线性规划解的概念、性质及图解法
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管理运筹学第二章 线性规划的图解法
B、约束条件不是等式的问题：
若约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi 可以引进一个新的变量si ，使它等于约束右 边与左边之差 si=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) 显然，si 也具有非负约束，即si≥0， 这时新的约束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn+si = bi
第二章 线性规划 的图解法
一、线性规划的概念 二、线性规划问题的提出 三、线性规划的数学模型 四、线性规划的图解法 五、线性规划解的情况 六、LP图解法的灵敏度分析
一、线性规划的概念
线性规划Linear Programming 简称LP，是一 种解决在线性约束条件下追求最大或最小的 线性目标函数的方法。 线性规划的目标和约束条件都可以表示成线 性的式子。
max z 3 x1 2 x2
2 x1 x2 ≤ 10 设备B台时占用 s.t. x1 x2 ≤ 8 x , x ≥ 0 产量非负 1 2
决策变量 （decision variable） 目标函数 （objective function） 约束条件 （subject to）
-ai1
x1-ai2 x2- … -ain xn = -bi 。
例1.3：将以下线性规划问题转化为标准形式 Min f = 3.6 x1 - 5.2 x2 + 1.8 x3 s. t. 2.3 x1 + 5.2 x2 - 6.1 x3 ≤15.7 4.1 x1 + 3.3 x3 ≥8.9 x1 + x2 + x3 = 38 x 1 , x 2 , x3 ≥ 0
运筹学线性规划图解法
引理1.线性规划问题的可行解X为基本可行解的充分 必要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的. 证明:
必要性：已知X为线性规划的基本可行解，要证X的 正分量所对应的系数列向量线性独立。
因为X为基本解，由定义，其非零分量所对应的系数 列向量线性独立；又因为X还是可行解，从而其非零分量 全为正。
•有唯一解
例1： max z=2x1+ 3x2 s.t. x1+2x2≤8 4x1≤16 x1,x2≥0
画图步骤： 1、约束区域的确定 2、目标函数等值线 3、平移目标函数等值线求最优值
x2
可行域
(4,2) z=14
目标函数 等值线
x1
•有无穷多解
例2 max z =2x1+4x2 s.t. x1+2x2≤8 4x2 ≤ 12 3x1 ≤12 x1, x2 ≥0
X(0)=Σ α iX(i) α i0,Σ α i=1 记X(1),X(2), …,X(k)中满足max CX(i)的顶点为X(m)。于是，
k
k
CX (0) Ci X (i) Ci X (m) CX (m)
i 1
i 1
由假设CX(0)为最优解，所以CX(0)=CX(m)，即最优解可在顶点
充分性：已知可行解X的正分量所对应的系数列向量 线性独立，欲证X是线性规划的基本可行解。
若向量P1, P2,…, Pk线性独立,则必有k≤m；当k=m时， 它们恰构成一个基，从而X=（x1，x2,…,xk，0…0）为相 应的基可行解。K〈m时，则一定可以从其余的系数列向量 中取出m-k个与P1, P2,…, Pk构成最大的线性独立向量组， 其对应的解恰为X，所以根据定义它是基可行解。
§2 线性规划图解法
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
管理运筹学第二章线性规划的图解法
02
图解法的基本原理
图解法的概念
图解法是一种通过图形来直观展示线性规划问题解的方法。它通过在坐标系中绘 制可行域和目标函数，帮助我们理解问题的结构和最优解的位置。
图解法适用于线性规划问题中变量和约束条件较少的情况，能够直观地展示出最 优解的几何意义。
图解法的步骤
确定决策变量和目标函数
明确问题的决策变量和目标函数，以便在图 形中表示。
目标函数是要求最小化或最大化的函数，通常表示为 $f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
04
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
LINDO是一款开源的线性规划求解器，用 户可以免费使用。
软件工具的使用方法
Excel
用户需要先在Excel中设置好线性规划模型，然后使 用“数据”菜单中的“规划求解”功能进行求解。
Gurobi/CPLEX/LINDO
这些软件通常需要用户先在软件界面中输入线性规划 模型，然后通过点击“求解”按钮进行求解。
实例三：分配问题
总结词
分配问题是指如何根据一定的分配原则 或目标，将有限的资源分配给不同的需 求方，以最大化整体效益。
VS
详细描述
分配问题在实际生活中广泛存在，如物资 分配、任务分配等。通过图解法，可以将 分配问题转化为线性规划模型，并利用图 形直观地展示最优解的资源分配方案。在 分配问题中，通常需要考虑不同需求方的 重要性和优先级，以及资源的有限性等因 素，以实现整体效益的最大化。
线性规划的图解法
X2
5– 4– 最 点 优
l1 3B E ( 1/3) 1+(4/3)x2=3 x 2D l2 1– x1 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
(1/3)x1+(1/3)x2=1
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向. 箭头表示使两种产品的总利润递增的方向.
5– 4–
最优点
l1 3B E 2D (1/3)x1+(4/3)x2=3 l2 1– 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
其中c 令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数,在图中 其中 为任选的一个常数, 画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可 这条直线上的点即对应着一个可 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到c. 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到 . 这样的直线有无数条,而且相互平行, 这样的直线有无数条,而且相互平行,称这样的直线 目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 画出两条目标函数等值线 为目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 比如令c= 和 比如令 =0和c=6,就能看出 , 目标函数值递增的方向, 目标函数值递增的方向, 箭头标出这个方向. 用箭头标出这个方向. 这个方向 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
结
论
从上面用图解法求解案例1的过程中明 从上面用图解法求解案例 的过程中明 显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进 行图解就麻烦得多了. 因此, 行图解就麻烦得多了 . 因此 , 尽管图解法具 有简单, 直观的优点, 有简单 , 直观的优点 , 但它的使用是有局限 性的, 性的 , 对仅含有两个至多不超过三个决策变 量的线性规划才适于使用图解法, 量的线性规划才适于使用图解法 , 大多数情 况下仅对含有两个决策变量的线性规划才使 况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使 用图解法求解, 用图解法求解 , 而对含有三个及三个以上决 策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的 通用算法-- 单纯形法来进行求解 --单纯形法 来进行求解, 通用算法 -- 单纯形法 来进行求解 , 这将在 节加以介绍. §1-3节加以介绍. 节加以介绍
5– 4– 最 点 优
l1 3B E ( 1/3) 1+(4/3)x2=3 x 2D l2 1– x1 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
(1/3)x1+(1/3)x2=1
箭头表示使两种产品的总利润递增的方向. 箭头表示使两种产品的总利润递增的方向.
5– 4–
最优点
l1 3B E 2D (1/3)x1+(4/3)x2=3 l2 1– 0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
其中c 令 Z=2x1+3x2=c,其中c为任选的一个常数,在图中 其中 为任选的一个常数, 画出直线 2x1+3x2=c,这条直线上的点即对应着一个可 这条直线上的点即对应着一个可 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到c. 行的生产方案,即使两种产品的总利润达到 . 这样的直线有无数条,而且相互平行, 这样的直线有无数条,而且相互平行,称这样的直线 目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 画出两条目标函数等值线 为目标函数等值线.只要画出两条目标函数等值线, 比如令c= 和 比如令 =0和c=6,就能看出 , 目标函数值递增的方向, 目标函数值递增的方向, 箭头标出这个方向. 用箭头标出这个方向. 这个方向 图中两条虚线 l1和l2就 分别代表 目标函数等值线 2x1+3x2=0 和 2x1+3x2=6,
结
论
从上面用图解法求解案例1的过程中明 从上面用图解法求解案例 的过程中明 显感觉到对具有三个决策变量的线性规划进 行图解就麻烦得多了. 因此, 行图解就麻烦得多了 . 因此 , 尽管图解法具 有简单, 直观的优点, 有简单 , 直观的优点 , 但它的使用是有局限 性的, 性的 , 对仅含有两个至多不超过三个决策变 量的线性规划才适于使用图解法, 量的线性规划才适于使用图解法 , 大多数情 况下仅对含有两个决策变量的线性规划才使 况下 仅对含有两个决策变量的线性规划才使 用图解法求解, 用图解法求解 , 而对含有三个及三个以上决 策变量的线性规划则应考虑使用更加有效的 通用算法-- 单纯形法来进行求解 --单纯形法 来进行求解, 通用算法 -- 单纯形法 来进行求解 , 这将在 节加以介绍. §1-3节加以介绍. 节加以介绍
第1章 2 线性规划问题的图解法
其中c 令 Z=2x1+3x2=c, 其中c为任选的一个常 数 ， 在图中画出直线 2x1+3x2=c, 即对应着一 组可行的生产结果， 组可行的生产结果，使两种产品的总利润达到 c。 。 这样的直线有无数条， 且相互平行， 这样的直线有无数条 ， 且相互平行 ， 称 只要画两条 这样的直线为目标函数等值线。只要画两条 目标函数等值线 等值线， 目标函数等值线，如令 x2 c＝0和c=6，可看出目 ＝ 和 ，可看出目
x2
4x1 ≤ 16 C D
| 1 | 2 | 3 | 4
4 x2 ≤ 16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 ≤ 8
| 6 | 7 | 8 | 9
A
0
E
| 5
x1
图解法求解步骤
由全部约束条件作图求出可行域； 由全部约束条件作图求出可行域； 作目标函数等值线，确定使目标函数 作目标函数等值线， 最优的移动方向； 最优的移动方向； 平移目标函数的等值线，找出最优点， 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。 算出最优值。
练习1答案
max z=x1+3x2 s.t. x1+ x2≤6 -x1+2x2≤8 x1 ≥0, x2≥0
x2 6
最优解（4/3，14/3）
4
可行域
-8 0
目标函数等值线
6
x1
练习2 某公司由于生产需要，共需要A， 练习 ：某公司由于生产需要，共需要 ， B两种原料至少 两种原料至少350吨（A，B两种材料有 两种原料至少 吨 ， 两种材料有 一定替代性），其中A原料至少购进 ），其中 原料至少购进125 一定替代性），其中 原料至少购进 但由于A， 两种原料的规格不同 两种原料的规格不同， 吨。但由于 ，B两种原料的规格不同， 各自所需的加工时间也是不同的， 各自所需的加工时间也是不同的，加工每 原料需要2个小时 吨A原料需要 个小时，加工每吨 原料需 原料需要 个小时，加工每吨B原料需 小时， 个加工小时。 要1小时，而公司总共有 小时 而公司总共有600个加工小时。 个加工小时 又知道每吨A原料的价格为 万元，每吨B 原料的价格为2万元 又知道每吨 原料的价格为 万元，每吨 原料的价格为3万元 万元， 原料的价格为 万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 要的前提下，在公司加工能力的范围内， 如何购买A， 两种原料 两种原料， 如何购买 ，B两种原料，使得购进成本 最低？ 最低？
任务二图解法求解线性规划问题
任务二 图解法求解线性规划问题情境导入：我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质 任务引入：现在我们要想办法求解例1的数学模型MaxZ=2x 1+3x 2⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥⋅≤≤≤+012416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。
是求解线性规划的一种几何解法。
只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。
这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。
[1]图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。
针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。
2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。
3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。
4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。
以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。
因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。
由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
第二章线性规划的图解法
➢ 答案：
X2 ➢ 最优解为： x1 ＝15 ，x2＝10 40 ➢ 最优值为：z*＝2500×15+1500×10
➢
30
＝52500
3x2＝75
20
（15，10）
10
O
10
20
30
40
50 X1
3x1+2x2＝65
2x1+x2＝40
五、线性规划问题解的情况
➢ 例1.5的最优解只有一个，这是线性规划问题 最一般的解的情况，但线性规划问题解的情 况还存在其它特殊的可能：无穷多最优解、 无界解或无可行解。
... am1x1+am2x2 +…+amnxn≤( =, ≥ )bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ ( ≤) 0 或无约束
xj为待定的决策变量； cj为目标函数系数，或价值系数、费用系数； aij为技术系数； bj为资源常数，简称右端项； 其中i＝1，2，…m； j＝1，2，…n
可以看出，一般LP模型的特点： A、决策变量x1，x2，x3，……xn表示要寻求
O
100 200 300
X1
3、无界解的情况
➢若将例1.5的线性规划模型中约束条件1、2的 不等式符号改变，则线性规划模型变为：
➢ 目标函数：Max z= 50x1+100 x2 约束条件：x1+x2 ≥ 300 2x1+x2 ≥ 400 x2≤250 x1 ≥0， x2 ≥0
B、定义决策变量；
C、用决策变量的线性函数形式写出所要追求 的目标，即目标函数；
D、用一组决策变量的等式或不等式来表示在 解决问题过程中所必须遵循的约束条件。
三、线性规划的数学模型
1、LP模型的一般形式 目标函数：
7-线性规划的概念及图解法
分析： 分析：
规格/ 规格/ m 2.9 2.1 1.5 合计/ m 合计/ 料头/ 料头/ m 下料方案 方案 Ⅱ Ⅲ 2 0 0 2 1 2 7.3 7.2 0.1 0.2
Ⅰ 1 0 3 7.4 0
Ⅳ 1 2 0 7.1 0.3
Ⅴ 0 1 3 6.6 0.8
解：设第一种下料方式用掉x1根管料； 第一种下料方式用掉x 根管料； 下料方式用掉
数学模型为： 数学模型为：
min S = x + x + x + x + x
1 2 3 4 1 2 4 5
x + 2 x + x ≥ 100 2 x + 2 x + x ≥ 100 3 x + x + 2 x + 3 x ≥ 100 x ≥ 0, 整数（i = 1, 2, 3,4,5）
2
A z=10000=50x1+100x2
B C z=27500=50x1+100x2 z=20000=50x1+100x2 D
z=0=50x1+100x2
E
x1
图2-2
• 重要结论 ： 重要结论1：
– 当线性规划问题的可行域非空时，它是 当线性规划问题的可行域非空时， 有界或无界的凸多边形（凸集） 有界或无界的凸多边形（凸集）; – 如果线性规划有最优解，则一定有一个 如果线性规划有最优解， 可行域的顶点对应一个最优解； 可行域的顶点对应一个最优解； – 无穷多个最优解。若将例 中的目标函 无穷多个最优解。若将例1中的目标函 数变为max z=50x1+50x2，则线段 则线段BC 数变为 上的所有点都代表了最优解； 上的所有点都代表了最优解；
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
第一章--线性规划及图解法
x1 - 1.9 x2 = -3.8
(0,2)
D
x1 - 1.9 x2 = 3.8
（7.6,2） ） 34.2 = 3 x1 +5.7 x2
可行域
max Z (3.8,0) min Z
o
0=3 x1 +5.7 x2
x1 + 1.9 x2= 3.8
x1
第一章
线性规划及单纯形法
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？ 优解吗？
O A
x1
§2 线性规划问题的图解法
由以上两例分析可得如下重要结论： 由以上两例分析可得如下重要结论：
1、LP 问题从解的角度可分为： 、 问题从解的角度可分为：
a. 有唯一最优解
⑴ 有可行解 b. 有无穷多最优解
C. 无最优解
⑵ 无可行解 2、LP 问题若有最优解，必在可行域的某个顶点上取 、 问题若有最优解，
§1 线性规划问题及其数学模型 特点： 特点：
线性规划问题的标准形式：
1、目标函数为极
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n） bi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）
若有两个顶点上同时取到， 到；若有两个顶点上同时取到，则这两点的连线上 任一点都是最优解。 任一点都是最优解。
§2 线性规划问题的图解法
图解法优点： 图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。 直观、易掌握。有助于了解解的结构。 图解法缺点： 图解法缺点： 只能解决低维问题，对高维无能为力。 只能解决低维问题，对高维无能为力。
[物理]图解法
![[物理]图解法](https://img.taocdn.com/s3/m/33fe02296c85ec3a87c2c5f1.png)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
极点：设S为一凸集，且x,x1,x2∈S,对 0 1 x x1 (1 ) x2 若 则必定有x=x1=x2，则称x为一个极点。
几何意义：凸集中，不能表示为S内不同点的 连线的点。
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
图中红粗线和红点是极点。
2.线性规划解的性质 （1）、若线性规划的可行域非空，则可行 域D = {X| AX= b，X 0 }必定为一凸集； 证明： 设X1D，X2 D，则 A X1=b，A X2=b， X1 0，X2 0 故 AX =A[ X1 (1 ) X 2 ] = AX1 (1 ) AX 2=b 所以XD , D 为凸集。
作业
习题—2（3）
24
2.2.2 线性规划图解法结果的推广 1. 基本概念 超平面和法向量：在 n 维空间中，所满 足条件：
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn = bi
的点x=(x1,x2,...,xn)构成的集合称为一个 超平面； 其中，r=(ai1,ai2 , … ,ain )为其法向量。
① 做一条目标函数的等值线。（最 好穿过可行域） ② 查看目标函数，若求max ，确定 函数值增加的方向；若求min ，确定函数 值减少的方向；
③最后，依据目标函数的要求在可行域 内平移等值线 （平移到等值线与可行域的最后交点）
结果:
若目标函数等值线能够移动到等值线 与可行域最后的交点，则此可行域与等值 线的交点即为最优解（一个或多个），将 最优解带入目标函数得到最优值。 否则，目标函数等值线与可行域交于无 穷远处，此时无有限的最优解（无界解）。
管理运筹学 线性规划的图解法课件
线性规划的应用领域
生产计划
线性规划可以用于制定生产计划，优 化资源配置，提高生产效率。
物流优化
线性规划可以用于优化物流配送路线 、车辆调度等问题，降低运输成本。
金融投资
线性规划可以用于金融投资组合优化 ，实现风险和收益的平衡。
资源分配
线性规划可以用于资源分配问题，如 人员、资金、设备等资源的合理分配 ，提高资源利用效率。
束条件。
线性规划的目标是在满足一系列 限制条件下，使某一目标函数达
到最优值。
线性规划问题通常表示为求解一 组变量的最优值，使得这些变量 满足一系列线性等式或不等式约
束。
线性规划的数学模型
线性规划的数学模型由决策变量、目标函数和约束条 件三部分组成。
输标02入题
决策变量是问题中需要求解的未知数，通常表示为 $x_1, x_2, ldots, x_n$。
01
03
约束条件是限制决策变量取值的条件，通常表示为 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n leq b$或 $a_1x_1 + a_2x_2 + ldots + a_nx_n = b$。
04
目标函数是问题要优化的函数，通常表示为$f(x) = c_1x_1 + c_2x_2 + ldots + c_nx_n$。
03
绿色发展与线性规 划的结合
将可持续发展理念融入线性规划 ，实现资源节约、环境友好的发 展目标。
THANKS
[ 感谢观看 ]
约束条件
生产计划问题通常受到资源限制、市场需求和生 产能力等约束条件的限制。
详细描述
生产计划问题通常涉及到如何分配有限的资源， 以最大化某种目标函数（如利润）。通过图解法 ，我们可以将约束条件和目标函数在二维平面上 表示出来，从而找到最优解。
1.2线性规划的解
. ..
x2 .3 .
. x1 2x2 2 . . . . .
0
x1
解： （1）在直角坐标系上画出可行域
x1 4
x1 2x2 8
（2）做目标函数的等值线 x1 2x2 2
(3)最优值z* 8
求交点：
x1 x2
2x2 3
8
x1 x1
2x2 4
8
(x1, x2 ) (2,3)
(x1, x2 ) (4,2)
max z 7x1 x2
x1 2x2 6
s.t
x1 x2 1 x1 2
x1 , x2 0
其标准型为
max z 7x1 x2
x1 2x2 x3 6
s.t
x1 x2 x4 1 x1 x5 2
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
1 2 1 0 0
系数矩阵A
2x1 x2 3
可行域为空集
无可行解
该问题无最优解
图解法的基本步骤：
1、在直角坐标系x1ox2上做出可行域S的图形
（一般是一个凸多边形）
2、令目标函数值取一个给定的常数k,
做等值线Z c1x1 c2 x2 k 3、对max 问题，令目标函数值k由小变大, 即让等值线向上平移，
若它与可行域S最后交于一个点（一般是S的一个顶点）， 则该点就是所求的最优点， 若与S的一条边界重合，此时边界线上的点均是最优点
退化基本可行解：基本可行解中，存在取0值的基变量
对应的基称为退化基
非退化基本可行解：基本可行解中，基变量的取值均>0
对应的基称为非退化基
线性规划问题
退化的线性规划问题：存在退化基 非退化的线性规划问：题 所有基均非退化
第二章 线性规划解的概念、性质及图解法
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习题：用图解法求下列线性规划:
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
x2
2 x1 x2 2
max z = 2x1 + 2x2 s.t. 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
Note:
x1 4 x2 4
可行域为无界区域，
目标函数值可无限
x(1) (1 ) x(2) S 则称 S 是一个凸集。
几何意义：如果集合中任意两点连线上的一切点都在 该集合中，则称该集合为凸集。
凸集
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返回
定义 2
设 x R , i 0, i 1, 2,, k , 且 i 1， 则称
(i ) n i 1
k
x 1 x (1) 2 x (2) k x ( k )
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3.可行解与最优解
Ax=b，x≥0；
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4.线性规划的可行域和最优解的性质
1.若线性规划的可行域非空，则可行域必定 为一凸集． 2.若线性规划的可行域非空，则至多有有限 个极点.
3.若线性规划有最优解,则至少有一个极点是 最优解.
可行域内 无限个 可行解 搜索
可行域的 有限个极点
x2
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图解法
步骤 一： 由全 部约 束条 件作 图求 出可 行域 ；
9— 8—
目标函数
Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件
x2
7—
6— 5—
x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
1.2 线性规划的图解法
4x1 16 (0, 4) 4 x2 12 x1 + 2 x 2 8 (8, 0)
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
管理运筹学--管理科学方法
李军
桂林电子科技大学商学院
第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x1
图解法例2
9— 8— 7— 6— 5— 4— 3— 2— 1— 0
8
MaxZ
2 x1 3 x 2
x2
16 4 x1 4 x 2 12 s .t . x1 2 x 2 8 x1 , x 2 0
A）可行解区无界时一定没有最优解 B）可行解区有界时不一定有最优解 C）如果在两个点上达到最优解，则一定有无穷多个最优 解 D）最优解只能在可行解区的顶点上达到
C
31
一、选择题（续）
9、关于线性规划模型的可行解区，下面（ 述正确。
）的叙
A）可行解区内必有无穷多个点 B）可行解区必有界 C）可行解区必须包括原点 D）可行解区必是凸的
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李军
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第二节 线性规划的图解法
图解法
学习要点
1
2
3
4
5
6
图解法 定义
2
图解步 骤
解的有 关概念
解的可 能结果
图解几 何意义
解与可 行域
一、图解法的定义
图解法
就是用几何作图求LP的最优解的方法。
前提条件
变量个数不能超过两个。
图解法的 目的
①利用它来说明LP问题求解的可能结局。 ② 在LP问题最优解存在时，求出最优解。 ③为寻求LP问题的一般算法提供依据。
4x1 16 4 x2 16 x1 + 2x2 8 1、可行域：满 足所有约束条件的 解的集合，即所有 约束条件共同围城 的区域 （或称可行 解集）,记做R 。
第二节 线性规划解的概念、性质及图解法
5
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
例 2.4: 某工厂拥有 A 、 B 、 C 三种 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 类型的设备，生产甲、乙两种产品。 每件产品在生产中需要占用的设备机 时数， 时数，每件产品可以获得的利润以及 三种设备可利用的时数如下表所示：
产品甲 设备A 设备B 设备C 利润（元/件） 3 2 0 1500 产品乙 2 1 3 2500
无可行解的情况
22
2.线性规划的图解法 2.线性规划的图解法
根据以上例题，进一步分析讨 论可知线性规划的可行域和最优解 有以下几种可能的情况 1.可行域为封闭的有界区域 1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为封闭的无界区域 2.可行域为封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解； (c)有唯一的最优解；
31
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
直线B、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（E）、（G）的解，即： 的解， x(7) = (20,0,5,0,75)T 20, 75) 直线C、D的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（H）的解，即： 的解， x(8) = (0,25,15,15,0)T 25,15,15, 直线C、E无交点（C、E相互平行） 无交点（ 相互平行） 直线D、E的交点对应于约束条件(A)、（B）、 的交点对应于约束条件( （C）、（D）、（E）的解，即： 的解， x(9) = (0,0,65,40,75)T 65,40,75)
26
2.线性规划解的概念 2.线性规划解的概念
Max z = 1500 x1 + 2500 x2 s.t. 3x1+2x2+x3= 65 (A) (B) 2x1+x2+x4= 40 3x2+x5= 75 (C) x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 ≥ 0 用（D）（E）（F）（G）（H） 分别表示x1 = 0、x2 = 0、x3 = 0、 x4 = 0、x5 = 0 。 这里一共有8个约束条件，其中3个等 式约束
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Max Z=14
|||| 6789
x1
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点，
算出最优值。
2021/2/4 唯一最优解 x2 9—
1 1 20
0 1
=
p1
p2
p3
p4 p5
容易看出r(A)=2，2阶子矩阵最多有几个？ C52=10
其中基矩阵有几个？ 有9个基
Bi 0
5 1 B1 10 6 ,
5 -1 =0 不是基 1 1
10 2 B4 6
2
,
5 1 B2 10 0 ,
1 1 B5 6 0 ,
5 0 B3 10 1 ,
1.可行域为封闭的有界区域 (a)有唯一的最优解； (b)有无穷多个最优解； 2.可行域为非封闭的无界区域 (c)有唯一的最优解；
(d)有无穷多个最优解； (e)目标函数无界(即虽有可行解，但在 可行域中，目标函数可以无限增大或无限 减少)，因而没有有限最优解。 3.可行域为空集 (f)没有可行解，原问题无最优解
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习题3
max z = 2x1 + 2x2 s.t. x1 + x2 ≥ 1
x1 – 3x2 ≥ – 3 x1 ≤3
x1，x2 ≥ 0
(30,10)
x2
若min Z 换 为max Z
则最优解为
?点x1 3
x1 3x2 3
C(3,2)
D(0,1)
(多解) 线段AD上的任一点
（5）基本解：对某一确定的基B，令非基变量等于零， 由式（1-2）解出基变量，称这组解为基本解。
（6）基本可行解：基本解是可行解则称为是基本可行解 （即非负的基本解） 。
2021/2/4
30
显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.３）的非负要求， 那么这个基本解就是基本可行解。
在例1-14中，对Ｂ１来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变量，
2021/2/4
上页
x1
下页 返11 回
线性规划问题求解的 几种可能结果
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2
x1 +2 x2 8
4 x1
16
4x2 12
-2x1 + x2 4
x1、 x2 0
• 可行域为空集
2021/2/4
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
2021/2/4
29
max Z CX (1-1)
s.t
AX X
0
b
(1-2) (1-3)
（3） 可行解：满足约束条件（1-2）（1-3）的解为
可行解。所有可行解的集合为可行域。
（4） 最优解：满足式（1-1）的可行解，使得目标函 数达到最大值的可行解就是最优解。
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根据以上例题，进一步分析讨论可知线性规 划的可行域和最优解有以下几种可能的情况
1.可行域为封闭的有界区域
(a)有唯一的最优解；
(b)有无穷多个最优解；
2.可行域为非封闭的无界区域
(c)有唯一的最优解；
(d)有无穷多个最优解；
(e)目标函数无界(即虽有可行解，但在可行域中， 目标函数可以无限增大或无限减少)，因而没有有限最 优解。
3.可行域为空集
(f)没有可行解，原问题无最优解
2021/2/4
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小结：
1.图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最优
的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点，算
出最优值。
2021/2/4
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2.线性规划的可行域和最优解
几种可能结果
8—
改变约束条件
7—
或目标函数，
解的结果如何
6—
？
5—
4—B
C
3—
最优解 (4, 2)
2—
D
1—
0
A
| | | | E| | | | |
12 3 4 5 6 7 8 9
x1
2021/2/4
上页 下页
返9 回
线性规划问目题标函求数解的Max Z =
(b)无穷多最优解
约几束种条可件 能x1结+ 2果x2
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定
可以在可行域的顶点得到。 – 若两个顶点同时得到最优解，则其连
线上的所有点都是最优解。 – 解题思路：找出凸集的顶点，计算其
目标函数值，比较即得。
2021/2/4
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练习：
用图解法求解LP问题
Max Z = 15 x1 + 25 x2
2.2 线性规划解的概念、性质 及图解法
❖ 图解法 ❖ 线性规划问题求解的
几种可能结果 ❖由图解法得到的启示
2021/2/4
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2021/2/4
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
1 0 B6 6 1 ,
1 1 B 2 20721/2/4 0 ,
1 0
B8
2
1 ,
1 0
B9 0
1
27
（2）基向量、非基向量、基变量、非基变量
a11
基：B
am1
a1m
p1,
p2 ,
amm
, pm
基向量：基B中的列向量 pj (j=1,2,…,m); 基变量：与基向量对应的决策变量 xj (j=1,2,…,m) ； 非基向量：其余的列向量 非基变量：与非基向量对应的决策变量
2021/2/4
x2
9—
8—
7—
6—
5—
4 —B
3—
2—
1—
0|
A
1
C
|| 23
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
x1、 x2 0
D
| E|
45
4x1 16 4 x2 12
x1+ 2x2=8 4x1 =16
最优解 (4, 2)
x1 + 2x2 8
都是最优解 minZ = 2
2021/2/4
0 A (1,0)
minZ
x1 x2 1
x1
B(3,0)
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习题4
max z = 5x1 + 3x2 s.t. x1 + x2 ≤ 1
x1 + 2x2 ≥ 4 x1，x2 ≥ 0
(30,10)
x2
x1 2x2 4
C(0,2) D(0,1)
x1
+ 2x2 8
x2
9—
4x1
16
8—
4x2 12
7—
x1、 x2 0
6—
5—
4—B
C
3—
2—
D x1 + 2x2 = 8
1—
0
A
| | | | E| | | | |
12 3 4 5 6 7 8 9
x1
2021/2/4
上页 下页
返10 回
线性规划问题求解的 几种可能结果
(c)无界解
x2
Max Z = x1 + x2 -2x1 + x2 4 x1 - x2 2 x1、 x2 0
25
【例1-14】已知线性规划
max Z 4x1 2x2 x3
5x110x1x2
x3 x4 3 6x2 2x3 x5
2
x
j
0,
j
1,
,5
求所有基矩阵。
【解】约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
A
5 10
1 6
1 2
1 0
0 1
2021/2/4
上页 下页 返26 回
5 A 10
1 6
令x3=x4=x5=0，则式（1.２）为
5x1 x2 x3 x4 3 10x1 6x2 2x3 x5 2
5 B1 10
1 6 ,
－5x110x1x26
3 x2
2
因|B1|≠０，由克莱姆法则知，x1、x2有唯一解x1＝2/5,x2=1
则基本解为
X (1) ( 2 ,1,0,0,0)T
x1 x2
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❖图解法
步骤 一： 由全 部约 束条 件作 图求 出可 行域 ；
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x2
9—
8—
7—
6—
5—
(0, 4)
4—
3—
2—
1 — 可行域
0 || | 12 3
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1
16
4x2 12
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二、线性规划解的有关概念
❖可行解、最优解 ❖基、基变量、非基变量 ❖基本解、基本可行解 ❖可行基、最优基
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（1）线性规划的基
定义 线性规划的标准型：