实际问题与一元一次方程(知识讲解)

实际问题与一元一次方程(一)(基础)知识讲解

【学习目标】

1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤;

2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路. 【要点梳理】

知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤

列方程解应用题的基本思路为：问题−−−

→分析

抽象方程−−−→求解检验

解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为:审、设、列、解、验、答．

要点诠释:

(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系；

（2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数； (3）“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程,同时注意方程两边是同一类量，单位要统一; (4）“解”就是解方程，求出未知数的值. （5）“验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时，及时指出,舍去即可； （６）“答”就是写出答案,注意单位要写清楚．

知识点二、常见列方程解应用题的几种类型(待续)

１．和、差、倍、分问题

（１）基本量及关系:增长量＝原有量×增长率，

现有量＝原有量＋增长量，现有量＝原有量－降低量．

(2)寻找相等关系：抓住关键词列方程,常见的关键词有:多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 2.行程问题

（１）三个基本量间的关系: 路程=速度×时间 （2)基本类型有：

①相遇问题(或相向问题)：Ⅰ．基本量及关系:相遇路程=速度和×相遇时间

Ⅱ．寻找相等关系:甲走的路程+乙走的路程=两地距离．

②追及问题:Ⅰ.基本量及关系:追及路程=速度差×追及时间

Ⅱ．寻找相等关系：

第一， 同地不同时出发:前者走的路程＝追者走的路程；

第二， 第二,同时不同地出发:前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程.

③航行问题:Ⅰ.基本量及关系：顺流速度=静水速度＋水流速度，

逆流速度＝静水速度-水流速度， 顺水速度－逆水速度=2×水速;

Ⅱ.寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考

虑.

（３)解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系,并且还常常借助画草图来分析. ３.工程问题

如果题目没有明确指明总工作量,一般把总工作量设为1.基本关系式: (1)总工作量=工作效率×工作时间; (2）总工作量=各单位工作量之和. 4．调配问题

寻找相等关系的方法：抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑．

【典型例题】

类型一、和差倍分问题

1.201１年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5．8亿立方米,其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0．6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米? 【答案与解析】设生产运营用水x 亿立方米，则居民家庭用水(５.８-x )亿立方米. 依题意,得５．8-ｘ=３x+０．6 解得x =１.3

5.8-x ＝５.8-1．3=４.５(亿立方米)

答：生产运营用水1.3亿立方米，居民家庭用水４.5亿立方米.

【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x ，另外一个用含x 的式子表示.本题的相等关系是生产运营用水量＋居民家庭用水总量=5.8亿立方米. 举一反三：

【变式】(麻城期末考试)麻商集团三个季度共销售冰箱２800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍．第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台?

【答案】解：设第二个季度麻商集团销售冰箱x 台,则第一季度销售量为２x 台,第三季度销售量为4x 台,依题意可得：x+2x+4x ＝280０，

解得：x =400

答：麻商集团第二个季度销售冰箱400台．

类型二、行程问题 1.一般问题

2.小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走４千米,那么走完预订时间离县城还有0．5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城．试问学校到县城的距离是多少千米? 【答案与解析】

解：设小山娃预订的时间为ｘ小时,由题意得： 4x+0.5＝5(x -0．５)，解得x =3.

所以4ｘ+0.5=4×３+0.５=1２.5(千米). 答：学校到县城的距离是１２.5千米．

【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法．即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量． 举一反三:

【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶，上坡的速度为10千米/时,下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度． 【答案】

解：设这段坡路长为a 千米，汽车的平均速度为ｘ千米/时,则上坡行驶的时间为

10

a

小时，下坡行驶的时间为

20a 小时.依题意,得：21020a

a x a ⎛⎫+=

⎪⎝⎭

, 化简得: 340ax a =． 显然a ≠０，解得1

133

x =

答：汽车的平均速度为1133

千米／时．

2．相遇问题（相向问题)

【高清课堂：实际问题与一元一次方程(一) 388410 相遇问题】

3. Ａ、Ｂ两地相距100k ｍ，甲、乙两人骑自行车分别从A 、Ｂ两地出发相向而行，甲的速度是２３k ｍ／h ，乙的速度是21k ｍ/h,甲骑了1ｈ后,乙从B 地出发,问甲经过多少时间与乙相遇？ 【答案与解析】

解:设甲经过x 小时与乙相遇.

由题意得:()2312321(1)100x ⨯++-= 解得,x=２.７５ 答：甲经过２.75小时与乙相遇.

【总结升华】等量关系:甲走的路程+乙走的路程＝1０0k ｍ 举一反三:

【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km 的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走２.5km ，求甲、乙每小时各行驶多少千米? 【答案】

解：设乙每小时行驶x 千米，则甲每小时行驶（x +２.５）千米，根据题意，得：

2( 2.5)245x x ++=

解得：10x =

2.510 2.512.5x +=+=(千米)

答:甲每小时行驶1２．5千米，乙每小时行驶10千米

3.追及问题（同向问题）

4．一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进,走了18分钟时,学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发,骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去,通讯员用多少分钟可以追上学生队伍? 【答案与解析】

解：设通讯员ｘ小时可以追上学生队伍,则根据题意，

得18

145560

x x =⨯+, 得：16x =

, 1

6

小时=10分钟. 答:通讯员用1０分钟可以追上学生队伍．

【总结升华】追及问题:路程差=速度差×时间，此外注意:方程中x 表示小时，18表示分钟,两边单位不一致，应先统一单位.

4．航行问题（顺逆风问题）

５.一艘船航行于A 、B 两个码头之间,轮船顺水航行需3小时,逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米／时,求这两个码头之间的距离. 【答案与解析】

解法1：设船在静水中速度为x 千米/时,则船顺水航行的速度为(x ＋４)千米/时，逆水航行的速度为(x -４)千米/时，由两码头的距离不变得方程:３（x ＋４)=5(x －4),解得：x ＝16，

（16+４）×3=60（千米)