高三数学一轮总复习 第七章 不等式 第一节 不等关系与不等式课件 理

第七章 不等式
第一节 不等关系与不等式
1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b＞0⇔ a>b ；a－b＝0⇔ a＝b ；a－b＜0⇔ a<b .
2．不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c；
(3)可加性：a>b⇔a＋c > b＋c； a>b，c>d⇒a＋c > b＋d；
[即时应用] 1．已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④
a>b>0，能推出1a<1b成立的有________(填序号)． 解析：由a>b，ab>0，可得1a<1b，②④正确．又正数大于 负数，①正确，③错误． 答案：①②④
－1a>b－1b；④ln a2>ln b2中，正确的序号是______．
解①<a1法 显 因中析b④ 可，二 然 为：，中 得即a：|法因，ab＋①因 l所|1＋ 2n因为一因>b正为 以bab＝为：a为22＝＝＋>④确l－ 1a由0n1<blb，错 ；n－13<a1b1a<(，2<a<而 误0－＝2<01b，＝a，0．1<2lybn，)a0＝－＝2故(b，＝－根>l112可n0可l<，1据n，0)x取2知此，4＝在所y>ab＝时所00其＝以<，，x①以a定－2<a在正 ②0＋义11.，(错 确b－域b误 ；<∞上＝0；，，为－0增2a1).b上函>为数0，减，故函有数，a＋1 b ②故因中②所 由为，错以 以因误上aln综－为；分b上1a2b析＝><所ln，a－述<a知102，－， ，①②－故所③1④1④以正＝错错－确0误，误b．>，．－①a>③0，正则确－．b>|a|，即|a|＋b<0， ③b中－，1b＝因答－为案2b－<：a－①<102③，＝又－1a32<，1b<所0以，③所正以确a－；1a>b－1b，故③正确；
1．在应用传递性时，注意等号是否传递下去，如 a≤b，b<c ⇒a<c.
2．在乘法法则中，要特别注意“乘数 c 的符号”，例如当 c≠0 时，有 a>b⇒ac2>bc2；若无 c≠0 这个条件，a>b ⇒ac2>bc2 就是错误结论(当 c＝0 时，取“＝”)．
[小题纠偏] 1．若1a<1b<0，则下列不等式：①a＋1 b<a1b；②|a|＋b>0；③a
[谨记通法] 比较两个数(式)大小的 2 种方式
如“题组练透”第2题易忽视作商法．
考点二 不等式的性质重点保分型考点——师生共研
[典例引领]
1．设a，b∈R则“(a－b)·a2<0”是“a<b”的________条件． 解析：(a－b)·a2＜0，则必有 a－b＜0，即 a＜b；而 a＜b 时，不能推出(a－b)·a2＜0，如 a＝0，b＝1，所以“(a －b)·a2＜0”是“a＜b”的充分不必要条件． 答案：充分不必要
2．(易错题)若 a＝ln22，b＝ln33，则 a____b(填“＞”或“＜”)．
解析：易知
a，b
都是正数，b＝2ln a 3ln
32＝log89＞1，
所以 b＞a.
答案：＜
3．若实数a≠1，比较a＋2与1－3 a的大小． 解：a＋2－1－3 a＝－a12－－aa－1＝a2＋a－a＋1 1∴当 a>1 时，a＋2>1－3 a；当 a<1 时，a＋2<1－3 a.
(4)可乘性：a>b，c>0⇒ac > bc； a>b>0，c>d>0⇒ac > bd；
(5)可乘方：a>b>0⇒an > bn(n∈N，n≥1)； (6)可开方：a>b>0⇒n a > n b(n∈N，n≥2)．
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[小题体验] 1．(教材习题改编)用不等号“＞”或“＜”填空：
(1)a＞b，c＜d⇒a－c________b－d； (2)a＞b＞0，c＜d＜0⇒ac________bd；
(3)a＞b＞0⇒
3
3 a________
b.
答案：(1)＞ (2)＜ (3)＞
2．限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应 使汽车的速度v不超过40km/h，写成不等式就是_____． 答案：v≤40 km/h
3．若x≠2且y≠－1，M＝x2＋y2－4x＋2y，N＝－5，则M
与N的大小关系是________． 解析：M－N＝x2＋y2－4x＋2y－(－5)＝(x－2)2＋(y＋1)2. 又 x≠2 且 y≠－1，∴x－2≠0，且 y＋1≠0，∴M >N. 答案：M >N
2．若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc； ②ad＋bc ＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立 的个数是________．
解析：∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0， ∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0， ∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0， ∴a(－c)＞(－b)(－d)， ∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0，故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④正确．答案：3
[由题悟法] 不等式性质应用问题的3大常见类型及解题策略 (1)利用不等式性质比较大小．熟记不等式性质的条件 和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立 的前提条件． (2)与充要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断 p⇒q和q⇒p是否正确，要注意特殊值法的应用． (3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据 不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
2．若ab>0，且a>b，则1a与1b的大小关系是________． 答案：1a<1b
考点一 比较两个数式的大小 基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．已知 a1，a2∈(0,1)，记 M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则 M 与 N 的大小关系是________．
解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1) ＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)， 又∵a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，∴a1－1<0，a2－1<0. ∴(a1－1)(a2－1)>0， 即 M－N>0.∴M >N. 答案：M >N