东北育才学校刘春杨

东北育才学校刘春杨

沈阳市英才学校郑玉伟

图形与变换是新课程标准明确规定的重要内容之一,有利于培养学生实践与操作能力,形成空间观念和运动变化意识.本文试就旋转变换思想在中考数学试题中的应用加以说明。

★、关于旋转变换知识归纳：

1．定义:在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度形成新的图形，这样的图形运动叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，图形转动的角叫做旋转角。旋转变换分为全等变换和相似变换。

2．旋转的三个基本要素：旋转中心，旋转方向，旋转角.

3．基本特征：

（1）图形上的每个点同时都按相同方式转动相同的角度，即任意一对对应点与旋转中心连线所成的夹角都是旋转角，图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度；

（2）旋转中心在旋转过程中始终保持不动，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等；

（3）旋转不改变图形的大小和形状（即旋转前后的两个图形是全等图形），只是位置发生了变化.

★应用情况

常见的题型有填空、选择、作图、综合题等。常结合平移、轴对称、三角形相似（全等）、勾股定理、方程、函数等知识进行综合应用。解这类题要求考生具备扎实数学的基本功,较强的观察力,丰富的想象力及综合分析问题的能力,解题时要切实把握几何图形运动过程,并注意运动过程中特殊位置,在"动"中求"静",在"静"中探求"动"的一般规律.抓住图形旋转前后哪些是不变的量，哪些是变化的量。现就07年全国各省市中考试题中出现的一些典型试题加以说明。

一、四边形作旋转

（一）正方形作旋转

例1．（07年台州市）把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形

，边与交于点（如图1）．试问线段与线段相等吗？

请先观察猜想，然后再证明你的猜想．

分析：（1）由已知正方形绕着点，按顺

时针方向旋

转得到正方形，所以可得；

（2）要证明线段与线段相等只需证明这两条线段所在的两个三角形

是否全等即可；或证明⊿GHB是否为等腰三角形也可以。

解：．

证法1：连结，

四边形，都是正方形．

．由题意知，又．

，．

证法2：连结．

四边形都是正方形，

．

由题意知．．

．．

例2．（2007四川资阳市）如图2-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.

(1) 求证：BP=DP；

(2) 如图2-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；

(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .

分析：⑴在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP..⑵当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立. 不是总成立 .

⑶连接BE、DF，则BE与DF始终相等.

在图2-1中，可证四边形PECF为正方形，同时可证△PEC≌△PFC . 从而有

BE=DF .

略解：⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.

解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.

⑵ 不是总成立 .

当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.

⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.在图2-1中，可证四边形PECF为正方形，

在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC . 从而有BE=DF .

（二）梯形作旋转

例3．（2007湖北孝感）如图3－1，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD向左

平移6个单位长度得到梯形.

（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形；

（2）以点C1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C1顺时针方向旋转90°

得到梯形，请你画出梯形．

分析：根据平移的两要素（方向、距离）、旋转三要素准确画图即可。

图3－1 图3－2

二、三角形作旋转

（一）直接运用旋转知识解题

例题4．（07年泰安市）如图4，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为（0，4）．

（1）求点的坐标；

（2）求过，，三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中的抛物线上是否存在点，使以为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．

分析：（1）本题平面直角坐标系中求点的坐标可以求出线段A’B’、OB’的长；

绕点按逆时针方向旋转至，所以A`B`＝AB、OB`=OB;而中，，，

所以可求。（2）由，，三点坐标可直接求出抛物线解析式。（3）因为

三点皆可能为直角顶点，所以应分三种情况讨论。

解：（1）过点作垂直于轴，垂足为则四边形为矩形

在中，

点的坐标为

（2）∵C（0,4）在抛物线上，

A（4,0），，在抛物线上

解之得

所求解析式为．

（3）①若以点为直角顶点，由于，点在抛物线上，则点

为满足条件的点．

②若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为

或，经计算知；此两点不在抛物线上．

③若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为

或，经计算知；此两点也不在抛物线上．

综上述在抛物线上只有一点使为等腰直角三角形．

例题5．（07年德阳市）如图5，把一副三角板如图5－1放置，其中

，，∠D＝30°，斜边AB=6cm，DC＝7cm，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到如图5－2．这时AB与相交于点

，与AB相交于点F．（1）求的度数；（2）求线段的长．