2020年高中数学新教材变式题13 概率与统计

十三、《概率与统计》变式题（命题人：广州市第三中学 刘窗洲）

审校人 张志红 1．（人教A 版选修2-3第66页例4）

某射手每次射击击中目标的概率是 0.8，求这名射手在 10 次射击中， （1）恰有 8 次击中目标的概率； （2）至少有 8 次击中目标的概率 ？

变式1：某人参加一次考试，４道题中解对３道则为及格，已知他的解题正确率为0.4，则他能及格的概率为 ．

【解析】：他能及格则要解对４道题中解对３道或４道：解对３道的概率为：

6.04.0)(3

34⋅=C A P ，解对4道的概率为：4

444.0)(C B P =，且A 与B 互斥，他能及格的概率为

44

43344.06.04.0)(C C B A P +⋅=+．

变式2：设甲、已、丙三人每次射击命中目标的概率分别为0.7、0.6和0.5。

（1） 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概

率；

（2） 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率． 【解析】（I ）设A K 表示“第k 人命中目标”，k=1，2，3. 这里，A 1，A 2，A 3独立，且P （A 1）=0.7，P （A 2）=0.6，P （A 3）=0.5. 从而，至少有一人命中目标的概率为

1231231()1()()()10.30.40.50.94P A A A P A P A P A -⋅⋅=-=-⨯⨯= 恰有两人命中目标的概率为

123123123123123123123123123()()()()

()()()()()()()()()0.70.60.50.70.40.50.30.60.5

0.44

P A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A P A P A P A P A P A P A P A P A ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=

答：至少有一人命中目标的概率为0.94，恰有两人命中目标的概率为0.44． （II ）设甲每次射击为一次试验，从而该问题构成三次重复独立试验.又已知在每次试验中事件

“命中目标”发生的概率为0.7，故所求概率为

.441.0)3.0()7.0()2(2233==C P

答：他恰好命中两次的概率为0.441.

变式3：在2020年雅典奥运会中，中国女排与俄罗斯女排以“五局三胜”制进行决赛，根据以往

战况，中国女排在每一局赢的概率为,5

3 已知比赛中，俄罗斯女排先胜了每一局，求： (1) 中国女排在这种情况下取胜的概率； (2) 求本场比赛只打四局就结束的概率．（均用分数作答）

【解析】(1)中国女排取胜的情况有两种，第一种是中国女排连胜三局，第二种是在第2局到第4

局，中国女排赢了两局，第5局中国女排赢，∴中国女排取胜的概率为

.625

2975352)53()53(2233=⋅⋅⋅+C (2) .125

51)53(53)52(321

2=+⋅⋅C

变式4： 一个质地不均匀的硬币抛掷5次,正面向上恰为1次的可能性不为0,而且与正面向上恰为2次的概率相同.令既约分数

j

i

为硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率,求j i +. 【解析】设正面向上的概率为P,依题意:

()()32

2541511P P C P P C -=-,1-P=2P,

解得:3

1

=

P , 硬币在5次抛掷中有3次正面向上的概率为:

()

243403113112

3352

335=

⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C P P C .

2．（人教A 版选修2-3第77页例4）

随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数X 的均值、方差和标准差。

变式1：设某射手每次射击打中目标的概率为0.8，现在连续射击４次，求击中目标的次数ξ的概

率分布．

【解析】击中目标的次数ξ可能为0，1，2，3，4。 当ξ=0时，()4

42.00C P ==ξ，

当ξ=1时，()3

1

1

42.08.01⋅==C P ξ，

当ξ=2时，()2

2

2

42.08.02⋅==C P ξ，

当ξ=3时，()1

3

3

42.08.03⋅==C P ξ，

当ξ=4时，()4

4

48.04C P ==ξ，

所以ξ的分布列为：

变式2：袋中有１２个大小规格相同的球，其中含有２个红球，从中任取３个球，求取出的３个球中红球个数ξ的概率分布．

【解析】ξ的所有可能的取值为：0，1，2．

当ξ=0时，()3123

10

0C C P ==ξ，

当ξ=1时，()3

12210

121C C C P ==ξ， 当ξ=2时，()3

12

110

222C C C P ==ξ， 评述：312310C C +312

21012C C C +3

1211022

C C C =2201090120++=1． 变式3：从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的

人数.

（1）求ξ的分布列； （2）求ξ的数学期望；

（3）求“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率.

【解析】（1）ξ可能取的值为0，1，2。 2,1,0,)(3

6

34

2=⋅==-k C C C k P k k ξ． 所以，ξ的分布列为

（2）由（1），ξ的数学期望为15

25150=⨯+⨯+⨯

=ξE （3）由（1），“所选3人中女生人数1≤ξ”的概率为

5

4)1()0()1(=

=+==≤ξξξP P P ．

变式4：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格.

（Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 【解析】（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下：

甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=0×

301+1×103+2×21+3×61=5

9. （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则