高等几何课后答案(第三版)

高等几何课后答案（第三版）
第一章仿射坐标与仿射变换
1.经耳A（-3「2）和的直成AB与真级* + 3.丫一6二D相交于P点，衣EBP）=?
U苴线A8的方程为工+%「一15 =山
P点的坐标为（y-y）；
（ABP）= —1.
n求一仿射变披，它使直睡工+2了- 1 =o上的每个点都不也且使点（1,-1）变为点（-L2）.
2.在白线量十卷一13）上任取网点1.1）.由于AUQm）・BmEJ
b i>?又点u, - n-i⑵I
仿射变换式｛, •可解得所求为
3-求仿射变挨
= 7.r - y + 11
项=4/ +电+ 4
的不变点和不受直线.
3.不变点为- 2）.
怀变直线为2/ -23,一3 = 0与4工一;y = 0.
4.问在仿射变换下，下列图形的对应图形为何？
①箓形；②正方形；③梯形；④等腰三角形.
4.（1）平行四边形"2）平行四边形；G）梯形"4）三角形.
5.下述桂质是否是仿射性质？
①三角形的三高线共点；
②三角形的三中线共点；
③三角形内接于一圆；
® 一角的平分线上的点到两边等孑站
5. Q）为仿射性质，其余皆不是.
第二章射影平面
习题一
I.下列娜些图形具有射蛇性员？
平行直哉；三点共线；三宜钱共教；两点月的距离；两直鼬的夹角；两相箸浅段
1.答:⑵.⑶具有射影性质」
2.求证：任意四边奉可以射影嵌平行四边形. |
2. 提示:将四边形两对对边的交点连线业作影消线，作+ 心射影射
得.
3. 在平（8 w上.有一定直线儿以0方射心，校射到平面/上得到直线”,求证当。

变动时/'通过•定点.
3「提示』…
平面（O I，A I>-（O"E皆充于直线△，它们与平面虹的交
线为/J；* P；,如果口与/交于点P*则p" P〉…都通过点P・如果P是无绑远点，则p'pw…彼此平行.
町以选取射豺中心V与另•平面/,将OS二点射影成平面/上的无穷远点.如圈2-2-3,这时LLM'N•皆为平行四边形的对角线文点，容易证明它们共线，且所共直线与匕■"平行, 根据姑合性是射影性质，所以JM,N共技,旦此直线与桐口上共点.
5, 试用梅萨格症理死明：任意四边形告对封边中点的连线与二耐角线中点的连找相文于「点.
5.捉泌如图」2-4,设四边形AT3CD四边中点依次为E, F, H,对种线AC所的中点是P.。

，研究三点形PER和QGF,利用德萨格定理的逆定理，可以证明其对应顶点珪线EG.FH.PQ 共点.
6, 在ICD是叫面体企K在BC上.一直线遇过X分别交AB.AC干P, Q,另一直线通过K.分别文。

乩DC于矿5,求iiE：PK与交于AD.
|6.提京如1*12-2-5.
研究三点形和RSI).对应边交诅PQ x RS= X,QA x
SZJ = C. /U J x DR = a. X.E.C共税，根据德萨格定理的逆
定理，必仃对'应顶点的连线J t点.|
L武求下列诸点的齐次坐标,先写出所有组，再任选一组.
⑴ 00）.（璀）.（0」）*（24）三
（3>坐标袖上的无旁远点，
1,答!|
（1）（D,（h p）,侦，0,汽）[（。

，PW）*（2p,：p p\ p尹0.
任选一组；（Of. 1）,（1,Chi）, （0H（ 1）（6,5,1）」（2）（1, -3,。

）・
③（1,00儿0Ll,0）・
2・下列谱点，若它的手卉次坐怀存在，辑把它写出来：
（边,5 [JE TS,?）,（0,1,0）
A答：
（一2—4）.（邛『-枣），无血牛）、无」jd Z- 。

4当正负号任意透取时，问（± L + 1.±D^^几个相异点？
3.答，四个相异点,
4, 求下列各直缓的齐次线坐标1
⑴了轴；⑵/物H3）无穷远直觥i（4）通过原血且斜率为2的直线L答』<1> [0,1,0
〕<2）[1.0*。

]
⑶ Q）,0i 1] 烬）12- - L0]
5- 求下列端线坐标所表百线的方程：
1] jLLljjL-LO]
5•答4 , f
全工+工上=U，上I +淀里一= 0^上[+ J-J二0『切[-x r=0.
6- 下列诸方程答表示什么图形？
k L = - w A = 0h K| + u3 u5=0T2H（+ =。

.尿；-3凶to *4#； =0.原答■]
疯点（0, L - l>-^<hbl>
点（2*1,0）,两点爪-4,。

）/布-1,0）.
」写出下刑命他的对偶命题一
（0网点决定一直01 i
<2）轴影平面上至少存在四条宜线,其中任何三条不共点：
（3）设~个变动的三点形，它的两边各通过一个定点，而三15点在共点的三直践上,则第三边也通过一个定点.
2. 答：
（1）M直线必交于-点；
Q>射影平而上至少存在四个点中任何三点不共税』
⑴设•变动的三线形，它的两顶疽各在•定百线上,而三边各经过共线的三个点，则第三个顶点也在一条定直线上.
3・已知点PJI,t JLRQ,- L【）,PN%・L3）.未证P\.P,『P,共终「并未/.»的值「使
P3= /P| + FTiPy
若Pl,已*3为三—呢?
3- ftY : / = 1 I m= 2.|
4.设A,B.C为三幅昇共经点，限证=可适当址捧A,B的齐次坐标j 入而使中t是C点的坐标•写日瓦对偶情况
|4.证明』
设18,C的齐次坐标分别为的，加、八则根据定理3.4「存
在常教Zi mt使c二奶+ mi|，
由为ABC为不同的点，所以/^Or询壬0,取A点的坐标为如，B点的坐标为M1，则有|『=田彳4|
习题四
1. （0求连接+\2+「1）,（1 - i t2+Cl）的直线方程.
⑵求直线（】・。

4,01）为+ #4"上的实点
1.答：
(1)凸--J-
+ JTj = 0(
±
Q> 实点为(2,-1,1).
「2.牟电三点《1,・「0九（1土0）」1,一L0）共蝶.摒最后一点的坐标衰示为前两察的线性组合.
2, ® a<b -I7o5ifi<Lij7O）ir<L -10）
故三点共线.
3. 未证！两31点所定直钱与其陶共瓶瓶点所定直SI为两条共辑直线.一
3.证明』
设两复点血盘所定复直线为八则共辄复点金应在/的共藐
复点线1上，同理b也在，上，故由*确定复直线
对偶命题；两复直线所交之复点.及这两宜线的共祝复宜线所交之复点，为两共扼复点.
L求圆上；+盂二x；-3^y+^=8*;的文点「
4. 答：四个交点为；
<bi（O>（（lr-LiO）»Or2rl）r （一1,2, -1）.
第三章射影变换与射影坐标
习题一
I-设为共或五点［求址己
（AB,CD）-（>iB t DE>*（AB,EC）= L
1 .证明：
（AB. CD）*（AB-DE）* （AB- EC）
_ f/UjC）.（八. （Af死）_、
-GM" 矿W - L
2.若引2・1・一1）・1）。

”1.1）工（1皿。

）.0”5-5）为共烛四点. 求（ABhCT2）.
2.解'
（：= 4-CA t H）可写为（:=A > H,
/J=2A 一3如可写为。

二A -导&
所以（AH.CD）= -y. ■
3.设Ro：r7ikpjTV・i）为共线三点，且ma,
P、PH求Py的坐标
设P}= P| + APj,
MJ A = 2. 所以所求为出（3・-1，3）・
4巳知苴线的方程分斜为
2-^1 十］］一=0■才］—十工日=tL*. =0i
且（化心4）=-手.求h的方程，
4.答3：的方程为ll r l-2.r2+ 2.r2=0j
5.设是六个不同的共蜷点，求E
（1）（PiP"『）（Pi P2 "J T P t P f• P. PJ{P,P5巴）s
（2）如柜（坚”P・R）•则t
5. 证明
（1）与第1题类似，根据定义证明.
⑵ CP,P3■ PJL）= 1 -（PJ\, PJ\） = 1 -（PJ\,PJ））
="WP牛
所以
因为p t是不同的点,
所以CP.P源-L
根据原书第三章§1例题6,得
| 证法二{先证明命题，设（AB.CD）= -1,。

为CT）之中点•则
反之亦耳.在本题中可以先证明Q F\JQHUX'，利用上述命题用可•得证,
9已如直线的方程分别为
2^ - >+ 1 = 0T 3x + > -1=^0,?^ -y = O (ST - 1 = &,
求证四直携共点，并求
9.答：HR.WJ =},
12,己知四直统，
L u 二A 忒卜加
6 ：y = ^2^ + ^2。

uf H + 加
L 上,n 如jp +知
共点，球 匕 j“」)二;2 ［；：］
片：］：：;
12.提示：过原点作分另山此'四土线平行的r ［线■得:
t\: y-tfXf 即震卫=加震［.
，；；y-k 2^t 即 x 2 = Ajj"i»
/L ： V = i 17 -叩 Ji = jtv^i *
14: v = A 4 ,r - 即 i 【二心心.
选基线口：丑二 IL 布：丁［= 0,则，i : a — 41A» />; a — k^bt
ly: a — h\h 1\ a — i 4 ft .
则
**；：
「：：；. 习题二
1. 求i ^如果一堆射影对成使直我I 上的无窈ifi 点讨应直线厂上的无 劳
远点,则这个对应一定是仿敢对应.
1. 提示，因为彷射对应是保持共线三点的单比不变的•设A.
BiC是直线/上的任意三点,其射影对应点是广上的A"B\C\
又/上的对应尸上的所以(ABiCP w)= CA fl^C P；), 因此3成')=320
2. 如果三点形ABC的fflBC.CAMB分别通封在同一直线的三H P・
•又顶点占，匚各在一条定直税上求证；预点X怛在一条足苴我上-
2 ■证明：如图
设［点形1虬G是满足条件的另『三点形，则有
_ij_ I .
沽・凡,…床/ C t.…} P（8, B,,…}KR <C+C,,…）
因为PQ与RQ是同直线，即M是自对成元素，故有
|所以两应直线的交点AA.…共线.
3如果点列<P）入（P）其底L厂因于O点、求if ：已〃・与p,p；的交点*的轨迹是一条育垛
3. 证明：如果o是n对应点.则“P）元厂w）i I
所以过墟视中心V（定点）,如图2-3-9.
因为VOX是完全四砂叮J；P；的对边三点眩，故有、
（n\（）vox）= -1
由于直统irov是固定的「所以QX是一条固定直技.
如果o不是n对应点,设。

作为I上的点时o-v 在/ 山），0作为厂上的点时UF，如图2-3- 1们则有（OU/工）= ^VO.P\P\）二（0VLP J：）,由此得到O点fl对应,所以9,
质天（o・v\P，P）故得三直线UVL PJL W；共虬血直技［八广是固定的，所以-P；与已仁的变点x在冏定的直线uv‘上.
F/
K7 / >
I一瓦证明n任<-*不改过完全四点形顶点的苴螳坏完全四点形的三对对边的变点「是属于同一时合拘三对对应点
4. 匝明：如图
直统I与完全四盘形ABCD的£对对边的堂点为P，P': Q，<y：f6 Ii\在I上P mu ,R顼，因为IP, P\Q I R）奏（F-E-A.B）^ 。

），所以这是一个射影变换，
W.QR）二（W・k'Q）|（W,・Q Jg H叩，阪）
根据定理2.4知「这射摭变换是一个触合J
习题三
L设直蝶I上的点巳<0）,P」1）,P」2）经射影对应,藤决对应『上的点p" - i）『jo）・pn - m求射影对应式，左化为齐林坐#式■求出t上蓟无旁近点的酎度点一
［伊；=-i.r, + U答：齐次坐标式＜；
"七二3弓一4习
非齐次坐标式成二、"十：
3工一4
F m（l・D）r〃（一相3）,P（4,3）—F；（I F。

）
2•求宜SSU到自身的射影变模式，使闩（。

）.也"）・P8分别时成点P■⑴/E/\（0）
3.已知6融上的射影蹩换式为
.2JT-1
.r - —7-5-
.T + 3
试点堡怵原点.无膏远点的对魔点，
3. 答f 一L3）・
|（l （2J）.
4. 求以F!tt膨堇换的自对应元京的聿数；
（1＞W・ 2A + 1 = 0;
（2） 2A 十JT+ 1=0
4.答：
（1）1： k（2）4：S（3）2:3.
■ r
5.求时台的方理.这个对台的二■元素的＞«»:
（1） 2 与:h
（2）方程&广*之步十的*0
5. 答，
⑴ W 5（A「A J）F 12 = 0：
⑵小、研A * A'）卜y = 0.
6已4a对含的西对iw成点的参教为：
1. 试求时合的方程牝二鼠点的参岐
6. 答W + CA » V）- I 二M -1±2JL
习题四
| # 射影变换，使点（hojjxojJ）jia4）,（oXi）Otf应点eo’ojmjs）jo』,。

ji,i.»
1.答;所求变换式为:
2, 求射彩娈供
俨;=孔_ M/才，
\ f^2= + 2xj - JT）
M - *T I 4T a+ 心
的逆天茂式,并未出影潸线R乃匚0的淋成直觥的方程
2. 答：根据公式（4.4）,求出逆变换为，
i 二3 rj + 2.ri一t；, oij = —2,r | + JTi + 3
Jj r o：j：j =—j：；- 3 矛；+ 5.无；・马二。

的对应直统为心；
+3Ef
3. 厚财影宠拱
的不空点坐标.
3.解：根据公式（
4.6）列出特征方程「
版■ l）'=（b秒=1（三重根）.
将- I代入不变点,方程组（4.5）.得rj =0 - -0上的点都
是不变点.011 ^,=0是不变成列.
4. 求射影变镇
俨；=0 -工了
* -3J-J
的不变元素，
4. 衅晨特征方程为版+ 1)版+ 2)李-3)=<b解得代=_［心=一2,尹上=3.
符特征值代入不变点方荐组，得不变点为(《LSI), 3,1,0), (1.6*5)■不变直线为：：n -工上十心二0,工］一以=0« 6工］- q二L
第四章变换群与几何学
第五章二次曲线的射影理论
习题一
一,设两个三点i® ABC和A&L同时外切于条二次曲魏.琳征它们也同时内接于一条二次曲姓
5. 证明：设三点形ABC和A同时
外切于一二次曲线S- 如图2 —5 —1 .有
a(/),「,方，r )7V口)I
ifij a (Z J * r I A * r A (fB» (? t U‘) t
|a■(如d./)云A d・匚・H)
所以CL\ B. C\ H')7VA(C*，CW)
根据二阶线的射影定义.ABC：和A B C内接于二次曲线
7求由陶个成射彩时应『=品的线束勺-A XL O和:n-A'jr产4
所由成的二阶曲线的方程，
7. 解、两射戮线束可以写为：
习题二
1,写出布利安桑定理的逆定理并加以证明.
&给定二阶曲线上艮个点「可以产生多少条帕斯卡线？对偶地，叶于二级曲我情况如何？
"提示=利用瓦AM；无&瓦六个元素的环获扣列的性保及A】A1A J A^A S A A 4 A fl A s A+A3 A±& &示同—选取■因此己知六点形能决定调二=60条泊斯卡线.对偶地［对于〔级曲线的z b
外切六边形也有60个布利安桑点.
4.已扣射渺平面上的五个点(无三者共线、利用帕斯卡定理，求作其中-点的切％
4. M：设：阶撕线3上的五个点为A. A.A., .牝，试作
/U加的切线.如图2-5-2. 七作 A.U A" = P,
H x A. A〕= Q
A,A^PQ = R.
则AsR为二阶曲线的切线.
5. 在内糅于圆的两个三点带.AHC和A B C中3殳AH 乂AH = P，H("H'C =Q.C4 X ("A =乩证明HQ危三点出成，
5.提示1将三巨点形之顶点排列次序为ABCASY?'*圆为二次曲线，由帕斯卡定理可知已 QR三点共统.
6T证明帕斯卡定理的逆定理.
6. 提示：利用二阶曲线的射撇定义.
习题三
1, 思考：若直接从二级曲线出发，如忖考虑极点,披线的概念及求法？
I 1.提示;用对偶原则，可先讨论直线的极点.
2, 证明定理3.5推论3: *殳PA . Pti为二阶曲线的切线，着其中A 3为切点.则AE为P点的极线”.
| 2 .提示，用厦极原则证明. | 3, 已务一条直线女求作户关于二阶曲残的槌点.
3. 捉示，在Q上任取二点，作它们的极线的交点.
4, 已知二阶曲线上一点P,米作P点的极线.
4. 提示;过P任作一直线，作出此宜线的极点.
5, 已知二阶曲线（C）；2；rJ + 4T1T;十G j r3+ =0】
<n垠点p于（c）的极盅
（2）乘立魏^=0美于（C）的极点,
5-答：（I I 7f| + 2T2+6工§ =Ot
（2>（2i-6-7）.
6-求点（5,1,7）关于二阶曲线：
2xj + 3药+工；一6工.互_2JTJ工③—4工[工1 =0
的极线.
6. 答"[=0.
7, 设ABCD是二阶曲线的内粮四点形，XYZ是时边三点形，求证"处的切线更在、化直线上，A3J处的切线也交在YZ 直钱上.
7. 提元设处的-切线交于F,则P的极线是HCL而B（'x AD=X I所以X的极线必过P点■又知对边三点形XVZ是自极的，即X的极线是YY，所以P在遂I：■同理可证A，o处的切线也交在YZ±.
&根据帕斯卡定理证明布利安桑定理.
8, 证是二级曲线之外切六边形.要证对顶点的连线A.A> A】A°A J A6共点,设此外切六边形每边的切点为R则P J RRP+PJ。

构成此二阶曲线之内接六点形，由帕斯卡定理知L =HR x F4F4(J W=
P;P.x已I', N = x p6p t三点共线,怛PJO的极点为
A2 - P4F f的极点是所以L的极线是土％.同埋的极线的极线是孔月」，由于
L、M,N共线，故它们的极线A】A%・A》A白日A4 A.共白、•〜—
第六章二次曲线的仿射性质与度量性质。