高等几何课后答案(第三版)
最完整高等几何习题解答(最全版)
高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = 1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y =，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=⨯y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=⨯z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=⨯x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=⨯ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=⨯ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=⨯ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζϕ的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(ϕζηξ⨯⨯⨯的方程和坐标。
高等数学课后习题解答 上海交通大学出版社 第三版 习题10解答
第10章 曲线积分与曲面积分1．计算下列对弧长的曲线积分：(1) sin d C x y s ⎰，其中C 为3x ty t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤1)；(2)22()d Cx y s +⎰Ñ，其中C 为圆周cos sin x a t y a t =⎧⎨=⎩，(0≤t ≤2π)； (3) 2d Cy s ⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)； (4) d Cy s ⎰，其中C 为抛物线y 2=2x 上由点(0，0)到点(2，2)之间的一段弧； (5) ()d Cx y s +⎰，其中C 为以O (0，0)，A (1，0)，B (0，1)为顶点的三角形的边界；(6)s ⎰，其中C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；(7) d Cz s ⎰，其中C 为圆锥螺线cos sin x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩从t =0到t =1的一段；(8) 2d Cx s ⎰，其中C为圆周2224x y z z ⎧++=⎪⎨=⎪⎩解答：(1)1111sin d 3sin sin cos cos )Cx y s t t tdt t t tdt ===-+⎰⎰⎰(s i n 1c o s 1)=-；(2) 2223()d 2Cx y s a a ππ+==⎰⎰Ñ；(3)22223500d (1cos )16sin 2Cty s a t a dt ππ=-=⎰⎰⎰353025632sin 15a d a πθθ==⎰；(4)3222211d (1)1)33Cy s yy ==+=⎰⎰； (5) C 可以分割为三条直线:0(01)OA y x =≤≤，:0(01)O B xy =≤≤，:1(01)BA y x x =-≤≤()d Cx y s +⎰=()d OAx y s +⎰+()d OBx y s +⎰+()d ABx y s +⎰111(1xdx ydy x x =+++-⎰⎰⎰1=；(6) C 为圆周x 2+y 2=ax (a >0)；化为参数方程cos 22sin 2a a x t a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，(0≤t ≤2π)，2222200coscos 22222a a t ts dt dt a dt a πππ====⎰⎰⎰⎰；(7)1d Cz s =⎰⎰31212011(2)33t ==+=⎰； (8) C可以表示为参数方程[]cos sin ;0,2x y z θθθπ⎧=⎪=∈⎨⎪=⎩2220d cos Cx s πθπ==⎰⎰．所属章节：第十章第一节 难度：一级2．已知半圆形状铁丝cos sin x a ty a t =⎧⎨=⎩(0≤t ≤π)其上每一点的线密度等于该点的纵坐标，求此铁丝的质量解答：20d sin 2Cm y s a a π===⎰⎰所属章节：第十章第一节难度：一级3．已知螺旋线cos sin x a t y a t z bt =⎧⎪=⎨⎪=⎩(b >0)上各点的线密度等于该点到原点的距离的平方，试求t 从0到2π一段弧的质量解答：222222223208()d (ππ)3C m x y z s a b t a b π=++=+=+⎰⎰所属章节：第十章第一节 难度：二级4．求摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩的第一拱(0≤t ≤2π)关于Ox 轴的转动惯量(设其上各点的密度与该点到x 轴的距离成正比，比例系数为k )解答：722332d (1cos )(1cos )CI ky s k t t dt ππ==-=-⎰⎰⎰23740102464sin 235t kadt ka π==⎰ 所属章节：第十章第一节 难度：二级5．计算下列对坐标的曲线积分：(1) d d C y x x y +⎰，其中C 为圆弧cos π,(0)sin 4x a t t y a t =⎧≤≤⎨=⎩，依参数t 增加方向绕行；(2) (2)d ()d Ca y x a y y ---⎰，其中C 为摆线(sin )(1cos )x a t t y a t =-⎧⎨=-⎩自原点起的第一拱； (3) d Cx y ⎰，其中C 为x +y =5上由点A (0，5)到点B (5，0)的一直线段；(4)Cxydx ⎰Ñ，其中C 为圆周222()(0)x a y a a -+=>及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行) 解答：(1)()22440d d sin (cos )cos sin cos 22Ca y x x y a td a t a td a t atdt ππ+=+==⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰(2)(2)d ()d Ca y x a y y ---⎰220[(2cos )(sin )(cos )((1cos ))a a a t d at a t a a a t d a t a ππ=-+---+-=⎰(3)525d (5)2Cx y xd x =-=-⎰⎰ (4) C 分成两部分在2122()(0):x a y a a C -+=>在x 轴的上部逆时针方向，2C 是从原点指向(2,0)a ，则1202320π02aCC C a xydx xydx xydx x dx a =+=+⋅=-⎰⎰⎰⎰⎰蜒? 所属章节：第十章第二节 难度：一级6．计算22()d d OAx y x xy y -+⎰，其中O 为坐标原点，点A 的坐标为(1，1)：(1) OA 为直线段y =x ； (2) OA 为抛物线段y =x 2； (3) OA 为y =0，x =1的折线段解答：(1)122201()d d 3OA x y x xy y x dx -+==⎰⎰；(2)()122243208()d d ()15OA x y x xy y x x dx x d x ⎡⎤-+=--=⎣⎦⎰⎰； (3) 设点B 的坐标为(1，0)，则OA 分为两段1122205()d d 6OAOBBAx y x xy y x dx ydy -+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰． 所属章节：第十章第二节 难度：一级7．计算22d d ABxy x x y +⎰，其中点A 、B 的坐标分别为A (0，0)，B (1，1)：(1) AB 为直线段y =x ； (2) AB 为抛物线段y =x 2； (3) AB 为y =0，x =1的折线段 解答：(1) 122202d d (2)1ABxy x x y x dx x dx +=+=⎰⎰；(2)1232202d d [2()]1ABxy x x y x dx x d x +=+=⎰⎰；(3) 设点C 的坐标为(1，0)，则AB 分为两段1122d d 011ABACCBxy x x y dx dy +=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级8．计算下列曲线积分：(1) 222()d 2d d Ly z x yz y x y -+-⎰，其中L 依参数增加方向绕行的曲线段23x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩(0≤t ≤1)；(2)d d (1)d Lx x y y x y z +++-⎰，L 为从点A (1，1，1)到点B (2，3，4)的一直线段；解答：(1)1222466401()d 2d d (43)35Ly z x yz y x z t t t t dt -+-=-+-=⎰⎰； (2)此时L 写作参数方程12 1 (01)31x t y t t z t =+⎧⎪=+≤≤⎨⎪=+⎩1d d (1)d (14293)13Lx x y y x y z t t t dt +++-=+++++=⎰⎰．所属章节：第十章第二节 难度：一级9．一力场由沿横轴正方向的常力F 所构成。
高等数学 高等教育出版社 第三版 上册 课后答案(童裕孙 金路 张万国 於崇华 著)
1 x2 2． （1） 3 ln 3 ； （2） 2 x arcsin x ； x ln 3 1 x2
x
1 e x ln x x 2 shx （3） e x arcsin x ； （4） arccos x(2 x chx) ； x 1 x2 1 x2
1 1 n(n 1) ； （4）6； （5） ； （6） 。 2 2 2 x
4． （1）
m n2 m2 ； （2）1； （3） sin x ； （4） ； （5） x ； n 2
3 1 （7） ； （8） 。 （6） 1 ； 5 2
5． lim f ( x) ， lim f ( x )
1 x x （2） y log a ，0 x 1； 11． （1） y arcsin ， 2 x 2 ； 3 2 1 x x （3） y log a ( x x 2 1) ， x ； （4） y cos ， 0 x 2 。 4
3． （1）3； （2）2； （3）1； （4）0； （5）
4． （1）{a n bn } 必发散；{a n bn } 不一定发散； （2）{a n bn } 和 {a n bn } 均不一定发 散。
2 5．提示： a n
1 3 3 5 (2n 1)(2n 1) 1 1 2 。 2 2 2n 1 2n 1 2 4 ( 2 n)
§ 3 微分运算
1． （1） (sin 2 x 2 x cos 2 x)dx ； （2）
dx (1 x 2 )
3 2
ln x 2 2x
3 2
dx ；
（3）
； （4） e 2 x (3 x 2 2 x 3 )dx ；
解析几何 第三版 课后答案(吕林根 许子道 著) 高等教育出版社
∴ OA + OB + OC = OL + OM + ON
4. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分. [证明]：如图 1-4，在平行四边形 ABCD 中，O 是对角线 AC，BD 的交点
∵ AD = OD − OA BC = OC − OB
但
AD = BC ∴ OD − OA = OC − OB OA + OC = OD + OB
1 ∵ AL = ( AB + AC ) 2 1 BM = ( BA + BC ) 2 1 CN = (CA + CB) 2 1 ∴ AL + BM + CN = ( AB + AC + BA + BC + CA + CB ) = 0 2 从而三中线矢量 AL, BM , CN 构成一个三角形。
OA + OB + OC = OL + OM + ON .
[证明]： 如图 1-2， 连结 AC, 则在ΔBAC 中， 中，NM KL
1 AC. KL 与 AC 方向相同； 在ΔDAC 2
1 AC. NM 与 AC 方向相同，从而 2
KL ＝ NM 且 KL 与 NM 方向相同，所以 KL ＝
NM .
4. 如图 1-3，设 ABCD-EFGH 是一个平行六面 体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互 为相反矢量的矢量： (1) AB 、 CD ; (2)
[证明]：因为 OM ＝
1 ( OA + OC ), OM ＝ 2 1 ( OB + OD ), 2
所以 2 OM ＝
1 ( OA + OB + OC + OD ) 2
最完整高等几何习题解答（最全版）
最完整高等几何习题解答（最全版）高等几何习题解答习题一1．0设A ，B 为二定点，xy 为定直线。
于xy 上任取P ，Q ，又AP 与BQ 交于L ，AQ 与BP 交于M ，求证：LM 通过AB 上一定点。
解：把直线xy 射影为无穷远直线，则点P ，Q ，2P ，2Q 变为无穷远点1P ∞，1Q ∞，2P ∞，2Q ∞，所以1A L B M ''''∥，22A L B M ''''∥，11A M B L ''''∥，22A M B L ''''∥，得两个平行四边形。
11L B M ''''中，11L M ''，A B ''是对角线，交于1S ，且1S 是A B ''的中点。
22L B M ''''中，22L M ''，A B ''是对角线，交于点1S ，且1S 是A B ''的中点，∴1S '≡2S '＝S '，从而，LM通过AB 上一定点S 。
1.1 写出下列各直线的绝对坐标：（1）123320x x -= （2）23230x x -= （3）30x =答：（1）(3,-；（2）(0,2,3)-；（3）(0,0,1) 1.2 写出下列个点的方程(3,5,1)a =- (0,1,0)b = ,1,0)c =-答：123:350a ξξξ-+= 2:0b ξ= 120c ξ-=1.3 求下列三点中每两点连线的方程和坐标：(1,4,1)x =，(2,0,1)y=，(1,1,2)z =- 答：),8,1,4(=?y x 084321=++x x x ),2,3,1(--=?z y 023321=--x x x ),5,1,9(--=?x z 059321=--x x x1.4 求下列三直线中每两条的交点的方程和坐标：),4,1,0(=ξ),3,1,2(=η)0,1,1(-=ζ 答：),2,8,1(-=?ηξ028321=+-ξξξ ),1,1,1(-=?ξη0321=-+ξξξ),1,4,4(-=?ξζ044321=-+ξξξ1.5 如果直线,ξ,η,ζ?的方程分别是：,031=-x x ,032=-x x ,02321=-+x x x,0321=++x x x 求直线)()(?ζηξ的方程和坐标。
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节：第一章绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的性质和相互关系。
3. 理解几何变换的基本原理。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的性质和相互关系。
3. 几何变换的基本原理。
教学步骤：1. 引入高等几何的概念，引导学生思考几何图形的性质和相互关系。
2. 讲解几何图形的性质和相互关系，举例说明。
3. 介绍几何变换的基本原理，解释其应用。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解高等几何的基本概念和性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示几何图形的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对几何变换的理解。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对高等几何概念的理解。
2. 课后作业，评估学生对几何图形性质和相互关系的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对几何变换的应用能力。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形的性质、相互关系和几何变换的学科。
2. 几何图形包括点、线、面及其相关性质。
3. 几何变换包括平移、旋转、反射等，它们可以改变几何图形的形状和位置。
教案章节：第二章直线与平面教学目标：1. 掌握直线的性质和方程。
2. 理解平面的性质和方程。
3. 学会利用直线和平面解决几何问题。
教学内容：1. 直线的性质和方程。
2. 平面的性质和方程。
3. 直线与平面的相互关系。
教学步骤：1. 讲解直线的性质和方程，举例说明。
2. 介绍平面的性质和方程，解释其应用。
3. 分析直线与平面的相互关系，引导学生思考。
教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解直线和平面的性质。
2. 利用图形和实例，直观地展示直线与平面的相互关系。
3. 通过练习题，巩固学生对直线与平面几何问题的解决能力。
教学评估：1. 课堂提问，检查学生对直线性质的理解。
2. 课后作业，评估学生对平面方程的掌握。
3. 期中期末考试，全面检验学生对直线与平面几何问题的解决能力。
课后答案：1. 直线的性质包括方向、斜率、截距等，直线的方程可以表示为y = kx + b。
高等几何 习题和答案
Desargues透视定理
二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交 于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
C
A L F V D E G
U
B
证法二 设 GL×UA=E, 我们只需证明C, E, F 三点共线. 由三 点形GBL与UDA有透视中心 V, 得对应边的交点 C, E, F 三点 共线, 即 LG, CF, AU 共点.
证法三 解析方法(略).
习题P58-1.6.2 已知射影平面上一条直线p以及不在p上的相异
两点 A,B, 不允许连结AB, 求作直线AB与p的交点C p
A
B
b, c, d为平面内四条直线, 不允许作a, b交点
和 c, d 交点, 求作一条直线 l, 使得l 通过这两个交点. ξ O η γ B C C’ B’ D E Q c
Desargues透视定理
二、应用举例
1、证明共线点与共点线问题
C
A L F V D E G
习题 1.6.1 设直线 AB与CD交 于U, 直线 AC 与 BD 交于V, 直线 UV 分别交AD, BC 于 F, G, 直线 BF交AC于L . 证明: 三直线 LG, CF, AU 共点.
U
B
证法一 考察三点形LFA与GCU, 因为 LF×GC=B,FA×CU=D, AL×UG=V, 而显然 B,D,V 三点共线, 所以这一对对应三点形 满足 Desaugues 透视的定理的逆定理的条件, 其对应顶点的连 线 LG, CF, AU必定共点.
A’
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
高等几何教案与课后答案
高等几何教案与课后答案教案章节一：绪论教学目标：1. 了解高等几何的研究对象和基本概念。
2. 掌握几何图形的表示方法和性质。
3. 理解几何公理体系和演绎推理方法。
教学内容：1. 高等几何的研究对象和基本概念。
2. 几何图形的表示方法和性质。
3. 几何公理体系和演绎推理方法。
课后答案：1. 高等几何是研究几何图形性质和相互关系的学科。
2. 几何图形可以用点和线段来表示，具有大小、形状和位置等性质。
3. 几何公理体系是用来建立几何证明的基础，演绎推理方法是用来推导几何结论的。
教案章节二：直线与平面教学目标：1. 了解直线的性质和表示方法。
2. 掌握平面的性质和表示方法。
3. 理解直线与平面的位置关系。
教学内容：1. 直线的性质和表示方法。
2. 平面的性质和表示方法。
3. 直线与平面的位置关系。
课后答案：1. 直线是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 平面是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
3. 直线与平面可以相交、平行或者包含于平面。
教案章节三：圆与圆锥教学目标：1. 了解圆的性质和表示方法。
2. 掌握圆锥的性质和表示方法。
3. 理解圆与圆锥的位置关系。
教学内容：1. 圆的性质和表示方法。
2. 圆锥的性质和表示方法。
3. 圆与圆锥的位置关系。
课后答案：1. 圆是由无数个点组成的，具有无限延伸的性质。
2. 圆锥是由一个圆和一个顶点组成的，具有旋转对称性。
3. 圆与圆锥可以相交、包含或者平行。
教案章节四：三角形与多边形教学目标：1. 了解三角形的性质和表示方法。
2. 掌握多边形的性质和表示方法。
3. 理解三角形与多边形的位置关系。
教学内容：1. 三角形的性质和表示方法。
2. 多边形的性质和表示方法。
3. 三角形与多边形的位置关系。
课后答案：1. 三角形是由三个顶点和三条边组成的，具有稳定性。
2. 多边形是由多个顶点和多条边组成的，具有闭合性。
3. 三角形与多边形可以相交、包含或者平行。
教案章节五：坐标系与解析几何教学目标：1. 了解坐标系的性质和表示方法。
《高等几何》习题答案
高几习题集及参考解答第一章 仿射几何的基本概念1、证明线段的中点是仿射不变性，角的平分线不是仿射不变性。
证明：设T 为仿射变换，根据平面仿射几何的基本定理，T 可使等腰△ABC （AB=AC ）与一般△A'B'C'相对应，设点D 为线段BC 的中点，则AD ⊥BC ，且β=γ，T （D ）=D' （图1）。
∵T 保留简比不变， 即（BCD ）=（B'C'D'）= -1，∴D'是B'C'的中点。
因此线段中点是仿射不变性。
∵在等腰△ABC 中，β=γ。
设T （ β）= β'，T （ γ ）= γ'， 但一般△A'B'C'中，过A'的中线A'D'并不平分∠A'， 即B'与γ'一般不等。
∴角平分线不是仿射不变性。
在等腰△ABC 中，设D 是BC 的中点，则AD ᅩBC ，由于 T(△ABC)= △A'B'C'（一般三角形），D'仍为B'C'的中点。
由于在一般三角形中，中线A'D'并不垂直底边B'C'。
得下题 2、两条直线垂直是不是仿射不变性？ 答:两直线垂直不是仿射不变性。
3、证明三角形的中线和重心是仿射不变性。
证明：设仿射变换T 将△ABC 变为△A'B'C'，D 、E 、F 分别是BC 、CA ，AB 边的中点。
由于仿射变换保留简比不变，所以D' =T(D)，E'=T(E)，F'=T(F)分别是B'C',C'A',A'B' 的中点，因此A'D'，B'E'，C'F'是△A'B'C'的三条中线（图2）。
高等几何课后答案解析第三版
高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经过A（-32）和1）的直线AB与直线工+ 3，一6二0相交于P点、秦仃WP）=?U戌线AB的方程为x+9^- 15 = 0：F点的坐标为（yry）；（ABP）= -L2.求一仿射更换，它使直线工+2』- 1 = D上妁每个点都不变J 且<A（b-l）< 为点（-L2）.2 T在直线'工+ 2》一I =0上任取两点A Ui0）<B1 *1由于A（1 *D）fA C 10）I B_L l〉f E f - It1）* 又点（1・一1）f（-1 f 2）i仿輛变换式< . ' 可解得所求为ly =如严4 gy+如*2L y-b工_2y+ y -3.求仿射变换P = 7x -了十I ・'y - +r 十2y + 4的不变点和不变直线.3 r不变点为（一一2）・牛■变氏线为2r - 2_y _3 = 0与4⑦一_y = 0.4.问在仿射变换下，于列图形的对应图形为何？①菱形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形；（2）平疔四边形：G）梯形；（4）三骨形.5.节述性质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线*点；③三角形内接于一國；④一角的平分线上的点到两边等距.5. 0）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一1.下列哪些图带具有射影性质？平行宣蝕；三点共线；三武錢共点；两点阿的陌离；两亶统的先角；两相聘找段L答:（2）＞具有射影性质.2.求证：仟宦四边涉可以射齡虑甲行四边影. |2.捉示:将四边竝两对对也的交点连线収作燈消线，作•屮心射影即得.3・在平闻2上有一定直线宀以0対射右.投对封平面『上得到直线//•求证当Q变动时•”通过•定点.3.提灵平面（0-0）宀皆交于总线和它们与平而孑的交线为P；■如果p 口 J 交于点FS则嵐皿二…都通过点P. 如果P是无穷远点*则pjp.…彼此平行.4.设=xn P J P a.QiQ^fi|K I交于一点»Sl交二豈线2 于P M Q I.R.与齐求叫高找P.Q1与P1O|的交点・色&勻QR*的交氨点\Pi与殆兀的丸点启点共线，且就宜线与/i J3英点.4 ,捉力“如图2 —2 —2可卽选取射鏗中亡V与另呼面八将GT :点射影成平囱f上的无穷远直.如阍2-2-3,这时皆为平行网边形的对和线交点，容易证明它们扶线’且所共直线与I；平行’ 根抵站合性足射影性硕，所以夬线・11此J1线与石忆共点・5-试用稱脾格谟理证朗：任栽四边理各对时边中点的连线与二对角线中点的连线相理于一点.匚捉缺如图2-27段四边形AT3CD四边中点依次为E, F. ◎ H,对用线AQ.ED 的中点足P,Q,砂究三点形PER和QGF t利用捌萨格定理咐逆定理，可以证明其对应顶点连纯EG.FH.PQ 共点.6,ABCD Iffil面体』XftBC±,-直銭iS过X井別交AB.AC干巴。
孟道骥高等代数与解析几何第3版课后习题答案
第1章 多项式第1节 数域1．举出对加法、乘法及除法封闭但对减法不封闭的例子。
解：集合Q ＋＝{a ∈Q|a ＞0}对加法、乘法及除法封闭但是对减法不封闭。
2．举出对加法、减法封闭，但对乘法不封闭的例子。
解：集合1{}33n n n ⎧⎫=∈=∈⎨⎬⎩⎭Z Z Z ∣对加法、减法都封闭，但是对乘法不封闭。
3．举出对加法、减法都不封闭，但对乘法封闭的例子。
解：集合S ＝{2n|n ∈N}，{1}，{2m ＋1|m ∈Z}与集合{m|p ∤m ，p 素数}对加法、减法都是不封闭的，但是对乘法封闭。
4．试证C 的子集P 若对减法封闭，则必对加法封闭。
证明：可设P ≠∅，于是有a ∈P ，因此a －a ＝0∈P 。
又因为0－a ＝－a ∈P ，若有b ∈P ，则必有a ＋b ＝b ＋a ＝b －（－a ）∈P 。
故P 若对减法封闭，则必对加法封闭。
5．试证C 的子集P 若对除法封闭，则必对乘法封闭。
证明：设P ≠∅，P ≠{0}，于是有a ∈P ，a ≠0，因此a ÷a ＝1∈P 。
又因为1÷a ＝a －1∈P ，故若b ∈P成立，则有ab ＝ba ＝b ÷a －1∈P 。
因此P 若对除法封闭，则必对乘法封闭。
6．令{,,}a a b c =++∈Q Q试证明是一个数域。
证明：由题目易知1,0Q∈，若1,2)i i d a b c i =+=则有()((12121212d d a a b b c c ±=±+±+±Q即Q 对加法和减法都封闭。
又因为()((12121212122112122112555 d d a a b c c b a b a b c c a c a c b b =++++++++Q则Q 对乘法封闭。
下面需证明Q 对除法是封闭的。
由于对乘法封闭，故只需证明下面结论： 若d a=++≠则1d-∈Q成立。
下面分为三种情形讨论：（1）b＝c＝0，此时d＝a≠0，11d a--=∈Q。
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高等几何课后答案（第三版）第一章仿射坐标与仿射变换1.经耳A（-3「2）和的直成AB与真级* + 3.丫一6二D相交于P点，衣EBP）=?U苴线A8的方程为工+%「一15 =山P点的坐标为（y-y）；（ABP）= —1.n求一仿射变披，它使直睡工+2了- 1 =o上的每个点都不也且使点（1,-1）变为点（-L2）.2.在白线量十卷一13）上任取网点1.1）.由于AUQm）・BmEJb i>?又点u, - n-i⑵I仿射变换式｛, •可解得所求为3-求仿射变挨= 7.r - y + 11项=4/ +电+ 4的不变点和不受直线.3.不变点为- 2）.怀变直线为2/ -23,一3 = 0与4工一;y = 0.4.问在仿射变换下，下列图形的对应图形为何？①箓形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.4.（1）平行四边形"2）平行四边形；G）梯形"4）三角形.5.下述桂质是否是仿射性质？①三角形的三高线共点；②三角形的三中线共点；③三角形内接于一圆；® 一角的平分线上的点到两边等孑站5. Q）为仿射性质，其余皆不是.第二章射影平面习题一I.下列娜些图形具有射蛇性员？平行直哉；三点共线；三宜钱共教；两点月的距离；两直鼬的夹角；两相箸浅段1.答:⑵.⑶具有射影性质」2.求证：任意四边奉可以射影嵌平行四边形. |2. 提示:将四边形两对对边的交点连线业作影消线，作+ 心射影射得.3. 在平（8 w上.有一定直线儿以0方射心，校射到平面/上得到直线”,求证当。
变动时/'通过•定点.3「提示』…平面（O I，A I>-（O"E皆充于直线△，它们与平面虹的交线为/J；* P；,如果口与/交于点P*则p" P〉…都通过点P・如果P是无绑远点，则p'pw…彼此平行.町以选取射豺中心V与另•平面/,将OS二点射影成平面/上的无穷远点.如圈2-2-3,这时LLM'N•皆为平行四边形的对角线文点，容易证明它们共线，且所共直线与匕■"平行, 根据姑合性是射影性质，所以JM,N共技,旦此直线与桐口上共点.5, 试用梅萨格症理死明：任意四边形告对封边中点的连线与二耐角线中点的连找相文于「点.5.捉泌如图」2-4,设四边形AT3CD四边中点依次为E, F, H,对种线AC所的中点是P.。
，研究三点形PER和QGF,利用德萨格定理的逆定理，可以证明其对应顶点珪线EG.FH.PQ 共点.6, 在ICD是叫面体企K在BC上.一直线遇过X分别交AB.AC干P, Q,另一直线通过K.分别文。
乩DC于矿5,求iiE：PK与交于AD.|6.提京如1*12-2-5.研究三点形和RSI).对应边交诅PQ x RS= X,QA xSZJ = C. /U J x DR = a. X.E.C共税，根据德萨格定理的逆定理，必仃对'应顶点的连线J t点.|L武求下列诸点的齐次坐标,先写出所有组，再任选一组.⑴ 00）.（璀）.（0」）*（24）三（3>坐标袖上的无旁远点，1,答!|（1）（D,（h p）,侦，0,汽）[（。
，PW）*（2p,：p p\ p尹0.任选一组；（Of. 1）,（1,Chi）, （0H（ 1）（6,5,1）」（2）（1, -3,。
）・③（1,00儿0Ll,0）・2・下列谱点，若它的手卉次坐怀存在，辑把它写出来：（边,5 [JE TS,?）,（0,1,0）A答：（一2—4）.（邛『-枣），无血牛）、无」jd Z- 。
4当正负号任意透取时，问（± L + 1.±D^^几个相异点？3.答，四个相异点,4, 求下列各直缓的齐次线坐标1⑴了轴；⑵/物H3）无穷远直觥i（4）通过原血且斜率为2的直线L答』<1> [0,1,0〕<2）[1.0*。
]⑶ Q）,0i 1] 烬）12- - L0]5- 求下列端线坐标所表百线的方程：1] jLLljjL-LO]5•答4 , f全工+工上=U，上I +淀里一= 0^上[+ J-J二0『切[-x r=0.6- 下列诸方程答表示什么图形？k L = - w A = 0h K| + u3 u5=0T2H（+ =。
.尿；-3凶to *4#； =0.原答■]疯点（0, L - l>-^<hbl>点（2*1,0）,两点爪-4,。
）/布-1,0）.」写出下刑命他的对偶命题一（0网点决定一直01 i<2）轴影平面上至少存在四条宜线,其中任何三条不共点：（3）设~个变动的三点形，它的两边各通过一个定点，而三15点在共点的三直践上,则第三边也通过一个定点.2. 答：（1）M直线必交于-点；Q>射影平而上至少存在四个点中任何三点不共税』⑴设•变动的三线形，它的两顶疽各在•定百线上,而三边各经过共线的三个点，则第三个顶点也在一条定直线上.3・已知点PJI,t JLRQ,- L【）,PN%・L3）.未证P\.P,『P,共终「并未/.»的值「使P3= /P| + FTiPy若Pl,已*3为三—呢?3- ftY : / = 1 I m= 2.|4.设A,B.C为三幅昇共经点，限证=可适当址捧A,B的齐次坐标j 入而使中t是C点的坐标•写日瓦对偶情况|4.证明』设18,C的齐次坐标分别为的，加、八则根据定理3.4「存在常教Zi mt使c二奶+ mi|，由为ABC为不同的点，所以/^Or询壬0,取A点的坐标为如，B点的坐标为M1，则有|『=田彳4|习题四1. （0求连接+\2+「1）,（1 - i t2+Cl）的直线方程.⑵求直线（】・。
4,01）为+ #4"上的实点1.答：(1)凸--J-+ JTj = 0(±Q> 实点为(2,-1,1).「2.牟电三点《1,・「0九（1土0）」1,一L0）共蝶.摒最后一点的坐标衰示为前两察的线性组合.2, ® a<b -I7o5ifi<Lij7O）ir<L -10）故三点共线.3. 未证！两31点所定直钱与其陶共瓶瓶点所定直SI为两条共辑直线.一3.证明』设两复点血盘所定复直线为八则共辄复点金应在/的共藐复点线1上，同理b也在，上，故由*确定复直线对偶命题；两复直线所交之复点.及这两宜线的共祝复宜线所交之复点，为两共扼复点.L求圆上；+盂二x；-3^y+^=8*;的文点「4. 答：四个交点为；<bi（O>（（lr-LiO）»Or2rl）r （一1,2, -1）.第三章射影变换与射影坐标习题一I-设为共或五点［求址己（AB,CD）-（>iB t DE>*（AB,EC）= L1 .证明：（AB. CD）*（AB-DE）* （AB- EC）_ f/UjC）.（八. （Af死）_、-GM" 矿W - L2.若引2・1・一1）・1）。
”1.1）工（1皿。
）.0”5-5）为共烛四点. 求（ABhCT2）.2.解'（：= 4-CA t H）可写为（:=A > H,/J=2A 一3如可写为。
二A -导&所以（AH.CD）= -y. ■3.设Ro：r7ikpjTV・i）为共线三点，且ma,P、PH求Py的坐标设P}= P| + APj,MJ A = 2. 所以所求为出（3・-1，3）・4巳知苴线的方程分斜为2-^1 十］］一=0■才］—十工日=tL*. =0i且（化心4）=-手.求h的方程，4.答3：的方程为ll r l-2.r2+ 2.r2=0j5.设是六个不同的共蜷点，求E（1）（PiP"『）（Pi P2 "J T P t P f• P. PJ{P,P5巴）s（2）如柜（坚”P・R）•则t5. 证明（1）与第1题类似，根据定义证明.⑵ CP,P3■ PJL）= 1 -（PJ\, PJ\） = 1 -（PJ\,PJ））="WP牛所以因为p t是不同的点,所以CP.P源-L根据原书第三章§1例题6,得| 证法二{先证明命题，设（AB.CD）= -1,。
为CT）之中点•则反之亦耳.在本题中可以先证明Q F\JQHUX'，利用上述命题用可•得证,9已如直线的方程分别为2^ - >+ 1 = 0T 3x + > -1=^0,?^ -y = O (ST - 1 = &,求证四直携共点，并求9.答：HR.WJ =},12,己知四直统，L u 二A 忒卜加6 ：y = ^2^ + ^2。
uf H + 加L 上,n 如jp +知共点，球 匕 j“」)二;2 ［；：］片：］：：;12.提示：过原点作分另山此'四土线平行的r ［线■得:t\: y-tfXf 即震卫=加震［.，；；y-k 2^t 即 x 2 = Ajj"i»/L ： V = i 17 -叩 Ji = jtv^i *14: v = A 4 ,r - 即 i 【二心心.选基线口：丑二 IL 布：丁［= 0,则，i : a — 41A» />; a — k^btly: a — h\h 1\ a — i 4 ft .则**；：「：：；. 习题二1. 求i ^如果一堆射影对成使直我I 上的无窈ifi 点讨应直线厂上的无 劳远点,则这个对应一定是仿敢对应.1. 提示，因为彷射对应是保持共线三点的单比不变的•设A.BiC是直线/上的任意三点,其射影对应点是广上的A"B\C\又/上的对应尸上的所以(ABiCP w)= CA fl^C P；), 因此3成')=3202. 如果三点形ABC的fflBC.CAMB分别通封在同一直线的三H P・•又顶点占，匚各在一条定直税上求证；预点X怛在一条足苴我上-2 ■证明：如图设［点形1虬G是满足条件的另『三点形，则有_ij_ I .沽・凡,…床/ C t.…} P（8, B,,…}KR <C+C,,…）因为PQ与RQ是同直线，即M是自对成元素，故有|所以两应直线的交点AA.…共线.3如果点列<P）入（P）其底L厂因于O点、求if ：已〃・与p,p；的交点*的轨迹是一条育垛3. 证明：如果o是n对应点.则“P）元厂w）i I所以过墟视中心V（定点）,如图2-3-9.因为VOX是完全四砂叮J；P；的对边三点眩，故有、（n\（）vox）= -1由于直统irov是固定的「所以QX是一条固定直技.如果o不是n对应点,设。
作为I上的点时o-v 在/ 山），0作为厂上的点时UF，如图2-3- 1们则有（OU/工）= ^VO.P\P\）二（0VLP J：）,由此得到O点fl对应,所以9,质天（o・v\P，P）故得三直线UVL PJL W；共虬血直技［八广是固定的，所以-P；与已仁的变点x在冏定的直线uv‘上.F/K7 / >I一瓦证明n任<-*不改过完全四点形顶点的苴螳坏完全四点形的三对对边的变点「是属于同一时合拘三对对应点4. 匝明：如图直统I与完全四盘形ABCD的£对对边的堂点为P，P': Q，<y：f6 Ii\在I上P mu ,R顼，因为IP, P\Q I R）奏（F-E-A.B）^ 。