三年级奥数.计算综合.整数的速算与巧算(B级).学生版

一、 整数四则运算定律

（1） 加法交换律：a b b a +=+的等比数列求和

（2） 加法结合律：()()a b c a b c ++=++

（3） 乘法交换律：a b b a ⨯=⨯

（4） 乘法结合律：()()a b c a b c ⨯⨯=⨯⨯

（5） 乘法分配律：()a b c a b a c ⨯+=⨯+⨯；()b c a b a c a +⨯=⨯+⨯

（6） 减法的性质：()a b c a b c --=-+

（7） 除法的性质：()a b c a b c ÷⨯=÷÷；

（8） 除法的“左”分配律：()a b c a c b c +÷=÷+÷；()a b c a c b c -÷=÷-÷，这里尤其要注意，除法

是没有“右”分配律的，即()c a b c a c b ÷+=÷+÷是不成立的！

备注：上面的这些运算律，既可以从左到右顺着用，又可以从右到左逆着用．

二、 加减法中的速算与巧算

速算巧算的核心思想和本质：凑整。常用的思想方法总结如下：

（1） 分组凑整法．把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去，或先减去那些与被减数

有相同尾数的减数．“补数”就是两个数相加，如果恰好凑成整十、整百、整千……，就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”．

（2） 加补凑整法．有些算式中直接凑整不明显，这时可“借数”或“拆数”凑整．

（3） 数值原理法．先把加在一起为整十、整百、整千……的数相加，然后再与其它的数相加．

（4） “基准数”法，基准当几个数比较接近于某一整数的数相加时，选这个整数为“基准数”（要注

意把多加的数减去，把少加的数加上）

知识框架

整数速算巧算

三、乘法凑整

思想核心：先把能凑成整十、整百、整千的几个乘数结合在一起，最后再与前面的数相乘，使得运算简便。例如：425100

⨯=，81251000

⨯=，520100

⨯=

123456799111111111

⨯=（去8数，重点记忆）

711131001

⨯⨯=（三个常用质数的乘积，重点记忆）

理论依据：乘法交换率：a×b=b×a

乘法结合率：(a×b) ×c=a×(b×c)

乘法分配率：(a+b) ×c=a×c+b×c

积不变规律：a×b=(a×c) ×(b÷c)=(a÷c) ×(b×c)

四、乘、除法混合运算的性质

（1）商不变性质：被除数和除数乘（或除）以同一个非零数，其商不变．即：

()()()()0

a b a n b n a m b m m

÷=⨯÷⨯=÷÷÷≠，0

n≠

（2）在连除时，可以交换除数的位置，商不变．即：a b c a c b

÷÷=÷÷

（3）在乘、除混合运算中，被乘数、乘数或除数可以连同运算符号一起交换位置（即带着符号搬家）．例如：a b c a c b b c a

⨯÷=÷⨯=÷⨯

（4）在乘、除混合运算中，去掉或添加括号的规则

去括号情形：①括号前是“×”时，去括号后，括号内的乘、除符号不变．即

()()

a b c a b c a b c a b c

⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷

②括号前是“÷”时，去括号后，括号内的“×”变为“÷”，“÷”变为“×”．即

()()

a b c a b c a b c a b c

÷⨯=÷÷÷÷=÷⨯

添加括号情形：加括号时，括号前是“×”时，原符号不变；括号前是“÷”时，原符号“×”

变为“÷”，“÷”变为“×”．即

()()

()() a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c

⨯⨯=⨯⨯⨯÷=⨯÷

÷÷=÷⨯÷⨯=÷÷

（5）两个数之积除以两个数之积，可以分别相除后再相乘．即()()()()()()

a b c d a c b d a d b c

⨯÷⨯=÷⨯÷=÷⨯÷

上面的三个性质都可以推广到多个数的情形．

（1）位值原理的定义：

同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。

（2）位值原理的表达形式：

以六位数为例：10000010000100010010

=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+

abcdef a b c d e f

以具体数字为例：38976231000008100009100071006102

=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+

六、提取公因数思想

1.乘法运算中的提取公因数：

（1）乘法分配律：()

b c a b a c a

+⨯=⨯+⨯

⨯+=⨯+⨯或()

a b c a b a c

（2）提取公因数即乘法分配律的逆用：()

b a

c a b c a

⨯+⨯=+⨯

⨯+⨯=⨯+或()

a b a c a b c

2.除法运算中的提取公因数：

（1）除法的“左”分配律：()

-÷=÷-÷

a b c a c b c

+÷=÷+÷；()

a b c a c b c

（2）除法的“左”提取公因数：()

÷+÷=+÷

a c

b

c a b c

七、要注意添括号或者去括号对运算符号的影响

（1）在“+”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都不变；

（2）在“-”号后面添括号或者去括号，括号内的“+”、“-”号都改变，其中“+”号变成“-”

号，“-”号变成“+”号；

（3）在“⨯”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都不变，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算；

（4）在“÷”号后面添括号或者去括号，括号内的“⨯”、“÷”号都改变，其中“⨯”号变成“÷”

号，“÷”号变成“⨯”号，但此时括号内不能有加减运算，只能有乘除运算．