内压薄壁容器的应力分析 课件
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第3章内压薄壁容器的应力分析
P m d1 d 2 S dl1 dl2
dl1 R1 sin d1 R1 d1
率半径，用R2表示；
若自K2点向回转曲面作一个与回转曲面正交的圆锥面，则该圆
锥面与回转曲面的交线也是一个圆——纬线；
就普通回转体而言，用与轴线垂直的平面截取得到的壳体截面 与用上述圆锥面截取得到的壳体截面是不一样的，前者是壳体
的横截面，并不能截出壳体的真正厚度(圆柱形壳体除外)，而
后者称为壳体的锥截面，截出的是回转体的真正壁厚；径向应力作用面来自环向应力作用面
径向应力作用于筒体的横截面上，方向平行于筒体的轴线； 环向应力作用于筒体的纵截面上，方向为切线方向，每一点环 向应力的方向不同。
2. 内压圆筒薄膜应力的计算
2.1
环向应力的计算
外力在y轴方向上投影合力Py
dPy dP sin
Py dP sin Ri l P d sin 2Ri l P Di l P DlP
• 径向应力产生在经线方向，作用在圆锥面与壳体相割所形成的锥截
面上； • 不同纬线上各点的径向应力不同，而同一纬线上的径向应力相等。
４.2
环向应力的计算
•
由于所取单元体很小，可以认为ab、cd上 的环向应力相同，ad、bc上的径向应力也
相等，
ab dl1
ad dl2
Qm 2 m S dl2
内压圆筒径 向应力的计 算公式
m
PD 4S
2.3
圆筒环向应力与径向应力的关系
PD p 2S S 2 D
m
PD P 4S S 4 D
S/D体现着圆筒承压能力的高低，S/D越大，圆筒承压能力 越强。因此，看一个圆筒能耐多大的压力，不能光看它的 壁厚大小； 对于圆筒，其环向应力是径向应力的两倍；
dl1 R1 sin d1 R1 d1
率半径，用R2表示；
若自K2点向回转曲面作一个与回转曲面正交的圆锥面，则该圆
锥面与回转曲面的交线也是一个圆——纬线；
就普通回转体而言，用与轴线垂直的平面截取得到的壳体截面 与用上述圆锥面截取得到的壳体截面是不一样的，前者是壳体
的横截面，并不能截出壳体的真正厚度(圆柱形壳体除外)，而
后者称为壳体的锥截面，截出的是回转体的真正壁厚；径向应力作用面来自环向应力作用面
径向应力作用于筒体的横截面上，方向平行于筒体的轴线； 环向应力作用于筒体的纵截面上，方向为切线方向，每一点环 向应力的方向不同。
2. 内压圆筒薄膜应力的计算
2.1
环向应力的计算
外力在y轴方向上投影合力Py
dPy dP sin
Py dP sin Ri l P d sin 2Ri l P Di l P DlP
• 径向应力产生在经线方向，作用在圆锥面与壳体相割所形成的锥截
面上； • 不同纬线上各点的径向应力不同，而同一纬线上的径向应力相等。
４.2
环向应力的计算
•
由于所取单元体很小，可以认为ab、cd上 的环向应力相同，ad、bc上的径向应力也
相等，
ab dl1
ad dl2
Qm 2 m S dl2
内压圆筒径 向应力的计 算公式
m
PD 4S
2.3
圆筒环向应力与径向应力的关系
PD p 2S S 2 D
m
PD P 4S S 4 D
S/D体现着圆筒承压能力的高低，S/D越大，圆筒承压能力 越强。因此，看一个圆筒能耐多大的压力，不能光看它的 壁厚大小； 对于圆筒，其环向应力是径向应力的两倍；
第二章内压薄壁圆筒应力分析119页PPT
回转曲面：以任何直线或平面曲线为母线，绕其同平面 内的轴线（回转轴）旋转一周形成的曲面。容器的主体是 由回转曲面形成的。
母线：绕轴线（回转轴）回转形成回转曲面的平面曲线 或直线。
2019/10/1
3.1.2 基本概念与基本假设
中间面：平分壳体厚度的曲面称为壳体的 中间面，中间面与壳体内外表面等距离， 它代表了壳体的几何特性。
横截面
锥截面 纵截面
3.1.2 基本概念与基本假设
半径：
1、第一曲率半径：中间面上任一点M处经线的曲率半径为该点
的“第一曲率半径”R1，R1=MK1。
3
数学公式：
R1
(1 y / 2 ) 2 | y // |
2、第二曲率半径：通过经线上一点M的法线作垂直于经线的平 面与中间面相割形成的曲线MEF，此曲线在M点处的曲率半径 称为该点的第二曲率半径R2。第二曲率半径的中心落在回转 轴上，其长度等于法线段MK2，即R2=MK2。
第二章 内压薄壁容器的应力分析
本章重点：薄膜理论的应用
本章难点：薄膜理论
学
时：6学时
2019/10/1
3.1 薄膜应力理论
容器：化工生产所用各种设备外部壳体的总称 如：贮罐、高位槽、换热器、 塔器、反应釜
2019/10/1
贮罐
反应釜
3.1 薄膜应力理论
容器的组成：
筒体（壳体）、封头（端盖）、法兰、支座、接管
及人（手）孔、视镜、安全附件等组成。其中筒体和封头 是容器的主体。
接管
人孔
封头
液面计
2019/10/1
筒体
支座
3.1.1薄壁容器及其应力特点
1、薄壁容器
S D i ＜ 0.1 即
内压薄壁容器应力分析
(2)薄膜应力
1
p
2b
2
p
2b
a4 x2 (a2 b2 )
a4
x2 (a2
b2
)[2
a4
a4 x2 (a2
b2
] )
(3)应力分布规律
x=0（顶点）
1 2
pa 2
(a) b
x=a（边缘）
1
pa
2
, 2
pa
2
2
a2 b2
Page34
x2 a2
y2 b2
1
y2
b2
b2 a2
x2
y/
b2 a2
x y
y //
b4 a2
1 y3
R1
[1 ( y ')2 ]3/2 y ''
[a4
x2 (a2 b2 )]3/2 a4b
R2
x
sin
[a4
x2(a2 b
b2 )]1/2
Page33
σ2（或σθ）圆周方向的拉应 力。
三 圆筒的应力计算
1. 经向应力— 1
p
4
D2
1D
0
1
pD —（10 -1）
4
P-内压，MPa； D-筒体平均直径，亦称中径，mm； δ -壁厚，mm。
2. 环向应力— 2
pDl 2 2l 0
2
pD —（10 - 2）
力在截面上分布均匀 σm可由区域平衡方程求得
Cscbpv,压力容器,设计,审核员,培训班PPT 03第三章内压薄壁容器的应力1
o1 r1 σm
φ0
D
φ
φ0
M
R
2
o
R
φ0 σm
3、对圆弧过渡部分（a-b）：
pR2 m 2S
pR2 R2 (2 ) 2S r1
因为第二曲率半径R2是一个随φ角而变 （φ0≤φ≤90°，r≤R2≤R）的变数，
D r r1 r 2 r1 R2 r 1 1 s in s in
P y x H
m
R
M x
若容器上方是开口的 则σ m=0。
2、沿顶部边缘支撑的圆筒 最大环向应力 在x=H处（底部）， H R HD max S 2S 径向应力σm作用于圆筒 任何截面上的轴向应力 均为液体总重量引起， 列轴向力平衡方程式： 2πRS·σm=πR2H· γ
由此可见，薄壁无力矩应力状态的存在，必须满足 壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和 连续性，同时需保证壳体应具有自由边缘。
第三节 薄膜理论的应用
一、受气体内压的圆筒形壳体
1、经向应力
pD m ( MPa) 4S
σθ σm σθ σm R2=D/2
S P O
O
薄膜理论应用之一
2、环向应力
在R2=r处(=90°):
m
pr 2S pr r 2 2S r 1
o
φ0
六、承受液体静压作用的圆筒壳
1、沿底部边缘支撑的圆筒 环向应力为：
p0 x R p0 x D
S 2S
p0 R p0 D 2S 4S
3、 结论： 作用在任一曲面上的介质压力，其合力等于压力p与 该曲面沿合力方向所得投影面积的乘积，而与曲面形 状无关。 环向应力σ θ 的计算公式: pD 2S
化工设备课件第三章内压薄壁容器的应力
（2）联接边缘区的变形与应力。所谓联 接边缘是指壳体与法兰、封头或不同厚 度、不同材料的筒节、群式支座与壳体 相联接的边缘等。圆筒形容器受内压时， 由于联接边缘区的刚性不同，连接处二 者的变形大小亦不同，如图所示。
二、边缘应力的特点 图3-10所示是一内径为Di=1000 mm，壁 厚S=10 mm的钢制内压圆筒，其一端为 平板封头，且封头厚度远远大于筒体壁 厚。内压为P＝1MPa。经理论计算和实 测其内、外壁轴向应力（薄膜应力与边 缘弯曲应力的叠加值）分布情况。
第三章内压薄壁容器的设计
第一节内压薄壁圆筒的应力分析
一、薄壁容器及其应力特点 压力容器按壁厚可分为薄壁容器和厚壁容器。 通常是以容器的壁厚与其最大截面圆的内径之 比小于0.1，既S/Di＜0.1亦既K=D0/Di ≤1.2的 称为薄壁容器，超过这一范围的为厚壁容器。 化工与石油化学工业中，应用最多的是薄壁 容器。对压力容器各部分进行应力分析，是强 度设计中首先需要解决的问题。
二、内压圆筒的应力计算
1、环向应力的计算公式 采用截面法，用一通过 圆筒轴线的假象截面B-B 将圆筒刨开,移走上半部， 再从下半个圆筒上截取 长度为L的一段筒体作为 脱离体，合力为Py。 建立静力平衡方程。 外力在y轴方向上投影的
Py=
=
0
dPSin
=2RiLP =DiLP
Nz=πDSσm 2 Px= D P 4 由平衡条件得 Px-Nx=0 或 Px=Nx
既
2 DP 4
m
=πDSσm
由此得： (3-2) P---内压，Mpa； D---圆筒平均直径，亦称中径，mm; S---壁厚，mm； σm---轴向应力，Mpa。
第7章_内压薄壁容器的应力
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
❖ 2.静力分析
❖
作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为：
pz
4
D2
p
❖ 截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： Nz m DS sin
❖
平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0，即：
4
D2 p
- mDSsin
0
力Nz：
Nz DS m
由平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0
→
4
D2
p
DS
m
m
pD 4S
【提示】在计算作用于封头上的总压力Pz时，严格地讲，应采用筒体
内径，但为了使公式简化，此处近似地采用平均直径D。
二、内压圆筒的应力计算公式
2.环向应力σθ的计算公式
分离体的取法：用一通过圆筒轴线的纵截面B-B将圆筒剖开，移走上半
3.内压薄壁圆筒的应力特点在工程中的应用
⑴在圆筒上开设椭圆形孔时，应使椭圆孔之短轴平行于筒体 的轴线，以尽量减小纵截面的削弱程度，从而使环向应力增 加少一些。 ⑵筒体承受内压时，筒壁内的应力与壁厚S成反比，与中径D 成正比。
第二节 回转壳体的薄膜理论
一、基本概念与基本假设 二、经向应力计算公式－区域平衡方程式 三、环向应力计算公式－微体平衡方程式 四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
第七章 内压薄壁容器的应力分析
❖ 第一节 ❖ 第二节 ❖ 第三节 ❖ 第四节
内压薄壁圆筒的应力分析 回转壳体的应力分析－薄膜应力理论 薄膜理论的应用 内压圆筒边缘应力的概念
第一节 内压薄壁圆筒的应力分析
一、薄壁容器及其应力特点 二、内压圆筒的应力计算公式
一、薄壁容器及其应力特点
1.薄壁容器与厚壁容器
23-内压薄壁容器的应力
用场：椭圆形封头。 成型：1/4椭圆线绕同平面Y轴旋转而成。
3.2.3 受气体内压的椭球壳
pR2 m 2 m. p R1 R2
椭球壳的薄膜应力的计算
x y 2 1 2 a b
参见书P75-76
3 1 4 2 2 2 R1 4 [ a - x ( a - b )] 2 a b 1 1 4 2 2 2 R2 [ a - x ( a - b )] 2 b
影响边界应力大小的因素
不同形状的封头与筒体连接，由于两者的相互限 制程度不同，所以产生的边界应力大小也不同。
薄壁圆筒和厚平板形封头连接 假设封头不变形，可得筒体和封头连接处筒体横 截面内产生的最大弯曲应力为： pR m, M 1.54
可见，在连接处由于边界效应引起的附加弯曲应 力比由内压引起的环向薄膜应力还要大54%。
5
基本概念与基本假设
回转壳体 ——其中间面是由直线或平面曲线绕其同平 面内的固定轴旋转3600而成的壳体。
几个典型回转壳体
6
基本概念与基本假设
轴对称————指壳体的几何形状、约束条件和所受 外力都对称于回转轴。 中间面——与壳体内外表面等距离的曲面 母线————即那条平面曲线 经线————过回转轴的平面与中间面的交线 法线————经过经线上任一点垂直于中间面的直线。
加厚壳体边缘区的厚度，并使厚度渐次变化过渡 到一般区域；
焊接后进行热处理； 筒体纵向焊缝错开焊接。
45
对边界应力的处理
46
对边界应力的处理
2、利用自限性——保证材料塑性
——可以使边缘应力不会过大，避免产生裂纹。
——尤其对低温容器，以及承受疲劳载荷的压力容器，
更要注意边缘的处理。 对大多数塑性较好的材料，如低碳钢、奥氏体不锈钢、铜、 铝等制作的压力容器，一般不对边缘作特殊考虑。 注意：对于脆性材料、塑性较差的高强度钢制的重要压 力容器、低温下铁素体钢制的重要压力容器和受疲劳载 荷作用的压力容器，必须正确计算边缘应力。
3.2.3 受气体内压的椭球壳
pR2 m 2 m. p R1 R2
椭球壳的薄膜应力的计算
x y 2 1 2 a b
参见书P75-76
3 1 4 2 2 2 R1 4 [ a - x ( a - b )] 2 a b 1 1 4 2 2 2 R2 [ a - x ( a - b )] 2 b
影响边界应力大小的因素
不同形状的封头与筒体连接，由于两者的相互限 制程度不同，所以产生的边界应力大小也不同。
薄壁圆筒和厚平板形封头连接 假设封头不变形，可得筒体和封头连接处筒体横 截面内产生的最大弯曲应力为： pR m, M 1.54
可见，在连接处由于边界效应引起的附加弯曲应 力比由内压引起的环向薄膜应力还要大54%。
5
基本概念与基本假设
回转壳体 ——其中间面是由直线或平面曲线绕其同平 面内的固定轴旋转3600而成的壳体。
几个典型回转壳体
6
基本概念与基本假设
轴对称————指壳体的几何形状、约束条件和所受 外力都对称于回转轴。 中间面——与壳体内外表面等距离的曲面 母线————即那条平面曲线 经线————过回转轴的平面与中间面的交线 法线————经过经线上任一点垂直于中间面的直线。
加厚壳体边缘区的厚度，并使厚度渐次变化过渡 到一般区域；
焊接后进行热处理； 筒体纵向焊缝错开焊接。
45
对边界应力的处理
46
对边界应力的处理
2、利用自限性——保证材料塑性
——可以使边缘应力不会过大，避免产生裂纹。
——尤其对低温容器，以及承受疲劳载荷的压力容器，
更要注意边缘的处理。 对大多数塑性较好的材料，如低碳钢、奥氏体不锈钢、铜、 铝等制作的压力容器，一般不对边缘作特殊考虑。 注意：对于脆性材料、塑性较差的高强度钢制的重要压 力容器、低温下铁素体钢制的重要压力容器和受疲劳载 荷作用的压力容器，必须正确计算边缘应力。
第7章内压薄壁容器的应力分析
10
第一曲率半径与母线有关；
第二曲率半径与回转轴位置 有关；
问题1.第一曲率半径与第二曲
率半径哪个大？
母线
问题2.第一曲率半径与第二曲 率半径有什么关系？
第一曲率半径和第二曲率半 径均在通过A点的法线上。
回转轴
R1 O O1
A R2
第一曲率半径
第二曲率半径
11
典型回转壳体的第一、第二曲率半径举例
③壳体边界的固定形式应该是自由支承的。否则壳体边界上的 变形将受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应 力，不再保持无力矩状态。
④壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无 横剪力和弯矩。
壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性，同时需保
证壳体应具有自由边缘
21
第三节 薄膜理论的应用
⑷ 标准椭圆封头（a/b=2）
中心位置x=0处：m
pa S
赤道位置x=a处： m
pa 2S
pa S
29
四、受气体内压的锥形壳体
1.第一曲率半径和第二曲率半径
R1＝∞ ，R2＝r/cosα
2.锥壳的薄膜应力公式
σm
pr 2S
1
cos
σ
pr S
1
cos
锥底处的薄膜应力
20
四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
薄膜理论除满足薄壁壳体外，还应满足：
①回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率 半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能(主要 是E和µ)应当是相同的。
②载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。 因此，壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在着边缘 力和边缘力矩时，都将不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理 论在这些地方就不能应用。
第一曲率半径与母线有关；
第二曲率半径与回转轴位置 有关；
问题1.第一曲率半径与第二曲
率半径哪个大？
母线
问题2.第一曲率半径与第二曲 率半径有什么关系？
第一曲率半径和第二曲率半 径均在通过A点的法线上。
回转轴
R1 O O1
A R2
第一曲率半径
第二曲率半径
11
典型回转壳体的第一、第二曲率半径举例
③壳体边界的固定形式应该是自由支承的。否则壳体边界上的 变形将受到约束，在载荷作用下势必引起弯曲变形和弯曲应 力，不再保持无力矩状态。
④壳体的边界力应当在壳体曲面的切平面内，要求在边界上无 横剪力和弯矩。
壳体是轴对称的，即几何形状、材料、载荷的对称性和连续性，同时需保
证壳体应具有自由边缘
21
第三节 薄膜理论的应用
⑷ 标准椭圆封头（a/b=2）
中心位置x=0处：m
pa S
赤道位置x=a处： m
pa 2S
pa S
29
四、受气体内压的锥形壳体
1.第一曲率半径和第二曲率半径
R1＝∞ ，R2＝r/cosα
2.锥壳的薄膜应力公式
σm
pr 2S
1
cos
σ
pr S
1
cos
锥底处的薄膜应力
20
四、轴对称回转壳体薄膜理论的应用范围
薄膜理论除满足薄壁壳体外，还应满足：
①回转壳体曲面在几何上是轴对称的，壳壁厚度无突变；曲率 半径是连续变化的，材料是各向同性的，且物理性能(主要 是E和µ)应当是相同的。
②载荷在壳体曲面上的分布是轴对称和连续的，没有突变情况。 因此，壳体上任何有集中力作用处或壳体边缘处存在着边缘 力和边缘力矩时，都将不可避免地有弯曲变形发生，薄膜理 论在这些地方就不能应用。
第十四章内压薄壁容器的应力分析解读
1、微元平衡方程 在微元体中：
作用于微元体上的介质压力p在法线方向上的合力F为:
第十四章内压薄壁容器的应力分析
第十四章内压薄壁容器的应力分析
2.区域平衡方程 对于任意壳体，用垂直于母线的旋转法 截面切割壳体，如图所示，取截面以上 部分为研究对象，建立轴向平衡方程。
式(14-5)是承受气压作用时任意 回转壳体的经向薄膜应力计算 式，因为这是用切割部分壳体 推导出来的，故称区域平衡方 程。
第十四章内压薄壁容器的应力分析
第十四章 内压薄壁容器的应力分析
主要内容： 回转壳体的几何概念 回转壳体的应力理论 无力矩理论在典型壳体中的应用
边缘应力
第十四章内压薄壁容器的应力分析
§14-1 回转壳体的几何概念
压力容器
压力容器按厚度可以分为薄壁容器和厚壁容器。所谓厚壁与薄壁并 不是按容器厚度的大小来划分。通常根据容器外径Do与内径Di 的比值K=Do/Di来判断的。
x a,
pa 2
（14-14）
壳体顶点处:
pa a x 0, （14-15） 2 b
赤道பைடு நூலகம்:
a 2 pa a2 x a, 2 2 2 2 （14-16） b 2 b
（14-12)
由式(14-11)和式(14-12)可知:椭球壳体上的应力是随点的位置变 化而变化的，且应力值大小还受椭圆壳本身几何形状的影响， a/b值不同，应力大小也不同。下面对经向应力和周向应力的分 布情况进行讨论。
第十四章内压薄壁容器的应力分析
壳体顶点处:
pa 2 pa a （14-13） x 0, 2 b 2 b
第十四章内压薄壁容器的应力分析
作用于微元体上的介质压力p在法线方向上的合力F为:
第十四章内压薄壁容器的应力分析
第十四章内压薄壁容器的应力分析
2.区域平衡方程 对于任意壳体，用垂直于母线的旋转法 截面切割壳体，如图所示，取截面以上 部分为研究对象，建立轴向平衡方程。
式(14-5)是承受气压作用时任意 回转壳体的经向薄膜应力计算 式，因为这是用切割部分壳体 推导出来的，故称区域平衡方 程。
第十四章内压薄壁容器的应力分析
第十四章 内压薄壁容器的应力分析
主要内容： 回转壳体的几何概念 回转壳体的应力理论 无力矩理论在典型壳体中的应用
边缘应力
第十四章内压薄壁容器的应力分析
§14-1 回转壳体的几何概念
压力容器
压力容器按厚度可以分为薄壁容器和厚壁容器。所谓厚壁与薄壁并 不是按容器厚度的大小来划分。通常根据容器外径Do与内径Di 的比值K=Do/Di来判断的。
x a,
pa 2
（14-14）
壳体顶点处:
pa a x 0, （14-15） 2 b
赤道பைடு நூலகம்:
a 2 pa a2 x a, 2 2 2 2 （14-16） b 2 b
（14-12)
由式(14-11)和式(14-12)可知:椭球壳体上的应力是随点的位置变 化而变化的，且应力值大小还受椭圆壳本身几何形状的影响， a/b值不同，应力大小也不同。下面对经向应力和周向应力的分 布情况进行讨论。
第十四章内压薄壁容器的应力分析
壳体顶点处:
pa 2 pa a （14-13） x 0, 2 b 2 b
第十四章内压薄壁容器的应力分析
第三章-内压薄壁容器的应力
σθ Ｐ σm σm Ｐ
σθ
本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体 18
1.基本概念
中间面：指与壳体的内外表面等距的曲面。
mm 中间面
19
1.基本概念
母线：指形成回转壳体的平面曲线。
20
1.基本概念
经线：通过回转轴的平面与一侧回转面的割（交）线。
经线
21
1、基本概念 经线：指出任意点的经线。
22
过N点作一与回转轴垂直的平面 ，该平面与回转轴的交线是一个 圆，称为回转曲面的平行圆，也 称为纬线，此平行圆的圆心一定 在回转轴上；
通过M点的法线垂直于经线AB’
的平面与中见面相割形成的曲线
EMF，这一曲线在M点的曲率半
径称为第二曲率半径，用R2表示
；
27
就普通回转体而言，用与轴线垂直 的平面截取得到的壳体截面与用上 述圆锥面截取得到的壳体截面是不 一样的，前者是壳体的横截面，并 不能截出壳体的真正厚度(圆柱形壳 体除外)，而后者称为壳体的锥截面 ，截出的是回转体的真正壁厚；
在bc与ad截面上经向应力 m 的合力 在法线n上的投影为Nmn
N mn
2 m Sdl2
sin
d1
2
在ab与cd截面上环向应力 的合力 在法线n 上的投影为 Nn
Nn
2 Sdl1
sin
d 2
2
44
根据法线n方向上力的平衡条
件，得到
Pn
N mn
Nn = 0
即即
后者忽略为零。
9
（2）无力矩理论，即薄膜理论。
假定壳壁如同薄膜一样，只承受拉应力和压应 力，完全不能承受弯矩和弯曲应力。壳壁内的应 力即为薄膜应力。这时壳体的应力状态仅由法向
σθ
本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体 18
1.基本概念
中间面：指与壳体的内外表面等距的曲面。
mm 中间面
19
1.基本概念
母线：指形成回转壳体的平面曲线。
20
1.基本概念
经线：通过回转轴的平面与一侧回转面的割（交）线。
经线
21
1、基本概念 经线：指出任意点的经线。
22
过N点作一与回转轴垂直的平面 ，该平面与回转轴的交线是一个 圆，称为回转曲面的平行圆，也 称为纬线，此平行圆的圆心一定 在回转轴上；
通过M点的法线垂直于经线AB’
的平面与中见面相割形成的曲线
EMF，这一曲线在M点的曲率半
径称为第二曲率半径，用R2表示
；
27
就普通回转体而言，用与轴线垂直 的平面截取得到的壳体截面与用上 述圆锥面截取得到的壳体截面是不 一样的，前者是壳体的横截面，并 不能截出壳体的真正厚度(圆柱形壳 体除外)，而后者称为壳体的锥截面 ，截出的是回转体的真正壁厚；
在bc与ad截面上经向应力 m 的合力 在法线n上的投影为Nmn
N mn
2 m Sdl2
sin
d1
2
在ab与cd截面上环向应力 的合力 在法线n 上的投影为 Nn
Nn
2 Sdl1
sin
d 2
2
44
根据法线n方向上力的平衡条
件，得到
Pn
N mn
Nn = 0
即即
后者忽略为零。
9
（2）无力矩理论，即薄膜理论。
假定壳壁如同薄膜一样，只承受拉应力和压应 力，完全不能承受弯矩和弯曲应力。壳壁内的应 力即为薄膜应力。这时壳体的应力状态仅由法向
第7章 内压薄壁容器的应力分析
三、环向应力计算－微体平衡方程 环向应力计算－
2.微元体的受力分析 2.微元体的受力分析
微单元体的上下面：经向应力σ 微单元体的上下面：经向应力σm ； 内表面： 作用； 内表面：内压p作用； 外表面不受力 不受力； 外表面不受力； 两个与纵截面相应的面：环向应力σ 两个与纵截面相应的面：环向应力σθ。
三、环向应力计算－微体平衡方程 环向应力计算－
3.微元体的静力平衡方程 3.微元体的静力平衡方程
微元体在其法线方向的平衡，故所有的外载和内力的合力 微元体在其法线方向的平衡， 都取沿微元体法线方向的分量。 都取沿微元体法线方向的分量。 在微元体abcd面积沿法线n abcd面积沿法线 内压p在微元体abcd面积沿法线n的合力Pn为： pn = pdl1 ⋅ dl2 经向应力的合力在法线方向上的分量Nmn为：
如果S/D ≤0.1或 ≤1.2则为薄壁容器； 则为薄壁容器 如果S/Di≤0.1或K=DO/Di≤1.2则为薄壁容器； 如果S/D 0.1 0.1或 1.2则为厚壁容器。 如果S/Di>0.1或K=DO/Di>1.2则为厚壁容器。 1.2则为厚壁容器
注：S为容器壁厚，DO、Di分别容器的外直径与内直径 为容器壁厚，
一、基本概念与基本假设
1.基本概念 1.基本概念
⑶ 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面， 中间面：中间面是与壳体内外表面等距离的中曲面， 内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 内外表面间的法向距离即为壳体壁厚。 母线： ⑷ 母线：回转壳体的中间面是由平面曲线绕回转轴旋转 一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 一周而成的，形成中间面的平面曲线称为母线。 经线： ⑸ 经线：过回转轴作一纵截面 与壳体曲面相交所得的交线。 与壳体曲面相交所得的交线。 经线与母线的形状完全相同。 经线与母线的形状完全相同。 法线：过经线上任意一点M ⑹ 法线：过经线上任意一点 垂直于中间面的直线， 垂直于中间面的直线，称为中 间面在该点的法线。 间面在该点的法线。法线的延 长线必与回转轴相交。 长线必与回转轴相交。
第7章_内压薄壁容器的应力分析
pD m 4S
相同的内压P作用下，球壳的环向应力要比同直径、同壁厚的 圆筒壳小一半。
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
关键问题是要确定椭球壳上任意一点的第一和第二曲率半径
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
1. 第一曲率半径R1
x2 y2 2 1 2 a b
一般曲线y =f(x)上任意一点的曲率半径：
D 2sin
4
→
D 2R2sin
区域平衡方程式
m
pR 2 2S
三、环向应力计算－微体平衡方程
1.微元体的取法
三对曲面截取微元体： 一是壳体的内外表面； 二是两个相邻的、通过壳体轴线的经线平面； 三是两个相邻的、与壳体正交的圆锥面。
三、环向应力计算－微体平衡方程
二、经向应力计算公式－区域平衡方程
2.静力分析 作用在分离体上外力在轴向的合力Pz为： pz
4
D2 p
截面上应力的合力在Z轴上的投影Nz为： N z m DS sin 平衡条件 Fz 0 得：Pz－Nz＝0，即： 2 D p - mDSsin 0 由几何关系知 R 2
2
12
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
3. 应力计算公式
经向应力
p m a 4-x 2 a 2-b 2 2Sb
p a 4-x2 a 2-b2 2Sb
环向应力
a4 2 - a 4-x2 a 2-b2
三、受气体内压的椭球壳（椭圆形封头）
3章内压薄壁容器的应力 共62页
3.2.3 受气体内压的椭球壳 用场：椭圆形封头。 成型：1/4椭圆线绕同平面Y轴旋转
而成。
27
（椭球壳）
x2 y2 1 a2 b2
椭球壳的长半轴——a 短半轴——b
椭球壳顶点坐标：（0,b） 边缘坐标：(a,0)
R1
a14b[a4
- x2(a2
-b2
3
)] 2
R2
1[a4 b
- x2(a2
40
③ 碟形壳的应力分布
1.b点和c点的R1,R2如何变化？ 2.碟形壳与圆筒壳连接点处应力状态如何？
41
3.3 内压容器边缘应力简介
3.3.1 边缘应力概念 压力容器边缘——指“不连续处”，主要是几何不连续及载荷（支
撑）不连续处，以及温度不连续，材料不连续等处。 例如：几何不连续处：
几
支
何
气体内压
14
典型壳体受气体内压时存在的应力：
圆柱壳体 ——经向应力 ——环向应力
圆锥壳体 ——经向应力 ——环向应力
15
3.2 薄膜理论的应用
3.2.1.受气体内压的圆筒形壳体
1.经向应力 ：
m
pR2 2S
式中R2=D/2 则
m
pD 4S
2.环向应力：由 m. p
R1 R2 S
式中 p,S 为已知，而R1= ∞, 带入上式，解得
59
3.3.3 对边缘应力的处理
1.利用局部性特点——局部处理。 如：改变边缘结构，边缘局部加强，筒体纵向焊缝
错开焊接，焊缝与边缘离开，焊后热处理等。
60
2.利用自限性——保证材料塑性
——可以使边缘应力不会过大，避免产生裂纹。 ——尤其对低温容器，以及承受疲劳载荷的压力容器，
内压薄壁容器应力分析.ppt
16
B、回转壳体的经向环向应力分析
图2-9 回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Pn
Pn pdl1 dl2
在bc与ad截面上经向应力 m 的合 力在法线n上的投影为Nmn
N mn
2
mdl2 .Sin
d
2
在ab与cd截面上环向应力 的合力 在法线n 上的投影为 Nn
sin d 2 d 2 = dl2
2
2 2R2
式（3-8），并对各项均除以Sdl1 dl2
代入上式，各项均除以 整理得
，整理得
m
R1
R2
p
(2-4)
18
(2)、薄膜理论的应用范围
无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作 用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。 薄膜理论它适用的范围是薄壳，同时还应满足以下条件：
由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转 一周所形成的曲面。
由回转曲面作中间面形成的壳体。
2
轴对称问题
几何形状
环工用压力容器通常都 属于轴对称问题
所受外力 约束条件
均对称于回转轴
本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体
3
旋转壳体的几何概念： 母线
图3-3 回转壳体的几何特性
形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。
直法线假设
壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后
仍保持为直线段，并且垂直于变形后的中间面。
不挤压假设
壳体各层纤维变形前后均互不挤压
12
2.2.2 回转壳体薄膜应力分析
(1)、薄膜应力理论的计算公式
①经向应力计算公式
m
B、回转壳体的经向环向应力分析
图2-9 回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Pn
Pn pdl1 dl2
在bc与ad截面上经向应力 m 的合 力在法线n上的投影为Nmn
N mn
2
mdl2 .Sin
d
2
在ab与cd截面上环向应力 的合力 在法线n 上的投影为 Nn
sin d 2 d 2 = dl2
2
2 2R2
式（3-8），并对各项均除以Sdl1 dl2
代入上式，各项均除以 整理得
，整理得
m
R1
R2
p
(2-4)
18
(2)、薄膜理论的应用范围
无力矩理论是在旋转薄壳的受力分析中忽略了弯矩的作 用。此时应力状态和承受内压的薄膜相似，又称薄膜理论。 薄膜理论它适用的范围是薄壳，同时还应满足以下条件：
由平面直线或平面曲线绕其同平面内的回转轴回转 一周所形成的曲面。
由回转曲面作中间面形成的壳体。
2
轴对称问题
几何形状
环工用压力容器通常都 属于轴对称问题
所受外力 约束条件
均对称于回转轴
本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体
3
旋转壳体的几何概念： 母线
图3-3 回转壳体的几何特性
形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。
直法线假设
壳体在变形前垂直于中间面的直线段，在变形后
仍保持为直线段，并且垂直于变形后的中间面。
不挤压假设
壳体各层纤维变形前后均互不挤压
12
2.2.2 回转壳体薄膜应力分析
(1)、薄膜应力理论的计算公式
①经向应力计算公式
m
7内压薄壁容器的应力理论共44页
球壳部分R1= R;
褶边部分R1= r1 。
b. R2是连续的变量。
球壳部分 摺边部分
R2= R；
R2 r1
D 2
r1
sin
③ 碟形壳的应力分布
1.b点和c点的R1,R2如何变化？ 2.碟形壳与圆筒壳连接点处应力状态如何？
7.4 内压容器边缘应力简介
7.4.1 边缘应力概念 压力容器边缘——指“不连续处”，主要是几何不连续及载荷（支
7.4.2 边缘应力特点
（1）局部性 只产生在一局部区域内，边缘应力衰减很快。
（2）自限性 边缘应力是由于不连续点的两侧产生相互约束而
出现的附加应力。 当边缘处的附加应力达到材料屈服极限时，相互
约束便缓解了，不会无限制地增大。
7.4.3 对边缘应力的处理
1.利用局部性特点——局部处理。 如：改变边缘结构，边缘局部加强，筒体纵向焊缝
在ab与cd截面上环向应力 的合力 在法线n 上的投影为 N n
Nmn2mSd2lsin d2 1
Nn2Sd1sl ind22
根据法线n方向上力的平衡条件，
得到
Pn
N mn
N n = 0
入 的 微 式 夹 8 2体 ） 角 l（ d ， m的 d S2并 即式3 l--即 因 1 夹 d8 2 对 代 2 1与 ） 各为 l角 s各 p 入 ， d m 项i微 d S 项 d 式 n 并 d 1 2均2 体 均 1 d 很 l（ d 1 对 2除ss除 与 的 小 -2 l3 2 lsi各 i以-以 -d n ， 夹 n d d8 2 微i2 项 2 S ） n S 因 d 角 2 12元， m 2 d 均 1此 很 d d S 1 d 1 体并 d ls2 sd除 取 ls小 -2 1 d 2的对 2 2 2 ii1li以 与 n ， n 整d ， n ld 夹d = s各 2 = d 2 2 2 d S 2 R d 整 理S 因 i角2 1 22 R 项 2ln 1d d 2 1理 l= 得1 此 d d2 1 均 d 0很 得 1 d l12 d取 lsss2 除 和2 小 -2 （ 2 1 iili以 n ， n d， d n d 3 d = 2 = 2 -d 2 S 2 28 2 R S 因 d 整 12 很） 2 2 RR 2 ld 1 1此 d 1 m 理 l1= 1 小dd l2 0 d取 ls2 得 ，221li可（ ， n Rd = 2 = d 2 取2 2R 3 d 整 22 R 2 -l18 1理 l=） 0得 p（（ 式31-8 ））
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率半径为该点的“第一曲率半径”
R1 ? MK1 R2 ? MK 2
3
? ? R1 ?
1? y?2 y??
2
第二曲率半径R2
通过经线上一点 M 的法线作垂直于经线的平面与中 间面相割形成的曲线 MEF ，此曲线在 M 点处的曲率 半径称为该点的第二曲率半径 R2 ，第二曲率半径的 中心落在回转轴上，其长度等于法线段 MK2 。 10
回转曲面
由平面直线或平面曲线绕其同平面内 的回转轴回转一周所形成的曲面。
回转壳体 由回转曲面作中间面形成的壳体。
5
轴对称问题
几何形状
化工用压力容器通常都 属于轴对称问题
所受外力 约束条件
均对称于回转轴
本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体
6
母线
图3-3 回转壳体的几何特性
形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。
第三章 内压薄壁容器的应力分析
教学重点：
薄膜理论及其应用
教学难点：
对容器的基本感性认识
1
第一节 回转壳体的应力分析 —薄膜应力理论
薄壁容器
? D i ? 0 .1 或 K ? D 0 D i ? 1 .2
容器的厚度与其最大截面圆的内径之 比小于0.1 的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器）
??
①环向应力或周向应力，
用方向?为? 垂表直示于，纵单向位截M面P；a，
②轴向应力或经向应力，
用 ? m表示，单位MPa，方
向为垂直于横向截面；
?m
③由于厚度δ 很小，认为 并把它们称为薄膜应力。
?
、m
?
都是沿壁厚均匀分布的，
?
4
二、基本概念与基本假设 1、回转壳体中的基本的几何概念
中间面
平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间 面。中间面与壳体内外表面等距离， 它代表了壳体的几何特性。
应力分析是强度设计中首先要解决的问题
2
一、薄膜容器及其应力特点
1. 内压薄壁容器的结构与受力： 2. 内压薄壁容器的变形： 3. 内压薄壁容器的内力 ：
结论
在任何一个压力容器中，总 存在着两类不同性质的应力
无力矩 理论求解
有力矩 理论求解
?m ??
薄膜应力
边缘应力
图3-1内压薄膜容器
3
图3-2内压薄膜圆筒壁内的两向应力
用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径
D 处有垂直于经线的法向圆锥面截开，取下部作脱离体，
建立静力平衡方程式。
思考：为什么不能用横截面？
16
2、回转壳体的经向应力分析
⒈Z轴上的合力为Pz
Pz
?
ห้องสมุดไป่ตู้
?
4
D2 p
⒉作用在截面上应力的合力 在Z轴上的投影为Nz
图3-5 回转壳体上的径向应力分析
N z ? ? m ?D ? sin ?
如图所示的回转壳体即
由平面曲线 AB绕OA轴
旋转一周形成，平面曲
线AB为该回转体的母
线。
注意：母线形状不同或 与回转轴的相对位置不 同时，所形成的回转壳 体形状不同。
7
经线
通过回转轴的平面与中间
面的交线，如AB'、AB'' 。
经线与母线形状完全相同
法线
过中间面上的点M且垂直 于中间面的直线n称为中
曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段 , 其长为 ? s , 对应切线
转角为 ?? , 定义
弧段 ? s上的平均曲率
K ? ??
?s
点 M 处的曲率
K ? lim ? ? ? d?
? s? 0 ? s
ds
M?
M ?s ??
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 11
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
?
y?? 1 ? y?2
dx
又 ds ? 1 ? y?2 dx
故曲率计算公式为
y?? K ? ( 1 ? y?2 )32
K ? d?
ds
13
曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D(? , ? )
M 处作曲线的切线和法线 , 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
?
T
C
M (x, y)
⒊在Z 方向的平衡方程
?
4
D2p ??
m?D?
sin ?
?
0
D
R2 ? 2 sin ?
D ? 2 R2 sin ?
Pz ? Nz ? 0
?m
?
pR2
2?
17
四、环向应力计算公式 ——微体平衡方程式
?m ? ?? ? p R1 R 2 ?
? m ——经向应力,MPa ? ?——环向应力，MPa p —— 工作压力.MPa R1 —— 第一曲率半径，mm
解: 如图所示 ,
? s ? R? ?
? K ? lim ? ? ? 1
? s? 0 ? s R
M?
??
?? ?s
R
M
12
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y ? f (x) 二阶可导, 则由
tan? ? y? (设 ? ? ? ? ? ? )
2
2
得 ? ? arctan y?
d?
?
(arctan
y?)?dx
R2 —— 第二曲率半径,mm ? —— 壁厚，mm
1、截取微元体
截面1 壳体的内外表面
截面2 截面3
两个相邻的，通过壳 体轴线的 经线平面
两个相邻的，与壳体 正交的园锥法截面
图3-6 确定环向应力微元体的取法
18
微元体abcd 的受力
上下面：? m 内表面： p
环向截面：? ?
微元体受力放大图
图3-7 微小单元体的应力及几何参数
间面在该点的法线。 （法线的延长线必与回转 轴相交）
8
纬线
以法线 NK 为母线绕回转 轴OA 回转一周所形成的 园锥法截面与中间面的 交线 CND 圆
平行圆：垂直于回转轴 的平面与中间面的交线 称平行圆。显然，平行 圆即纬线。
K
图3-3 回转壳体的几何特性
9
第一曲率半径R1
中间面上任一点 M 处经线的曲
DM ? ? ? 1
o
x
K
把以 D 为中心, ? 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 , ? 叫做曲率半径 , D 叫做曲率中心.
14
2、无力矩理论基本假设
假定材料具有连续性、均匀性和 各向同性，即壳体是完全弹性的
小位移假设
壳体受力后，壳体中各点的位移远 小于壁厚 ，利用变形前尺寸代替 变形后尺寸
直法线假设
壳体在变形前垂直于中间面的直线 段，在变形后仍保持为直线段，并 且垂直于变形后的中间面。
不挤压假设
壳体各层纤维变形前后均互不挤压
15
三、经向应力计算公式 ——区域平衡方程式
?m ?
pR2
2?
1、截面法
?
——
m
经向应力，MPa
p ——工作压力，MPa
R2 ——第二曲率半径，mm
? ——壁厚，mm
19
2、回转壳体的经向环向应力分析
图3-8 回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Pn
Pn ? pdl1 ?dl2
R1 ? MK1 R2 ? MK 2
3
? ? R1 ?
1? y?2 y??
2
第二曲率半径R2
通过经线上一点 M 的法线作垂直于经线的平面与中 间面相割形成的曲线 MEF ，此曲线在 M 点处的曲率 半径称为该点的第二曲率半径 R2 ，第二曲率半径的 中心落在回转轴上，其长度等于法线段 MK2 。 10
回转曲面
由平面直线或平面曲线绕其同平面内 的回转轴回转一周所形成的曲面。
回转壳体 由回转曲面作中间面形成的壳体。
5
轴对称问题
几何形状
化工用压力容器通常都 属于轴对称问题
所受外力 约束条件
均对称于回转轴
本章研究的是满足轴对称条件的薄壁壳体
6
母线
图3-3 回转壳体的几何特性
形成回转壳体中间面的 那条直线或平面曲线。
第三章 内压薄壁容器的应力分析
教学重点：
薄膜理论及其应用
教学难点：
对容器的基本感性认识
1
第一节 回转壳体的应力分析 —薄膜应力理论
薄壁容器
? D i ? 0 .1 或 K ? D 0 D i ? 1 .2
容器的厚度与其最大截面圆的内径之 比小于0.1 的容器称为薄壁容器。 （超出这一范围的称为厚壁容器）
??
①环向应力或周向应力，
用方向?为? 垂表直示于，纵单向位截M面P；a，
②轴向应力或经向应力，
用 ? m表示，单位MPa，方
向为垂直于横向截面；
?m
③由于厚度δ 很小，认为 并把它们称为薄膜应力。
?
、m
?
都是沿壁厚均匀分布的，
?
4
二、基本概念与基本假设 1、回转壳体中的基本的几何概念
中间面
平分壳体厚度的曲面称为壳体的中间 面。中间面与壳体内外表面等距离， 它代表了壳体的几何特性。
应力分析是强度设计中首先要解决的问题
2
一、薄膜容器及其应力特点
1. 内压薄壁容器的结构与受力： 2. 内压薄壁容器的变形： 3. 内压薄壁容器的内力 ：
结论
在任何一个压力容器中，总 存在着两类不同性质的应力
无力矩 理论求解
有力矩 理论求解
?m ??
薄膜应力
边缘应力
图3-1内压薄膜容器
3
图3-2内压薄膜圆筒壁内的两向应力
用假想截面将壳体沿经线的法线方向切开，即平行圆直径
D 处有垂直于经线的法向圆锥面截开，取下部作脱离体，
建立静力平衡方程式。
思考：为什么不能用横截面？
16
2、回转壳体的经向应力分析
⒈Z轴上的合力为Pz
Pz
?
ห้องสมุดไป่ตู้
?
4
D2 p
⒉作用在截面上应力的合力 在Z轴上的投影为Nz
图3-5 回转壳体上的径向应力分析
N z ? ? m ?D ? sin ?
如图所示的回转壳体即
由平面曲线 AB绕OA轴
旋转一周形成，平面曲
线AB为该回转体的母
线。
注意：母线形状不同或 与回转轴的相对位置不 同时，所形成的回转壳 体形状不同。
7
经线
通过回转轴的平面与中间
面的交线，如AB'、AB'' 。
经线与母线形状完全相同
法线
过中间面上的点M且垂直 于中间面的直线n称为中
曲率及其计算公式
在光滑弧上自点 M 开始取弧段 , 其长为 ? s , 对应切线
转角为 ?? , 定义
弧段 ? s上的平均曲率
K ? ??
?s
点 M 处的曲率
K ? lim ? ? ? d?
? s? 0 ? s
ds
M?
M ?s ??
注意: 直线上任意点处的曲率为 0 ! 11
例1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 .
?
y?? 1 ? y?2
dx
又 ds ? 1 ? y?2 dx
故曲率计算公式为
y?? K ? ( 1 ? y?2 )32
K ? d?
ds
13
曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 , 在点 y
D(? , ? )
M 处作曲线的切线和法线 , 在曲线 的凹向一侧法线上取点 D 使
?
T
C
M (x, y)
⒊在Z 方向的平衡方程
?
4
D2p ??
m?D?
sin ?
?
0
D
R2 ? 2 sin ?
D ? 2 R2 sin ?
Pz ? Nz ? 0
?m
?
pR2
2?
17
四、环向应力计算公式 ——微体平衡方程式
?m ? ?? ? p R1 R 2 ?
? m ——经向应力,MPa ? ?——环向应力，MPa p —— 工作压力.MPa R1 —— 第一曲率半径，mm
解: 如图所示 ,
? s ? R? ?
? K ? lim ? ? ? 1
? s? 0 ? s R
M?
??
?? ?s
R
M
12
曲率K 的计算公式
设曲线弧 y ? f (x) 二阶可导, 则由
tan? ? y? (设 ? ? ? ? ? ? )
2
2
得 ? ? arctan y?
d?
?
(arctan
y?)?dx
R2 —— 第二曲率半径,mm ? —— 壁厚，mm
1、截取微元体
截面1 壳体的内外表面
截面2 截面3
两个相邻的，通过壳 体轴线的 经线平面
两个相邻的，与壳体 正交的园锥法截面
图3-6 确定环向应力微元体的取法
18
微元体abcd 的受力
上下面：? m 内表面： p
环向截面：? ?
微元体受力放大图
图3-7 微小单元体的应力及几何参数
间面在该点的法线。 （法线的延长线必与回转 轴相交）
8
纬线
以法线 NK 为母线绕回转 轴OA 回转一周所形成的 园锥法截面与中间面的 交线 CND 圆
平行圆：垂直于回转轴 的平面与中间面的交线 称平行圆。显然，平行 圆即纬线。
K
图3-3 回转壳体的几何特性
9
第一曲率半径R1
中间面上任一点 M 处经线的曲
DM ? ? ? 1
o
x
K
把以 D 为中心, ? 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆 , ? 叫做曲率半径 , D 叫做曲率中心.
14
2、无力矩理论基本假设
假定材料具有连续性、均匀性和 各向同性，即壳体是完全弹性的
小位移假设
壳体受力后，壳体中各点的位移远 小于壁厚 ，利用变形前尺寸代替 变形后尺寸
直法线假设
壳体在变形前垂直于中间面的直线 段，在变形后仍保持为直线段，并 且垂直于变形后的中间面。
不挤压假设
壳体各层纤维变形前后均互不挤压
15
三、经向应力计算公式 ——区域平衡方程式
?m ?
pR2
2?
1、截面法
?
——
m
经向应力，MPa
p ——工作压力，MPa
R2 ——第二曲率半径，mm
? ——壁厚，mm
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2、回转壳体的经向环向应力分析
图3-8 回转壳体的环向应力分析
内压力p在微体abcd上所产生的外力 的合力在法线n上的投影为Pn
Pn ? pdl1 ?dl2