两个实用同态加密方案
同态加密的百万富翁问题高效解决方案
同态加密的百万富翁问题高效解决方案同态加密是一种重要的密码学技术，可以实现在加密状态下进行计算，保护数据隐私。
在实际应用中，同态加密可用于处理敏感数据，如医疗健康、金融交易等领域。
本文将介绍同态加密在解决百万富翁问题上的高效方案。
百万富翁问题是一个经典的数学问题，它的描述如下：公正的硬币抛掷若干次，若第一次正面朝上，甲方付给乙方一元钱；否则乙方付给甲方2的$n$次方元钱，其中$n$为正整数。
问题是什么情况下甲方能够确保比赛赢得到钱？传统的解决方案需要进行大量的计算，特别是在$n$较大时，计算复杂度非常高。
而同态加密可以改变这种情况，将所有的计算转化为在加密状态下进行，最后解密得到结果。
下面我们介绍如何使用同态加密来解决百万富翁问题。
首先，我们需要将问题转化为一个数学公式，即：$$A = \left\{\begin{aligned}1, & \text{第1次正面朝上} \\2^n, & \text{第1次反面朝上}\end{aligned}\right.$$其中$A$表示乙方要支付给甲方的金额。
使用同态加密，我们可以将$A$加密后得到一个密文$E(A)$，并对$E(A)$进行加密操作，得到$E(A^2)$。
接着，我们将$E(A^2)$发送给甲方，让甲方对其解密。
这样，甲方就能得到$A^2$的值了。
通过这种方法，可以得出以下公式：$$A^2 = \left\{\begin{aligned}1, & \text{第1次正面朝上} \\2^{2n}, & \text{第1次反面朝上}\end{aligned}\right.$$然后我们将$A^2$加密后得到$E(A^2)$，并对其进行加密操作，得到$E(A^4)$。
按照上述方式继续操作，我们可以得到：$$\begin{aligned}E(A^1) \to E(A^2) \to E(A^4) \to E(A^8) \to \cdots \to E(A^{2^{n-1}})\end{aligned}$$通过这种方式，甲方就能够得到$A^{2^{n-1}}$的值了。
同态学习的加密算法介绍
同态学习的加密算法介绍在当今信息时代，数据安全成为了一个越来越重要的问题。
随着云计算、大数据等新兴技术的发展，我们需要一种更加高效、安全的方式来处理数据。
同态加密算法作为一种新型的加密技术，正在逐渐受到人们的重视。
本文将介绍同态学习的加密算法，包括其基本概念、应用场景以及发展前景。
一、基本概念同态加密是指对加密数据进行计算，得到的结果可以在解密后和在未加密前的数据相同。
简单来说，就是能够在加密状态下进行一些特定的运算，然后得到加密后的结果，再进行解密后得到正确的结果。
这种加密技术可以在不暴露数据的情况下进行计算，增强了数据的安全性。
同态加密算法包括完全同态加密（Fully Homomorphic Encryption, FHE）和部分同态加密（Partially Homomorphic Encryption, PHE）两种类型。
FHE可以进行任意多次的加法和乘法操作，而PHE只能进行一种运算（加法或者乘法）。
二、应用场景同态加密算法在实际应用中有着广泛的应用场景。
首先，它可以应用于云计算领域。
在云计算中，用户可以将数据加密后上传到云服务器上进行计算，然后再将结果解密得到正确的结果。
这样可以保护用户的隐私数据，同时又能够享受云计算带来的便利。
其次，同态加密算法也可以用于安全计算。
比如，在医疗健康领域，医院可以对患者的健康数据进行同态加密后上传到云服务器上进行分析，而不必担心数据泄露问题。
此外，金融领域、物联网领域等都可以应用同态加密算法来保护数据的安全性。
三、发展前景同态加密算法的出现为数据安全提供了全新的解决方案，其发展前景十分广阔。
目前，同态加密算法还存在一些问题，比如性能低下、运算速度慢等，但随着技术的不断进步，这些问题有望得到解决。
未来，同态加密算法有望在各个领域得到更加广泛的应用。
总的来说，同态加密算法是一种非常有潜力的加密技术，可以保护用户的隐私数据，同时又能够在加密状态下进行计算。
它在云计算、安全计算等领域有着广泛的应用前景，将为数据安全带来全新的解决方案。
同态bfv算法
同态BFV算法是基于RLWE难题的全同态加密方案。
BFV算法，全称Brakerski-Fan-Vercauteren算法，是一种实现全同态加密（FHE）的方法。
它允许在加密数据上直接进行计算，而无需先对数据进行解密。
这种算法对于保护数据隐私和安全具有重要的意义，因为它可以在不暴露原始信息的情况下，对加密数据进行处理和分析。
以下是关于BFV算法的一些关键信息：
1. 算法基础：BFV算法是基于环上的学习带错误问题（Ring-LWE或RLWE）构建的。
RLWE问题是LWE（学习带错误问题）的一个变种，它们都属于格密码学的范畴。
2. 优化重线性化：BFV算法引入了两种优化版本的重线性化技术，这些技术能够减少重线性化密钥的大小，并且加快计算速度。
重线性化是全同态加密中的一个重要步骤，它允许加密数据的多次运算而不会耗尽密文的“噪音”容量。
3. 实用性：BFV算法是第二代同态加密方案中的核心之一，它被广泛应用于各种需要隐私保护的计算场景。
微软的全同态加密软件库SEAL最初就是基于BFV算法实现的。
4. 全同态特性：BFV算法支持全同态操作，这意味着可以在加密数据上执行任意深度的电路计算。
通过使用bootstrapping程序，部分同态加密可以转换为全同态加密，从而允许更深的电路计算。
《基于同态加密和CP-ABE的可搜索加密方案的设计及优化》范文
《基于同态加密和CP-ABE的可搜索加密方案的设计及优化》篇一一、引言随着云计算和大数据的快速发展，数据的安全存储和共享成为了重要的研究课题。
在保障数据安全与隐私的同时，还需要支持高效的数据共享和搜索功能。
因此，可搜索加密（Searchable Encryption, SE）方案成为了解决这一问题的有效途径。
本文旨在探讨基于同态加密（Homomorphic Encryption, HE）和CP-ABE （Ciphertext-Policy Attribute-Based Encryption）的可搜索加密方案的设计及优化。
二、同态加密与CP-ABE的概述同态加密是一种允许对密文进行复杂的数学运算并保持原有关系不变的技术，其在处理复杂的数据计算中具有重要意义。
而CP-ABE则是一种支持基于属性的加密方案，可以提供更为灵活的访问控制策略。
结合两者特性，我们可以在保证数据隐私的同时实现数据的可搜索和可访问控制。
三、方案设计3.1 设计思路基于同态加密的方案可以实现数据的无损处理，从而支持数据查询，但这种方法可能导致处理成本过高；而CP-ABE可以实现对密文的高效访问控制，但其缺点是只能满足固定模式的查询条件。
为了满足更加复杂的场景需求，我们将这两种技术结合设计新的可搜索加密方案。
3.2 整体框架该方案由三部分组成：密钥生成器（Key Generator, KGen）、加法同态密文创建模块（Homomorphic Encryption Module, HEM）以及基于属性的解密与查询模块（Attribute-Based Decryption & Search Module, ABDSM）。
其中，KGen用于生成公共和私有参数以及公私钥等；HEM则使用同态加密技术对数据进行加密，并在保持加密属性不变的情况下，实现对数据的计算；ABDSM则根据CP-ABE的访问控制策略进行解密和查询操作。
四、关键技术实现4.1 同态加密的实现在HEM中，我们采用加法同态加密算法对数据进行加密。
同态加密
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检索算法：
1）用户在上传同态加密后的文档时，会在文档首部加入用户加密时使用的Q 与 实时产生的随机大数 Q*Rt 的乘积 。 2）用户在进行检索时，要向服务器提供检索需要的关键词密文Key。其中Key 的值是通过下面计算得到的： Key = (mm + P*R2) mod N 其中mm 是对应的明文中的关键词，Key 是经过同态加密后的结果。 3）服务器后的操作是： 假设已知的密文是： Ci = (Mi + P*R1) mod N 则对应于用户提供的关键词： Key = (mm + P*R2) mod N 检索时的操作是： （1）用用户的公钥解密文章首部的Q*Rt。 （2）计算： res = ((Key – Ci ) * Q * Rt) mod N = (((mm + P*R2) – (mi + P*R1) mod N = ((mm – mi)*Q*Rt+(R2 – R1) * P*Q*Rt) mod N （3）如果res=0，则匹配，否则，不匹配。
所以，算法具有加法同态性。
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同态性验证：
同态减法特性验证： 假设有两组明文M1 和M2，分别对他们用上述的加密算 法进行加密得到C1 和C2。 C1 =（M1+P*R1）mod N C2 =（M2+P*R2） mod N 则对于明文操作M3=M1-M2，有密文操作： C4= C1 - C2 = (M1-M2+P*(R1-R2)) mod N = (M4+P* (R1-R2 )) mod N 对C3 进行解密： M4 = C3 mod P =（C1-C2）moP = M1-M2
所以，算法具有减法同态性。
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同态性验证：
同态乘法特性验证： 假设有两组明文M1 和M2，分别对他们用上述的加密算 法进行加密得到C1 和C2。 C1 =（M1+P*R1）mod N C2 =（M2+P*R2） mod N 则对于明文操作M5=M1*M2，有密文操作： C5 = C1 * C2 = ((M1+P*R1)*(M2+P*R2)) mod N = (M1*M2 + M1*P*R2+M2*P*R1 + P2*R1*R2) mod N = (M1*M2 + P*R3) mod N = (M5+P*R3) mod N 对C4进行解密： M5 = C5 mod P =（C1*C2）mod P = ( (M1+P*R1) * (M2+P*R2) )mod P = (M1*M2 + M1*P*R2 + M2*P*R1 + P2*R1*R2) mod P = M1*M2 所以，算法具有乘法同态性。
同态学习的加密算法介绍(七)
同态学习的加密算法介绍同态学习的加密算法是一种重要的数据加密技术，它具有许多非常有用的应用。
在本文中，我将介绍同态学习的基本概念和原理，以及一些常见的同态学习加密算法。
概念和原理同态学习是一种特殊的加密技术，它允许在加密状态下执行计算，并在解密后获得正确的结果。
换句话说，同态加密允许在加密状态下对数据进行操作，而无需解密它们。
这种特性对于安全地处理敏感数据非常有用，因为它可以避免在数据处理过程中暴露数据的明文。
同态学习的基本原理是利用数学上的同态性质，即在两个加密数据之间进行运算后，得到的结果与对应的明文数据进行运算后的结果是相同的。
这种性质使得同态加密能够在不暴露数据明文的情况下进行计算。
常见的同态学习加密算法目前，有许多不同的同态学习加密算法，每种算法都有其特定的优点和局限性。
以下是一些常见的同态学习加密算法：1. RSA同态加密算法RSA是一种非对称加密算法，它使用两个密钥对数据进行加密和解密。
RSA 同态加密算法利用RSA算法的数学性质来实现同态加密。
虽然RSA同态加密算法在理论上是可行的，但实际应用中面临着性能和安全性方面的挑战。
2. 阶梯同态加密算法阶梯同态加密算法是一种基于整数编码的同态加密方案，它利用离散对数问题和素数分解问题的困难性来实现同态性。
阶梯同态加密算法在实践中表现出良好的性能和安全性，因此被广泛应用于各种加密场景。
3. 基于椭圆曲线的同态加密算法基于椭圆曲线的同态加密算法利用椭圆曲线离散对数问题的困难性来实现同态性。
由于椭圆曲线算法在密钥长度较短的情况下提供了与RSA相当的安全性，因此基于椭圆曲线的同态加密算法被广泛应用于移动设备和物联网等资源受限的环境中。
应用场景同态学习的加密算法在许多领域都有着广泛的应用。
其中，医疗保健领域和金融领域是同态学习加密算法最为重要的应用场景之一。
在医疗保健领域，医疗数据的隐私和安全性是非常重要的。
同态学习的加密算法可以帮助医疗机构在不暴露患者敏感数据的情况下进行数据分析和共享，从而提高医疗数据的利用率和安全性。
数据隐私保护的同态加密方法
数据隐私保护的同态加密方法随着互联网和数字化时代的到来，数据的价值越来越被重视，但同时也带来了数据隐私泄露的风险。
个人的敏感信息和商业机密都需要得到妥善的保护，以防止未经授权的访问和使用。
在保护数据隐私方面，同态加密方法在近年来得到了广泛的研究和应用。
同态加密是一种特殊的加密技术，它允许在密文的基础上进行特定计算操作，得到与这些操作在明文上相同的结果，而无需解密密文。
这意味着数据可以在加密状态下进行计算，并在解密后获得准确的结果，而不会泄漏数据的明文。
因此，同态加密成为了数据隐私保护的有力工具。
一种常用的同态加密方法是基于RSA算法的同态加密。
RSA 算法是一种非对称加密算法，它使用了两个密钥：公钥和私钥。
发送方使用公钥对数据进行加密，而接收方使用私钥进行解密。
在基于RSA的同态加密中，操作在密文上进行的同时，密文的形式也保持在同一加密系统中。
这种方法的优点是简单易用，并且可以对任何形式的数据进行计算。
另一种同态加密方法是基于Paillier密码系统的同态加密。
Paillier密码系统是一种概率加密方法，它是非对称加密算法的一种变体。
在Paillier密码系统中，加密是通过将明文进行加密和乘法混淆实现的。
该方法具有较高的计算效率和安全性，并且广泛应用于隐私保护领域。
同时，近年来的研究也提出了更先进的同态加密方法，如基于椭圆曲线密码系统的同态加密。
椭圆曲线密码系统是一种基于数论问题的非对称加密方法，其公钥密码学的安全性较高。
基于椭圆曲线密码系统的同态加密通过使用椭圆曲线上的点进行计算，可以实现更高级的同态加密操作。
在实际应用中，同态加密方法可以用于保护个人隐私数据。
例如，在医疗保健领域，同态加密可以用于对患者的敏感医疗数据进行加密和计算，以提供个性化的医疗建议，同时保护患者的隐私。
同样，在金融领域，同态加密可以用于进行安全的数据分析和数据共享，以促进金融机构之间的合作，同时保护客户的隐私。
尽管同态加密方法在数据隐私保护方面具有巨大潜力，但目前仍存在一些挑战和限制。
《基于同态加密和CP-ABE的可搜索加密方案的设计及优化》范文
《基于同态加密和CP-ABE的可搜索加密方案的设计及优化》篇一一、引言随着云计算和大数据的快速发展，数据的安全存储和共享成为了重要的研究课题。
然而，传统的加密技术无法在保护数据隐私的同时实现高效的数据检索功能。
为此，基于同态加密和CP-ABE的可搜索加密方案被提出，它不仅确保了数据的安全性，同时也为数据的快速检索提供了有效的解决方案。
本文将探讨这一方案的设计思路及其优化措施。
二、同态加密与CP-ABE简介同态加密是一种特殊的加密技术，允许在密文上进行某些计算并保持数据的隐私性。
这种技术常用于云环境下的数据计算。
另一方面，CP-ABE（基于属性的加密）是一种访问控制机制，允许根据用户的属性来决定是否可以访问特定的数据。
这种机制为数据的共享提供了灵活的访问控制策略。
三、基于同态加密和CP-ABE的可搜索加密方案设计1. 方案设计概述本方案结合同态加密和CP-ABE的优点，设计了一个可搜索的加密方案。
在这个方案中，用户将数据通过同态加密算法进行加密后存储在云端，同时通过CP-ABE的访问控制策略对数据进行访问控制。
当用户需要检索数据时，可以在密文上进行同态计算以匹配关键词，并利用CP-ABE的访问控制策略进行验证。
2. 具体设计步骤（1）数据拥有者将原始数据通过同态加密算法进行加密后存储在云端。
（2）为每个用户生成一个属性集，并根据需要设定访问控制策略。
（3）当用户需要检索数据时，通过同态计算在密文中匹配关键词。
（4）云端将匹配到的密文返回给用户。
（5）用户使用自己的私钥对密文进行解密，并根据CP-ABE 的访问控制策略进行验证。
四、方案优化措施1. 性能优化为了提升方案的性能，我们可以采取以下措施：（1）选择高效的同态加密算法以减少计算开销。
（2）优化访问控制策略，减少不必要的验证过程。
（3）采用分布式存储技术以提高数据的存储和检索效率。
2. 安全性增强为了增强方案的安全性，我们可以采取以下措施：（1）引入更多的同态加密算法以提高数据的保密性。
同态加密方案
若一个加密方案对密文进行任意深度的操作后解密，结果与对明文做相应操作的结果相同，则该方案为完全同态加密方案。
通常一个公钥加密方案有三个算法：KeyGen算法（密钥生成），Enc算法（加密），Dec算法（解密）。
但是在全同态加密中，除了上述三个算法之外，还包含第四个算法：Evaluate算法（密文计算），这个算法的功能是对输入的密文进行计算。
KeyGen算法（密钥生成）用于生成公钥和密钥，公钥用于加密，私钥用于解密。
还可能生成另外一种公钥，即密文计算公钥，我们把它称之为Evk。
密文计算公钥Evk的作用是在执行Evaluate算法时用到，而且Evk 的形式与使用的全同态方案直接相关。
例如，如果是通过启动技术（Bootstrapple）获得全同态加密，即每次密文计算前要用同态解密约减密文的噪音，这时Evk就是对密钥的每一位加密后生成的密文，即密钥有多少位，Evk里包含的公钥就有多少个。
Evk中每个公钥的大小就是使用Enc加密后产生密文的大小。
当然还有其他情况，例如，如果使用密钥交换与模交换技术获得全同态加密，典型代表就是BGV方案。
这时Evk中包含的就是L–1个矩阵，L是方案中电路的深度，该矩阵用于密钥转换。
每次密文计算后，都需要使用Evk中的公钥将维数扩张的密文向量转换成正常维数的密文向量。
当然还有一种情况就是不需要Evk，例如在Crypto13会议的论文GSW13中，Gentry使用的密文是矩阵（方阵），所以密文乘积或相加不会产生密文维数改变的事情，所以在密文计算时没有用到公钥，这也是该论文可以产生基于身份或基于属性全同态加密方案的根本原因。
Enc算法（加密）和我们平常意义的加密是一样的，但是在全同态加密的语境里，使用Enc算法加密的密文，一般称之为新鲜密文，即该密文是一个初始密文，没有和其他密文计算过。
所以新鲜密文的噪音称之为初始噪音。
Dec算法（解密）不仅能对初始密文解密，还能对计算后的密文解密。
全同态加密方案
引言全同态加密是一种先进的加密技术，可以将加密数据进行计算而无需解密，在计算结果上也能保持加密状态。
这种加密方案广泛应用于云计算、数据隐私保护等领域，具有重要的研究和实际价值。
本文将介绍全同态加密的基本概念、原理和应用，并探讨其在信息安全领域的前景。
全同态加密的基本概念全同态加密是指一种加密方案，允许对密文进行计算操作，得到的结果仍然是加密后的数据。
具体来说，对于两个密文C1和C2，全同态加密方案应具备以下性质：1.加法同态性: 对于明文m1和m2，通过加密算法加密得到的密文C1和C2，满足C1+C2 = Enc(m1) + Enc(m2) = Enc(m1+m2)。
即，对密文进行加法运算的结果与对应的明文之和的加密结果相同。
2.乘法同态性: 对于明文m1和m2，通过加密算法加密得到的密文C1和C2，满足C1 * C2 = Enc(m1) * Enc(m2) = Enc(m1 * m2)。
即，对密文进行乘法运算的结果与对应的明文乘积的加密结果相同。
3.解密性: 对于密文C，通过解密算法解密得到的结果D(C)，满足D(C) = m。
即，密文经过解密操作能够还原为明文。
全同态加密的实现原理主要基于数学上的复杂运算和密码学技术。
其中，主要的数学基础涉及到离散对数问题、整数分解问题等难题。
具体实现全同态加密的算法有DGHV方案、BGV方案等。
下面简要介绍DGHV方案的原理：DGHV方案是一种基于整数分解问题的全同态加密方案。
其主要思想是通过整数分解问题构建一个同态系统，并利用置换和扩展技术来实现同态性。
具体实现步骤如下：1.参数生成：选择合适的安全参数n，并生成两个大素数p和q，使得p q >n^2。
此外，还需生成一些辅助参数，如模数N=p q、生成元g。
2.密钥生成：随机选择一个秘密密钥sk，并根据参数生成公钥pk。
3.加密算法：对于明文m，根据公钥pk和参数生成一个加密密钥ek，并将明文m和加密密钥ek进行加密，得到密文C。
多次加法和一次乘法的同态加密方案_概述说明
多次加法和一次乘法的同态加密方案概述说明1. 引言1.1 概述:在现代信息社会中，数据安全和隐私保护是至关重要的。
同态加密技术作为一种强大的密码学工具，在解决隐私保护和数据处理方面发挥着重要的作用。
同态加密技术允许在不暴露原始数据的情况下对其进行计算，使得云计算等场景下的数据共享变得更加安全可行。
本文旨在介绍一种特殊类型的同态加密方案，即多次加法和一次乘法的同态加密方案。
该方案通过支持多次加法和一次乘法操作实现了高效且安全的数据处理能力。
我们将详细探讨这个方案的原理、实现以及与其他同态加密方案进行对比分析。
1.2 文章结构:本文主要由以下几个部分组成：- 引言：介绍文章的背景、目的和结构。
- 多次加法和一次乘法的同态加密方案：详细介绍该方案的基本概念、原理和实现方法。
- 多次加法和一次乘法同态加密方案的对比分析：从安全性、效率和应用场景等角度与其他同态加密方案进行比较。
- 结论和展望：总结主要发现，讨论存在的问题与挑战，并提出对进一步研究方向的建议。
1.3 目的:本文的目的是介绍多次加法和一次乘法的同态加密方案，并通过比较分析评估其在数据安全和处理效率等方面的优劣。
希望通过本文的阐述，读者可以更深入地理解同态加密技术及其应用，并了解这个特定方案在实际场景中的潜力和局限性。
最后，我们也希望为相关领域的研究者提供进一步探索该方向的研究建议。
2. 多次加法和一次乘法的同态加密方案2.1 同态加密的基本概念同态加密是一种特殊的加密技术，可以在不解密数据的情况下进行运算操作。
与传统的加密方式不同，同态加密方案允许对加密数据进行数学运算，得到的结果仍然以加密形式存在。
其中，多次加法和一次乘法是两种常见的同态运算。
2.2 多次加法同态加密方案的原理与实现多次加法同态加密方案基于公钥密码学原理，并采用混合密码体制来实现。
其核心思想是将待计算的数据进行分割并分别进行加密，在保证计算过程中不泄露信息的前提下完成所有的相应操作。
同态加密——精选推荐
同态加密⼀：什么是同态加密（Homomorphic Encryption）Craig Gentry给出的直观定义：A way to delegate processing of your data, without giving away access to it. ⼀般的加密⽅案关注的都是数据存储安全。
没有密钥的⽤户，不可能从加密结果中得到有关原始数据的任何信息。
我们注意到，这个过程中⽤户是不能对加密结果做任何操作的，只能进⾏存储、传输。
对加密结果做任何操作，都将会导致错误的解密，甚⾄解密失败。
同态加密⽅案最有趣的地⽅在于，其关注的是数据处理安全。
同态加密提供了⼀种对加密数据进⾏处理的功能。
也就是说，其他⼈可以对加密数据进⾏处理，但是处理过程不会泄露任何原始内容。
同时，拥有密钥的⽤户对处理过的数据进⾏解密后，得到的正好是处理后的结果。
⼆：同态加密有什么⽤处？同态加密⼏乎就是为云计算⽽量⾝打造的！我们考虑下⾯的情景：⼀个⽤户想要处理⼀个数据，但是他的计算机计算能⼒较弱。
这个⽤户可以使⽤云计算的概念，让云来帮助他进⾏处理⽽得到结果。
但是如果直接将数据交给云，⽆法保证安全性啊！于是，他可以使⽤同态加密，然后让云来对加密数据进⾏直接处理，并将处理结果返回给他。
这样⼀来：⽤户向云服务商付款，得到了处理的结果；云服务商挣到了费⽤，并在不知道⽤户数据的前提下正确处理了数据；但是，这么好的特性肯定会带来⼀些缺点。
同态加密现在最需要解决的问题在于：效率。
效率⼀词包含两个⽅⾯，⼀个是加密数据的处理速度，⼀个是这个加密⽅案的数据存储量。
业界如何评价全同态加密的构造？在此引⽤⼀个前辈的话：如果未来真的做出了Practical Fully Homomorphic Encryption，那么Gentry⼀定可以得到图灵奖。
（第⼀个构造出全同态加密⽅案的⼈是Gentry）三：同态加密具体如何定义？我们在云计算应⽤场景下⾯进⾏介绍：Alice通过Cloud，以Homomorphic Encryption（以下简称HE）处理数据的整个处理过程⼤致是这样的：1. Alice对数据进⾏加密。
同态加密的原理与应用
同态加密的原理与应用同态加密是一种特殊的加密技术，它具有在密文域进行计算操作的能力，而无需解密密文。
这种加密方法在计算机安全领域具有重要的应用价值。
本文将介绍同态加密的原理及其在实际应用中的相关场景。
一、同态加密的原理同态加密的原理是基于离散对数和大素数等数学难题。
同态加密算法允许在不知道密文的情况下对密文进行某些计算，然后得到结果的加密形式。
具体而言，同态加密分为完全同态加密和部分同态加密两种类型。
完全同态加密（Fully Homomorphic Encryption，FHE）能够实现任意加法和乘法运算，并且保持计算的正确性。
部分同态加密（Partially Homomorphic Encryption，PHE）只能支持特定的计算操作，通常是加法或乘法运算。
这种区别对于应用场景的选择和实现方式的确定非常重要。
二、同态加密的应用1. 数据隐私保护同态加密在云计算和数据隐私保护中具有广泛应用。
当用户将数据存储在云服务器上时，传统的加密方法往往需要解密数据后才能进行计算操作，这会暴露数据隐私。
而同态加密可以通过在密文域进行计算，保护用户数据的机密性。
例如，医疗机构可以使用同态加密技术将患者数据上传至云服务器，而云服务器在不解密的情况下完成统计计算。
2. 数据共享与协作在有限的信任环境下，同态加密可以实现多方对密文数据进行计算，而无需将数据解密。
这在跨机构协作和数据共享场景中非常有用。
例如，金融行业的合规审计需要跨多家银行进行数据比对，使用同态加密技术可以确保数据隐私的保护同时实现数据验证。
3. 安全计算外包同态加密还可以用于实现安全计算外包。
将计算任务（如图像识别、机器学习等）交由云服务器处理时，同态加密可以保障数据隐私并确保计算结果的正确性。
这种方式可以有效减轻终端设备的计算负担，提高计算效率。
4. 电子投票系统同态加密在电子投票系统中具有重要的应用。
传统的投票系统需要将选票送往特定的地点进行计票，而同态加密可以在保护选民隐私的同时，实现对选票的加密计算和统计。
全同态加密——精选推荐
全同态加密
⼀个朋友问我的，我就学习了⼀下，在此做下笔记。
同态加密
如果我们有⼀个加密函数f，把明⽂A变成密⽂A′，把明⽂B变成密⽂B′，也就是说f(A)=A′, f(B)=B′。
另外我们还有⼀个加解密函数f−1，能够将f加密后的密⽂解密成加密前的明⽂。
对于⼀般的加密函数，如果我们将A′和B′相加，得到C′。
我们⽤f−1对C′进⾏解密得到的结果⼀般是毫⽆意义的乱码。
但是，如果f是个可以进⾏同态加密的加密函数，我们对C′使⽤f−1进⾏解密得到结果C，这时候的C=A+B。
(可见，这个同态与群论⾥的同态概念是相同的)
同态分类
a) 如果满⾜f(A)+f(B)=f(A+B)，我们称这种加密函数为加法同态
b) 如果满⾜f(A)×f(B)=f(A×B)，我们称这种加密函数为乘法同态
如果⼀个加密函数同时满⾜加法同态和乘法同态，称为全同态加密。
那么使⽤这个加密函数可完成各种加密后的运算（加减乘除、多项式求值、指数、对数、三⾓函数）。
全同态的应⽤
1. 安全代理计算
将数据全同态加密之后传输给云端，在云端计算（全都是密⽂），再将计算结果（也是密⽂）返回给⽤户，⽤户解密得到真正的结果。
参考资料
Processing math: 100%。
同态加密技术的实际应用案例
同态加密技术的实际应用案例同态加密技术是一种能够在不暴露数据的情况下对其进行计算的加密技术。
它可以在加密状态下对数据进行运算，得到的结果仍然是加密的，只有在解密后才能获取明文结果。
由于其独特的特性，同态加密技术在多个领域都有广泛的应用。
以下是十个同态加密技术的实际应用案例。
1. 金融领域同态加密技术可以应用于金融领域中的数据处理。
例如，在支付系统中，可以使用同态加密技术对用户的交易数据进行加密处理，保护用户的隐私信息，同时保持数据的可计算性，以便进行风险评估和反欺诈分析。
2. 医疗保健同态加密技术可以应用于医疗保健领域中的数据处理。
例如，在电子病历系统中，可以使用同态加密技术对患者的个人信息进行加密处理，以保护其隐私。
同时，医院可以使用同态加密技术对医疗数据进行计算，例如统计分析和疾病预测，而不暴露敏感信息。
3. 云计算同态加密技术可以应用于云计算中的数据保护。
在云计算中，同态加密可以保护用户的数据隐私，同时允许云服务提供商进行计算，例如搜索和排序，而无需访问明文数据。
这可以提高云计算的安全性和隐私性。
4. 物联网同态加密技术可以应用于物联网中的数据保护。
在物联网中，大量的设备和传感器产生的数据需要进行安全处理和隐私保护。
使用同态加密技术，可以对物联网中的数据进行加密处理，同时允许进行数据分析和处理，例如异常检测和预测分析。
5. 数据共享同态加密技术可以应用于数据共享场景中。
在一些合作项目中，不同的组织需要共享数据，但又需要保护数据隐私。
使用同态加密技术，可以对数据进行加密处理，同时允许进行计算，例如数据聚合和数据分析，而不暴露敏感信息。
6. 版权保护同态加密技术可以应用于版权保护。
在数字内容的传输和使用中，版权保护是一个重要的问题。
使用同态加密技术，可以对数字内容进行加密处理，以防止未经授权的访问和复制。
7. 智能合约同态加密技术可以应用于智能合约中的数据保护。
在区块链技术中，智能合约可以自动执行合约规定的操作。
同态加密——精选推荐
同态加密⽤户在数据加密的情形下仍能对特定的加密数据进⾏分析和检索，提⾼了数据处理的效率，保证了数据安全传送，⽽且正确的加密数据仍能得到正确的解密结果。
同态加密⽅案根据其⽀持的运算类型和运算次数⼤致可以分为以下三种类别。
（1）部分同态加密。
如果⼀种同态加密⽅案只⽀持在密⽂上执⾏加法运算，则这种⽅案被称为加法同态加密⽅案。
如果⼀种同态加密⽅案只⽀持在密⽂上执⾏乘法运算，则这种⽅案被称为乘法同态加密⽅案。
上述两种同态加密算法统称为部分同态加密算法。
（2）有些同态加密。
如果⼀种同态加密算法同时⽀持在密⽂上进⾏加法和乘法操作，但是只能进⾏有限次的密⽂运算，那么这种算法称为有些同态加密算法。
（3）全同态加密。
如果⼀种同态加密算法同时⽀持在密⽂上进⾏加法和乘法操作，并且能够⽀持⽆限次的密⽂运算，那么这种算法称为全同态加密（FHE）算法。
同态加密的研究可以追溯到２０世纪７０年代，在ＲＳＡ密码体制刚提出不久，Ｒｉｖｅｓｔ等⼈提出了全同态加密的概念，也称为隐私同态。
这成为密码学界的开放难题，同态加密是⼀种加密形式，允许⽤户直接对密⽂进⾏特定的代数运算，得到数据仍是加密的结果，与对明⽂进⾏同样的操作再将结果加密⼀样。
同态加密优势在于⽤户在数据加密的情形下仍能对特定的加密数据进⾏分析和检索，提⾼了数据处理的效率，保证了数据安全传送，⽽且正确的加密数据仍能得到正确的解密结果。
１９７８年，Ｒｉｖｅｓｔ等⼈利⽤数论构造出著名的公钥密码算法ＲＳＡ，该算法具有乘法同态性，但不具备加法同态性。
第⼀个基于离散对数困难的公钥加密体制ＥｌＧａｍａｌ于１９８４年提出，该体制具有乘法同态性质；⼀种满⾜加法同态的加密⽅案ＧＭ算法被Ｇｏｌｄｗａｓｓｅ和Ｍｉｃａｌｉ提出，其安全性是基于⼆次剩余难题。
⼀种改进的概率同态加密体制于１９９４年被Ｂｅｎａｌｏｈ提出，⽬前该⽅案已应⽤于实际中。
第⼀个基于判定合数剩余类问题的加法同态加密密码体制于１９９９年提出，该体制同样⽀持多次加法同态运算。
同态加密综述
信息系统安全题目: 同态加密综述姓名:###学号:2013202110076武汉大学二○一三年十月同态加密综述概念2009年，IBM公司的克雷格·金特里（Craig Gentry）发表了一篇文章，公布了一项关于密码学的全新发现：一项真正的突破。
他发现，对加密的数据进行处理得到一个输出，将这一输出进行解密，其结果与用同一方法处理未加密的原始数据得到的输出结果是一样的。
这听起来就像是不知道问题也能给出问题的答案一样。
记加密操作为E，解密为E'；明文为m，加密得e，即 e = E(m)，m = E'(e)。
已知针对明文有操作f，针对 E 可构造F，使得F(e) = E(f(m))，这样 E 就是一个针对 f 的同态加密算法。
来源2009年9月，Craig Gentry 的论文发表于STOC。
一名IBM研究员解决了一项棘手的数学问题，该问题自从几十年前公钥加密发明以来一直困扰着科学家们。
该项创新为“隐私同态（privacy homomorphism）”或“全同态加密（fully homomorphic encryption）”领域的重要技术突破，使得加密信息，即刻意被打乱的数据仍能够被深入和无限的分析，而不会影响其保密性。
IBM研究员Craig Gentry设计了这一解决方案。
他使用被称为“理想格ideal lattice”的数学对象，使人们可以充分操作加密状态的数据，而这在过去根本无法设想。
经过这一突破，存储他人机密电子数据的电脑销售商就能受用户委托来充分分析数据，不用频繁与用户交互，也不必看到任何隐私数据。
利用Gentry的技术，对加密信息的分析能得到同样细致的分析结果，就好像原始数据完全可见一样。
加密机理整数上全同态加密方案有两篇非常经典的论文，一篇是《Fully Homomorphic Encryption over the Integers》以下简称DGHV方案，还有一篇是Gentry写的《Computing Arbitrary Functions of Encrypted Data》简称CAFED论文。
同态加密
同态加密1.背景加密的目的是保护数据的机密性。
加密分为对称加密和非对称加密。
对称加密是指加密和解密用的同一个密钥；而非对称加密在加密时用的是公钥，解密时用的是私钥。
非对称加密体制是基于数学难问题（比如大整数分解、离散对数），加密解密操作比对称加密要慢很多。
如果对加密数据（即密文）的操作是在不可信设备（untrusted device）上进行的，我们希望这些设备并不知道数据的真实值（即明文），只发回给我们对密文操作后的结果，并且我们可以解密这些操作后的结果。
举一个简单的例子，n个学生和1个老师通信，每个学生都有1个数据要发给老师，老师需要知道这n个数据之和，而学生们不想让老师知道每个数据的真实值。
为了解决这个问题，Rivest等在1978年提出了同态加密的思想。
2.定义同态加密[1]的定义如下：其中，M表示明文的集合，C表示密文的集合，←表示可以从右式计算得出左式。
特别地，有分别为加法同态、乘法同态。
所谓同态加密，是指在密文空间对密文的操作等同于在明文空间对明文操作后加密（据我自己的理解）。
同态加密在数据聚合（data aggregation）、隐私保护等方面有着重要的应用。
现在可以用同态加密解决前面提出的问题：每个学生可以用加法同态加密函数将各自数据加密，再将这密文发给老师；老师只需要把n个密文相加，再将相加后的结果（即密文之和）解密，即可得到n个数据之和（即明文之和）。
这样就保护了n个数据不被老师所知道，而且老师也得到了n个数据之和。
3.几个概念在[1]中，介绍了Semantics Security、polynomial security、nonmalleability几个概念。
（1）Semantics Security指对具有一定计算能力的敌手而言，密文没提供任何有关明文的有用信息。
比如，对加密操作c=E(m)，c表示密文、E表示加密操作、m表示明文，敌手有可能猜到c而并不知道m。
（2）polynomial security定义：敌手选择两个明文，我们随机地选取其中的一个明文，并提供该明文相应的密文给敌手；敌手在多项式时间内，并不能得出我们所选取的明文是两个中的哪一个。
同态加密——云计算时代的信息安全
同态加密——云计算时代的信息安全意义与价值基本概念A way to delegate processing of your data, without giving away access to it。
（Craig Gentry)即一种不需要访问数据本身就可以加工数据的方法对比普通加密方式的好处一般的加密方案关注的都是数据存储安全,即如果需要发送或存储一段数据，那么需要先对这段数据进行加密,然后将加密后的结果发送或者存储，没有密钥的用户，就不能从加密结果中获取原始信息，只有拥有密钥的用户才可以对加密结构进行解密,从而获得原始数据。
但是在这个过程中，我们只能对加密数据进行传输和存储，而不能对加密数据本身进行任何操作,否则都会造成加密数据无法解密。
同态加密与一般加密方案的不同就在于，其注重的是数据处理时的安全。
同态加密提供了一种对加密数据进行处理的功能。
也就是说，其他人可以对加密数据进行处理，但是处理过程不会泄露任何原始内容。
同时，拥有密钥的用户对处理过的数据进行解密后，得到的正好是处理后的结果。
概况描述什么是同态加密？同态加密是基于数学难题的计算复杂性理论的密码学技术。
对经过同态加密的数据进行处理得到一个输出，将这一输出进行解密，其结果与用同一方法处理未加密的原始数据得到的输出结果是一样的.如何理解同态加密为了便于理解，我们举一个例子。
Alice是一家珠宝店的店主,她打算让员工将一整块黄金加工成首饰，但是却担心工人在加工的过程中偷取黄金.于是她制造了一个有锁的箱子（手套箱）用于存放黄金以及做好的首饰，而钥匙由她随身保管。
通过手套箱，工人可以将手深入箱子来加工首饰。
但是箱子是锁着的，所以工人无法拿到黄金和加工好的首饰。
而Alice则可以通过钥匙向手套箱添加原料，并取出加工好的首饰。
下图是个手套箱示例图。
这个故事和同态加密的对应关系如下:➢Alice：最终用户➢黄金:原始数据➢手套箱：加密算法➢钥匙和锁：用户密钥➢通过钥匙向手套箱中添加原料：将数据用同态加密方案进行加密➢员工加工首饰：应用同态特性，在无法取得数据的条件下直接对加密结果进行计算处理➢取出加工好的首饰：对结果进行解密，直接得到处理后的结果同态加密的具体过程我们以云应用为背景进行介绍：用户通过云来处理数据的过程大概如下图所示：➢用户对Data1和Data2进行加密，将加密后的数据CD1和CD2发送到云端➢用户向云端提交数据处理方法f（）➢云端使用方法f(）对密文数据CD1和CD2进行处理➢云端将处理后的结果发送给用户➢用户对数据进行解密，得到相应原始数据处理后的结果因此，在同态加密过程中我们具体需要一下几个主要方法1.GenerateKey方法：用来生成密钥2.Encrypt方法：用来进行同态加密3.Evaluate方法：在用户给定的数据处理方法f（)下，对密文进行操作4.Decrypt方法：用来解密密文同态加密基本原理设R和S为整数集,用R表示明文空间,用S表示密文空间。
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两个“实用的”全同态加密方案一、方案说明1、 该方案为对称方案。
2、 该方案仅仅需要线性代数知识。
3、 不需要噪音消除工作。
4、 明文为有限域上的实数。
5、 密文为向量，但同态操作不膨胀。
6、 安全性基于近似最大公约数问题(AGCD)。
二、方案简单描述1、 参数选择(Setup)：设2l n ≤-为已知，例如5n =，3l =。
2、 密钥生成(KeyGen)：有如下几个工作。
- 随机选择向量()101,n n q k k k +=∈ ,,k Z ，()011l l q θθθ-=∈ ,,,Z Θ。
- 对明文q m ∈Z ，令()101Enc(,),,,n n q c m c c c +==∈ k Z ，满足m ⋅=k c ，称为低级加密。
其具体方式为：其中，121212,,,,,h mh r r r r s r sr s r v r v r v - 和rr都是q Z 上的随机数。
1()m ij j j S i s rs ==⋅∑。
ij s 是什么不知道。
- 令011[Enc(,),Enc(,),Enc(,),Enc(,1)]l θθθ-Φ= k k k k 。
- 输出密钥：PK {,}=k Θ，评估公钥PEK {p Enc(,k k ),0,}ij i j i j n ==≤≤k 。
3、 加密(Encryption)：对q m ∈Z ，选择01,,l q r r r ∈ Z ，使???01l m r r r =+++ ，计算：()()()()()()()()()001111Enc ,Enc ,Enc ,Enc ,1m l l l c r r r r θθθ--=⋅⊕⋅⊕⊕⋅⊕⋅ k k k k4、 解密(Decryption)：对密文m c ，计算得到m m ⋅=k c 。
证明：首先根据()Enc ,i θk 的定义，有0,0,1,2,1ni i ij i k i l θθ===⋅=-∑ ，011ni i i k ==⋅=∑。
故：11100110001,1,,1,l l l m i i l i i l i in l n i i i r r r r r r θθθ---===⎛⎫⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅ ⎪⎝⎭∑∑∑ k c k0001n n nj i ij j l i j i j k r k r θ====⋅⋅+⋅⋅∑∑∑001110(1)01nn n nj j j j j l l j l i j j j j k r k r k r k r θθθ--=====⋅⋅+⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅∑∑∑∑1l j j l j r r θ-==⋅+∑???m =。
5、 同态加法：()'''112211'mod ,mod ,mod n n c c c c q c c q c c q ++⊕=++++ 。
可以证明：()()Dec(')Dec ,Dec ,'mod c c c c q ⊕=+k k 。
证明：()'''112211Dec(,')Dec ,(mod ,mod ,mod )n n c c c c q c c q c c q ++⊕=++++ k k'''112211(mod ,mod ,mod )n n c c q c c q c c q ++=⋅++++ k'''01112211(mod )(mod )(mod )n n n k c c q k c c q k c c q ++=⋅++⋅+++⋅+'''010*******()mod ()mod ()mod )n n n n k c k c q k c k c q k c k c q ++=⋅+⋅+⋅+⋅++⋅+⋅''011210112'1mod mod mod mod mod mod n n n n k c q k c q k c q k c q k c q k cq++=⋅+⋅++⋅+⋅+⋅++⋅')mod =(c c q ⋅+⋅k k()()Dec ,Dec ,'mod c c q =+k k另外，由同态加法可以引申出同态数乘运算：令q d ∈Z ，()121mod ,mod ,,mod n d c d c q d c q d c q +=⋅⋅⋅ ，可以证明：()Dec(,)Dec ,mod d c d c q =⋅ k k 。
6、 同态乘法：定义：()()()()()()'''1111121211(1)(1)'n n n n c c c c pek c c pek c c pek ++++⊗=⋅⊕⋅⊕⊕⋅ 。
可以证明：()()()Dec ,c c'Dec ,c Dec ,c'mod q ⊗=⋅k k k 。
证明：()Dec ,c c'c c'⊗=⋅⊗k k()1111Dec ,mod n n i j ij i j c c pek q ++===⋅⋅∑∑k()()111111111111mod mod mod Dec ,c Dec ,c'mod n n i j ij i j n n i i j j i j n n i i j j i j c c sek qk c k c qk c k c qq++==++==++===⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅∑∑∑∑∑∑k k三、问题：由同态评估密钥可以得到密钥k 。
例如，假设01p [,,,]ij ij ij ijn p p p = ，则可从如下方程组求出k ：00000000n n k k p k p k =+00i j ij ijn n k k p k p k =+00n n nn nnn n k k p k p k =+四、可借鉴之处 1、 构造代数结构 ????与解密有关2、 同态运算的构造方式（同态操作密文不膨胀的原因）：采用⊕运算。
可否将类似方式用到基于LWE 的方案。
3、 能否构造为公钥方案。
王会勇 2015.7Huiyong,thanks for the message. For the first r_0 \xor r_1 \xor ...it should be interpreted as regular addition in the finite field.For the second \xor on the c_m (cipher text) in the encrytion phase, it should be interpreted as thehomomorphic addition of cipher text. YonggeMasahiro Yagisawa 方案一、八元数基础1、定义：八元代数是四个除法代数中最大的一个。
八元代数上的一个八元数的形式为[1]：7i i i a a e =∑，其中21i e =-，i q a ∈Z ，坐标形式为：8017(,,)q a a a a =∈ Z 。
a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7-a1 a0 a4 a7 -a2 a6 -a5 -a3 -a2 -a4 a0 a5 a1 -a3 a7 -a6 -a3 -a7 -a5 a0 a6 a2 -a4 a1 -a4 a2 -a1 -a6 a0 a7 a3 -a5-a5 -a6 a3 -a2 -a7 a0 a1 a4 -a6 a5 -a7 a4 -a3 -a1 a0 a2 -a a A =7 a3 a6 -a1 a5 -a4 -a2 a0⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，称为8017(,,)q a a a a =∈ Z 的关联矩阵。
2、运算：令8017(,,)q a a a a =∈ Z ，8017(,,)q b b b b =∈ ZI. 8001177(,,)q a b a b a +b a +b +=+∈ Z 。
II. 017 a0 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7-a1 a0 a4 a7 -a2 a6 -a5 -a3 -a2 -a4 a0 a5 a1 -a3 a7 -a6 -a3 -a7 -a5 a0 a6 a2 -a4 a1 (,,)-a4 a2 -a1 -a6 a0 a7 a3 -a5-a5 -a6 a3 -a2 -a7 a0 a1 a4 -a6 a5 -a7 a4 -a ab bA b b b == (mod )a3 -a1 a0 a2 -a7 a3 a6 -a1 a5 -a4 -a2 a0q ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，III. a =。
有ab a b =。
IV.逆：若0(mod )a q ≠，记1071222((mod ),(mod ),,(mod ))a a a a q q q aaa---= 。
可知：1(1,0,0,0,0,0,0,0)aa -=，1mod a ab b q -=，1mod baa b q -=。
11()()mod a ba ab a q --=，12()()mod ba ab b q -=。
3、性质I. 显然加法满足结合律，交换律。
乘法不满足交换律，也不满足结合律。
II.ab a b A A A =（错误）。
III.设123,,n a a a a 为八元数，则有121123((())n n n a a a a a a a a A'A'A'-= 。
二、Yagisawa 方案，令(1,0,0,0)=1 ，x 为八元数。
1、Key setup ：随机取t 个可逆的八元数801,,t q sk k k k =∈ Z 。
2、Encryption ：对八元数明文8qm ∈Z ，记11100(())g ()t k k x x ---= ，0111((())()t k k k x g x -= ，计算：1101110()((((m((()))m t t C x k k k k k x ----=10(mg ())g x = 3、Decryption ：对密文()m C x ，计算：01(g ())m m g C =1 证明：010101(g ())((mg ())g ())m g C g g x =114、同态加法：定义0101()()()m m m m C x C x C x +=+，易知同态解密能成功。
5、同态乘法：定义0101()(())m m m m C x C C x =，可证明一次同态解密成功。
但多次不行。
因为八元数乘法是非结合的。
6、全同态构造：任取八元数8q ∈z Z 和q r ∈Z ，其中0=z ，且00≠z 。