高一数学4月月考试题.doc
山东省临沂市某重点中学2014-2015学年高一4月月考数学试题 Word版含答案
高一数学下学期月考试题2015.4.3一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分） 1．下面对算法描述正确的一项是：（ ）A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法只能用图形方式来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同，结果必然不同 2.在简单随机抽样中，某一个个体被抽中的可能性（ ） A.与第几次抽样无关，第一次抽中的可能性要大些 B.与第几次抽样无关，每次抽中的可能性相等 C.与第几次抽样有关，最后一次抽中的可能性大些D.与第几次抽样无关，每次都是等可能的抽取，但各次抽取的可能性不一样3.把18个人平均分成两组，每组任意指定正副组长各1人，则甲被指定为正组长的概率为（ ）A.181B.91C.61D.314..袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ） A.至少有一个白球；都是白球 B.至少有一个白球；至少有一个红球 C.恰有一个白球；一个白球一个黑球 D.至少有一个白球；红、黑球各一个5. 在区域⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x ，内任意取一点),(y x P ，则122<+y x 的概率是（ ） A ．0 B ． 214-πC ．4πD ．41π-6. 在右面的程序框图表示的算法中，输入三个实数cb a ,,，要求输出的x 是这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入（ ）A ．x c >B ．c x >C ．c b >D ．c a > 7. 用随机数表法从100名学生（男生25人）中抽选 20人进行评教，某男生被抽到的机率是（ ）A 、1001B 、251C 、51D 、418. 在等腰直角三角形ABC 中，角C 为直角. 在ACB ∠内部任意作一条射线CM ，与线段AB交于点M ，则AC AM <的概率（ ）A 、22B 、12C 、34D 、419.下列各角中，与角330°的终边相同的角是( )A ．510°B ．150°C ．－150°D ．－390°10.对某班学生一次英语测试的成绩分析，各分数段的分布如下图（分数取整数），由此，估计这次测验的优秀率（不小于80分）为（ ） A.92% B.24% C.56% D.76% 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)11.某同学使用计算器求30个数据的平均数时，错将其中一个数据105输入为15，那么由此求出的平均数与实际平均数的差是( ).12.在抽查某产品的尺寸过程中，将其尺寸分成若干个组，［a,b ］是其中一组，抽查出的个体数在该组上的频率为m ，该组上的直方图的高度为h ，则|a-b|=________. 13.在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°； ②钝角一定大于锐角；③射线OA 绕端点O 按逆时针旋转一周所成的角是0°； ④小于90°的角都是锐角．其中错误说法的序号为________(错误说法的序号都写上)． 14. 在区间上随机取一个数x ，则的概率为 .15.如右图求++⨯+⨯+⨯ 431321211100991⨯的算法的程序框图。
吉林省长汽车经济开发区第三中学高一数学4月月考试题
3A.1个B.2个C.3个D.4个5.若 f(x)2cos 2X -12 .x x sin cos — 2 2，则 JIf (―)等于A . 2-22、32；36.对于函数 y = cos(-x)，下面说法中正确的是2汽开三中2018---2019学年度高一下学期月考试卷数学学科注意事项:1、本试卷分试题卷和答题卡，满分150分，考试时间120分钟。
2、答题前，在答题卡上填写个人相关信息。
3、所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效。
4、考试结束后，只需上交答题卡。
选项是符合题目要求的. 1. sin 300的值是1 A.—22.若 sin^ COST ::: 0 ,则角A .第一、二象限 C.第二、四象限3.若 a =sin50°，b 二cos50°，c 二 tan 50° 则 a 、b 、C 的大小关系是4.下列说法正确的个数为若a , b 都是单位向量，则 a = b. 、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个第一、三象限 第一、四象限A . cab BC.b C a D . C b a(1) 零向量与任意向量平行• (2)若a //b , b IIc ,贝U a // C . 向量忑与向量&是共线向量，贝U AB, C, D 四点在一条直线上.A .函数是周期为二的奇函数B •函数是周期为二的偶函数10.函数y 二sin 2x • cosx -1的值域是12.函数 f (x)二 X 「COSX 在 0,：；4 ■内5 1216.已知 cos 爲"cos 一，sin •工"sin ------------- ，贝U cosZ-： 的值为 ______ .13 13C.函数是周期为2二的奇函数 •函数是周期为2二的偶函数7.将函数y=cosx 的图象向左平移 '个单位，横坐标扩大到原来的 2倍，纵坐标扩大到原3来的3倍，所得的函数解析式为A . C.y = 3cos(2 x —)32 二八3cos(2x 亍)1 — y cos(2x )3 3 1 兀y = 3cos( x )2 38.已知 sin (： _亍)= A. 139.若扇形的圆心角为1 — ，则cos(')的值是36B. _!3C.D.2弧度、弧长为6cm,则 该扇形得面积为A.3cm 2B. 9cm 2C.D.29 二1 A. [ — 2,—]411.在厶ABC 中，已知 B.[ — 3,2] C.[tanA 、tanB 是方程A 、2、一2 —2,0] D.[ -3,-]43X 2+8X +1=0的两根，则tanC 等于(、一4A.没有零点B.有且仅有一个零点 C.有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中的横线上 13.已知？ABCD 勺对角线 AC 和BD 相交于 Q 且OA= a , O B=b , 则DA = ____ (用a , b 表示).14.计算：0 0 0sin 48 —sin 18 cos30 = cos18°的x 的取值范围为 _____________________15.在［0,2二］上，满足条三、解答题(本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(本小题10分)已知函数f(x)=tan(x •—)4(1) 求函数f (x)的定义域； (2) 已知心上)二，求si"2co汀的值. 42 cos 日-3sin 618.(本小题12分)已知函数f(x)二:」2sin(2x —),x R4(1)求出f (x)的最大值及相应的x 的集合；(2)求f (x)的对称轴方程19. (本小题12分)在平面直角坐标系 xoy 中，角〉以ox 为始边，终边与单位圆 o 的交点B3在第一象限， 且B 的横坐标为35(1 )求sin ：•的值；(2)若点P(2, m)为角〉终边上一点，求 m 的值.TCQJI JT20.(本小题12分)已知cos(x ),X ・(一，一)410 4 2(1) 求sin x 的值；n(2) 求sin(2x )的值.321.(本小题12分)函数f(x)二As in (「x」J(A 0^ 0,| '：：：二)的部分图象如图所示(1)求函数f (x)的解析式;(2)求函数f(x)的单调递增区间.22.(本小题12分)已知函数f(x)=2・..3sin xcosx 2sin2x_1.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求f (x)在区间卩,才I上的最大值和最小值.答案选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一.填空题：本题共4小题，每小题5分共20分，把答案填在答题纸中的横线上 13. a+b 14.15.16. 三、解答题 17. （本小题10分）（1）定义域{XX式4叫®}―1(2) f () = tan -4 2sin 二 2cos 二 _ tan 二 2 cos J - 3sin r 1 -3tan18. (本小题12分)解：（1）最大值为V 2，此时{x x =二+k 兀，k 乏Z}8兀 k 兀（2）对称轴方程为 x,k ・Z8 219. （本小题12分）(1)设 B(3, y)(y 0)则 y5 54所以 sin ：-=—5(2) tan二8 m = —320. (本小题12分)(1)7,2 10沁讪（XW 冷(2)21. （本小题12分）(1) A = '、2,，= 2二—，所以 f (x) =2 sin(2 x —)(2)增区间为［-5 k 二］(k ・ Z)12 1222. (本小题12分)Ji(1) f (x) = 2sin(2 x ) 6所以T = 7：二二 5 二 1 二(2)2x所以 si n(2 x )一166 6 2 6f （x ）最大值为2,最小值为-1sin2x = 24,cos2x = 257 2524 73 50sin(2 x71。
重庆市第一中学15—16学年高一4月月考数学试题(附解析)
重庆市第一中学2015-2016学年高一4月月考数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知(2,1),(,1)a b m ==-，//a b ，则m =（ ）A ．12B ．12- C ．2 D ．-2 【答案】D考点：向量共线的坐标表示 .2.在等差数列{}n a 中，235a a +=，14a =，则公差d 等于（ ）A ．-1B ．0C ．12 D ．1 【答案】A【解析】试题分析：等差数列中()11n a a n d =+-，由235a a +=得1125a d a d +++=，解得1d =-.考点：等差数列的通项公式.3.已知2sin 3α=，则cos(2)πα+等于（ ） A ．19 B ．19- C ．59 D ．59- 【答案】B【解析】试题分析：()21cos(2)cos 212sin 9πααα+=-=--=-. 考点：1、诱导公式；2、同角三角函数基本关系式；3、倍角公式.4.已知正方形ABCD 的边长为2，点E 是AB 边上的中点，则DE DC ∙的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】试题分析：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则()()()1,0,0,2,2,2E D C ， ()()1,22,0202DE DC ∙=-∙=+=.考点：向量数量积的坐标表示.5.等差数列{}n a 中，35a =，4822a a +=，则9a 的值为（ ）A ．14B ．17C ．19D ．21【答案】B【解析】试题分析：由等差数列的性质可知4839a a a a +=+，解得917a =.考点：等差数列的性质.6.已知函数()sin()2(0)3f x x πωω=++>的图象向右平移3π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ）A ．6B ．3C ．83 D ．43【答案】A考点：1、图象平移；2、诱导公式.7.数列{}n a 的通项公式为*cos ,2n n a n N π=∈，其前n 项和为n S ，则2016S =（ ） A ．1008 B ．-1008 C ．-1 D ．0【答案】D【解析】试题分析：由数列{}n a 的通项公式为*cos ,2n n a n N π=∈ 可知数列{}n a 是一个周期为4的周期数列，其前四项分别为0,1,0,1-，故()201650401010S =⨯-++=.考点：1、特殊角的三角函数；2、周期数列的和.8.已知函数11,02()ln ,2x f x x x x ⎧+<≤⎪=⎨⎪>⎩，如果关于x 的方程()f x k =只有一个实根，那么实数k 的取值范围是（ ）A ．32(2,)eB ．3(,)2+∞C ．32(ln 2,)e D ．3(ln 2,)2【答案】D考点：数形结合.9.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足515S =-，3172d <<，则当n S 取得最小值时n 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10【答案】C【解析】试题分析：由等差数列求和公式得251551522d d S a ⎛⎫=⨯+-⨯=- ⎪⎝⎭ ，整理得132a d =--，故 22215323222222n d d d d d d S n a n n d n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+---=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，对称轴35=2n d +，因为3172d <<，n Z ∈，故=9n 时取得最小值. 考点：1、等差数列求和公式；2、二次函数求最值. 10.已知函数2()lg2x f x x -=+，若(1)(1)f m f +<--，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．(1,0)- C ．(0,1) D ．(1,2)-【答案】C考点：1、函数的定义域；2、函数的单调性；3、函数的奇偶性.【思路点睛】解决本题的关键在于把抽象的不等式化为具体不等式，因此我们可以从函数的单调性和奇偶性入手分析，通过奇偶性把不等式的两边化为只有一个f 符号的形式，然后根据函数的单调性去掉f 符号把抽象的不等式化为具体不等式，特别需要注意的是不能丢掉函数的定义域，这样就可以通过解不等式组得到实数m 的取值范围了.11.已知正项等比数列{}n a ，满足54329a a a a +--=，则67a a +的最小值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】D【解析】试题分析：由已知54329a a a a +--= 得()()2232119a q a q -+-=，故32291a a q +=-.因此()()44267322299=911829183611a a a a q q q q q ++==-++≥⨯+=--，67a a +的最小值为36. 考点：1、等比数列的通项公式；2、分式函数求最值.【思路点睛】首先利用已知条件把正项等比数列{}n a 的各项用32a a q ，，表示出来，减少变量的个数，得到32291a a q +=-；然后再把67a a +也用32a a q ，，表示出来()46732=a a a a q ++，代入32291a a q +=-得()44673229=1a a a a q q q ++=-，分离q 得()2672991181a a q q +=-++-，最后利用均值不等式求得67a a +的最小值为36.12.设向量2(2,2)OA x x α=+，(,sin cos )2y OB y αα=+，其中,,x y α为实数，若2OA OB =，则x y的取值范围为（ ） A ．[6,1]- B ．[1,6]- C ．[4,8] D ．(,1]-∞【答案】A考点：1、向量相等的坐标表示，2、三角函数的有界性；3、三角恒等变换.【思路点睛】首先利用向量相等的定义得到关于,x y 的方程组，把x 用y 表示出来，然后利用三角恒等变换把2x y -化为一个角的一种三角函数的形式2sin 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用三角函数的有界性得到2x y -的范围，把x 用y 表示出来得到关于y 的不等式组，求得y 的范围，而222=2x y y y y --，进一步去求x y的范围就可以了.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.设全集U R =，集合2{|log 1}A x x =≥，2{|230}B x x x =--<，则A B = .【答案】[2,3)考点：1、对数不等式；2、二次不等式；3、集合运算.14.已知||1a =，||3b =，||1a b -=，则a 与b 的夹角为 . 【答案】6π 【解析】试题分析：()2||1a b a b -=-= ，所以()21a b -=，即2221a a b b -+=，解得2a b =，cos 6πθθ==. 考点：1、向量的模；2、向量的数量积.15.数列1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，，则35是该数列的第 项. 【答案】24【解析】试题分析：从这个数列的规律看，我们可以把数列的项分组.第一组，当1n =时，只有1项；当2n =时，有2项；当3n =时，有3项每组中分子从1到n 而分母则从n 到1.我们知道如果出现35，那么7n =，也就是第七组的第三项. 接下来就要算具体个数， 由此我们就知道了，每次排列的个数为n 个，所以35出现是数列的第123456324++++++=项 . 考点：数列求通项.【方法点睛】先运用观察法仔细寻找这个数列的各项的变换规律，抓住它们的特征，进一步可以把数列的项分组，使看起来毫无规律可循的项特征明确起来.每一组的特征比较明显，变化规律也比较容易掌握，这样就容易知道35出现在第几组的第几个位置，那么就很容易计算出它是数列的第几项了.把数列中的项分组是解决此类问题的关键.16. 如图，在ABC ∆中，D 是线段BC 上的一点，且4BC BD =，过点D 的直线分别交直线,AB AC于点,M N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则3λμ+的最小值是 .【答案】3考点： 1、向量的概念及几何表示；2、向量数乘运算及几何意义；3、向量数量积的含义及几何意义.【方法点睛】由向量减法法则可知,BC AC AB BD AD AB =-=-，代入已知条件4BC BD =得到+3=4AC AB AD ，再把已知条件AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>代入得到1344AN AM AD u λ+=，根据,,B D C 三点共线得13144u λ+=，利用均值不等式得到34u λ≥，而3λμ+≥≥，从而求得3λμ+的最小值是3. 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（10分）已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且111a b ==，2322b b a +=，3232a b -=.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n S 和n T 的值.【答案】（1）13n n a -=，4133n b n =-；（2）1(31)2n n S =-，22133n T n n =+.考点：1、等差数列、等比数列的通项公式；2、等差数列、等比数列的求和公式.18.（12分）已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=.（1）求角C 的值；（2）若4,7c a b =+=，求ABC S ∆的值.【答案】（1）3C π=；（2. 【解析】考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、面积公式；4、诱导公式.19.（12分） 已知向量(sin ,cos())4m x x π=+，(cos ,cos())4n x x π=-+，且()f x m n =∙. （1）求()f x 的单调递增区间； （2）若函数23()()2sin 2g x f x x m =--+在区间[,]44ππ-上有零点，求m 的取值范围.【答案】（1）[,],44k k k Z ππππ-+∈；（2）[-. 【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换把()f x 化为一个角的一种三角函数，进一步求()f x 的单调递增区间；（2）利用三角恒等变换把()g x 化为一个角的一种三角函数，()g x 有零点，即函数)4y x π=+与y m =图象有交点.函数)4y x π=+在区间[,]44ππ-上的值域为[-，由图象可得m 的取值范围.试题解析：（1）由2()sin cos cos ()4f x m n x x x π=∙=-+11sin 2[1cos(2)]222x x π=-++ 111sin 2sin 2222x x =-+ 1sin 22x =- 由222,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈，得,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，则()f x 的递增区间为[,],44k k k Z ππππ-+∈.（2）13()sin 2(1cos 2))224g x x x m x m π=----+=+-，()g x 有零点，即函数)4y x π=+与y m =图像有交点，函数)4y x π=+在区间[,]44ππ-上的值域为[-，由图象可得，m 的取值范围为[-.考点：1、三角恒等变换；2、三角函数的图象与性质.20.（12分）已知向量,,a b c ，满足||4,||2a b ==，0a b ∙=，()()0c a c b -∙-=.（1）求|2|a b -的值；（2）求||c 的最大值.【答案】（1）；（2）∴22(2)(1)5x y -+-=，令2x θ=+，1y θ=+，则2||c x y =+===≤=故||c 的最大值为考点：1、向量的坐标表示；2、向量模的坐标表示；3、向量数列积的坐标表示.21.（12分）已知函数2()2(0)g x ax ax b a =-+>在区间[1,3]上有最大值5，最小值1；设()()g x f x x=. （1）求,a b 的值；（2）若2(|lg 1|)31|lg 1|f x k k x -+∙-≥-对任意[1,10)(10,100]x ∈恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）12a b =⎧⎨=⎩；（2）[1,0]-.试题解析：（1）2()(1)g x a x b a =-+-，因为0a >，所以()g x 在区间[1,3]上是增函数， 故(1)1(3)5g g =⎧⎨=⎩，解得12a b =⎧⎨=⎩.考点：1、二次函数的性质；2、换元法；3、反比例函数的性质.【方法点晴】（1）根据二次函数的性质得到关于,a b 的方程组，求出,a b 的值；（2）把2()2f x x x=+-代入已知条件22|lg 1|231|lg 1||lg 1|k x k x x -+-+-≥--化简整理得22|lg 1|231|lg 1||lg 1|k x k x x -+-+-≥--，利用换元法令|lg 1|t x =-，(0,1]t ∈，22330k t k t++--≥对任意(0,1]t ∈恒成立，得到关于t 的函数22()33k h t t k t+=+--，(0,1]t ∈，分1k =-，1k <-和 1k >-三种情况求得k 的取值范围为[1,0]-.22.（12分）已知,A B 是函数21()log 21x f x x =+-的图象上任意两点，且1()2OM OA OB =+，点1(,)2M m . （1）求m 的值；（2）若121()()()n n S f f f n n n-=+++，*n N ∈，且2n ≥，求n S ； （3）已知1,12,2n n n a S n ⎧=⎪=⎨⎪≥⎩，其中*n N ∈，n T 为数列{}n a 的前n 项和，若1(1)n n T S λ+>+对一切*n N ∈都成立，试求λ的取值范围.【答案】（1）12m =；（2）12n n S -=(2,)n n N ≥∈；（3）1(,)3-∞. （2）由（1）知：121x x +=，1212()()1f x f x y y +=+=，121()()()n n S f f f n nn -=+++，121()()()n n n S f f f n n n--=+++， 两式相加，得：1122112[()()][()()][()()]n n n n S f f f f f f n n n nn n ---=++++++ 11111n n -=+++=-∴12n n S -=(2,)n n N ≥∈.考点：1、中点坐标公式；2、倒序相加求数列的和；3、均值不等式.【方法点晴】（1）利用中点坐标公式得121x x +=，则121x x =-，211x x =-，进一步把12y y ，用12x x ，表示，求得m 的值；（2）由（1）知：121x x +=，1212()()1f x f x y y +=+=，121()()()n n S f f f n n n-=+++，故利用倒序相加法求n S ；（3）先求数列{}n a 的前n 项和n T ，得到n λ、的关系式，分离λ，进一步利用不等式的性质求λ的取值范围.。
河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题
河南省新乡市原阳县第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知平面向量a=−2,0，b=−1,−1，则12a−2b等于（）A．1,2B．−1,−2C．−1,2D．1,−22．如图，在△ABC中，D是线段BC上的一点，且BC=4BD，过点D的直线分别交直线AB，AC于点M，N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则μ−1λ的最小值是（）A．23−43B．23+43C．233−7D．23+233．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若AB=a，AD=b，E 为BF的中点，则AE=（）A．45a+25b B．25a+45bC．43a+23b D．23a+43b4．设f x=ax2+bx+c（a、b、c∈R）.已知关于x的方程f x=x有纯虚数根，则关于x的方程f f x=x的解的情况，下列描述正确的是（）A．方程只有虚根解，其中两个是纯虚根B．可能方程有四个实数根的解C．可能有两个实数根，两个纯虚数根D．可能方程没有纯虚数根的解5．已知a=1,m与b=n,−4共线，且向量b与向量c=2,3垂直，则m+n=（）A．152B．163C．−103D．−26．已知非零向量a,b满足 a+2b=7a=7 b，则 a,b=（）A．π6B．π4C．π3D．2π37．图，四边形ABCD的斜二测画法直观图为等腰梯形A′B′C′D′．已知A′B′=4，C′D′=2，则下列说法正确的是（）A．AB=2B．A′D′=22C．四边形ABCD的周长为4+22+23D．四边形ABCD的面积为628．在ΔABC中，点P满足BP=3PC，过点P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点M、N，若AM=λAB，AN=μACλ>0,μ>0，则λ+μ的最小值为A．22+1B．32+1C．32D．52二、多选题9．给出下列四个命题，其中正确的是（）A．非零向量a、b满足|a|=|b|=|a−b|，则a与a−b的夹角是120°B．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，a=6，若满足条件的△ABC有两个，则b的取值范围为6<b<22C．若单位向量a、b，夹角为120°，则当|2a+xb|x∈R取最小值时x=1D．已知OA =3,−4，OB =6,−3，OC =5−m,−3−m，若∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是m>−3410．设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,3(a cos C+c cos A)=2b sin B，且∠CAB=π3.若点D是△ABC外一点，DC=1,DA=3，下列说法中，正确的命题是（）A．△ABC的内角B=π3B．△ABC一定是等边三角形C．四边形ABCD面积的最大值为532+3D．四边形ABCD面积无最大值11．在三角形ABC中，令CB=a，AC=b，若a+b=e1，a−2b=e2，e1=e2=1，e1⋅e2=12，则（）A．e1,e2的夹角为π3B．a=2e1+e23，b=e1 −e23C．a//bD．三角形ABC的AB边上的中线长为76三、填空题12．复数Z=log2(a−1)+i⋅log2a2−2a−2是实数，则a=.13．设圆台的高为3，如图，在轴截面A1B1BA中，∠A1AB＝60°，AA1⊥A1B，则圆台的体积为.14．已知平面向量α,β(α≠0,α≠β)满足|β|=1，且α与β−α的夹角为120°，则|α|的取值范围是__________________ .四、解答题c+2=a cos C.15．设a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，已知b=2，12(1)求A的值；(2)若5AD=2AB+3AC，CD=b，求c的值.16．已知向量a=3sin x,cos x ,b=cos x,cos x，设函数f x=a⋅b.上的单调增区间；(1)求f x在0,π2,f x−1≤m恒成立，求m的取值范围.(2)若对任意x∈0,π217．如图，在几何体中，四边形ABCD为菱形，对角线AC与BD的交点为O，四边形DCEF为梯形，DC∥EF.(1)若DC=2EF，求证：OE//平面ADF；(2)若FB=FD，求证：平面AFC⊥平面ABCD.18．如图，在△ABC中，CA=3，CB=4，∠ACB=60°，CH为AB边上的高.(1)求CH的长；(2)设CM=mCB，0<m<1.①若CH⋅MA=9，求实数m的值；②求MH⋅MA的最小值.19．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD,AD∥BC,AD=6,BC=2AB=4，E，F分别在BC，AD上，EF∥AB，现将四边形ABCD沿EF折起，使BE⊥EC．(1)若BE=3，在折叠后的线段AD上是否存在一点P，使得CP//平面ABEF？若存在，求出APPD 的值；若不存在，说明理由．(2)求三棱锥A−CDF的体积的最大值，并求出此时点F到平面ACD的距离．。
2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题(解析版)
2021-2022学年河南省周口市太康县第一高级中学高一下学期4月月考数学试题一、单选题 1．复数1i1i+-（i 为虚数单位）的共轭复数的虚部等于（ ） A ．1 B ．1- C ．i D ．i -【答案】B 【分析】先对复数1i1i+-化简，再求其共轭复数，从而可求得答案 【详解】因为()()()221i 1i 12i i i 1i 1i 1i 2++++===--+， 所以其共轭复数为i -，则其虚部为1-， 故选：B2．设向量a ＝(1，－2)，向量b ＝(－3，4)，向量c ＝(3，2)，则向量()2a b c +⋅=（ ） A ．(－15，12) B ．0C ．－3D ．－11【答案】C【分析】根据向量的坐标运算求得正确答案. 【详解】()()()25,63,215123a b c +⋅=-⋅=-+=-. 故选：C3．已知正ABC ，则ABC 的直观图111A B C △的面积为（ ）A B C ．D 【答案】D【分析】根据斜二测画法中直观图与原图形面积关系计算．【详解】由题意21sin 26ABCSπ=⨯⨯=，所以直观图111A B C △的面积为S ==故选：D ．4，且它的侧面展开图是一个半圆，则它的母线长为（ ） A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】C【分析】由圆锥的体积公式，半圆弧长和半径的关系，圆锥母线长、底圆半径和高的关系，联立即可求解.【详解】如图，圆锥的体积21333V r h ππ== ①，由侧面展开图是一个半圆得2l r ππ= ②， 又222r h l += ③，联立①②③，即可解得2l =. 故选：C552，则该四棱锥的内切球的表面积为（ ） A ．π B ．3π C ．43π D ．4π【答案】C【分析】在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，由正四棱锥的性质和三角形知识求得6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，求得3r =. 【详解】解：在正四棱锥P -ABCD 中，连接AC 、BD ，交于点H ，取BC 的中点G ，连接HG 、PH 、PG ，如下图所示，则PH ⊥面ABCD ，PG BC ⊥52，所以()2222512PG PB BG --，2222213PH PG HG --所以在Rt PHG △中，1sin 2HG HPG PG ∠==，所以6HPG π∠=，设该四棱锥的内切球的半径为r ，设内切球的球心为O ，过点O 作OQ PG ⊥，则,2OH OQ r PO r ===，所以+33PO OH r ==3r =所以该四棱锥的内切球的表面积为22344433S r πππ⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭， 故选：C.6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A －b sin B =4c sin C ，cos A =－14，则bc =A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【分析】利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，在结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 【详解】详解：由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得 22222141313cos ,,,464224242b c a c c c b A bc bc b c +---==∴=-∴=∴=⨯=，故选A ． 【点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．7．若向量()2cos ,2sin a θθ=，,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,1b =-，则a 与b 的夹角为（ ）A ．32πθ- B ．2πθ+ C ．2πθ- D ．θ【答案】A【分析】根据平面向量数量积的坐标表示公式，结合诱导公式、余弦函数的单调性进行求解即可. 【详解】设a 与b 的夹角为α， 所以2sin 3cos sin cos 212a b a bθπαθθ⋅-⎛⎫===-=- ⎪⨯⎝⎭⋅， 因为,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以3,22ππθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，而[0,]απ∈，函数cos y x =在[0,]x π∈上是单调递减函数，所以32παθ=-， 故选：A8．在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2cos c a B =，则三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知的式子统一成角的形式，再利用三角函数恒等变换公式化简变形即可判断三角形的形状 【详解】因为2cos c a B =，所以由正弦定理得sin 2sin cos C A B =,所以()()sin sin 2sin cos A B A B A B π⎡⎤-+=+=⎣⎦， 所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=， 所以sin cos cos sin 0A B A B -=， 所以in 0()s A B -=，因为,(0,)A B π∈，所以(,)A B ππ-∈-， 所以0A B -=，所以A B =， 所以ABC 为等腰三角形， 故选：C9．在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】D【分析】由题意结合向量共线的充分必要条件首先确定,m n 的关系，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果.【详解】由题意可知：3AP mAB nAC mAB nAE =+=+， ,,P B E 三点共线，则：31m n +=，据此有：()3131936612n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当11,26m n ==时等号成立.综上可得：31m n+的最小值是12. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查三点共线的充分必要条件，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为 A ．123 B ．183C ．243D ．543【答案】B【详解】分析：作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得． 详解：如图所示，点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点， 当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大 此时，OD OB R 4=== 233ABCSAB ==AB 6∴=,点M 为三角形ABC 的中心 2BM 233BE ∴==Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM -=DM OD OM 426∴=+=+=()max 19361833D ABC V -∴=⨯=故选B.点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233BE ==OM ，进而得到结果，属于较难题型． 11．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点E 、F 分别是棱BC ，1CC 的中点，P 是侧面11BCC B 内一点，若1//A P 平面AEF ，则线段1A P 长度的取值范围是（ ）A ．52,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．325,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．32,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．5,222⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】分别取棱1BB 、11B C 的中点M 、N ，连接MN ，易证平面1//A MN 平面AEF ，由题意知点P 必在线段MN 上，由此可判断P 在M 或N 处时1A P 最长，位于线段MN 中点处时最短，通过解直角三角形即可求得．【详解】如下图所示，分别取棱1BB ，11B C 的中点M 、N ，连MN ，1BC ，M ，N ，E ，F 分别为所在棱的中点，则1//MN BC ，1//EF BC ，//MN EF ∴，又MN ⊄平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，//MN ∴平面AEF .1//AA NE ，1AA NE =， ∴四边形1AENA 为平行四边形，1//A N AE ∴，又1A N ⊄平面AEF ，AE ⊂平面AEF ，1//A N ∴平面AEF ， 又1A NMN N =，∴平面1//A MN 平面AEF .P 是侧面11BCC B 内一点，且1//A P 平面AEF ， ∴点P 必在线段MN 上.在11Rt A B M ∆中，1A M同理，在11Rt A B N ∆中，可得1A N 1A MN ∴∆为等腰三角形.当点P 为MN 中点O 时，1A P MN ⊥，此时1A P 最短；点P 位于M 、N 处时，1A P 最长.1AO A ==11AM A N =∴线段1A P 长度的取值范围是2⎡⎢⎣. 故选：C.【点睛】本题考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题，解决本题的关键是通过构造平行平面寻找P 点位置．12．体积为216的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是线段11D C 的中点，点N 在线段11B C 上，//MN BD ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面AMN 所截得的截面面积为（ ）A B C D 【答案】B【解析】根据体积求出正方体棱长，根据面面平行性质补齐截面图形即可求解面积. 【详解】依题意得，N 是11B C 的中点，3216AB =， 则6AB =，延长11A D 直线MN 于P ，延长11A B 交直线MN 于Q ， 连接AP 交1DD 于E ，连接AQ 交1BB 于F ， 作出截面AFNME 如下图所示，则,AFNME AEFMNFE S SS =+AEF △中，13,AE AF ==62EF =故AEF △的面积12S EF h =⋅⋅=162342⨯617=四边形MNFE 的面积 134(322)2S =917=， 2117. 故选:B.【点睛】此题考查面面平行的性质的应用，根据性质补齐截面图形.二、填空题13．已知向量()=1,2a ，()=2,2b -，()=1,c λ．若()2+c a b ，则λ=________．【答案】12【分析】由两向量共线的坐标关系计算即可． 【详解】由题可得()24,2a b +=()//2,c a b + ()1,c λ=4λ20∴-=,即1λ2=故答案为12【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．14．正三棱锥-P ABC 的侧棱长为2，30APB APC BPC ∠=∠=∠=︒．E ，F 分别是BP 、CP 上的点，AEF △周长的最小值____．【答案】22【分析】作出三棱锥的侧面展开图，利用数形结合思想求出AEF △周长的最小值． 【详解】解：作出该三棱锥的侧面展开图，如图所示：AEF △的周长即为AE 、EF 、FA 三者的和，从图中可见：为使三角形AEF 的周长的值最小， 只需让A 、E 、F 、A '四点共线即可；根据题中给出的条件知：30APB BPC CPA '∠=∠=∠=︒，90APA '∴∠=︒，222222AA '=+ AEF ∴周长的最小值为2故答案为：2215．已知复数2i -在复平面内对应的点为P ，复数z 满足|i |1z -=，则P 与z 对应的点Z 间的距离的最大值为________. 【答案】221##122+【分析】求出P 点到i 对应点的距离，再加上半径1可得． 【详解】由题意复数z 对应点是以i 对应点为圆心，1为半径的圆，222i i 22i 2(2)22--=-=+-= 所以max 221PZ =． 故答案为：221．16．在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，若2sin (2)tan c B a c C =+，sin sin 3sin b A C B =，则ac 的最小值为________． 【答案】12【分析】利用正弦定理及和角公式可得23B π=，再结合条件及正弦定理可得2ac b =，然后利用余弦定理及基本不等式即求.【详解】∵在△ABC 中，角A B C ，，所对的边分别是a b c ，，，2sin (2)tan c B a c C =+， ∴sin 2sin sin (2sin sin )cos CC B A C C=+， ∴()2sin cos 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A C B C C B C B C C =+=++=++， ∴2cos sin sin 0B C C +=，即1cos 2B =-，()0,B π∈，∴23B π=， 因为23sin sin 3sin 2sin 2sin 2b A C B B B ==⨯=， ∴22bac b =，即2ac b =，又222222cos b a c ac B a c ac =+-=++，∴22222ac a c ac ac ac ⎛⎫=++≥+ ⎪⎝⎭，即12ac ≥，当且仅当a c =时取等号， ∴ac 的最小值为为12. 故答案为：12.【点睛】关键点点睛：本题的关键时利用边角互化，把23sin sin 2sin 2sin 2b A C B B =⨯=化为2ac b =，再利用余弦定理及基本不等式即求.三、解答题17．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，S 是11B D 的中点，,,E F G 分别是,,BC DC SC 的中点，求证：(1)//EG 平面11BDD B ；(2)平面//EFG 平面11BDD B .【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)利用线面平行的判定定理即可证明；(2)利用面面平行的判定定理证明.【详解】（1）如图，连接SB ，∵,E G 分别是,BC SC 的中点，∴//EG SB .又∵SB ⊆平面11BDD B ，EG ⊄平面11BDD B ，∴直线//EG 平面11BDD B .（2）连接SD ，∵,F G 分别是,DC SC 的中点，∴//FG SD .又∵SD ⊆平面11BDD B ，FG ⊄平面11BDD B ，∴//FG 平面11BDD B ，由(1)知，//EG 平面11BDD B ，且EG ⊆平面EFG ，FG ⊆平面EFG ，EGFG G =，∴平面EFG ∥平面11BDD B .18．如图，在直角△ABC 中，点D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，点E 为AD 的中点，||3AB →=，6AC =.(1)用,AB AC →→表示AD →和EB ；(2)求向量EB 与EC →夹角的余弦值.【答案】(1)2133AD AB AC →→→=+，2136EB AB AC →→→=- (2)7130【分析】（1）由平面向量的线性运算法则求解；（2）以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算．【详解】（1）∵D 为斜边BC 的靠近点B 的三等分点，∴11()33BD BC AC AB ==- ∴2133AD AB BD AB AC =+=+， ∵E 为AD 的中点，∴12AE AD =， ∴112121()223336EB AB AE AB AD AB AB AC AB AC =-=-=-+=- （2）1536EC AC AE AB AC =-=-+， 如图，以,AC AB →→所在的方向分别为x 轴，y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，则(0,3),(6,0)B C ，∴21(1,2)36EB AB AC =-=-，15(5,1)36EC AB AC =-+=-， ∴(1)52(1)7EB EC ⋅=-⨯+⨯-=-，145,25126EB EC =+==+=7130cos ,||526EB EC EB EC EB EC ⋅===⋅⋅19．如图所示，四边形ABCD 是直角梯形，其中AD AB ⊥，//AD BC ，若将图中阴影部分绕AB 旋转一周.（1）求阴影部分形成的几何体的表面积.（2）求阴影部分形成的几何体的体积.【答案】（1）68π；（2）1403π. 【解析】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，求面积之和即可；（2）该几何体为圆台去掉一个半球，根据圆台、球的体积公式求解即可.【详解】（1）由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，214282S ππ=⨯⨯=半球， 22(25)4(52)35S ππ=++-=圆台侧，2525S ππ=⨯=圆台底.故所求几何体的表面积为8352568ππππ++=.（2）()()2222122554523V πππππ⎡⎤=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=⎢⎥⎣⎦圆台， 341162323V ππ=⨯⨯=半球， 所求几何体体积为161405233V V πππ-=-=圆台半球. 【点睛】本题主要考查了旋转体的表面积与体积，考查了台体与球的面积、体积公式，属于中档题. 20．已知圆锥的侧面展开图为半圆，母线长为3（1）求圆锥的底面积；（2）在该圆锥内按如图所示放置一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，求圆柱的体积.【答案】（1）3π；（2）98π. 【解析】（1）先由圆的周长公式求出圆锥的底面圆的半径，再求圆锥的底面积；（2）圆柱的高1OO h =，OD r =，再由11AO D △AOB 求出,h r 的关系式，进而得出圆柱的侧面积，再结合二次函数的性质以及圆柱的体积公式求解即可.【详解】解：（1）沿母线AB 剪开，侧展图如图所示：设OB R =，在半圆⊙A 中，23AB = 弧长'23BB π=，这是圆锥的底面周长，所以223R ππ=，所以3R故圆锥的底面积为23S R ππ==圆锥；（2）设圆柱的高1OO h =，OD r =，在Rt AOB 中，223AO AB OB -=，11AO D △AOB ，所以111AO O D AO OB=，即33h -3h =，222(3)()S rh r r ππ===-圆柱侧面积，2r ⎛=-+ ⎝⎭，所以，当r =32h =时，圆柱的侧面积最大， 此时298V r h ππ==圆柱.【点睛】关键点睛：在第一问中，关键是由圆锥底面圆的周长与侧面展开扇形的弧长相等，从而求出圆锥底面圆的半径.21．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++. （1）求角C 的大小；（2）若c =ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2 【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出.【详解】（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab +-=- 由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-， 又20,3C C ππ<<∴=. （2）2,2sin ,2sin sin sin sin sin 3a b c a A b B A B C====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦20,,sin 133333A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭， 2sin 23A π⎛⎫∴+ ⎪⎝⎭ ABC ∴∆周长的取值范围是(2.【点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题.22．已知正方体1111ABCD A B C D -中，P ､Q 分别为对角线BD ､1CD 上的点，且123CQ BP QD PD ==．（1）求证：//PQ 平面11A D DA ； （2）若R 是AB 上的点，AR AB的值为多少时，能使平面//PQR 平面11A D DA ？请给出证明． 【答案】（1）证明见解析；（2）AR AB的值为35，证明见解析． 【分析】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，证明//BC AD ，1//PQ MD ，又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊂/平面11A D DA ，证明//PQ 平面11A D DA ；（2）R 是AB 上的点，当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ，通过证明//PR 平面11A D DA ，又PQ R P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．然后证明即可．【详解】（1）连结CP 并延长与DA 的延长线交于M 点，因为四边形ABCD 为正方形，所以//BC AD ，故~PBC PDM △△，所以23CP BP PM PD ==， 又因为123CQ BP QD PD ==，所以123CQ CP QD PM ==， 所以1//PQ MD ．又1MD ⊂平面11A D DA ，PQ ⊄平面11A D DA ，故//PQ 平面11A D DA ．（2）当AR AB的值为35时，能使平面//PQR 平面11A D DA ．证明：因为35AR AB =， 即有23BR RA =， 故BR BP RA PD=． 所以//PR DA ．又DA ⊂平面11A D DA ，PR ⊄平面11A D DA ，所以//PR 平面11A D DA ，又PQ PR P ⋂=，//PQ 平面11A D DA ．所以平面//PQR 平面11A D DA ．【点睛】本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．。
山东省济宁市2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学含答案
济宁市2023-2024学年度第二学期阶段性测试数学试卷（答案在最后）注意事项：考试时间：120分钟满分：150分1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量()1,a t =，()3,9b =，若//a b r r，则t =（）A.1B.2C.3D.42.若tan 2θ=-，则1sin 2πsin 4θθθ-=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32-D.323.已知点E 为平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，且2DE BE =，则AE =（）A.2133AB AD+B.2133AB AD - C.1233AB AD+ D.1323AB AD-4.若向量a ，b满足2a = ，1b = ，()26a b a +⋅= ，则cos ,a b = （）．A.32B.12C.12-D.5.若函数()()sin 0x f x x ωωω=->的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（）A.32B.2C.52D.36.若1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则A.9-B.79-C.79D.97.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位8.已知点G 为ABC 的重心，,D E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AE λμ=+ ，则14λμ+的最小值为（）A.272B.7C.92D.6二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.在ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，则下列结论正确的是（）A.AB BC CA-= B.()13=+AO AB ACC.0AD BE CF ++=D.0OA OB OC ++=10.与向量()6,8=-a 共线的单位向量的坐标为（）A .45,35⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.45,35⎛⎫-⎪⎝⎭C .34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫⎪⎝⎭D.若向量m 、n满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n += 第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，若30A ∠=︒，a =14c =，则C =________．13.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b的夹角为60︒，则2a b += ______.14.已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM AN ⋅的最大值为______．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=-．（1）若()a b +r r ∥()2a c -，求实数t 的值；（2）若()a b c ⊥+ ，求a 与b夹角的余弦值．16.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC的夹角；（2）若⊥AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．17.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．（1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =，求a 、b 的值．18.已知向量(cos a x = ，()1,sin b x = ，函数()1f x a b =⋅+．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()23g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()g x 的最值．19.已知函数2211()cos sin cos 222222x x x xf x =-+（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象.若方程2()1g x m -=在[0,2x π∈上有两个不同的解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12tan()x x 的值.济宁市2023-2024学年度第二学期阶段性测试数学试卷注意事项：考试时间：120分钟满分：150分1.答题前填写好自己的姓名､班级､考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知向量()1,a t =，()3,9b =，若//a b r r，则t =（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量共线的坐标表示可得出关于实数t 的等式，即可得解.【详解】因为//a b r r，则39t =，解得3t =.故选：C.2.若tan 2θ=-，则1sin 2πsin 4θθθ-=⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭（）A.12B.12-C.32-D.32【答案】D 【解析】【分析】利用三角恒等变换与同角三角函数关系，弦切互化得含tan θ的式子再代入即可解出答案．【详解】()()()2212sin cos 1sin 2sin cos 2sin cos πsin sin cos sin sin cos sin 4θθθθθθθθθθθθθθθ--+-==--⎛⎫- ⎪⎝⎭()()2sin cos sin cos 11sin sin cos sin tan θθθθθθθθθ--===--，∵tan 2θ=-，1131=1=tanθ22-+\，故选：D3.已知点E 为平行四边形ABCD 对角线BD 上一点，且2DE BE =，则AE =（）A.2133AB AD+B.2133AB AD -C.1233AB AD+D.1323AB AD-【答案】A 【解析】【分析】根据条件，利用向量的线性运算即可得出结果.【详解】因为AE AD DE =+，又2DE BE =，所以2221()3333AE AD DB AD AB AD AB AD =+=+-=+.故选：A.4.若向量a ，b满足2a = ，1b = ，()26a b a +⋅= ，则cos ,a b = （）．A.2B.12C.12-D.2【答案】B 【解析】【分析】将()26a b a +⋅= 展开，利用数量积的定义以及2a = ，1b =即可求解.【详解】由()26a b a +⋅= 可得：226a a b +⋅=，即22cos ,6a a b a b +⋅=，将2a = ，1b = 代入可得：2222cos ,6a b +⨯= ，所以1cos ,2a b = ，故选：B5.若函数()()sin 0x f x x ωωω=->的图象的一条对称轴为3x π=，则ω的最小值为（）A.32B.2C.52D.3【答案】C 【解析】【分析】由对称轴为3x π=可知3f π⎛⎫⎪⎝⎭为最大值或最小值，即可求解.【详解】∵()12sin cos 2sin 223f x x x x πωωω⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且函数()f x 的图象的一条对称轴为3x π=，∴当3x π=时，()2sin 333f x f πππω⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭取最大值或最小值，∴,332k k πππωπ-=+∈Z ，∴53,2k k ω=+∈Z ，∵0ω>，∴ω的最小值为52.故选：C.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，属于中档题.6.若1cos 23πα⎛⎫-=-⎪⎝⎭，则A.9-B.79-C.79D.9【答案】B 【解析】【详解】试题分析：由1cos 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭得，则，故选B.考点：（1）诱导公式；（2）二倍角公式.7.函数sin(2)3y x π=+的图象可由函数cos y x =的图象A.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍,再向左平移6π个单位B.先把各点的横坐标缩短到原来的12倍，再向右平移12π个单位C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移6π个单位D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移12π个单位【答案】B 【解析】【详解】分析：由函数sin 2cos 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再由伸缩平移变换可得解.详解：由函数sin 2cos 2cos 2366y x y x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.只需将函数cos y x =的图象各点的横坐标缩短到原来的12倍，得到cos2y x =；再向右平移12π个单位得到：cos2 cos 2126y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B.点睛：1．利用变换作图法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，若“先伸缩，再平移”，容易误认为平移单位仍是|φ|，就会得到错误答案．这是因为两种变换次序不同，相位变换是有区别的．例如，不少同学认为函数y ＝sin 2x 的图象向左平移6π个单位得到的是y ＝sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象，这是初学者容易犯的错误．事实上，将y ＝sin 2x 的图象向左平移6π个单位应得到y ＝sin 2(x ＋6π)，即y ＝sin(2x ＋3π)的图象．2．平移变换和周期变换都只对自变量“x ”发生变化，而不是对“角”，即平移多少是指自变量“x ”的变化，x 系数为1，而不是对“ωx ＋φ”而言；周期变换也是只涉及自变量x 的系数改变，而不涉及φ.要通过错例辨析，杜绝错误发生．8.已知点G 为ABC 的重心，,D E 分别为AB ，AC 边上一点，D ，G ，E 三点共线，F 为BC 的中点，若AF AD AE λμ=+ ，则14λμ+的最小值为（）A.272B.7C.92D.6【答案】D 【解析】【分析】重心为三条中线的交点，把中线分成了2:1，即23AG AF =，由三点共线定理可知()213AG AF mAD m AE ==+- ，所以32m λ=，()312m μ=-.得(]3,,0,12λμλμ+=∈.再利用基本不等式解决最值问题即可.【详解】因为点G 为ABC 的重心，所以23AG AF =，则32AF AG = .因为,,D G E 三点共线，()213AG AF mAD m AE ==+-，所以32m λ=，()312m μ=-.所以(]3,,0,12λμλμ+=∈.所以()(14142242556333μλλμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫+=++⋅=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4μλλμ=，即1μ=，12λ=时，等号成立，故14λμ+的最小值为6.故选：D二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分9.在ABC 中，AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，则下列结论正确的是（）A.AB BC CA-=B.()13=+AO AB AC C.0AD BE CF ++=D.0OA OB OC ++=【答案】BCD 【解析】【分析】根据三角形重心的性质，结合向量加法和减法法则进行即可即可.【详解】依题意，如图所示：因为AD ，BE ，CF 分别是BC ，CA ，AB 的中线且交于点O ，所以O 是ABC 的重心.对于A ：若AB BC CA -= ，则AB BC CA =+ ，因为BA BC CA =+，所以BA AB =，显然不成立，故A 错误；对于B ：()()22113323AO AD AB AC AB AC ==⨯⨯+=+，故B 正确；对于C ：()()()111222AD BE C AB AC BA F BC CA CB =+++++++()()()1110222AB BA AC CA BC CB =+++++=，故C 正确；对于D ：222333OA OB OC AD BE CF++=---()220033AD BE CF =-++=-=，故D 正确.故选：BCD.10.与向量()6,8=-a 共线的单位向量的坐标为（）A.45,35⎛⎫⎪⎝⎭ B.45,35⎛⎫-⎪⎝⎭C.34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D.34,55⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】CD 【解析】【分析】与a共线的单位向量为a a± ，求出答案.【详解】与()6,8=- a 共线的单位向量为()6,834,1055a a-⎛⎫==- ⎪⎝⎭或()6,834,1055a a-⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.故选：CD11.下列四个命题为真命题的是（）A.若向量a 、b 、c ，满足//a b r r ，//b c ，则//a cr r B.若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则a 、b 可作为平面向量的一组基底C.若向量()5,0a = ，()4,3b = ，则a 在b 上的投影向量为1612,55⎛⎫ ⎪⎝⎭D.若向量m 、n 满足2m = ，3n = ，3m n ⋅=，则m n += 【答案】BC【解析】【分析】取0b =，可判断A 选项；利用基底的概念可判断B 选项；利用投影向量的概念可判断C 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断D 选项.【详解】对于A 选项，若0b = 且//a b r r ，//b c ，则a 、c 不一定共线，A 错；对于B 选项，若向量()1,3a =- ，()2,6b =r ，则()1623⨯≠⨯-，则a 、b 不共线，所以，a 、b可作为平面向量的一组基底，B 对；对于C 选项，因为向量()5,0a = ，()4,3b = ，所以，a 在b 上的投影向量为()2220cos ,4,325b a b a b a a b a b b b a bb⋅⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅ 1612,55⎛⎫= ⎪⎝⎭，C 对；对于D 选项，因为向量m 、n 满足2m = ，3n = ，3m n ⋅= ，则m n +== ，D 错.故选：BC.第II 卷（非选择题）三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，若30A ∠=︒，a =14c =，则C =________．【答案】45 或135【解析】【分析】根据正弦定理直接求解即可.【详解】解：根据正弦定理sin sin a c A C =得sin 2sin 2c A C a === ，因为()0,150C ∈ ，所以45C = 或135C =故答案为：45 或13513.已知向量,a b 满足2,1a b == ，,a b 的夹角为60︒，则2a b += ______.【答案】【解析】【分析】根据向量的模长公式直接代入求解即可.【详解】2a b +== ，.14.已知正方形ABCD 的边长为2，O 为对角线的交点，动点M 在线段AD 上，点M 关于点O 的对称点为点N ，则AM AN ⋅ 的最大值为______．【答案】1【解析】【分析】法一建立直角坐标系，用坐标计算AM AN ⋅ 的最值；法二用极化恒等式得22AM AN MO ⋅=- ，当MO AD ⊥时MO 最小，从而AM AN ⋅ 最大.【详解】法一：以A 为坐标原点，AB 为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设()0,M y ，则()2,2N y -，[]0,2y ∈，所以()()22111AM AN y y y ⋅=-=--+≤ ，当且仅当1y =时取得最大值．法二：由极化恒等式可得：2222AM AN AO MO MO ⋅=-=- ，当MO AD ⊥时，min 1MO =此时AM AN ⋅的最大值为1．【点睛】四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知向量()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=- ．（1）若()a b +r r ∥()2a c - ，求实数t 的值；（2）若()a b c ⊥+ ，求a 与b 夹角的余弦值．【答案】（1）23t =（2）210【解析】【分析】（1）先求出a b + 和2a c - 的坐标，再由()a b +r r ∥()2a c - 列方程可求出实数t 的值；（2）由()a b c ⊥+ ，得()0a b c ⋅+= ，求出t 的值，再利用向量的夹角公式可求得结果.【小问1详解】因为()()()1,2,,1,3,1a b t c ==-=- ，所以(1,1)a b t +=+ ，22(1,2)(3,1)(5,3)a c -=--= ，所以()a b +r r ∥()2a c - ，所以1153t +=，解得23t =；【小问2详解】因为()(),1,3,1b t c =-=- ，所以()3,0b c t +=- ，因为()a b c ⊥+ ，所以()30a b c t ⋅+=-= ，得3t =，所以()3,1b =- ，设a 与b 夹角为θ，则2cos 101491a b a bθ⋅===+⨯+ ，所以a 与b 夹角的余弦值为10.16.已知()()()4,0,0,4,cos ,sin ,(0π)A B C ααα<<．（1）若OA OC += （O 为坐标原点），求OB 与OC 的夹角；（2）若⊥ AC BC ，求33sin cos ,sin cos αααα-+的值．【答案】16.6π17.sin cos 4αα-=，33sin cos αα+47128=【解析】【分析】（1）根据向量模长以及夹角的坐标公式计算即可；（2）由向量垂直得到数量积为0，进而得到1sin cos 4αα+=，通过平方得到2sin cos αα，进而可得()2sin cos αα-，再根据α的范围确定正负，开方得解；再利用立方和公式展开33sin cos αα+，进而得解.【小问1详解】由OA OC += 得()224+cos sin 21αα+=，1cos 2α=，又0πα<<，3πα∴=，1,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设OB 与OC 的夹角为β,()0πβ≤≤，则cos OB OC OB OC β⋅= 23342==,又0πβ≤≤，故OB 与OC 的夹角β为6π.【小问2详解】由⊥ AC BC 得0AC BC ⋅=，即()()cos 4cos sin sin 40αααα-+-=，1sin cos 4αα∴+=，152sin cos 016αα-∴=<，故ππ2α<<,()21531sin cos 11616αα-∴-=-=，sin cos 4αα∴-=.又33sin cos αα+()()22sin cos sin sin cos cos αααααα=+-+1151432⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭47128=.17.已知sin()cos(2)tan(2)()3tan()cos 2f παπαπααπαπα+--=⎛⎫---- ⎪⎝⎭．（1）化简：()f α；（2）在ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边长分别是a 、b 、c ，若2c =，1()2f C =-，且ABC的面积S =，求a 、b 的值．【答案】（1）()cos f αα=-；（2）2a b ==．【解析】【分析】（1）根据诱导公式可化简()f α；（2）由（1）可得3C π=，再根据三角形的面积公式和余弦定理可求得224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解之得答案.【详解】（1）因为sin cos (tan )()cos tan sin f ααααααα--==--，所以()cos f αα=-；（2）因为1()2f C =-，即1cos 2C -=-，又0C π<<，所以3C π=，因为ABC的面积S =1sin 23S ab π==，解得4ab =，又22221cos 22a b C ab +-==，所以22+8a b =，由224+8ab a b =⎧⎨=⎩，解得22a b =⎧⎨=⎩，所以2a b ==.【点睛】本题考查运用诱导公式化简，三角形的面积公式和余弦定理的运用求解三角形，属于中档题.18.已知向量(cos a x = ，()1,sin b x = ，函数()1f x a b =⋅+ ．（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若()23g x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，求函数()g x 的最值．【答案】（1）()22,2Z 33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；（2）函数()g x1，1-．【解析】【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间求解即可．（2）通过x 的范围求出相位的范围，利用正弦函数的值域求解即可．【详解】（1）()1cos 12sin 16f x a b x x x π⎛⎫=⋅+=+=++ ⎪⎝⎭ ．由22262k x k ππππ-≤+≤π+，Z k ∈，可得22233k x k ππππ-≤≤+，Z k ∈，∴单调递增区间为：()22,2Z 33k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦．（2）若()22sin 2136g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，52663x πππ-≤-≤，即31sin 262x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，则()11g x -≤≤，所以函数()g x 的最大值、最小值分别为：1+，1-．【点睛】本题主要考查平面向量与三角恒等变换，三角函数的性质的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.已知函数2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-+（1）将函数()f x 化简成sin()A x ωϕ+的形式，并求出函数的最小正周期；（2）将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象.若方程2()1g x m -=在[0,2x π∈上有两个不同的解1x ，2x ，求实数m 的取值范围，并求12tan()x x +的值.【答案】（1）()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π（2）实数m的取值范围是)1,1，()12tan 3x x +=【解析】【分析】（1）使用三角恒等变换和辅助角公式化简()f x ，并利用2πT ω=求出最小正周期即可.（2）先使用伸缩和平移变换得到()g x ，再将方程2()1g x m -=等价变换为1()2m g x +=，由()g x 的图象和性质求出12+m 的取值范围，即可求出实数m 的取值范围，同时，利用()g x 的对称性，可求出12tan()x x +的值.【小问1详解】2211()cos sin cos 222222x x x x f x =-+221cos sin 2sin cos 222222x x x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭13cos sin 22x x =+πsin 6x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2π2π1T ==.【小问2详解】由（1）()πsin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），再向左平移π12个单位长度，得到函数()y g x =的图象，∴()πππsin 2sin 21263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由πππ2π22π232k x k -+≤+≤+，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -+≤≤+，k ∈Z ，∴()πsin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间5πππ,π1212k k ⎡⎤⎢⎥⎣++⎦-（k ∈Z ）上单调递增，同理可求得()πsin 23g x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间π7ππ,π1212k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭（k ∈Z ）上单调递减，且()g x 的图象关于直线ππ122k x =+，k ∈Z 对称，方程2()1g x m -=等价于1()2m g x +=，∴当[0,2x π∈时，方程1()2m g x +=有两个不同的解1x ，2x ，由()g x 单调性知，()g x 在区间π0,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间ππ,122⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，且()3π026g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，π112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π322g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴当1122m +≤<时，方程1()2m g x +=有两个不同的解1x ，2x ，11m ≤<，实数m 的取值范围是)1,1-.又∵()g x 的图象关于直线π12x =对称，∴12π212x x +=，即12π6x x +=，∴()12tan x x +=.。
高一数学4月月考试卷(含解析)-人教版高一全册数学试题
石室中学高2018届2015-2016学年度下期四月月考数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.函数2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象（ ） A ．关于原点对称 B ．关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线6x π=-对称3.已知函数()()sin f x x ωϕ=A +，R x ∈，0A >，0ω>，2πϕ<的图象（部分）如图，则()f x 的解析式是（ ） A ．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） B ．()2sin 26f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）C ．()2sin 3f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（R x ∈） D ．()2sin 23f x x ππ⎛⎫=+⎪⎝⎭（R x ∈）4.已知5sin 413x π⎛⎫-=⎪⎝⎭，则1cos 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．2413 B ．513 C ．1324 D ．1355.函数5sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ） A ．2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） B ．511,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）C ．32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） D ．5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ） 6.平行四边形CD AB 中，a AB =，D b A =，3C AN =N ，M 为C B 的中点，则MN =（ ）A ．1144a b -+B ．1122a b -+C ．12a b + D ．3344a b -+7.设13cos 6sin 622a =-，22tan131tan 13b =-，cos50c =，则有（ ） A ．c b a << B ．a c b << C ．a b c << D ．b c a <<8.已知20a b =≠，且关于x 的方程20x a x a b ++⋅=有实根，则a 与b 的夹角的取值X 围是（ ） A ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，sin :sin :sin C A B =C 12S ∆AB =，则C C C C AB⋅B +B ⋅A +A⋅AB 的值是（）A ．2 BC ．2-D ． 10.已知A ，B ，C 是C ∆AB 的三个内角，关于x 的方程22C cos cos cos02x x -⋅A⋅B -=有一个根为1，则C ∆AB 一定是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等腰三角形11.已知函数tan4xy π=，()2,6x ∈的图象与x 轴交于A 点，过点A 的直线与函数的图象交于B ，C 两点，则()C OB +O ⋅OA =（ ）A ．32B ．16C ．8D ．4 12.在C ∆AB 中，E ，F 分别是C A ，AB 的中点，且32C AB =A ，若CFt BE<恒成立，则t 的最小值为（ ） A ．34 B ．45 C ．67 D ．78第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.等边C ∆AB 的边长为2，则AB 在C B 方向上的投影为．14.在C ∆AB 中，已知C 8B =，C 5A =，三角形面积为12，则cos2C =． 15.设点O 是C ∆AB 的外心，13AB =，C 12A =，则C B ⋅AO =． 16.给出下列命题：①函数sin y x =在第一象限是增函数； ②在非直角C ∆AB 中，()22sinC cos A++B 的值为常数；③向量()1,2a =与向量()2,b λ=的夹角为锐角，则1λ>-； ④若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线． 其中为假命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（10分）已知向量()cos ,sin a θθ=，[]0,θπ∈，向量()3,1b =-．（I ）若a b ⊥，求θ的值；（II ）若2a b m -<恒成立，某某数m 的取值X 围．18.（10分）如图，在平面直角坐标系x y O 中，以x O 为始边做两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255．（I ）求tan α及tan β的值； （II ）求2αβ+的值．19.（12分）在C ∆AB 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，3cos 5B =，C 21AB⋅B =-． （I ）求C ∆AB 的面积； （II ）若7a =，求角C ．20.（12分）在锐角三角形C AB 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，C ∠所对应的边，向量()2223u a c b ac =+-，()cos ,sin v =B B ，且//u v ．（I ）求角B ；（II ）求sin sinC A+的取值X 围．21.（12分）如图，在平面四边形CD AB 中，D 4AB =A =，C 6B =，CD 2=，3D 4C CD 0AB⋅A +B⋅=．（I ）求四边形CD AB 的面积； （II ）求三角形C AB 的外接圆半径R ；（III ）若C 60∠AP =，求C PA +P 的取值X 围．22.（12分）（I ）将sin3θ表示成sin θ的多项式； （II ）求值：333sin 10sin 50sin 70+-；(III)已知3sin ,sin 8a x m x ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()sin3,8sin b x x =且()f x a b =⋅，求函数()y f x =的最大值()g m ，并解不等式()51g m m <--．参考答案1.B【解析】主要考查正弦函数的图象与性质.对函数∵当时,∴函数的图象不关于原点对称,故A错误;当函数函数的图象关于点对称,故B正确;当时,函数∴函数图象不关于轴对称,故C错误;当函数∴函数的图象不关于直线对称,D错误.故选B.2.C【解析】主要考查平面向量的基本定理及其意义.===,与是不能构成基底的一组向量.故选C.3.A【解析】主要考查利用三角函数的性质求函数的解析式.由图象可知A=2,由图知即,,,又,∴函数的解析式是).故选A.4.D【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式,熟练掌握公式是解决本题的关键.==,==故选D.5.B【解析】主要考查三角函数的诱导公式、正弦函数的单调区间的求法.,∴函数的单调增区间,即函数单调减区间.由解得故函数的单调递增区间是).故选B.6.A【解析】主要考查平面向量的线性运算.平行四边形中,=====故选A.7.B【解析】主要考查两角和与差的三角公式,以及倍角公式.,,,又因为,故选B.8.B【解析】主要考查平面向量的数量积.因为关于的方程有实根,所以即,,,故选B.9.C【解析】主要考查三角形面积公式,向量数量积的定义.因为中,为等腰直角三角形,且为直角,==又因为,,,即故选C.10.D【解析】主要考查二倍角公式,两角和与差的三角公式在解三角形中的应用.依题意可知=整理得,∴三角形为等腰三角形.故选D.11.A【解析】主要考查正切函数的图象与性质,同时也考查了平面向量的坐标运算与数量积的应用问题,是一道综合性题目.∵函数的图象与x轴交于A点,,解得,又∵过点Α的直线与函数的图象交于Β,C两点,设,且B,C两点关于A对称,即,如图所示,又,,故选A.12.D【解析】主要考查余弦定理在解三角形中的应用,以及不等式恒成立问题,余弦定理建立了三角形的边角关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.根据题意画出图形,如图所示:,,又分别是的中点,,,∴在∆中,由余弦定理得===在∆中,由余弦定理得===,=,∵当取最小值时,比值最大,∴当,时,达到最大值,最大值为,则恒成立,的最小值为故选D.13.【解析】主要考查平面向量的数量积的几何意义,向量的夹角是解题的关键.因为等边Δ的边长为,所以在方向上的投影为故答案为14.【解析】主要考查三角形面积公式及倍角公式的应用.由三角形面积公式得又,,,故答案为15.【解析】主要考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义.过作OS垂足分别为,则分别为的中点,===故答案为16.①③④【解析】主要考查三角函数的性质和解三角形,以及平面向量的夹角和向量共线的知识.①因为都是第一象限角,且但,故①错误;②因为=故②正确;③当时,向量与向量的夹角为,不是锐角,故③错误;④当为零向量时,与共线,与共线,但与不一定共线,故错误;所以假命题为①③④.故答案为①③④.17.(1)若,则即,解得,又.(2),又,,又恒成立,．【解析】主要考查平面向量垂直的条件及数量积运算,考查三角恒等变换等知识. (1) 由得即求得tan,结合所给角的X围可求的值;(2)首先求出将问题等价转化为求的最大值,再利用三角恒等变换转化为求正弦函数的最值.18.(1)由条件得,∵为锐角,∴因此.(2)由(1)知,所以.为锐角,,.【解析】主要考查同角三角函数的关系式及两角和的正切公式与转化思想.(1)由条件得,利用同角三角函数的基本关系求出,进而求出及的值;(2)由(1)可求得再利用两角和的正切公式求出最后根据都是锐角确定的取值.19.(1),又,.(2)由(1)知,且,由余弦定理得,,,又由正弦定理知,又.【解析】主要考查正、余弦定理在解三角形中的应用,三角形面积公式以及平面向量的数量积. (1) 根据平面向量的数量积,求出的值,再根据同角三角函数的基本关系求出,代入三角形面积公式即可求出结果;(2)利用余弦定理和正弦定理求出,再根据角的取值X围即可求出角C的值.20.(1)．又．(2)由(1)知,.又且,所以,.【解析】主要考查三角函数的恒等变形,解决本题的关键是利用向量之间的关系写出三角函数之间的关系,其中应注意余弦定理的应用.(1)根据两个向量共线的条件,得到关于三角形中边角的表达式,再结合余弦定理得到角的正弦值,求出角;(2)根据(1)的结果,写出之间的关系式,把要求的两个角的正弦值的和,写成一个角的形式,利用辅助角公式化成能够求函数值的形式,得到结果.21.(1)由得,,,,故,.(2)由(1)知,.(3)由(1)和(2)知点在三角形的外接圆上,故.设,则,,,.【解析】主要考查向量的数量积,余弦定理,以及三角形的面积公式,三角函数的单调性等.(1)由向量式和已知数据可得,而由余弦定理可得==,从而可求出由三角形面积公式即可求出四边形ABCD的面积;(2)由正弦定理可得代入数据即可求出三角形ABC的外接圆半径R的值;(3)利用正弦定理得出根据角的取值X围和三角函数的单调性即可得出结果.22.(1).(2)由(1)知,原式.(3),,,,当时,,当时,恒成立,当时,,综上,不等式解集为.【解析】主要考查两角和与差的正、余弦公式以及平面向量的数量积的运算,同时也考查了含绝对值不等式的解法. (1)利用两角和的正弦公式即可得出结果;(2)根据(1)的结论,将式子化简,再利用两角和的正弦公式即可求出结果;(3)利用平面向量的数量积将函数表示出来,根据三角函数的性质求出,再对进行分类讨论解不等式,即可求出结果.。
2020-2021学年高一数学4月月考试题 (II)
2020-2021学年高一数学4月月考试题 (II)考试时间：120分钟一．选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设向量a ＝(－1,2)，b ＝(1，－1)，c ＝(3，－2)，用a ，b 作基底可将c 表示为x a ＋y b ，则实数x ，y 的值为( )A ．x ＝4，y ＝1B ．x ＝1，y ＝4C ．x ＝0，y ＝4D ．x ＝1，y ＝－42．函数f (x )＝tan ωx (ω＞0)图像的相邻的两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f (π4)的值是( )A ．0B ．1C ．－1 D.π43．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B.AO →＝2OD → C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD →4．已知角α的终边上一点的坐标为(sin 2π3，cos 2π3)，则角α的最小正值为（ ）A.5π6B.2π3C.5π3D.11π65．已知a ，b 满足|a |＝3，|b |＝23，且a ⊥(a ＋b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π2 B.23π C.34π D.56π 6．要得到函数y ＝sin(4x －π3)的图像，只需把函数y ＝sin 4x 的图像( ) A ．向左平移π3个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向右平移π12个单位长度7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)，若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－73，－79 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫73，79 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－738．设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( ) A ．f (x )的图像关于直线x ＝π3对称 B ．f (x )的图像关于点(π4，0)对称C ．把f (x )的图像向左平移π12个单位长度，得到一个偶函数的图像D ．f (x )的最小正周期为π，且在[0，π6]上为增函数9．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”a ×b 是一个向量，它的模等于|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(1，3)，b ＝(－3，－1)，则|a ×b |＝( )A. 3 B ．2 C ．2 3D ．410．函数f (x )＝sin(x －π4)的图像的一条对称轴是( )A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π211．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是( ) A ．λ<103 B ．λ≤103 C ．λ≤103且λ≠－65 D ．λ<103且λ≠－6512．已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________． 14．若非零向量a ，b ，c 满足a ∥b ，a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝________.15.已知圆的半径是6 cm ，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形的面积是________cm 2.16.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图像如图，则ω＝________. 三．解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)如图，四边形ABCD 是一个等腰梯形，AB ∥DC ，M ，N 分别是DC ，AB 的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，DC →＝c ，试用a ，b ，c 表示BC →，MN →，DN →＋CN →.18．(本小题满分12分)已知角x 的终边过点P (1，3)． (1)求：sin(π－x )－sin(π2＋x )的值；(2)写出角x 的集合S .19．(12分)(1)已知a ，b 为非零向量，AB →＝a ＋b ， BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3a －3b ，求证A ，B ，D 三点共线．(2)已知向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，当k 为何值时，(a ＋k c )∥(2b －a)？平行时它们是同向还是反向？20．(12分)已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a ＋b )·(a －b )＝12，求：(1)a 与b 的夹角；(2)a ＋b 与a －b 的夹角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋2(A ＞0，ω＞0)图像上的一个最高点的坐标为(π8，22)，则此点到相邻最低点间的曲线与直线y ＝2交于点(38π，2)，若φ∈(－π2，π2)．(1)试求这条曲线的函数表达式；(2)求函数的对称中心．22．(本小题满分12分)函数f 1(x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的一段图像过点(0,1)，如图所示．(1)求函数f 1(x )的表达式；(2)将函数y ＝f 1(x )的图像向右平移π4个单位，得函数y ＝f 2(x )的图像，求y ＝f 2(x )的最大值，并求出此时自变量x 的集合，并写出该函数的增区间．鹤壁淇滨高中xx 下学期高一年级4月份月考数学试卷答案一．选择题1.B 2．A 3．A 4．D 5．D 6．D 7．D 8. C 9．B 10．C 11．D 12． C 二、填空题13． 30° 14． 0 15． 3π2 16． 32三．解答题17.解：BC →＝BA →＋AD →＋DC →＝－a ＋b ＋c . 因为MN →＝MD →＋DA →＋AN →，MN →＝MC →＋CB →＋BN →， 所以2MN →＝MD →＋MC →＋DA →＋CB →＋AN →＋BN → ＝－AD →－BC →＝－b －(－a ＋b ＋c )＝a －2b －c . 所以MN →＝12a －b －12c .DN →＋CN →＝DM →＋MN →＋CM →＋MN →＝2MN →＝a －2b －c . 18.【解】 ∵x 的终边过点P (1，3)， ∴r ＝|OP |＝12＋32＝2.∴sin x ＝32，cos x ＝12. (1)原式＝sin x －cos x ＝3－12. (2)由sin x ＝32，cos x ＝12. 若x ∈[0,2π]，则x ＝π3，由终边相同角定义，∴S ＝{x |x ＝2k π＋π3，k ∈Z }.19.解：(1)证明：∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3a －3b ， ∴BD →＝BC →＋CD →＝5a ＋5b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线，又它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线． (2)∵a ＋kc ＝(3,2)＋k (4,1)＝(3＋4k,2＋k )， 2b －a ＝2(－1,2)－(3,2)＝(－5,2)．又(a ＋kc )∥(2b －a )，∴(3＋4k )·2＝(2＋k )·(－5)， ∴k ＝－1613.此时，a ＋kc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2513，1013＝513(－5,2)＝513(2b －a )，故向量(a ＋kc )与(2b －a )同向．20.解：(1)由条件知(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2＝12，|a |＝1，∴|b |＝22. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝121×22＝22，∵θ∈[0，π]，∴θ＝π4.(2)∵(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2×12＋12＝12，∴|a －b |＝22， ∵(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝1＋2×12＋12＝52，∴|a ＋b |＝102， 设a －b ，a ＋b 的夹角为α，则cos α＝a －b ·a ＋b|a －b |·|a ＋b |＝1222×102＝55. 21.【解】 (1)由题意得A ＝22－2＝ 2.由T 4＝3π8－π8＝π4， ∴周期为T ＝π. ∴ω＝2πT ＝2ππ＝2，此时解析式为y ＝2sin(2x ＋φ)＋ 2.以点(π8，22)为“五点法”作图的第二关键点，则有2×π8＋φ＝π2， ∴φ＝π4，∴y ＝2sin(2x ＋π4)＋ 2.(2)由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．∴函数的对称中心为(k π2－π8，2)(k ∈Z )．22.【解】 (1)由题意知T ＝π＝2πω，∴ω＝2.将y ＝A sin 2x 的图像向左平移π12，得y ＝A sin(2x ＋φ)的图像，于是φ＝2×π12＝π6.将(0,1)代入y ＝A sin(2x ＋π6)，得A ＝2. 故f 1(x )＝2sin(2x ＋π6)．(2)依题意，f 2(x )＝2sin[2(x －π4)＋π6]＝－2cos(2x ＋π6)，xKb 1.∴y ＝f 2(x )的最大值为2. 当2x ＋π6＝2k π＋π(k ∈Z )，即x ＝k π＋5π12(k ∈Z )时，y max ＝2，x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }． ∵y ＝cos x 的减区间为x ∈[2k π，2k π＋π]，k ∈Z ，∴f 2(x )＝－2cos (2x ＋π6)的增区间为{x |2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z }，解得{x |k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z }， ∴f 2(x )＝－2cos(2x ＋π6)的增区间为x ∈[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .【感谢您的阅览，下载后可自由编辑和修改，关注我 每天更新】。
江苏省南通市启东中学2023-2024学年高一下学期4月半月考数学试题
分局行政服务窗口工作总结____年，在市委市政府、区委区政府的亲切关怀下，在区政府行政服务中心的正确指导下，××市工商局××分局注册股全体干部扎扎实实工作，贯彻落实科学发展观，牢固树立服务意识，改进工作方法，努力建设法治、服务型工商，以服务川汇经济发展为已任，以信息化建设为保障，推进管理机制和方法创新，努力提高服务水平，各项工作都取得了突破性的进展，成为了行政服务中心为经济发展保驾护航的重要窗口部门，圆满完成了区政府、上级交办的各项任务，为我区经济的发展做出了应有的贡献，现将今年的工作总结如下：一、在具体业务工作方面，我们爱岗敬业，认真履行工作职责，园满完成了登记注册、区政府招商引资项目企业的注册、支持下岗工人、返乡农民工创业，积极帮助扶持农民合作社的成立等几个方面的工作____年，××分局注册窗口设在了行政服务大厅，成为了服务大厅服务于周口经济发展的重要窗口之一，极大地方便了企业、工商户、农民合作社组织的申请、办照，受到了多方好评。
登记注册工作是我们窗口的主要业务：严把市场准入关，对于维护市场公平秩序、维护社会主义市场有着重要的意义，我们认真贯彻落实新《公司法》，严格登记条件和标准。
热情服务、礼貌待客，展示了工商部门的良好形象，克服工作量大、时限要求紧(我们把行政许可法规定的__天的登记许可时间压缩到了_天，特殊情况下要求当天办理完结)等困难，高标准的完成了各类市场主体的登记（其本中办理个体工商登记____户，私营企业___家），认真的完成了市场主体的年检，截至目前，已年检各类企业___家，预约年检__家。
年检个体户____家，年检率__以上。
使××区辖区内无照经营比例比去年大幅下降，规范了辖区内主体经营行为，切实维护了市场经济秩序，而且为我区的财政增加了税源，受到了各级领导的肯定和表扬。
第二、对于我区政府招商引资项目我们更是在政策允许的范围内“特事特办”，对于时间要求紧的项目我们多次加班加点，热心为招商引资项目开辟绿色通道，为我区经济建设作出了应有的贡献。
辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高一下学期4月月考试题 数学含答案
滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷（答案在最后）命题人：一､单选题本题共8道小题，每小题5分，共40分，在每道小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.2024- 的终边在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若()π,πx ∈-，使等式()sin πsin 1x =-成立的x 的值是（）A.π2-B.π2 C.π5π,66D.π5π,66--3.函数()21sin 21xf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭的图象大致为（）A. B.C. D.4.月牙泉，古称沙井，俗名药泉，自汉朝起即为“敦煌八景”之一，得名“月泉晓澈”，因其形酷似一弯新月而得名，如图所示，月牙泉边缘都是圆弧，两段圆弧可以看成是ABC 的外接圆的一部分和以AB 为直径的圆的一部分，若C 是 AB 的中点，2π3ACB ∠=，南北距离AB 的长大约，则该月牙泉的面积约为（）（参考数据：π 1.73≈≈）A.22288mB.25792mC.27312mD.28112m 5.若sin ,cos θθ是方程20x mx m -+=的两根，则m 的值为（）A.1B.1+C.1±D.1-6.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，若12π5π2πsin ,cos ,tan 777a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A.a b c >>B.c a b >>C.b a c>> D.c b a>>7.已知函数()()cos sin f x x =，现给出下列四个选项正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 的最小正周期为2πC.π2x =是()f x 的一条对称轴D.()f x 在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增8.定义,,a a b a b b a b≥⎧⊗=⎨<⎩，已知函数()()2211,32sin 32cos f x g x x x ==--，则函数()()()F x f x g x =⊗的最小值为（）A.12 B.23 C.1 D.43二､多选题本题共三道小题，每小题6分，共18分，在每道小题给出的四个选项中，多个选项是符合题目要求的，部分正确得2或3分，有选错的得0分9.下列选项正确的是（）A.函数()()sin 2(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期是πωB.若α是第一象限角，则tan 02α>C.函数()πtan 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的对称中心是()ππ,0,Z 122k k ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.在ABC 中，“sin cos tan 0A B C <”是“ABC 是钝角三角形”的充要条件10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<≤<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象向右平移3π8个单位长度后得到的新函数是奇函数C.()π14g x f x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.已知函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩，若()()(0)g x f x t t =->有2n 个零点()n N +∈，记为12212,,,,n n x x x x - ，且12212n n x x x x -<<<< ，则下列结论正确的是（）A.()0,2t ∈B.1217,24x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭C.45189,484x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭D.()3452122182n n x x x x x -+++++= 三､填空题本题共三道小题，每小题5分，共15分12.函数()1πlg sin 26f x x =⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的定义域是__________.13.已知函数()22tan sin sin cos 2cos f x x x x x =-+，则()2f =__________.14.已知定义在R 上的偶函数()f x ，当0x ≥时满足()π16ππ2sin 2,0,6613π,226x x x f x x x -+⎧⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎪⎛⎫+> ⎪⎪⎝⎭⎩关于的方程()()2[]230f x af x -+=有且仅有8个不同实根，则实数a 的取值范围是__________.四､解答题本题共五道小题，其中15题满分13分，16､17题满分各15分，18､19题满分各17分共77分.15.在单位圆中，锐角α的终边与单位圆相交于点,2P m ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，连接圆心O 和P 得到射线OP ，将射线OP 绕点O 按逆时针方向旋转θ后与单位圆相交于点B ，其中π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-的值；（2）记点B 的横坐标为()f θ，若π164f θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求π5πcos cos 36θθ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.16.已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<<⎪⎝⎭图象上的任意两点，()01f =-，且当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=.（1）求当11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的单调递增区间；（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标也变为原来的12倍，再将所得函数图象上的所有点向左平移π8个单位得到()y g x =的图象，若()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，求实数m 的取值范围.17.位于大连森林动物园的“大连浪漫之星”摩天轮享有“大连观光新地标，浪漫打卡新高度”的美称.如图，摩天轮的轮径（直径）为70米，座舱距离地面的最大高度可达80米，摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周需要18分钟.如图，想要观光的乘客需先从地面上楼梯至乘降点P ，在乘降点P 处进入座舱后开始开始观光，再次回到乘降点P 时观光结束.本题中座舱都被视为圆周上的点，每个座舱高度忽略不计.（1）甲乙两名游客分别坐在A B ､两个不同的座舱内，他们之间间隔4个座舱，求劣弧 AB 的弧长l （单位：米）；（2）设游客从乘降点P 处进舱，开始转动t 分钟后距离地面的高度为H 米，求在转动一周的过程中，H 关于时间t 的函数解析式；（3）若游客在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使（1）中的甲，乙两位游客都有最佳视觉效果.18.已知函数()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<，且满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）设()2cos 2sin g x x a x =+，若对任意的1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，存在2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()123g x f x <+，求实数a 的取值范围；（2）当（1）()2cos 2sin g x x a x =+中12a =时，若[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，()42(0)x xh x m m m =⋅-+>都有()()2140h x g x -≥成立，求实数m 的取值范围.19.若函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭且()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭，则称函数()f x 为“M 函数”.（1）试判断()4sin3xf x =是否为“M 函数”，并说明理由；（2）函数()f x 为“M 函数”，且当π,π4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()sin f x x =，求()y f x =的解析式，并写出在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，求()3S .滨城高中联盟2023-2024学年度下学期高一4月份考试数学试卷答案详解一､单选题1.【答案】B【详解】易知20241366360-=-⨯ ，而136 的终边在第二象限，故1640- 的终边在第二象限.即B 正确.2.【答案】D【详解】由()sin πsin 1x =-得ππsin 2π,2x k k Z =-+∈，所以1sin 2,2x k k Z =-+∈，又[]sin 1,1x ∈-，所以1sin 2x =-，所以π2π6x k =-+或5π2π,6x k k Z =-+∈，因为()π,πx ∈-，所以π6-或5π6-.故选：D3.【答案】C【详解】()21sin 21x f x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭，由已知()f x 的定义域为R ，又()()()()()221121sin sin sin 212112x x x x xf x x x x f x ---⎛⎫⎛⎫--⎛⎫-=-⋅-=⋅-=⋅-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除AB ，当1x =时，()12111sin1sin10213f ⎛⎫=-=> ⎪+⎝⎭，故排除D.故选：C.4.【答案】D【详解】设ABC 的外接圆的半径为r ，圆心为0，如图，因为1π,23BCO BCA OB OC ∠∠===，所以OBC 是等边三角形，120322AB BD ===因为月牙内弧所对的圆心角为2π2π2π233-⨯=，所以内弧的弧长2π12080π3l =⨯=，所以弓形ABC 的面积为11180π120604800π22S =⨯⨯-⨯=-以AB 为直径的半圆的面积为21π5400π2⨯=，所以该月牙泉的面积为(5400π4800π600π188462288112--=+≈+=，故选：D5.【答案】A【详解】由题设2Δ()40m m =--≥，得4m ≥或0m ≤.由韦达定理得sin cos m θθ+=且sin cos m θθ=，所以22(sin cos )12sin cos 12m m θθθθ+=+⇒=+，即2210m m --=，可得12m =±4m ≥或0m ≤，所以故12m =-.故选：A 6.【答案】B 【详解】根据题意，12π12π2π2πsinsin 2πsin sin 07777⎛⎫⎛⎫=-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2π2πsin sin 077a f f ⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5π2π2π2π2πcoscos πcos 0,cos cos 077777b f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-<=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为π2ππ472<<，由三角函数线知2π2πcos sin 77<，所以2π2πcos sin 77->-已知()f x 是定义在R 上的奇函数，在()0,∞+上是减函数且有()0f x >，所以在(),0∞-上是减函数且有()0f x <则0b a <<，已知2πtan 07>，则有2πtan 07c f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以.故选B.7.【答案】C【详解】因为()f x 的定义域为()()()()()R,cos sin cos sin cos sin f x x x x f x ⎡⎤-=-=-==⎣⎦，所以()f x 为偶函数，A 错误；由()()πf x f x =+，可得()f x 的最小正周期为π，B 错误；()ππcos sin cos cos 22f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()ππcos sin cos cos cos cos 22f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为ππ22f x f x ⎛⎫⎛⎫+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以π2x =是()f x 的一条对称轴，C 正确；当π,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()1,0-，当()1,0x ∈-时，函数cos y x =单调递增，故()f x 在π,02⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数sin y x =单调递增，值域为()0,1，当()0,1x ∈时，函数cos y x =单调递减，故()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，D 错误.故选：C.8.【答案】A【详解】依题意得()()()(),F x f x F x g x ≥≥，则()()()2F x f x g x ≥+，()()()()2222221111132sin 32cos 32sin 32cos 432sin 32cos f x g x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤+=+=+-+- ⎪⎣⎦----⎝⎭2222132cos 32sin 1221432sin 32cos 4x x x x ⎛⎛⎫--=++≥+= ⎪ --⎝⎭⎝（当且仅当222232cos 32sin 32sin 32cos x x x x --=--，即221sin cos 2x x ==时“=”成立.此时，()()1f x g x ==，()()21,F x F x ∴≥∴的最小值为12，故选：A.二､多选题9.【答案】AB【详解】对A ：最小正周期是2ππ2ωω=，故A 正确；对B ：若α是第一象限角，则2α是第一或第三象限角，所以tan 02α>，故B 正确；对C ：令()()ππππ2Z Z 62124k k x k x k +=∈⇒=-+∈，故C 错误；对D ：在ABC 中，由0πA <<知sin 0A >，又由sin cos tan 0A B C <，则有cos 0tan 0B C >⎧⎨<⎩或cos 0tan 0B C <⎧⎨>⎩，所以C 或B 为钝角，满足充分性，而ABC 是钝角三角形，A 为钝角，则有sin cos tan 0A B C >，不满足必要性，故D 错误.故选：AB 10.【答案】ABC【详解】由()01f =-，得1ϕ=-，即sin 2ϕ=-，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω∴-=，即得82,k k Z ω=+∈，又02,2ωω<≤∴=，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；()f x 向右平移3π8个单位后得3352228842y f x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤=-=-+=+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，为奇函数，故B 正确；对于C ，()πππ2121444g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=++ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，()()πππ2π482k x k k Z x k Z +=∈⇒=-+∈所以对称中心ππ,1,82k k Z ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,Z 2x k k =+∈，方程()1f x =即()ππππsin 20,2,242444x x m x m ⎛⎫⎛⎫-=∈∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又在()0,m 上有6个根，π19π25π2,444m ⎛⎤-∈ ⎥⎝⎦，所以5π13π,24m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，故D 错误.故选：ABC.11.【答案】ABD【详解】将函数2log ,(04)y x x =<<的图象沿y 轴对称并将x 轴下方部分翻折到x 轴上方，即可得到()()2log ,(40)f x x x =--<<的图象；对于()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤< ⎪⎝⎭，最小正周期为2π6π3T ==，故[)0,24上有4个周期，令ππππ,Z 362x k k +=+∈，则可得()ππ4sin ,02436f x x x ⎛⎫=+≤<⎪⎝⎭的对称轴为31,0,1,2,3,,7x k k =+= ；由此作出函数()()2log ,40ππ4sin ,02436x x f x x x ⎧--<<⎪=⎨⎛⎫+≤<⎪ ⎪⎝⎭⎩的图象，如图：则()()(0)g x f x t t =->的零点问题即为()f x 的图象与直线y t =的交点问题，由图象可知，当4t >时，()f x 的图象与直线y t =有1个交点，不合题意；当4t =时，()f x 的图象与直线y t =有5个交点，不合题意；当24t ≤<时，()f x 的图象与直线y t =有9个交点，不合题意；当02t <<，即()0,2t ∈时，()f x 的图象与直线y t =有10个交点，符合题意，A 正确；由题意可知1241,10x x -<<--<<，满足()()2122log log x x -=-，则()()2122log log x x -=--，即()()()()2122212log log 0,log 0x x x x -+-=--=，()()()()()1212121,2,x x x x x x ∴--=∴-+->=≠，即122x x +<-，由图像知()0,2t ∈，有2n 个零点()n N +∈，所以()1214,1,1,4x x ⎛⎫∈--∈--⎪⎝⎭，由对勾函数得1217,2,B 4x x ⎛⎫+∈-- ⎪⎝⎭正确；由函数图象可得；4541114,,62x x x ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，故()454518714,48,C 4x x x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭错误；由图象可知()f x 的图象与直线y t =有10个交点，即5n =，且34,x x 关于直线4x =对称，故348x x +=，同理得455667788991014,20,26,32,38,44x x x x x x x x x x x x +=+=+=+=+=+=，故()()345212345291022n n x x x x x x x x x x -+++++=+++++ 8142026323844182=++++++=，D 正确.故选：ABD三､填空题12.【答案】()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭【详解】由函数定义可知πsin 206πsin 216x x ⎧⎛⎫+> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+≠ ⎪⎪⎝⎭⎩，可得π2π2π2π6,ππ22π62k x k k Z x k ⎧<+<+⎪⎪∈⎨⎪+≠+⎪⎩，所以定义域是()πππ5ππ,ππ,π,Z 126612k k k k k ⎛⎫⎛⎫-++⋃++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭或者π5πππ1212x k x k ⎧-+<<+⎨⎩且ππ,Z 6x k k ⎫≠+∈⎬⎭13.【答案】45【详解】因为()22222222sin sin cos 2cos tan tan 2tan sin sin cos 2cos sin cos tan 1x x x x x x f x x x x x x x x -+-+=-+==++，所以()42242415f -+==+.14.【答案】74⎫⎪⎭【详解】因为π06x ≤≤，可得πππ2662x ≤+≤，所以()f x 在π0,6⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，()π01,26f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，又由π6x >时，()π161322x f x -+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为单调递减函数，且π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为函数()f x 是R 上的偶函数，画出函数()f x的图象，如图所示，设()t f x =，则方程()()2[]230f x af x -+=可化为2230t at -+=，由图象可得：当2t =时，方程()t f x =有2个实数根；当322t <<时，方程()t f x =有4个实数根；当312t <<时，方程()t f x =有2个实数根；当1t =时，方程()t f x =有1个实数根；要使得()()2[]230f x af x -+=有8个不同的根，设12,t t 是方程2230t at -+=的两根12,t t ，设()223g t t at =-+，（1）1212322322t t t t ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪≠⎪⎪⎩，即()2Δ4120322393302424430a a g a g a ⎧=->⎪⎪<<⎪⎨⎛⎫⎪=-+> ⎪⎪⎝⎭⎪=-+>⎩74a <<，综上可得，实数a的取值范围是74⎫⎪⎭.四､解答题15.【答案】（1）1；（2）1514-【详解】（1）由于点P 在单位圆上，且α是锐角，可得12m =，所以1cos 2α=，所以()()()322π3π4sin 2sin 4cos π2222cos 5πcos ααααα⎛⎫⎛⎫++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+++-3224cos 2cos 4cos 2cos 122cos cos αααααα++===++（2）由（1）可知1cos 2α=，且α为锐角，可得π3xOP α∠==，根据三角函数定义可得：()πcos 3f θθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，因为ππ1cos 0664f θθ⎛⎫⎛⎫-=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此ππ0,62θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以πsin 64θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以π5ππππcos cos cos cos π36626θθθθ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππsin cos 66θθ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1514-=16.【答案】（1）π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎢⎣⎦⎣⎦；（2）π7π2424m <≤【详解】（1）因为()()πsin 0,0,02f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭，且()()12max 24f x f x A -==，所以2A =依题意可得()02sin 1π02f ϕϕ⎧==-⎪⎨-<<⎪⎩得π6ϕ=-又 当()()12max 4f x f x -=时，12minπ2x x -=，1ππ22T ω∴==，又0ω>，即2ω=，()π2sin 26f x x ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭令πππ2π22π,262k x k k Z -+≤-≤+∈得()f x 在R 的单调递增区间为πππ,π,63k k k Z⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦又11π0,12x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，所以()f x 的单调递增区间为π5π11π0,,,3612⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（2）将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标变为原来的12倍得到πsin 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭再πsin 46y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移π8个单位得到()πππsin 4sin 4863y g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当()0,x m ∈，所以πππ4,4333x m ⎛⎫+∈+ ⎪⎝⎭，因为()g x 在区间()0,m 上有最大值没有最小值，所以ππ3π4232m <+≤，解得π7π2424m <≤，17.【答案】（1）35π3米；（2）()π35cos 45,0189H t t t =-+≤≤；（3）3分钟【详解】（1）解：由题知摩天轮的圆周上均匀地安装着30个座舱，所以两个相邻座舱所对的圆心角为：2ππ3015=，因为甲､乙之间间隔4个座舱，所以劣弧 AB 所对的圆心角为ππ5153⨯=所以π35π3533l r α==⨯=，即劣弧 AB的弧长为35π3米.（单位：米）（2）如图，以摩天轮转轮中心O 为坐标原点，分别以过O 的水平线和坚直线为,x y 轴，建立平面直角坐标系.不妨设开始转动t 分钟后距离地面的高度()()sin ,(0,0,0)H t A t b A b ωϕω=++>>>（单位：米），由题可知，max min ()80,()807010H t H t ==-=，所以max min()()352H t H t A -==，max min ()()452H t H t b +==，因为2π18T ω==，解得π9ω=，此时()π35sin 45,(0)9H t t ϕω⎛⎫=++>⎪⎝⎭因为()0807010H =-=，代入有：35sin 4510ϕ+=，解得π2π,Z 2k k ϕ=-+∈故()πππππ35sin 2π4535sin 4535cos 4592929H t t k t t ⎛⎫⎛⎫=-++=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭综上：()π35cos45,0189H t t t =-+≤≤；（t 的范围）（3）因为在距离地面至少62.5米的高度能够获得最佳视觉效果，所以()()62.5,0,18H t t ≥∈，即π35cos 4562.59t -+≥，解得：π1cos92t ≤-甲，即2ππ4π393t ≤≤，解得612t ≤≤甲，所以1266-=分钟，故有6分钟的时间使游客甲有最佳视觉效果，因为劣弧AB 所对的圆心角为π3，所以甲乙相隔的时间为π32π18t =乙，解得3t =乙分钟当甲刚开始有最佳视觉效果时，乙需3分钟后才有视觉效果，故甲乙都有最佳视觉效果的时间为633-=分钟.18.【答案】（1）()2,2-；（2）[)3,∞+【详解】（1）因为()()sin 2(0π)f x x ϕϕ=+<<满足ππ1212f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的对称中心为π,012⎛⎫-⎪⎝⎭，所以π6ϕ=，即()πsin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为2π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2ππ7π2,666x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()22π1sin 2,162f x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，又因为对任意的12πππ,,0,222x x ⎡⎤⎡⎤∈-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，都有()()123g x f x <+成立，所以()()()121max max max 3,134g x f x g x <+<+=，()22cos 2sin sin 2sin 1g x x a x x a x =+=-++，因为1ππ,22x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]1sin 1,1x ∈-，设[]sin ,1,1t x t =∈-，则有()221t t at ϕ=-++图象开口向下，对称轴为t a =的抛物线，当1a ≥时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递增，所以()max ()12t a ϕϕ==，所以24a <，解得2a <，所以12a ≤<；当1a ≤-时，()t ϕ在[]1,1t ∈-上单调递减，所以()max ()12t a ϕϕ=-=-，所以24a -<，解得2a >-，故21a -<≤-；当11a -<<时，()2max ()1t a a ϕϕ==+，故214a +<，解得a <<11a -<<，综上所述：实数a 的取值范围为()2,2-.（2）当12a =时，对[]12,0,1x x ∀∈∀∈R ，都有()()21504h x g x -≥成立，则()min max 5()4h x g x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦由（1）可知12a =时，max 5()4g x =，所以()max [4]5g x =.则()5h x ≥在[]0,1x ∈恒成立，即()425xxh x m m =⋅-+≥在[]0,1x ∈恒成立则5241xx m +≥+在[]0,1x ∈恒成立.令[]52,6,7xt t +=∈，则()12126102610t h t t t t t==-++-，因为()22610h t t t =+-在[]6,7t ∈单调递增，所以2min 261()61063h t =+-=，所以()11313h t ≤=，所以3m ≥，综上所述，实数m 的取值范围为[)3,∞+.19.【答案】（1）不是，理由见解析（2）答案见解析（3）()7π,0220π,012330π,240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或【详解】（1）解：()4sin 3xf x =不是为“M 函数”，理由如下：因为()π4π2π444πsin sin ,sin sin2323333x x f x x f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以，()()πR 2f x f x x ⎛⎫+≠-∈⎪⎝⎭，因此，函数()4sin3xf x =不是为“M 函数”.（2）解：函数()f x 满足()3π4f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令3π4x x =+得()3π3π3π444f x fx f x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即()3π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，函数()f x 为周期函数，且最小正周期为3π2T =，因为()()πR 2f x f x x ⎛⎫+=-∈⎪⎝⎭，则()f x 的一个对称轴为π4x =.①当()3ππ3π,π242k k x k Z ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦时，()3ππ,π24k x k Z ⎡⎤-∈∈⎢⎥⎣⎦，则()()3π3πsin 22k k f x f x x k Z ⎛⎫⎛⎫=-=-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；②当()3ππ3ππ,Z 2224k k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦，则()3πππ,Z 224k x k ⎡⎤-∈-∈⎢⎥⎣⎦，则()π3ππ,πZ 224k x k ⎛⎫⎡⎤--∈∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以，()π3ππ3π3πsin cos 22222k k k f x f x x x k Z ⎫⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=--=-∈⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎭.综上所述，()()()3π3ππ3ππcos ,222243π3ππ3πsin ,π2242k k k x x k Z f x k k k x x k Z ⎧⎛⎫--≤≤+∈ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-+<≤+∈ ⎪⎪⎝⎭⎩，所以，函数()f x 在3π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的单调递增区间为ππ3π,,π,422⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.（3）解：由（2）可得函数()f x 在π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象如下图所示，下面考虑方程()f x a =在区间π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的根之和.①当202a ≤<或1a =时，方程()f x a =有两个实数解，其和为π2；②当22a =时，方程()f x a =有三个实数解，其和为3π4；③当212a <<时，方程()f x a =有四个实数解，其和为π.当()π3π,πN 22k x k ⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()f x a =（a 为常数）有解，记该方程所有解的和为()S k ，所以，当0a =时，()()π3π341237π22S =-⨯+⨯++=；当202a <<或1a =时，()()π3π32412320π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当22a =时，()()π3π33412330π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦；当212a <<时，()()π3π34412340π42S ⎡⎤=⨯⨯+⨯++=⎢⎥⎣⎦.因此，()7π,0220π,0123230π,2240π,12a a a S a a =⎧⎪⎪<<=⎪⎪=⎨=⎪⎪⎪<<⎪⎩或。
【推荐】浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高一数学4月月考试卷.doc
Word 文档，精心制作，可任意编辑浙江省杭州市西湖高级中学2018-2019学年高一数学4月月考试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷40分，第Ⅱ卷110分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷 (选择题 共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P (4，－3)，则2sin α＋cos α的值为( ▲ )A ．－35 B.45 C.25 D ．－252．已知向量e 1＝(1，0)，e 2＝(0，1)，那么|e 1＋2e 2|＝( ▲ )A ．1 B. 3 C ．2 D. 5 3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ▲ )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．[－1，1]C ．(－1，1)D ．[－1，0)∪(0，1]4．已知角C 为△ABC 的一个内角，向量m ＝(2cos C －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1)．若m ⊥n ，则角C 等于( ▲ )A.π6B.π3C.2π3D.5π65．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( ▲ )A.22 B.32C.2 D ．2 6．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为( ▲ )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )7.函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在一个周期内的图像大致是(▲)8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x －α)恒成立，则α的值是( ▲ ) A.π6 B.π3 C.π4 D.π29．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，tanα21－tan 2α2＝14，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为( ▲ )A.π6 B.π4 C.π3 D.5π1210．已知O 为原点，A ，B 两点的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，其中常数a >0，点P在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( ▲ ) A ．a B ．2a C ．3a D ．a 2第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分．把答案填在答卷中横线上)11．sin11π3＝____▲____，sin (π2＋π3)＝____▲____． 12．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝2，|b |＝5，则a ·b ＝_▲_，(2a －b )·a ＝ ▲ ．13．已知0<x<π2，cos x ＝45，则tan x ＝____▲__，4sin 2x －3sin x cos x －5cos 2x ＝___▲___．14. 已知函数f(x)＝cos 2x ＋sin x －1(0≤x ≤π2)，则f(x)的值域是___▲___，f(x)的单调递增区间是____▲____． 15.已知数列{a n }满足a n ＝1133333+++-n n a a ，且a 1＝33，则a 2019＝___▲_____．16．在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为____▲____． 17. 方程lg x ＝sin2x 的实根的个数为___▲____．三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(14分)已知sin(π2+θ)＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6及tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．19. (14分) 海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？20．(14分)已知函数f(x)＝2x－1x，其定义域为{x|x≠0}．(1)用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；(2)利用(1)所得到的结论，求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．21．(14分)如图所示，在△ABC中，已知CA＝2，CB＝3，∠ACB＝60°，CH为AB 边上的高．(1)求AB→·BC→；(2)设CH→＝mCB→＋nCA→，其中m，n∈R，求m，n的值及CH→的模．22．(15分)已知函数f(x)＝3sin2x+2cos2x－1，将函数f(x)的图像向右平移1 2个单位得到函数g(x)的图像.(1)求g(x)的解析式及对称轴； (2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求函数f(x)在区间[－12，34]上的值域．杭西高2019年4月高一数学参考答案命题人：王红卫，审核人：何军本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．第Ⅰ卷40分，第Ⅱ卷110分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共40分)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知角α的终边经过点P(4，－3)，则2sinα＋cosα的值为( )A．－35B.45C.25D．－25．D2．已知向量e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，那么|e1＋2e2|＝( )A．1 B. 3 C．2 D. 5．D3．函数y＝cos x·tan x的值域是( )A．(－1，0)∪(0，1) B．[－1，1] C．(－1，1) D．[－1，0)∪(0，1]. C4．已知角C为△ABC的一个内角，向量m＝(2cos C－1，－2)，n＝(cos C，cos C＋1)．若m⊥n，则角C等于( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6．C [解析] ∵m⊥n，∴2cos2C－3cos C－2＝0，∴(2cos C＋1)(cos C－2)5．在△ABC中，A＝15°，则3sin A－cos(B＋C)的值为( )A.22 B.32C.2 D ．26．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) D.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )7．函数y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4在一个周期内的图像大致是( ).B8．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，若存在α∈(0，π)，使得f (x ＋α)＝f (x －α)恒成立，则α的值是( )A.π6 B.π3 C.π4 D.π2.D9．已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，tanα21－tan 2α2＝14，且3sin β＝sin(2α＋β)，则α＋β的值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.5π12得3sin [(α＋β)－α]＝sin [(α＋β)＋α]，所以tan(α＋β)＝2tan α10．已知O 为原点，A ，B 两点的坐标分别为(a ，0)，(0，a )，其中常数a >0，点P在线段AB 上，且AP →＝tAB →(0≤t ≤1)，则OA →·OP →的最大值为( ) A ．a B ．2a C ．3a D ．a 2．D [解析] ∵AB →＝OB →－OA →＝(0，a )－(a ，0)＝(－a ，a )，∴AP →＝tAB→＝(－at ，at )．又OP →＝OA →＋AP →＝(a ，0)＋(－at ，at )＝(a －at ，at )，∴OA →·OP →＝a (a －at )＋0×at ＝a 2(1－t )(0≤t ≤1)，∴当t ＝0时，OA →·OP →取得最大值a 2.第Ⅱ卷 (非选择题 共110分)二、填空题(本大题共7小题，单空题每小题4分，多空题每小题6分，共36分．把答案填在答卷中横线上) 11．sin11π3＝________，sin (π2＋π3)＝________．12．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则a·b＝______，(2a －b)·a＝________．．－5 13 [解析] ∵向量a与b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，∴a·b13．已知0<x<π2，cos x＝45，则tan x＝________，4sin2x－3sin x cos x－5cos2x＝________．14．已知函数f(x)＝cos2x＋sin x－1(0≤x≤π2)，则f(x)的值域是________，f(x)的单调递增区间是________．函数g(t)即f(x)取得最小值0.15.已知数列{a n }满足a n ＝1133333+++-n n a a ，且a 1＝33，则a 2019＝________．故数列{a n }的周期为6，而2018＝336×6＋3，16．在△ABC 中，AB →＝(2，3)，AC →＝(1，2)，则△ABC 的面积为________．17. 方程lg x ＝sin2x 的实根的个数为________．．5 [解析] 在同一坐标系中画出函数y ＝lg x 与函数y ＝sin2 x 的图像，可发现两图像有5个交点，故所求方程实根的个数为3.三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(14分)已知sin(π2+θ)＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6及tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4的值．19. (14分) 海中小岛A 周围38海里内有暗礁，一艘船正在向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东︒30，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东︒45，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？. 解：在ABC ∆中，30,30,18045135BC B ACB ==∠=-=，∴所以15.A =sin15sin =30601515().15==∴A 到BC 所在直线的距离为：4515(=∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．20．(14分)已知函数f(x)＝2x－1x，其定义域为{x|x≠0}．(1)用单调性的定义证明函数f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数；(2)利用(1)所得到的结论，求函数f(x)在区间[1，2]上的最大值与最小值．解：(1)证明：设x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，则∵x1<x2，∴x2－x1>0，又∵x1>0，x2>0，∴x1x2>0，∴f(x2)－f(x1)>0，21．(14分)如图所示，在△ABC中，已知CA＝2，CB＝3，∠ACB＝60°，CH为AB 边上的高．(1)求AB→·BC→；(2)设CH→＝mCB→＋nCA→，其中m，n∈R，求m，n的值及CH→的模．．解：设CB→＝a，CA→＝b.(1)因为AB→＝CB→－CA→＝a－b，所以AB→·BC→＝(a－b)·(－a)＝－a2＋a·b＝－9＋3×2×cos 60°＝－6.(2)因为A，H，B三点共线，所以设AH→＝λAB→＝λ(a－b)，所以CH→＝CA→＋AH→＝b＋λ(a－b)＝λa＋(1－λ)b.因为CH→⊥AB→，所以CH→·AB→＝0，所以[λa＋(1－λ)b]·(a－b)＝0，即λa2－(1－λ)b2＋(1－2λ)a·b＝0.22．(15分)已知函数f(x)＝3sin2x+2cos2x－1，将函数f(x)的图像向右平移1 2个单位得到函数g(x)的图像.(1)求g(x)的解析式及对称轴； (2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)求函数f(x)在区间[－12，34]上的值域．是[－1，2]．。
2021-2022学年黑龙江省大庆铁人中学高一下学期4月月考试题 数学 Word版含答案
铁人中学2021级高一学年下学期月考考试数学试题命题人：魏玉雷 审题人：李德胜试题说明： 1.本试题满分150分，答题时间120分钟.2.请将答案填写在答题卡上，考试结束后只交答题卡.第Ⅰ卷(选择题60分)一、单项选择题（本大题包括8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一．．．项．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1．若复数z 满足()i i z -=+11(i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z ＝( )．A ．i -B ．i 2-C ．iD ．i 22.已知正三角形ABC 的边长为2，那么ABC ∆的直观图C B A '''∆的面积为（ ）A ．46 B ．26 C ．23 D ．33．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .则“B A sin sin >”是“b a >”的（ ）．A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．平面向量a 与b 的夹角为π3，()0,2=a，1=+等于( )A．B．C ．4D5.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知3=b ， 30=A ，2=c ，则=++++CB A cb a sin sin sin （ ） A ．.41 B ． 21C ． 1D ． 26．已知正方形ABCD 的边长为22，E 为边BC 中点，则向量AE 在向量AC 上的投影向量为（ ）A ．AC 41 B ．AC 21 C ．AC 43 D ．AC7．已知向量a 与b 的夹角为120︒1==，c 与a b -同向，则||a c -的最小值是（ ）A ．1B ．12C ．13D ．148.设锐角三角形ABC 的内角C B A 、、的对边分别为c b a ,,.若inC a A c s 3)cos 1(=+，2=b ，则ABC ∆面积的取值范围是（ ）A.()∞+，1B. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∞+，23 C. ()321， D. ⎪⎪⎭⎫⎝⎛3223， 二．多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．下列说法中错误的是（ ） A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱C ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台D ．正四棱锥的侧面一定是等腰三角形10．在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，．下列四个结论正确的是( )． A ．若sin cos A B a b =，则π4B = B．若π24B b a ===，，C ．若2b a c =⋅，且2sin sin sin B A C =+，则 ABC ∆为正三角形D ．若5=a ，2=c ， ABC ∆的面积4=∆ABC S ，则3cos 5B =11．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理.设点O ､G ､H 分别是ABC ∆的外心､重心､垂心，且M 为BC 的中点，则（ ） A ．02=++GC GB GA B ．24AB AC HM MO +=- C ．OM AH 2=D ．OA OB OC ==12.锐角ABC ∆中，内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且A b b c cos 2=-，下列结论正确的是（ ） A ．2A B = B ．B 的取值范围为0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．ab的取值范围为()3,2D ．112sin tan tan A B A -+的取值范围为53,33⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题90分)二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)13．已知()2,1=a ，()x b ，3-=，若a ，b 夹角为钝角，则x 的取值范围为________． 14.已知等边三角形ABC 的边长为1，a BC =，b CA =，c AB =，那么a c cb b a ⋅+⋅+⋅=________．15.如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，2AB =，3BC =，1AC =，13AA =，F 为棱AA 1上的一动点，则当1FC BF +最小时，1BFC ∆的面积为________．16．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF 的边长为4，圆O 的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P 在正六边形的边上运动，MN 为圆O 的直径，则PM PN ⋅的取值范围是__________．三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.（10分）已知复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈． （Ⅰ）若z 为纯虚数，求m 的值；（Ⅱ）若z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点在第一象限，求m 的取值范围． 18.（12分）已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中()2,1=a ． （Ⅰ）若a ，b ，c 两两的夹角相等；且5=b ，52=c ，求c b a ++；（Ⅱ）若25=b ，且b a 2+与b a -2垂直，求a 与b 的夹角θ． 19.（12分）如图，在ABC ∆中，已知2=AB ，5=AC ， 60=∠BAC ，AC BC ,边上的两条中线AM ，BN 相交于点P .（Ⅰ）求BN ；（Ⅱ）求MPN ∠的正弦值.20.（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，sin 1sin sin A a bB C a c-=-+-．（Ⅰ）设()sin ,1m A =，()8cos ,cos2n B A =，判断m n ⋅最大时ABC ∆的形状． （Ⅱ）若3b =，求ABC ∆周长的取值范围．21.(12分)如图，我国的一艘海监船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16n mile （海里）的B 处有一艘外国船只，且D 岛位于海监船正东142n mile 处． （Ⅰ）求此时该外国船只与D 岛的距离；（Ⅱ）观测中发现，此外国船只正以每小时4n mile 的速度沿正南方向航行．为了将该船拦截在离D 岛12n mile 处，不让其进入D 岛12n mile 内的海域，试确定海监船的航向，并求其速度的最小值．(参考数据：sin36°52′≈0.6，sin53°08′≈0.8)(21题图)（19题图）（15题图）（16题图）22.（12分）如图，边长为2的等边三角形ABC 中，O 是BC 的中点，D ，E 分别是边AB ，AC 上的动点（不含端点），记BOD θ∠=.（Ⅰ）在图①中，120DOE ∠=︒，试将AD ，AE 分别用含θ的关系式表示出来，并证明AD AE +为定值；（Ⅱ）在图②中，60DOE ∠=︒，问此时AD AE +是否为定值？若是，请给出证明；若不是，求AD AE +的取值范围.铁人中学2021级高一下学期月考考试数学参考答案一．选择题（60分）二．填空题（20分）13. ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋃-∞-23,66, 14. 23- 15.215 16. []12,8三．解答题（70分）17. （10分）解： (1)因为复数()224124i z m m m =--+-，其中m R ∈，所以22412040m m m ⎧--=⎨-≠⎩，解得：m =6.(2)因为()224124i z m m m =--+-在复平面内对应的点为()22412,4m m m ---，所以z 在复平面内对应的点关于虚轴对称得到的点()22412,4m m m -++-.由题意得：22412040m m m ⎧-++>⎨->⎩，解得：26m <<.即m 的取值范围为()2,6.18.（12分）解：(1)当三向量两两夹角为0时，c b a ++=54当三向量两两夹角为π32时，c b a ++=5(2)若a ＋2b 与2a －b 垂直，则(a ＋2b )(2a －b )＝0，即2a 2＋3ab －2b 2＝0．于是ab ＝52-，从而cos θ＝⋅⋅a ba b ＝－1，所以θ＝π．19. （12分）（1）AB AN BN -=，4212122=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=AB AC BN ，221=BN 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 CAAADCBDACACBCDACD图①图②（22题图）120θθ60（2）)(21AC AB AM +=()439412=+=AC AB239=又因为()32121=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+=⋅AB AC AC AB BN AM所以914cos ==∠BN AM MPN ，912735sin =∠MPN . 20. （12分）（1）∵sin 1sin sin A a b B C a c -=-+-b c a c-=-，∴由正弦定理得a b cb c a c -=+-， ∴222a acbc -=-，2221cos ,0π22a cb B B ac +-==<<，60B =︒．∴8sin cos cos 2m n A B A ⋅=+224sin 12sin 2(sin 1)3A A A =+-=--+， ∴sin 1A =时，m n ⋅取得最大值3，此时90A =︒，又60B =︒，则30C =︒，ABC 是直角三角形； （2）由（1）知2223a c ac b +-==，∴2222()13()3()3()44a c a c ac a c a c +=+-≥+-⨯=+，∴a c +≤a c =时等号成立，∴a c b ++≤又a c b +>=∴a b c ++>∴三角形周长的取值范围是．21. （12分）解：(1)依题意，在△ABD 中，∠DAB ＝45°．由余弦定理得DB 2＝AD 2＋AB 2－2AD ·AB ·cos45°＝200，所以DB ＝D岛的距离为n mile ．(2)过点B 作BC AD ⊥于点C ．在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝，所以CD ＝AD －AC ＝．以D 为圆心，12为半径的圆交BC 于点E ，连接AE ，DE ．在Rt △DEC 中，CEBE ＝． 又AEsin ∠EAC ＝CE AE＝35，可得∠EAC ≈36°52′． 由于外国船只到达点E 所用时间为t ＝4BE(时)，所以海监船的速度v ≥AE t ＝20 (n mile /h )，航向为北偏东90°－36°52′＝53°08′，速度的最小值为20 n mile /h ． 22. （12分）（1）由120DOE ∠=︒，BOD θ∠=， 则120BDO θ∠=︒-，60COE θ∠=︒-，60CEO θ∠=︒+， 在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得， ()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE COθθ=︒-︒+ 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()()sin 60sin 60CE θθ︒-=︒+，所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()()sin 602sin 60AE θθ︒-=-︒+，()0,60θ∈︒.从而()()()sin 60sin 4sin 120sin 60AD AE θθθθ︒-+=--︒-︒+()()()sin 60sin 4sin 60sin 60θθθθ︒-=--︒+︒+()()sin sin 604sin 60θθθ+︒-=-︒+1sin sin 43θθθ+-==， 从而3AD AE +=为定值；（2）当60DOE ∠=︒，BOD θ∠=，则120BDO θ∠=︒-，120COE θ∠=︒-，CEO θ∠=， 在BOD ∆和COE ∆中，分别应用正弦定理可得， ()sin sin 120BD BO θθ=︒-，()sin 120sin CE COθθ=︒-， 故()sin sin 120BD θθ=︒-，()sin 120sin CE θθ︒-=，所以()sin 2sin 120AD θθ=-︒-，()sin 1202sin AE θθ︒-=-，()30,90θ∈︒︒，()()sin 120sin 4sin 120sin AD AE θθθθ︒-+=--︒-，()30,90θ∈︒︒.令()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，()30,90θ∈︒︒，()()sin 120sin sin 120sin y θθθθ︒-=+︒-，设()sin 120sin u θθ︒-=，则1y u u =+，()1sin sin 12022sin sin u θθθθθ+︒-==11tan 2θ=+， 由()30,90θ∈︒︒，tan θ⎫∈+∞⎪⎪⎝⎭，(1tan θ∈，111,2tan 22u θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 又1y u u =+在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在()1,2上单调递增， 而当12u =或2时，52y =，当1u =时，2y =，所以52,2y ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭， 因此34,22AD AE y ⎛⎤+=-∈ ⎥⎝⎦.。
湖北省武汉市育才高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题(解析版)
湖北省武汉市育才高中2023～2024学年4月月考高一数学试题一、单选题1. cos1,sin1,tan1的大小关系是 A. sin1cos1tan1<< B. tan1sin1cos1<< C. cos1tan1sin1<< D. cos1sin1tan1<<【答案】D 【解析】 【分析】在单位圆中作出1弧度角的正弦线、余弦线、正切线，由图可观察出它们的大小．【详解】如图所示,作出1弧度角的正弦线､余弦线､正切线分别为MP ,OM ,AT,由图知sin10>,cos10>,tan10>,且cos1sin1tan1<<,所以cos1sin1tan1<<.故选：D.【点睛】本题考查三角函数线的应用．三角函数线可能用来求三角函数值，解三角不等式，比较三角函数式的大小等．2. 若a ∈R ，则“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A 【解析】【分析】先求出2(i)a +为纯虚数的实数a 的值，再判断以“1a =”与“2(i)a +为纯虚数”分别为题设、结论和结论、题设的两个命题真假即可得解.【详解】因222i i)1(a a a =−++，则2(i)a +为纯虚数，当且仅当21020a a −= ≠ ， 即1a =−或1a =，于有1a =⇒2(i)a +为纯虚数，而2(i)a +为纯虚数 1a =， 所以“1a =”是“2(i)a +为纯虚数”的充分非必要条件. 故选：A3. 已知()0,θπ∈，3cos 5θ=−，则sin 2θ=（ ） A. 1225−B. 2425−C. 45−D.45【答案】B 【解析】【分析】根据cos θ求出sin θ，根据sin 22sin cos θθθ=求值. 【详解】3cos 5θ=−，()0,θπ∈， 4sin 5θ∴=，24sin22sin cos 25θθθ∴==−.故选：B.4. 如图所示的矩形ABCD 中，E ，F 满足BE EC =，2CF FD =，G 为EF 的中点，若AG AB AD λµ=+，则λµ的值为（ ）A.12B. 3C.34D. 2【答案】A 【解析】【分析】以,AB AD为基底，根据平面向量线性运算即可求解. 【详解】因为BE EC =，2CF FD =，G 为EF 的中点，所以()()11112222AG AE AF AB BE AD DF ++++ 1111111122232223AB BC AD DC AB AD AD AB =+++=+++是2334AB AD +， 所以23,34λµ==，所以231342λµ=×=.故选：A5. 已知向量(2,0)a =，sin b α= ，若向量b 在向量a 上的投影向量1,02c =，则||a b +=（ ）A.B.C. 3D. 7【答案】B 【解析】【分析】根据已知结合投影向量的概念得出1sin 2α=，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，b 在a 上的投影向量为2sin (2,0)(sin ,0)|||22|a b a a a αα⋅⋅==×， 又b 在a 上的投影向量1,02c =，所以1sin 2α=，所以1(2b =，所以5(2a b =+ ，所以||a b += .故选：B.6. 如图是某人设计的产品图纸，已知四边形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 在某圆上，且AD BC ∥，AD CD ⊥，4=AD ，3BC =，1CD =，则该圆的面积为（ ）．A.13π2B.17π2C. 9πD.5π4【答案】B 【解析】【分析】先根据直角三角形求出AC ,再利用余弦定理求出AB ,结合正弦定理可得圆的半径，然后可得面积. 【详解】连接AC ，在ACD 中，4=AD ，1CD =，AD CD ⊥，则AC =，所以sin CD CAD AC ∠=，AD CAD AC ∠= 因为AD BC ∥，所以ACB CAD ∠=∠，所以cos cos ACB CAD ∠=∠，sin sin ACB CAD ∠=∠所以2222cos 17932AB AC BC AC BC ACB =+−⋅⋅∠=+−=，所以AB =，设该圆的半径为R，则2sin ABR ACB==∠，所以该圆的面积为2217πππ2R =． 故选：B ．7. 折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面能折叠的扇子.某折扇如图1所示，其平面图为如图2所示的扇形AOB ，其半径为3，150AOB ∠=°，点E ，F 分别在 AB ， CD上，且2FE OF = ，则AF OE ⋅的取值范围是（ ）A. 156,2−B. 3C. 3,32−D. 6,3−+【答案】D 【解析】【分析】利用向量的运算及数量积的定义求出数量积，结合余弦函数的值域即可求解范围.【详解】设AOE θ∠=，则0150θ≤≤，因为13AF AO OF AO OE =+=+，所以2111()33cos(180)99cos 3333AF OE AO OE OE AO OE OE θθ⋅=+⋅=⋅+=××−+×=−+ ， 又0150θ≤≤，所以cos 1θ≤≤，所以69cos 33θ−≤−+≤，所以AF OE ⋅的取值范围是6,3 − .故选：D8. 在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积为S ，若222sin()SA C b c +=−，则1tan 2tan()C B C +−的最小值为（ ）A.B. 2C. 1D.【答案】A 【解析】 【分析】的222sin()S A C b c+=−结合面积公式，可得出22b c ac =+，由余弦定理得出2cos a c B c −=，再用正弦定理化边为角，得出2B C =，把所求式子用角C 表示，并求出角C 范围，最后用基本不等式求最值. 【详解】因为222sin()SA C b c +=−，即222sin S B b c=−， 所以22sin sin ac BB b c =−，因为sin 0B ≠，所以22b c ac =+，由余弦定理2222cos b a c ac B =+−，可得2cos a c B c −=，再由正弦定理得sin 2sin cos sin A C B C −=，因为sin 2sin cos sin()2sin cos sin()A C B B C C B B C −=+−=−， 所以sin()sin B C C −=，所以B C C −=或B C C π−+=，得2B C =或B π=（舍去）.因为ABC ∆是锐角三角形，所以02022032C C C ππππ<<<<<−<，得64C ππ<<，即tan C ∈，所以11tan tan 2tan()2tan C C B C C+=+≥−当且仅当tan C =，取等号. 故选:A【点睛】本题考查考查用正弦定理、余弦定理、面积公式解三角形，考查基本不等式求最值，属于较难题.二、多选题9. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（A ，ω，ϕ是常数，0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列结论正确的是（ ）．A. ()0f =B. 在区间π,03−上单调递增 C. 将()f x 的图象向左平移π6个单位，所得到的函数是偶函数 D. ()2π3f x f x=−−【答案】ABD 【解析】【分析】先根据图象求出()f x 的解析式，进而根据三角函数的图象和性质求解ABD ，根据三角函数图象平移法则判断C.【详解】由图象可知，2A =7ππ3π1264−−= ， 所以函数最小正周期2ππT ω==，所以2ω=，又7π7π2sin 221212f ϕ =×+=− ，即7πsin 16ϕ+=− ， 所以7π3π2π,62k k ϕ++∈Z ，所以π2π,3k k ϕ=+∈Z ，由π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x =+，所以()π02sin 3f ==，A 选项正确；当π,03x∈−时，πππ2,333x +∈− ，因为函数sin y x =在ππ,33 − 上单调递增，所以()f x 在区间π,03−上单调递增，B 选项正确；将()f x 的图象向左平移π6个单位，得函数()ππ2π2sin 22sin 2633g x x x=++=+的图象，其中()2π02sin 3g ==y 轴不是函数图象的对称轴，所以()g x 不是偶函数，C 选项错误；2π2ππ5π2sin 22sin 23333f x x x−=−+=− ()ππ2sin 2π22sin 233x x f x =−+=−+=−，所以()2π3f x f x=−−，D 选项正确. 故选：ABD10. 对于ABC 中，有如下判断，其中正确的判断是（ ）． A. 若8a =，10c =，60A =°，则符合条件的ABC 有两个 B. 若222sin sin sin A B C +>，则ABC 是锐角三角形 C. 若2sin ABC S a A = ，则cos A 的最小值为34D. 若点P 在ABC 所在平面且2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ + =++，[)0,λ∈+∞，则点P 的轨迹经过ABC 的外心． 【答案】CD 【解析】【分析】利用正弦定理解三角形可判断A 选项；利用余弦定理可判断B 选项；利用三角形的面积公式可得出，利用余弦定理结合基本不等式可判断C 选项；BC 的中点为D ，利用平面向量数量积证明DP BC ⊥，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由正弦定理可得sin sin c a C A=，则sin sin 1c A C a ==>， 故ABC 不存在，A 选项错误；对于B 选项，222sin sin sin A B C +>，由正弦定理得222a b c +>，则222cos 02a b c C ab+−=>，只能说明C 是锐角，另外两个角不一定是锐角，所以B 选项错误；对于C 选项，因为21sin sin 2ABC S a A bc A == ，因为()0,πA ∈，则sin 0A >，则212a bc =，由余弦定理可得22222112322cos 2224b c bc bc bcb c a A bc bc bc +−−+−==≥=， 当且仅当b c =时取等号，故cos A 的最小值为34，C 选项正确；对于D 选项，设线段BC 的中点为D ，连接PD ，由BD DC =，可得OD OB OC OD −=− ，所以，2OB OC OD +=， 由2cos cos OB OC AB AC OP AB B AC C λ + =++ ， 可得cos cos AB AC DP OP OD AB B AC C λ =−=+， 所以，cos cos cos cos AB BCAC BC BA BCCA CB DP BC AB B AC C AB BAC C λλ ⋅⋅⋅⋅⋅=+=−+()cos cos 0cos cos BA BC B CA CB C CB CB AB B CA C λλ ⋅⋅ =−+=−+=， 即DP BC ⊥，所以，点P 的轨迹经过ABC 的外心，D 选项正确． 故选：CD ．11. 圆O 半径为2，弦2AB =，点C 为圆O 上任意一点，则下列说法正确的是（ ）．A. AB AC ⋅的最大值为6B. []0,4OC AB AO −+∈C. 6AC BC ⋅>−D. 满足0AB AC ⋅=的点C 仅有一个【答案】AB 【解析】【分析】根据题意建立适当的平面直角坐标系，设()2cos ,2sin C αα，分别写出AB ，AC，的坐标，利用向量数量积的坐标表示可判断A ；先写出OC AB AO −+的坐标，再将向量的模转化为求三角函数的值域可判断B ；根据极化恒等式可判断C ；令0AB AC ⋅=，得到1cos 2α=−可判断D. 【详解】由题意，以O 为原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，()0,0O ，(1,A −，(1,B ，设()2cos ,2C sin αα， 0,2πα ，对于A ，()(2,02cos 1,2sin 4cos 2AB AC ααα⋅=⋅++=+，∵ 0,2πα ，∴[]cos 1,1α∈−，∴[]4cos 22,6AB AC α⋅=+∈−， ∴AB AC ⋅的最大值为6，故A 正确；对于B ，()()((2cos ,2sin 2,02cos 1,2sin OC AB AO αααα−+=−+−+∴OC AB AO −+=∵ 0,2πα ，∴[]πsin 1,16α−∈，∴[]0,4OC AB AO −+∈ ，故B 正确；对于C ，取AB 的中点为E ，则2221AC BC AC BC CE AD CE ⋅=⋅=−=− ，故C 错误； 对于D ，当0AB AC ⋅=时，即4cos 20α+=，解得2cos 3α=−， ∵ 0,2πα ，∴2π3α=或4π3α=，即符合条件的点C 有两个，故D 错误． 故选：AB ．【点睛】思路点睛：平面向量解决几何最值问题，通常有两种思路：①形化，即用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或取值范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行求解；②数化，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域，不等式的解集，方程有解等问题，然后利用函数，不等式，方程的有关知识进行求解.三、填空题12. 复数z 满足12i z =+，①|z |=2i 1z =−；③复数z 的虚部为2i ；④x z =是方程2250x x −+=在复数范围内的一个解．则以上四个结论中正确序号为_______．【答案】①④ 【解析】【分析】根据复数的几何意义计算进而判断①；根据共轭复数的概念判断②；根据复数的实部、虚部概念判断③；将x z =代入方程计算验证即可判断④. 【详解】因为12z i =+，则||z ==12i z =−，故选项②错误；复数z 的虚部为2，故选项③错误；因为22(12i)2(12i)514i 4i 24i 50+−++=++−−+=，故x z =是方程2250x x −+=在复数范围内的一个解，故选项④正确． 故答案为：①④．13. “丹凤朝阳敬英雄，马踏飞燕谁争锋！”2023年5月21日上午7:30分， 2023唐山马拉松在唐山抗震纪念碑广场鸣枪开跑，来自国内外的20000名选手齐聚于此，在奔跑中感受唐山这座英雄城市的魅力，用不断前行的脚步挑战极限、超越自我！唐山抗震纪念碑建在纪念碑广场内，建成于1986年纪念唐山抗震10周年之际.由主碑和副碑组成.纪念碑主碑和副碑建在一个大型台基座上，台基四面有四组台阶，踏步均为4段，每段7步，共28步，象征“七·二八”这一难忘时刻（如图1）.唐山二中某数学兴趣小组为测量纪念碑的高度MN ，如图2，在纪念碑的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为16.5m ，在地面上点C 处（B C N ，，三点共线）测得建筑物顶部A ，纪念碑顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得纪念碑顶部M 的仰角为15°，则纪念碑的高度约为_____米．【答案】33 【解析】【分析】由题意只需求出MN 的长，在AMC 中运用正弦定理求解即可. 【详解】由题意，MNC 为等腰直角三角形，设MN x =，则CN x =，MC =，在Rt ABC △中，33sin 30ABAC ==， 在AMC 中，105ACM ∠= ，45CAM ∠= ，则30CMA ∠= ，33sin 30=，解得33x =，即为纪念碑高度. 故答案为：3314. 定义平面非零向量之间的一种运算“※”，记cos sin b a b a θθ=+※，其中θ是非零向量a、b的夹角，若1e ，2e 均为单位向量，且1245e e ⋅=− ，则向量21e e ※ 与()12e e −※ 的夹角的余弦值为__________， 【答案】220221【解析】【分析】由向量的新定义结合数量积的运算律求解即可.【详解】因为1245e e ⋅=− ，所以124cos ,5e e =− ，则123sin ,5e e = ， 所以12124355e e e e =−+※，()21214355e e e e −=−※ ， 设向量21e e ※ 与()12e e −※的夹角为α，因为14355e −+=，13455e −+=， 22121211224334121255552525e e e e e e e e −+⋅−+=−⋅+12412442552525++， 则1212121243345555cos 43345555e e e e e e e e α −+⋅−+=−+⋅−+4422025221221125=， 故答案为：220221. 四、解答题15. 已知向量()1,2a =，()()1,bt t ∈R .（1）若()()a b a b +⊥−，求t 的值；（2）若1t =，a与a mb +的夹角为锐角，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）2t =− （2）()5,00,3 −∪+∞【解析】【分析】（1）求出向量a b − 、a b +的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出2t ≠，再由()()0a b a b +⋅−=，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数t 的值；（2）当1t =时，求出向量a mb + 的坐标，由题意可知，()0a a mb ⋅+> 且a 与a mb +不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数m 的取值范围. 【小问1详解】解：因为向量()1,2a =，()()1,bt t ∈R ，且()()a b a b +⊥−，则()2,2a bt +=+，()0,20a bt −=−≠，则20t −≠，可得2t ≠，所以，()()()()220a b a b t t +⋅−=+−= ，解得2t =−.【小问2详解】解：当1t =时，()1,1b =，则()()()1,21,11,2a mb m m m +=+=++ ，因为a 与a mb + 的夹角为锐角，则()()122350a a mb m m m ⋅+=+++=+> ，解得53m >−，且a 与a mb +不共线，则()221m m +≠+，可得0m ≠，综上所述，实数m 取值范围是()5,00,3 −∪+∞.16. （1）计算()()20211i 23i 14i 1i + +−+ −； （2）已知()5cos 13αβ−=−，4cos 5β=，π,π2α ∈ ，π0,2β∈，求()cos 2αβ−的值. 【答案】（1）146i +；（2）1665【解析】【分析】（1）利用复数的乘除运算和i 的周期性计算即可； （2）结合角的范围利用同角三角函数基本关系求得3sin 5β=，()12sin 13αβ−=，然后利用两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）因()()()21i 1i2ii 1i 1i 1i 2++===−−+，且4i 1=， 所以()2021505202141i i i i i 1i + ==⋅=− ，所以()()()20211i 23i 14i i 145i 146i 1i + +−+=++=+−. （2）由4cos 5β=且π0,2β∈，可得3sin 5β=，又由π,π2α ∈且π0,2β∈，可得()0,παβ−∈， 因为()5cos 13αβ−=−，可得()12sin 13αβ−=， 又因为()()()()cos 2cos cos cos sin sin αβαββαββαββ −=−−=−+−的为541231613513565=−×+×=. 17. 已知()sin ,cos a x x ωω=，()cos b x x ωω= ，0ω>，函数()f x a b =⋅的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c，且满足2A f=，a =4b =，角A 的平分线交BC 于D ，求AD 的长. 【答案】（1）5πππ,π1212k k−+，k ∈Z （2）AD = 【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及坐标运算结合三角恒等变换化简函数()f x ，再利用函数()f x 的周期求得解析式，最后利用结论法求得单调递增区间；（2）先求出角A ，再利用余弦定理求得6c =，最后利用面积分割建立方程求解. 【小问1详解】因为()sin ,cos a x x ωω=，()cos b x x ωω= ，则1a ==，()()2sin ,cos cos sin cos a bx x x x x x x ωωωωωωω⋅=⋅+1πsin 22sin 223x x x ωωω+++， 故()πsin 23f x a b a b a b x ω=⋅−=⋅⋅=+， 因为()f x 最小正周期为π，所以2ππ2T ω==，所以1ω=， 故()πsin 23f x x =+， 由πππ2π22π232k x k −+≤+≤+，k ∈Z ，解得5ππππ1212k x k −+≤≤+，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为5πππ,π1212k k −+，k ∈Z . 【小问2详解】由（1）及2A f =，即ππsin 2sin 233A A ×+=+=， 又()0,πA ∈，所以π2π33A +=，解得π3A =，因为a =4b =，由余弦定理：2222cos a b c bc A =+−可得：6c =或2c =−（舍）,又ABCABD ACD S S S =+ ，所以1π1π1π46sin 4sin 6sin 232626AD AD ×××=×××+×××，所以AD =. 18. 在ABC 中，D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，过点O 作一条直线分别交线段AB ，AC 于点M ，N ．（1）若3MO ON =，2AM =1AN =，3MAN π∠=，求AO ； （2）求AMN 与ABC 面积之比的最小值．【答案】（1 （2）14【解析】【分析】（1）先根据题意求得1344AO AM AN =+ ，再结合数量积的运算律即可求解； （2）先设[],,,0,1AM AB AN AC λµλµ==∈，再根据题意求得1144AO AM AN λµ=+ ，再根据平面向量基本定理，基本不等式和三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】依题意可得MO AO AM =− ，NO AO AN =−，又3MO ON =，则3MO NO =−，所以()3AO AM AO AN −=− ，所以1344AO AM AN =+ ， 所以22221311391924416441616AO AM AN AM AM AN AN =+=+××⋅+=，故AO =． 【小问2详解】设[],,,0,1AM AB AN AC λµλµ==∈ ， 由D 为BC 的中点，O 为AD 的中点，则()11111112224444AO AD AB AC AB AC AM AN λµ==×+=+=+， 又,,O M N 三点共线，则11144λµ+=，所以11144λµ=+≥，即14λµ≥，所以14AMN ABC S AM ANS AB AC λµ⋅==≥⋅△△， 当且仅当12λμ==时，等号成立，即min 14AMN ABC S S = △△． 19. 如图，半圆O 的直径为4cm ，A 为直径延长线上的点，4cm OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC ．设AOB α∠=．（1）当π3α=时，求四边形OACB 的周长； （2）克罗狄斯·托勒密（Ptolemy ）所著《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任的意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号，根据以上材料，则当线段OC 的长取最大值时，求AOC ∠．（3）问：B 在什么位置时，四边形OACB 的面积最大，并求出面积的最大值．【答案】（1）(6cm +； （2）π3；（3）当B 满足5π6AOB ∠=时，四边形OACB 的面积最大，最大值为(28cm + 【解析】【分析】（1）ABO 中，由余弦定理求出AB =OACB 的四条边长都已知，可求周长； （2）由OB AC OA BC AB OC ⋅+⋅≥⋅，得6OC ≤，取等号时πOBC OAC ∠+∠=，由cos cos 0OBC OAC ∠+∠=，由余弦定理求出AB ，再用余弦定理求cos AOC ∠，可得AOC ∠；（3）四边形OACB 的面积为21sin 2AOB ABC S S S OA OB AB α=+=⋅⋅+ ，表示成关于α的函数，结合正弦函数的性质求最大值． 【小问1详解】ABO 中，4OA =，2OB =，π3AOB α∠==， 由余弦定理得22212cos 164242122AB OA OB OA OB α+−⋅⋅+−×××，即AB =，于是四边形OACB 的周长为(26cm OA OB AB ++=+． 【小问2详解】因为OB AC OA BC AB OC ⋅+⋅≥⋅，且ABC 为等边三角形，2OB =，4OA =， 所以OB OA OC +≥，所以6OC ≤，即OC 的最大值为6，取等号时πOBC OAC ∠+∠=， 所以cos cos 0OBC OAC ∠+∠=，不妨设AB x =，则224361636048x x x x +−+−+=，解得x =，所以1636281cos 2462AOC +−∠==××，所以π3AOC ∠=．【小问3详解】在ABO 中，由余弦定理得2222cos 2016cos AB OA OB OA OB αα=+−⋅⋅=−，所以AB=，0πα<<，于是四边形OACB 的面积为21sin 2AOB ABC S S S OA OB α=+=⋅⋅)4sin 2016cos 4sin αααα=−=−+π8sin 3α−+当ππ32α−=，即5π6α=时，四边形OACB 的面积取得最大值为8+，所以，当B 满足5π6AOB ∠=时，四边形OACB 的面积最大，最大值为8+．。
山西省大同一中2024学年高一4月考数学试题
山西省大同一中2024学年高一4月考数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知11()x x f x e e x --=-+，则不等式()(32)2f x f x +-≤的解集是（ ）A ．[)1,+∞B ．[)0,+∞C ．(],0-∞D ．(],1-∞2．已知无穷等比数列{}n a 的公比为2，且13211112lim()3n n a a a →∞-++⋅⋅⋅+=，则242111lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=（ ） A ．13B ．23C ．1D ．433．已知椭圆E ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线240x y +-=与y 轴交于点A ，线段2AF 与E 交于点B .若1||AB BF =，则E 的方程为（ ）A ．2214036x y +=B ．2212016x y +=C ．221106x y +=D ．2215x y +=4．定义在R 上的偶函数()f x 满足()()11f x f x +=-()()0≠f x ，且在区间()20172018,上单调递减，已知,αβ是锐角三角形的两个内角，则()()sin cos f f βα,的大小关系是（ ） A ．()()sin cos βα<f f B ．()()sin cos βα>f f C ．()()sin =cos βαf fD ．以上情况均有可能5．已知函数()()()2sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><<，8f π⎛⎫= ⎪⎝⎭02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π且在()0,π上是单调函数，则下列说法正确的是（ ） A ．12ω=B．82f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．函数()f x 在,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．函数()f x 的图像关于点5,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称6．已知函数()()()2cos 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 在1711,1212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减B ．函数()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心是(),026k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭D ．函数()f x 的对称轴是()5212k x k Z ππ=-∈ 7．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为,F O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与双 曲线C 的一条渐近线交于点O 及点33,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则双曲线C 的方程为（ ） A ．2213y x -=B ．22126x y -=C ．2213x y -=D ．22162x y -=8．如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是( )A ．从2000年至2016年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B ．2011年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C ．2012年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番 ；D ．为了预测该地区2019年的环境基础设施投资额，根据2010年至2016年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y 与时间变量t 的线性回归模型ˆ9917.5yt =+，根据该模型预测该地区2019的环境基础设施投资额为256.5亿元.9．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有 A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种10．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．设函数()2ln x e f x t x x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭恰有两个极值点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．1,,233e e ⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．1,,23e ⎛⎤⎛⎫-∞+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭12．已知函数2()2f x x x =-，集合{|()0}A x f x =≤，{}|()0B x f x '=≤，则AB =（ ）A ．[-1,0]B ．[-1,2]C ．[0,1]D ．(,1][2,)-∞⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【2019最新】高一数学4月月考试题(含解析)(1)
【2019最新】高一数学4月月考试题（含解析）(1)一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项是正确的）1.1.已知集合，则=( )A. B.C. D.【答案】B【解析】分析：根据交集的定义求出即可.解析：根据交集的定义，.故选：B.点睛：（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．2.2.函数与的定义域分别为，则（ ）A. B. C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义域分别求得集合，然后根据并集的定义，即可求得结果.【详解】由题可知，，；，即.故选D.【点睛】本题考查函数定义域的求解和并集的定义，重点考查学生对基本概念的理解和计算能力，属于基础题. 3.3.设函数，则当时，的取值为（ ）A. -4B. 4C. -10D. 10 【答案】C 【解析】 令，则，选C.4.4.半径为，中心角为动点扇形的弧长为（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆弧所对的中心角为即为弧度，半径为πcm弧长为故选：A.5.5.已知函数在区间上是单调增函数，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次函数的图象与性质，可知区间在对称轴的右面，即，即可求得答案.【详解】函数为对称轴开口向上的二次函数，在区间上是单调增函数，区间在对称轴的右面，即，实数的取值范围为.故选B.【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，明确二次函数的对称轴、开口方向与函数的单调性的关系是解题关键.6.6.下列说法中错误的是( )A. 有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B. 若向量与不共线，则与都是非零向量C. 长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D. 方向相反的两个非零向量必不相等.【答案】C【解析】选项A中，有向线段是线段，因此位置是固定的，而向量是可自由平移的，但向量可用有向线段表示．故A正确．选项B中，由于零向量与任意向量共线，所以向量与不共线时，则与都应是非零向量，故B正确．选项C中，方向相反的两个向量一定共线，故C错误．选项D中，由于两向量的方向相反，不管长度怎样，则两向量一定不相等．故D正确．选C．点睛：向量与有向线段的关系（1）有向线段是具有方向和大小的线段，它的位置受两端点的限制；而向量也是有大小和方向的量，但向量可自由平移，且平移前后两向量为相等向量，所以有向线段和向量是两个不同的概念．（2）向量可用有向线段来表示，以体现向量具有方向和大小两方面的性质．7.7.若角是第三象限角，则点所在象限为( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】角是第三象限角，所以，所以点在第四象限.故选D.8.8.已知为第二象限角，则的值是（）A. -1B. 1C. -3D. 3【答案】B【解析】∵为第二象限角，∴。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
华中学校高一绸月份月考数学试卷第I卷（选择题，满分50分）一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. sin405：+cos(_270；)等于( )A. N B・2.若点(sin %os $位于第四象限，则角A.第一象限B.第二象限C・12D.在壬）C.第三象限D・第四象限3.对等式sin （ 如 sin cdsin 0的认识正确的是（ ） A.对于任意的角 Q B 都成立 B.只对a B 取几个特殊值时成立C.对于任意的角 a B 都不成立D.有无限个a 、0的值使等式成立(理)sin17 &os45Hcos17§in45 ? b - 2cos213^ 1, c =12A. c<a<b B ・ b<c<a C. a<b<c D ・ b<a<c 12 TT9.TT) sin GFTT,则tan2 a 的值为)® 26012060 120A. B.c.— 119D - _119119119= +=7- +（理）在公ABC 中， 内角A,B, C 所对边的绘别a, b, c, 且 acosC , bcosB , ccos A 满足2bcos cos ccos ，若 b 3 ,则a c 的最大值为 B a C A3 A. 2B. 3C. 2 3D. 9 10.（文）.在^ABC 中，下列关系式中一定成立的是A. a>bsinAB. a= bsinA I ・一丿 Sin TT C. （理）已知函数 (0 ( )a<bsinA < 一 1)D. a> bsinAJog 2014 + 1)4.在厶ABC 中， a = 3, b=5 4 厂-5 A * 5B ・9 sin47^^inl7. &杯05. =( 厂 cos17-4A ・_ 2B ・一2 6.计^F«os100 £ 」1-¥os1(A. — 2cos5 °B. 2cos5 °J sin A= 3才5 则 sin B=( )C . 3D ・1 ) -1 厶 C. 2 D ・2 釣（)C ・2sin5 °D ・ 2sin5 °a<b<c,且 c2<a2+b2,贝胚 ABC 钓 A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不存在A. 则厶ABC 的面谢3 3 B. 2 3 C.4 3 在厶ABC 中, 4-cos（错咿炯引用源。
，若a 、q 、c ）则B 等于=；15.（文）给出下列四个命题:互不相等，且f （a ） f （b ）f (c)，则 a c 的取值范围是（A.1,2014B.D. 1,2015二、 填空―,每小题5分,共25分.11. 12. 1 r 1若 tan 殳,则 cos20l-sin2 @53 2八 “ sin22 弋os45 &123 0化简 2 -0cos22 Tn45 訪23 -+ 0在厶ABC 中，角A 、 13. 则角A 的大小为B 、C 所对的边Ua 、_b 、 c,若 a= 2,sinB+cosB= 2,14.（文）已知（理）定义运算 sin(6~a "bsin(6 =ad — be •若 cos 71=a a =一1 GF ,7=P sin asin3 TT ,0<p<a<,P= 7T±-cos a cos14①对于向量、b 、c,若a|| b , b||c ，则a || c ；k②若角的集合人（I（Ji ）无字证^proofs without words ）,就是将数学命题用简单、有创意而且易于理輪 形来呈现•请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验的一个n 縫揍 公式：・③函数y 2*的图象与函数『 2X 的图象有且袒 2个公共点;④将函数f （ x ）的图象向右平彩个单位，得到f { x 2）的图象.其中真命题的序号是・（请写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）•cosBcosC —sin B sin C =—A, B, C为ZkABC的三内角，其对边分别为a, b, c,若 2= J + 一A（1）求A；（2）若a 才扌，b c 心求△ ABC的面积.17.（本小题满分12分）_• a _ ° a 亡—7T P _ -5- Psin = COS =已知，(,), 一，是第三象限的a卩5 2 13求COS （—）的值18. （本小题满分12分）在ZkABC中，角A, B, C对应的边分别是a, b, c,已知cos 2A— 3cos(B+ C)= 1.(1)求角A的大小；(2)若厶ABC的面积A5 3, b = 5,求sin Bsin C的值.19. （本小题满12分）（文）如图，一艘船上午9： 30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方厂向匀速航行，上午10： 00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75。
处，且与它相距8 2 n mile.求此船的航速JT~3（理）如图，已知OPQ是半径为1,圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形•记Z COP农，求当角a取何值时，矩形ABCD的面积最大？并求出这个最大面积.O A B p20. (本小题满分13分)己知A、B(A B)是Rt ARC的两锐角，若存在一正实数k使sin A , sin B是方程225x -(10*5k)x+2k 亠2 =0 的两根.求：(i)k 的值；(n) cos(A B)白屜.(文)设向量a= ({3sinx, cosx), 向严b=(cosx, -cosx), 记f(x)=a・b+2 21. (本小题满分14分)f(x)的最大值及取得最大值吋对应的X的值⑴写岀函数f(x)的最小正周期;2f(x)iog」[x _2(2a_1)x+ 8](a e R)2(理)已知函数(1)若使函数f(X)在[a,+oC)上为减函数，求a的取值范围;3- (2)当a = 4时，求7T Kf (sin(2x_ ~)), x" [~~3 12］2的值域; f(x)(3)若关于X的方程1 log x 31在［1 ,3］上仅有一解，求实数a的取值范围.2华中学校高一年级四月份月考数学试题参考答案二、解答题:16.试題舁析：(1) vcosBcosC-stnBstnC-i2 j丄 2zr又g ——-・・・如—.八亍(2)由余弦走理a 2-^+c a-2Zc cos/<得(2J3)2-(^+c)a-2bc-2bc cosy —Ac sin —=2 2 2sin a乂山 n ）s tv I a>s /所以ci >s(a /?) n>s aa>b J • sin asin /=(-I)x(-A)4x(-li)33 65,一.选择题:1 —5DBDBC6-10 6C 7B8 (文) T —3.4 X — 7r- 6二•填空题:(a + Psindi 4—s on siC （理）A 9（文）B （理）C 10（文）B （理）C7（文）丞（理）彳15 （文）②④“（理）.・.cos(B + C)- —z 12 =16—2dc —2Ac ・(―—)，be =4 .•- S A 亿［解答］||| sin a 广• a€cx>s u （一尙n18.［解答］⑴由 cos 2A — 3cos(B+ C) = 1,得 2cos2A+3cos A —2= 0,即(2cos A — 1)(cos A+2) 1 =0,解得cos A=或 _ 2 T 1 (2) ill S besin A = 2 2 71 舍去).因为OvAv/r,所以A= 3 < bc=5 3,得 bc=20,又 b = 4 由余弦定理得 a2= b2+ c2- 2bccos A= 25+16^ 20 = 故 a 三 3 bc ・ 2 3 c= 4. 21.b c 从而由正弦定理得 sin B sin C=sin A sin A= a a be 20 3 5 sin2A= ( a2 21 4 1 19.(文)设航速为 v n mile/h ,在△ ABS 中，AB= v, 2BS = 8 2 n mile ,-5-ZBSA=45°,由正弦定理，得 1 2v ,/.v= 32 n mile/h. sin 30 ° sin 45 0 (理)解：如图，證 RtAOB^, OB=cosa BC=s T a ~3 在 RtA OAD 中, DA= BC= sin a 1 V3 聊形AB0D 1 三网 2 co^2 a - 兀 ,所以 0A= cos a sin2a+ 所以AB=OB - 兀出 =tan60V sin (2 a 亏) 兀 由于OVaV-了，所以当 2a + 因此，当a 二吋，矩形 _V3 3 V3 a) sin a =sin a cos a sin2 a cos2 a) 1 V3 V3 73 TT V3 最大石-= ABCD 的曲■积龜担最大面积为 20. ■ f 角军答］(I )由题意知: 4 sin A 、sin B 是方程 +25x (40 5k)x + = -------------------- = --------- 2k 2 0的两根, s i rA ・ 1^0 5 s iBa --------- 25 + 2 k =cAa-s — 5 s i rA + s iBn 2=靳 25 A i n Ac o si rA :+ 2・ ) ccAsAcos 2 2= k 25 (n) k 5 时, 方程 2 25x 0) 35x 12 0两根为 50 (满足 ) 3 s i nA 5 3 ,Bc o s cos( A B) cos Acos B sin Asin Bj 21 ・(文)解⑴f(x)=ab=^sinxcosx - cos2x + 211 + cos2x=sin2x -22TT最小正周期T=——I M€ I——一X「2」(2)2x r一s当 6 2、I——+ >2a 1 a4（理）— 2_ +解：（1）a 2(2a 1)a_8 0 3 ■ 3 n 汽f（X）•(2)当：=4一_ =吋，X 冥<3 时，函数f x的最大值及取得最大值1（12 分）a1■・・・・・・(■■ ^4)log 7T___ +2一1(X一 2X*)'n7T<2x7T7T2x«-+ 2 =sin I 6sin(2 ) x 3f(Qn ②工)) 3 2 7T 1 (sin (2>e- [(sin(2x sin(2x )8) log J 314]3531 (••9 log 分）12 2x24a = x + —,x € [13]3S专或仕2妃返即4 12或沪2即x t由对勾图形可知二................................ (14 分)。