标准方程的联系
一般方程
标准方程(圆心,半径) 展开
8.6.2 圆的一般方程
丹阳市职教中心 黄红仙
上节课我们学习圆的标准方程，请回答：
圆的标准方程的形式是怎样的？
( x a)
2
( y b) r
2
2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
想一想，若把圆的标准方程
( x a)
2
( y b)
2
r
2
展开后，会得出怎样的形式？
配方
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(用配方法求解)
作业
P92 1,2
2 2ax 2by 2 2 2 0 2 y x a b r
令 2a D, 2b E , a b r F 得
2
2
2
x
2
特点 ： （1） x 和 y 的系数相同，都不为0． （2）没有形如 xy 的二次项．
结论: 二元方程Ax By Cxy Dx Ey F 0表
2 2
示圆 A B 0, C 0, D E 4F 0.
2 2
与圆的标准方程相比： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心 和半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结 构，更适合方程理论的运用.
(C )a
1 2
1 ( D )a 2
D
小结
1. 本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
x y Dx Ey F 0 2 2 D E 4F 0
2 22. 圆的一般方程与圆 Nhomakorabea标准方程的联系
一般方程
标准方程(圆心,半径) 展开
8.6.2 圆的一般方程
丹阳市职教中心 黄红仙
上节课我们学习圆的标准方程，请回答：
圆的标准方程的形式是怎样的？
( x a)
2
( y b) r
2
2
其中圆心的坐标和半径各是什么？
a, b
r
想一想，若把圆的标准方程
( x a)
2
( y b)
2
r
2
展开后，会得出怎样的形式？
配方
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?
(用配方法求解)
作业
P92 1,2
2 2ax 2by 2 2 2 0 2 y x a b r
令 2a D, 2b E , a b r F 得
2
2
2
x
2
【精选课件】高教版中职数学基础模块下册8.4圆1课件.ppt
思
则 x2 y2 Dx Ey F 0．
考
这是一个二元二次方程．观察发现具有下列特点：
探
⑴ 含 x 2 项的系数与含 y 2 项的系数都是1；
索
⑵ 方程不含xy项．
新
知
具有这两个特点的二元二次方程一定是圆的方程吗?
8．4 圆
x2 y2 Dx Ey F 0．
将方程配方整理得
2
2
故所求圆的方程为
(x 5)2 ( y 1)2 5．
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：
⑴ 以点(−2，5)为圆心，并且过点(3， −7) ；
(2) 设点A(4，3)、B (6， −1)，以线段AB为直径；
巩
(3) 应该点P(−2 ，4)、Q (0， 2)，并且圆心在x+y=0上；
典
02 02 D 0 E 0 F 0,
12
12 D1 E 1 F 0,
42
22
D 4 E 2 F
0,
型
解得D=−8，E=6，F=0．
例
故所求圆的一般方程为
题
x2 y2 8x 6 y 0．
8．4 圆
脑
思
x2 y2 Dx E y F 0，可以发现：这两个方程中各分别
考
含有三个字母系数 a, b, r或D, E, F．确定了这三个字母系
探
数，圆的方程也就确定了．因此，求圆的方程时，关键是确
索 新
定字母系数 a, b, r（或D, E, F）的值．
知
8．4 圆
例4 根据下面所给的条件，分别求出圆的方程：
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（1）请举出几个形式为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的方程． （2）以下方程是圆的方程吗？ x2＋y2＋2 x＋2 y＋8＝0； x2＋y2＋2 x＋2 y＋2＝0；
x2＋y2＋2 x＋2 y＝0．
（1）满足怎样的条件，方程 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 表示圆？ 将方程配方，得：
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x＋ ) +(y＋ ) ＝ ． 4 2 2
2＋ 2－4F＝0时，方程 2+ 2－ 2 2-4 当 E 当 DD ＋ 4F时，方程 <0时，方程 当 D EE F>0 2＋ x y2 ＋ Dx Ey F=0 x y Dx ＋ Ey ＋ F x22＋ ＋ y22＋ ＋ Dx ＋＋ Ey ＋＋ F=0 ＝ 0
表示点 (－ ,－ ，－ )． 不表示任何图形． 表示以 (－ )为圆心，以
DD 22
E E 2 2
1 D 2 E 2 4 F 为半径 2
的圆．
圆的一般方程
当 D2＋E2－4 F＞0时，方程 x2 ＋y2 ＋D x＋E y＋F＝0 叫做圆的一般方程． 练习一 求出下列圆的圆心及半径： （1）x2 ＋ y2－6 x＝0；
（1）请将圆心在(a，b)，半径为 r 的圆的标准方程展开． （2）展开后得到的方程有几个末知数？最高次是几 次？这个方程是几元几次方程？ （3）如果令－2a＝D，－2 b＝E，a2＋b2－r2＝F， 这个方程是什么形式？ （4）任意一个圆的方程都可表示为 x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 的形式吗？
距离比为
的点轨迹．
求这个曲线的方程，并画出曲线． 解：在给定的坐标系中，设 M(x，y)是曲是
| OM | 1 ， | AM | 2
由两点间的距离公式，上式可用坐标表示为
x2 y2 ( x 3) 2 y 2 1 ． 2
两边平方并化简，得曲线方程 x2＋y2＋2x－3＝0 ． 将方程配方，得 (x＋1)2＋y2＝4 ． 所以所求曲线是以 C（－1，0） 为圆心，半径为 2 的圆， 如图所示． M C y
A 3
x
求与两定点A(－1，2)，B(3，2)的距离比为 2 的点的轨迹方程．
1．圆的一般方程： x2＋y2＋D x＋E y＋F＝0 （其中 D2＋E2－4 F＞0） 2．用待定系数法求圆的一般方程．
P 96 练习 A 第 1，2 题；
P 96 练习 B 第 2 题（选做）．
谢谢
8.3.2 圆的一般方程
胡龙国 2018 09 10
1．圆心为 C(a，b)，半径为 r (r＞0) 的圆的标准方程
是什么？ (x－a)2＋(y－b)2＝r2． 2．回答下列问题 （1）以原点为圆心，半径为 3 的圆的方程是 （2）圆 (x－1)2＋(y＋2)2＝25 的圆心坐标是 半径是 ． ． ，
解得：D＝－8，E＝6，F＝0． 于是所求圆的方程为 x2＋y2－8 x＋6 y＝0． 将这个方程配方，得 (x－4)2＋(y＋3)2＝25． 因此所求圆的圆心坐标是（4，－3），半径为 5．
求经过三点(0，0)，(3，2)，(－4，0)的圆的方程．
例2
已知一曲线是与两个定点 O(0，0)，A(3，0)
（2）x2 ＋ y2－4 x－6 y＋12＝0.
例1 求过点 O(0，0)，M(1，1)，N(4，2) 的圆的方程， 并求出这个圆的半径和圆心坐标． 解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 其中 D，E，F 待定． 由题意得
F 0 D E F 2 0 4 D 2 E F 20 0