电磁场第一章1-3节

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1.1.2 矢量的加减法 设 A=Axex+Ayey+Azez， B=Bxex+Byey+Bzez
则 A+B=（Ax+Bx）ex+（Ay+By）ey+（Az+Bz）ez A A-B
A+B
B 加减运算符合平行四边形法则 1.1.3 矢量的数乘 λA=λAxex+λAyey+λAzez
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1.1.4 两矢量的点积 A· xBx+AyBy+AzBz=ABcosθ B=A B
ez
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1.2 场的等值面和矢量线
1.2.1 场的基本概念 目的：为了考察某些物理量在空间的分布和变化规律而引入 场的概念。 如果空间中的每一点都对应着某个物理量一个确定的值，就 说这个空间确定了该物理量的场。 例如：温度场、电位场、速度场、力场、电场、磁场等。
由标量构成的场称为标量场。 由矢量构成的场称为矢量场。
A×B=(AyBz-AzBy)ex+(AzBx-AxBz)ey+(AxBy-AyBx)ez
ex Ax Bx
ey Ay By
ez Az AB sin en Bz
A×B B
θ
A
式中：en是A和B都垂直的单位矢量，且A、B和en构成 右手螺旋关系；θ是A、B间的夹角，取θ≤180o； ABsinθ是 A×B的模。 B A//B时等于零；A B时有最大模值。
解：（a）
A | A | 52 32 (1) 2 35 B | B | 2 2 32 (2) 2 17
（b）
A 5ex 3e y ez A 35 B 2ex 3e y 2ez B 17
5 3 1 ex ey ez 35 35 35 2 3 2 ex ey ez 17 17 17
5
（c） A B (5ex 3e y ez ) ( 2ex 3e y 2ez ) 5 2 3 3 (1) (2) 21
（d）
A B 5
ex 2
ey 3 3
1 3ex 8e y 9ez 2
θ
叉积运算公式：
A×B= - B×A
A
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A×A= 0， A×（-A）=0
注意：矢量的叉积还是矢量。
[例1] 已知 A 5ex 3e y ez , B 2ex 3e y 2ez ，求：
（a） A 和 B 的大小（模）；（b） A 和 B 的单位矢量； （c） A B ；（d） A B 。
矢量：不仅具有大小，而且具有空间方向的量。它可以 用一有向线段来表述，该有向线段的长度为矢量的大小 （或称为模）；而有向线段的指向为矢量的方向。
常见的矢量有力F、加速度a、速度v、电场强度E、磁场 强度H等。 单位矢量：模为1的矢量，用e表示。
如ex、ey、ez分别表示x、y、z三个坐标同方向的单位矢量。
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电荷与接地金属球之间的电力线
两异向长直流导线的磁力线
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1.3 标量场的方向导数和梯度
地形图与等高图 等高图 地形的变化 什么方向 变化最快 ？
研究标量函数在什 么方向变化最快
引入方向导数和梯度概念
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标量函数u=u(x,y,z)在空间沿某一方向l上的变化情况，可用 该方向上的方向导数表示
θ Bcosθ
θ 是矢量A、B之间的夹角； A是矢量A的模；B是矢量B的模。 A
A//B时取最大值；A
B时等于零。
注意：矢量的点积是标量。
点积运算公式： A· B=B· A A· 2 A=A
A· （B+C）= A· A· B+ C
（λA）· （μB）=λμ （A· B）
λ、μ均为实数。
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1.1.5 两矢量的叉积
考勤5％ 、小测验20％ ） 期末考试：70％ 答疑地点：自动化学院104室
时间：每周三下午3点—5点 教材：
电磁场，薛太林主编，中国电力出版社 参考资料： （1）工程电磁场导论 王月清等 电子工业出版社 （2）工程电磁场原理 倪光正 高等教育出版社
电磁场理论在电气工程中的典型实例
1、高电压工作室内利用导体静电屏蔽功能的接地金属网是基 于静电场中导体行为特征的应用实例。 2、在高压输电线路中，常装设架空地线来防止雷电的袭击。 地线经过支架接地，有屏蔽附近输电线的作用。 3、为了保证正常供电和安全用电，通常将电气设备的某一部 分通过接地线与埋入地中的金属导体连接，这个金属导体就 是接地体。 4、在电力系统中的接地体附近，由于接地电阻的存在，当有 大电流在土壤中流动时，就可能使地面上行走的人的两足之 间的电压（跨步电压）很高，当超过安全值时，会达到对人 致命的程度。
工程电磁场
课程性质：电气类专业基础课，学习难度较大 （1）数学知识的应用：矢量分析 （2）理论性很强，概念抽象 （3）要有较扎实的电磁学背景 学习要求： （1）要认真对待，上课听讲 （2）按时按量完成作业 （3）应用对比学习方法 （4）不能掉队
总课时：32学时，其中讲课26学时，实验6学时 考试形式：闭卷 成绩分配：平时成绩：30%（作业5％、课堂
5、输电线附近的磁场计算问题。
工程电磁场
第一章 矢量分析和场论基础 第二章 静电场的基本概念 第三章 静电场的计算问题 第四章 恒定电场 第五章 恒定磁场
第一章 矢量分析和场论基础
1.1 矢量分析基础
1.1.1 标量、矢量和单位矢量 标量：只有大小、没有方向的量。 常见的标量有温度T、时间t、电量q、电位 、功率P等等。
场的表示方法： u(M)=u(x,y,z)
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标量函数
A(M)=A(x,y,z)=Ax(x,y,z)ex+Ay(x,y,z)ey+Az(x,y,z)ez
矢量函数
设α、β、γ分别为矢量A与三个坐标轴正向之间的夹角（即 方向角），则
A(M)=Acosαex+Acosβey+Acosγez
矢量函数的另一种 表示方法
设标量场u(M)是空间的连续函数，那么通过所讨论空间的任 何一点M0，可以做出这样一个曲面，在它上面每一点处，函 数u(M)的值都等于u(M0)，即在曲面S上，函数u(M)保持着同 一数值u(M0) ，称曲面S为标量场u的等值面。 u(x,y,z)=C C为常数
特点：
1、给定不同的C值，可得到等值面族； 2、等值面互不相交；
【例3】求标量场 u 4 xy z 3 的梯度。
解：
u u u gradu e x e y ez 4 ye x 4 xe y 3z 2ez x y z
作业：P12 1.3 1.4
16f l(1,11) gradf el
(1,1,1)

3xy 2(3x 2 z 2 ) 4 yz x 5
2 (1,1,1)
3 6
【例2】求标量场 u x 3 y 2 z 的梯度。
解：
u u u gradu e x e y e z 3x 2e x 2 ye y e z x y z
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设梯度的方向沿en方向，则u在en方向的方向导数为
u gradu en | gradu | en en | gradu | n
u在其它方向的方向导数为
u gradu el | gradu | en el | gradu | cos l
式中：θ为el方向与en方向之间的夹角。 结论：1、方向导数是个标量；梯度是个矢量。 2、梯度的模是所有方向导数中最大的那一个；梯度 的方向表征该标量场变化最快的方向。
恒定场：场中物理量的值仅与空间位置有关，而不随时间 变化的场。比如通有直流电源的闭合回路形成的电场。
均匀场：场中物理量的值仅与时间有关，而不随空间位置 变化的场。比如温度场。 时变场：场中物理量的值不仅与该点的空间位置有关，而 且随时间变化的场。比如时变电磁场。
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1.2.2 标量场的等值面
为了描述某个标量在空间的分布和变化规律，引入标量场 的等值面。
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【例1】求标量场f(x,y,z)=3xy+2yz2在点（1，1，1）沿
l xex 2e y ez 方向的变化率。
解： f
f f f cos cos cos gradf el l x y z
f f f 2 gradf ( e x e y e z ) 3 ye x (3x 2 z )e y 4 yze z x y z xex 2e y ez el (cosex cos e y cosez ) x 2 (2) 2 1
u u u u cos cos cos l x y z
u u u ( e x e y e z ) (cose x cos e y cose z ) x y z
gradu el
其中，el为l方向上的单位矢量； 用gradu来描述标量场u在空间沿各坐标轴方向变化的情况， 称为标量场的梯度。 根据矢量点积的定义，方向导数是gradu在l方向上的投影， 即为u在l方向上的变化率。
3、经过场中的一个点只能作出一个等值面。
举例：电磁场中的电位场、地形的等高面都是标量场。
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地形图与等高线
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1.2.3 矢量场的矢量线 矢量线：是指在其每一点处的切线方向和该点的场矢量 方向相同的曲线。 特点： 1、矢量线应是一族曲线； 2、任意两条矢量线互不相交； 3、矢量场中每一点有一条矢量线通过。 举例：电磁场中的电力线（E线）、磁力线都是矢量线。 A A