最优控制理论第八章资料
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最优控制理论
解决最优控制问题的方法
• 解决最优控制问题，必须建立 描述受控运动过程的运动方程 一、古典变分法 是研究对泛函求极值的一种数 学方法。古典变分法只能用在 控制变量的取值范围不受限制 的情况。在许多实际控制问题 中，控制函数的取值常常受到 封闭性的边界限制，如方向舵 只能在两个极限值范围内转动， 电动机的力矩只能在正负的最 大值范围内产生等。因此，古 典变分法对于解决许多重要的 实际最优控制问题，是无能为 力的。 • 二、极大值原理 是分析力学中哈密顿方法的推 广。极大值原理的突出优点是 可用于控制变量受限制的情况， 能给出问题中最优控制所必须 满足的条件。 • 三、动态规划 是数学规划的一种，同样可用 于控制变量受限制的情况，是 一种很适合于在计算机上进行 计算的比较有效的方法。
最优控制理论
自动化 081
杨赛女
名词解释
• 最优控制理论（optimal control theory） • 使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。 可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类 允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运 动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性 能指标值为最优。它是现代控制理论的一个主要分支，着 重于研究使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和 综合方法。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制 方案中寻找最优解的一门学科。它是现代控制理论的重要 组成部分
!
• 最优控制的实现离不开最优化技术，最优化技术是研究和 解决最优化问题的一门学科，它研究和解决如何从一切可 能的方案中寻找最优的方案。也就是说，最优化技术是研 究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据 数学模型尽快求出其最优解这两大问题。一般而言，用最 优化方法解决实际工程问题可分为三步进行： • ①根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型， 确定变量，列出约束条件和目标函数； • ②对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择合适的 最优化方法； • ③根据最优化方法的算法列出程序框图和编写程序，用计 算机求出最优解，并对算法的收敛性、通用性、简便性、0年代空间飞行器的制导为背景。它最初的研究对象是由 导弹、航天、航海中的制导、导航等自动控制技术、自动控制理论、 数字计算技术等领域所总结出来的一类按某个性能指标达到最大或最 小的控制问题。 • 1948年维纳发表了题为《控制论—关于动物和机器中控制与通讯的科 学》的论文，第一次科学的提出了信息、反馈和控制的概念，为最优 控制理论的诞生和发展奠定了基础。 • 钱学森1954年所着的《工程控制论》（EngineeringCybernetics）直接 1954 EngineeringCybernetics 促进了最优控制理论的发展和形成。 • 1956年，Pontryagin把最优控制过程问题正确地叙述为具有约束的非 古典变份学问题，提出解决方法-最大值原理，显示了最大值原理在 解决最优控制过程问题中的效用。 • 1958年，他们首先公布了线性系统时间最优控制的最大值原理的证明。 • 1960年，Pontryagin等人完成了一般形式的最大值原理的严格证明， 能够具体解决一般的时间最优控制问题。 • 1960年，Pontryagin的最大值原理、Bellman的动态规划方法和Kalman 的最优线性调节器的理论被公认为最优控制理论的三大里程碑，标志 着最优控制理论的诞生。
最优控制理论
智能优化方法
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数
对于越来越多的复杂控制对象，一方面，人们所要求的控制性能不再单纯的局限于一两个指标；另一方面，上述各种优化方法，都是基于优化问题具有精确的数学模型基础之上的。但是许多实际工程问题是很难或不可能得到其精确的数学模型的。这就限制了上述经典优化方法的实际应用。随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展。 近年来，智能式的优化方法得到了重视和发展。 (1)神经网络优化方法 人工神经网络的研究起源于1943年和Mc Culloch和Pitts的工作。在优化方面，1982年Hopfield首先引入Lyapuov能量函数用于判断网络的稳定性，提出了Hopfield单层离散模型；Hopfield和Tank又发展了Hopfield单层连续模型。1986年，Hopfield和Tank将电子电路与Hopfield模型直接对应，实现了硬件模拟；Kennedy和Chua基于非线性电路理论提出了模拟电路模型，并使用系统微分方程的Lyapuov函数研究了电子电路的稳定性。这些工作都有力地促进了对神经网络优化方法的研究。 根据神经网络理论，神经网络能量函数的极小点对应于系统的稳定平衡点，这样能量函数极小点的求解就转换为求解系统的稳定平衡点。随着时间的演化，网络的运动轨道在空间中总是朝着能量函数减小的方向运动，最终到达系统的平衡点——即能量函数的极小点。因此如果把神经网络动力系统的稳定吸引子考虑为适当的能量函数（或增广能量函数）的极小点，优化计算就从一初始点随着系统流到达某一极小点。如果将全局优化的概念用于控制系统，则控制系统的目标函数最终将达到希望的最小点。这就是神经优化计算的基本原理。 与一般的数学规划一样，神经网络方法也存在着重分析次数较多的弱点，如何与结构的近似重分析等结构优化技术结合，减少迭代次数是今后进一步研究的方向之一。 由于Hopfield模型能同时适用于离散问题和连续问题，因此可望有效地解决控制工程中普遍存在的混合离散变量非线性优化问题。 (2)遗传算法 遗传算法和遗传规划是一种新兴的搜索寻优技术。它仿效生物的进化和遗传，根据“优胜劣汰”原则，使所要求解决的问题从初始解逐步地逼近最优解。在许多情况下，遗传算法明显优于传统的优化方法。该算法允许所求解的问题是非线性的和不连续的，并能从整个可行解空间寻找全局最优解和次优解，避免只得到局部最优解。这样可以为我们提供更多有用的参考信息，以便更好地进行系统控制。同时其搜索最优解的过程是有指导性的，避免了一般优化算法的维数灾难问题。遗传算法的这些优点随着计算机技术的发展，在控制领域中将发挥越来越大的作用。 目前的研究表明，遗传算法是一种具有很大潜力的结构优化方法。它用于解决非线性结构优化、动力结构优化、形状优化、拓扑优化等复杂优化问题，具有较大的优势。 (3)模糊优化方法 最优化问题一直是模糊理论应用最为广泛的领域之一。 自从Bellman和Zadeh在 70年代初期对这一研究作出开创性工作以来，其主要研究集中在一般意义下的理论研究、模糊线性规划、多目标模糊规划、以及模糊规划理论在随机规划及许多实际问题中的应用。主要的研究方法是利用模糊集的a截集或确定模糊集的隶属函数将模糊规划问题转化为经典的规划问题来解决。 模糊优化方法与普通优化方法的要求相同，仍然是寻求一个控制方案（即一组设计变量），满足给定的约束条件，并使目标函数为最优值，区别仅在于其中包含有模糊因素。普通优化可以归结为求解一个普通数学规划问题，模糊规划则可归结为求解一个模糊数学规划(fuzzymathematicalprogramming)问题。包含控制变量、目标函数和约束条件，但其中控制变量、目标函数和约束条件可能都是模糊的，也可能某一方面是模糊的而其它方面是清晰的。例如模糊约束的优化设计问题中模糊因素是包含在约束条件（如几何约束、性能约束和人文约束等）中的。求解模糊数学规划问题的基本思想是把模糊优化转化为非模糊优化即普通优化问题。方法可分为两类：一类是给出模糊解（fuzzysolution）；另一类是给出一个特定的清晰解（crispsolution）。必须指出，上述解法都是对于模糊线性规划（fuzzylinearprogramming）提出的。然而大多数实际工程问题是由非线形模糊规划（fuzzynonlinearprogramming）加以描述的。于是有人提出了水平截集法、限界搜索法和最大水平法等，并取得了一些可喜的成果。 在控制领域中，模糊控制与自学习算法、模糊控制与遗传算法相融合，通过改进学习算法、遗传算法，按给定优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而能够有效地确定模糊控制器的结构和参数
最优控制理论
f ( x(t ), u (t ), t )
f ( x(t ), u (t ), t ) 满足一定条件时，方程有唯一解令 Nhomakorabea
H L( x, u, t ) f ( x, u, t )
T
哈密顿函数
性能指标
J L( x, u, t )dt
t0
T
令
H ( x, , u , t ) (t ) x
时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大 的发展，例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理 论的研究等等；在生物领域、市场销售和现代医学成像与高维图像分析 等实际生活中广泛应用 。
解决最优控制问题的方法
一、古典变分法 是研究对泛函求极值的一种数学 方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。 在许多实际控制问题中，控制函 数的取值常常受到封闭性的边界 限制，如方向舵只能在两个极限 值范围内转动，电动机的力矩只 能在正负的最大值范围内产生等。 因此，古典变分法对于解决许多 重要的实际最优控制问题，是无 能为力的。
t [0, t f ]
这里 A>0表示最大生产率，另外为了保证满足需求，必 须有
A r (t )
t [0, t f ]
假定每单位时间的生产成本是生产率 u(t)的函数，即 h[u(t)] 。设 b>0是单位时间储存单位商品的费用，于是， 单位时间的总成本为：
f x(t ), u(t ), t h u(t ) bx(t )
二、极大值原理
是分析力学中哈密顿方法的推广。 极大值原理的突出优点是可用于控 制变量受限制的情况，能给出问题 中最优控制所必须满足的条件。
f ( x(t ), u (t ), t ) 满足一定条件时，方程有唯一解令 Nhomakorabea
H L( x, u, t ) f ( x, u, t )
T
哈密顿函数
性能指标
J L( x, u, t )dt
t0
T
令
H ( x, , u , t ) (t ) x
时至今日，最优控制理论的研究无论在深度上和广度上都有了很大 的发展，例如发展了对分布参数系统、随机系统、大系统的最优控制理 论的研究等等；在生物领域、市场销售和现代医学成像与高维图像分析 等实际生活中广泛应用 。
解决最优控制问题的方法
一、古典变分法 是研究对泛函求极值的一种数学 方法。古典变分法只能用在控制 变量的取值范围不受限制的情况。 在许多实际控制问题中，控制函 数的取值常常受到封闭性的边界 限制，如方向舵只能在两个极限 值范围内转动，电动机的力矩只 能在正负的最大值范围内产生等。 因此，古典变分法对于解决许多 重要的实际最优控制问题，是无 能为力的。
t [0, t f ]
这里 A>0表示最大生产率，另外为了保证满足需求，必 须有
A r (t )
t [0, t f ]
假定每单位时间的生产成本是生产率 u(t)的函数，即 h[u(t)] 。设 b>0是单位时间储存单位商品的费用，于是， 单位时间的总成本为：
f x(t ), u(t ), t h u(t ) bx(t )
二、极大值原理
是分析力学中哈密顿方法的推广。 极大值原理的突出优点是可用于控 制变量受限制的情况，能给出问题 中最优控制所必须满足的条件。
最优控制理论课件-40页文档资料
第一章绪论1.1 引言近50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象如宇宙飞船、导弹、卫星和现代工业设备与生产过程的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。
这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度进行研究分析和设计。
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分。
其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。
早在20世纪50年代初九开始了对最短时间控制问题的研究。
随后，由于空间技术的发展，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步形成了较为完整的最优控制理论体系。
最优化问题就是根据各种不同的研究对象以及人们预期要达到的目标，寻找一个最优控制规律，或设计出一个最优控制方案或最优控制系统。
最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某性能指标达到最优值。
从数学的观点来看，最优控制理论研究的问题是求解一类带有约束条件的泛函取值问题，属于变分学的理论范畴。
然而，经典变分学理论只能解决容许控制属于开机的一类，为适应工程实践的需要，20世纪50年代中期出现了现代变分理论。
在现代变分理论中最常用的两种分法是动态规划和极小值原理。
动态规划时美国学者R.E贝尔曼于1953-1957年为了解决多级决策问题的算法而逐步创立的。
最小值原理时前苏联科学院院士π.C.庞特里亚金与1956年-1958年间逐步创立的。
近年来，由于数字计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法，参数优化方法。
当性能指标比较复杂或者不能用变量或函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，都所到最优点。
常用的方法有邻近极值法、梯度法、共轭梯度法及单纯形法等。
同时由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。
因此，最优控制理论提出的求解方法，既是一种数学方法，又是一种计算机算法。
最 优 控 制 (8)
• 如果考虑进入系统的功率时，或在目标函 数中包含yTy项(y=Cx+Du)时，目标函数也 会呈现式(8.21)的形式。 • 对于这种目标函数，修正后的黎卡提方程 为
• 最优控制为
• (2)带有预制稳定度的调节器 • 修正的目标函数为
• 对应的黎卡提方程为
• 8.1.3 MATLAB实现方法 • 应用MATLAB中的lqr和lqry命令可以直接求 解二次型调节器问题，以及相关的黎卡提 方程。这两个命令的格式为
• 命令 are 则可用来求解由下式给出的一般形 式的代数黎卡提方程 • 命令格式为 • 该命令返回对应黎卡提方程的正定解。这 个正定解存在的条件为：B是半正定对称矩 阵，C是对称矩阵。
• 例8.3 给定系统如下
• 性能指标为
• 式中
• 假定系统控制信号由下式给出
• 其结构图如图8.1所示。在决定控制率时， 设输入信号r=0，试用MATLAB求反馈增益 矩阵K=[k1 k2 k3]。
• 如无特殊说明，在下面的推导中设矩阵 ABK是稳定的，即A-BK的特征值均具有负实 部。 • 将式(8.3)代入式(8.4)中，可得
• 对任意x都有
• 式中，P为正定实对称矩阵，可进一步推得
• 将式(8.5)代入式(8.8)中，可得 • 由 Lyapunov 第二方法可知，对于给定的正 定矩阵 Q+KTRK ，如果 A-BK 是稳定的，则 存在正定矩阵P，使得
• 当N=∞时，性能指标变为
• 因为控制系统是稳定的x(∞)=0，性能指标进 而变成 • 离散系统的稳态二次最优控制问题就是， 当控制步数N是无限时，求取最优控制序列 {u(k)}，使得式(8.83) 表示的系统性能指标 J 达到最小值。
• 8.3.2 离散系统的稳态二次最优问题的解 • 稳态二次最优问题的解与二次最优问题的 解相比具有如下变化 • ①P(k)变为常数矩阵，由式(8.56)得到 • ②反馈增益矩阵K(k)变成常数增益矩阵，由 式(8.57)得到
最优控制08王丹
4：线性跟踪器 若要求状态X(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹Xd(t),则这种系统称为状态跟踪器，其相 应的性能指标为：
J =∫
tf
t0
1 [ X (t ) − X d (t )]T Q[ X (t ) − X d (t )] + u T (t ) Ru (t )]dt 2
Q≥0，R>0，均为对称加权矩阵。 若要求系统输出y(t)跟踪或尽可能接近目标轨迹yd(t),则这种系统称为输出跟踪器， 其相应的性能指标为：
3：容许控制 在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的限制，只能在一定范围内取 值，这种限制通常可以用如下不等式约束来表示：
0 ≤ u (t ) ≤ u max
或 ui ≤ α
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= 1,2⋯ p
上述由控制约束所规定的点集称为控制域U，凡在t0-tf上有定义，且在控制域U 内取值的每一个控制函数u(t)均称为容许控制。 4：性能指标 通常情况下，最优控制问题的性能指标形如：
ɺ h(t ) = v(t ) u (t ) ɺ v(t ) = − g + m(t ) m(t ) = −ku (t ) ɺ
初始条件
h(0) = h0 v(0) = v0 m(0) = M + F
终端条件
h (t f ) = 0 v(t f ) = 0
约束条件 0 ≤ u (t ) ≤ α
极大值原理是庞特里雅金等人在1956至 1958年间逐步创立的，先是推测出极大 值原理的结论，随后又提供了一种证明 方法。
动态规划是贝尔曼在1953年至1958 年间逐步创立的，他依据最优性原 理发展了变分学中的哈密顿-雅可比 理论，构成了动态规划。
求解最优控制问题，可以采用解析法或数值计算法
最优控制理论课件
m 飞船的质量 h 高度 v 垂直速度 g 月球重力加速度常数 M 飞船自身质量 F 燃料的质量 K 为常数
初始状态 终点条件
h(0) h0 h(T ) 0
v(0) v0 v(T ) 0
m(0) M F
控制目标
J m(T )
推力方案
0 u(t) umax
2019年11月25日星期一
指标
J x(T), y(T), x(T), y(T) x(T)
2019年11月25日星期一
现代控制理论
18
最优控制问题
例1.2
导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
2019年11月25日星期一
现代控制理论
1
最优控制理论
东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授
二○○九年十一月
2019年11月25日星期一
2
第1章 题第2章 法第3章 第理4章 划第5章 制 第6章 统
最优控制问 求解最优控制的变分方 最大值原 动态规 线性二次型性能指标的最优控 快速控制系
2019年11月25日星期一
现代控制理论
12
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
2019年11月25日星期一
现代控制理论
13
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
最优控制问题
例1.2
导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
2019年11月25日星期一
(2021年整理)最优控制理论考试重点
（完整）最优控制理论考试重点编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（完整）最优控制理论考试重点）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）最优控制理论考试重点的全部内容。
1．最优控制问题的性能指标(1)积分型性能指标(拉格朗日型）：⎰=ft t dt t t u t x L u J 0]),(),([)(反映控制过程偏差在某种意义下的平均或控制过程的快速性，同时能反映燃料或能量的消耗。
（2)末值型性能指标（梅耶型）：]),([)(f f t t x u J φ=,接近目标集程度,即末态控制精度的度量. (3)综合性能指标（鲍尔扎型）：⎰+=ft t f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ.2．最优控制问题的数学模型给定系统的状态方程：]),(),([)(t t u t x f t x =•;状态方程的边界条件:⎩⎨⎧∈===St x t t x t x t t f f )(,)(,000;给定性能指标：⎰+=f tt f f dt t t u t x L t t x u J 0]),(),([]),([)(φ；允许控制域u （t ）：U t u ∈)(。
3．最优控制应用的几种类型：最短时间控制，最小能量控制，线性调节器,最少燃料消耗控制，线性跟踪器。
4．选取性能指标注意：应能反映对系统的主要技术条件要求，便于对最优控制进行求解，所导出最优控制易于实现。
5．边界条件：指状态向量在起点或终点的所有容许值的集合。
6．横截条件:依据性能指标的要求，从容许值的集合中选择哪一点作为始态或终态的问题。
最优控制理论
5
电气与自动化工程学院
School of Electrical Engineering and Automation
二、最优控制的发展简史 第二次世界大战以后发展起来的自动调节原理，对设计与分析单输 入单输出的线性定常系统是有效的；然而近代航空及空间技术的发展对 控制精度提出了很高的耍求，并且被控制的对象是多输入多输出的，参 数是时变的。面临这些新的情况．建立在传递函数基础上的自动调节原 理就日益显出它的局限性来。这种局限性首先表现在对于时变系统，传 递函数根本无法定义，对多输入多输出系统从传递函数概念得出的工程 结论往往难于应用。由于工程技术的需要，以状态空间概念为基础的最 优控制理论渐渐发展起来。最优控制理论是现代控制理论的核心， 20世 纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。
最优控制理论
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电气与自动化工程学院
School of Electrical Engineering and Automation
三、研究最优控制的方法 从数学方面看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值 问题，因此这是一个变分学的问题：然而变分理论只是解决容许控制属 于开集的一类最优控制问题，而在工程实践中还常遇到容许控制属于闭 集的一类最优控制问题，这就要求人们研究新方法。
1.3 最优控制问题的提法
f ( x,u, t ) 系统状态方程为 x
问题6-2 对于问题6-1中的直流他励电动机，如果电动机从初始 ) I D (t )是 时刻 t0 0 的静止状态转过一个角度 又停下，求控制 I D (t（ 受到限制的），使得所需时间最短。 这也是一个最优控制问题：
系统方程为
0 1 0 1 x1 0 x K m I D 1 TF x J 2 0 0 x2 D JD x1 (0) 0 x1 (t f ) 初始状态 x ( 0) 0 末值状态 2 x (t ) 0
第八章线性规划
所以， λx1 + (1 − λ ) x 2 ∈ H ，即 H 为凸集。
(2) 半空间 H－为凸集
集合 H − = { x p T x ≤ α } 称为 En 中的半空间，p 为 n 维列向量， α 为实数，H
－
为凸集。因为任意两点 x1 ∈ H − , x 2 ∈ H − 及实数 λ ∈ [0,1] ，有
∂f 2 ( x ) ∂f 2 ( x ) ⎤ L ⎥ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂xn ⎥ ∂f 2 ( x ) ⎥ L L ⎥ 2 ∂x2 ⎥ M M M ⎥ 2 ∂f ( x ) ⎥ L L 2 ⎥ ∂xn ⎦
为 f(x)在点 x 处的 Hessian 矩阵。 (3) 凸函数的一阶充要条件 设 S 为 En 中的非空开凸集，f(x)是定义在 S 上的可微函数，则 f(x)为凸函数 的充要条件是对任意两点 x1 ∈ S , x 2 ∈ S ，都有
1．最优化问题的一般表示（数学模型） min (or max) f(x) s.t. g(x) = B
108
其中，x∈En, B 为 m 维列向量，g 为 m 维向量函数， f(x)为目标函数，g(x)为约束函数。 线性规划定义：最优化问题数学模型中目标函数和约束函数都是变量 x 的线 性函数的，称之为线性规划问题。 线性规划是非线性规划的一种特殊形式，但在最优化理论与算法中已成为 非常重要的一个分支，在理论和算法上都很成熟，应用非常广泛。 2．标准形式 一般线性规划问题总可以写成如下形式：
8.1 凸集和凸函数
凸集和凸函数是线性规划和非线性规划( 以及整个最优化问题中) 的非常重 要的概念，可以说一般的最优化理论都是建立在其基础之上的。本节先简单介绍 凸集和凸函数概念。 1．凸集 定义：设 S 为欧氏空间 En 中的一个集合，若对 S 中的任意两点 x1 和 x2 及实 数 λ ∈ [0,1] ，都有 λx1 + (1 − λ ) x 2 ∈ S ，则称 S 为凸集。而 λx1 + (1 − λ ) x 2 称为凸组 合。 二维空间中的凸集与非凸集：
(2) 半空间 H－为凸集
集合 H − = { x p T x ≤ α } 称为 En 中的半空间，p 为 n 维列向量， α 为实数，H
－
为凸集。因为任意两点 x1 ∈ H − , x 2 ∈ H − 及实数 λ ∈ [0,1] ，有
∂f 2 ( x ) ∂f 2 ( x ) ⎤ L ⎥ ∂x1 ∂x2 ∂x1 ∂xn ⎥ ∂f 2 ( x ) ⎥ L L ⎥ 2 ∂x2 ⎥ M M M ⎥ 2 ∂f ( x ) ⎥ L L 2 ⎥ ∂xn ⎦
为 f(x)在点 x 处的 Hessian 矩阵。 (3) 凸函数的一阶充要条件 设 S 为 En 中的非空开凸集，f(x)是定义在 S 上的可微函数，则 f(x)为凸函数 的充要条件是对任意两点 x1 ∈ S , x 2 ∈ S ，都有
1．最优化问题的一般表示（数学模型） min (or max) f(x) s.t. g(x) = B
108
其中，x∈En, B 为 m 维列向量，g 为 m 维向量函数， f(x)为目标函数，g(x)为约束函数。 线性规划定义：最优化问题数学模型中目标函数和约束函数都是变量 x 的线 性函数的，称之为线性规划问题。 线性规划是非线性规划的一种特殊形式，但在最优化理论与算法中已成为 非常重要的一个分支，在理论和算法上都很成熟，应用非常广泛。 2．标准形式 一般线性规划问题总可以写成如下形式：
8.1 凸集和凸函数
凸集和凸函数是线性规划和非线性规划( 以及整个最优化问题中) 的非常重 要的概念，可以说一般的最优化理论都是建立在其基础之上的。本节先简单介绍 凸集和凸函数概念。 1．凸集 定义：设 S 为欧氏空间 En 中的一个集合，若对 S 中的任意两点 x1 和 x2 及实 数 λ ∈ [0,1] ，都有 λx1 + (1 − λ ) x 2 ∈ S ，则称 S 为凸集。而 λx1 + (1 − λ ) x 2 称为凸组 合。 二维空间中的凸集与非凸集：
最优控制理论PPT课件-48页PPT精品文档
u t R p 为 控 制 向 量 ， 且 u t 在 t 0 , t f 上 分 段 连 续 ；
f R n 为 连 续 向 量 函 数 ， x t 连 续 可 微
2.初态和终态： xt0，xtf S目标集
3.容许控制 ： ut — 控 制 域
§6-2 最优控制中的变分法
现
代 泛函变分的求法
控
制 理 论
定理： J x 的变 J J 分 x x | 0， (0 1 )
性质：1 .F 1 F 2 F 1 F 2
2 .F 1 F 2 F 1 F 2 F 2 F 1
理 论
L x t,x r x t,x
其L 中 xt,x— J的线性函数
rxt,x— J的高阶无穷小
则L 称 xt,x为泛 Jxt函 的一阶变 J 分
泛函变分是泛函增量的线性主部
Modern Control Theory
Page: 9
2 1 2a1ta2
ua1ta2
这里 a1、a2 为常数
由 x2 udt 得： x2t1 2a1t2a2ta3
Modern Control Theory
Page: 21
§ 6-4 有约束条件下的泛函数极值问题
现
代 控
由 x1 x2dt 得：x 1 t 1 6 a 1 t3 1 2 a 2 t2 a 3 t a 4
现
代 控
当 t0 和 tf给 定 时 ， x t0 和 x tf 是 否 定 还 是 自 由 ， 可 分 四 种
制 情 况 ：
理 论 (1) 固定始端和终端
x(t)
即 x t 0 和 x t f 给 定 x t 0 0 ,x t f 0
最优控制理论-最短时间控制系统
特点：状态方程的右边对控制u (t ) 是一次的。
引出平凡系统和非平凡系统的概念 阐明最短时间控制制系统的基本特征。
3
最短时间控制问题的提法
问题 3-1 已知系统的状态方程
x i t f i xt , t bij xt , t u j t
j 1 m
i 1,2,..., n
(3-15)
于是(3-11)式可写成
ˆ j t q ˆ j t u j t q ˆ j t u
j 1 j 1 m m
(3-16)
9
(3-16)式意味着函数
ut u j t q ˆ j t
j 1 m
(3-17)
ˆ j (t ) 时达整体最小： 当u j (t ) u
(3-1)
或其等价的向量形式), t u (t )
其中 f i xt , t 和bij xt , t 对 x(t)和 t 连续可微。寻找一 m 维有 界闭集中的控制向量，满足下列不等式约束
u j (t ) 1 j 1,2,...m
i 1 j 1 i 1
n
m
n
(3-10)
ˆi (t )} u j t { bij x ˆi (t )} ˆ j t { bij x ˆ (t ), t ˆ (t ), t 即 u
j 1 i 1 j 1 i 1
m
n
m
n
(3-11)
7
在最优轨线终端处，哈密顿函数的终值是 T ˆ Hx ˆ (t ),λ (t ), u ˆ (t ), t t tˆf t tˆf
(3-2)
4
使系统从已知初态
xt0 x 0
(3-3) (3-4)
最优控制理论课件
控制过程的要求
2019年12月16日星期一
现代控制理论
41
最优控制问题
(4) 性能指标
T
J (u( )) (x(T),T) L(x(t),u(t),t)dt t0
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标
(x(T ),T ) 0 积分型性能指标，表示对整个状态和
控制过程的要求
指标
J x(T), y(T), x(T), y(T) x(T)
2019年12月16日星期一
现代控制理论
18
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
控制过程的要求
L(x(t),u(t),t) 0 终点型指标，表示仅对终点状态的要求
2019年12月16日星期一
现代控制理论
43
最优控制问题
第2章 求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础 2.2 欧拉方程 2.3 横截条件 2.4 含有多个未知函数泛函的极值 2.5 条件极值 2.6 最优控制问题的变分解法
2019年12月16日星期一
现代控制理论
1
最优控制理论
东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授
二○○九年十一月
2019年12月16日星期一
2
第1章 最优控制问题 第2章 求解最优控制的变分方法 第3章 最大值原理 第4章 动态规划 第5章 线性二次型性能指标的最优控制 第6章 快速控制系统
2019年12月16日星期一
为n维状态向量向量
2019年12月16日星期一
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现代控制理论
41
最优控制问题
(4) 性能指标
T
J (u( )) (x(T),T) L(x(t),u(t),t)dt t0
对状态、控制以及终点状态的要求，复合型性能指标
(x(T ),T ) 0 积分型性能指标，表示对整个状态和
控制过程的要求
指标
J x(T), y(T), x(T), y(T) x(T)
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现代控制理论
18
最优控制问题
例1.2 导弹发射问题
x F (t) cos (t)
m
y F (t) sin (t)
m
初始条件 x(0) 0 y(0) 0 x(0) 0
控制过程的要求
L(x(t),u(t),t) 0 终点型指标，表示仅对终点状态的要求
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现代控制理论
43
最优控制问题
第2章 求解最优控制的变分方法
2.1 泛函与变分法基础 2.2 欧拉方程 2.3 横截条件 2.4 含有多个未知函数泛函的极值 2.5 条件极值 2.6 最优控制问题的变分解法
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现代控制理论
1
最优控制理论
东北大学信息科学与工程学院 井元伟教授
二○○九年十一月
2019年12月16日星期一
2
第1章 最优控制问题 第2章 求解最优控制的变分方法 第3章 最大值原理 第4章 动态规划 第5章 线性二次型性能指标的最优控制 第6章 快速控制系统
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为n维状态向量向量
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最优控制理论PPT课件
生产计划与调度
在企业生产管理中，利用 最优控制理论对生产计划 和调度进行优化，提高生 产效率和降低成本。
08
总结与展望
最优控制理论的重要性和应用前景
总结
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，它在解决复杂系统的优化和控制问题方面 具有显著的优势。该理论通过数学模型和算法，寻求在给定条件下实现系统性能最优化的 控制策略。
非线性最优控制理论
20世纪70年代，基于微分几何、非 线性分析和最优控制问题的研究。
智能优化算法与最优控制
20世纪80年代，考虑系统不确定性 ，引入概率论和随机过程理论。
03
最优控制问题的数学模型
状态方程与性能指标
状态方程
描述系统动态行为的数学方程，通常表示为状态变量对时间 的导数等于其函数。
性能指标
态。这种控制策略的关键在于如何根据当前状态信息快速、准确地计算出最优控制输入。
离散系统的最优输出反馈控制
总结词
离散系统的最优输出反馈控制是一种基 于系统输出的反馈控制策略，通过最优 控制算法计算出在当前输出下的最优控 制输入，使得系统状态在有限时间内达 到预期目标。
VS
详细描述
离散系统的最优输出反馈控制是一种有效 的最优控制策略，它根据系统的输出信息 ，通过最优控制算法计算出在当前输出下 的最优控制输入，使得系统状态在有限的 时间步内以最优的方式达到目标状态。这 种控制策略的关键在于如何根据输出信息 快速、准确地计算出最优控制输入。
控制问题分类
确定性和不确定性控制、线性与 非线性控制、连续和离散控制等 。
重要性及应用领域
重要性
在实际工程和科学问题中，许多问题 都需要通过最优控制理论来解决，如 航天器轨道控制、机器人运动控制、 电力系统优化等。
最优控制理论
用数学语言来比较详细地表达最优控制问题 的内容：
（1）建立被控系统的状态方程
X f X (t ),U (t ), t
（1-17）
其中， (t ) 为 n 维状态向量， (t ) 为 m 维控制向量， X U f X (t ),U (t ), t 为 n 维向量函数，它可以是非线性 时变向量函数，也可以是线性定常的向量函数。 状态方程必须精确的知道。
（2）确定状态方程的边界条件。一个动态过程 对应于 n 维状态空间中从一个状态到另一个状态 的转移，也就是状态空间中的一条轨线。在最优 控制中初态通常是知道的，即
X (t0 ) X 0
（1-18）
而到达终端的时刻 t f 和状态 X (t f ) 则因问题而异。
例如，在流水线生产过程中，t f 是固定的；在飞机 快速爬高时，只规定爬高的高度 X (t f ) X f ，而 t f 是自由的，要求 t f t0 越小越好。终端状态 X (t f ) 一 般属于一个目标集 S ，即
二、最优控制发展过程
上世纪五十年代初期布绍（Bushaw）研究 了伺服系统的时间最优控制问题。 以后，拉塞尔（LaSalle）发展了时间最优 控制的理论，即所谓Bang—Bang控制理论。 1953至1957年间美国学者贝尔曼（Bellman） 创立了“动态规划”理论，发展了变分学中的哈密 顿—雅可比（Hamilton—Jacobi）理论。
t [0, t f ]
（1-11） （1-12）
x(0) x0
x0 是初始时刻的商品存货量，且 x0 0。从 x(t ) 的实
际意义来看，显然必须选取生产率使得
x(t ) 0
t [0, t f ]
（1-13）
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which means that *i is the negative of the imputed
value of the unit of ai.
Example 8.1 Consider the problem:
Solution.
From the first two equations we get solving this with the last equation yields the quantities
r- component row vector such that
Suppose (y*, *) is a solution of (8.6) and (8.7). Note
that y* depends on a, i.e., y*=y*(a). Now
is the optimum value of the objective function. The Lagrange multipliers satisfy the relation
y: be an n-component column vector, a: be an r-component column vector, b: be an s-component column vector. h: En E1, g: En Er, w: En Es be given functions.
8.1.2 Inequality Constraints
Note that (8.10) is analogous to (8.6). Also (8.11) repeats the inequality constraint (8.3) in the same way that (8.7) repeated the equality constraint (8.2). However, the conditions in (8.12) are new and are particular to the inequality-constrained problem.
Example 8.3 solve the problem:
Solution. The Lagrangian is The necessary conditions are
Case 1: = 0
From (8.16) we obtain x = 4 , which does not satisfy (8.17), thus, infeasible.
Chapter 8 The Maximum Principle: Discrete Time
8.1 Nonlinear Programming Problems We begin by starting a general form of a nonlinear programming problem.
Case 2: x=6
(8.17) holds. From (8.16) we get = 4, so that (8.18)
holds. The optimal solution is Nhomakorabeathen
since it is the only solution satisfying the necessary conditions.
Case 2:
Here from (8.13) we get = - 4, which does not satisfy the inequality 0 in (8.15).
From these two cases we conclude that the optimum solution is x* = 4 and
We assume functions g and w to be column vectors with components r and s , respectively. We consider the nonlinear programming problem:
subject to
8.1.1 Lagrange Multipliers Suppose we want to solve (8.1) without imposing constraint (8.2) or (8.3). The problem is now the classical unconstrained maximization problem of calculus, and the first-order necessary conditions for its solution are
The points satisfying (8.4) are called critical points. With equality constraints, the Lagrangian is
where is an r-component row vector.
The necessary condition for y* to be a (maximum) solution to be (8.1) and (8.2) is that there exists an
Example 8.4 Find the shortest distance between the point (2.2) and the upper half of the semicircle of radius one, whose center is at the origin. In order to simplify the calculation, we minimize h , the square of the distance:
Example 8.2
Solution. We form the Lagrangian The necessary conditions (8.10)-(8.12) become
Case 1: From (8.13) we get x = 4, which also satisfies (8.14). Hence, this solution, which makes h(4)=16, is a possible candidate for the maximum solution.
value of the unit of ai.
Example 8.1 Consider the problem:
Solution.
From the first two equations we get solving this with the last equation yields the quantities
r- component row vector such that
Suppose (y*, *) is a solution of (8.6) and (8.7). Note
that y* depends on a, i.e., y*=y*(a). Now
is the optimum value of the objective function. The Lagrange multipliers satisfy the relation
y: be an n-component column vector, a: be an r-component column vector, b: be an s-component column vector. h: En E1, g: En Er, w: En Es be given functions.
8.1.2 Inequality Constraints
Note that (8.10) is analogous to (8.6). Also (8.11) repeats the inequality constraint (8.3) in the same way that (8.7) repeated the equality constraint (8.2). However, the conditions in (8.12) are new and are particular to the inequality-constrained problem.
Example 8.3 solve the problem:
Solution. The Lagrangian is The necessary conditions are
Case 1: = 0
From (8.16) we obtain x = 4 , which does not satisfy (8.17), thus, infeasible.
Chapter 8 The Maximum Principle: Discrete Time
8.1 Nonlinear Programming Problems We begin by starting a general form of a nonlinear programming problem.
Case 2: x=6
(8.17) holds. From (8.16) we get = 4, so that (8.18)
holds. The optimal solution is Nhomakorabeathen
since it is the only solution satisfying the necessary conditions.
Case 2:
Here from (8.13) we get = - 4, which does not satisfy the inequality 0 in (8.15).
From these two cases we conclude that the optimum solution is x* = 4 and
We assume functions g and w to be column vectors with components r and s , respectively. We consider the nonlinear programming problem:
subject to
8.1.1 Lagrange Multipliers Suppose we want to solve (8.1) without imposing constraint (8.2) or (8.3). The problem is now the classical unconstrained maximization problem of calculus, and the first-order necessary conditions for its solution are
The points satisfying (8.4) are called critical points. With equality constraints, the Lagrangian is
where is an r-component row vector.
The necessary condition for y* to be a (maximum) solution to be (8.1) and (8.2) is that there exists an
Example 8.4 Find the shortest distance between the point (2.2) and the upper half of the semicircle of radius one, whose center is at the origin. In order to simplify the calculation, we minimize h , the square of the distance:
Example 8.2
Solution. We form the Lagrangian The necessary conditions (8.10)-(8.12) become
Case 1: From (8.13) we get x = 4, which also satisfies (8.14). Hence, this solution, which makes h(4)=16, is a possible candidate for the maximum solution.