高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理2优质课件.ppt
中职数学拓展模块课件-二项式定理
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
【高教版】中职数学拓展模块：3.4《二项分布》ppt课件(2)
解 由于是有放回的抽取，所以3次抽取是相互独立的．而且
巩 固 知 识 典 型 例 题
是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 1 4 都是 p ，取到的不是黑球的概率都是 ．三次抽取，取到黑球 5 5 4 n 3 ， p 的个数 是一个离散型随机变量，服从 的二项分布． 5 即 4 B 3， ． 5 事件 2 表示抽取3次所取到的球恰好有2个黑球．其概率为
在实际问题中，如果n次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件A在每次实验中发生的概率都是p(0＜p＜1)，则事件A发 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为n和P的二项分布．
例6 口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取3次所取到的球恰好有2个黑球的概率．
巩 固 知 识 典 型 例 题
活不到65岁}．于是 P( A) 0.6, P( A) 1 0.6 0.4． 且随机变量 B(3， 0.6)． 因此
3 3 0 P (3) C 0.6 (1 0.6) 0.216， 3 3 2 2 1 P (2) C 0.6 (1 0.6) 0.432， 3 3 1 1 2 P (1) C 0.6 (1 0.6) 0.288， 3 3 0 0 3 P ． 3 (0) C3 0.6 (1 0.6) 0.064
0， 1， 2， 3的概率（仅求到组合数形式）分别为：
0 1 P( 0) C3 0.030 (1 0.03)3， P( 1) C3 0.03 (1 0.03)2， 2 3 P( 2) C3 0.032 (1 0.03)， P( 3) C3 0.033 (1 0.03)0．
《二项式定理》ppt课件
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
【高教版】中职数学拓展模块：3.4《二项分布》ppt课件(2)
二项分布，即 ~B（n，P），则其均值与方差分别为
E ( ) np；D( ) npq．
某连锁总店每天向10家商店供应货物，每家商店订货与否相 互独立，且每家商店订货的概率都是0.4，求10家商店中订货商店 家数 的概率分布．
运 用 知 识 强 化 练 习
i 提示：P( i) C10 0.4i 0.610i (i 01 ， ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 910) ，．
在实际问题中，如果n次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件A在每次实验中发生的概率都是p(0＜p＜1)，则事件A发 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为n和P的二项分布．
例6 口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取3次所取到的球恰好有2个黑球的概率．
设离散型随机变量 ~B（10，0.4），求出其均值与方差．
E ( ) 4；D( ) 2.4．
什么叫做二项分布？
一般地，如果在一次试验中某事件A发生的概率是P，随机 变量 为n次独立试验中事件A发生的次数，那么随机变量 的 概率分布为：
理 论 升 华 整 体 建 构
P
0
1
…
0， 1， 2， 3的概率（仅求到组合数形式）分别为：
0 1 P( 0) C3 0.030 (1 0.03)3， P( 1) C3 0.03 (1 0.03)2， 2 3 P( 2) C3 0.032 (1 0.03)， P( 3) C3 0.033 (1 0.03)0．
解 由于是有放回的抽取，所以3次抽取是相互独立的．而且
巩 固 知 识 典 型 例 题
是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 1 4 都是 p ，取到的不是黑球的概率都是 ．三次抽取，取到黑球 5 5 4 n 3 ， p 的个数 是一个离散型随机变量，服从 的二项分布． 5 即 4 B 3， ． 5 事件 2 表示抽取3次所取到的球恰好有2个黑球．其概率为
高教版中职数学(拓展模块)3.4《二项分布》ppt课件1
A，并且在每次
实验中，事件A发生的概率都不变．这样的n次独立试验叫做n次
动
伯努利实验．
脑
思
可以证明（证明略），如果在每次实验中事件A发生的概率
考
为P(A) p，事件A不发生的概率说明P( A) 1 p，那么，在n次伯努
n次伯努利实
探
利实验中，事件A恰好发生k次的概验率中为，事件A恰好发生k 次的概率公式可以看成
独立重复试验．
动
脑
采用“有放回”的方法，从袋中连续5次抽取的实验就是5次独
思
立重复试验．
考
探
观察上面的实验，每次试验的可能结果只有两个（黄球、白
索
球），并且两个结果是相互独立的（即各个事件发生的概率互相
新
没有影响）．
知
一般地，在n次独立试验中，如果每次试验的可能结果只有
两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A和
体
这个公式叫做伯努利公式，其中 k 0，1，2 ，n．
建
构
生产某种零件，出现次品的概率是0.04，现要生产4件这 种零件，求：
（1）其中恰有1件次品的概率；
Hale Waihona Puke 自 我（2）至多有1件次品的概率．
反
思
目
标
0.14，0.99．
检
测
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/7/31
中职数学 拓展模块 第3章 概率与统计
3.1 排列与组合
两个相同的排列有什么 特点？两个相同的组合呢？
3.1 排列与组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个 不同元素中取出m个元素的 组合数 ，用 来表示.
例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为 ；我们已经知道 =3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合 数 是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.
为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙 3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
3.1 排列与组合
解决这个问题需 分2个步骤：第一步， 先确定1名参加上午活 动的同学，从3人中任 选1人有3种选法；第 二步，确定1名参加下
学习提示
例6 中公式是组合数的性质之一，即从n个 不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出nm个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种
减少计算工作量的方法，如计算C160 可转化为计
算 C140 .
3.1 排列与组合
练一练
1.计算.
C140
;
C198 200
;
C939
;
C22
C32
C1200 .
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第3章 概率与统计
图3-5
3.1 排列与组合
填法可分为m个步骤： 第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种 方法； 第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一 个，有n-1种方法； 第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一 个，有n-2种方法； …… 第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填 一个，有n-m+1种方法.
二项式定理及应用PPT教学课件
3、（x2 - 1 ）9展开式中x9的系数是 _________（03年 2x
全国高考）
例1(x 1)5 5(x 1)4 10(x 1)3 10(x 1)2 5(x 1)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
（1） a1+a2+a3+ a4 + a5的值 （2） a1+a3+ a5的值 （3） |a1|+|a2|+|a3|+ |a4| + |a5|的值
评注：涉及展开式的系数和的问题，常用赋值法解决
练习：
若(2 x 3 )4 a0 a1 x a2 x2 a3 x3 a4 x4 ,则 (a0 a2 a4 )2 (a1 a3 )2 ______ (99年全国)
作业: 指导与学习P74-75
T1-10
重庆遇罕见蝗灾
2001年夏，重庆壁山县古老城遭受了 罕见的蝗虫灾害，铺天盖地的蝗虫像 收割机一样把当地近千亩的农作物和 果树林吞食得面目全非，眼看数年心 血就要化为泡影。
重 庆 遇 罕 见 蝗 灾
请你帮助
古老城人可以怎样消灭 蝗虫，控制蝗灾？
古老城紧急呼救
1、已知
x
2 x
n
展开式中第五项的系数与
第三项的系数比是10 : 1，求展开式中含x的项
2、如果： 1＋2C
1 n
22 Cn2 L
2n
C
n n
2187
求：Cn1 L Cnr L Cnn 的值
小结 二项式定理体现了二项式展开式的指 数、项数、二项式系数等方面的内在联系。 涉及到二项展开式中的项和系数的综合问 题，只需运用通项公式和二项式系数的性 质对条件进行逐个击破，对于与组合数有 关的和的问题，赋值法是常用且重要的方 法，同时注意二项式定理的逆用
二项式定理PPT说课稿最终PPT讲稿思维导图知识点归纳总结[PPT白板课件]
![二项式定理PPT说课稿最终PPT讲稿思维导图知识点归纳总结[PPT白板课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/acdc1d6983c4bb4cf7ecd1c8.png)
归的意识与方法迁移的能力，体会从特殊到 一般的思维方式．
3、情感目标：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验
二项式定理的发现和创造历程，体会数学数 学公式的对称美、和谐美。．
二、新课标要求在本节课的体现
现代教学的核心是“以学生的发展为 本”，注重学生的学习状态和情感体验，注 重教学过程中学生主体地位的体现和主体作 用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励 发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精 神和实践能力．
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一、教材内容的分析 二、新课标在本节课体现 三、教学方式的选择 四、教学过程的设计
一、教材内容分析
本节课是在学习了排列组合的基础上 学习的，并为后面学习概率中的二项 分布奠定了基础，所以它是承上启下 的一节课。二项式定理不仅是解决某 些整除性、近似计算问题的一种方法， 并且还能解释集合的子集个数问题； 因此这节课在高中数学中有着十分重 要的作用。
a
3b
C
2 4
a
2
b
2
C43ab3
C
4 4
b
4
容易看到，等号右边的积的展开式的每一项，是从每 个括号里任取一个字母的乘积，因而各项都是4次式，即 展开式应有下面形式的各项：a4，a3b，a2b2，ab3，b4 .
2 合作探究，发现规律
四、教学过程 的设计
学生可能归纳出来：（1）每一项中字母a、b的指 数之间的关系（2）项的个数有n+1项 在上面4个括号中： 每个都不取的情况有1种，即 种，所以的系数是； 恰有1个取的情况下有种，所以的系数是； 恰有2个取的情况下有种，所以的系数是； 恰有3个取的情况下有种，所以的系数是； 4个都取的情况下有种，所以的系数是； 因此．
语文版中职数学拓展模块3.2《二项式定理》ppt课件1
问题探究
对给定的正整数n，设函数
当f (nr＝) 6=时C，nr函，数r∈f({r0)，的1图，象2，是…什，么n？}，
f(r) 20 15 10 5
O 1234 5 6 r
问题探究
一般地，函数f (r )
=
C
r n
，
r∈{0，1，2，…，n}的图象是什么？
例5 用二项式定理求233除以9的余数.
余数为8
应用举例
例6 求1.028精确到0.001的近似值. 1.028≈1.171
例7 求证：
C
0 n
+
1 2
C
1 n
+
1 3
C
2 n
+
L
+
n
1 +
1
C
n n
=
2n + 1 - 1 n+1
应用举例
例8 设n∈N*，求证：
（1）2n > 2n + 1(n ? 3) ；
•
认真听讲的第一个阶段就是上课时间无条件地“往前看”，上课的时候看书往往很容易开小差。摒除杂念，将视线从摊在眼前的书上移开。老师讲课的时候只看前面，集中注意力听老师嘴里说出来的话，那才是认真听讲的态度。
•
低着头，心情就放松了，但那种放松对学习一点好处也没有，之所以会放松，就是因为觉得即便是自己开小差，老师也不知道。如果你往前看，不时地和老师眼神交会一下，注意力必然会集中起来。和老师眼神交汇的那种紧张感会让你注意力集中，并充
是老师在上课时补充讲解的，如果不听讲很可能就会错过这些重点。
•
所以，上课的时间一定要专注于课堂，决不能打开别的习题集去学习，这样才是高效率的学习，才是提高成绩最快的方法。因此，困难也要先听课，那对你将来的自学一定会很有帮助，哪怕你只是记住了一些经常出现的术语，上课的内容好像马上就忘光
高教版中职数学(拓展模块)3.2《二项式定理》ppt课件2
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的
展开
式
中x3的 系
=
Cnk
1
n
k k
+
1
实质：数
所
以Cnk
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
治学品质
• 杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解， 辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无 上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。 师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日 师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练， 为防异处而忘，故坚不让道。
• 辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图：19个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。 辉趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学 之心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿， 相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至 16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图 总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》中，流 传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。
二项式定理课件
展开式的性质
二项式定理的展开式具有一些重要的性质，这些性质在后续 的应用中非常重要。
例如，二项式定理的展开式中的每一项都是正整数幂次的乘 积，而且每一项的系数都是组合数。此外，二项式定理的展 开式具有对称性，即第i+1项和第n-i+1项是相等的。
03
二项式定理的扩展
二项式定理的推广
推广到多项式
详细描述
通过二项式定理，可以计算出多个独立事件的概率和期望值，这在概率论中非常重要，如计算彩票中奖概率、股 票投资风险评估等领域都有应用。
微积分中的二项式定理应用
总结词
在微积分中，二项式定理常用于求幂级数的展开式。
详细描述
利用二项式定理，可以求出幂级数的展开式，这在微积分中非常重要，如求解微分方程、积分变换等 领域都有应用。
04
二项式定理的应用实例
组合数学中的二项式定理应用
总结词
在组合数学中，二项式定理常用于计 算组合数和排列数。
详细描述
利用二项式定理，可以快速计算出给 定集合的组合数或排列数，这些计算 在组合数学中非常重要，如排列组合 问题、概率论等领域都有广泛应用。
概率论中的二项式定理应用
总结词
在概率论中，二项式定理常用于计算概率和期望值。
二项式定理在组合数学、概率论和统计学 等领域有广泛的应用。
二项式定理的定义
01
二项式定理描述了一个二项式展 开后的系数规律，即$(a+b)^n$ 的展开式中的每一项系数。
02
二项式定理的系数可以用组合数 表示，即$C(n, k)$，表示从n个 不同项中选取k个的组合方式数目 。
二项式定理的应用场景
组合数的性质
二项式定理中的组合数具有一些重要的性质，如对称性、递推关系等，这些性 质在解决数学问题时非常有用。
二项式定理课件_完美版
x 1
5
3．若(
)n的展开式中各项系数之和为64，
则 展开式的常数项为( A ) A．－540 B．－162 C．162
D．540
4．(2010·上海春)在 项是________．
的二项展开式中，常数
答案：60
二、题型与方法
考点一 通项公式的应用
通项公式中含有a，b，n，r，Tr＋15个元素，只要知 道了其中的4个元素，就可以求出第5个元素，在求展开式 中的指定项问题时，一般是利用通项公式，把问题转化为 解方程(或方程组)．这里必须注意隐含条件n，r均为非负 整数且r≤n.
(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式 所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的 项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指 数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来 求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一 字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一 致．
3)．你能分析说明各项前的系数吗？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 每个都不取b的情况有1种，即C40 ,则a4前的 系数为C40
恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44
2.计算并求值
(1) 1 2C 4C
1 n 2 n
5 4
2 C
n
(2) ( x 1) 5( x 1) 10( x 1) 10( x 1)
3
n n
2
5( x 1)
0 n n
职中二项式定理ppt课件
二项式定理的应用场景
总结词
二项式定理在数学、物理、工程等多个领域都有广泛的应用。
详细描述
在数学中，二项式定理常用于解决一些代数问题，如因式分解、求根公式等。在物理中，二项式定理可以用于计 算一些物理量的近似值，如光的波长、电子的能量等。在工程中，二项式定理可以用于解决一些优化问题，如线 性规划、组合优化等。
03
二项式定理的扩展与推广
二项式定理的扩展形式
二项式定理的通项公式
通过组合数和幂运算，推导出二项式定理的通项公式，用于 计算特定项的值。
二项式定理的推广
将二项式定理的适用范围从两项扩展到多项，并推导出相应 的展开式。
二项式定理的几何意义
二项式定理与几何图形的关系
通过图形解释二项式定理的原理，如利用三角形和组合数的关系解释二项式系 数。
习题二及答案
习题二
$(a+b+c)^2$的展开式中，$a^2$的 系数是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b+c)^2$的展 开式中$a^2$的系数是 $C_2^1b^1c^0+C_2^0b^0c^2=2 c+2b$。
习题三及答案
习题三
$(a+b)^5$的展开式中，常数项是多少？
答案
根据二项式定理，$(a+b)^5$的展开式中常 数项是$C_5^4a^1b^4=5b定理简介 • 二项式定理的公式与证明 • 二项式定理的扩展与推广 • 二项式定理的实际应用 • 习题与解答
01
二项式定理简介
二项式定理的定义
总结词
二项式定理是数学中的一个基本定理 ，它描述了两个数的乘积的展开式的 特定规律。
详细描述
二项式定理指出，对于任何两个数a和 b（其中b不为0），它们的乘积可以 展开为(a+b)，(a+b)^2，(a+b)^3等 幂次的各项，这些项的系数遵循特定 的规律。
第三节 二项式定理 课件(共36张PPT)
其展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck4(x2＋x)4－kyk，
因为要求x3y2的系数，所以k＝2， 所以T3＝C24(x2＋x)4－2y2＝6(x2＋x)2y2. 因为(x2＋x)2的展开式中x3的系数为2， 所以x3y2的系数是6×2＝12.
法二 (x2＋x＋y)4表示4个因式x2＋x＋y的乘积，在 这4个因式中，有2个因式选y，其余的2个因式中有一个 选x，剩下的一个选x2，即可得到含x3y2的项，故x3y2的系 数是C24·C12·C11＝12.
对于几个多项式和的展开中的特定项(系数)问题， 只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定 的项，再求和即可．
角度 几个多项式积的展开式中特定项(系数)问题 [例4] (1)(2x－3) 1＋1x 6 的展开式中剔除常数项后的 各项系数和为( ) A．－73 B．－61 C．－55 D．－63 (2)已知(x－1)(ax＋1)6的展开式中含x2项的系数为0， 则正实数a＝________． 解析：(1)(2x－3)1＋1x6的展开式中所有项的系数和为 (2－3)(1＋1)6＝－64，(2x－3)1＋1x6＝
为( )
A．－1
B．1
C．32
解析：由题意可得CC6162aa54bb＝2＝－13158，，
D．64
解得ab＝＝1－，3，或ab＝＝－3. 1，则(ax＋b)6＝(x－3)6， 令x＝1得展开式中所有项的系数和为(－2)6＝64，故选D. 答案：D
2．(2020·包头模拟)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋
[例2] (1)若(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝( )
高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理
二项式定理的定义二项式定理的证明二项展开式的通项二项式系数的性质二项式定理一、定义：n nn r r n rn n n n n n n n b b a b a b a a b a C C C C C ++++++=+--- 22211)()(*N n ∈，这一公式表示的定理叫做二项式定理，其中公式右边的多项式叫做n b a )(+的二项展开式；上述二项展开式中各项的系数),,2,1,0(n r C rn = 叫做二项式系数，第1+r 项叫做二项展开式的通项，用1+r T 表示；r r n rn r b a T C -+=1叫做二项展开式的通项公式． 二、二项展开式的特点与功能1. 二项展开式的特点项数：二项展开式共1+n （二项式的指数+1）项；指数：二项展开式各项的第一字母a 依次降幂（其幂指数等于相应二项式系数的下标与上标的差），第二字母b 依次升幂（其幂指数等于二项式系数的上标），并且每一项中两个字母的系数之和均等于二项式的指数n ；系数：各项的二项式系数下标等于二项式指数；上标等于该项的项数减去1（或等于第二字母b 的幂指数； 2. 二项展开式的功能知识内容二项式定理注意到二项展开式的各项均含有不同的组合数，若赋予a ，b 不同的取值，则二项式展开式演变成一个组合恒等式．因此，揭示二项式定理的恒等式为组合恒等式的“母函数”，它是解决组合多项式问题的原始依据．又注意到在b b a )(+的二项展开式中，若将各项中组合数以外的因子视为这一组合数的系数，则易见展开式中各组合数的系数依次成等比数列．因此，解决组合数的系数依次成等比数列的求值或证明问题，二项式公式也是不可或缺的理论依据． 三、二项式系数的性质1. 对称性：在二项展开式中，与首末两项“等距离”的两项的二项式系数相等．2. 单调性：二项式系数（数列）在前半部分逐渐增大，在后半部分逐渐减小，在中间（项）取得最大值．其中，当n 为偶数时，二项展开式中间一项的二项式系数C n n2最大；当n 为奇数时，二项展开式中间两项的二项式系数Cn n21-,Cn n21+ 相等，且最大．3. 组合总数公式：nnn n n n C C C C 221=++++ 即二项展开式中各项的二项式系数之和等于n 2．4. “一分为二”的考察：二项展开式中各奇数项的二项式系数之和等于各偶数项的二项式系数之和，即1531422-=+++=+++n n n n n n n C C C C C C ．例题练习1. 二项式定理及其展开式【例1】 求5)1(x x +的展开式．【解析】5)1(x x +=505541453235232514150505)1()1()1()1()1()1(x x x x x x x x x x x x C C C C C C +++++ =5x +53x +10x +10x 1+531x +51x【例2】 0．9915的近似值（精确到）是【解析】0．9915=(1-0．009)5=1-5×0．009+10×2 … ≈+0．00081≈【例3】 求证：（1）11--n n 能被2)1(-n 整除)3,(≥∈n N n ；【证明】为利用二项式定理，对1-n n 中的底数n 变形为两数之和（或差）． ∵ 3≥n ，且N n ∈， ∴11)]1(1[---+=n n n n 于是有 1)]1(1[111--+=---n n n n()()()21121111112...11n n n n n C n C n C n -----⎡⎤=+-+-++--⎣⎦()()()2112111112...1n n n n n C n C n C n -----=-+-++-()()()23231111111...1n n n n n n C C n C n -----⎡⎤=-++-++-⎣⎦(※) 注意到3≥n ，且N n ∈ ，故()()323111111...1n n n n n C C n C n N --*---++-++-∈因此由(※)式知11--n n 能被2)1(-n 整除；2. 二项式系数【例4】 在8)1)(1(+-x x 的展开式中5x 的系数是（ ）【例5】 A ． –14 B ． 14 C ． –28 D ． 28 【分析】对于多项展开式中某一项的总数的寻求，“化整为零”为基本方法之一，8)1)(1(+-x x =8888)1()1()1()1(x x x x x x +-+=+-+⋅ ，又8)1(x +的展开式中4x 的系数为C 48，5x 的系数为C 58．∴ 原展开式中5x 的系数为1438485848=-=-C C C C ，应选B ．【例6】 设1,2,3,4,5,k =则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A ． 10B ． 40C ． 50D ． 80 【分析】立足于二项展开式的通项公式：)5,,2,1,0(2551 ==-+r x T r r rr C∴ 当k=1时，r=4，1x 的系数为802445=⋅C ； 当k=2时，r=3，2x 的系数为802335=⋅C ； 当k=3时，r=2，3x 的系数为402225=⋅C ； 当k=4时，r=1，4x 的系数为102115=⋅C ． ∴ 综上可知应选C ．【点评】关于二项展开式中某一项的问题，一般要利用二项展开式的通项公式．【例7】 在8765)1()1()1()1(x x x x -+-+-+-的展开式中，3x 的项的系数为（ ）A ． 74B ． 121C ． –74D ． –121【分析】考虑求和转化，原式xx x x x x 9545)1()1()1(1])1(1[)1(---=-----=又5)1(x -的展开式中4x 系数为C 45 ，9)1(x -的展开式中4x 系数为C 49 ∴ 原展开式中3x 项的系数为1214945-=-C C ，应选D ．【例8】 已知n xx )21(3-)(*∈N n 的展开式中奇数项的二项式系数之和等于512，试求：（1）二项式系数最大的项； （2）系数的绝对值最大的项； （3）系数最大的项．【解析】由题意得5122142==+++-n n n o n C C C ∴10n =∴二项展开式的通项公式为 65301012)1(rrrrr xT C --+⋅⋅-⋅=)10,2,1,0( =r（1）∵10n =， ∴二项展开式共11项∴二项展开式的中间一项即第六项的二项式系数最大 又65551062x T C --=∴所求二项式系数最大的项为 656863x T -=（2）设第r+1项系数的绝对值r rC -⋅210最大，则有)10(2222)1(11010)1(11010≤⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅----+-+-r r r r r r r r r C C C C ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋅--≥⋅-⋅-+≥⋅-⇔-+1121)!11()!1(!1021)!10(!!1021)!9()!1(!1021)!10(!!10r r r r r r r r r r r r⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-≥-+⇔21121101r r r r解之得31138≤≤r ，注意到N r ∈，故得r=3∴ 第4项系数的绝对值最大∴ 所求系数绝对值最大的项为 25415x T -=（3）由通项公式的特征可知，系数最大的项应在项数为奇数的项内，即在r 取偶数的各项内又r 取偶数0，2，4，6，8，10时，相应的各项系数分别为0102C ,22102-C ,44102-C ,66102-C ,88102-C ,1010102-C ．即分别为1，445 ，8105 ，32105 ，25645,1021 由此可知，系数最大的项为第5项(r=4)，即3558105x T =点评：（1）解决二项式问题要注意区分两种系数：一种是某一项的系数，按通常的多项式系数去理解、认定；一种是某项的二项式系数，仅指这一项中所含的那个组合数．二者在特殊情况下方为同一数值． （2）这里103)21(xx -展开式中系数绝对值最大的项，实际上是103)21(xx +展开式中系数最大的项，必要时可适时转化．（3）本题解法“一题两制”：对于（2），我们运用一般方法进行推导；对于（3），我们运用认知、列举、比较的方法导出目标．当指数n 数值较小时，（3）的解法颇为实用．【例9】 设2002002210200)14(x a x a x a a x ++++=- ，求 ①展开式中各二项式系数的和；②展开式中各项系数的和；③19931a a a +++ 的值 ④20042a a a +++ 的值 ⑤20021a a a +++ 的值【解析】令2002002210200)14()(x a x a x a a x x f ++++=-=①注意到这里n=200，故展开式中各二项式系数的和2002002002200120002002=++++C C C C②展开式中各项系数的和2002002103)1(==++++f a a a a ③ 注意到2001993210)1(a a a a a a f +++++= ，2001993210)1(a a a a a a f +--+-=- )(2)1()1(19931a a a f f +++=--∴)53(21)]1()1([21200200199531-=--=++++∴f f a a a a④仿③得)53(21200200200420+=++++a a a a ，又1)0(0==f a ∴1)53(2120020020042-+=+++a a a ⑤解法一（直面原式）：2001993210)1(a a a a a a f +-+-+-=-∴)1(020********--=-++-+-f a a a a a a a ，又1)0(0==f a ∴1)1(2001994321--=+--+-+f a a a a a a再由二项式的展开式知，-+∈∈R a a a R a a a 1993120020,,,,,, ∴20021a a a +++151)1()()()(2002001994321-=--=+-+++-++-=f a a a a a a点评：对于二项展开式中各奇数项系数的和或各偶数项系数的和或其它有关多项式中系数的和，一般可根据问题的具体情况，对未知数x 赋予适当的数值，运用特取法求出和式的值．3. 二项式展开式的通项公式【例10】 求9)1(x x -的二项展开式中3x 的系数．【解析】展开式的通项为m mm m m m m x xx T C C 299991)1()1(--+-=-=根据题意，有923m -= ，解得m=3 因此，3x 的系数为8484)1()1(3393-=⋅-=-C【例11】 求7)21(x +的二项展开式中，第4项的系数和第4项的二项式系数． 【解析】7)21(x +的二项展开式的第4项为3373713)2(1x T C -+=所以第4项的二项式系数为3537=C第4项的系数为280837=⋅C【例12】 求10)1(xx +的二项展开式的第6项．【解析】252)1()(51055510156====+C C xx T T ．【例13】 二项式6)1(xx +的展开式中常数项的值为______．【解析】展开式的通项为r rr r r r x xx T C C 266661)1(--+==由题意知6-2r=0，即r=3，故有展开式中常数项 的值为2036=C ．【例14】 103)1(xx -展开式中的常数项是______．【解析】r rrr rrr xxx T C C 65510310101)1()1()(--+-=-=．依题意，0655=-r ，即6r =．所以展开式的常数项是210)1(61067=-=C T ．【例15】 （2010江西卷理6）8)2(x -展开式中不含4x 项的系数的和为（ ）A ．-1B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．采用赋值法，令1=x 得：系数和为1，减去4x 项系数1)1(28088=-C 即为所求，答案为0．4. 二项式定理在解决整除性问题中的应用【例16】 今天是星期一，再过n 8天后的那一天是星期几？【解析】 C C C C C nn n n n n n n n n n n +++++=+=---1122117777)17(8 因为C nn 前面各项都是7的倍数，故都能被7整除．因此余数为，1=C nn 所以应为星期二．【例17】 9291除以100的余数是（ ）． 【解析】转化为二项式的展开式求解．190909090)190(9191922909291192929292+++++=+=C C C ．上式中只有最后两项不能被100整除8281190921909192=+⨯=+C ． 8281除以100的余数为81，所以9291除以100的余数为81．5. 信息迁移【例18】 若)()21(2004200422102004R x x a x a x a a x ∈++++=- ，)()()(200402010a a a a a a ++++++= _______．（用数字作答）【解析】设2004200422102004)21()(x a x a x a a x x f ++++=-=则 1)0(0==a f ，1)1(2004210=++++=a a a a f ．∴ 原式=)(20042004210a a a a ++++ =2004)1(20030=+f a 应填2004．【例19】 已知函数1212)(+-=x x x f ，求证：对于任意不小于3的自然数n ，都有1)(+>n nn f ．【证明】要证1)(+>n nn f 3,(≥∈n N n 且，只要证11212+>+-n n n n ，即证)3(122≥+>n n n ． 而12)11(2110210+=++>++++=+=-n C C C C C C C n n n n n n n n n n n ，故原命题显然成立．【例20】 求证：*12(1)3(2,)n n n N n<+<≥∈【证明】n n n n n n n nn n n C C C C )1()1(1)11(2210+++⨯+=+=n nn n n nn n C C C 111113322⨯++⨯+⨯++=2+!21×2)1(n n n -+!31×3)2)(1(n n n n --+…+!1n ×n nn n 12)1(⨯⨯⨯-⨯ < 2+!21+!31+!41+…+!1n < 2+21+221+321+…+121-n=2+211])21(1[211---n =3-3)21(1<-n显然211111)11(3322>⨯++⨯+⨯++=+n nn n n n nn n n C C C 所以*,2(3)11(2N n n nn ∈≥<+<．课堂总结1. 在使用通项公式r r n rn r b a T C -+=1时，要注意：①通项公式是表示第r ＋1项，而不是第r 项②展开式中第r +1项的二项式系数C rn 与第r +1项的系数不同③通项公式中含有a ，b ，n ，r ，1+r T 五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）这里必须注意n 是正整数，r 是非负整数且r ≤n2. 证明组合恒等式常用赋值法3. 二项式定理应用通常有以下几类题型：①通项应用型：利用通项公式研究具体某一项系数的性质等问题②系数配对型：展开两因式乘积或可化为两因式乘积的三项式，求某项系数③系数性质型：灵活应用二项式系数性质或赋值求系数和④利用二项式定理求近似值，证明整除性或求余数问题，证明恒等式或不等式⑤在概率等方面的应用课后检测【习题1】（2010全国Ⅰ卷理5）533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是（ ）A ． -4B ． -2C ． 2D ． 4【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力．【答案】B【解析】 53533)1)(81261()1()21(x x x x x x x -+++=-+ 故533)1()21(x x -+的展开式中含x 的项为x x x x x C C 2121012)(1053335-=+-=+-⨯,所以x 的系数为-2．【习题2】4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A 6B 12C 24D ． 48【答案】C 【解析】424)21()2(x x x x +=+，在4)21(x +中，x 的系数为242224=⋅C ．【习题3】73)12(x x -的展开式中常数项是（ ） A 14 B -14 C 42 D -42【答案】A 【解析】设73)12(x x -的展开式中的第r +1项是)7(32777371)1(2)1()2(r r r r r r r r r x x x T C C -+---+⋅-⋅=-=， 当0)7(32=-+-r r ，即r =6时，它为常数项，∴142)1(1667=⋅-C【习题4】（2010陕西卷理4）)(5R x x a x ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式中3x 的系数为10，则实数a 等于（ ） A ．-1 B ．0．5 C ．1 D ．2【答案】D【解析】∵r r r rr r r x a x a x T C C 255551--+⋅⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，又令325=-r 得1=r ，∴由题设知210115=⇒=⋅a aC ．【习题5】若n x x x )1(3+的展开式中的常数项为84，则n =_____________【答案】9 【解析】r n r n r r n r n r x x x T C C 2932331)()(---+⋅=⋅= ． 令3n －29r =0，∴2n =3r ∴n 必为3的倍数，r 为偶数试验可知n =9，r =6时，8469==C C r n【习题6】已知n x x )1(lg +展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值【解析】由题意2212=++--C C C n n n n n n ,即22012=++C C C n n n ，∴n =6∴第4项的二项式系数最大 ∴20000)(3lg 36=x x C ，即1000lg 3=x x ．∴x =10或x 101 【习题7】(2010安徽卷理12）6)(x yy x-展开式中，3x 的系数等于________．【解析】3244615)()(x x y y x C ，所以3x 的系数等于15．。
【人教版】中职数学(拓展模块)：3.1《排列、组合与二项式定理》课件
(2)由组合数的性质可得 ++ = + + =+.
又= , 所以 = + , 即 + = +, 所以 = ， 所以5=x+2,x=3,经检验知x=3.
凡遇到解排列、组合的方程, 不等式问题时，应首先应用性质和 排列、组合的计算公式进行变形与 化简，并注意有关解排列、组合的 方程、不等式问题，最后结果都需 要检验.
设击入黄球x个,红球y个符合要求,
x+y=4
则有 2x+y≥5
x,y∈N*,
x=1 x=2 x=3 x=4 解得
y=3, y=2 , y=1 , y=0.
故共有不同击球方法数为
++
+ =195.
本题需运用不等式的知识，确 定击入黄球与红球的个数，有时则需 利用集合的运算等知识，确定相关元 素的个数，再利用排列或组合的知识 解决方法种数问题.
先排末位共有___ 然后排首位共有___ 最后排其它位置共有___
由分步计数原理得
=288
一.特殊元素和特殊位置优先策略
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问 题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为 主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以 位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再 处理其它位置。若有多个约束条件，往往是 考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
计数的基本原理
排列
组合
排列数
Pnm公式
组合数
Cnm公式
应用
组合数的 两个性质
本章知识结构
一、两个原理
1.分类加法计数原理 完成一件事,有n类办法,在第1类办法中有m1种不同 的方法,在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第 n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=① 种不m同1+的m2方+m法3＋. …+mn 2.分步乘法计数原理 完成一件事,需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同 的方法,做第2步有m2种不同的方法，……,做第n步有mn 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=② m1·m2·…·mn 种不同的方法.
二项式定理及应用PPT课件
作业:
指导与学习P74-75
T1-10
利用二项式定理证明不等式问题时通常是把二项展开式中的某些正项适当删去缩小或把某些负项删去放大使等式转化为不等式然后再根据不等式的传递性进行证明项的系数90年全国分析
知识网络
展开式 二项式 定理 通项公式 系数性质 应用
复习 1.二项式定理：
2.通项即展开式的第r+1项：
二项式系数的性质
(1)对称性：
分析： 分析：求特定项系数，我们已经学过二项式展开式、 通项公式、分解因式等方法。对于求较复杂的代数式 的展开式中某项的系数，常常需要对所给的代数式进 行化简，减少计算量
典题型举例
例 6 若 (x+m)2n+1 和 (mx+1)2n (n∈N+ ， m∈R且m≠0)的展开式的 xn 项的系数相等， 求实数m的取值范围
练习：若今天是星期天，则今天后的第100100 天是星期________
典题型举例
评注：利用二项式定理证明不等式问题时，通常 是把二项展开式中的某些正项适当删去（缩小）， 或把某些负项删去（放大），使等式转化为不等 式，然后再根据不等式的传递性进行证明
典题型举例
例5 求(x - 1) - (x -1) 2 + (x -1)3- (x -1)4 + (x -1)5展开 式中含 x 2 项的系数 (90年全国)
(A)x5 (C)x5+1
(B)x5-1 (D)(x-1)5-1
例2、在(2x+3)20的展开式中，求其项的最大 系数与最大二项式系数之比
例3、已知 的展开式中，各项系 数和比它的二项式系数和大 992 ．求展开式 中二项式系数最大的项
典题型举例
语文版中职数学拓展模块3.2《二项式定理》word学案
课题：§1.3.1 二项式定理班级姓名编号 34 主编：李广洲课型：新授课审核人：
自研课（时段：晚自习时间：10分钟）
旧知链接：完全平方式，分类、分步计数原理，排列组合。
新知自研：课本第29至31页的内容。
展示课（时段：正课）
一、学习目标：1. 能从特殊到一般理解二项式定理；
2. 熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）；
3. 能正确区分“项”、“项的系数”、“项的二项式系数”等概念
“日清过关”巩固提升三级达标训练题
时段：晚自习时间30分钟书写规范等级达成等级
一、基础题：
1. 10)1
(-
x展开式的第6项系数是（）
(A) 6
10
C(B) 6
10
C
-(C) 5
10
C(D)5
10
C
-
2. ()11
2
a b
+的展开式中第3项的二项式系数为，第3项系数为；
3. 在()6
12x
-的展开式中，含3x项的系数是；
4. 在
5
的展开式中，其常数项是；
5. ()12
x a
+的展开式中倒数第4项是。
二、发展题：
6. （全国卷）
8
1
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
-
x
x展开式中5x的系数是 .
三、提高题：
7. 求
6
⎛
⎭
的展开式中的常数项.
1、病题诊所：
2、精题入库：
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二项式定理的应用(PPT)3-2
用关于(r 1)的n次多项式表示 rn.
分析：若把 r n 表示为 [(r 1) 1]n
运用二项式定理，就可得到所求的表达式。
解：
rn [(r 1) 1]n
=
c0n (r
- 1) n
+
c1n (r
- 1) n-1
+
c2n (r
- 1) n-2
++
c
n n
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二项式定理的应用
求展开式
(a b)n cn0an cn1an1b1 cnranrbr
cnnbn
二项展开式
求展开式中的指定项 cnr （r=1,2,…,n) 二项式系数
Tr1 cnra nrbr
求展开式中的特定项
n
二项展开式的通项 第 r+1 项
求展开式中的有理项
C1n Cn2 C0n
C
n-1 n
C
n n
n 是偶数
n 1
n +1
求展开式中的最大项
Cn 2
C1n
C
2 n Cnn-1小结说明C0n
Cnn n 是奇数
如M足够大时便产生一个附体的圆锥形的激波面(图c )。气流通过圆锥激波的变化与平面斜激波是一样的。所不同的是气流经过圆锥激波的突变之后还要继续 改变指向，速度继续减小，最后才渐近地趋于与物面的斜角一致。也就是说，气流在激波上指向折转不够，所以当半顶角相同时，圆锥所产生的圆锥激波较 之二维翼型的激波； 炒股配资 为弱。 利用气流通过激波时密度突变的特性，可借助光学仪器将激波形状显示出来或拍摄成 像。飞行器在飞行中，激波的产生和它的形状，对飞行器空气动力有很大影响，一些国家对高速飞行的飞行器作了大量的试验和研究，以便采用合适外形， 推迟激波产生或减小波阻。激波可使气体压强和温度突然升高，因此，在气体物理学中常利用激波来产生高温和高压，以研究气体在高温和高压下的性质。 利用固体中的激波，可使固体压强达到几百万大气压（大气压等于帕），用以研究固体在超高压下的状态。这对解决地球物理学、天体物理学和其他科学领 域内的问题有重要意义。 旋转磁场是一种大小不变，而以一定转速在空间旋转的磁场。在对称三相绕组中流过对称三相电流时会产生一种旋转磁场，该磁场 随电流交变而在空间不断地旋转着 [] 。 交流电机气隙中的磁场。因其沿定、转子铁心圆柱面不断旋转而得名。旋转磁场是电能和转动机械能之间互相转换 的基本条件。 通常三相交流电机的定子都有对称的三相绕组（见电枢绕组）。任意一相绕组通以交流电流时产生的是脉振磁场。但若以平衡三相电流通入三 相对称绕组，就会产生一个在空间旋转的磁场。磁场的对称轴线φ随时间而转动，其转速ns由电流频率f和磁极对数P决定 ns称为同步转速或同步速（以转每 分表示）。中国应用的工业电源的频率f为赫,于是两极电机(P=)的ns=转/分；四极电机(P=)的ns=转/分；余类推。 在一般情况下，电流变化一个周期，磁场 轴线在空间就转过一对极。若近似地认为磁场沿圆周作正弦形分布，并用磁场轴线处的空间矢量Ø 来代表，用矢量长度表示磁场振幅，则理论分析证明，三 相对称绕组通以平衡的三相电流时，产生的是一个振幅不变的旋转磁场。这时矢量Ø 在旋转过程中它的末端轨迹为一圆形，故名圆形旋转磁场。这个结论可 以推广到一般的多相（包括两相）系统。即多相电机对称绕组通以平衡多相交流电流，则产生圆形旋转磁场。 一般说来，旋转磁场的转向总是从电流超前的 相移向电流滞后的相。如果将三相的 个引出线任意两个对调再接向电源，即通入三相绕组的电流相序相反，则旋转磁场的转向也跟着相反。 如果三相电
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=（）a4 +（）a3 b +（）a2 b2 +（）ab3 +（）b4
(a + b)4
= C04 a4
+ C14 a3 b + C24 a2 b2
+ C34 ab3
+
C
4 4
b
4
• 4.一般地，(a+b)n=?
(a
+ b)n
=
C n0a n
+
C
n1a
n1b
+
+
C
k n
a
nk
bk
+ + Cnnbn
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C40
C
1 4
C42
C43
C
4 4
伟大的数学家
• 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州) 人，中国古代数学家和数学 教育家。由现存文献可推知， 杨辉担任过南宋地方行政官 员，为政清廉，足迹遍及苏 杭一带，他署名的数学书共 五种二十一卷。他是世界上 第一个排出丰富的纵横图和 讨论其构成规律的数学家。 与秦九韶、李治、朱世杰并 趁称宋元数学四大家。
二项式定理
基础知识
• 1研.在n究=1,(2a,3+,4时b)，n的研究展(a+开b)n的式展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
• 2Байду номын сангаас规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次
(2)展开式各项系数有什么特点？
x
是 否 存 在 常 数 项 ？ 1、区别“二项式系数”与“系数”
2、第k项不是Cnkan-kbk 3、一般解题先研究通项
完成课本31页练习
二项式定理
“杨辉三角形”与二项式系数的性 质
引例：从排列组合“定序”问题说起
Q • 如图某城市中P，Q两地有整齐
的矩形道路网，从Q地到P地共 有多少种最近的走法？
n
k k
+1
实质：数
所
以C
k n
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的 展 开 式 中x3的 系 数,并 问 展 开 式 中
+
+
C
n n
x
n
二项式定理规律
1、二项式系数规律 Cn0、C1n、Cn2、 、Cnn
2、指数规律 （1）各项的次数均为n； （2）字母 a 的次数由n降到0， 字母 b 的次数由0升到n.
3、项数规律 二项展开式共有n+1项
4、通项公式 Tk+1 = Cnkankbk
二项式定理简单运用
C 30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C33b3
共有四项
a3 :每个括号都不取b的情况有一种，即 C03 种，所以a3的系数是 C03
a2b:相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个；b3 有 C33 个；
如何求(a+b)n的展开式
3. (a + b )4 = (a + b )( a + b )( a + b )( a + b )
取得最大值 ；
n1
n+1
当n是奇数时，中间的两项 C 2 ，C 2 相等，且
同时取得最大值。
n
n
• 3.二各二项项式式系系数的数和的性质
11
121
(a+b)4= a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 1 3 3 1
1 4 64 1
如何求(a+b)n的展开式
(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b ) ＝a2＋2ab＋b2
C 20a 2 C 21ab C22b2
共有三项
(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b ) ＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
C
0 n
,Cn1
,Cn2
,
,Cnn
f(r) 20
令f (r)
=
C
r n
定义域{0,1,2, … ,n}
14
当n= 6时,其图象是7个孤立点
• 问题：观察杨辉三角形，你能发 6 现二项式系数的哪些性质？
O 36
r
• 1.二对称项性：式在系二项数展的开式性中质，与首末两 端“等距离”的两项的二项式系数相等.
C
m n
=
C nm n
图象的对称轴：r = n 2
在相邻的两行中，除1外的每一 个数都等于它“肩上”两个数的
C
r n+1
=
C
r n
1
+
C
r n
和.
• 2.增减性与最大值： 二项式系数的性质
C nk
= n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
=
C nk 1
心，亦惑其师。翌日，资童拜其师，与其师共餐一顿， 相谈甚欢。归，虑思良久，终想出一般方法，并推广至 16宫，并N宫图，易数图、衍数图等。后杨辉把这些图 总称为纵横图，收于数学著作《续古摘奇算法》中，流 传于世。在现代组合学，计算机科学中有着重要应用。
由杨辉三角形研究二项式系数的性质
(a + b)n 展开式的二项式系数依次是：
治学品质
• 杨辉出游，遇童阻道，使人问之，乃知其遇难而不得解， 辉奇之，细问。小童乃东村破烂王之子，家境贫寒，无 上学之资，虽则聪慧终未能入室听诲，唯偷听于墙角。 师每出题，童必求当日解决，不留问题到天明。然此日 师出一题，小童深感棘手，于是忘情之处于道中演练， 为防异处而忘，故坚不让道。
• 辉愈奇，问其题，乃《大戴礼》书中所载之九宫图：19个数字，放在3*3的表格中，要求横竖斜之和相等。辉 趣之，与童共演之，时至正午方毕。 辉感其童向学之
二项式定理
(a＋b)n的二项展开式,共有n+1项
(1)每一项的系数
C
k n
(k=0,1,2,…,n)叫做该项的二项式系数
(2)C
k n
a
n-k
b
k叫做二项展开式的通项，表示第k+1项,记作Tk+1
(3)若取a=1,b=x则得一个重要公式：
(1+
x)n
=
Cn0
+ Cn1 x
+ + Cnk xk