理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
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理论力学拉格朗日方程PPT课件
Q* ]q
j
j
0
j 1
广义惯性力 记为Q*j
第22页/共73页
§7-2 拉格朗日方程
广义惯性力
Q*j
n i 1
(Fi*
ri q j
)
n
i 1
[(
m i
a i
)
r i
q
]
j
n
[(mi
i 1
dvi ) ri dt q j
]
因为
d dt
(mi vi
ri q j
)
(mi
dvi ) ri dt q j
对于这些函数进行一定的运算，就可了解系统的运动特性和获得系统的运 动方程，所以动力学普遍方程和拉格朗日方程式求解质点系复杂动力学问题的 普遍而有效的方法。
第3页/共73页
§7-1 动力学普遍方程
一、概述
动力学普遍方程是将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合而得到的， 可以看成是达朗贝尔原理的解析表达形式。
Q*j
n i 1
[
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)]
利用前面的二个拉格朗日变换式
v i
q
r i
q
j
j
vi d ( ri ) q j dt q j
有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
vi q j
) mivi
( vi q j
)]
d dt
n i 1
Qj
V q j
j (1, 2 , ..., k)
代入上式，注意到势能函数 V =V（ q1 ， q2 ，…， qk ）与广义速度q j 无关
《拉格朗日中值定理》PPT课件
拉格朗日中值定理
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
罗尔定理
微
拉格朗日中值定理
分
中
值
柯西中值定理
定
理
泰勒中值定理
1
罗尔（Rolle）定理
如果函数 f ( x) 满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导； （3） 且在区间端点的函数值相等，即 f (a) f (b)；
则在(a, b) 内至少有一点(a b),使得函数 f ( x)在 该点的导数等于零，即 f ' () 0
2
Hale Waihona Puke 何解释: yy f (x)
A
B
O
C
a
bx
实际上, C点处的切线与弦 AB 平行.
把上图做一旋转，得到下图：
3
y
y f (x)
B
A
C
a
bx
O
C点处的切线与弦线 AB 平行.
f ( ) f (b) f (a)
ba
4
拉格朗日（Lagrange）中值定理
如果函数 f ( x)满足 （1） 在闭区间 [a, b]上连续； （2） 在开区间(a, b)内可导；
f ( x1) f ( x2 ) .
10
推论 2
若 f (x) g(x) x I , 则 f (x) g(x) C x I . ( C 为常数 )
证
f (b) f (a) f ( )(b a)
F ( x) ( f ( x) g( x)) f ( x) g( x)
若 f (x) g(x) x I , 则 F(x) ( f (x) g(x)) 0 , x I ,
（3）定理只论证了 的存在性， (a, b) ，不知道
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程
第九章拉格朗日方程
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程是理论力学的重要组成部分，涉及欧 拉-拉格朗日方程和拉格朗日函数。在本次课件中，我们将深入探讨拉格朗日 方程的定义、应用实例及求解原理，并介绍多自由度的系统和哈密顿原理。 让我们一起来了解这一重要的物理学概念。
引言
理论力学的概念
欧拉-拉格朗日方程
理论力学是研究质点、质点系、 星系、表面、弹性体、流体等 物质运动规律与作用的一门自 然科学。
对于任意系统，在所有可能的 运动中，其真实运动使得作用 量达到最小值，作用量函数是 由拉格朗日函数定义的。
拉格朗日函数
描述了系统状态、参数、状态 变量与计算所有物理量的关系， 对于每一个系统都是唯一的。
拉格朗日方程的概念
参考文献
相关教材
• 《理论力学》（屠光 绍编）
• 《哈密顿力学：平凡 而重要的力学》（丘
• 维《声方编法）学与系统形态 学：拉格朗日方程的 理论与应用》（杨晋 编）
相关论文章
• Wei-Chiam Chung ，David Nezlin， Chuan-Jong Shih （2002）The
• LVa. gBraalankgriiasnhnan, S. FMo.rBmhualtattaiochna，rjee S（p2r0in0g7e）r CUlSassical M echanics: Point Particles and Special Relativity
• ， G.WEboardldi,SLc.iZeanntiefi（c 2008）On the Variational and Lag r an g i an Representations of Classical M echanics， INTECH Open Access Publisher
理论力学经典课件第九章拉格朗日方程是理论力学的重要组成部分，涉及欧 拉-拉格朗日方程和拉格朗日函数。在本次课件中，我们将深入探讨拉格朗日 方程的定义、应用实例及求解原理，并介绍多自由度的系统和哈密顿原理。 让我们一起来了解这一重要的物理学概念。
引言
理论力学的概念
欧拉-拉格朗日方程
理论力学是研究质点、质点系、 星系、表面、弹性体、流体等 物质运动规律与作用的一门自 然科学。
对于任意系统，在所有可能的 运动中，其真实运动使得作用 量达到最小值，作用量函数是 由拉格朗日函数定义的。
拉格朗日函数
描述了系统状态、参数、状态 变量与计算所有物理量的关系， 对于每一个系统都是唯一的。
拉格朗日方程的概念
参考文献
相关教材
• 《理论力学》（屠光 绍编）
• 《哈密顿力学：平凡 而重要的力学》（丘
• 维《声方编法）学与系统形态 学：拉格朗日方程的 理论与应用》（杨晋 编）
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• Wei-Chiam Chung ，David Nezlin， Chuan-Jong Shih （2002）The
• LVa. gBraalankgriiasnhnan, S. FMo.rBmhualtattaiochna，rjee S（p2r0in0g7e）r CUlSassical M echanics: Point Particles and Special Relativity
• ， G.WEboardldi,SLc.iZeanntiefi（c 2008）On the Variational and Lag r an g i an Representations of Classical M echanics， INTECH Open Access Publisher
理论力学经典课件-第九章 拉格朗日方程
9-1-2 典型问题
即
3 G2 G r 2 a1 cos gG2 sin 0 2 g g
(b)
式(a)代入(b),可得
G2 g sin2 a1 3 G1 G2 2 G2 sin 2
G2 a1 并不为零； 令 x 0 时，牵连惯性力 g 令 0 时，相对惯性力 G2 r 并不为零， g 两者相互独立。
r1
r2 B
A
x mg 2
m3 g
m1g
9-2 拉格朗日方程
9-2-4 拉氏方程的应用
系统自由度为1。取轮心B沿斜面位移x为广义坐标。 平衡位置为零势能位置，则任意x位置时，系统动势
3 3 1 1 2 2 2 2 L T V m1 x m2 x m3 x kx 4 4 2 2 L 3 3 L m1 m2 m3 x kx ， x 2 2 x r2 d L L A 中，有 r1 代入拉氏方程 0 m3 g d t x x m1g 3 3 m1 m2 m3 kx 0 x 2 2 2k 即 x x 0 为所求微分方程。 3m1 3m2 2m3
即
G1 G2 a1 G2r cos
有
(a)
又由 WF 0 0, x 0 ,
G2 G2 1 G2 2 r r r a1 cos r G2 sin r 0 2 g g g
9-1 动力学普遍方程
将 FQ j * 能量化 导出拉氏方程。
FQ j 不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。 9-2-1 两个经典微分关系 9-2-2 拉氏方程基本形式
9-2-4 拉氏方程的应用
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。
大学物理优质课件精选——分析力学拉格朗日方程课件
在其名著分析力学中把数学分析应用于质点和刚体力学提出了运用于静力学和动力学的普遍方程引进广义坐标的概念建立了拉格朗日方程把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式改变为以能量为基本概念的分析力学形式奠定了分析力学的基础为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路哈密顿hamiltonwilliamrowan18051865爱尔兰人他的研究工作涉及不少领域成果最大的是光学力学和四元数
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。
系统自由度数目：3N-(3N-S)=S →力学体系只有S个独立变量。
约束的分类
1. 约束方程 2. 约束方程
中不含时间t ——稳定约束 中含时间t ——不稳定约束
约束另外的分类1：可解约束与不可解约束
1. 由不等式表示的约束——可解约束: 质点在某一方 向上能脱离的那种约束
2. 由等式表示的约束——不可解约束: 质点始终不能 脱离的那种约束
分析力学
教材：理论物理基础教程
——分析力学部分
绪论
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
Ⅱ 怎样学好分析力学？
Ⅰ 分析力学是怎样的一门学科？
力学：主要指牛顿力学
普通物理
光学 热学
感性认识 建立在实验的基础上
大
电磁学
学
物
原子物理学
理
理论力学：核心是分析力学
理论物理 (四大力学)
热力学与统计物理
电动力学 量子力学
4. 正则共轭坐标（第6章）
坐标概念的第三次飞跃
§1.1.1 无约束质点的拉格朗日方程
推导拉格朗日方程的方法之一：从牛顿方程出发推导 两种情况：1．不受约束的质点；
2．受约束的质点。（两种情况均在保守力场中） 注意：约束的概念、约束性质（限制物体相互位置的
性质）、保守力场的概念 约束:在一个力学体系中，存在着一些限制各质点自由运动 的条件，我们把这些条件叫做约束。
理论力学—拉格朗日方程PPT
m2 cos
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
拉格朗日方程
17.2
板上有半径为 r 、 质量为m2的均质圆柱， 圆柱在板
上作纯滚动而不滑动，今有一水平常力F 拉动金属
板，试求圆柱纯滚的角加速度和金属板的加速度。
拉
解：以系统为研究对象，
格
系统具两个自由度。选取 x A、
为广 义坐标。
C m2 g
A
朗 日 方
系统的动能为
xA
m1g
T
1 2
m1xA2
1 2
(1 12
m2 L2
)2
整理后得
T
3 4
m1x2
1 2
m2 (x2
1 4
L22
Lxcos)
1 24
m2 L22
系统的广义力为 Qx 0
17.2
Q
W ( )
m2 g
L 2
cos (90
)
xm2 g
L sin
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，
17.2 具有k个自由度，其位置可由k个广义坐标 q1, q2 ,, qk
来确定。则有
拉 格
d ( T ) T dt qj q j
Qj
( j 1,2,, k)
朗
日
式中
T
n i 1
12mi vi2 为质点系的动能；
M
r
O
拉 为R。今在曲柄上作用一不变的力
R
格
偶，其矩为M，使机构运动。求曲 柄的运动方程。
朗
解：以整个系统为研究对象，系统具有一个自
日 由度，取曲柄转角 为广义坐标。
拉格朗日方程
方
1、确定研究对象，（一般以整个系统）判断系统的自由度数目，选取合适
程 的广义坐标。
2、分析系统的运动，写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。（速 度及角速度均为绝对的）
3、计算对应每个广义坐标的广义力 用广义坐表示的势能及拉格朗日函数
；当主。动力为有势力Q时j ，需要写出
1.2
L T V
0
程 式中， 、 分别为初始转角和初始角速度。
0
0
1.2
拉 格 朗
例4 如图轮A的质量为 ，在水平面上只滚动不滑动，定滑轮B的质量为 ，
m 两轮均为均质圆盘，半径均为R，重物C的质1量为 ，弹簧的弹性系数为 ，试
m 求系统的运动微分方程。
2
m3
k
解：以系统为研究对象，系统具有一个 自由度。取 x 为广义坐标，x 从重物的平衡位
d dt
T
T
Q
得
（1）
程
(m1 2m2 )R2 2m2Rx 2m2 gR
（2）
（1）、（2）即为系统的运动微分方程。
m 动不滑例动7 ，如物图体，A物与体水A平的面质无量摩为擦，，弹B簧轮刚质性量系为数为，1 半，径试为求R，系在统水的平运面动m上微2只分滚方
m2 gR
1.2 代入拉格朗日方程
d dt
T x
T x
Qx 得
拉 格
m1x
m2
d dt
(x
R )
(m1
m2 )g
k(x
L0 )
整理得
朗 日 方
(m1 m2 )x m2R (m1 m2 )g k(x L0 )
拉格朗日方程
专题：
拉格朗日方程 Lagrange’s equations
2012年5月25日 Friday
理论力学CAI
1
§1. 动力学普遍方程
(The general equation of dynamics)
由n个质点组成的理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有
Fi FNi FIi 0 (i 1,2, , n)
δ W ( m 2 g m 2 a 2 ) δ s 2 ( m 1 g m 1 a 1 ) δ s1 0
m2a2 a2 s2 m1g m2g
a1 s1
m1a1
2012年5月25日 Friday
得
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
理论力学CAI
3
§2 拉格朗日方程
代入保守系统的拉格朗日方程
L 0 x L sin m B gl sin m B lx
d L L ( ) 0 j dt q q j
( j 1,2, , f )
系统的运动微分方程：
cos 2 sin 0 m A m B m Bl x cos g sin 0 x l
以过A的水平面为重力的零势能面，则系统的势能为：
V mB glcos
拉格朗日函数
L T V 1 1 2 2 2x cos m B gl cos ( m A m B ) x m B l l 2 2
2012年5月25日 Friday
理论力学CAI
ri q j
ri q j
任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于 其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的 一阶导数，称为第二个拉格朗日关系式。
拉格朗日方程 Lagrange’s equations
2012年5月25日 Friday
理论力学CAI
1
§1. 动力学普遍方程
(The general equation of dynamics)
由n个质点组成的理想约束的系统。根据达朗贝尔原理，有
Fi FNi FIi 0 (i 1,2, , n)
δ W ( m 2 g m 2 a 2 ) δ s 2 ( m 1 g m 1 a 1 ) δ s1 0
m2a2 a2 s2 m1g m2g
a1 s1
m1a1
2012年5月25日 Friday
得
a2
4m2 2m1 g 4m2 m1
理论力学CAI
3
§2 拉格朗日方程
代入保守系统的拉格朗日方程
L 0 x L sin m B gl sin m B lx
d L L ( ) 0 j dt q q j
( j 1,2, , f )
系统的运动微分方程：
cos 2 sin 0 m A m B m Bl x cos g sin 0 x l
以过A的水平面为重力的零势能面，则系统的势能为：
V mB glcos
拉格朗日函数
L T V 1 1 2 2 2x cos m B gl cos ( m A m B ) x m B l l 2 2
2012年5月25日 Friday
理论力学CAI
ri q j
ri q j
任一质点的速度对广义坐标的偏导数等于 其矢径对广义坐标的偏导数，再对时间的 一阶导数，称为第二个拉格朗日关系式。
理论力学 拉格朗日方程
解题步骤 （1）确定自由度 （2）选取广义坐标
（3）写出用广义坐标表示的T、V及L的表达式
（4）将拉格朗日函数L代入拉格朗日方程
例一：
滑轮组：求每个砝码的加速度
d L dt q L q 0
1, 2, s
例二：用拉格朗日方程求椭圆摆的运动微分方程。
简单求出主动力在平衡时满足的条件。
5.2.4广义力
由前面讨论我们知 ri 的虚位移为
ri ri q 1 , q 2 ,...q s , t
ri
q
1
s
r
i
q
所以，虚功原理在广义坐标下的表达式为
n s ri s n ri W Fi ri Fi ( q ) Fi q i 1 i 1 1 q 1 i 1
d ri ri m i ri m i ri dt i 1 q i 1 q
dt q d
2 n m i v i2 n mi vi q 2 i 1 i 1 2
可得保守力系下的拉格朗日方程为：
d L dt q L q 0
1, 2, s
拉格朗日函数
L T V
保守力系下的拉格朗日方程
d L dt q L q 0
1, 2, s
s
第二项
ri mi a i P q i 1
n
称之为广义惯性力。
5.3.2拉格朗日关系式
考察由n个质点组成的理想约束系统，受有k个完整约束，其 广义坐标数s=3n-k。第i个质点的位矢 ri ri (t , q1 , q 2 , q s ), i 1,2, n
理论力学 拉格朗日方程
d 3m m ( x r ) ( 2kx) 0 dt 2 2 3m m r 4kx 0 x (1) 对广义坐标φ
d 3m 2 m rx) (2kr 2 ) 0 ( r dt 4 2 m 3m x r 2kr 0 ( 2) 2 4 这就是系统的运动微分方程。
且圆柱体位于斜面最高点。试求：(1)系统的运动微分方程；(2) 楔形体的加速度。
解：其研究楔形体与圆柱体组
成的系统。系统受理想、完整、 定常约束，具有两个自由度。 取广义坐标为x, s ；各坐标原 点均在初始位置。
系统的动能：
1P 2 1Q 2 2 1 1Q 2 s 2 T x ( x s 2 xs cos ) r ( ) 2g 2g 2 2g r 1 PQ 2 3 Q 2 Q x s xs cos 2 g 4g g
例2 质量为m的物块A在光滑平面上运动 质量为 半径r 的圆盘作纯滚动，各弹簧连 接如图，均为自然长度。 建立系统运动微分 方程。
m 2
2K K A
B
K
d L L 0 d t q j q j
取广义坐标 x,
m 2 1m 11m 2 2 2 T x ( x r ) r 2 2 2 22 2 3m 2 3m 2 2 m x r rx 4 8 2
L L 2 m2l m2 xl cos , m2 xl sin m2 gl sin d L ( ) m2l 2 m2 l cos m2 xl sin x dt
d L L ( ) 0 dt q j q j
系统势能：（以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面
课件：拉格朗日方程
7
第二类拉格朗日方程 几种形式
d dt
T q j
T q j
Qj
( j 1,2,, k)
1、当主动力均为有势力时
Qj
V (q1,,qk ) q j
d T dt q j
T q j
V
q j
设：L＝T-V
（拉格朗日函数）
d dt
T q j
(T V q j
)
0
2、当主动力部分为有势力时
m2g x2 x1 m1g
解： 2个自由度，取广义坐标（x1, x2） 系统的动能：
b
T
1 2
m1x12
1 2
m2 x22
1 2
J C 2
T
12（m1
m2）x12
m2 x22
x2
m2 x2 x1
r
x1
系统的势能： 以x1 =x2 =0处为零势能位置
V m1gx1 sin m2gx2 sin b
拉格朗日函数： L T V 18
3、求非有势主动力的广义力
I
vC
21
例、车厢质量为m，质心C，转动惯量 JC m，2 弹簧刚度如图 所示。水平位置为静平衡位置，建立运动微分方程。
解：系统自由度 2
广义坐标： z 静平衡位置为坐标原点
该系统外力均为有势力，
选取零势能位置：静平衡位置
系统动能： T 1 mz2 1 m 2 2
系统势能： 2
)
L z
0
mz k1(z l1 ) k2 (z l2) 0
23
mg
l 2
k 0b
0)
衡位置的伸长量有关。
拉格朗日函数: L 1 (1 ml 2 ) 2 k 2b2
力学竞赛之拉格朗日方程-PPT课件
N
如令
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
n
称为与广义坐标 q k 相对应的广义力 。
δW Q qk 0 F kδ
k 1
N
由于广义坐标的独立性
例：一单摆在空间摆动，摆长为l。
O
x
约束方程为
fx (, y ,) z x y z l
2 2 2
2
自由度数为2。
y
z
x，y为独立变量
2 2 2 zxy (, ) l x y x xxy ( , ) x y yxy ( , ) y z
, （单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。 xx (, ) l s i n c o s y y (, ) l s i n s i n
δ q k 可以为任一值
Q Q Q 0 1 2 N
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。
——用广义坐标表示的质点系的平衡条件
求广义力的两种方法 1.直接计算法（解析法）
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
z z (, ) l c o s
思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度
数目的关系如何？ 描述导弹的位置： 质心的位置
xC , yC
导弹的纵轴和x 轴的夹角 独立的广义坐标数目为3 导弹的速度方向要对准飞机的质心 约束方程
yC yP yC xC xP xC
如令
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
n
称为与广义坐标 q k 相对应的广义力 。
δW Q qk 0 F kδ
k 1
N
由于广义坐标的独立性
例：一单摆在空间摆动，摆长为l。
O
x
约束方程为
fx (, y ,) z x y z l
2 2 2
2
自由度数为2。
y
z
x，y为独立变量
2 2 2 zxy (, ) l x y x xxy ( , ) x y yxy ( , ) y z
, （单摆在xy面上的投影与x轴夹角）为独立变量。 xx (, ) l s i n c o s y y (, ) l s i n s i n
δ q k 可以为任一值
Q Q Q 0 1 2 N
质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。
——用广义坐标表示的质点系的平衡条件
求广义力的两种方法 1.直接计算法（解析法）
x y z i i i Q ( F F F k 1 ， 2 ， ， N ) k xi yi zi )( q q q k k k i 1
z z (, ) l c o s
思考：导弹在追踪飞机的情况下，广义坐标的数目和自由度
数目的关系如何？ 描述导弹的位置： 质心的位置
xC , yC
导弹的纵轴和x 轴的夹角 独立的广义坐标数目为3 导弹的速度方向要对准飞机的质心 约束方程
yC yP yC xC xP xC
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图(a)
A
m2 rC 2
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
J O 1
1
O 1
自由度k=2的理想约 m 1 a 0 m 1 g
束系统，取两轮转角 1 , 2
图(b)
为广义坐标，其受力与运动
分析，如图(b)所示，
v C r1 r2 ,a C r1 r2
令 10,20，由
W(2) F
式(9-7)表明，可对
r q
i j
9-2 拉格朗日方程
(9-7) 的分子与分母“同时消点”。
9-2-1 两个经典微分关系
2)
d dt
ri qj
ri qj
“交换关系”(求导)
证明: 将式(9-6)两边对广义坐标 q j
求偏导数，有
ri qj
k
l1
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动 力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二 类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
a=22PP11+ +PP22rg2r+2s2inJg
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
1.由动能定理求导，如何求解? 2.如何求约束力?
2.已知重量 G1,G2 ,q,r, 轮纯滚,水平面光滑,求三棱
柱加速度。
O
r
G 2
G 1
编辑课件
7
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
加惯性力，受力如图。
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
1. 已知重量 P1,P2,q,,r,
p1 a
轮转动惯量J ，求加速度a ?
J g
r
a
加惯性力，受主动力如图。
J
r
p1 a p2
p 2 a p1 g
p1
g
给连杆 r ，则 r
r
由
W(r) F
0,
有
2 P 1 P 2 r s in 2 P g 1a P g 2a r 2 Jr r 0
1 2
G2 g
r 2
选 x , 广义坐标。
G2 g
r
O
G2 g
a1
r
由
x
W F x = 0 , 0 ,x 0
a 1
G
2
G
G1 g
a1
1
有 G g 1a 1xG g 2rco sxG g 2a 1x0
即
G 1 G 2a 1 G 2 rc os
Байду номын сангаас
(a)
又由 W F 0 0 ,x 0 , 有
FQj
n i1
Fi
ri qj
广义惯性力
F * Qj
n
=-
i=1
mi
ai
dri dqj
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立
因各 q j 线性无关 故有
FQj FQj* 0 （j 1,2,k）
等价形式
WFj =0
仅
qj 0
（j 1,2,k）
(9-2) (9-3)
式中包含了惯性力虚功!
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m
有
i
FiFNim iai 0则有 i 1,2n
给ri i1,2,...,n,则有
F iF N im airi 0
而双面理想约束
FNi ri 0
故有
FiFIiri 0
(9-1)
动力学普遍方程或达朗贝尔－拉格 朗日原理 不论约束完整，定常与否均适用。
g
a1
令 0 时，相对惯性力 G 2 r g
两者相互独立。
并不为零； 并不为零，
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
3. 均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈 缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 m1 ,m2 ,r, 试求 运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。
1 m1 r
O
12
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后， 各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。
1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件? 2.用动力学普遍定理如何求解? 3.计入滑轮A质量,结果有何变化?
9-1 动力学普遍方程
9-2 拉格朗日方程
对于完整约束系统，动力学普遍方程为
F Q j+ F Q j*=0(j= 1,2,...k)
将
F
Q
*
j
能量化
导出拉氏方程。
F Qj
不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。
9-2-1 两个经典微分关系
9-2-2 拉氏方程基本形式
9-2-4 拉氏方程的应用
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立
2. 广义坐标形式
设完整约束系统有k个自由度，可取q1,q2,q3 ...qk ,
为广义坐标。ri riq1,q2,...,qk,t
则
ri
k ri j1 qj
qj
代入式(9-1), 交换 i，j次序，得
式中
k FQj FQ*j qj 0
j1
广义主动力
r i= r iq 1 ,q 2 ,...q k ,t(i 1 ,2 ,...,n )
1) ri ri “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri(t,q1, ,qk), 对时间t求导数，
得
ri
k l1
ri ql
ql
ri t
(9-6)
再对广义速度 q j 求偏导数，得
ri ri q j q j
0
有 ( m 2 g m 2 a C ) r2 J C 2 2 0
9-1 动力学普遍方程
A
m
C
2
a
C
2
JC 2
m 2g 2
(a)
(b)
9-1-2 典型问题
将式(a)及 JC m2r2 代入(b)式，
得 r(122)g (c) 再令 10,20
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1g
由
W(1) F
0
有
图(b)
m 1 a 0 r1 J 0 11 ( m 2 a C m 2 g ) r1 0
A
m
C
2
a
C
2
JC 2
m 2g 2
即 (3 2m 1rm 2r)1m 2r2m 2g
(d)
联立 (c)和(d)式，可得
a 0r13 m m 12 g m 编2辑,课件a C(2 2 (m 3 2 m 1 3 m m 1 2 ))g
1 G 2 r 2 2 g
G 2 rr g
G g 2 a 1 c o sr
G 2 s in r
0
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
即 2 3G g2rG g2a1co sg2 G sin0 (b)
式(a)代入(b),可得
a13G1G G22gs2inG 22sin2
令 x 0 时，牵连惯性力 G 2
A
m2 rC 2
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
J O 1
1
O 1
自由度k=2的理想约 m 1 a 0 m 1 g
束系统，取两轮转角 1 , 2
图(b)
为广义坐标，其受力与运动
分析，如图(b)所示，
v C r1 r2 ,a C r1 r2
令 10,20，由
W(2) F
式(9-7)表明，可对
r q
i j
9-2 拉格朗日方程
(9-7) 的分子与分母“同时消点”。
9-2-1 两个经典微分关系
2)
d dt
ri qj
ri qj
“交换关系”(求导)
证明: 将式(9-6)两边对广义坐标 q j
求偏导数，有
ri qj
k
l1
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动 力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二 类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
a=22PP11+ +PP22rg2r+2s2inJg
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
1.由动能定理求导，如何求解? 2.如何求约束力?
2.已知重量 G1,G2 ,q,r, 轮纯滚,水平面光滑,求三棱
柱加速度。
O
r
G 2
G 1
编辑课件
7
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
加惯性力，受力如图。
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
1. 已知重量 P1,P2,q,,r,
p1 a
轮转动惯量J ，求加速度a ?
J g
r
a
加惯性力，受主动力如图。
J
r
p1 a p2
p 2 a p1 g
p1
g
给连杆 r ，则 r
r
由
W(r) F
0,
有
2 P 1 P 2 r s in 2 P g 1a P g 2a r 2 Jr r 0
1 2
G2 g
r 2
选 x , 广义坐标。
G2 g
r
O
G2 g
a1
r
由
x
W F x = 0 , 0 ,x 0
a 1
G
2
G
G1 g
a1
1
有 G g 1a 1xG g 2rco sxG g 2a 1x0
即
G 1 G 2a 1 G 2 rc os
Байду номын сангаас
(a)
又由 W F 0 0 ,x 0 , 有
FQj
n i1
Fi
ri qj
广义惯性力
F * Qj
n
=-
i=1
mi
ai
dri dqj
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立
因各 q j 线性无关 故有
FQj FQj* 0 （j 1,2,k）
等价形式
WFj =0
仅
qj 0
（j 1,2,k）
(9-2) (9-3)
式中包含了惯性力虚功!
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m
有
i
FiFNim iai 0则有 i 1,2n
给ri i1,2,...,n,则有
F iF N im airi 0
而双面理想约束
FNi ri 0
故有
FiFIiri 0
(9-1)
动力学普遍方程或达朗贝尔－拉格 朗日原理 不论约束完整，定常与否均适用。
g
a1
令 0 时，相对惯性力 G 2 r g
两者相互独立。
并不为零； 并不为零，
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
3. 均质圆柱与薄壁圆柱1、2,用绳相连，并多圈 缠绕圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 m1 ,m2 ,r, 试求 运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。
1 m1 r
O
12
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
对于多自由度动力系统，加上主动力和惯性力后， 各独立虚位移可任意给定，与受力状态无关。
1.如何求绳的张力?圆柱纯滚的条件? 2.用动力学普遍定理如何求解? 3.计入滑轮A质量,结果有何变化?
9-1 动力学普遍方程
9-2 拉格朗日方程
对于完整约束系统，动力学普遍方程为
F Q j+ F Q j*=0(j= 1,2,...k)
将
F
Q
*
j
能量化
导出拉氏方程。
F Qj
不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。
9-2-1 两个经典微分关系
9-2-2 拉氏方程基本形式
9-2-4 拉氏方程的应用
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立
2. 广义坐标形式
设完整约束系统有k个自由度，可取q1,q2,q3 ...qk ,
为广义坐标。ri riq1,q2,...,qk,t
则
ri
k ri j1 qj
qj
代入式(9-1), 交换 i，j次序，得
式中
k FQj FQ*j qj 0
j1
广义主动力
r i= r iq 1 ,q 2 ,...q k ,t(i 1 ,2 ,...,n )
1) ri ri “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri(t,q1, ,qk), 对时间t求导数，
得
ri
k l1
ri ql
ql
ri t
(9-6)
再对广义速度 q j 求偏导数，得
ri ri q j q j
0
有 ( m 2 g m 2 a C ) r2 J C 2 2 0
9-1 动力学普遍方程
A
m
C
2
a
C
2
JC 2
m 2g 2
(a)
(b)
9-1-2 典型问题
将式(a)及 JC m2r2 代入(b)式，
得 r(122)g (c) 再令 10,20
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1g
由
W(1) F
0
有
图(b)
m 1 a 0 r1 J 0 11 ( m 2 a C m 2 g ) r1 0
A
m
C
2
a
C
2
JC 2
m 2g 2
即 (3 2m 1rm 2r)1m 2r2m 2g
(d)
联立 (c)和(d)式，可得
a 0r13 m m 12 g m 编2辑,课件a C(2 2 (m 3 2 m 1 3 m m 1 2 ))g
1 G 2 r 2 2 g
G 2 rr g
G g 2 a 1 c o sr
G 2 s in r
0
9-1 动力学普遍方程
9-1-2 典型问题
即 2 3G g2rG g2a1co sg2 G sin0 (b)
式(a)代入(b),可得
a13G1G G22gs2inG 22sin2
令 x 0 时，牵连惯性力 G 2