竞赛三角函数训练题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
三角函数竞赛训练题
1.（2011湖北联赛）已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为 ．
2.（2011湖北联赛）满足方程2
8sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 ．
3.设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβαa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ
∈[0, π
2
], 2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是 ．
4.（2005全国联赛）设α、β、γ满足πγβα20<<<<，若对于任意
++++∈)cos()cos(,βαx x R x ,0)cos(=+γx 则=-αγ ．
5.（2007一试4）已知函数)45
41(2)cos()sin()(≤≤+-=x x
πx πx x f ，则f (x )的最小值为 ．
6.（2008一试）设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A
B C B
++的
取值范围是 ．
7.设111
sin cos tan tan sin cos y x x x x x x
=+++
++
，则||y 的最小值为 ．
8.（2007年全国联赛）函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得af(x)+bf(x −c)=1对任意实数x 恒成立，则a
c
b cos 的值等于 ．
9.设,0πα<<,2πβπ<<若对任意的R x ∈，等式
)sin()cos(βα+++x x +0cos 2=x 恒成立，试求α、β的值。
10.已知当x ∈[0，1]时，不等式x 2cos θ－x (1－x )+(1－x ) 2
sin θ>0恒成立，试求θ的取值范围。
11.（2010北大自主招生）存不存在02
x π
<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．
12．已知函数,72sin 3|)cos ||sin (|)(--+=x x x a x f 其中a 为实数，求所有的数对
(,)a n ()n N +∈,使得函数)(x f y =在区间),0(πn 内恰好有2011个零点．
13.（2010北大自主招生）向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ 在0t 时取得最小值，问当01
05
t <<时，夹角的取值范围．
14.（2012北大自主招生）设点A 、B 、C 分别在边长为1的正三角形的三边上,求
222AB BC CA ++的最小值.
15（2012北大自主招生）若关于x 的方程sin4sin2sin sin3x x x x a -=在[0,)π有唯一解的实数a 的范围
三角函数竞赛训练题
1.（2011湖北联赛）已知R α∈，如果集合{sin ,cos 2}{cos ,sin 2}αααα=，则所有符合要求的角α构成的集合为{|2,}k k Z ααπ=∈．
2.（2011湖北联赛）满足方程2
8sin()160x x xy ++=（R,[0,2)x y π∈∈）的实数对(,)x y 的个数为 ． 8
3.设向量)cos sin ,cos sin 2(),,3(θθθθβ
αa a x x +=+=满足对任意R x ∈和θ
∈[0, π
2], 2||≥+βα恒成立. 则实数a 的取值范围是 ．
解:令,cos sin t =+θθ
则
]2,1[∈t ,,1cos sin 22
-=t θθ),2(2
at x x t +++=+βα,
因2
2222
2
2
)2(21)2(21)()2(+-=--++≥++++at t at x x t at x x t ,
所以,2||≥+βα2)()2(2
22≥++++⇔at x x t 对任意R x ∈恒成立
⇔02)2(21222≥-⇔≥+-at t at t 或t a at t ≤⇔≤+-042
或t t a 4+
≥对
任意 ]2,1[∈t 恒成立1≤⇔a 或5≥a .
4.（2007一试4）已知函数)45
41(2)cos()sin()(≤≤+-=x x
πx πx x f ，则f (x )的最小值为 ．
【解析】实际上)4541(2
)4sin(2)(≤≤+-=
x x
π
πx x f ，设 )4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，
则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]4
5
,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]4
3
,41[1∈x ，存在
]4
5
,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。于是
)(2)(2)(2)()(22
212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45
,43[上是减函数，
所以554)45
()(=
≥f x f ，即f (x )在]4
5
,41[上的最小值是554。 5.（2008一试）设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则sin cot cos sin cot cos A C A
B C B
++的
取值范围是 ．
[解] 设,,a b c 的公比为q ，则2,b aq c aq ==，而
sin cot cos sin cos cos sin sin cot cos sin cos cos sin A C A A C A C
B C B B C B C
++=
++ sin()sin()sin sin()sin()sin A C B B b
q B C A A a
ππ+-=
====+-．
因此，只需求q 的取值范围．
因,,a b c 成等比数列，最大边只能是a 或c ，因此,,a b c 要构成三角形的三边，必需且只需a b c +>且b c a +>．即有不等式组
22,a aq aq aq aq a ⎧+>⎪⎨+>⎪⎩即2
2
10,
10.
q q q q ⎧--<⎪⎨+->⎪⎩
解得11
,22q q q ⎧<<⎪
⎪⎨⎪><⎪⎩
q <<
，因此所求的取值范围是． 7.
1
6.设,0πα<<,2πβπ<<若对任意的R x ∈，等式
)sin()cos(βα+++x x +0cos 2=x 恒成立，试求α、β的值。