113导数的几何意义学案-吉林省长春市第八中学人教A版高中数学选修2-2(无答案)

1.1.3导数的几何意义

组卷人：孙艳华审卷人：刘德荣

[学习目标] 1.了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系.2.理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义.

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[知识链接]

如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？

答设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))

与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是Δy Δx＝

f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线.于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝

lim Δx→0f(x0＋Δx)－f(x0)

Δx.

1.导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率.也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

2.函数的导函数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，

称f′(x)是f(x)的导函数(简称导数).f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝lim

Δx→0 f(x＋Δx)－f(x)

Δx.

题型一利用导数定义求函数的导数

例1用导数的定义求函数f(x)＝2 015x2的导数.

规律方法解答此类问题，应注意以下几条：

(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤.

(2)当Δx趋于0时，k·Δx(k∈R)、(Δx)n(n∈N*)等也趋于0.

(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用.

跟踪演练1用导数的定义求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数.

1.已知曲线y＝f(x)＝2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()

A.4

B.16

C.8

D.2

2.若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()