2-2 广义逆矩阵

§2 矩阵的广义逆一、广义逆矩阵的概念定义1 设任意一个矩阵n m R A ⨯∈，若存在矩阵m n R X ⨯∈，满足 AXA =A （1） XAX =X （2） (AX )T =AX （3） (XA )T =XA （4） 这四个方程中的一个、两个、三个或全部，则称X 为A 的广义逆矩阵。

由上面的定义可知，广义逆矩阵有15C C C C 44342414=+++中之多。

本节介绍应用广泛的减号广义逆和加号广义逆。

定义2 对矩阵n m R A ⨯∈，一切满足方程组A AXA =的矩阵X ，称为矩阵A 的减号逆或g-逆。

记为-A 。

例如，⎪⎭⎫ ⎝⎛=010001B ，⎪⎭⎫ ⎝⎛=100001C 都是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010101A 的减号逆。

下面的定理解决了-A 的存在性和构造性问题。

定理1(秩分解) 设A 为n m ⨯矩阵，()rank A r =，若Q O O O I P A r ⎪⎭⎫ ⎝⎛=， 或⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=--O O O I AQ P r 11 这里P ,Q 分别为n n m m ⨯⨯,的可逆阵，则12221121---⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G G G I Q A r (5) 其中222112,,G G G 是相应阶数的任意矩阵。

证明 设X 为A 的广义逆，则有Q O O O I P Q O O O I QXP O O O I P A AXA r r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔O O O I O O O I QXP O O O I r r r 若记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=22211211G G G G QXP 则上式，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇔00000011r I G r I G =⇔11 于是， 12221121--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇔=P G G G I Q X A AXA r 其中222112,,G G G 任意. 证毕.定理1不但表明矩阵的减号逆总是存在的，通常也是不唯一的，而且还给出了计算减号逆的方法。

推论：若A 右逆，则1211---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=P G I Q A m ；若A 左逆，则()1112n A Q I G P ---=。

例 1 设⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210121A , 求-A 。

解 经过初等变换可得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00100002100050110010210010010000010000011021001121032I I A于是⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-10211P，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-1002105011Q 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+--+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=---21121121121121212241251025110211001100210501t t t t t t t t t t t P G I Q A 其中21,t t 是任意数。

再如：,0011⎪⎭⎫ ⎝⎛=A 则任意a a A ,001⎪⎭⎫ ⎝⎛=-. 推论(1)对任意矩阵n m A ⨯，-A 总是存在且不唯一，全体记为{}1A . 一般情况：设Q P A n m ,,⨯是奇异方阵，且PAQ B =，-A 是A 的减号逆，则{}111B P A Q ∈---，1)(---=P A PA ，---=A Q AQ 1)(。

(2)-A 唯一⇔A 为可逆矩阵。

此时1--=A A (正则逆)；(3)r AA rank A A rank A rank A rank ===≥---)()()()(，且()()()T R A R AA R AA -==；()()N A A N A -=。

Q C I Q A A P G I P AA r r ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=----00,00 11 (4)------AA I A A I AA A A m n ,, ,都是幂等矩阵，且r A rank AA rank A A rank AA tr A A tr =====----)()()()()(。

(5)若()(),()()T R B R A R C R A ⊂⊂，则B A C T -与-A 的选择无关；(6)--=)()(T T A A ；(7)T T A A A A -)(与广义逆-)(A A T 的选择无关(选择合适的逆)；(8),)(A A A A A A T T =- ,)(T T T T A A A A A A =-若P 正定，则,)()(A PA A PA A A T T =-()()T T T T A PA A PA A A -=；(9)A A AGA A A AGA T T =⇔=；(10)⎩⎨⎧≠===-+-+-0,0,0,)(1λλλλλλA A ； (11));()())((A rank AB rank A A AB AB =⇔=-);()()(B rank AB rank B AB AB B =⇔=-(12)A A ≠--)(，如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1001,0101B A ，则A B B A ≠=--但,。

证明)4(~)1(,(10)可以从定理1和广义逆的定义得到证明。

(5)的证明如下, 由)()()(T T T T T T A A A A A A A AA A ----=⇒=⇒=.(6)由()()T T R A R A A =，知存在矩阵B ，使得AB A A T T =。

于是，T T A A A A -)(=()T T T T T T B A A A A A AB B A AB -=，与-)(A A T 的选择无关。

(7)记A A A A A A F T T -=-)(,利用广义逆的定义,可以验证：,0=F F T 于是0=F .第一式得证。

同理可证其它两式。

(8)必要性是显然的，下面证充分性。

设0=-⇒=A A AGA A A A AGA A T T T T ,因为O A A AGA A E G A A AGA A A G A A AGA A AGA T T T T T T T T T =--=--=--))(())(()()(所以, 0=-A AGA , 也就是A AGA =.定理2 设有一固定的-A ，则A 的减号逆的通式为(1)W V W A A I AA I V A G n m ,,)()(----+-+=是相应的任意矩阵;(2)V AVAA A V A G ,----+=是相应的任意矩阵。

证明(1)由W A A A I A A AA I AV A AA AGA n m )()(----+-+=AW A AA AW A A AV AA AV A A ---+-+=A AWA AWA AVA AVA A =-+-+=知G 是A 的减号逆。

反之，设G 是A 的某个减号逆，令--=-=VAA W A G V ,,并注意到O A A A AA AGA A A G A AVA =-=-=-=--)(有WA A I AA I V A VAA A A I AA I V A A AVA A A G A G n m n m )()()()()()(------------+-+=-+-+=--+=(2)由A AUA AUA A A AUAA AA AUA A AA AGA =-+=-+=---即证G 是A 的减号逆；反之，设G 是A 的某个减号逆，令--=A G V ，并注意到-----------=-=AA AA A AGAA A AA A G A A AVAA A )(O AA A AA A =-=----,有---------+=---+=AVAA A V A AA A G A A A G A G )()( 证毕.定理1和定理2以后都称为矩阵A 的减号逆的一般表达式。

推论：,()()AA B B A R B R A --=∀⇔⊂。

证明：由,()()AA B B A R B R A --=∀⇒⊂；反之由()()R B R A ⊂⇒ A At At AA B AA t At B ∀===⇒∃=--,,B ，即证结论.下面的两个定理圆满地解决了用广义逆矩阵表示相容线性方程组解集的问题。

定理3 设b Ax =为一相容方程组，则(1)对任一广义逆-A ，b A x -=必为解；(2)齐次方程组0=Ax 的通解为z A A I x )(--=，这里z 为任意的向量，-A 为任意固定的一个广义逆；(3)b Ax =的通解为 z A A I b A x )(---+=其中-A 为任一固定的广义逆，z 为任意向量.证明(1)由相容性假设知，存在0x ，使b Ax =0。

故对任一-A ，b Ax Ax AA b A A ===--00)(,即b A x -=为解。

(2)设0x 是0=Ax 的任一解，即00=Ax ，那么0000)()(x A A I Ax A x A A I x ----=+-=即任一解都取z A A I )(--的形式。

反过来，对任意的z ，因0)()(=-=---z A AA A z A A I A 。

故z A A I )(--必为解.(3)任取定一个广义逆-A ，有(1)知b A x -=1为方程组b Ax =的一个特解。

由(2)知z A A I x )(2--=为齐次方程组00=Ax 的通解。

依非齐次线性方程组的解结构定理知，21x x +为b Ax =的通解。

证毕。

定理4 设b Ax =为相容线性方程组，且0≠b ，那么，当-A 取遍A 的所有广义逆时，b A x -=构成了该方程组的全部解。

证明证明由两部分组成。

其一，要证对每一个-A ，b A x -=为b Ax =的解，这已在前一定理中证明过了。

其二，要证b Ax =的任意解0x ，必存在一个-A ，使b A x -=0，由定理3知，存在A 的一个广义逆G 及0z ，使得00)(z GA I Gb x -+=因0≠b ，故总存在矩阵U ，使Ub z =0。

例，可取T T b b b z U 10)(-=。

于是Hb b U GA I G Ub GA I Gb x ∆=-+=-+=))(()(0 其中，U GA I G H )(-+=。

易验证H 为一个-A 。

定理得证。

注：（1）两个定理给出了相容线性方程组解（用广义逆表示）的两种形式，一种-A 固定，另一种-A 不固定。

（2）相容线性方程组b Ax =有唯一解的充分必要条件是A 列满秩。

定理 5 （Penrose 定理） 设q m q p n m C B A ⨯⨯⨯,,，则矩阵方程C AXB = （6）有解的充要条件是C B CB AA =-- （7） 且在有解的情况下，其通解为-----+=AYBB A Y CB A X （8）其中p n R Y ⨯∈是任意矩阵。