2020-2021学年浙江省义乌中学高三上学期10月月考数学试卷及答案解析2020.10
2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三(上)月考数学试卷(10月份)(有答案)
2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 函数f(x)＝ln(x2)+的定义域是（）A.(0, +∞)B.[0, +∞)C.(1, +∞)D.[1, +∞)2. 若z=1+2i，则4iz⋅z¯−1=( )A.1B.−1C.iD.−i3. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．已知某“堑堵”的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的体积为（）A. B.1 C.2 D.44. 设x，y满足约束条件{2x+3y−3≤0，2x−3y+3≥0，y+3≥0，则z=2x+y的最小值是( )A. −15B.−9C.1D.95. 已知a，b∈R，则“e a>e b”是“|a|>|b|”成立的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件6. 已知等比数列{a n}中a5＝1，若+++＝5，则a2+a4+a6+a8＝（）A.4B.5C.16D.257. 函数y＝sin x+e x ln|x|的图象可能是（）A.B.C.D.8. 已知a，b∈R，不等式||<1在x∈R上恒成立，则（）A.a<0B.b<0C.0<ab<2D.0<ab<49. 将6个数2，0，1，9，20，19将任意次序排成一行，拼成一个8位数（首位不为0），则产生的不同的8位数的个数是（）A.546B.498C.516D.53410. 如图所示，平面α∩平面β＝l，二面角α−l−β∈[，]，已知A∈α，B∈β，直线AB与平面α，平面β所成角均为θ，与l所成角为γ，若sin(γ+θ)＝1，则sin(γ−θ)的最大值是（）A. B. C. D.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.若log3m＝2，则m＝________；2log23+30+log39=________．设等差数列{a n}的前n项和为，若a3＝5，a5＝3，则a n＝________，S7＝________．二项展开式(1+2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4＝________，a1+a3+a5＝________．在△ABC中，AC=3，3sin A=2sin B，且cos C=14，则AB=________．已知函数，则f（f(−5)）＝________；若实数a满足f （f(a)）≥a，则a的取值范围是________．已知F为抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点，点A在抛物线上，点B在抛物线的准线上，且A，B两点都在x轴的上方，若FA⊥FB，tan∠FAB＝，则直线FA的斜率为________．已知平面向量，，满足||＝1，||＝，•＝0，-与-的夹角是，则•（-）的最大值为________．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x．（1）求f(π3)的值；（2）若f(α2)=1310，α∈(0,π3)，求cosα的值．如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120∘．E为线段AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A′DE，使平面A′DE⊥平面BCD，F为线段A′C的中点．（1）求证：BF // 平面A′DE；（2）设M为线段DE的中点，求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值．如图所示，在f(x)＝的图象下有一系列正三角形△A n A n+1B n(n∈N∗)，记△A n A n+1B n的边长为a n，f（a n)＝b n．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{c n}满足c n＝，证明：c2+c3+……+c n<．已知椭圆与直线有且只有一个交点，点P为椭圆C上任意一点，P1(−1, 0)，P2(1, 0)，且的最小值为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l:y＝kx+m与椭圆C交于不同两点A，B，点O为坐标原点，且，当△AOB的面积S最大时，判断T＝|MP1|+|MP2|是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由．已知实数a≠0，设函数f(x)＝e ax−ax．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当a>12时，若对任意的x∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a2(x2+1)，求a的取值范围．注：e＝2.71828…为自然对数的底数．参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省绍兴市某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A【考点】函数的定义域及其求法【解析】根据函数f(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】函数f(x)＝ln (x 2)+中，令，解得x >0，所以f(x)的定义域是(8, +∞)．2.【答案】C【考点】共轭复数复数代数形式的乘除运算【解析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．【解答】解：∵ z =1+2i ，∴ z ¯=1−2i ，则4iz⋅z ¯−1=4i (1+2i)(1−2i)−1=4i 5−1=i ． 故选C .3.【答案】C【考点】由三视图求体积【解析】由三视图中的数据，得到原几何体中的数据，再利用棱柱的体积公式求解即可得到该“堑堵”的体积．【解答】由图可知，原几何体是：底面是一个等腰直角三角形，直角边为，斜边为6，所以该“堑堵”的体积为．4.【答案】A【考点】求线性目标函数的最值【解析】本题考查简单的线性规划求最值问题．【解答】解：画出可行域如图中阴影部分所示，可知可行域为以A(0,1)，B(−6,−3)，C(6,−3)为顶点的△ABC围成的区域（包括边界），可知当目标函数z=2x+y经过点B(−6,−3)时取得最小值，最小值为−15．故选A．5.【答案】D【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由e a>e b得a>b，当a＝1，则“|a|>|b|”不成立，反之当a＝−2，b＝5时，但a>b不成立，即“e a>e b”是“|a|>|b|”成立的既不充分也不必要条件，6.【答案】B【考点】等比数列的性质【解析】利用等比数列的通项公式直接求解．【解答】∵等比数列{a n}中a5＝1，+++＝5，∴++＝5，∴a7+a4+a6+a2＝＝5．7.【答案】B【考点】函数的图象与图象的变换【解析】根据函数值的变化趋势即可排除．【解答】当x<0时，e x<1，ln|x|∈(−∞，−3≤sin x≤1∴sin x+e x ln|x|＝0，有很多解，当x→+∞时，e x→+∞，ln|x|→+∞，则y→+∞；8.【答案】D【考点】不等式恒成立的问题【解析】由题意可得−1<<1，化为2x2+(a+2)x+2+b>0，且(a−2)x+ b−2<0恒成立，结合判别式小于0和a−2＝0，b−2<0，可得所求结论．【解答】不等式||<1在x∈R上恒成立，可得−8<<1，由于x3+2x+2>3恒成立，化为2x2+(a+2)x+2+b>0，且(a−3)x+b−2<0恒成立，由8x2+(a+2)x+8+b>0恒成立，可得△＝(a+2)5−8(2+b)<3，由(a−2)x+b−2<6恒成立，可得a−2＝0，解得a＝7，0<b<2，9.【答案】B【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】根据题意，用间接法分析：先计算全部8位数的数目，再分析其中“20”出现2次、“19”出现2次和“20”和“19”都出现2次的排法，分析可得答案．【解答】根据题意，将6个数2，8，1，9，19将任意次序排成一行，由于3不能在首位，则有5×A58＝600个8位数，其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“2”之前的排法有，“19”出现2次，即“8”与“9”相邻且“1”在“6”之前的排法有，“20”和“19”都出现7次的排法有＝6种，则满足题意的8位数有600−60−48+5＝498个，10.【答案】B【考点】二面角的平面角及求法【解析】作出图形，找出对应得等量关系，化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值．【解答】∵θ∈[0，]，γ∈[3，]，∴γ+θ＝，过A作AC⊥l，过B作BD⊥l，D，过A作AE // l，设AA2⊥β，BB1⊥α，延长CA1交BF于F，延长DB3交AE于E，则∠ACF和∠BDE为二面角α−l−β的平面角，∠ABA1为AB与平面β所成角，∠BAB1为AB与平面α所成角，∠ABF和∠EAB为AB与l所成角，∴sinθ＝＝，cosγ＝＝，∴AA1＝BB6＝BF＝AE，∴△AA1C≅△BB1D，∴AC＝BD＝CF，即△ACF是等腰三角形，则α∈[，]，∴sin(γ−θ)＝sin[γ−（−γ)]＝−cos7γ＝sin2γ−cos2γ＝＝1−，显然当tanγ取得最大值时，sin(γ−θ)取得最大值，而tanγ＝＝，故当∠AFA1取得最小值时，tanγ取得最大值，又△ACF是等腰三角形，故∠AFA4＝，∴当α＝时，∠AFA8取得最小值，∴tanγ的最大值为，∴sin(γ−θ)的最大值为1−＝，二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.【答案】9,6【考点】对数值大小的比较【解析】①利用指数为对数逆运算，a x＝y，则x＝log a y，从而得出答案．②利用对数运算公式a log a N=N，求出答案．【解答】m＝2，则m＝9，2log23+30+log39=3+1+2=6．解若log3【答案】8−n,28【考点】等差数列的前n项和等差数列的通项公式【解析】利用等差数列的通项公式、求和公式即可得出．【解答】设等差数列{a n}公差为d，∵a3＝5，a7＝3，∴a1+7d＝5，a1+5d＝3，解得：a1＝5，d＝−1，则a n＝8−n，S5＝7×7+×(−5)＝28．【答案】80,122【考点】二项式定理及相关概念【解析】直接利用二项式定理的通项公式，求解即可．【解答】(1+2x)5＝0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a4=C54⋅24=(80) a1+a3+a5=C51⋅2+C53⋅8+C55⋅32=1(22)【答案】√10【考点】余弦定理正弦定理【解析】此题暂无解析【解答】解：∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3BC=2AC，∴由AC=3，可得：BC=2，∵cos C=14，∴由余弦定理可得：14=32+22−AB22×3×2，∴解得：AB=√10．故答案为：√10.【答案】2,(−∞, 1]【考点】求函数的值分段函数的应用函数的求值【解析】直接由已知函数解析式求得f（f(−5)），对a分类，分别求解f（f(a)）≥a，取并集得答案．【解答】∵，∴f（f(−5)）＝f(4)＝；当a>0时，f(a)＝≥a，则0<a≤8；当a≤0时，f(a)＝|a+1|≥a，∴a的取值范围是(−∞, 1]．【答案】【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A的坐标，由斜率公式计算可得所求值．【解答】y2＝2px(p>2)的焦点F（，0)，如图，设A在x轴上的射影为N，由FA⊥FB，tan∠FAB＝＝，可设|AF|＝2t，|BF|＝t，可得∠AFN＝∠FBM，sin∠AFN＝＝sin∠FBM＝，即有y A＝3p，x A＝p，则直线AF的斜率为＝＝．【答案】5【考点】平面向量数量积的性质及其运算【解析】建系，易知点C在两圆弧(x−）2+(y−2)2＝4或x2+(y+1)2＝4上，求出•（-），设其为k，代入圆弧方程，由△＝0即可得解．【解答】设＝，＝，由•＝0，以O为原点建立直角坐标系，则A(1, 4)，），设＝＝(x，∵-与-的夹角是，∴与，∴点C在两圆弧(x−）2+(y−2)2＝4或x8+(y+1)2＝8上，又•（-x−y x−y，求•（-，由图知，当直线k＝，k取最值，代入上式两圆弧得4x2+3(1−k)x+(6−k)2−4＝2，由△＝0可得，k＝5或k＝−4，∴•（-．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x=1+cos2x2+√3sin2x2=sin(2x+π6)+12，所以f(π3)=sin5π6+12=1．f(α2)=1310，所以sin(α+π6)+12=1310，整理得sin(α+π6)=45，由于α∈(0,π3)，cos(α+π6)=35．则cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)sinπ6=35⋅√32+45⋅12=4+3√310．【考点】两角和与差的三角函数【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的关系式求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换中的角的变换的应用求出结果．【解答】函数f(x)=cos2x+√3sin x cos x=1+cos2x2+√3sin2x2=sin(2x+π6)+12，所以f(π3)=sin5π6+12=1．f(α2)=1310，所以sin(α+π6)+12=1310，整理得sin(α+π6)=45，由于α∈(0,π3)，cos(α+π6)=35．则cosα=cos[(α+π6)−π6]=cos(α+π6)cosπ6+sin(α+π6)sinπ6=35⋅√32+45⋅12=4+3√310．【答案】（1）证明：取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG // CD，FG=12CD．BE // CD，BE=12CD．所以FG // BE，FG=BE．故所以BF // EG．又EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE所以BF // 平面A′DE．（2）解：在平行四边形ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，连接A′M，CE因为∠ABC=120∘在△BCE中，可得CE=√3a，在△ADE中，可得DE=a，在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE，在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE．由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE．取A′E的中点N，连线NM、NF，所以NF⊥DE，NF⊥A′M．因为DE交A′M于M，所以NF⊥平面A′DE，则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角．在Rt△FMN中，NF=√32a，MN=12a，FM=a，则cos∠FMN=12．所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为12．【考点】直线与平面所成的角直线与平面平行的判定【解析】（1）欲证BF // 平面A′DE，只需在平面A′DE中找到一条线平行于BF即可；而取A′D的中点G，并连接GF、GE，易证四边形BEGF为平行四边形，则BF // EG，即问题得证．（2）欲求直线FM与平面A′DE所成角的余弦值，需先找到直线FM与平面A′DE所成的角；而连接A′M，CE，由平面A′DE⊥平面BCD易证CE⊥A′M，且由勾股定理的逆定理可证CE⊥DE；再取A′E的中点N，连线NM、NF，则NF⊥平面A′DE，即∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角；最后在Rt△FMN中，易得cos∠FMN的值．【解答】（1）证明：取A′D的中点G，连接GF，GE，由条件易知FG // CD，FG=12CD．BE // CD，BE=12CD．所以FG // BE，FG=BE．故所以BF // EG．又EG⊂平面A′DE，BF⊄平面A′DE所以BF // 平面A′DE．（2）解：在平行四边形ABCD中，设BC=a，则AB=CD=2a，AD=AE=EB=a，连接A′M，CE因为∠ABC=120∘在△BCE中，可得CE=√3a，在△ADE中，可得DE=a，在△CDE中，因为CD2=CE2+DE2，所以CE⊥DE，在正三角形A′DE中，M为DE中点，所以A′M⊥DE．由平面A′DE⊥平面BCD，可知A′M⊥平面BCD，A′M⊥CE．取A′E的中点N，连线NM、NF，所以NF⊥DE，NF⊥A′M．因为DE交A′M于M，所以NF⊥平面A′DE，则∠FMN为直线FM与平面A′DE所成的角．在Rt△FMN中，NF=√32a，MN=12a，FM=a，则cos∠FMN=12．所以直线FM与平面A′DE所成角的余弦值为1．2【答案】（1）设数列{a n}的前n项和S n，则当n≥2时，A n(S n−1, 5)，B n（，），又由题意可知：＝a n⇒4(S n−1+S n)＝3a n3①，2②，又2(S n+S n+1)＝8a n+1由②-①可得：3(a n+1+a n)(a n+1−a n)＝3(a n+1+a n)⇒a n+1−a n＝，易知a1＝，∴数列{a n}是首项、公差均为，∴a n＝n，b n＝f（a n)＝f(n)＝；（2）证明：由(Ⅰ)可知：c n＝＝×＝（-），∴c2+c3+……+c n＝（-+-+…+-）＝（-）<×＝．【考点】数列的求和【解析】(Ⅰ)设数列{a n}的前n项和S n，先由题设写出点A n和B n的坐标，再根据正三角形的性质，可进一步求得数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)先由(Ⅰ)求得c n，再利用裂项相消法求得c2+c3+……+c n，进而证明结论．【解答】（1）设数列{a n}的前n项和S n，则当n≥2时，A n(S n−1, 5)，B n（，），又由题意可知：＝a n⇒4(S n−1+S n)＝3a n3①，2②，又2(S n+S n+1)＝8a n+1由②-①可得：3(a n+1+a n)(a n+1−a n)＝3(a n+1+a n)⇒a n+1−a n＝，易知a1＝，∴数列{a n}是首项、公差均为，∴a n＝n，b n＝f（a n)＝f(n)＝；（2）证明：由(Ⅰ)可知：c n＝＝×＝（-），∴c2+c3+……+c n＝（-+-+…+-）＝（-）<×＝．【答案】设点P(x, y)，故椭圆C:x2+6y2＝a2，则＝x2+y5−1＝−y2+a7−1，当y＝±b时，取得最小值，即，即，则，故椭圆C的标准方程为；设A(x2, y1)，B(x2, y8)，M(x0, y0)，联立方程，解得(2k2+8)x2+4mkx+6m2−4＝6，所以，，则点O到直线l:y＝kx+m的距离，所以＝≤，故S取得最大值，当且仅当m2＝4k7+2−m2，即m5＝2k2+4时取等号，此时，，即，代入m2＝2k5+1中，整理可得，故点M的轨迹为椭圆C1：，且点P1，P2为椭圆C7的左、右焦点1|+|MP2|＝，故T＝|MP1|+|MP7|为定值为．【考点】椭圆的应用椭圆的标准方程直线与椭圆的位置关系【解析】（1）设点P(x, y)，由题意得到，根据数量积的坐标表示，再利用其最小值得到a和b的关系，求出a和b，即可得到椭圆的标准方程；（2）设A(x1, y1)，B(x2, y2)，M(x0, y0)，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式以及点到直线的距离公式求出△AOB的面积S的最值，得到m和k的关系，从而得到点M的轨迹是椭圆，利用椭圆的定义求出|MP1|+|MP2|为定值．【解答】设点P(x, y)，故椭圆C:x2+6y2＝a2，则＝x2+y5−1＝−y2+a7−1，当y＝±b时，取得最小值，即，即，则，故椭圆C的标准方程为；设A(x2, y1)，B(x2, y8)，M(x0, y0)，联立方程，解得(2k2+8)x2+4mkx+6m2−4＝6，所以，，则点O到直线l:y＝kx+m的距离，所以＝≤，故S取得最大值，当且仅当m2＝4k7+2−m2，即m5＝2k2+4时取等号，此时，，即，代入m2＝2k5+1中，整理可得，故点M的轨迹为椭圆C1：，且点P1，P2为椭圆C7的左、右焦点1|+|MP2|＝，故T＝|MP1|+|MP7|为定值为．【答案】由f′(x)＝ae ax−a＝a(e ax−1)＝0，解得x＝0，①若a>0，则当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, +∞)内单调递增；当x∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞, 0)内单调递减．②若a<0，则当x∈(0, +∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0, +∞)内单调递增；当x∈(−∞, 0)时，f′(x)<0，故f(x)在(−∞, 0)内单调递减．综上所述，f(x)在(−∞, 0)内单调递减，在(0, +∞)内单调递增；因为f(x)≥a2(x2+1)，即e ax≥a2(x+1)2 (﹡)．令x＝0，得1≥a2，则12<a≤2，当x＝−1时，不等式(﹡)显然成立，当x∈(−1, +∞)时，两边取对数，即ax≥21n(x+1)+ln a2恒成立，令函数F(x)＝2ln(x+1)−ax+ln a2，即F(x)≤0在(−1, +∞)内恒成立，由F′(x)=2x+1−a=2−a(x+1)x+1=0，得x=2a−1>−1，故当x∈(−1, 2a −1)时，F′(X)>0，F(x)单调递增；当x∈(2a−1, +∞)时，F′(X)<0，F(x)单调递减，因此F(x)≤F(2a −1)＝2ln2a−2+a+ln a2=a−2−ln a2，令函数g(a)＝a−2−ln a2，其中12<a≤2，则g′(a)＝1−1a =a−1a=0，得a＝1，故当a ∈(12,1) 时，g ′(a)<0，g(a) 单调递减；当a ∈(1, 2]时，g ′(a)>0，g(a)单调递增，又g(12)＝ln 4−32<0，g(2)＝0，故当12<a ≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0 恒成立，即当12<a ≤2 时，对任意的x ∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a 2(x 2+1) 成立．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）先求出导函数f ′(x)，对a 分情况讨论，分别求出函数f(x)的单调区间；（2）因为f(x)≥a 2(x 2+1)，即e ax ≥a 2(x +1)2 (﹡)．令x ＝0，得1≥a 2，则12<a ≤2，当x ＝−1时，不等式(﹡)显然成立，当x ∈(−1, +∞)时，两边取对数，即ax ≥21n(x +1)+ln a 2 恒成立，令函数F(x)＝2ln (x +1)−ax +ln a 2，即F(x)≤0 在(−1, +∞) 内恒成立，利用导数得到F(x)≤F(2a −1)＝2ln 2a −2+a +ln a 2=a −2−ln a 2，令函数g(a)＝a −2−ln a 2，其中12<a ≤2，利用导数研究出函数g(x)的单调性，当12<a ≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0 恒成立，即当12<a ≤2 时，对任意的x ∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a 2(x 2+1) 成立．【解答】由f ′(x)＝ae ax −a ＝a(e ax −1)＝0，解得x ＝0，①若a >0，则当x ∈(0, +∞) 时，f ′(x)>0，故f(x) 在(0, +∞) 内单调递增； 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，故f(x) 在(−∞, 0)内单调递减．②若a <0，则当x ∈(0, +∞) 时，f ′(x)>0，故f(x) 在(0, +∞)内单调递增； 当x ∈(−∞, 0)时，f ′(x)<0，故f(x)在(−∞, 0)内单调递减．综上所述，f(x)在(−∞, 0)内单调递减，在(0, +∞) 内单调递增；因为f(x)≥a 2(x 2+1)，即e ax ≥a 2(x +1)2 (﹡)．令x ＝0，得1≥a 2，则12<a ≤2， 当x ＝−1时，不等式(﹡)显然成立，当x ∈(−1, +∞)时，两边取对数，即ax ≥21n(x +1)+ln a 2 恒成立， 令函数F(x)＝2ln (x +1)−ax +ln a 2，即F(x)≤0 在(−1, +∞) 内恒成立， 由F ′(x)=2x+1−a =2−a(x+1)x+1=0，得x =2a −1>−1， 故当x ∈(−1, 2a −1)时，F ′(X)>0，F(x)单调递增；当x ∈(2a −1, +∞) 时，F ′(X)<0，F(x) 单调递减，因此F(x)≤F(2a −1)＝2ln 2a −2+a +ln a 2=a −2−ln a 2， 令函数g(a)＝a −2−ln a 2，其中12<a ≤2，则g ′(a)＝1−1a=a−1a =0，得a ＝1， 故当a ∈(12,1) 时，g ′(a)<0，g(a) 单调递减；当a ∈(1, 2]时，g ′(a)>0，g(a)单调递增，又g(12)＝ln 4−32<0，g(2)＝0，故当12<a ≤2时，g(a)≤0恒成立，因此F(x)≤0 恒成立， 即当12<a ≤2 时，对任意的x ∈[−1, +∞)，均有f(x)≥a 2(x 2+1) 成立．。
浙江省2020-2021学年高三上学期10月测试数学试题含解析
浙江省2020-2021学年高三上学期10月测试数学试题含解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、选择题（共10题）1、函数的定义域是（）A ．B ．C ．D ．2、若，则A ． 1B ．-1C ．iD ．-i3、《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“ 堑堵”. 已知某“ 堑堵” 的三视图如图所示，正视图中的虚线平分矩形的面积，则该“ 堑堵” 的体积为A ．B ． 1C ． 2D ． 44、设x ，y 满足约束条件，则z ＝ 2 x ＋y 的最小值是（）A ．－15B ．－9C ． 1D ．95、已知，则“ ” 是“ ” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6、已知等比数列中，若，则A ． 4B ． 5C ．16D ．257、函数的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．8、已知，不等式在上恒成立，则（）A ．B ．C ．D ．9、将 6 个数 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 将任意次序排成一行，拼成一个8 位数（首位不为0 ），则产生的不同的8 位数的个数是（）A ．546B ．498C ．516D ．53410、如图所示，平面平面，二面角，已知，，直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，若，则的最大值是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共7题）1、在中，，且，则____________2、已知F 为抛物线C ：的焦点，点A 在抛物线上，点B 在抛物线的准线上，且A ，B 两点都在x 轴的上方，若，，则直线FA 的斜率为______ ．3、已知平面向量，，满足，，，与的夹角是，则的最大值为 __________.4、若，则________ ；________.5、设等差数列的前项和为，若，，则__________ ，___________.6、二项展开式 (1+2 x ) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 ，则a 4 =___________ ，a+ a 3 + a 5 =___________.17、已知函数，则_______ ﹔若实数满足，则的取值范围是 _______.三、解答题（共5题）1、已知函数．（ 1 ）求的值；（ 2 ）若，求的值 .2、如图，在平行四边形 ABCD 中，AB=2BC ，∠ABC=120°． E 为线段AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻折成△A’DE ，使平面A’DE⊥平面BCD ，F 为线段A’C 的中点．（Ⅰ ）求证：BF∥平面A’DE ；（Ⅱ ）设M 为线段DE 的中点，求直线FM 与平面A’DE 所成角的余弦值．3、如图所示，在的图像下有一系列正三角形，记的边长为，.（ 1 ）求数列，的通项公式；（ 2 ）若数列满足，证明：. 4、已知椭圆与直线有且只有一个交点，点为椭圆上任意一点，，，且的最小值为.（ 1 ）求椭圆的标准方程；（ 2 ）设直线与椭圆交于不同两点，，点为坐标原点，且，当的面积最大时，判断是否为定值，若是求出其值并证明，若不是请说明理由 .5、已知实数，设函数．（ 1 ）求函数的单调区间；（ 2 ）当时，若对任意的，均有，求的取值范围．注：为自然对数的底数．============参考答案============一、选择题1、 A【分析】由解析式的性质即可求定义域；【详解】由解析式，知：中，中，∴ 综上，有：；故选： A【点睛】本题考查了具体函数定义域的求法，属于简单题；2、 C【详解】试题分析：，故选 C ．【考点】复数的运算、共轭复数．【举一反三】复数的加、减法运算中，可以从形式上理解为关于虚数单位“ ” 的多项式合并同类项，复数的乘法与多项式的乘法相类似，只是在结果中把换成−1. 复数除法可类比实数运算的分母有理化．复数加、减法的几何意义可依照平面向量的加、减法的几何意义进行理解．3、 C【分析】由三视图中的数据，根据棱柱的体积公式求出该“ 堑堵” 的体积．【详解】解：由图可知，底面是一个等腰直角三角形，直角边为，斜边为 2 ，又该“ 堑堵” 的高为 2 ，∴ 该“ 堑堵” 的体积，故选： C ．【点睛】本题主要考查由三视图还原直观图，考查棱柱的体积公式，属于基础题．4、 A【分析】作出可行域，z 表示直线的纵截距，数形结合知z 在点B ( － 6 ，－3) 处取得最小值.【详解】作出不等式组表示的可行域，如图所示，目标函数，z 表示直线的纵截距，，数形结合知函数在点B ( － 6 ，－3) 处纵截距取得最小值，所以z 的最小值为－ 12 － 3 ＝－15.故选： A【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题 .5、 D【分析】化简得，结合充分与必要条件的判断方法即可求解【详解】由，显然由，比如，又，比如，故“ ” 是“ ” 的既不充分也不必要条件，故选： D【点睛】结论点睛：本题考查既不充分也不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（ 1 ）若是的必要不充分条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 2 ）是的充分不必要条件，则对应集合是对应集合的真子集；（ 3 ）是的充分必要条件，则对应集合与对应集合相等；（ 4 ）是的既不充分又不必要条件，对的集合与对应集合互不包含．6、 B【分析】根据已知化简，由此求得表达式的值 .【详解】依题意得，即，而.【点睛】本小题主要考查等比数列通项的基本量计算，属于基础题 .7、 B【分析】根据、分类讨论的图象，利用导函数研究它在各个区间上的单调性，分别判断两个区间某一部份的单调性即可得到它的大致图象；【详解】1 、当时，，即，令，则，∴ 时，即单调递增，故，∴ 此时，，即在单调递增，故排除D 选项；2 、当时，，令，则，∴ ，，故有即，所以，∴ 在上，而，故在上一定有正有负，则有B 正确；故选： B【点睛】本题考查了利用导数研究函数单调性，并确定函数的大致图象，注意按区间分类讨论，以及零点、极值点的讨论8、 D【分析】由题意，原不等式转化为，两边同时平方并化简得，由此分析出，进而得到，由此可解出答案．【详解】解：∵ ，且，∴ ，∴ ，∴ ，∵ 上述不等式恒成立，∴ ，即（否则取，则左边，矛盾），此时不等式转化为，∴ ，解得，∴ ，故选： D ．【点睛】本题主要考查一元二次不等式的应用，考查转化与化归思想，属于难题．9、 B【分析】根据题意，由排除法分析：先求出将 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 的首位不为0 的排列数，排除 2 的后一项是0 ，且 1 的后一项是9 的排列，2 的后一项是0 ，但1 的后一项不是9 的排列， 1 的后一项是9 ，但 2 的后一项不是0 的排列，分析可得答案【详解】解：将 2 ，0 ，1 ，9 ，20 ，19 的首位不为0 的排列的全体记为，记为为的元素全数，则，将中的 2 的后一项是0 ，且1 的后一项是9 的排列的全体记为，中 2 的后一项是0 ，但1 的后一项不是9 的排列的全体记为，中 1 的后一项是9 ，但 2 的后一项不是0 的排列的全体记为，则，可得，由 B 中排列产生的每一个8 位数，恰对应 B 中的个排列（这样的排列中， 20 可与“2 ，0” 互换，19 可与“1 ，9” 互换），类似地，由 C 或 D 中排列产生的每个8 位数，恰对应 C 或 D 中的 2 个排列，因此满足条件的8 位数的个数为：，故选： B【点睛】方法点睛：此题考查排列组合的应用问题，解决排列组合问题应注意：（ 1 ）对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可采用间接法（ 2 ）对于相邻问题采用捆绑法，不相邻问题采用插空法10、 B【分析】由题意知，作辅助线找到，及二面角，四边形为正方形进而得到为等腰三角形，利用所得直角三角形用边表示、，即有它们的等量关系，利用结合二面角，即可求的最大值；【详解】直线与平面，平面所成角均为，与所成角为，而，，又，可知：，若令二面角为，作于，于；过作，过作与交于点；∴ 面，又，，故面，面，即；过作，过作与交于点；∴ 面，又，，故面，面，即；作于，于，连接、，即有，且；∵ ，即，作有四边形为正方形，即，∴ ，有，故为等腰三角形且，令，，则，有，而，∴ ，，又，∴ 当时等号成立故选： B【点睛】本题考查了应用辅助线，根据已知条件以及线面角、线线角、面面角的性质，得到它们的三角函数间等量关系，并化简目标三角函数式，结合二面角的范围求目标式的最值；二、填空题1、【分析】根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理可知：，又由余弦定理可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题 .2、【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，运用解直角三角形的正弦函数和正切函数的定义，求得A 的坐标，由斜率公式计算可得所求值．【详解】解：的焦点，准线方程为，如图，设A 在x 轴上的射影为N ，准线与x 轴的交点为M ，由，，可设，，可得，，即有，，则直线AF 的斜率为．故答案为．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，注意运用解直角三角形，考查方程思想和运算能力，属于中档题．3、 5【分析】建直角坐标系，设，由条件可得点在两圆弧或上，求出，设其为，代入圆弧方程，由可求得结果【详解】解：如图，设，因为与的夹角是，所以，所以点所在的圆中，弧所对的圆心角为，所以点在两圆弧或上，因为，设，把代入中化简得，因为此方程有解，所以即，化简得，解得；把代入中化简得，因为此方程有解，所以即，化简得，解得；所以的最大值为 5【点睛】关键点点睛：此题平面向量的综合应用，属于中档题，解题的关键是建立平面直角坐标系，将向量坐标化，由与的夹角是，利用数形结合和平面几何的知识得点在两圆弧或上，是解此题的突破口4、 9 6【分析】利用对数的运算可得，再利用对数的运算性质即可求解 .【详解】若，则，.故答案为： 9 ； 6【点睛】本题考查对数的运算，需熟记对数的运算性质，属于基础题 .5、28【分析】由，，可得，从而可求出和，进而可求出，再利用等差数列的性质和前项和公式可求出【详解】解：设等差数列的公差为，因为，，所以，解得，所以，故答案为：， 286、 80 122【分析】直接利用二项式展开式通项公式求解即可【详解】解：因为 (1+2 x ) 5 = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 x 4 + a 5 x 5 ，且其展开式的通项公式为所以a 4 80.a+ a 3 + a 5 122.1故答案为： 80 ；122.【点睛】此题考查二项式定理的应用，属于基础题7、【分析】根据的解析式可直接求出，然后分、两种情况解不等式即可 .【详解】因为，所以当时，，所以，解得，所以当时，，所以，此不等式对恒成立所以的取值范围是故答案为：；.【点睛】本题考查的是分段函数，考查了分类讨论的思想，属于基础题 .三、解答题1、 (1)1 ；(2)【分析】（ 1 ）利用倍角公式、辅助角公式化简，再把代入求值；（ 2 ）由，，利用角的配凑法得：，再利用两角差的余弦公式得.【详解】解 : （1 ）因为，所以.（ 2 ）由得，【点睛】本题考查三角恒等变换中的倍角公式、辅助角公式、两角差的余弦公式等，考查角的配凑法，考查运算求解能力 .2、 1/2【详解】(1) 证明: 如图所示, 取A′D 的中点G, 连接GF,GE,由条件易知FG∥CD,FG= CD,BE∥CD,BE= CD,所以FG∥BE,FG=BE,故四边形 BEGF 为平行四边形, 所以BF∥EG.因为 EG⊂平面A′DE,BF⊄平面A′DE,所以BF∥ 平面A′DE.(2) 解: 在平行四边形ABCD 中, 设BC=a,则 AB=CD=2a,AD=AE=EB=a.连接 CE, 因为∠ABC=120°,在△BCE 中, 可得CE= a.在△ADE 中, 可得DE=a.在△CDE 中, 因为CD 2 =CE 2 +DE 2 , 所以CE⊥DE.在正三角形A′DE 中,M 为DE 的中点, 所以A′M⊥DE.由平面A′DE⊥ 平面BCD,可知A′M⊥ 平面BCD,所以A′M⊥CE.取A′E 的中点N, 连接NM,NF,则NF∥CE. 则NF⊥DE,NF⊥A′M.因为 DE 交A′M 于点M, 所以NF⊥平面A′DE,则∠FMN 为直线FM 与平面A′DE 所成的角.在Rt△FMN 中,NF= a,MN= a,FM=a,则cos∠FMN= ,所以直线 FM 与平面A′DE 所成角的余弦值为.3、（ 1 ），；（ 2 ）证明见解析.【分析】先建立等量关系得到，再判断数列是以为首项，为公差的等差数列，最后求和；（ 2 ）先化简，再用裂项相消法求和证明结论 .【详解】（ 1 ）解：设，则.由题意可知：，.两式相减：.易知，故数列是以为首项，为公差的等差数列 .故，.（ 2 ）证明：由题意可知：.故.故命题得证 .【点睛】本题考查函数与数列的关系、等差数列的判断、裂项相消法求和，是中档题 .4、（ 1 ）；（ 2 ）定值为，证明见解析【分析】（ 1 ）设点，根据题意，得到，根据向量数量积的坐标表示，得到，根据其最小值，求出，即可得出椭圆方程；（ 2 ）设，，，联立直线与椭圆方程，根据韦达定理，由弦长公式，以及点到直线距离公式，求出的面积的最值，得到；得出点的轨迹为椭圆，即可得出为定值 .【详解】（ 1 ）设点，由题意知，，则，当时，取得最小值，即，，故椭圆的标准方程为；（ 2 ）设，，，由，得，，，则点到直线的距离，，取得最大值，当且仅当即，① 此时，，即，代入① 式整理得，即点的轨迹为椭圆，且点为椭圆的左、右焦点，即，故为定值.【点睛】关键点睛：本题主要考查求椭圆的方程，考查求椭圆中的定值问题，对于第一问，解题的关键是得出，知道当时，取得最小值；对于第二问，直线与曲线的相交问题，常用步骤是设点设方程，联立方程求解，利用韦达定理求出相关量，本题可用来表示出三角形的面积，求出最值，解题的关键是得出点的轨迹为椭圆 .5、（ 1 ）在内单调递减，在内单调递增；（ 2 ）【分析】(1) 求导后取出极值点, 再分, 两种情况进行讨论即可 .(2) 当时得出的一个取值范围 , 再讨论时的情况 , 再对时构造函数两边取对数进行分析论证时恒成立 .【详解】(1) 由, 解得．① 若, 则当时 , , 故在内单调递增；当时 , , 故在内单调递减．② 若, 则当时 , , 故在内单调递增；当时 , , 故在内单调递减．综上所述 , 在内单调递减 , 在内单调递增．(2) , 即．令, 得, 则．当时 , 不等式显然成立 ,当时 , 两边取对数, 即恒成立．令函数, 即在内恒成立．由, 得．故当时 , , 单调递增；当时 , , 单调递减 .因此．令函数, 其中,则, 得,故当时 , , 单调递减；当时 , , 单调递增．又, ,故当时 , 恒成立 , 因此恒成立 ,即当时 , 对任意的, 均有成立．【点睛】本题主要考查了利用求导解决含参的函数的单调性问题以及在区间上恒成立求参数的范围的问题 , 需要构造函数讨论函数的单调性进行求解, 属于难题.。
2021年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析)
2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B 是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R} C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R} D．{x|﹣2＜x＜1，x ∈R}2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是；cosα的值是．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．=1+S n（n∈N*）．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；与1+b1+b2+…+b n的（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1大小．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}+1的通项公式．xx学年北京交大附中高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}，B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，那么集合A∩B是（）A．∅B．{x|0＜x＜1，x∈R}C．{x|﹣2＜x＜2，x∈R}D．{x|﹣2＜x＜1，x∈R}【考点】交集及其运算．【分析】先求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用交集的运算求解．【解答】解：由x（x﹣1）＜0，得0＜x＜1．所以A={x|x（x﹣1）＜0，x∈R}={x|0＜x＜1}，又B={x|﹣2＜x＜2，x∈R}，所以A∩B={x|0＜x＜1，x∈R}∩{x|﹣2＜x＜2，x∈R}={x|0＜x＜1，x∈R}．故选B．2．i是虚数单位，计算=（）A．﹣1 B．1 C．i D．﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】通过复数的分母实数化，即可得到结果．【解答】解：===i．故选：C．3．设向量=（1，x﹣1），=（x+1，3），则“x=2”是“∥”的（）A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量与共线向量．【分析】利用向量共线的充要条件求出的充要条件，利用充要条件的定义判断出“x=2”是的充分但不必要条件．【解答】解：依题意，∥⇔3﹣（x﹣1）（x+1）=0⇔x=±2，所以“x=2”是“∥”的充分但不必要条件；故选A4．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n（n≥2），且b1=a2，﹣1则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C． D．【考点】数列的求和．【分析】先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到﹣1|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，【解答】解：q=a n﹣a n﹣1所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．6．设a=log0.80.9，b=log1.10.9，c=1.10.9，则a，b，c的大小关系是C（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜a＜b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵0＜a=log0.80.9＜1，b=log1.10.9＜0，c=1.10.9＞1，∴b＜a＜c．故选：C．7．已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A． B． C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据对数函数的图象和性质象得到a，b的取值范围，再根据正弦函数的图得到答案．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B8．若存在负实数使得方程2x﹣a=成立，则实数a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（0，+∞）C．（0，2）D．（0，1）【考点】特称命题．【分析】由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．a的取值范围为f（x）在（﹣∞，0）的值域．【解答】解：由已知，将a分离得出a=．令f（x）=，（x＜0）．已知在（﹣∞，0）上均为增函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．所以0＜f（x）＜f（0）=2，a的取值范围是（0，2）．故选C．二．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）9．向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则实数t的值为﹣2．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量数量积公式，可得=2+t=0，由此求得t的值．【解答】解：∵向量=（1，1），=（2，t），若⊥，则=2+t=0，t=﹣2，故答案为：﹣2．10．在△ABC中，若cos2B+3cos（A+C）+2=0，则sinB的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用三角形内角和定理化简即可得到答案！【解答】解：∵B+A+C=π，∴A+C=π﹣B那么cos（A+C）=cos（π﹣B）=﹣cosB．则：cos2B+3cos（A+C）+2=0⇔cos2B﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣1﹣3cosB+2=0⇔2cos2B﹣3cosB+1=0⇔（2cosB﹣1）（cosB﹣1）=0解得：cosB=1，此时B=0°，不符合题意．或cosB=，此时B=60°，符合题意．那么：sinB=sin60°=．故答案为：．11．已知tan（+α）=，α∈（，π），则tanα的值是﹣；cosα的值是﹣．【考点】两角和与差的正切函数；任意角的三角函数的定义．【分析】利用两角和与差的正切函数及任意角的三角函数的定义，即可求得tanα与cosα的值．【解答】解：tan（+α）=，∴tanα=tan[（+α）﹣]===﹣；又α∈（，π），∴cosα=﹣=﹣．故答案为：；．12．已知角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），则cosα=﹣．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．【解答】解：∵角α的终边经过点（3a，4a）（a＜0），∴x=3a，y=4a，r==5|a|=﹣5a，则cosα===﹣，故答案为：﹣．13．通项公式为a n=an2+n的数列{a n}，若满足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，且a n＞a n对n≥8恒成立，+1则实数a的取值范围是．【考点】数列递推式；数列的应用．【分析】由a n=an2+n是二次函数型，结合已知条件得，由此可知答案．【解答】解：∵a n=an2+n是二次函数型，且a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a n＞a n对n≥8恒成立，+1∴，解得﹣．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=对∀x1，x2∈R，x1≠x2有＜0，则实数a的取值范围是0≤a＜1或a＞3．【考点】分段函数的应用．【分析】由任意x1≠x2，都有＜0成立，得函数为减函数，根据分段函数单调性的性质建立不等式关系即可．【解答】解：∵f（x）满足对任意x1≠x2，都有＜0成立∴函数f（x）在定义域上为减函数，则满足，得0≤a＜1或a＞3，故答案为：0≤a＜1或a＞3．三．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a3=S3=9（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若等比数列{b n}满足b1=a2，b4=S4，求{b n}的前n项和公式．【考点】等比数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d，由a3=S3=9，得，解出a1，d，由等差数列通项公式即可求得答案；（Ⅱ）设等比数列{b n}的公比为q，由b1=a2可得b1，由b4=S4可得q，由等比数列前n项和公式可得答案；【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的公差为d．因为a3=S3=9，所以，解得a1=﹣3，d=6，所以a n=﹣3+（n﹣1）•6=6n﹣9；（II）设等比数列{b n}的公比为q，因为b1=a2=﹣3+6=3，b4=S4=4×（﹣3）+=24，所以3q3=24，解得q=2，所以{b n}的前n项和公式为=3（2n﹣1）．16．已知函数f（x）=sinωx﹣sin2+（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．【分析】（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）==．…因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（Ⅱ）因为，所以，…所以．…所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…17．在△ABC中，A=，cosB=，BC=6．（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）求△ABC的面积．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）由已知结合平方关系求得sinB=，再由正弦定理求得AC的长；（Ⅱ）由sinC=sin（B+60°）展开两角和的正弦求得sinC，代入三角形的面积公式求得△ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=，B∈（0，π），又sin2B+cos2B=1，解得sinB=．由正弦定理得：，即，∴AC=4；（Ⅱ）在△ABC中，sinC=sin（B+60°）=sinBcos60°+cosBsin60°==．∴=．18．设数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，a n+1=1+S n（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}为等差数列，且b1=a1，公差为．当n≥3时，比较b n+1与1+b1+b2+…+b n的大小．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）由a n+1=1+S n（n∈N*），当n≥2时可得a n+1=2a n，当n=1时，=2，利用等比数列即可得出；（II）利用等差数列的通项公式可得：b n=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1.1+b1+b2+…+b n=n2+1．通过作差即可比较出大小．【解答】解：（I）∵a n+1=1+S n（n∈N*），∴当n≥2时，a n=1+S n﹣1，∴a n+1﹣a n=a n，即a n+1=2a n，当n=1时，a2=1+a1=2，∴=2，综上可得：a n+1=2a n（n∈N*），∴数列{a n}是等比数列，公比为2，∴．（II）数列{b n}为等差数列，且b1=a1=1，公差为=2．∴b n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．当n≥3时，b n+1=2n+1．1+b1+b2+…+b n=1+=n2+1．∴n2+1﹣（2n+1）=n（n﹣2）＞0，∴b n+1＜1+b1+b2+…+b n．19．已知f（x）=lg（﹣＜x，1）．（I）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；（Ⅱ）设f（）+f（）=f（x0），求x0的值．（Ⅲ）求证：对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．【考点】函数奇偶性的判断；抽象函数及其应用．【分析】（I）利用奇偶性的定义，看f（﹣x）和f（x）的关系，注意到和互为倒数，其对数值互为相反数；也可计算f（﹣x）+f（x）=0得到结论．（Ⅱ）根据题意得到关于x0的方程，解方程可得x0的值；（Ⅲ）将a与b代入函数f（x）=lg（﹣＜x，1）．求出f（a）+f（b）的值，然后计算出f（）的值，从而证得结论．【解答】解：（I）f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为（﹣1，1）关于原点对称；又∵f（﹣x）=lg=﹣lg=﹣f（x），所以f（x）为奇函数；（Ⅱ）∵f（x）=lg（﹣1＜x＜1）．∴由f（）+f（）=f（x0）得到：lg+lg=lg，整理，得lg3×2=lg，∴=6，解得x0=；（Ⅲ）证明：∵f（x）=lg（﹣＜x，1）．∴f（a）+f（b）=lg+lg=lg•=lg，f（）=lg=lg，∴对于f（x）的定义域内的任意两个实数a，b，都有f（a）+f（b）=f（）．得证．20．设函数y=f（x）的定义域为R，满足下列性质：（1）f（0）≠0；（2）当x＜0时，f（x）＞1；（3）对任意的实数x，y∈R，有f（x+y）=f（x）f（y）成立．（I）求f（0）及f（x）*f（﹣x）的值；（Ⅱ）判断函数g（x）=是否具有奇偶性，并证明你的结论；（Ⅲ）求证：y=f（x）是R上的减函数；（Ⅳ）若数列{a n}满足a1=f（0），且f（a n+1）=（n∈N*），求证：{a n}是等差数列，并求{a n}的通项公式．【考点】抽象函数及其应用．【分析】（I）令x=y=0得出f（0），令y=﹣x得出f（x）f（﹣x）=f（0）；（II）求出g（x）的定义域，计算g（﹣x）并化简得出结论；（III）设x1＜x2，根据f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2）得出=f（x1﹣x2）＞1，得出结论；（IV）根据f（﹣x）f（x）=1得出a n+1﹣a n﹣2=0得出结论．【解答】解：（I）令x=y=0得f（0）=f2（0），又f（0）≠0，∴f（0）=1．令y=﹣x得f（x）f（﹣x）=f（0）=1．（II）∵f（x）f（﹣x）=1，∴f（﹣x）=，∵x＜0时，f（x）＞1，∴x＞0时，0＜f（x）＜1，由g（x）有意义得f（x）≠1，∴x≠0，即g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称．∴g（﹣x）====﹣g（x），∴g（x）是奇函数．证明：（III）设x1＜x2，则x1﹣x2＜0，∴f（x1﹣x2）＞1，∵f（x1）=f（x1﹣x2+x2）=f（x1﹣x2）f（x2），∴=f（x1﹣x2）＞1，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）是R上的减函数．（IV）∵f（a n+1）=，∴f（a n+1）f（﹣2﹣a n）=1，∵f（x）f（﹣x）=1，∴a n+1﹣a n﹣2=0，即a n+1﹣a n=2，又a1=f（0）=1，∴{a n}是以1为首项，以2为公差的等差数列，∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．精品文档xx年11月30日39234 9942 饂cCK23691 5C8B 岋39065 9899 颙g29049 7179 煹34685 877D 蝽31197 79DD 秝&25755 649B 撛28880 70D0 烐实用文档。
专题19 椭圆(客观题)(新高考地区专用)(解析版)
专题19 椭 圆（客观题）一、单选题1．如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为,,F A B 分别为椭圆的上､下顶点，P 是椭圆上一点，//,||||AP BF AF PB =，记椭圆的离心率为e ，则2e =A ．2BC ．12D 【试题来源】2021年1月浙江省普通高中学业水平考试 【答案】B【解析】()()0,,,0B b F c -，则BF b k c=，所以直线:bAP y x b c =+，与椭圆方程联立()222220a c x a cx ++=，所以点P 的横坐标是2222a c x a c =-+，322b y a c=-+，即2322222,a c b P a c a c ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，222322222222a c b PB a b a a c a c ⎛⎫⎛⎫=⇒+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 整理为6244264321c a c a c a --+=，两边同时除以6a 得64243210e e e --+=，()()2421410ee e -+-=，210e -≠，所以42410e e +-=，得2e =或2e =（舍）．故选B ． 2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点M 在椭圆上，以M 为圆心的圆与x 轴相切与椭圆的焦点，与y 轴相交于P ，Q ，若MPQ 为正三角形，则椭圆的离心率为A ．12B ．13C ．2D ．3【试题来源】浙江省金华市义乌市2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试 【答案】D【解析】不妨设()00,M x y 在第一象限，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆右焦点，则0x c =，又M 在椭圆上，则20b y a =，∴圆M 的半径2br a =，MPQ 为正三角形，c r ∴==2220ac +=220e +=，解得3e =．故选D ． 【名师点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，求解离心率的关键是能够通过图形中的长度关系构造出关于,a c 的齐次方程，利用齐次方程配凑出离心率e ，解方程求得结果．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点A 关于原点的对称点为点B ，F 为其右焦点，若AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围是A ．,12⎤⎢⎥⎣⎦B ．12⎤⎥⎣⎦C ．,22⎣⎦D ．33⎣⎦【试题来源】河北省衡水中学2021届高三上学期期中（理） 【答案】B【解析】设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为1F ，因为AF BF ⊥，所以四边形为1AF BF 为矩形，所以12AB FF c == 因为ABF α∠=，所以2sin ,2cos ,AF c BF c αα==由椭圆的定义得22sin 2cos a c c αα=+，所以11sin cos 4c e a πααα===+⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 因为,64ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,4122πππα⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以sin 4πα⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭⎣，所以1e ⎤∈⎥⎣⎦，故选B. 【名师点睛】椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF 1|·|PF 2|；通过整体代入可求其面积等．4．已知F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点，若直线y kx =与椭圆相交于A ，B 两点，且120AFB ∠=︒，则椭圆离心率的取值范围是A．⎫⎪⎪⎣⎭B．⎛ ⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【试题来源】湖北省黄冈市部分普通高中2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】C【解析】连接A ，B 与左右焦点F ，F '的连线，由120AFB ∠=︒，由椭圆及直线的对称性可得四边形AFBF '为平行四边形，60FAF '∠=︒，在三角形AFF '中，()22222cos 3FF AF AF AF AF FAF AF AF AF AF ''''=+-⋅∠=+-⋅，所以()222332AF AF AF AF FF AF AF '+⎛⎫''+-=⋅≤ ⎪⎝⎭，即()2214AF AF FF ''+≤即221444a c ⋅≤，可得1 2c e a =≥，所以椭圆的离心率1,12e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，故选C ． 【名师点睛】该题考查的是有关椭圆离心率的取值范围的求解问题，解题方法如下： （1）根据题意，结合椭圆的对称性，连接相应点，得到平行四边形； （2）根据平行四边形的性质，得到角的大小；（3）根据余弦定理，列出相应等式，结合椭圆定义以及基本不等式求得结果．5．已知P 是椭圆22221x y a b+=（0a b >>）上一点，过原点的直线交椭圆于A ，B 两点，且34PA PB k k ⋅=-，则椭圆的离心率为 A ．12B ．13C ．14D．2【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（文） 【答案】A【解析】由题可设(),P x y ，()11,A x y ，11,B x y ，则2211122111PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-，22221x y a b +=，2211221x y a b+=，两式相减可得222211220x x y y a b --+=，即22212221y y b x x a -=--，2234b a ∴-=-，22234a c a -∴=，12c a ∴=，故选A.【名师点睛】（1）该题来自椭圆的一个小结论：若椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，,A B是该椭圆上关于原点对称的两点，P 为椭圆上异于,A B 的任意一点，则PA PB k k ⋅为定值，为22b a-．（2）椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．6．已知椭圆22:195x y E +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一个动点，Q 为圆22:108400M x y x y +--+=上一个动点，则1PF PQ +的最大值为 A ．12 B 1+ C ．11D ．18【试题来源】江苏省苏州市常熟市2020-2021学年高三上学期阶段性抽测二 【答案】A【解析】由题意得12(2,0),(2,0)F F -，根据椭圆的定义可得1226PF PF a +==，所以126PF PF =-，又圆22:108400M x y x y +--+=，变形可得22(5)(4)1x y -+-=，即圆心(5,4)M ，半径1r =，所求1PF PQ +的最大值，即求1PF PM r ++的最大值，126PF PM PF PM +=-+，如图所示：当2,,P F M 共线时，2PM PF -有最大值，且为25F M ==， 所以126PF PM PF PM +=-+的最大值为5611+=，所以1PF PQ +的最大值，即1PF PM r ++的最大值为11+1=12，故选A7．已知A ､B 分别为椭圆C ：2214x y +=的左､右顶点，P 为椭圆C 上一动点，PA ，PB与直线3x =交于M ，N 两点，PMN 与PAB △的外接圆的周长分别为1L ，2L ，则12L L 的最小值为 ABCD ．14【试题来源】湖南省长郡中学、湖南师大附中、长沙市一中联合体2020-2021学年高三上学期12月联考【答案】A【解析】由已知得(2,0)A -、(2,0)B ，设椭圆C 上动点(,)P x y ， 则利用两点连线的斜率公式可知02-=+PA y k x ，02-=-PA y k x ， ()()22222100142222444---∴⋅=⋅====-+-+---PA PBx y y y y k k x x x x x x 设直线PA 方程为()2y k x =+，则直线PB 方程为()124y x k=--，根据对称性设0k >， 令3x =得5M y k =，14N y k =-，即()3,5M k ，13,4-⎛⎫ ⎪⎝⎭k N ，则154MN k k =+ 设PMN 与PAB △的外接圆的半径分别为1r ，2r ， 由正弦定理得1sin 2N P r M M N =∠，22sin ABr APB=∠，又180∠+∠=︒MPN APB ，sin sin ∴∠=∠MPN APB111222152424+∴====≥=k L r r MNk L r r ABππ，当且仅当154=k k ，即=k 等号成立，即12L LA 8．若点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，则点M 的轨迹是 A ．椭圆B ．直线C ．线段D ．线段的中垂线．【试题来源】四川省绵阳市绵阳南山中学2020-2021学年高三上学期11月月考（文） 【答案】C【分析】根据M 到12,F F 的距离之和正好等于12F F ，可得M 的轨迹．【解析】()10,1-F ，()20,1F ，122F F ∴=，因为点M 到两定点()10,1-F ，()20,1F 的距离之和为2，M ∴的轨迹是线段12F F ，故选C ．9．已知椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，则椭圆C 的标准方程为 A ．22154x y +=B ．2212516x y +=C ．2211625x y +=D ．221259x y +=【试题来源】西藏日喀则市拉孜县中学2021届高三上学期第二次月考（理） 【答案】B【分析】由所给的椭圆上的点为顶点，即可求出椭圆的方程．【解析】因为椭圆C 经过点()()5004A B -，，，，所以5,4a b ==，且焦点在x 轴上， 所以椭圆的方程为2212516x y +=，故选B. 10．关于x ，y 的方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆的一个充分不必要条件为A ．12a >B ．1a >C ．12a >且1a ≠D ．12a >或0a < 【试题来源】百师联盟2021届一轮复习（二） 全国卷III 理数试题 【答案】B【分析】根据椭圆的方程可得021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，求出a 的取值，再根据充分条件、必要条件的定义即可求解．【解析】若方程()22211ax a y +-=表示的曲线为椭圆，则有021021a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，所以12a >且1a ≠，故选项A 和D 非充分条件，选项C 为充要条件，选项B 为充分不必要条件，故选B ．11．已知实数1,,9m 成等比数列，则椭圆221x y m+=的离心率为AB ．2 C或2D．2【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理） 【答案】A【分析】由1，m ，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=﹣3时，圆锥曲线是双曲线，(舍）由此即可求出离心率．【解析】因为1，m ，9构成一个等比数列，所以m 2=1×9，则m=±3．当m=3时，圆锥曲线2xm +y 2=13；当m=﹣3时，圆锥曲线2x m +y 2=1是双曲线，故舍去，则离心率为3．故选A ． 12．椭圆()2222101x y m m m+=>+的焦点为1F 、2F ，上顶点为A ，若123F AF π∠=，则m =A ．1 BCD ．2【试题来源】2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学 【答案】C【解析】在椭圆()2222101x y m m m+=>+中，a ，b m =，1c ==，如下图所示：因为椭圆()2222101x y m m m +=>+的上顶点为点A ，焦点为1F 、2F ，所以12AF AF a ==，123F AF π∠=，12F AF ∴△为等边三角形，则112AF F F =22a c ===，因此，m ．故选C ．13．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为ABC．2D．2【试题来源】江西省吉安市2021届高三大联考数学（理）（3-2）试题 【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，所以直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， 因为124AF F π∠=，所以14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， 所以2224a c c -=，即225a c =，所以2155e e =⇒=，故选A. 14．已知ABCDEF 为正六边形，若A 、D 为椭圆W 的焦点，且B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则椭圆W 的离心率为 A1B1 C．12D．12【试题来源】湖南省株洲市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量统一检测 【答案】A【分析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，则1c OA ==，由21AF FD a +==可得a ，从而可得椭圆的离心率．【解析】设正六边形ABCDEF 的边长为1，如图由A 、D 为椭圆W 的焦点，则在椭圆中，1c OA ==，由B 、C 、E 、F 都在椭圆W 上，则在直角三角形ADF中，DF ===由椭圆的定义可得21AF FD a +==+a =，所以12c e a ===，故选A.15．椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F 、2F ，过椭圆上的点M 作向量MN使得12MN F F =，且12 F F N 为正三角形，则该椭圆的离心率为 A．2B．12CD【试题来源】2021届高三湘豫名校联考（2020年11月）（文） 【答案】D【分析】根据12 F F N 为正三角形得到点N 必在x 轴上，即可求出ON ，再根据12MN F F =，即可求出M 点的坐标，代入椭圆方程，根据离心率的公式即可求出离心率．【解析】12F F N 为正三角形，∴点N 必在x 轴上，且1260NF F ∠=︒，1tan60ON OF ∴=︒⋅=，又12MN F F =，),2Mc ∴，又点M在椭圆上，)2222(2)1c ab ∴+=，化简得424810e e -+=，解得2e ==，又01e <<，e ∴=．故选D ． 16．已知曲线Γ：22123x y λλ+=-，则以下判断错误的是A ．0λ<或3λ>时，曲线Γ一定表示双曲线B ．03λ<<时，曲线Γ一定表示椭圆C ．当3λ=-时，曲线Γ表示等轴双曲线D ．曲线Γ不能表示抛物线【试题来源】云南省西南名校联盟2021届高三12月高考适应性月考卷（理） 【答案】B【解析】对Γ：22123x y λλ+=-，当2(3)0λλ-<，即0λ<或3λ>时，曲线Γ表示双曲线，当3λ=-时，Γ：22166y x -=表示等轴双曲线，因为无论λ取何值，曲线方程均只含2x ，2y 项与常数项，因此A ，C ，D 正确；当1λ=时，Γ：222x y +=表示圆，B 错误．选B ．17．已知点P 是椭圆C ：22110064x y +=上一点，M ，N 分别是圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=上的点，那么PM PN +的最小值为A ．15B ．16C ．17D ．18【试题来源】安徽省六安市第一中学2020-2021学年高三上学期第四次月考（理） 【答案】D【解析】如图，椭圆C ：22110064x y +=的108a b ==，，所以6c =，故圆()2261x y -+=和圆()2261x y ++=的圆心为椭圆的两个焦点，则当M ，N 为如图所示位置时，PM PN +最小， 值为12122218PF PF MF MF a +--=-=，故选D ．18．椭圆C ：2221(0)3x y a a +=>的焦点在x 轴上，其离心率为12，则A ．椭圆CB ．椭圆C 的长轴长为4 C ．椭圆C 的焦距为4D ．4a =【试题来源】辽宁省葫芦岛市协作校2020-2021学年高三12月联考 【答案】B【分析】由离心率可求出2a =，结合椭圆的性质可求出椭圆的短轴长，长轴长，焦距．【解析】由椭圆的性质可知，椭圆C 的短轴长为12e ==，则24a =，即2a =，2231c a =-=，所以椭圆C 的长轴长24a =，椭圆C 的焦距22c =，故选B ．19．已知1F ，2F 是椭圆2212516x y +=的左、右焦点，P 是椭圆上任意一点，过1F 引12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为Q ，则Q 与短轴端点的最近距离为 A ．1 B ．2 C ．4D ．5【试题来源】河南省洛阳市2021届高三上学期第一次统一考试（文） 【答案】A【分析】根据角平分线的性质和椭圆的定义可得OQ 是12F F M △的中位线， ||5OQ a ==，可得Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，由此可得选项．【解析】因为P 是焦点为1F ，2F 的椭圆2212516x y +=上的一点，PQ 为12F PF ∠的外角平分线，1QF PQ ⊥，设1F Q 的延长线交2F P 的延长线于点M ，所以1||||PM PF =，12212210,PF PF a MF PF PF +==∴=+，所以由题意得OQ 是12F F M △的中位线，所以||5OQ a ==，所以Q 点的轨迹是以O 为圆心，以5为半径的圆，所以当点Q 与y 轴重合时， Q 与短轴端点取最近距离54 1.d =-=故选A ．20．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABCBCF S S=，则椭圆的离心率为A BC ．3D ．10【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第三次双基检测（理） 【答案】A【解析】设椭圆的左、右焦点分别为()1,0F c -，()2,0F c ，由x c =-，代入椭圆方程得2by a =±，设2,b A c a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(),C x y ，由23ABCBCF SS=，可得222AF F C =，即22,2(,)b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即222c x c =-，22b y a -=，所以2x c =，22b y a =-，代入椭圆得，2222414c b a a+=，由222b a c =-得2153e =，解得e =，由01e <<，所以e =．故选A ．21．已知抛物线()220y px p =>的准线与椭圆22194x y +=相交的弦长为p =A ．1B ．2C ．3D ．4【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七） 【答案】C【解析】抛物线的准线方程为2px =-，设其与椭圆相交于A ，B两点，AB = 不妨设0A y >，根据对称知A y =32A x =-或32A x =（舍去），3p =，故选C ．22．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，则椭圆C 的离心率为 A ．12B．2C ．13D．3【试题来源】天津市第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考 【答案】D【分析】利用椭圆方程，求出焦点坐标，通过三角形是等边三角形求解椭圆的离心率即可．【解析】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点为1F ，2F ，过2F 垂直于x 轴的直线交C 于A ，B 两点，若1AF B △为等边三角形，可得222b c a=，所以：)222ac a c =-，即220e +=， 因为()01e ∈，，解得3e =，故选D ． 23．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||||QF PF ≥ A．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B．2]C．12⎛⎤ ⎥⎝⎦D．1]【试题来源】江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学2020-2021学年高三上学期11月教学调研 【答案】C【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PF QF 为矩形，设12,PF n PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m=+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可 【解析】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <， 因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QFPF；由113QF PF ≥1mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①；平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()222223a c c a c -<≤-，所以，()22211e e e-<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤，故选C. 24．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，点A 是椭圆短轴的一个顶点，且123cos 4F AF ∠=，则椭圆的离心率e = A ．12B．2 C ．14D．4【试题来源】江苏省泰州市姜堰中学、南通市如东中学、宿迁市沭阳如东中学2020-2021学年高三上学期联考 【答案】D【分析】依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得22142a c =，再根据离心率公式计算即可．【解析】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2(0)c c >，则椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点1F 的坐标为()0c -，，右焦点2F 的坐标为()0c ，， 依题意，不妨设点A 的坐标为()0b ，，在12F AF 中，由余弦定理得 22212121212||||2cos F F AF AF AF AF F AF ∠=+-⋅⋅，123cos 4F AF ∠=，22223142242c a a a ∴=-⨯=，22218c e a ∴==，解得4e =．故选D ． 25．已知A ､B 为椭圆的左、右顶点，F 为左焦点，点P 为椭圆上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线与线段PF 交于M 点，与y 轴交于E 点，若直线BM 经过OE 中点，则椭圆的离心率为A ．12BC ．13D 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市道里区第三中学校2020-2021学年高三上学期期末 【答案】C【分析】根据已知条件求出,,B H M 三点坐标，再由三点共线可得斜率相等，从而得出3a c =可得答案．【解析】由题意可设(,0),(,0),(,0)F c A a B a --，设直线AE 的方程（由题知斜率存在）为()y k x a =+，令x c =-，可得(),()M c k a c --，令0x =，可得(0,)E ka ，设OE 的中点为H ，可得0,2ka H ⎛⎫⎪⎝⎭，由,,B H M 三点共线，可得BH BM k k =，即()2kak a c a c a-=---，即为3a c =，可得13c e a ==，故选C ．26．已知命题p ：22x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，命题q：22162x y m m +=-+表示椭圆，若命题“p q ∧”为真命题，则实数m 的取值范围是 A ．26m -<< B ．06m <<C ．06m <<且2m ≠D ．26m -<<且2m ≠【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【解析】对于命题2:2p x my =表示焦点在y 轴的正半轴上的抛物线，所以0m >，对于命题22:162x yq m m +=-+表示椭圆，所以602062m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩，解得26m -<<且2m ≠， 因为命题“p q ∧”为真命题，所以命题p 和命题q 均为真命题， 所以实数m 的取值范围是06m <<且2m ≠．故选C ．27．已知()11,0F -，21,0F ，M 是第一象限内的点，且满足124MF MF +=，若I 是12MF F △的内心，G 是12MF F △的重心，记12IF F △与1GF M △的面积分别为1S ，2S ，则A ．12S S >B ．12S SC ．12S S <D ．1S 与2S 大小不确定【试题来源】浙江省十校联盟2020-2021学年高三上学期10月联考 【答案】B【分析】作出图示，根据,I G 的特点分别表示出1S ，2S ，即可判断出12,S S 的大小关系．【解析】因为121242MF MF F F +=>=，所以M 的轨迹是椭圆22143x y +=在第一象限内的部分，如图所示：因为I 是12MF F △的内心，设内切圆的半径为r ，所以()12121222MMFMF F F rF F y ++⋅⋅=，所以3M y r =，所以12121223I MF F y F F r y S ⋅⋅===，因为G 是12MF F △的重心，所以:1:2OG GM =， 所以12112221133323M M MOF F OF F F yy S S S ⋅===⋅=，所以12S S ，故选B ． 28．已知1F 、2F 为椭圆和双曲线的公共焦点，P 为其一个公共点，且123F PF π∠=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A ．BCD ．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP367】【数学】 【答案】C【解析】设椭圆的长半轴长为1a ，双曲线的实半轴长为2a 12()a a >，半焦距为c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为1e 和2e ，11||PF r =，22||PF r =， 由椭圆和双曲线的定义可知，1212r r a +=，1222r r a -=±， 因为123F PF π∠=，由余弦定理得222121242cos3c r r r r π=+-221212r r r r =+-，所以22212121124()343c r r r r a r r =+-=-，且22212122124()4c r r r r a r r =-+=+，所以222212443(44)a c c a -=-，即2221234a a c +=，则2221314e e +=，由柯西不等式得22212121131(1)()(13e e e e ++≥⨯+，所以12113e e +≤=，当且仅当13e =，2e =时，等号成立．故选C 29．如图，设1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若124PF QF =，则直线2PF 的斜率为A ．2-B ．1-C ．12-D ．1【试题来源】浙江省宁波十校2020-2021学年高三上学期期中联考 【答案】A【解析】如下图，连接11,PF QF ，设()20QF x x =>，则14PF x =，因为122PF PF a +=，122QF QF a +=，所以224PF a x =-，12QF a x =-，在△1PF Q 中，1290F PF ︒∠=，所以22211+=PF PQ QF ，即()()()2224242x a x x a x +-+=-，整理得3a x =， 所以121244tan 22464PF x xPF F PF a x x x∠====--，所以直线2PF 的斜率为()21tan 1802k PF F ︒=-∠=-．故选A ．30．已知P 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的点，1F ，2F 分别是C 的左，右焦点，O是坐标原点，若212OP OF OF +=且1260F PF ∠=︒，则椭圆的离心率为 A ．12BCD 【试题来源】福建省莆田第一中学2021届高三上学期期中考试 【答案】A【解析】如图所示，设M 是2PF 中点，则22OP OF OM +=，1||2||PF OM =， 因为212OP OF OF +=，所以1||||OM OF =，所以112||||2PF F F c ==，因为1260F PF ∠=︒，所以1122||||||2PF F F PF c ===．由椭圆的定义得12||||2PF PF a +=， 所以11222,,22c c c a e a +=∴=∴=．故选A 二、多选题1．已知椭圆()2222:10x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆M 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四点，且从1F ，2F ，A ，B ，C ，D 这六点中，可以找到三点构成一个直角三角形，则椭圆M 的离心率的可能取值为A ．3 B ．2 C ．512- D ．312- 【试题来源】湘鄂部分重点学校2020-2021学年高三上学期11月联考（理） 【答案】BC【分析】结合椭圆的对称性，只需要考虑三种情况，即以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点；以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点或以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点，分别根据图形列出关于以a 、b 、c 的齐次式，化简求离心率．【解析】①如图，若以D 、C ，2F 作为三角形的三个顶点，则2DC CF ⊥， 由勾股定理可得，()()2222a ba a c ++=+，由222b ac =-，可得220c ac a +-=，即210e e +-=，因为01e <<，解得512e =；②如图，若以C 、1F 、2F 作为三角形的三个顶点， 则12CF CF ⊥，故245OCF ∠=︒，则2c e a ==；③如图，若以C 、A 、2F 作为三角形的三个顶点， 则22CF AF ⊥，245CF O ∠=︒，则22c e a ==；故选BC ．2．已知F 是椭圆2212516x y +=的右焦点，M 为左焦点，P 为椭圆上的动点，且椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，则A ．FPM 的面积最大时，24tan 7FPM ∠= B ．1FP 的最大值为8 C ．d 的值可以为310D ．椭圆上存在点P ，使2FPM π∠=【试题来源】湖北省十一校考试联盟2020-2021学年高三上学期12月联考 【答案】ABC【解析】由椭圆2212516x y +=，当点P 为短轴顶点时，FPM ∠最大，FPM 的面积最大，此时24tan 7FPM ∠=，此时角为锐角，故A 正确、D 错误； 椭圆上的动点P ，1a c PF a c -≤≤+，即有128PF ≤≤，又椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =，1FP ，2FP ，3FP ，…组成公差为d 的等差数列，所以1FP 最大值8，B 正确；设1FP ，2FP ，3FP ，…组成的等差数列为{}n a ，公差0d >，则12a ≥，8n a ≤，又11n a a d n -=-，所以663121110d n ≤≤=--，所以3010d <≤，所以d 的最大值是310，故C 正确．故选ABC【名师点睛】由椭圆性质知在椭圆上的点中，与焦点构成的三角形面积、以该点为顶点的角最大时，点在短轴端点上；且2||8FP ≤≤，进而可得d 的范围．3．椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，1F ，2F 分别为左、右焦点，1A ，2A 分别为左、右顶点，P 为椭圆上的动点，且12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥恒成立，则椭圆C 的离心率可能为A ．12BC D ．2【试题来源】云南省楚雄州2021届高三上学期期中教学质量检测（理） 【答案】AC【解析】设()00,P x y ，1(,0)F c -，2(,0)F c ，则()100,PF c x y =---，()200,PF c x y =--， ()100,PA a x y =---，()200,PA a x y =--．因为22221212022PF PF PA PA x y a c ⋅+⋅=+--2222220222b x b x a c a ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭222222022330c x a c a c a =+-≥-≥恒成立，所以离心率3c e a =≤．故选AC 【名师点睛】此题考查椭圆的几何性质的应用，考查的离心率的求法，解题的关键是由12120PF PF PA PA ⋅+⋅≥转化为坐标的关系，进而可得到,a c 的关系，考查计算能力，属于中档题4．设椭圆22193x y +=的右焦点为F ，直线(0y m m =<<与椭圆交于A ， B 两点，则下述结论正确的是 A ．AF +BF 为定值 B ．△ABF 的周长的取值范围是[6，12]C ．当m =时，△ABF 为直角三角形D ．当m =1时，△ABF【试题来源】海南省2020届高三高考数学五模试题 【答案】AD【解析】设椭圆的左焦点为F '，则AF BF '= 所以=6AF BF AF AF '+=+为定值，A 正确；ABF 的周长为AB AF BF ++，因为AF BF +为定值6，所以AB 的范围是()0,6， 所以ABF 的周长的范围是()6,12，B 错误；将y =(A ，B，因为)F，所以(?60BA BF ⋅=-=-<，所以ABF 不是直角三角形，C 不正确；将1y =与椭圆方程联立，解得()A -，)B ，所以112ABFS=⨯=D 正确．故选AD. 5．已知椭圆22:163x y C +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，直线(0)y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是A ．四边形12AF BF 为平行四边形B ．1290F PF ︒∠<C ．直线BE 的斜率为12k D ．90PAB ︒∠>【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二） 【答案】ABC 【解析】A 选项：根据对称性，如上图有2112,,OA OB BOF AOF OF OF =∠=∠=，所以21BOF AOF ≅，即12OAF OBF ∠=∠，则12//AF BF ，12AF BF =，所以四边形12AF BF 为平行四边形；A 正确．B 选项：由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅⋅∠，12F F =，12,PF x PF x ==，由直线(0)y kx k =≠中k 存在故x ≠所以212cos F PF ∠=，令t x <=，则x t =+，所以212226cos 166t F PF t t∠==---，203t ≤<， 120cos 1F PF ≤∠<，即1290F PF ∠<︒；B 正确．C 选项：若(,)A m km ，则(,)B m km --，(m,0)E ，所以直线BE 的斜率为22km km =；C 正确．D 选项：由上可设:()2k PB y x m =-，联立椭圆方程22:163x y C +=，整理得22222(2)2120k x mk x m k +-+-=，若(,)p p P x y ，则2222p mkx m k -=+，即2222p mk x m k =++，322p mk y k =+，所以直线PA 的斜率为32221222mk km k mk k k -+=-+，故AB AP ⊥，即90PAB ∠=︒，故D 错误．故选ABC ． 三、填空题1．点P 是椭圆22:1167x y C +=上的一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，且12PF F △的内切圆半径为1．当点P 在第一象限时，它的纵坐标为__________．【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高三第五次复习检测（理） 【答案】73【分析】椭圆的焦点三角形问题，充分利用椭圆的定义，从两个角度表示出12PF F S ，建立关于p y 的关系式求解．【解析】因为128PF PF +=，126F F =，所以()1212121172PF F S PF PF F F =++⨯=；因为12121372PF F p p SF F y y =⋅==，所以73p y =．故答案为73【名师点睛】椭圆上一点与两焦点构成的三角形，称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、|PF 1|＋|PF 2|＝2a 等．2．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________．【试题来源】上海市奉贤区2021届高三上学期一模 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF =.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过左焦点F 1的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AF 1|＝3|BF 1|，|AB |＝|BF 2|，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】广西北海市北海中学2021届高三12月考试（理）【答案】5【解析】设1BF k =，则13AF k =，24BF k =，由12122BF BF AF AF a +=+=， 得25a k =，22AF k =，在2ABF 中，21cos 4BAF ∠=， 又在12F AF 中，22212(3)(2)(2)1cos 2324k k c F AF k k +-∠==⨯⨯，得2c =故离心率5c e a ==．故答案为54．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点F 为左焦点，点P 为下顶点，平行于FP 的直线l交椭圆于A B ，两点，且A B ，的中点为112M ⎛⎫⎪⎝⎭，，则椭圆的离心率为__________． 【试题来源】吉林省梅河口市第五中学2021届高三上学期第三次月考（文）【答案】2【解析】由题意知(),0F c -，()0,P b -，所以直线FP 的斜率为00()b bc c--=---，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，①-②得2222121222x x y y a b --=-，即()()()()1112221222x x y y y y a x x b =-+--+， 因为112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以122x x +=，121y y +=，所以()()2112222x y y a b x =---，所以2122122ABy y b k x x a-==--， 因为//AB FE ，所以222b b c a-=-，即22a bc =，所以222b c bc +=，所以b c =，所以22222a b c c =+=，所以c e a ==【名师点睛】本题的关键点是利用点差法设设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减得2222121222x x y y a b --=-，112M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，是A B ，的中点，所以 122x x +=，121y y +=，可得2122122ABy y b k x x a-==--，再计算00()FP b b k c c --==---， 利用AB FP k k =结合222a b c =+即可求离心率．5．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为__________．【试题来源】北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期数学统练5试题【解析】如下图所示，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，设过椭圆右焦点2F 且垂直于长轴的弦为AB ，则2AB c =，212AF AB c ==，由勾股定理可得1AF ==，由椭圆的定义可得122AF AF a +=2c a +=，所以，该椭圆的离心率为21cea====．6．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>，左焦点(,0)F c-，右顶点(,0)A a，上顶点(0,)B b，满足0FB AB=，则椭圆的离心率为__________．【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三期中（文）【解析】由0FB AB=可得，()(),,0c b a b⋅-=，即222ac b a c==-，则210e e+-=，解得e=（舍）7．已知椭圆1C：()222210x ya ba b+=>>和双曲线2C：22221(0,0)x ym nm n-=>>的焦点相同，1F，2F分别为左､右焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，PM x⊥轴，M为垂足，若223OM OF=(O为坐标原点)，则椭圆和双曲线的离心率之积为__________．【试题来源】浙江省台州市六校2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】32【分析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，根据223OM OF=，得到P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，分别利用椭圆和双曲线的定义求得,s t，然后再利用椭圆和双曲线的第二定义求解．【解析】设椭圆和双曲线的半焦距为c，所以22233OM OF c==，即P的横坐标为23c，设12,PF s PF t==，由椭圆的定义得2s t a+=，由双曲线的定义得2s t m-=，联立解得,s a m t a m=+=-，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e，由椭圆的第二定义得22223pPF t ca a ax cc c==--，解得123t a e c=-，由双曲线的第二定义得22223p PF t cm m m x c c c==--，解得223t e c m =-，又t a m =-，则223a e c =，1232e e =，所以12232c e e e a ==，故答案为328．已知F 为椭圆22:143x y C +=的左焦点，定点()3,3A --，点P 为椭圆C 上的一个动点，则PA PF +的最大值为__________．【试题来源】湖南省长沙市广益实验中学2020-2021学年高三上学期第一次新高考适应性考试 【答案】9【分析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，再利用数形结合分析求解． 【解析】设椭圆的右焦点为1(1,0)F ，111=||24||4||49PA PF PA a PF PA PF AF ++-=+-≤+==．【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题常用的解题方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法．要根据已知条件，灵活选择方法求解．9．椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>，以原点为圆心，半径为椭圆C 的半焦距的圆恰与椭圆四个项点围成的四边形的四边都相切，则椭圆C 的离心率为__________． 【试题来源】江苏省镇江市2020-2021学年高三上学期期中【分析】由题意画出图形，利用等面积法可得关于a ，b ，c 的等式，结合隐含条件即可求得椭圆的离心率．【解析】如图所示，过点O 作22OM A B ⊥，则290OMA ∠=︒，由题意可得，22221122OB OA A B OM ⋅=⋅，即a b c ⋅=，又由222a b c =+可得，()()2222222a a c a a c c -=+-，整理可得442230a c a c +-=，因为c e a =，所以42310e e -+=，解得2e =，因为01e <<，所以12e =．故答案为12． 10．如图，过原点O 的直线AB 交椭圆C ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）于A ，B 两点，过点A分别作x 轴、AB 的垂线AP ，AQ 分别交椭圆C 于点P ，Q ，连接BQ 交AP 于一点M ，若34AM AP =，则椭圆C 的离心率是__________．【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）【分析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，根据已知条件得B 、P 、M 的坐标，AB AQ ⊥、B ，M ，Q 三点共线，211211y y x x x y -=--以及1212y y x x +=+114y x ，由A ，Q 在椭圆上有2221222212y y b x x a-=--，联立所得方程即可求离心率．【解析】设11(,)A x y ，22(,)Q x y ，则11(,)B x y --，11(,)P x y -，11,2y M x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由AB AQ ⊥，则1212111212111y y y y y xx x x x x y --=-⇒=--- ①， 由B ，M ，Q 三点共线，则BQ BM k k =，即1212y y x x +=+114yx ②．因为2211221x y a b +=，2222221x y a b +=，即22221212220x x y y a b--+=，2221222212y y b x x a -=--③， 将①②代入③得2214b e a =⇒=．11．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左焦点为F ，经过原点O 的直线l 与椭圆E 交于P，Q 两点，若||3||PF QF =，且120PFQ ∠=，则椭圆E 的离心率为__________．【试题来源】四川省眉山市仁寿第二中学2020-2021学年高三上学期第四次诊断（理） 【答案】4【解析】取椭圆的右焦点F '，连接QF '，PF '，由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形，则PF QF '=，180********FPF PFQ ∠='=-∠-=，||3||PF QF =3||PF '=，而||||2PF PF a '+=，所以2a PF '=，所以32a PF =， 在PFF '中，2222222914||||58144cos 32332222a a c PF PF FF FPF e a PF PF a +-+-∠===-''''=⨯⨯，解得4e =，故答案为4． 【名师点睛】本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到关于,,a b c 的等量关系．本题中，由椭圆的对称性以及椭圆的定义得到2a PF '=，所以32aPF =，然后在PFF '中，根据余弦定理得到所要求的等量关系．考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．12．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左､右焦点分别为12,F F ，椭圆上的点M 满足：1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，则b =__________．【试题来源】河北省保定市2021届高三上学期10月摸底考试 【答案】1【分析】先根据数量积运算得124MF MF =，再结合椭圆的定义与余弦定理即可得1b =． 【解析】因为1223F MF π∠=且122MF MF →→⋅=-，所以124MF MF =， 由椭圆的定义得122MF MF a +=，故222121224MF MF MF MF a++= 所以在12F MF △中，由余弦定理得1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠，代入数据得222144848288a cb ----==，解得1b =．故答案为1． 【名师点睛】解题的关键在于应用定义122MF MF a +=与余弦定理1222212124cos 2MF M F M F c M F F MF =+-∠列方程求解得1b =．13．已知椭圆的方程为222116x y m+=，焦点在x 轴上，m 的取值范围是__________．【试题来源】江西省贵溪市实验中学2021届高三上学期第二次月考数学（三校生）试题。
浙江高三高中数学月考试卷带答案解析
浙江高三高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数的共轭复数是（▲ ）A．B．C．D．2.设全集则右图中阴影部分表示的集合（▲ ）A．B．C．{x|x＞0}D．3.下列命题中的假命题是（▲）A．B．C．D．[4.右边是一个算法的程序框图，当输入的x值为3时，输出y的结果恰好是，则？处的关系是（▲）A．B．C．D．5.从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是（▲）A．B．C．D．6.若的三个内角A、B、C满足,则（▲）A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形7.已知O是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点，则的最大值是（▲）A．-1B．C．0D．18.已知函数是偶函数，内单调递减，则实数m="（" ▲ ）A．2B．C．D．09.设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使得成立（其中为常数），则称函数在上的均值为，现在给出下列4个函数：①②③④，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的（▲）A．①②B．③④C．①③④D．①③10.已知函数，则关于的方程，有5个不同实数解的充要条件是( ▲ )A．且B．且C．且D．且二、填空题1.已知函数，则__▲__;2.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第6,7,8层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用表示5位乘客在第8层下电梯的人数，则随机变量的期望 ___▲___.3..若的展开式中的系数的6倍，则______▲_______;4.观察下列式子：,…,根据以上式子可以猜想：____▲_____;5.如下图，函数,x∈R,(其中0≤≤)的图像与y轴交于点（0，1）.设P是图像上的最高点，M、N是图像与x轴的交点，则与的夹角的余弦值为▲．6.给出下列命题：①是幂函数②函数的零点有1个③的解集为④“＜1”是“＜2”的充分不必要条件⑤函数在点O（0，0）处切线是轴其中真命题的序号是▲（写出所有正确命题的编号）7.定义在上的函数满足（1）对都有；（2）对都有.若，，，则、、的大小关系为______▲_____（用“”连接）三、解答题1.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若cosB=，b=2，的面积S。
2020-2021学年浙江省杭州某校高三(上)月考数学试卷(10月份)(有答案)
2020-2021学年浙江省杭州某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题1. 已知集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{x|−1<x<2}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{x|−1≤x≤2}C.{−1, 0, 1, 2}D.{−1, 2}2. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是(−2, 1)，则i⋅z＝（）A.1+2iB.−2+iC.1−2iD.−1−2i3. 若变量x，y满足约束条件，则z＝2x+3y的最大值为（）A.17B.13C.5D.1+ln|x|的图象大致为（）4. 函数f(x)=1xA. B.C. D.5. 若tanα＝−2，则sin(α−π)⋅cos(π+α)＝（）A. B. C. D.-6. 已知实数x>0，y>0，则“xy<1”是“”“的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 将函数f(x)=sin(x−π3)的图象横坐标变成原来的12（纵坐标不变），并向左平移π3个单位，所得函数记为g(x)．若x1,x2∈(0,π2),x1≠x2，且g(x1)＝g(x2)，则g(x1+x2)＝（）A.−12B.−√32C.0D.√328. 如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知CD＝（）km，∠ADB ＝∠CDB＝30∘，∠DCA＝45∘，∠ACB＝60∘，则A、B两个中继站的距离是（）A.kmB.kmC.kmD.km9. 设双曲线Ω:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，Ω上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在Ω的右支上），使得|PQ|+2|PF2|=2|PF1|，O为坐标原点，且△POQ为正三角形，则的离心率为（）A.√62B.√52C.√6D.√510. 已知a，b∈R，数列{a n}中，a1＝a，a n+1＝a−4a n+b，n∈N∗，则下列不正确的是（）A.当b>，∀a∈R时，数列{a n}为递增数列B.当b＝4，a>4时，数列{a n}为递增数列C.当b＝0，a＝5时，数列{a n}为常数列D.当b＝0，a＝时，数列{a n}为递减数列二、填空题双曲线x2−＝k的一个焦点为(0, −3)，则k的值为________，渐近线方程为________＝±2________．若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是40cm3，表面积是32+16cm2．随机变量X的分布列如表：P a b c其中a，b，c成等差数列，则P(|x|＝1)＝________；若a＝，则方差D(X)＝________．二项展开式(1+x)(1+2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，则a4＝________，a1+a3+a5＝________．如图，已知△ABC是边长为2的正三角形，动点P在以BC为直径的半圆上，若，则2λ+μ的最小值为________．若存在两个正实数x，y使等式x+m(y−x)(ln y−ln x)＝0成立，（其中e＝2.71828…），则实数m的取值范围是________．一副三角板由一块有一个内角为60∘的直角三角形和一块等腰直角三角形组成，如图所示，∠B＝∠F＝90∘，∠A＝60∘，∠D＝45∘，BC＝DE，现将两块三角形板拼接在一起，得三棱锥F−CAB，取BC中点O与AC中点M，则下列判断中正确的是________（填正确判断的序号）．①直线BC⊥面OFM；②AC与面OFM所成的角为定值；③设面ABF∩面MOF＝l，则有l // AB；④三棱锥F−COM的体积为定值．三、解答题已知函数f(x)＝2√3sin x cos x+2cos2x−1，x∈(0, π)．△ABC中，角A，B，C所对a2．的边分别为a，b，c，△ABC的面积为2√35(Ⅰ)求函数f(x)的单调递减区间；(Ⅱ)若f(C)＝1，求b的值．c如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（1）证明：PB // 平面AEC；（2）设PA＝1，∠ABC＝60∘，三棱锥E−ACD的体积为，求锐二面角D−AE−C的余弦值．已知数列{a n}是正数等差数列，其中a1＝1，且a2、a4、a6+2成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，满足2S n+b n＝1．(Ⅰ)求数列{a n}、{b n}的通项公式；(Ⅱ)如果c n＝a n b n，设数列{c n}的前n项和为T n，是否存在正整数n，使得T n>S n成立，若存在，求出n的最小值，若不存在，说明理由．已知F(1, 0)，点P在第一象限，以PF为直径的圆与y轴相切，动点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）若曲线C在点P处的切线的斜率为k1，直线PF的斜率为k2，求满足k1+k2＝3的点P的个数．已知函数f(x)＝ae2x−(a+2)e x+x．（1）若a>0，求f(x)的单调递增区间；（2）若存在正实数x0，使得f(x0)＝−e，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年浙江省杭州某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题1.【答案】A【考点】交集及其运算【解析】利用交集定义直接求解．【解答】∵集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{x|−1<x<2}，∴A∩B＝{0, 1}．2.【答案】D【考点】复数的运算【解析】由复数z对应的点的坐标是(−2, 1)，根据复数的几何意义得z＝−2+i，再利用复数的运算法则能求出i⋅z．【解答】∵复数z对应的点的坐标是(−2, 1)，∴z＝−2+i，∴i⋅z＝i(−2+i)＝−2i+i6＝−1−2i．3.【答案】∵ z＝2x+3y，即【考点】简单线性规划【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】由约束条件作出可行域如图所示：∵z＝2x+3y，即，可知，画出直线2x+3y＝2，并进行平移，z取得最大值，联立，解得A(1，故z max＝2×3+3×5＝17，故选：A．4.【答案】B【考点】函数图象的作法【解析】当x<0时，函数f(x)=1x+ln(−x)，由函数的单调性，排除CD；当x>0时，函数f(x)=1x+ln(x)，此时，代入特殊值验证，排除A，只有B正确，【解答】解：当x<0时，函数f(x)=1x+ln(−x)，由函数y=1x ，y=ln(−x)递减知函数f(x)=1x+ln(−x)递减，排除C,D；当x>0时，函数f(x)=1x +ln(x)，此时，f(1)=11+ln1=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，只有B正确.故选B．5.【答案】D【考点】运用诱导公式化简求值同角三角函数间的基本关系【解析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．【解答】因为tanα＝−2，则sin(α−π)⋅cos(π+α)＝(−sinα)(−cosα)＝＝＝-．6.【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】解不等式，根据充分必要条件的定义判断即可．【解答】∵实数x>0，y>0．解得0<xy<6，∴由，可推出xy<4；∵实数x>0，y>0”．故“xy<1”是“”“的充要条件．7.【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用函数y＝A sin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得x1+x2的值，可得g(x1+x2)的值．【解答】将函数f(x)=sin(x−π3)的图象横坐标变成原来的12（纵坐标不变），可得y＝sin(2x−π3)的图象；再向左平移π3个单位，所得函数记为g(x)＝sin(2x+π3)的图象．若x1,x2∈(0,π2),x1≠x2，则2x1+π3∈(π3, 4π3)，2x2+π3∈(π3, 4π3)，∵g(x1)＝g(x2)，∴2x1+π3+2x2+π32=π2，∴x1+x2=π6，则g(x1+x2)＝sin(2⋅π6+π3)＝sin2π3=√32，8.【答案】C【考点】余弦定理正弦定理【解析】由题意及图可得∠DAC＝75∘，∠DBC＝45∘，再在两个三角形中由正弦定理求出AC，BC，再由余弦定理求出AB的值．【解答】由题意可得∠DAC＝75∘，∠DBC＝45∘，在△ADC中，由正弦定理可得AC＝＝，在△BCD中，由正弦定理可得BC＝＝＝，在△ACB中，由余弦定理AB2＝AC2+BC6−2AC×BC⋅cos∠ACB＝(2）2+（+3)2−2××+3)×，所以AB＝．9.【答案】D【考点】双曲线的离心率【解析】根据双曲线的定义可得4a=|PQ|，再根据△POQ为正三角形，求出点P的坐标，代入双曲线的方程可得b2=4a2，即可得到c2=5a2，离心率即可求出．【解答】由|PQ|+2|PF2|=2|PF1|，则2(|PF1|−|PF1|)=|PQ|，∴4a=|PQ|，∵△POQ为正三角形，Ω上存在关于y轴对称的两点P，Q（P在Ω的右支上），∴|PO|=4a，∠POF2=60∘，∴P(2a, 2√3a)，∴4a2a2−12a2b2=1，∴b2=4a2，∴c2=5a2，∴e=√5，10.【答案】D【考点】数列递推式【解析】将a n+1−a n＝a−5a n+b配方，再利用作差法判断数列的单调性，即可判断选项A，将已知等式变形为a n+1−a n＝a−5a n+4＝(a n−1)(a n−4)，由此可判断选项B，将b＝0，a＝5代入a n+1＝a−4a n，求出a2＝5，以此类推即可得到a n＝5，即可判断选项C，通过递推公式求出a2，a3，a4，即可判断选项D．【解答】对于B，当b＝4时，a n+1＝a−4a n+4，则a n+7−a n＝a−5a n+7＝(a n−1)(a n−4)，若a>62−a1＝(a5−1)(a1−3)>0，则a2>a2>4，同理a n>a n−1>a n−2> ...>a2>a1，所以数列{a n}为递增数列，故选项B正确（1）对于C，当b＝2，a n+1＝a−7a n，则a2＝a−4a1＝82−4×3＝5，设a k＝5，则a k+6＝a−4a k＝52−4×2＝5，所以数列{a n}为常数列，故选项C正确（2）对于D，当b＝0，a n+8＝a−4a n，则a2＝a−2a1＝，，，所以a4>a7，故数列{a n}不是递减数列，故选项D错误．故选：D．二、填空题【答案】−1,y,x【考点】双曲线的离心率【解析】由已知可得双曲线的焦点在y轴上，且c＝3，即可求出k的值，由此即可求出双曲线的渐近线方程．【解答】由已知双曲线x2−＝k的一个焦点为(0双曲线的焦点在y轴上，所以k<0，则双曲线的标准方程为：，所以−8k−k＝c2＝5，解得k＝−1，令k＝0，解得双曲线的渐近线方程为：y＝，【答案】40，32+16．【考点】由三视图求体积【解析】由几何体的三视图知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体，画出图形结合图形求出它的体积与表面积．【解答】由该几何体的三视图，知该几何体是三棱柱与两个相同的四棱锥的组合体，如图所示；该组合体的体积为VV三棱柱DEG−CFH(2×4)×3+(4×3)×4(2×4)×3＝8+24+8＝40(cm3)；它的表面积为+2S2S梯形ABCD＝8×4+2(4+8)24＝32+16cm2．【答案】,【考点】【解析】结合分布列的性质和等差中项公式可得b＝，a+c＝，从而求得P(|x|＝1)；由a＝，可得c＝，再根据数学期望的计算公式求得E(X)，进而得方差D(X)．【解答】由分布列的性质知，a+b+c＝1，∵a，b，c成等差数列，∴3b＝5，即b＝，∴P(|x|＝1)＝P(x＝3)+P(x＝−1)＝a+c＝．若a＝，则c＝，∴数学期望E(X)＝−1×+0×＝，方差D(X)＝(−3−）7×+(3−）7×+(6−）2×＝．【答案】240,243【考点】二项式定理及相关概念【解析】二项展开式(1+x)(1+2x)5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6，可得a4＝1×+2××23；令x＝±1，可得：2×35＝a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6，0＝a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6，两式相减即可得出a1+a3+a5．【解答】二项展开式(1+x)(1+4x)5＝a0+a8x+a2x2+a4x3+a4x7+a5x5+a4x6，则a4＝5×+2×3＝240，令x＝±3，可得：2×37＝a0+a1+a8+a3+a4+a3+a6，0＝a6−a1+a2−a2+a4−a5+a2，两式相减可得：486＝2(a1+a7+a5)，解得：a1+a6+a5＝243，【答案】【考点】平面向量的基本定理建立坐标系，求出向量坐标，利用平面向量基本定理建立方程关系，利用三角函数的辅助角公式进行转化进行求解即可．【解答】设半圆的圆心为O，则以圆心O为坐标原点，AO所在直线为x，如图所示：设点P(cosθ, sinθ)，2π]，则A(0，），B(−1，C(1，则＝(cosθ），＝(−1，-），，-），∵，∴(cosθ）＝λ(−1，-，-），即cosθ＝−λ+μ，且sinθ−λ−μ，解得λ＝-sinθ−，μ＝-cosθ，则2λ+μ＝5−sinθ−cosθ+-cosθ＝-cosθ＝），∵θ∈[π, 6π]∈[，]，即当θ+＝，即当θ＝2π时-＝4，在图2中，设点P(cosθ，θ∈[0，则3λ+μ＝1−sinθ−cosθ+-cosθ＝-cosθ＝），∵θ∈[0, π]∈[，]，即当θ+＝，即当θ＝时−1＝，综上2λ+μ取得最小值为，故答案为：．【答案】(−∞, 0)【考点】函数与方程的综合运用【解析】问题可转化为有解，设且t≠1，构造函数g(t)＝(1−t)ln t，只需＝g(t)有解，即可得出答案．【解答】方程变形为，所以，设且t≠1，那么，恒成立，所以g′(t)是单调递减函数，当t＝8时，g′(1)＝0，当t∈(0, 2)时，函数单调递增，当t∈(1, +∞)，函数单调递减，所以g(t)在t＝1时，取得最大值，即，解得：m<0，故答案为：(−∞, 6)．【答案】①②③【考点】命题的真假判断与应用【解析】由三角形的中位线定理和线面垂直的判定定理可判断①，由线面角的定义可判断②，过F在平面OMF内作直线l // OM，结合平行公理可判断③，由三棱锥的体积公式可判断④．【解答】对于②，由BC⊥平面OFM，所以∠CMO＝∠CAB＝60∘，则AC与面OFM所成的角为定值60∘(1)对于③，如图所示，而OM // AB，l为平面OMF与平面ABF的交线，故选项③正确（2）对于④，在三棱锥F−COM中，由于CO为定值，而△OMF的面积不是定值，所以三棱锥F−COM的体积不是定值．故判断中正确的是①②③．故答案为：①②③．三、解答题【答案】（1）∵f(x)＝2√3sin x cos x+2cos2x−1∴f(x)=√3sin2x+cos2x＝2sin(2x+π6)，∵2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z．∴可解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z．∵x∈(0, π)，∴函数f(x)的单调递减区间是：[π6, 2π3]．（2）∵f(C)＝2sin(2C+π6)＝1，∴sin(2C+π6)=12，∴C=π3，∵由题意可得S△ABC=12ab sin C=√34ab=2√35a2，解得b=8a5，∴在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝(8a5)2+a2−85a2=49252，解得c=7a5，∴bc =87．【考点】余弦定理正弦定理【解析】(Ⅰ)利用二倍角公式，辅角公式化简函数解析式可得f(x)＝2sin(2x+π6)，利用正弦函数的单调性即可求解f(x)的单调递减区间．(Ⅱ)由题意可得sin(2C+π6)=12，结合范围C∈(0, π)，可求C=π3，利用三角形的面积公式可求b=8a5，在△ABC中，由余弦定理可得c=7a5，即可得解bc的值．【解答】（1）∵f(x)＝2√3sin x cos x+2cos2x−1∴f(x)=√3sin2x+cos2x＝2sin(2x+π6)，∵2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z．∴可解得：kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z．∵x∈(0, π)，∴函数f(x)的单调递减区间是：[π6, 2π3]．（2）∵f(C)＝2sin(2C+π6)＝1，∴sin(2C+π6)=12，又∵C∈(0, π)，∴C=π3，∵由题意可得S△ABC=12ab sin C=√34ab=2√35a2，解得b=8a5，∴在△ABC中，由余弦定理可得：c2＝(8a5)2+a2−85a2=49252，解得c=7a5，∴bc =87．【答案】证明：连接BD交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD为菱形，∴O是BD中点，∵OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB // 面AEC．V P−ABCD＝2V P−ACD＝4V E−ACD＝，设菱形ABCD的边长为a，⋅PA＝×(2××a7＝，V P−ABCD＝S菱形ABCD得a2＝4，解得a＝5，连接AM．以点A为原点，以AM方向为x轴，以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系．则D(0, 2, 8)，0，0)，6，1)，1，），C（，5，＝(0，−1，），，5，0)，设平面AEC的法向量＝(x，y，则，取x＝1，得，-，−5），平面ADE的法向量＝(1，2，设二面角D−AE−C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴锐二面角D−AE−C的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法直线与平面平行（1）连接BD交AC于点O，连接OE，推导出O是BD中点，PB // OE，由此能证明PB // 面AEC．（2）利用体积公式求出菱形的边长，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D−AE−C的余弦值．【解答】证明：连接BD交AC于点O，连接OE，∵底面ABCD为菱形，∴O是BD中点，在△PDB中，∵E为PD的中点，∵OE⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，∴PB // 面AEC．V P−ABCD＝2V P−ACD＝4V E−ACD＝，设菱形ABCD的边长为a，⋅PA＝×(2××a7＝，V P−ABCD＝S菱形ABCD得a2＝4，解得a＝5，连接AM．以点A为原点，以AM方向为x轴，以AP方向为z轴，建立如图所示坐标系．则D(0, 2, 8)，0，0)，6，1)，1，），C（，5，＝(0，−1，），，5，0)，设平面AEC的法向量＝(x，y，则，取x＝1，得，-，−5），平面ADE的法向量＝(1，2，设二面角D−AE−C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴锐二面角D−AE−C的余弦值为．【答案】 （本题满分1（1）设数列{a n }的公差为d ，∵ a 1＝1，且a 2、a 4、a 6+2成等比数列， ∴ 依条件有a 42=a 2(a 6+2)，即(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+5d +2)，解得d =−12（舍）或d ＝1，所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝1+(n −1)＝n ． 由2S n +b n ＝1，得S n =12(1−b n )， 当n ＝1时，2S 1+b 1＝1，解得b 1=13，当n ≥2时，b n =S n −S n−1=12(1−b n )−12(1−b n−1)=−12b n +12b n−1， 所以b n =13b n−1，所以数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列， 故b n =13n ．（2）由（1）知，c n =a n b n =n3n ，所以T n =1×13+2×132+3×133+⋯+n ×13n ①13T n=1×132+2×133+3×134+⋯+n ×13n+1② 得T n =34−34×13n−n 2×13n=34−2n+34×13n．又S n =13(1−13n )1−13=12−12×3n ．所以T n −S n =14−2n+14×13n ，当n ＝1时，T 1＝S 1， 当n ≥2时，14−2n+14×13n >0，所以T n >S n ，故所求的正整数n 存在，其最小值是2． 【考点】等差数列的通项公式【解析】(Ⅰ)由已知得(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+5d +2)，求出d ＝1，从而得到a n ＝n ．由2S n +b n ＝1，得S n =12(1−b n )，由此得到数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列，从而b n =13n．（2）c n =a n b n =n3n ，由此利用错位相减法求出T n −S n =14−2n+14×13n ，由此得到所求的正整数n 存在，其最小值是2． 【解答】 （本题满分1（1）设数列{a n }的公差为d ，∵ a 1＝1，且a 2、a 4、a 6+2成等比数列， ∴ 依条件有a 42=a 2(a 6+2)，即(a 1+3d)2=(a 1+d)(a 1+5d +2)，解得d =−12（舍）或d ＝1， 所以a n ＝a 1+(n −1)d ＝1+(n −1)＝n ． 由2S n +b n ＝1，得S n =12(1−b n )， 当n ＝1时，2S 1+b 1＝1，解得b 1=13，当n ≥2时，b n =S n −S n−1=12(1−b n )−12(1−b n−1)=−12b n +12b n−1， 所以b n =13b n−1，所以数列{b n }是首项为13，公比为13的等比数列， 故b n =13n ．（2）由（1）知，c n =a n b n =n3n ，所以T n =1×13+2×132+3×133+⋯+n ×13n ①13T n =1×132+2×133+3×134+⋯+n ×13n+1②得T n =34−34×13n −n 2×13n=34−2n+34×13n．又S n =13(1−13n )1−13=12−12×3n ．所以T n −S n =14−2n+14×13n ，当n ＝1时，T 1＝S 1， 当n ≥2时，14−2n+14×13n >0，所以T n >S n ，故所求的正整数n 存在，其最小值是2．设P(x, y)，y>0，又F(1, 5)，），因为以PF为直径的圆与y轴相切，所以，即，整理得C的方程为：y7＝4x(y>0)，由y3＝4x(y>0)，得，y′＝，设P（，y0)(y7>0)，则k1＝＝，k7＝＝，由k2+k2＝3，即+＝3①，令f(x)＝3x3−6x2−12x+7，由f′(x)＝9x2−12x−12＝6得，x＝-，因为当x∈(5, 2)时，当x∈(2, f′(x)>6，所以f(x)在(0, 2)上单调递减，+∞)上单调递增，又f(0)＝2>0，f(2)＝−16<0，f(x)的图象连续不断，所以f(x)在(3, +∞)内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足k1+k2＝6的点P的个数为2个．【考点】轨迹方程【解析】（1）设P(x, y)，则PF中点坐标为（，），由以PF为直径的圆与y轴相切得，化简即可得到曲线C的方程；（2）由y2＝4x(y>0)，得，y′＝，利用导数的几何意义得到k1＝，k2＝，由k1+k2＝3，得：①，令f(x)＝3x3−6x2−12x+8，利用导数得到函数f(x)在(0, +∞)内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，即满足k1+k2＝3的点P的个数为2个．【解答】设P(x, y)，y>0，又F(1, 5)，），因为以PF为直径的圆与y轴相切，所以，即，整理得C的方程为：y7＝4x(y>0)，由y3＝4x(y>0)，得，y′＝，设P（，y0)(y7>0)，则k1＝＝，k7＝＝，由k2+k2＝3，即+＝3①，令f(x)＝3x3−6x2−12x+7，由f′(x)＝9x2−12x−12＝6得，x＝-，因为当x∈(5, 2)时，当x∈(2, f′(x)>6，所以f(x)在(0, 2)上单调递减，+∞)上单调递增，又f(0)＝2>0，f(2)＝−16<0，f(x)的图象连续不断，所以f(x)在(3, +∞)内有且只有两个零点，所以方程①有且只有两个不同的正根，所以满足k1+k2＝6的点P的个数为2个．【答案】f′(x)＝2ae2x−(a+3)e x+1＝(2e x−3)(ae x−1)，①a＝2时，f′(x)＝(5e x−1)2≥2，∴f(x)在R上单调递增，②0<a<2时，令f′(x)>6得：或，∴或和，③a>2时，令f′(x)>0得：或，∴或和，综上可得：当a＝2时，f(x)在R上单调递增，0<a<2时，单调增区间为和，a>8时，单调增区间为和，f′(x)＝(2e x−1)(ae x−3)x>0，①当a≤0时，f′(x)<4，+∞)上单调递减，又x→+∞时f(x)→−∞0>0，使得f(x4)＝−e，②当a>0时，，若，即a≥1时，f(x)在(7,∴f(x)>f(0)＝−2>−e不满足题意，若，即0<a<1时是单减，在，∴，令(0<a<7)，，∴g(a)在(0, 1)上单增，且，∴时，，此时∃x5>0，使得f(x0)＝−e，时，，不满足题意，综上所述：．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调递增区间即可；（2）首先确定导函数的解析式，然后分类讨论a≤0和a>0两种情况即可确定实数a 的取值范围．【解答】f′(x)＝2ae2x−(a+3)e x+1＝(2e x−3)(ae x−1)，①a＝2时，f′(x)＝(5e x−1)2≥2，∴f(x)在R上单调递增，②0<a<2时，令f′(x)>6得：或，∴或和，③a>2时，令f′(x)>0得：或，∴或和，综上可得：当a＝2时，f(x)在R上单调递增，0<a<2时，单调增区间为和，a>8时，单调增区间为和，f′(x)＝(2e x−1)(ae x−3)x>0，①当a≤0时，f′(x)<4，+∞)上单调递减，又x→+∞时f(x)→−∞0>0，使得f(x4)＝−e，②当a>0时，，若，即a≥1时，f(x)在(7,∴f(x)>f(0)＝−2>−e不满足题意，若，即0<a<1时是单减，在，∴，令(0<a<7)，，∴g(a)在(0, 1)上单增，且，∴时，，此时∃x5>0，使得f(x0)＝−e，时，，不满足题意，综上所述：．。
2021年高三上学期10月月考试题数学(文)含答案
2021年高三上学期10月月考试题数学（文）含答案(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1、已知集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |lg(2x ＋1)＞0}，则M ∩N ＝ ．2、复数z ＝a ＋i 1－i 为纯虚数，则实数a 的值为 ．3、抛物线的焦点到准线的距离是 ．4、“”是“”的 条件．5、向量(1,2)、(－3,2)，若()∥()，则实数k ＝_________．6、已知m 为任意实数，则直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5必过定点_________．7、若关于x 的方程cos 2x ＋4sin x －a ＝0有解，则实数a 的取值范围是 ．8、将y ＝sin2x 的图像向右平移φ单位（φ＞0），使得平移后的图像仍过点⎝⎛⎭⎫π3，32，则φ的最小值为_______．9、若函数f (x )＝mx 2＋ln x －2x 在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是_________． 10、已知x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是________．11、已知△ABC 是等边三角形，有一点D 满足→AB ＋12→AC ＝→AD ，且|→CD |＝3，那么→DA ·→DC ＝ ．12、已知椭圆的左右焦点分别为，点 P 是椭圆上某一点，椭圆的左准线为，于点，若四边形为平行四边形，则椭圆的离心率的取值范围是13、已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋ax (x ≤1)2ax －5 (x ＞1)，若x 1, x 2∈R ，x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是 ．14、已知函数f (x )满足f (x )＝f (1x )，当x ∈[1,3]时，f (x )＝ln x ，若在区间[13,3]内，函数g (x )＝f(x )－ax 与x 轴有三个不同的交点，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题（本大题共6小题，共90分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15、（本小题满分14分） 已知直线和．问：m 为何值时，有：（1）； （2）．16、（本小题满分14分）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω＞0，0＜φ＜π)，其图像经过点M ⎝⎛⎭⎫π3，12，且与x 轴两个相邻的交点的距离为π． （1）求f (x )的解析式；（2）在△ABC 中，a ＝13，f (A )＝35，f (B )＝513，求△ABC 的面积．17、（本小题满分15分）已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为120º，当k 为何值时， （1）k a －b 与a －k b 垂直；（2）|k a －2b |取得最小值？并求出最小值．18、（本小题满分15分）如图①，一条宽为1km的两平行河岸有村庄A和供电站C，村庄B与A、C的直线距离都是2km，BC与河岸垂直，垂足为D．现要修建电缆，从供电站C向村庄A、B供电．修建地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km、4万元/km．（1）已知村庄A与B原来铺设有旧电缆，但旧电缆需要改造，改造费用是0.5万元/km．现决定利用此段旧电缆修建供电线路，并要求水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值．（2）如图②，点E在线段AD上，且铺设电缆的线路为CE、EA、EB．若∠DCE＝θ(0≤θ≤π3)，试用θ表示出总施工费用y (万元)的解析式，并求y的最小值．19、（本小题满分16分）已知椭圆的两个焦点为，离心率为，点是椭圆上某一点，的周长为，（1）求椭圆的标准方程；（2）以椭圆的上顶点为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形，设直线的斜率为（），求所有满足要求的．20、（本小题满分16分）已知a为实数，函数f(x)＝a·ln x＋x2－4x．（1）是否存在实数a，使得f (x)在x＝1处取极值？证明你的结论；（2）若函数f (x)在[2, 3]上存在单调递增区间，求实数a的取值范围；（3）设g(x)＝2a ln x＋x2－5x－1＋ax，若存在x0∈[1, e]，使得f(x0)＜g(x0)成立，求实数a的取值范围．高三数学(文科)月考试卷 答案xx.10.61、(0,1)2、13、4、充分不必要”5、－136、 (9,－4)7、[－4,4]8、π69、[12,＋∞) 10、411、3 12、 13、 (－∞,4) 14、⎣⎡ln33,⎭⎫1e15、解：（1）∵，∴，得或；当m ＝4时，l 1：6x ＋7y －5＝0，l 2：6x ＋7y ＝5,即l 1与l 2重合，故舍去． 当时，即 ∴当时，． ………7分 （2）由得或； ∴当或时，． ………14分16、解：（1）依题意知，T ＝2π，∴ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)∵f (π3)＝sin(π3＋φ)＝12，且0＜φ＜π ∴π3＜π3＋φ＜4π3 ∴π3＋φ＝5π6 即φ＝π2∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝cos x ． ………6分（2）∵f (A )＝cos A ＝35，f (B )＝cos B ＝513， ∴A ,B ∈(0,π2)∴sin A ＝45，sin B ＝1213 ………8分∴sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝5665………10分 ∵在△ABC 中a sin A ＝bsin B ∴b ＝15. ………12分∴S △ABC ＝12ab sin C ＝12×13×15×5665＝84． ………14分17、解：（1）∵k a －b 与a －k b 垂直，∴(k a －b )·(a －k b )＝0．∴k a 2－k 2a ·b －b ·a ＋k b 2＝0．∴9k －(k 2＋1)×3×2·cos120°＋4k ＝0．∴3k 2＋13k ＋3＝0．∴k ＝－13±1336． ………7分（2）∵|k a －2b |2＝k 2a 2－4k a ·b ＋4b 2＝9k 2－4k ×3×2·cos120°＋4×4 ＝9k 2＋12k ＋16＝(3k ＋2)2＋12．∴当k ＝－23时，|k a －2b |取得最小值为23． ………15分18、解：（1）由已知可得△ABC 为等边三角形，∵AD ⊥CD ，∴水下电缆的最短线路为CD .过D 作DE ⊥AB 于E ，可知地下电缆的最短线路为DE 、AB . ………3分 又CD ＝1，DE ＝32，AB ＝2，故该方案的总费用为 1×4＋32×2＋2×0.5＝5＋ 3 （万元）． …………6分 （2）∵∠DCE ＝θ (0≤θ≤ π3)∴CE ＝EB ＝1cos θ，ED ＝tan θ，AE ＝3－tan θ.则y ＝1cos θ×4＋1cos θ×2＋(3－tan θ)×2＝2×3－sin θcos θ＋2 3 ……9分令f (θ)＝3－sin θcos θ (0≤θ≤ π 3)则f '(θ)＝－cos 2θ－(3－sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝3sin θ－1cos 2θ ，……11分∵0≤θ≤ π 3，∴0≤sin θ≤32，记sin θ0＝13，θ0∈(0, π 3)当0≤θ＜θ0时，0≤sin θ＜13，∴f '(θ)＜0当θ0＜θ≤ π 3时，13＜sin θ≤32，∴f '(θ)＞0∴f (θ)在[0,θ0)上单调递减，在(θ0, π3]上单调递增．……13分∴f (θ)min ＝f (θ0)＝3－13223＝22，从而y min ＝42＋23，此时ED ＝tan θ0＝24，答：施工总费用的最小值为（42＋23）万元，其中ED ＝24. ……15分 19、解：（1）由题意得，椭圆的标准方程为： ---------------------6分 （2）设的直线方程为设，（不妨设） 由得，----------------------8分AB ∴==由得，即，即或 注：求出给2分20、解：（1）函数f (x )定义域为(0,＋∞)，f '(x )＝ax ＋2x －4＝2x 2－4x ＋a x假设存在实数a ，使f (x )在x ＝1处取极值，则f '(1)＝0，∴a ＝2， ……2分此时，f '(x )＝2(x －1)2x，∴当0＜x ＜1时，f '(x )＞0，f (x )递增；当x ＞1时，f '(x )＞0，f (x )递增． ∴x ＝1不是f (x )的极值点．故不存在实数a ，使得f (x )在x ＝1处取极值． ………4分（2）f '(x )＝2x 2－4x ＋a x ＝2(x －1)2＋a －2x，①当a ≥2时，∴f '(x )≥0，∴f (x )在(0,＋∞)上递增，成立； ………6分②当a ＜2时，令f '(x )＞0，则x ＞1＋1－a2或x ＜1－1－a 2，∴f (x )在(1＋1－a2,＋∞)上递增， ∵f (x )在[2, 3]上存在单调递增区间，∴1＋1－a2＜3，解得：6＜a ＜2 综上，a ＞－6． ………10分（3）在[1,e]上存在一点x 0，使得成立，即在[1,e]上存在一点，使得，即函数在[1,e]上的最小值小于零．有22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x +--++-+'=--==①当，即时， 在上单调递减， 所以的最小值为，由可得，因为，所以； ………12分 ②当，即时，在上单调递增，所以最小值为，由可得； ………14分 ③当，即时，可得最小值为， 因为，所以，，故 此时不存在使成立．综上可得所求的范围是：或． ………16分解法二：由题意得，存在x ∈[1, e]，使得a (ln x －1x )＞x ＋1x成立．令m (x )＝ln x －1x ，∵m (x )在[1, e]上单调递增，且m (1)＝－1＜0, m (e)＝1－1e ＞0故存在x 1∈(1,e)，使得x ∈[1, x 1)时，m (x )＜0；x ∈(x 1, e]时，m (x )＞0 故存在x ∈[1, x 1)时，使得a ＜x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆)或存在x ∈(x 1, e]时，使得a ＞x 2＋1x ln x －1成立，·························(☆☆) ………12分记函数F (x )＝x 2＋1x ln x －1，F '(x )＝(x 2－1)ln x －(x ＋1)2(x ln x －1)2当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＝(x 2－1)·⎝⎛⎭⎪⎫ln x －x ＋1x －1∵G (x )＝ln x －x ＋1x －1＝ln x －2x －1－1递增，且G (e)＝－2e －1＜0∴当1＜x ≤e 时，(x 2－1)ln x －(x ＋1)2＜0，即F '(x )＜0∴F (x )在[1, x 1)上单调递减，在(x 1, e]上也是单调递减， ………14分 ∴由条件(☆)得：a ＜F (x )max ＝F (1)＝－2 由条件(☆☆)得：a ＞F (x )min ＝F (e)＝e 2＋1e －1综上可得，a ＞e 2＋1e －1或a ＜－2． ………16分~31922 7CB2 粲kw25948 655C 敜37280 91A0 醠22014 55FE 嗾39428 9A04 騄d27288 6A98 檘33985 84C1 蓁37111 90F7 郷23438 5B8E 宎@25055 61DF 懟。
2020-2021学年省市某校高三(上)10月月考考试数学(文)试卷有答案
2020-2021学年省市某校高三（上）10月月考考试数学（文）试卷一、选择题1. 已知集合A ={x|log 2x <1}，B ={x|x <1}，则A ∩B =( ) A.{x|x <1} B.{x|x <2} C.{x|0<x <1} D.{x|0<x <2}2. 已知a ，b 是实数，复数z =a +bi ．若a +i =bi1+i ，则z ¯在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第二象限 D.第四象限3. 已知双曲线x 2a2−y 25=1(a >0)的一个焦点为(−3,0)，则其渐近线方程为( )A.y =±54xB.y =±45x C.y =±2√55x D.y =±√52x4. 设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是( ) A.若α⊥β，m ⊥n ，m ⊥α，则n ⊥β B.若α⊥β，m ⊥n ，m//α，则n//β C.若α⊥β，m ⊥α，n ⊥β，则m ⊥n D.若α⊥β，m//α，n//β，则m ⊥n5. 为了抗击新型冠状病毒肺炎，保障师生安全，学校决定每天对教室进行消毒工作．已知药物释放过程中，室内空气中的含药量y (mg/m 3)与时间t(ℎ)成正比(0<t <14)；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y =(14)t−a（a 为常数，t ≥14），据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.5(mg/m 3)以下时，学生方可进教室，则学校应安排工作人员至少提前( )分钟进行消毒工作 .A.25B.30C.45D.606. 已知实数a >1，b >1，则“a +b ≤4”是“log 2a ⋅log 2b ≤1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理．最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》，1852年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲，1874年英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2021这2020个整数中能被3除余2且被4除余1的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是( ) A.168 B.169 C.170 D.1718. 已知函数f (x )=ln (x 2+2x +2)，设a =f (log 216)，b =f (log 1215)，c =f (20.3)，则( ) A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.c <a <b二、多选题已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=2，|a →+b →|=√3，则下列结论中正确的是( ) A.a →⋅b →=−2 B.a →⊥(a →+b →) C.|a →−b →|=√7 D.a →与b →的夹角为π3若样本a +x 1，a +x 2，⋯，a +x n 的平均值是5，方差是4，样本1+2x 1，1+2x 2，⋯，1+2x n 的平均值是9，标准差是s ，则下列结论中正确的是( ) A.a =1 B.a =2 C.s =2 D.s =4已知函数f (x )=A sin (ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，将函数y =f (x )的图像上所有点的横坐标缩短为原来的14倍，纵坐标不变，再将所得图像上所有点向右平移θ(θ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图像，且y =g (x )的图像关于直线x =π2对称，则下列结论中正确的是( )A.ω=1B.φ=−π3 C.g (x )=3sin (4x −4θ−π3) D.θ的最小值为π12设m ∈R ．过定点M 的直线l 1:mx −y −3m +1=0与过定点N 的直线l 2:x +my −3m −1=0相交于点P ，线段AB 是圆C:(x +1)2+(y +1)2=4的一条动弦，且|AB|=2√2，则下列结论中正确的是( ) A.l 1一定垂直l 2B.|PM|+|PN|的最大值为4√2C.点P 的轨迹方程为(x −2)2+(y −2)2=2D.|PA →+PB →|的最小值为2√2 三、填空题 (√xx 2)5的展开式中x 5的系数是________ .若函数f(x)=ln x x与g(x)=e x−a −b 的图像在x =1处有相同的切线，则a +b =________.已知抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴交于点E ，A 是抛物线上一点，AE ⊥AF ，则|AF|=________.边长为2√3的正方形ABCD 的顶点均在表面积为 28π的球O 的球面上，O 1为正方形ABCD 的中心，△O 1AB 绕AB 旋转，其顶点O 1接触到球面时设为E ，则二面角E −AB −D 的大小为________. 四、解答题在①(a +c )(sin A −sin C )=b (sin A −sin B )；②2b−a c−cos Acos C =0；③向量m →=(c,√3b)与n →=(cos C ，sin B ）平行，这三个条件中任选一个，补充在下面题干中，然后解答问题．已知△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________. (1)求角C ；(2)若△ABC 为锐角三角形，且a =4，求△ABC 面积的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）已知数列{a n }满足1a 1+2a 2+⋯+n a n=2−n+22n.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =1log 4a n+1⋅log 4a n求数列{b n }的前n 项和S n .如图，等腰直角△ABE 与正方形ABCD 所在平面互相垂直，AE ⊥BE ，AB =2，FC ⊥平面ABCD ，EF//平面ABCD ．(1)求FC 的长；(2)求直线EF 与平面BDF 所成角的正弦值．甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛（其中两人比赛，另一人当裁判，每局结束时，负方在下一局当裁判），设在情况对等中各局比赛双方获胜的概率均为12，但每局比赛结束时，胜的一方在下一局比赛时受体力影响，胜的概率均降为25，第一局甲当裁判． (1)求第三局甲当裁判的概率；(2)设X 表示前4局乙当裁判次数，求X 的分布列和数学期望．已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1过点C(−2,0)，D(2,0)，且离心率为12．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设E，F，P是椭圆Γ上的三点，O为坐标原点，OE//PC，OF//PD，证明：△OEF 的面积为定值．已知函数f(x)=ae x−ln(x+1)+ln a−1.(1)若a=1，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)有且仅有两个零点，求a的取值范围．参考答案与试题解析2020-2021学年省市某校高三（上）10月月考考试数学（文）试卷一、选择题1.【答案】C【考点】交集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：A={x|log2x<1}={x|0<x<2}，∴A∩B={x|0<x<1} .故选C .2.【答案】D【考点】复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的乘除运算共轭复数【解析】【解答】解：∵a+i=bi1+i，∴(a−1)+(a+1)i=bi，∴{a−1=0,a+1=b,∴a=1，b=2，∴z¯=a−bi=1−2i，在复平面内对应的点为(1,−2)，位于第四象限．故选D.3.【答案】D【考点】双曲线的渐近线【解析】【解答】解：a2+5=9，a=2，∴渐近线方程为y=±√52x .故选D.4.【答案】C【考点】空间中直线与直线之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】根据线面间的位置关系可知选C．【解答】解：选项A，B，n可以⊂β，故AB错误；选项D，两直线可以平行，故D错误；根据线面间的位置关系可知C正确．故选C.5.【答案】C【考点】分段函数的应用函数模型的选择与应用【解析】【解答】解：∵函数图像过点(14,1)，∴y=f(t)={4x,0<t<14,(14)t−14,t≥14,当t≥14时，取f(t)=(14)t−14=12，解得t=34小时=45分钟，所以学校应安排工作人员至少提前45分钟进行消毒工作．故选C .6.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数的运算性质基本不等式在最值问题中的应用【解析】无【解答】解：∵a>1，b>1，∴log2a>0，log2b>0．∵a+b≥2√ab，a+b≤4，∴ab≤4，log2a⋅log2b≤(log2a+log2b2)2=[log2(ab)2]2≤(log242)2=1．取a=16，b=21 5，则log2a⋅log2b=log216⋅log2215=45<1，但是a+b>4，∴ “a+b≤4”是“log2a⋅log2b≤1”的充分不必要条件．故选A．7.【答案】B【考点】等差数列的通项公式数列的应用【解析】无【解答】解：设所求数列为{a n}，由题意可得该数列为5，17，29，41，⋯，所以数列{a n}为等差数列，且首项为a1=5，公差为d=12，所以a n=a1+(n−1)d=12n−7，令2≤a n≤2021，即2≤12n−7≤2021，解得34≤n≤169，所以满足34≤n≤169的正整数n的个数为169，所以该数列共有169项．故选B．8.【答案】B【考点】指数式、对数式的综合比较函数的单调性及单调区间【解析】由已知可得f(x)关于x=−1对称，且在(−1,+∞)上单调递增，−3<log116<−2<log1215<3，1<20.3<2，∴a<c<b .【解答】解：由已知可得f(x)关于x=−1对称，且在(−1,+∞)上单调递增，−3<log216<−2，2<log1215<3，1<20.3<2，∴a<c<b .故选B . 二、多选题【答案】 B,C【考点】平面向量数量积的运算 向量的模数量积表示两个向量的夹角 【解析】 无【解答】解：|a →+b →|2=a →2+2a →⋅b →+b →2=1+2a →⋅b →+4=3， ∴ a →⋅b →=−1，∴ a →⋅(a →+b →)=0，∴ a →⊥(a →+b →)，|a →−b →|=√a →2−2a →⋅b →+b →2=√7，cos ⟨a →,b →⟩=a →⋅b→|a →||b →|=−12，∴ a →与b →的夹角为2π3，故BC 正确． 故选BC ． 【答案】 A,D【考点】极差、方差与标准差 众数、中位数、平均数【解析】 无【解答】解： 1+2x i =2(a +x i )−2a +1，则样本1+2x 1，1+2x 2，⋯， 1+2x n 的平均值为： 2×5−2a +1=9，则a =1， s 2=22×4=16，则s =4． 故选AD ． 【答案】 A,B,C 【考点】正弦函数的对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】【解答】解：由图可得A =3，12⋅2πω=4π3−π3，∴ ω=1．根据五点法作图可得1×π3+φ=0，∴ φ=−π3，∴ f(x)=3sin (x −π3)．将函y =f(x)的图像上所有点的横坐标缩短为原来14倍，纵坐标不变，可得y =3sin (4x −π3)的图像，再将所得图像上所有点向右平移θ(θ>0)个长度， 可得g (x )=3sin (4x −4θ−π3)的图像． ∵ y =g (x )的图像关于直线x =π2对称， ∴ 4×π2−4θ−π3=kπ+π2， 即θ=−kπ4+7π24， k ∈Z ，令k =1，可得θ的最小值为π24.故选ABC . 【答案】 A,D【考点】直线与圆的位置关系 轨迹方程【解析】 无【解答】解：直线l 1：mx −y −3m +1=0与l 2：x +my −3m −1=0垂直， l 1过定点M (3,1)，l 2过定点N (1,3)， 在△MNP 中，设∠PMN =θ，则|PM|+|PN|=2√2cos θ+2√2sin θ=4sin (θ+π4)≤4， 由PM →⋅PN →=0，可得点P 轨迹方程为(x −2)2+(y −2)2=2（x ≠3）． 作CD ⊥AB ，则CD =√2，∴ 点D 轨迹方程为(x +1)2+(y +1)2=2． ∵ |PA →+PB →|=2|PD →|，|PD →|的最小值为√2， ∴ |PA →+PB →|的最小值为2√2． 故选AD ． 三、填空题 【答案】 −40【考点】二项展开式的特定项与特定系数 【解析】 无【解答】 解： (√x−x 2)5的展开式的通项公式为T r+1=(−1)r 25−r C 5rx5r−52，令5r−52=5，则r =3，∴ 展开式中含x 5的项为T 3+1=(−1)325−3C 53x 5=−40x 5， 故x 5的系数是−40． 故答案为：−40． 【答案】 2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：f ′(x)=1−ln x x 2，当x =1时，f(1)=0，f ′(1)=1，则在x =1处的切线方程为：y =x −1； g ′(x)=e x−a ，当x =1时，g ′(1)=e 1−a =1，g(1)=e 1−a −b =0， 解得a =1，b =1， 则a +b =2. 故答案为：2. 【答案】2√5−2 【考点】 抛物线的性质 【解析】 无【解答】解：由已知得点A 在以原点为圆心，2为半径的圆上， 由{y 2=8x ，x 2+y 2=4，解得x A =2√5−4，∴ |AF|=x A +2=2√5−2． 故答案为：2√5−2. 【答案】 120∘或60∘ 【考点】二面角的平面角及求法 【解析】【解答】解：如图，取AB 中点H ，连接O 1H ，EH ，OH ，则∠O 1HE 即为二面角E −AB −D 的平面角．由已知得R =√7，BD =2√6，O 1B =√6，OO 1=1， O 1H =√3，OH =2，∠O 1HO =30∘， ∵ O 1H =EH =√3，OE =√7， ∴ OH ⊥EH ，∠O 1HE =120∘， 同理当E 在下方时∠O 1HE =60∘ . 故答案为：120∘或60∘. 四、解答题【答案】解：(1)若选择①：由①及正弦定理可得(a +c )(a −c )=b (a −b )， 即a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，∴ C =π3．若选择②：由②及正弦定理得2sin B−sin Asin C−cos A cos C=0，即2sin B cos C −sin A cos C −cos A sin C =0， sin B (2cos C −1)=0， ∵ sin B ≠0， ∴ cos C =12，C =π3．若选择③．由③可得c sin B =√3b cos C ， ∴ sin C sin B =√3sin B cos C ， ∴ tan C =√3，C =π3． (2)由已知及余弦定理可得c 2=b 2+16−2b ⋅4⋅cos π3=b 2−4b +16，由△ABC 为锐角三角形可得b 2+b 2−4b +16>16 且16+b 2−4b +16>b 2，解得2<b <8， △ABC 面积S =12ab sin π3=√3b ∈(2√3,8√3)． 【考点】 余弦定理 正弦定理平面向量数量积的运算三角函数的化简求值 两角和与差的正弦公式 【解析】 无 无【解答】解：(1)若选择①：由①及正弦定理可得(a +c )(a −c )=b (a −b )， 即a 2+b 2−c 2=ab ， 由余弦定理得cos C =a 2+b 2−c 22ab=12，∴ C =π3．若选择②：由②及正弦定理得2sin B−sin Asin C−cos Acos C =0，即2sin B cos C −sin A cos C −cos A sin C =0， sin B (2cos C −1)=0， ∵ sin B ≠0， ∴ cos C =12，C =π3．若选择③．由③可得c sin B =√3b cos C ， ∴ sin C sin B =√3sin B cos C ， ∴ tan C =√3，C =π3． (2)由已知及余弦定理可得c 2=b 2+16−2b ⋅4⋅cos π3=b 2−4b +16， 由△ABC 为锐角三角形可得b 2+b 2−4b +16>16 且16+b 2−4b +16>b 2，解得2<b <8， △ABC 面积S =12ab sin π3=√3b ∈(2√3,8√3)． 【答案】解：(1)当n =1时，1a 1=2−32=12，a 1=2，当n ≥2时，1a 1+2a 2+⋯+n−1a n−1=2−n+12n−1，∴na n=(2−n+22n)−(2−n+12n−1)=n2n ，a n =2n ，n =1时符合上式， ∴ a n =2n ． (2)b n =1log42n+1⋅log 42n=4n (n+1)=4(1n −1n+1)， ∴ S n =4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1．【考点】 数列递推式 数列的求和 【解析】 无 无 【解答】解：(1)当n =1时，1a 1=2−32=12，a 1=2，当n ≥2时，1a 1+2a 2+⋯+n−1an−1=2−n+12n−1，∴ n a n=(2−n+22n)−(2−n+12n−1)=n2n ，a n =2n ，n =1时符合上式， ∴ a n =2n ． (2)b n =1log 42n+1⋅log 42n =4n (n+1)=4(1n −1n+1)，∴ S n =4(1−12+12−13+⋯+1n −1n+1) =4(1−1n+1)=4nn+1． 【答案】解：(1)设AB 中点为O ，连接EO ，OC ，∵ △ABE 是斜边长为2的等腰直角三角形， ∴ EO ⊥AB ，且EO =1， ∵ 平面ABE ⊥平面ABCD ， 平面ABE ∩平面ABCD =AB ， ∴ EO ⊥平面ABCD ， ∵ FC ⊥平面ABCD ， ∴ EO//FC ，∵ EF//平面ABCD ， ∴ EF//OC ，∴ EOCF 为平行四边形， ∴ FC =OE =1．(2)建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ，则E (0,0,1)，B (−1,0,0)，D (1,2,0)，F (−1,2,1)， 设平面FBD 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{BD →⋅n 1→=0，BF →⋅n 1→=0， 即{2x 1+2y 1=0，2y 1+z 1=0，令x 1=1，则y 1=−1，z 1=2， ∴ n 1→=(1,−1,2)， ∴cos ⟨n 1→,EF →⟩=n 1→⋅EF→|n 1→|⋅|EF →|=−√3010， ∴ 直线EF 与平面BDF 所成角的正弦值为√3010． 【考点】直线与平面平行的判定用空间向量求直线与平面的夹角 【解析】 无 无【解答】解：(1)设AB 中点为O ，连接EO ，OC ，∵ △ABE 是斜边长为2的等腰直角三角形， ∴ EO ⊥AB ，且EO =1， ∵ 平面ABE ⊥平面ABCD ， 平面ABE ∩平面ABCD =AB ， ∴ EO ⊥平面ABCD ， ∵ FC ⊥平面ABCD ， ∴ EO//FC ，∵ EF//平面ABCD ，∴ EF//OC ，∴ EOCF 为平行四边形， ∴ FC =OE =1．(2)建立如图所示空间直角坐标系O −xyz ，则E (0,0,1)，B (−1,0,0)，D (1,2,0)，F (−1,2,1)， 设平面FBD 的法向量为n 1→=(x 1,y 1,z 1)， 则{BD →⋅n 1→=0，BF →⋅n 1→=0， 即{2x 1+2y 1=0，2y 1+z 1=0，令x 1=1，则y 1=−1，z 1=2， ∴ n 1→=(1,−1,2)， ∴cos ⟨n 1→,EF →⟩=n 1→⋅EF→|n 1→|⋅|EF →|=−√3010， ∴ 直线EF 与平面BDF 所成角的正弦值为√3010． 【答案】解：(1)第三局甲当裁判的概率为12×25+12×25=25.(2)X 的可能取值为0，1，2，当X =0时，前三局乙均胜，故P(X =0)=12×(25)2=225，∵ 不能连续两局当裁判，第一届由甲当裁判，故乙只能是第2、4局当裁判，故乙在第一局中输掉， 在第三局中也输掉，故P (X =2)=12×25=15，∴ P(X =1)=1−225−15=1825，其分布列为EX =1825+25=2825 . 【考点】相互独立事件的概率乘法公式 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】 【解答】解：(1)第三局甲当裁判的概率为12×25+12×25=25. (2)X 的可能取值为0，1，2，当X =0时，前三局乙均胜，故P(X =0)=12×(25)2=225，∵ 不能连续两局当裁判，第一届由甲当裁判，故乙只能是第2、4局当裁判，故乙在第一局中输掉， 在第三局中也输掉，故P (X =2)=12×25=15，∴ P(X =1)=1−225−15=1825， 其分布列为EX =1825+25=2825 . 【答案】解：(1)由已知可得 {a =2,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得{a 2=4,b 2=3,∴ 椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)设P (x 0,y 0)，则PC ，PD 的斜率之积为 k PC ⋅k PD =y 0x 0+2⋅y 0x−2=y 02x 02−4， ∵ x 024+y 023=1，∴ k PC ⋅k PD =−34, ∵ OF//PD ，OE//PC ， ∴ k OE ⋅k OF =−34，由题意可知直线OF 的斜率存在且不为0， ∴ 设直线OF ：y =kx ，则直线OE ：y =−34k x ，由{x 24+y 23=1,y =kx,解得x F 2=124k 2+3，同理可得x E2=16k 24k 2+3，∴ |OF|=√x F2+y F2=√(1+k 2)x F 2=√12(1+k 2)4k 2+3点E 到直线OF ：y −kx =0的距离 d =E E √1+k 2=|−34kx −kx |√1+k 2=√4k 2+3√1+k 2，∴ S △OEF =12⋅|OF|⋅d =12⋅√12(1+k 2)4k 2+3⋅√4k 2+3√1+k 2=√3，∴ △OEF 的面积为定值√3.【考点】椭圆的标准方程圆锥曲线中的定点与定值问题 【解析】 无 无 【解答】解：(1)由已知可得 {a =2,c a =12,a 2=b 2+c 2,解得{a 2=4,b 2=3,∴ 椭圆Γ的方程为x 24+y 23=1．(2)设P (x 0,y 0)，则PC ，PD 的斜率之积为 k PC ⋅k PD =y 0x 0+2⋅y 0x0−2=y 02x 02−4，∵x 024+y 023=1，∴ k PC ⋅k PD =−34, ∵ OF//PD ，OE//PC ， ∴ k OE ⋅k OF =−34，由题意可知直线OF 的斜率存在且不为0， ∴ 设直线OF ：y =kx ，则直线OE ：y =−34kx ，由{x 24+y 23=1,y =kx,解得x F 2=124k 2+3，同理可得x E2=16k 24k 2+3，∴ |OF|=√x F2+y F2=√(1+k 2)x F 2=√12(1+k 2)4k 2+3点E 到直线OF ：y −kx =0的距离d=E E√1+k2=|−34kx−kx|√1+k2=√4k2+3√1+k2，∴S△OEF=12⋅|OF|⋅d=12⋅√12(1+k2)4k2+3⋅√4k2+3√1+k2=√3，∴△OEF的面积为定值√3.【答案】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−ln(x+1)−1，f′(x)=e x−1x+1，x>−1，显然f′(x)在(−1,+∞)单调递增，且f′(0)=0，∴当−1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，无极大值．(2)函数f(x)有两个零点，即f(x)=0有两个解，即ae x+ln(ae x)=ln(x+1)+(x+1)有两个解，设ℎ(t)=t+ln t，则ℎ′(t)=1+1t>0，ℎ(t)单调递增，∴ae x=x+1(x>−1)有两个解，即a=x+1e x(x>−1)有两个解．令s(x)=x+1e x (x≥−1)，则s′(x)=−xe x，当x∈(−1,0)时，s′(x)>0，s(x)单调递增，当x∈(0,+∞)时，s′(x)<0，s(x)单调递减，∵s(−1)=0，当x>0时s(x)>0，∴0<a<1．【考点】利用导数研究函数的极值利用导数研究与函数零点有关的问题【解析】【解答】解：(1)当a=1时，f(x)=e x−ln(x+1)−1，f′(x)=e x−1x+1，x>−1，显然f′(x)在(−1,+∞)单调递增，且f′(0)=0，∴当−1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(x)在x=0处取得极小值f(0)=0，无极大值．(2)函数f(x)有两个零点，即f(x)=0有两个解，即ae x+ln(ae x)=ln(x+1)+(x+1)有两个解，设ℎ(t)=t+ln t，则ℎ′(t)=1+1t>0，ℎ(t)单调递增，∴ae x=x+1(x>−1)有两个解，即a=x+1e x(x>−1)有两个解．令s(x)=x+1e x (x≥−1)，则s′(x)=−xe x，当x∈(−1,0)时，s′(x)>0，s(x)单调递增，当x∈(0,+∞)时，s′(x)<0，s(x)单调递减，∵s(−1)=0，当x>0时s(x)>0，∴0<a<1．。
2020-2021学年高三上学期10月第二次月考数学试题+详细解析
2021届高三月考试卷（二）数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2{2,},60A x x x Z B x x x =∈=--<，则A B ⋂=（ ）A ．{2,1,0,1,2,3}--B ．{2,1,0,1,2}--C ．{1,0,1,2}-D ．{2,1,0,1}--2．若(1)1z i i +=-，则z =（ ）A ．1i -B ．1i +C ．i -D ．i3．已知2sin 23α=，则2cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．16 B ．13 C ．12 D ．234．刘徽（约公元225—295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一．他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n 边形等分成n 个等腰三角形（如图所示），当n 变得很大时，这n 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin 2︒的近似值为（ ）A ．90π B ．180π C ．270π D ．360π 5．()522121x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是（ ） A ．3- B ．2- C ．2 D ．36．中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹．古代用算筹（一根根同样长短和粗细的小棍子）来进行运算．算筹的摆放有纵式、横式两种（如图所示）．当表示一个多位数时，个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，以此类推，遇零则置空．例如3266用算筹表示就是，则8771用算筹应表示为（ ）A ．B ．C ．D ．7．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“5a <”是“3a <”的必要条件其中真命题的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，侧面PAD ⊥平面ABCD ，120APD ︒∠=，AB PA ==2PD =，则该四棱锥P ABCD -外接球的体积为（ ）A ．323πB ．3C ．D ．36π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．甲、乙两所学校高三年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高三年级学生在该地区六校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，考生成绩都分布在[70,150]内，并作出了如下频数分布统计表，规定考试成绩在[120,150]内为优秀，则下列说法正确的有（ ）A ．计算得10,7x y ==B ．估计甲校优秀率为25%，乙校优秀率为40%C ．估计甲校和乙校众数均为120D ．估计乙校的数学平均成绩比甲校高10．函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕϕπ=+><<的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下列说法中正确的是（ ）A ．函数()f x 在3,2ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增B ．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭成中心对称 C ．函数()f x 的图象向右平移512π个单位后关于直线56x π=成轴对称 D ．若圆半径为512π，则函数()f x 的解析式为()sin 263f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 11．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点，F 在侧面11CDD C 上运动，且满足1//B F 平面1A BE ．以下命题正确的有（ ）A ．侧面11CDD C 上存在点F ，使得11B F CD ⊥B ．直线1B F 与直线BC 所成角可能为30︒C ．平面1A BE 与平面11CDD C 所成锐二面角的正切值为D ．设正方体棱长为1，则过点E ，F ，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为212．如图，过点(2,0)P 作两条直线2x =和:2(0)l x my m =+>分别交抛物线22y x =于,A B 和,C D（其中,A C 位于x 轴上方），直线,AC BD 交于点Q ．则下列说法正确的是（ ）A ．,C D 两点的纵坐标之积为4-B ．点Q 在定直线2x =-上C ．点P 与抛物线上各点的连线中，PA 最短D ．无论CD 旋转到什么位置，始终有CQP BQP ∠=∠第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图所示，在平面直角坐标系中，(2,3)CD =-，则点D 的坐标为_________．14．已知函数2ln ()x f x ax x=-，若曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线与直线210x y -+=平行，则a =_____．15．过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B 两点，若以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，则双曲线的离心率为__________．16．已知函数(1),1,()ln , 1.x x e x f x x x x⎧-⎪=⎨>⎪⎩其中e 为自然对数的底数．若函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是_________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证眀过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在①22()3a b c ab +=+，②sin cos a A a C =-，③(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-⋅=，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，c =_____．（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题满分12分）如图1，在ABC中，34AB ABC π==∠=，D 为AC 的中点，将ABD 沿BD 折起，得到如图2所示的三棱锥P BCD -，二面角P BD C --为直二面角．（1）求证：平面PBC ⊥平面PBD ；（2）设E 为PC 的中点，3CF FB =，求二面角C DE F --的余弦值．19．（本小题满分12分）已知各项均为整数的数列{}n a 满足371,4a a =-=，前6项依次成等差数列，从第五项起依次成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求出所有的正整数m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=．20．（本小题满分12分）设函数()cos xf x ae x =+，其中a R ∈．（1）若1a =，证明：当0x >时，()2f x >；（2）若()f x 在区间[0,]π内有两个不同的零点，求a 的取值范围．21．（本小题满分12分）现有4个人去参加某项娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．（1）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；（2）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；（3）用,X Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记||X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．22．（本小题满分12分）已知点P 是圆22:(2)32Q x y ++=上任意一点，定点(2,0)R ，线段PR 的垂直平分线l 与半径PQ 相交于M点，P在圆周上运动时，设点M的运动轨迹为Γ．（1）求点M的轨迹Γ的方程；（2）若点N在双曲线22142x y-=（顶点除外）上运动，过点N，R的直线与曲线Γ相交于,A B，过点,N Q的直线与曲线相Γ交于,C D，试探究||||AB CD+是否为定值，若为定值请求出这个定值，若不为定值，请说明理由．2021届高三月考试卷（二）数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C2．C 【解析】因为21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以选C ． 4．A 【解析】将一个单位圆等分成180个扇形，则每个扇形的圆心角度数均为2︒，因为这180个扇形对应的等腰三角形的面积之和近似等于单位圆的面积，所以118011sin 290sin 22π︒︒⨯⨯⨯⨯=≈，所以sin 290π︒≈，所以选A ．5．D 【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x 得：1451(1)5C ⨯-=，第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=-，展开式的常数项是5(2)3+-=．6．C 【解析】由算筹的定义，得，所以8771用算筹应表示，故选C ． 7．B 【解析】①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；错误，当0c =时不成立；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；成立；③“a b >”是“22a b >”的充分条件，错误，当2,3a b =-=-时，不成立；④“5a <”是“3a <”的必要条件，成立，选B ．8．B 【解析】取AD 的中点E ，连接,PE PAD 中，120,2APD PA PD ︒∠===∴1PE =，AD =，设ABCD 的中心为O '，球心为O ，则122O B BD '==，设O 到平面ABCD 的距离为d ，则2222222(2)R d d =+=+-，∴1,d R ==P ABCD -的外接球的体积为343R π=．故选：B ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．ABD 【解析】对于A ，甲校抽取1200110602200⨯=人，乙校抽取1000110502200⨯=人，故10x =，7y =；故A 正确；对于B ，估计甲校优秀率为1525%60=，乙校优秀率为2040%50=．故B 正确；对于D ，甲校平均成绩109.5，乙校平均成绩114.6，故D 正确． 10．BD 【解析】由图易得点C 的横坐标为3π，所以()f x 的周期T π=，所以2ω=，又06f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以3πϕ=，因此()sin 23f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．函数()f x 的图象关于点2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称，若圆半径为512π，则2A =，∴6A =，函数()f x 的解折式为()sin 263f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选BD ． 11．AC 【解析】取11C D 中点M ，1CC 中点N ，连接11,,B M B N MN ，则易证得11//B N A E ，1//MN A B ，从而平面1//B MN 面1A BE ，所以点F 的运动轨迹为线段MN ．取F 为MN 的中点，因为1B MN 是等腰三角形，所以1B F MN ⊥，又因为1//MN CD ，所以11B F CD ⊥，故A 正确；设正方体的棱长为a ，当点F 与点M 或点N 重合时，直线1B F 与直线BC 所成角最大，此时11tan C B F ∠=1tan 302︒<=，所以B 错误；平面1//B MN 平面1A BE ，取F 为MN 的中点，则1MN C F ⊥，1MN B F ⊥，∴11B FC ∠即为平面1B MN 与平面11CDD C 所成的锐二面角，11111tan B C B FC C F ∠==C正确；截面面积可以为2D 错误．故选AC ．12．AB 【解析】设点()()1122,,,C x y D x y ，将直线l 的方程2x my =+代入抛物线方程22y x =得：2240y my --=．则124y y =-．故A 正确；由题得(2,2),(2,2)A B -，直线AC 的方程为122(2)2y x y -=-+，直线BD 的方程为222(2)2y x y +=--，消去y 得()12121224y y y y x y y -+=-+，将124y y =-代入上式得2x =-，故点Q 在直线2x =-上，故B 正确；计算可得C 错误；因为PA PB =，但QA QB ≠，所以D 错误．故选AB ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(4,1) 【解析】设点D 的坐标为(,)x y ，则(2,4)(2,3)CD OD OC x y =-=--=-，即22,43,x y -=⎧⎨-=-⎩解得4,1x y ==． 14．12- 【解析】函数2ln ()x f x ax x =-的导数为21ln ()2x f x ax x '-=-，可得曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线的斜率为12k a =-，由切线与直线210x y -+=平行，可得122a -=，解得12a =-． 15．1+ 【解析】过双出线22221(0,0)y x a b a b -=>>的下焦点1F 作y 轴的垂线，交双曲线于,A B两点，则22||b AB a=，以AB 为直径的圆恰好过其上焦点2F ，可得：22b c a =，∴2220c a ac --=，可得2210e e --=，解得11e e =+=-（舍去）．故答案为：1+．16．10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】令()(1)(1)x g x x e x =-，则()xg x xe '=，所以当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<；当(0,1)x ∈时，()0g x '>，于是函数()g x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,1)上单调递增，当x →-∞时，()0,(0)1,(1)0g x g g →=-=．令ln ()(1)x h x x x =>，则21ln ()xh x x'-=，所以当(1,)x e ∈时，()0h x '>；当(,)x e ∈+∞时，()0h x '<，于是函数()h x 在区间(1,)e 上单调递增，在区间(,)e +∞上单调递减，(1)0h =，1()h e e=，当x →+∞时，()0h x →．函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点，等价于方程()f x kx =有3个解，即函数()f x 的图象与直线y kx =有3个交点，作出函数()f x 与直线y kx =的大致图象，如下图所示．当直线y kx =与函数()h x 相切时，设切点坐标为000ln ,x x x ⎛⎫⎪⎝⎭，根据导数的几何意义可得：00200ln 01ln 0x x k x x --==-，解得：01,2k x e==()f x 的图象与直线y kx =有3个交点，数形结合可知k 的取值范国为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）选①，把22()3a b c ab +=+整理得，222a b c ab +-=，由余弦定理有2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，∴3C π= 5分选②,∵sin cos a A a C =-,由正弦定理得：sin sin sin cos A C A A C =-,∵sin 0A ≠cos 1C C -=， 即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 又0C π<<， ∴5666C πππ-<-<，故66C ππ-=，即3C π=； 5分 选③，∵(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=， 由正弦定理得：2(2)(2)2a b a b a b c -+-=， 即222a b c ab +-=，∴2221cos 22a b c C ab +-==， ∵0C π<<，∴3C π=； 5分（2）由（1）可知，3C π=，在ABC 中，由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=， 即223a b ab +-=，∴223()()334a b a b ab ++-=，∴23a b +，当且仅当a b =时取等号，∴33a b c ++，即ABC 周长的最大值为 10分18．【解析】（1）证明：在ABC 中，2222cos 20AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠=，∴AC =，∵D 为AC中点，∴CD =又∵1()2BD BA BC =+，∴()2221214BD BA BA BC BC =+⋅+=，∴1BD =， ∴222,BD BC CD BC BD +=⊥． ∵二面角P BD C --为直二面角，∴平面BCD ⊥平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD ． 5分（2）以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，BD 所在直线为y 轴，过点B 且垂直于平面BCD 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可求得(0,0,0),(2,0,0)B C ，(0,1,0),(0,2,2)D P ，因为E 为PC 的中点，3CF FB =，所以(1,1,1)E ，1,0,02F ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴1(2,1,0),(1,0,1),,1,02CD DE DF ⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，设平面CDE 的法向量为()111,,m x y z =，平面FDE 的法向量为()222,,n x y z =，则0,0,CD m DE m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,2,1)m =-， 0,0,DF n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得11,,12n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴cos ,3m n 〈〉==，所以二面角C DE F --12分19．【解析】（1）设前6项的公差为d ，则5363212,313a a d d a a d d =+=-+=+=-+，∵567,,a a a 成等比数列，∴22657(31)4(21)a a a d d =⋅⇒-=-， 解得：51,9d d ==（舍）， ∴6n 时，3(3)4n a a n d n =+-=-， ∴561,2a a ==，则2q =， ∴6n >时，6562n n n a a q--=⋅=，∴54,6,2, 6.n n n n a n --⎧=⎨>⎩（或54,5,2, 5.n n n n a n --⎧=⎨>⎩或54, 5.2, 5.n n n n a n --<⎧=⎨⎩） 6分（2）由（1）可得：{}:3,2,1,0,1,2,4,8,n a ---则当1m =时，1231236a a a a a a ++=-=，当2m =时，2342342342343,0,a a a a a a a a a a a a ++=-=++≠， 当3m =时，3453450a a a a a a ++==，当4m =时，4564564564563,0,a a a a a a a a a a a a ++==++≠， 当5m 时，假设存在m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=， 则有53122(124)2m m --++=即：53122772272m m m ---⋅=⇒=，∵5m ，∴273m -，∴2732287m -=>，从而2772m -=无解，∴5m 时，不存在这样的m ，使得1212m m m m m m a a a a a a ++++++=， 综上所述：1m =或3m =． 12分 20．【解析】（1）()sin xf x e x '=-， 由0x >，得1,sin [1,1]xe x >∈-，则()sin 0xf x e x '=->，即()f x 在(0,)+∞上为增函数． 故()(0)2f x f >=，即()2f x >． 4分（2）由()cos 0xf x ae x =+=，得cos xxa e =-．设函数cos (),[0,]xxh x x e π=-∈， 则sin cos ()xx xh x e'+=． 令()0h x '=，得34x π=． 则30,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3()0,,4h x x ππ'⎛⎤>∈ ⎥⎝⎦时，()0h x '<， 所以()h x 在30,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调逼增，在3,4ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调减．又因为343(0)1,(),4h h e h ππππ--⎛⎫=-==⎪⎝⎭，所以当34,2a e e ππ--⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程cos xx a e =-在区间[0,]π内有两个不同解，即所求实数a 的取值范围为34,2e e ππ--⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 12分 21．【解析】（1）依题意可得：参加甲游戏的概率为12163P ==， 参加乙游戏的概率为24263P ==， 设事件i A 为“有i 个人参加甲游戏”，∴()441233iii i P A C -⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()222241283327P A C ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 4分 （2）设事件B 为“甲游戏人数大于乙游戏人数”， ∴34B A A =⋃，∴()()()34343434441211()3339P B P A A P A P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋃=+=⋅+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 8分（3）ξ可取的值为0，2，4，∴()22224128(0)3327P P A C ξ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()33131344121240(2)333381P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()440404442117(4)3381P P A P A C C ξ⎛⎫⎛⎫==+=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，∴8401714802427818181E ξ=⨯+⨯+⨯=． 12分 22．【解析】（1）依题意：||||MP MR =，1分且||||||||||4||MR MQ MQ MP PQ RQ +=+==>=， 2分 由椭圆定义知点M 的轨迹为以R ，Q 为焦点，长轴长为，焦距为4的椭圆， 即：2,2a c b ===， 3分故22:184x y Γ+=． 4分 （2）设()00,N x y ，则220001,242x y x -=≠±， ∴直线,NR NQ 的斜率都存在，分别设为12,k k ，则220001222000021222442x y y y k k x x x x -=⋅===+---， 6分 将直线NR 的方程1(2)y k x =-代入22184x y +=得()2222111218880k x k x k +-+-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则221112122211888,2121k k x x x x k k -+==++， 8分∴21211||21k AB k +==+， 9分 同理可得22221||21k CD k +=+，10分()222221121122221211211312111142||||12121212112k k k k k AB CD k k k k k ⎛⎫++⎪⎫+++⎪∴+=+=+==⎪++++⎪⎭+ ⎪⎝⎭． 12分。
高三数学上学期10月月考试题文含解析
卜人入州八九几市潮王学校师范大学附属2021届高三数学上学期10月月考试题文〔含解析〕第一卷〔选择题，一共60分〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的〕(){|20}A x x x=-<，且()A B A⋃=，那么集合B可能是()A.{}1-B.{}0C.{}1D.{}2【答案】C【解析】【分析】先解出A＝〔0，2〕，根据A∪B＝A可得出B⊆A，依次看选项里面哪个集合是A的子集即可．【详解】A＝〔0，2〕；∵A∪B＝A；∴B⊆A；选项里面，只有{1}⊆A．应选：C．【点睛】此题考察了并集的定义及运算，子集的定义及一元二次不等式的解法问题，属于根底题．z满足11iz z=+，那么复数z的一共轭复数z对应的点在〔〕A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】利用复数的运算法那么首先求得z 的值，然后求解其一共轭复数即可确定其所在的象限.【详解】由题意可得：1zi z =+，那么()()111111122i z i i i i --===----+--， 故1122zi =-+，其所对的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第二象限.应选：B.【点睛】此题主要考察复数的运算法那么，复数所在象限确实定等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.3.以下判断正确的选项是〔〕A.“2x <-〞是“ln(3)0x +<〞的充分不必要条件B.函数()f x =的最小值为2C.当,R αβ∈sin sin αβ≠，那么αβ≠D.0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃≤，020*******x +≤〞【答案】C 【解析】 【分析】求解对数不等式之后即可考察选项A 是否正确，利用换元法可确定选项BCD 是否正确. 对于选项A ：由ln(3)0x +<可得031x <+<，即32x -<<-，故“2x <-〞是“ln(3)0x +<对于选项B ：令)3tt =≥，由对勾函数的性质可知函数()()13f t t t t =+≥单调递增，其最小值为()1033f =对于选项C αβ=，那么sin sin αβ=〞，对于选项D 0x ∀>，201920190x +>〞的否认是“00x ∃>，020*******x +≤应选：C.{}n a 满足()2*12n nn a an N +=∈，那么65a a -的值是B.-C.2D.【答案】D 【解析】分析：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，由()212nn n a a n N *+=∈，可得()21122122n n n nn n a a a a ++++=，解得2,q=2222,0n n n a a ∴⨯=>，解得2122n na -=，代入即可得结果.详解：设正项等比数列{}n a 的公比为0q >，()212n n n a a n N *+=∈，所以()2121221242n n n n n n a a q a a ++++===，解得2q，2222,0nn n a a ∴⨯=>，解得2122n na -=，那么119226522aa -=-=，应选D.点睛：此题主要考察数列递推关系，等比数列的通项公式，意在考察推理才能与计算才能以及根本概念与根本公式的掌握的纯熟程度，属于中档题.2tan ()1xf x x x=++的局部图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的性质和函数值的取值情况进展分析、判断可得结论． 【详解】因为()()21tanxf x x f x x-=++=， 所以函数()f x 为偶函数，故函数的图象关于y 轴对称，故可排除A ，C ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0tanx >，所以()0f x >，故可排除B ． 从而可得选项D 正确． 应选D ．【点睛】此题考察用排除法判断函数图象的形状，解题的关键是根据函数的解析式得到函数为偶函数，进而得到图象的对称情况，然后再通过判断函数值的方法求解． 6.O 为ABC ∆的外接圆的圆心，且345OA OBOC +=-，那么C ∠的值是〔〕A.4π B.2π C.6π D.12π【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先结合平面向量数量积的运算法那么确定AOB ∠的大小，然后建立平面直角坐标系，结合向量的运算法那么求得cos C 的值即可确定C ∠的值.【详解】由题意可得：||||||OA OB OC ==，且1(34)5OCOA OB =-+，224||25OC OA OB =+⋅， 24025OA OB ∴⋅=，∴∠AOB =90°. 如下列图，建立平面直角坐标系，设()0,1A ，()10B ,， 由()344,35OA OB OC +==-可知：43,55C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，那么：48,55CA ⎛⎫= ⎪⎝⎭，93,55CB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，362425cos 4CA CB C CA CB +⋅===⨯，那么4Cπ∠=.应选：A.【点睛】此题主要考察平面向量的运算法那么，向量垂直的充分必要条件，由平面向量求解角度值的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.7.,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，那么sin (sin )αα，cos (sin )αα，sin (cos )αα，cos (cos )αα中值最大的为〔〕 A.cos (cos )ααB.sin (sin )ααC.cos (sin )ααD.sin (cos )αα【答案】C 【解析】 【分析】由题意首先确定sin ,cos αα的范围，然后结合指数函数的单调性和幂函数的单调性确定所给选项里面最大的数即可.【详解】由于,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα，故0sin 1,0cos 1αα<<<<，且sin cos αα>. 由指数函数的单调性可得：()()sin cos sin sin αααα<，()()sin cos cos cos αααα<，由幂函数的单调性可得：()()cos cos sin cos αααα>， 综上可得，sin (sin )αα，cos (sin )αα，sin (cos )αα，cos (cos )αα中值最大的为cos (sin )αα.应选：C.【点睛】此题主要考察三角函数范围的应用，指数函数的单调性，幂函数的单调性的应用等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 满足12a =，且对任意正整数n ，总有()()1112n n n a a a +--=成立，那么数列{}n a 的前2021项的乘积为〔〕A.12B.1C.2D..3【答案】D 【解析】【分析】由题意结合递推关系式求得数列的前几项，确定数列为周期数列，然后结合周期性即可求解数列{}n a 的前2021项的乘积即可.【详解】由题意可得：1211n n na a a +=+-，故：12a =，1212131a a a =+=--，23221112a a a =+=--， 34321113a a a =+=-，45142121a a a a =+==-， 据此可得数列{}n a 是周期为4T =的周期数列，注意到201943MOD =，且：12341a a a a =，故数列{}n a 的前2021项的乘积为：()12332⎛⎫⨯-⨯-= ⎪⎝⎭. 应选：D.【点睛】此题主要考察数列的递推关系及其应用，数列的周期性等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.()2cos()4f x x πω=+〔0>ω〕的图象向右平移4πω个单位，得取函数()y g x =的图象，假设()y g x =在[0,]3π上为减函数，那么ω的最大值为〔〕 A.2 B.3C.4D.5【答案】B 【解析】由题意可得函数()g x 的解析式为ππ()2cos 2cos 44g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数()g x 的一个单调递减区间是π0ω⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，假设函数()y g x =在区间π03，⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，那么ππ003ω⎡⎤⎡⎤⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，只要ππ3ω≥，∴3ω≤，那么ω的最大值为3，应选B ． 点睛：函数的单调区间，求参，直接表示出函数的单调区间，让区间π03，⎡⎤⎢⎥⎣⎦是单调区间的子集；{}n a 满足11a =，()*11(1)n n n n a a a a n N n n ++-=∈+，那么10a 的值是〔〕 A.23B.12C.1019D.52【答案】C 【解析】 【分析】首先整理所给的递推关系式，然后累加求通项即可求得10a 的值.【详解】由11(1)n n n n a a a a n n ++-=+可得:()11111111n na a n n n n +-==-++， 那么：101099821111111111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11111191191089210⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么101019a =. 应选：C.【点睛】此题主要考察数列递推关系的应用，裂项求通项的方法等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 的前n 项和为n S ，假设()2*12n n S S n n ++=∈N ，且1028a =，那么2a =〔〕A.－5B.－10C.12D.16【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用递推关系式确定数列为隔项等差数列，然后结合10a 的值可得2a 的值.【详解】由题意可得：212n n S S n ++=，()2121n n S S n -+=-，两式作差可得：()122142nn a a n n ++=-=-，① 进一步有：()141246n n a a n n -+=--=-，②①-②可得：114n n a a +--=，故数列的偶数项为等差数列，且公差为4， 据此可得：1024a a d =+，即：22844a =+⨯，解得：212a =.应选：C.【点睛】给出n S 与n a 的递推关系，求a n ，常用思路是：一是利用1n nn S S a +-=转化为a n的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n . 12.()e xf x x =，又2()()()1()g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，那么实数t 的取值范围是〔〕A.21,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭B.212,e e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C.21,2e e ⎛⎫+-- ⎪⎝⎭D.21,e e ⎛⎫+-∞- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先将函数写成分段函数的形式研究函数()f x 的性质，然后结合二次函数的性质研究复合函数()g x 的性质即可确定实数t 的取值范围.【详解】,0()e ,0x xxxe x f x x xe x ⎧≥==⎨-<⎩， 当x ⩾0时,()0x x f x e xe '=+恒成立,所以f (x )在[0,+∞)上为增函数；当x <0时,()(1)x x x f x e xe e x '=--=-+，由f ′(x )=0,得x =−1,当x ∈(−∞,−1)时,f ′(x )=−e x(x +1)>0,f (x )为增函数，当x ∈(−1,0)时,f ′(x )=−e x(x +1)<0,f (x )为减函数，所以函数f (x )=|xe x|在(−∞,0)上有一个最大值为1(1)f e-=， 那么函数()f x 的大致图象如下列图：令f (x )=m ,要使方程f 2(x )−tf (x )+1=0(t ∈R )有四个实数根，那么方程m 2-tm +1=0应有两个不等根,且一个根在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内,一个根在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内. 再令h (m )=m 2−m +1,因为h (0)=1>0,那么只需10h e ⎛⎫< ⎪⎝⎭,即21110t e e⎛⎫-⋅+< ⎪⎝⎭，解得21e t e +>. 应选：A.【点睛】此题主要考察导函数研究函数的单调性，导函数研究函数的零点等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.第二卷〔非选择题，一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分.将答案填在答题卡相应的位置上〕23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．【答案】30x y -=. 【解析】 【分析】此题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x x y x e x x e x x e =+++=++所以，/0|3x ky ===所以，曲线23()e x y x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=．【点睛】准确求导数是进一步计算的根底，此题易因为导数的运算法那么掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢〞，计算要准，是解答此类问题的根本要求．a 与b 的夹角为45，()1,1a=-，b 1=，那么a 2b +=______．.【解析】【详解】分析：先计算||a ，再利用向量模的公式求2a b +.详解：由题得2a ||=，所以2a b +=224424a b a b ++⋅=++==.点睛：(1)此题主要考察向量的模的计算，意在考察学生对这些知识的掌握程度和根本计算才能.(2)假设(,)a x y =，那么222a x y a =+=.R 上的奇函数()f x 满足()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()11f =，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且()421n n a S n N +-=∈，()()35f a f a +=_________.【答案】2- 【解析】 【分析】利用题中条件可推出函数()y f x =是以3为周期的周期函数，由421n n a S -=可得出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出3a 、5a 的值，再利用周期性和奇函数的性质求出()()35f a f a +的值.【详解】对任意的n ∈+N ，421n n a S -=，当1n =时，11421a S -=，得112a =； 当2n ≥时，由421nn a S -=得11421n n a S ---=，上述两式相减得14420n n n a a a ---=，整理得12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是以12为首项，以2为公比的等比数列，231222a ∴=⨯=，451282a =⨯=.()112f x f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，()32f x f x ⎛⎫∴+=- ⎪⎝⎭，由于函数()y f x =为奇函数， ()()32f x f x f x ⎛⎫∴+=-=- ⎪⎝⎭，()()332f x fx f x ⎛⎫∴+=-+= ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =是以3为周期的周期函数，()()()()32111f a f f f ∴==-=-=-，()()()5821f a f f ===-，因此，()()352f a f a +=-，故答案为：2-.【点睛】此题考察函数周期性与奇偶性求值，同时也考察了利用前n 项和公式求数列的通项，考察运算求解才能，属于中等题.16.G 点为ABC ∆的重心，且AG BG ⊥，那么222sin sin sin A BC+的值是________. 【答案】5 【解析】 【分析】由题意建立平面直角坐标系，然后结合重心的性质和正弦定理即可求得222sin sin sin A BC+的值. 【详解】以点G 为坐标原点，建立如下列图的平面直角坐标系，设()()0,2,2,0A m B n ，由重心的性质可得：()()0,,,0Mm N n --，故直线AN 的方程为：12x y n m +=-，直线BM 的方程为：12x y n m+=-， 联立直线AN 与直线BM 的方程可得点C 的坐标为()2,2C n m --.结合两点之间间隔公式可得：222164a n m =+，222416b n m =+，22244c m n =+，利用正弦定理可知：222222sin sin 5sin A B a b C c++==. 故答案为：5．【点睛】此题主要考察正弦定理及其应用，直线方程的应用，直线交点坐标的求解等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.三、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤〕()|1|||f x x x a =++-.〔Ⅰ〕当2a=时，解不等式：()5f x x ≥；〔Ⅱ〕假设存在0x R ∈，使得()020f x -<，试务实数a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦〔Ⅱ〕{}|31a a -<<. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集； (Ⅱ)首先利用绝对值三角不等式求得|1|||x x a ++-的最小值，据此得到关于a 的不等式即可确定实数a的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕|1||2|5x x x ++-≥，1125x x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩或者12125x x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩或者2125x x x x ≥⎧⎨++-≥⎩， 所以，1x ≤-或者315x -<≤或者x ∈∅， 不等式解集为3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 〔Ⅱ〕即假设存在0x R ∈，使得()02f x <，因为|1|||x x a ++-|(1)()||1|x x a a +--=+，所以|1|2a +<， 所以a 的取值范围为{}|31a a -<<.【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表达了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法〞求解，表达了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，表达了函数与方程的思想．18.cos 2,2sin 34ax x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，1,sin 4b x π⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.记()f x a b =⋅〔Ⅰ〕求函数()f x 的单调递增区间和图象的对称轴方程； 〔Ⅱ〕画出函数()f x 在区间[0,]π上的图象.【答案】〔Ⅰ〕单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦;对称轴方程是32k x ππ=+，()k ∈Z ；〔Ⅱ〕见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先将函数的解析式整理为()()sin f x A x b ωϕ=++的形式，然后讨论函数的单调递增区间和函数的对称轴方程即可；(Ⅱ)首先利用函数的解析式列表，然后绘制函数图像即可.【详解】〔Ⅰ〕()cos 22sin sin 344f x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sin 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令222262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈， 那么：222233k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，据此可得()f x 的单调递增区间是,()63k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.令262x k πππ-=+，可得对称轴方程为32k x ππ=+，()k ∈Z .〔Ⅱ〕列表可得函数值如下：据此绘制函数图像如下列图：【点睛】此题主要考察三角函数式的化简，三角函数单调区间的求解，三角函数图象的绘制等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕记等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，37b =，763S =，设11n n c a =+，求证：数列{}n n b c ⋅的前n 项和2n T <.【答案】〔Ⅰ〕31n n a =-〔Ⅱ〕证明见解析【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用题中所给的递推关系式构造等比数列，然后结合等比数列的通项公式即可求得数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)由题意首先求得数列的首项和公差，据此即可确定数列{}n b 的通项公式，据此确定数列{}n n b c ⋅的通项公式，最后错位相减求得其前n 项和即可证得题中的结论. 【详解】〔Ⅰ〕∵数列{}n a 的首项12a =，且()*132n n a a n N +=+∈，∴()1131n n a a ++=+，113a +=，∴{}1n a +是首项为3，公比为3的等比数列，∴13n na +=，31n n a =-.〔Ⅱ〕记等差数列{}n b 的公差为d ，那么：3127b b d =+=，7172163S b d =+=，解得13b =，2d =，所以，21n b n =+，1(21)3n n n b c n =+ 23111111357(21)(21)33333n n nT n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅〔1〕3142111111357(21)(21)333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅〔2〕〔1〕－〔2〕得，23121111112(21)3333333n nn T n +⎛⎫=+⋅++++-+⋅ ⎪⎝⎭111111332(21)13313n n n +⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅-+⋅-141(24)33n n +=-+，12(2)3n nT n =-+⋅ 12(2)23n nT n=-+⋅<. 【点睛】此题主要考察由递推关系式求解数列通项公式的方法，错位相减求和的方法，数列中不等式的证明等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能.ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且2sin 2cos )sin 30A A B C A -+-=〔Ⅰ〕求A 的大小；〔Ⅱ〕假设2a=，求ABC ∆的周长L 的最大值. 【答案】〔Ⅰ〕3A π=.〔Ⅱ〕6【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用诱导公式和两角和差正余弦公式得到关于A 的三角方程，然后结合角的范围即可确定∠A 的大小；(Ⅱ)由题意结合正弦定理将边长整理为关于∠B 的三角函数式，然后结合三角函数的性质和角的范围即可求得周长的最大值. 【详解】〔Ⅰ〕∵A B C π++=，∴cos()cos B C A +=-①，∵32A A A =+，∴sin 3sin(2)A A A =+sin 2cos cos2sin A A A A =+②，又sin 22sin cos A A A =③，2cos22cos 1A A =-④，将①②③④代入，得2sin 2cos A A Asin 2cos cos 2sin A A A A =++得sinA A +=sin 3A π⎛⎫+=⎪⎝⎭，又0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴233A ππ+=，即3A π=.2sin sin 3b c B B π==⎛⎫- ⎪⎝⎭∵62B ππ<<，∴2363B πππ<+<，当62B ππ+=时，即3B π=，ABC ∆的周长max 6L =.【点睛】解三角形的根本策略：一是利用正弦定理实现“边化角〞，二是利用余弦定理实现“角化边〞；求三角形周长的最值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用根本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.{}n a 满足()1,2n n a a n N n -+<∈≥，记数列{}n a 前n 项和n S ，()2*441n n S a n n N =+-∈，其中13a ≠.〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕假设()*11n n n b n N a a +=∈，数列{}n b 的前n 项和为n T ，假设9n m T ≤恒成立，务实数m 的最小值.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕92【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意分类讨论n =1和n ≥2两种情况即可确定数列的通项公式； (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结论首先裂项求和求得数列{}n b 的前n 项和为nT，然后结合恒成立的结论确定实数m 的取值范围即可确定实数m 的最小值. 【详解】〔Ⅰ〕()2441n n S a n n N +=+-∈，令1n =，可得：21441n a a =+-，解得13a =〔舍〕或者11a =2441n n S a n =+-，211445(2)n n S a n n --=+-≥，两式作差得，22144n n n a a a -=-+，即()2212n n a a --=，所以12nn a a --=±. 〔1〕当12(2)nn a a n --=≥时，{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，此时，12(1)21n a n n =+-=- 〔2〕当12(2)n n a a n -+=≥时，11a =，此时1n a =，不满足数列{}n a 是递增数列，舍去.所以21na n =-，〔Ⅱ〕111(21)(21)nn n b a a n n +==-+11122121n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭19292n m T m <≤⇒≥，实数m 的取值范围9,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 那么实数m 的最小值为92. 【点睛】此题考察的核心是裂项求和，使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保存了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，本质上造成正负相消是此法的根源与目的．21()(21)2ln ()2f x ax a x x a =-++∈R .〔Ⅰ〕求()f x 的单调区间； 〔Ⅱ〕设2()2x g x e x e =--+，假设对任意1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈使得()()12f x g x <，求a 的取值范围.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕ln 21a >- 【解析】 【分析】(Ⅰ)首先求得导函数的解析式，然后结合函数的定义域和导函数的符号分类讨论即可确定函数的单调区间； (Ⅱ)首先求得函数()g x 的最大值，然后进展等价转化，结合(Ⅰ)中的结果分类讨论即可确定a 的取值范围.【详解】〔Ⅰ〕()2(1)(2)()21(0)ax x f x ax a x x x--'=-++=>. ①当0a ≤时，0x >，10ax ，在区间(0,2)上，()0f x '>；在区间(2,)+∞上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,)+∞. ②当102a <<时，12a>， 在区间(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是(0,2)和1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭，单调递减区间是12,a ⎛⎫⎪⎝⎭.③当12a =时，2(2)()02x f x x-'=≥，故()f x 的单调递增区间是(0,)+∞.④当12a>时，102a <<，在区间10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞上，()0f x '>；区间1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上()0f x '<，故()f x 的单调递增区间是10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭和(2,)+∞，单调递减区间是1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭. 〔Ⅱ〕设()1x g x e '=-，2(]0,x ∈，()0g x '>，()g x 为增函数，由，()max g(2)0gx ==.据此可得max()0f x <.由〔Ⅰ〕可知， ①当12a ≤时，()f x 在(0,2]上单调递增， 故max ()(2)22(21)2ln 2f x f a a ==-++222ln 2a =--+，所以，222ln 20a --+<，解得ln 21a >-，故1ln 212a -<≤. ②当12a >时，()f x 在10,a ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， 故max 11()22ln 2f x f a a a ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭.由12a >可知11ln ln ln 12ea >>=-，2ln 2a >-，2ln 2a -<， 所以，22ln 0a --<，max ()0f x <，综上所述，ln 21a >-.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考察主要从以下几个角度进展：(1)考察导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联络．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考察数形结合思想的应用．。
高三数学上学期10月月考试题理含解析试题 2
卜人入州八九几市潮王学校二中、呼二中2021届高三数学上学期10月月考试题理〔含解析〕考生注意：1.本套试卷总分值是150分，考试时间是是120分钟。
2.考生答题时，请将答案答在答题卡上。
选择题每一小题在选出答案以后，需要用2B 铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内答题，超出答题区域书写之答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上答题无效．．．．．．．．。
3.做选考题时，考生需要按照题目要求答题，并需要用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的. 1.集合{}|02A x x =<<，{}2|340B x x x =+->，那么()R A C B 等于〔〕A.{}|01x x <≤B.{}|12x x ≤<C.{}|02x x <<D.{}|12x x -≤<【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式求得集合B ,再进展补集交集运算 【详解】由题{}()()2|3401,,4B x xx =+->=+∞⋃-∞-故{}|41R C B x x =-≤≤，(){}|01R A C B x x =<≤.应选A【点睛】此题考察集合的运算，准确求得集合B 是关键，是根底题2.复数2(1)12i i i-+〔i 为虚数单位〕等于〔〕A.1355i - B.1355i + C.3155i - D.3155i + 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的四那么运算，化简2(1)131255i i i i -=++，即可求解．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数2(1)(1)(12)1313125555i i i i i i i --+-+===++，应选B ．【点睛】此题主要考察了复数的四那么运算，其中解答中熟记复数的四那么运算法那么，准确计算是解答的关键，着重考察了运算与求解才能，属于根底题．3.向量a ，b 的夹角为3π，假设a c a =，b d b=，那么c d ⋅=〔〕A.14B.12D.34【答案】B 【解析】 【分析】直接利用数量积定义求解即可 【详解】由题1c d ==，那么1cos32c d π⋅==. 应选B【点睛】此题考察数量积的定义，是根底题4.0a>，0b <，那么“0a b +>〞是“22a b >〞的〔〕A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】利用充分必要条件结合不等式性质即可得解 【详解】∵0a >，0b <，∴0a b ->，∵0a b +>，∴()()220a b a b a b -=+->，∴22a b >，反之，22a b >时，()()0a b a b +->，∵0a b ->，∴0a b +>.应选C【点睛】此题考察充分必要条件的判断，考察推理才能结合不等式性质求解是关键 5.观察以下等式：332123+=，33321236++=，33332123410+++=，记()3333123f n n =+++⋅⋅⋅+.根据上述规律，假设()225f n =，那么正整数n 的值是〔〕A.8B.7C.6D.5【答案】D 【解析】 【分析】由规律得()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=再解方程即可【详解】由等式的规律可知()()()22211234n n f n n +=+++⋅⋅⋅+=，当()225f n =时，可得5n =.应选D【点睛】此题考察归纳推理，熟记等差数列求和公式是关键，考察观察转化才能，是根底题6.假设幂函数()y f x =的图象过点(8,，那么函数()()21f x fx --的最大值为〔〕A.12 B.12-C.34-D.-1【答案】C 【解析】 【分析】t =，转化为二次函数求最值即可【详解】设幂函数()y f x x α==，图象过点(8,，故318=2=2ααα故()f x =()()21f x f x x --t =，那么()21y t t =-+，0t ≥， ∴12t=时，max 34y =-.应选C【点睛】此题考察幂函数的解析式，考察二次函数求值，是根底题，注意换元时新元的范围7.()f x 是周期为2的奇函数，当10x -<≤时，()2x af x x b +=+，假设7225f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么+a b 等于〔〕 A.-1 B.1C.-2D.2【答案】B 【解析】 【分析】利用周期性和奇偶性得1225f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，结合()00f =得a,b 的值即可求解【详解】由()f x 周期为2,那么4也为周期故711212==222525f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=∴-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即122154a b -=-+又()00f =，∴0a=，1b =，故1a b +=.应选B【点睛】此题考察利用周期性与奇偶性求值，考察推理才能，注意()00f =的应用8.在正方形ABCD 中，点O 为ABC ∆内切圆的圆心，假设AO xAB yAD =+，那么xy 的值是〔〕A.14B.34-【答案】D 【解析】 【分析】 连OB 并延长到与AC 相交于点H ,设正方形ABCD 的边长为1,求得ABC ∆内切圆的半径为r ，再利用平面向量根本定理求解【详解】连OB 并延长到与AC 相交于点H ，设正方形ABCD 的边长为1，那么122BH BD ==，设ABC∆内切圆的半径为r，那么)12BH OH OB r r =+=+==，可得22r -=. 设ABC ∆内切圆在AB 边上的切点为E ，那么()1AO AE EO r AB r AD=+=-+22222112222AB AD AB AD ⎛⎫⎛⎫-=-+=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有2x =，12y =-，故11222xy ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭. 应选D【点睛】此题考察平面向量根本定理，数形结合思想的应用，考察推理才能，准确求得内切圆半径是关键，是中档题9.n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，假设228m m S S =，2181m m a ma m =-，那么数列{}n a 的公比q 为〔〕 A.3 B.2C.-3D.-2【答案】A 【解析】 【分析】 讨论1q=不成立，当1q ≠直接利用等比数列的通项公式和前n 项和公式列式求出结果．【详解】由1q=时，2112228m m S ma S ma ==≠，故1q ≠.∵()()21211112811m m m mm a q S q q S a q q--==+=--，∴27mq=.又2181m m m a m q a m ==-，解得3m =，3q =. 应选A【点睛】此题考察的知识要点：数列的通项公式和前n 项和公式的求法及应用，主要考察学生的运算才能和转化才能，属于根底题型．10.执行如下列图的程序框图，假设输入的50t =-，那么输出的n 的值是〔〕A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】根据中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案． 【详解】输入的50t =-，1,0,1;S n m ===第一次循环，0,2,1,S m n ===满足50S >- 第二次循环，2,4,2,S m n =-==满足50S >- 第三次循环，6,8,3,S m n =-==满足50S >- 第四次循环，14,16,4,S m n =-==满足50S >- 第五次循环，30,32,5,S m n =-==满足50S >-第六次循环，62,64,6,S m n =-==不满足50S >-，退出循环，输出n =6应选C【点睛】此题考察的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进展管理，属于根底题． 11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，假设a 是b 和c 的等比中项，那么sin sin tan tan A AB C+=〔〕 A.1B.12C.23D.34【答案】A 【解析】 【分析】切化弦得sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，通分,结合两角和的正弦公式及正弦定理求解即可 【详解】由题意有a bc=2，sin sin cos cos sin tan tan sin sin A A B C A B C B C ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22sin sin sin 1sin sin sin sin A B C A a B C B C bc+====. 应选A【点睛】此题考察等比中项的应用，两角和的正弦公式及正弦定理边角互化的应用，切化弦是打破点，是中档题12.数列1，1，1，2，2，1，2，4，3，1，2，4，8，4，1，2，4，8，16，5，…，其中第一项为哪一项哪一项02，第二项是1，接着两项为02，12，接着下一项为哪一项哪一项2，接着三项是02，12，22，接着下一项为哪一项哪一项3，依此类推.记该数列的前n 项和为n S ，那么满足3000n S >的最小的正整数n 的值是〔〕 A.65 B.67C.75D.77【答案】C 【解析】 【分析】由题将数列分组，得每组的和，推理3000nS >的n 的大致范围再求解即可【详解】由题将数列分成如下的组〔1，1〕，〔1，2，2〕，〔1，2，4，3〕，〔1，2，4，8，4〕，〔1，2，4，8，16，5〕…，那么第t 组的和为01122221t t t t -++⋅⋅⋅++=-+，数列一共有()()32312t t t +++⋅⋅⋅++=项，当()32t t n +=时，()()()121211221222t t nt t t t S t +-+-=-+=+--,随t 增大而增大， 10t =时，65n =，6520484522091S =+-=，11t =时，77n =，7740965524194S =+-=，第65项后的项依次为02，12，22， (102)11，02，12，…，又0211222222112mm m --+++⋅⋅⋅+==--，921511-=，10211023-=，20915113000+<，209110233000+>，∴满足条件的最小的值是n 651075+=.应选C【点睛】此题考察数列的应用，等差数列与等比数列的前n 项和，考察计算才能，属于难题 二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.13.x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，那么2z x y =+的最大值为______.【答案】5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目的函数的几何意义当截距最小时取z 获得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+当直线平移过点A 时，z 获得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A 〔1,2〕，故max 145z =+=故答案为5【点睛】此题考察画不等式组表示的平面区域、考察数形结合求函数的最值，是根底题14.tan 34πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，那么cos 24πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.【答案】10【解析】 【分析】 由两角和的余弦公式及二倍角公式求得()cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2222cos sin 2sin cos 2cos sin θθθθθθ-+=⋅+转化为1tan 2θ=的齐次式求解即可 【详解】由题()cos 2cos 2sin 242πθθθ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭2222cos sin 2sin cos 2cos sin θθθθθθ-+=⋅+221tan 2tan 21tan 10θθθ-+=⋅=+.【点睛】此题考察两角和与差的余弦公式，正切齐次式求值，熟记公式，准确化为二次齐次式是关键，是中档题 15.正实数x 、y 满足()()1216x y ++=，那么4x y +的最小值为______.【答案】10 【解析】 【分析】 由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦结合根本不等式求解即可【详解】由()()44126x y x y +=+++-⎡⎤⎣⎦610≥=〔当且仅当1x =，6y =时取“=〞〕.故答案为10【点睛】此题考察了变形利用根本不等式的性质，准确配凑出定值是关键，属于根底题．16.函数()23,145,1x x f x x x x ⎧-+<=⎨-+≥⎩，()()()ln g x x a a R =+∈，假设函数()()y f x g x =-恰有4个零点，那么实数a 的取值范围是______. 【答案】()34,e【解析】画出函数()f x 的图像，讨论()y g x =图象与其相交的临界位置求解即可【详解】由()()23,121,1x x f x x x ⎧-+<⎪=⎨-+≥⎪⎩，那么函数()f x 的简图如下列图： 假设函数()()y f x g x =-恰有4个零点，那么函数()y g x =图象所在的临界位置恰好在虚线所在的函数①②的位置. 〔1〕当函数()y g x =处于①的位置时，点()0,3在函数()y g x =的图象上，有()0ln 3g a ==，得3ae =；〔2〕当函数()y g x =处于②的位置时，此时函数()y g x =与直线3yx相切，设切点P 的坐标为()00,x y ，有()00000113ln x a y x y x a ⎧=⎪+⎪⎪=+⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：00304x y a =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，由〔1〕〔2〕知实数a 的取值范围是()34,e .故答案为()34,e【点睛】此题主要考察函数与方程的应用，考察导数的应用，考察数形结合以及一元二次函数，对数函数的性质进展求解，注意临界位置的考察．三、解答题：一共70分.解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须答题.第22、23题为选考题，考生根据要求答题. 〔一〕必考题：一共60分. 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，cos cos sin sin 1A B A B C -=. 〔1〕求角C 的大小； 〔2〕假设ABC ∆的面积为c =，求+a b 的值.【答案】〔1〕3C π=〔2〕6a b +=【解析】〔1〕利用两角和的余弦公式及内角和定理得cos 1C C-=，由二倍角公式得2cos cos 222C C C =，进而求得C;〔2〕利用面积公式得8ab =，结合余弦定理得()2220a b ab +-=，那么+a b 可求【详解】〔1〕∵()cos1A B C +=，∴cos 1C C -=，22cos 11cos222C C C ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭，2coscos 222C C C=.∵0C π<<，故tan23C =26C π=，3C π=.〔2〕由ABC ∆的面积为3Cπ=，知1sin 232ABCS ab C ∆，∴8ab =，由余弦定理知2222cos 12c a b ab C =+-=，故2220a b +=，()2220a b ab +-=，解得6a b +=.【点睛】主要考察两角差的余弦公式、利用正余弦定理解三角形等根底知识，考察运算求解才能，考察数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想．18.函数())22sin cos 0f x x x x ωωωω=->的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的间隔为1. 〔1〕求函数()f x 的增区间；〔2〕当1163x -≤≤时，求函数()f x 的最大值、最小值及相应的x 的值. 【答案】〔1〕()15,1212kk k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；13x =时，函数()f x【解析】 【分析】〔1〕利用二倍角公式及辅助角公式化简()f x =2sin 23x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭，进而得1T =及ωπ=那么解析式可求； 〔2〕由1163x -≤≤得22333x ππππ-≤-≤，利用正弦函数的图像及性质得值域即可【详解】〔1〕由()())2sin 22cos 1f x x x ωω=-()()sin 222sin 23x x x πωωω⎛⎫==- ⎪⎝⎭.由函数()f x 的图象与直线2y =-的相邻两个交点之间的间隔为1，有1T =，有212πω=，得ωπ=，故()2sin 23f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.令()222232k x k k Z ππππππ-≤-≤+∈，得()151212k x k k Z -≤≤+∈. 故函数()f x 的增区间为()15,1212k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.〔2〕当1163x -≤≤时，22333x ππππ-≤-≤. 那么当232x πππ-=-，即112x =-时，函数()f x 的最小值为-2；当233x πππ-=，即13x =时，函数()f x .【点睛】此题主要考察三角函数的图象与性质〔对称性、周期性、单调性〕、两角差的正弦公式，考察运算求解才能，考察化归与转化思想、函数与方程思想． 19.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2nSn n =+.〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕令12n nn b a -=⋅，假设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求满足258n T =的正整数n 的值.【答案】〔1〕2n a n =〔2〕5【解析】【分析】〔1〕利用112a S ==，当2n ≥时，12n n n a S S n -=-=求得通项〔2〕由错位相减求和即可 【详解】〔1〕由题112a S ==.当2n ≥时，()()()221112n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=⎣⎦.由12a =符合2n a n =，故数列{}n a 的通项公式为2n a n =.〔2〕由1222n n nb n n -=⨯=⋅，作差得：23122222n n nT n +-=+++⋅⋅⋅+-⋅得：()()112122222112n n n n nTn n ++-=⋅-=⋅---得：()1122n n T n +=-⋅+，又()()211122122120n n n n n T T n n n ++++-=⋅+--⋅-=+>故数列{}n T 单调递增，且65422258T =⨯+=，故满足258nT =的正整数n 的值只有一个为5.【点睛】此题考察数列的通项和前n 项和的关系，考察错位相减求和，准确计算是关键，属于中档题． 20.函数()()22log 1log f x ax x =--．〔1〕假设关于x 的方程()22log 0f x x -=有解，务实数a 的最小整数值；〔2〕假设对任意的1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值与最小值的差不超过1，务实数a 的取值范围．【答案】〔1〕2〔2〕10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】〔1〕化简方程得21ax x=+，问题转化为求()21g x x x =+的最小值，对()g x 求导，分析导函数的正负得()gx 的单调性，从而得出()g x 的最小值，可得解；〔2〕分析函数()f x 的定义域和单调性，得出()f x 在[],1t t +的最小值和最大值，由建立不等式2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，再构造新函数，求导分析其函数的单调性，得其最值，从而得解.【详解】〔1〕()22log 0f x x -=化为()22log 13log ax x -=，0x ∴>，31ax x -=，21a x x∴=+．令()21g x x x =+，0x >，那么()3'2212120x g x x x x -=-=>，x >．()g x ∴的单调减区间为⎛ ⎝，单调增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，()g x g ≥=33212>，332732244=<=，12∴<<． a ∴的最小整数值为2．〔2〕()2221log (1)log log f x ax x a x ⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，0x >，10ax ->，1x a >．．0a ∴>，()f x 的定义域为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,∞+是增函数．那么1t a >，()f x 在[],1t t +上的最大值为()211log 1f t a t ⎛⎫+=- ⎪+⎝⎭，最小值为()21log f t a t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．由题意知2211log log 11a a t t ⎛⎫⎛⎫---≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，11021a a t t ⎛⎫∴<-≤- ⎪+⎝⎭． 211a t t ∴≥-+， 令()211h t t t =-+，()()()22'2222212(1)101211t t h t t t t t t -+⎛⎫=-+=<≤≤ ⎪⎝⎭++．()h t ∴在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，()h t ∴最大值为12104233h ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．103a ∴≥，112a <，a ∴的取值范围是10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】此题综合考察运用导函数分析原函数的单调性、最值解决求参数的范围等问题，解决问题的关键是构造函数，对其求导，分析导函数的正负，得其构造函数的单调性和最值，属于难度题. 21.函数()()ln 21f x x a x =-+，a R ∈.〔1〕当()20,x e ∈时，()f x 有2个零点，求a 的取值范围；〔2〕假设不等式()2f x ax <-恒成立，求a 的取值范围.【答案】〔1〕21111,222a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭〔2〕(]1,0- 【解析】 【分析】〔1〕别离参数构造新函数()ln xh x x=，求导求最值即可得a 的取值范围 〔2〕不等式()2f x ax <-，得()221ln 0ax a x x -++<，构造函数()()221ln g x ax a x x =-++，求导讨论a 的正负确定函数的最值即可求解【详解】〔1〕()20,x e ∈时，由()0f x =得ln 21x a x +=，令()ln x hx x =，那么()21ln 'xh x x-=， 0x e <<时，()'0h x >，x e >时，()'0h x <.∴()h x 在(]0,e 上是增函数，在[),e +∞上是减函数，又()10h =，()1h e e=，()222h e e =，∴当22121a e e<+<时，()f x 在()20,e 上有2个零点，∴21111,222a e e ⎛⎫∈--⎪⎝⎭. 〔2〕因为不等式()2f x ax <-即为()2ln 21x a x ax -+<-，得()221ln 0ax a x x -++<，设()()221ln gx ax a x x =-++，那么不等式()2f x ax <-等价于()0g x <.从而()()()222111'221ax a x g x ax a x x-++=-++=()()211ax x x --=，0x >. 当0a ≤时，()0,1x ∈时，()'0g x >；()1,x ∈+∞时，()'0g x <，所以函数()gx 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减，此时()()max11g x g a ==--. 由题意，假设()0gx <恒成立，那么()max 0g x <，即10a --<，解得1a >-.所以10a -<≤； 当0a>时，存在12x a=+使得()21411124212ln 2g a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++-++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11144422ln 2a a a a a ⎛⎫=++----++ ⎪⎝⎭1ln 20a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭. 故不可能满足()0gx <恒成立.综上，实数a 的取值范围是(]1,0-.【点睛】此题考察了函数的单调性，最值问题，考察导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，准确求得最值是关键，是一道综合题．〔二〕选考题：一共10分.请考生在第22、23题中任选一题答题.假设多做，那么按所做的第一题计分. 22.以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取一样的长度单位，C 的极坐标方程为8cos ρθ=.〔1〕求曲线C 的直角坐标方程；〔2〕经过点()1,1Q 作直线l 交曲线C 于M ，N 两点，假设Q 恰好为线段MN 的中点，求直线l 的方程.【答案】〔1〕228x y x +=.〔2〕320x y --=.【解析】 【分析】 〔1〕由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=即可得直角坐标方程；〔2〕直线l 的方程为()11y k x -=-，利用QC MN ⊥得1QC k k ⋅=-求解即可【详解】〔1〕由8cos ρθ=，得28cos ρρθ=， 根据公式cos sin x yρθρθ=⎧⎨=⎩，得228x y x +=，故曲线C 的直角坐标方程是228x y x +=.〔2〕设直线l 的斜率为k ，那么直线l 的方程为()11y k x -=-.而曲线C ：228x y x +=化为HY 方程是()22416x y -+=，故圆心()4,0C.因为Q 恰好为线段MN 的中点， 所以QC MN ⊥. 所以1QCk k ⋅=-，即01141k -⋅=--，解得3k =. 故直线l 的方程是()131y x -=-，即320x y --=.【点睛】此题考察极坐标方程与普通方程的转化，考察圆的几何性质，根据Q 恰好为线段MN 的中点转化为1QC k k ⋅=-是关键，是根底题23.函数()231f x x m =--+-，()3132g x x x =++-.〔1〕解不等式()7gx >；〔2〕假设12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立，务实数m 的取值范围.【答案】〔1〕()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.〔2〕()4,-+∞ 【解析】 【分析】〔1〕利用零点分段去绝对值解不等式即可； 〔2〕先求得两函数的最值，转化为()()max min f x g x <求解即可【详解】〔1〕由()7gx >，得31327x x ++->， ①当1x <-时，()()31327x x -+-->，得43x <-； ②当213x -≤≤时，()()31327x x +-->，得57>，即x ∈∅； ③当23x>时，()()31327x x ++->，得1x >； 综上，不等式()7gx >解集是()4,1,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭.〔2〕假设12,x x R ∀∈，都有()()12f x g x <恒成立，那么()()max min f x g x <，而()max 1f x m =-，易知()31323332gx x x x x =++-=++-()33325x x ≥+--=，当且仅当()()33320x x +-≤等号成立那么()min 5gx =.那么15m -<，解得4m >-. 故实数m 的取值范围是()4,-+∞.【点睛】此题考察函数恒成立，绝对值不等式的解法，考察分类讨论，正确运用绝对值不等式求得函数的最值是关键，是中档题。
2021年高三上学期10月月考文科数学试卷 含答案
2021年高三上学期10月月考文科数学试卷含答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，集合，则( )A．(-) B．(- C．-) D．-2．已知为虚数单位，复数，则复数在复平面内的对应点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均等，那么这个几何体不可以是A 球B 三棱锥C 正方体D 圆柱4. 已知直线平面,直线平面,则“”是“”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5. 函数的零点所在的区间是（）A．（3，4）B．（2，e） C．（1，2） D．（0，1）6．.若，满足约束条件，则的最小值是 ( )（A）-3 （B）0 （C）（D）37.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为2，则此球的体积为（A）6π（B）43π（C）46π（D）63π8.已知等差数列的前n项和为，且满足则的值是（）A、，B、，C、D、9. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（）A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位10.数列{a n}的通项公式，其前n项和为S n，则S xx等于（）A.1008B.2015C.0D.-111．函数的图像大致是（）A. B. C. D.12．设函数是R上的单调递减函数，则实数的取值范围为( )A．(-∞，2) B．(-∞， C．(0,2) D．,2)二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分）13．.不等式x2-5x+6≤0的解集为______14．已知,且在第二象限,则15．设，则大小关系是_______________.16．在中,是的中点,,点在上,且满足,则三．解答题：(解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为角A、B、C所对的边，且(1)求角C；(2)若，且ΔABC的面积为，求的值.18.(本题满分12分）如图所示，在棱锥P-ABC D中，平面，底面为直角梯形，且//，，PA=AD=DC=2，AB=4.（Ⅰ）求证：;（Ⅱ）若F为PB的中点，求证：CF//平面PAD.19．本题满分12分已知等差数列为递增数列，且是方程的两根，数列的前项和；（1）求数列和的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，证明：；20．本题满分12分设∈（0，），且（1）求及，的值；（2）设①求的最小正周期和图象的对称中心坐标；②求在区间上的值域.21．本题满分12分如图,四边形是边长为2的正方形,为等腰三角形,,平面平面,点在上,且平面.(Ⅰ)证明:平面平面;22．本题满分12分设函数，曲线在点处的切线方程为。
2021年高三上学期10月月考数学试卷(文科)含解析
2021年高三上学期10月月考数学试卷（文科）含解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁B）（）UA．∅B．{5} C．{3} D．{3，5}2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．已知平面向量，满足=1， =2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A．B．C．D．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0）B．（0，）C．（，）D．（，）5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A．B．C．D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是．10．复数+的虚部是．11．已知，，则在方向上的射影长为．12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为．13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=（用a表示），若，则a=．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是（填序号）三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？17．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．xx学年北京首都师大附中育新学校高三（上）10月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁U B）（）A．∅B．{5}C．{3}D．{3，5}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先由补集的定义求出∁U B，再利用交集的定义求A∩∁U B．【解答】解：∵U={1，2，3，4，5，6}，B={1，2}，∴∁U B═{3，4，5，6}，又集合A={1，3，5}，∴A∩∁U B={3，5}，故选D．2．“α为第二象限角”是“为锐角”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据象限角的定义，结合充要条件的定义，可得结论．【解答】解：“α为第二象限角”时，“为锐角”不一定成立，“为锐角”时，“α为第二象限角”一定成立，故“α为第二象限角”是“为锐角”的必要不充分条件，故选：B3．已知平面向量，满足=1，=2，且（+）⊥，则与的夹角为（）A． B． C． D．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用向量的数量积公式，结合=1，=2，且（+）⊥，即可求得结论．【解答】解：∵=1，=2，且（+）⊥，∴（+）•=1+1×2×cos＜，＞=0∴cos＜，＞=﹣∵＜，＞∈[0，π]∴＜，＞=故选B．4．函数f（x）=e x+4x﹣3的零点所在的大致区间是（）A．（﹣，0） B．（0，）C．（，） D．（，）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，根据零点存在定理，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=e x+4x﹣3在R上是增函数，求解：f（0）=1﹣3=﹣2＜0，f（）=﹣1＞0，f（）=＜0，f（1）=e+4﹣3=e+1＞0，∴根据零点存在定理，可得函数f（x）=2x+3x﹣4的零点所在的大致区间是（，）故选：C．5．把函数的图象上所有点向右平移个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的一半，所得图象的表达式是（）A． B． C． D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规则对函数的解析式进行变换即可，由题设条件知，本题的变换涉及到了平移变换，周期变换，振幅变换．【解答】解：由题意函数y=sin（2x﹣）的图象上各点向右平移个单位长度，得到y=sin（2x﹣﹣）=sin（2x﹣），再把横坐标缩短为原来的一半，所得图象的表达式是：y=sin（4x﹣）．故选：D．6．在△ABC中，M是BC的中点，AM=3，点P在AM上，且满足，则的值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得，且，代入要求的式子化简可得答案．【解答】解：由题意可得：，且，∴===﹣4故选A7．已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]【考点】其他不等式的解法．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D8．如图，|OA|=2（单位：m），OB=1（单位：m），OA与OB的夹角为，以A为圆心，AB为半径作圆弧与线段OA延长线交与点C．甲、乙两质点同时从点O出发，甲先以速度1（单位：m/s）沿线段OB行至点B，再以速度3（单位：m/s）沿圆弧行至点C后停止；乙以速率2（单位：m/s）沿线段OA行至A点后停止．设t时刻甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）（S（0）=0），则函数y=S（t）的图象大致是（）A． B． C． D．【考点】函数的图象．【分析】由题意，所围成的面积的变化可分为两段研究，一秒钟内与一秒钟后，由题设知第一秒内所围成的面积增加较快，一秒钟后的一段时间内匀速增加，一段时间后面积不再变化，由此规律可以选出正确选项【解答】解：由题设知，|OA|=2（单位：m），OB=1，两者行一秒后，甲行到B停止，乙此时行到A，故在第一秒内，甲、乙所到的两点连线与它们经过的路径所围成图形的面积为S（t）的值增加得越来越快，一秒钟后，随着甲的运动，所围成的面积增加值是扇形中AB所扫过的面积，由于点B是匀速运动，故一秒钟后，面积的增加是匀速的，且当甲行走到C后，即B与C重合后，面积不再随着时间的增加而改变，故函数y=S（t）随着时间t 的增加先是增加得越来越快，然后转化成匀速增加，然后面积不再变化，考察四个选项，只有A符合题意故选A二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立，则m的取值范围是m≤﹣5．【考点】一元二次不等式的应用；函数恒成立问题．【分析】①构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．②讨论对称轴x=﹣＞或＜时f（x）的单调性，得f（1），f（2）为两部分的最大值若满足f（1），f（2）都小于等于0即能满足x∈（1，2）时f（x）＜0，由此则可求出m的取值范围【解答】解：法一：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立．则由开口向上的一元二次函数f（x）图象可知f（x）=0必有△＞0，①当图象对称轴x=﹣≤时，f（2）为函数最大值当f（2）≤0，得m解集为空集．②同理当﹣＞时，f（1）为函数最大值，当f（1）≤0可使x∈（1，2）时f（x）＜0．由f（1）≤0解得m≤﹣5．综合①②得m范围m≤﹣5法二：根据题意，构造函数：f（x）=x2+mx+4，x∈[1，2]．由于当x∈（1，2）时，不等式x2+mx+4＜0恒成立即解得即m≤﹣5故答案为m≤﹣510．复数+的虚部是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则和虚部的定义即可得出．【解答】解：复数+===．故其虚部为．故答案为．11．已知，，则在方向上的射影长为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】在方向上的射影长为：，代入计算可得答案．【解答】解：∵，，∴在方向上的射影长为：==，故答案为：12．已知cos（α﹣）+sinα=，则sin（α+）的值为﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；运用诱导公式化简求值；两角和与差的余弦函数．【分析】利用两角和公式展开后求得cosα+sinα的值，进而利用诱导公式可知sin（α+）=﹣sin（α+），把cosα+sinα的值代入求得答案．【解答】解：∵cos（α﹣）+sinα=cosα+sinα=，∴cosα+sinα=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣（sinα+cosα）=﹣．故答案为：﹣13．已知函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且则f（2）=2a（用a表示），若，则a=1．【考点】函数的值．【分析】由函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，知f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；由=，知f（2）=2a=2，由此能求出a．【解答】解：∵函数y=f（x）满足：f（1）=a（0＜a≤1），且，∴f（2）=f（1+1）=2f（1）=2a；∵=，∴f（2）=2a=2，∴a=1．故答案为：2a，1．14．设函数f（x）的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M（M⊆D），有x+l ∈D，且f（x+1）≥f（x），则称f（x）为M上的高调函数．现给出下列三个命题：①函数为R上的l高调函数；②函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数；③如果定义域是[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上的m高调函数，那么实数m的取值范围[2，+∞）；其中正确的命题是②③（填序号）【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据高调函数的定义证明条件f（x+1）≥f（x）是否成立即可．【解答】解：①∵函数f（x）=（）x为R上的递减函数，故①不正确，②∵sin2（x+π）≥sin2x∴函数f（x）=sin2x为R上的π高调函数，故②正确，③如果定义域为[﹣1，+∞）的函数f（x）=x2为[﹣1，+∞）上m高调函数，则，解得m ≥2，即实数m的取值范围[2，+∞），∴③正确．故答案为：②③．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答题应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2，b=3，cosC=．（Ⅰ）求△ABC的面积；（Ⅱ）求sin（C﹣A）的值．【考点】解三角形；余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系式求出sinC，然后求△ABC的面积；（Ⅱ）通过余弦定理求出c，利用正弦定理求出sinA，同角三角函数的基本关系式求出cosA，利用两角和的正弦函数求sin（C﹣A）的值．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因为，所以．…所以，．…（Ⅱ）由余弦定理可得，c2=a2+b2﹣2ab•cosC==9所以，c=3．…又由正弦定理得，，所以，．…因为a＜b，所以A为锐角，所以，．…所以，sin（C﹣A）=sinC•cosA﹣cosC•sinA=．…16．某工厂统计资料显示，一种产品次品率p与日产量x（x∈N*，80≤x≤100）件之间的关系如下表所示：日产量x 80 81 82 (x)…98 99 100次品率p …P（x）…其中P（x）=（a为常数）．已知生产一件正品盈利k元，生产一件次品损失元（k为给定常数）．（1）求出a，并将该厂的日盈利额y（元）表示为日生产量x（件）的函数；（2）为了获得最大盈利，该厂的日生产量应该定为多少件？【考点】根据实际问题选择函数类型．【分析】（1）首先根据列表求出a的值，然后列出P（x）的关系式，整理即可．（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*，把函数转化为关于t的等式，利用基本不等式求解【解答】解：（1）根据列表数据可得：a=108由题意，当日产量为x时，次品数为：正品数：∴y=整理得：（80≤x≤100，x∈N*）（2）令108﹣x=t，t∈[8，28]，t∈N*==当且仅当t=即t=12时取得最大盈利，此时x=9617．函数f=（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，φ＞0，|φ|＜）部分图象如图所示．（1）求的最小周期及解析式．（2）设g（x）=f（x）﹣2cos2x，求函数g（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）利用函数的图象，求出A，T，然后求出ω，利用f（）=2，求出φ，即可求出函数的解析式．（2）通过g（x）=f（x）﹣2cos2x，利用两角和与差的三角函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过[0，]求出相位的范围，然后求出函数的最大值和最小值．【解答】解：（1）由图可得A=2，，所以T=π．因为所以ω=2．…当时，f（x）=2，可得，因为，所以．…所以f（x）的解析式为．…（2）==…=．…因为，所以．当，即x=时，函数g（x）有最大值，最大值为：2 …当，即x=0时，函数g（x）有最小值，最小值为﹣1．…18．设函数f（x）=x﹣ae x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤0成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知函数f（x）=x﹣ae x，对其进行求导，利用导数研究其单调区间；（Ⅱ）若对∀x∈R，f（x）≤0成立，只要f（x）的最大值小于等于0即可，利用导数研究函数的最值问题，从而求解；【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=1﹣ae x．…当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在R上是增函数．…当a＞0时，令f′（x）=0，得x=﹣lna．…若x＜﹣lna则f′（x）＞0，从而f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数；若x＞﹣lna则f′（x）＜0，从而f（x）在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．综上可知：当a≤0时，f（x）在区间（﹣∞，+∞）上是增函数；当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：当a≤0时，f（x）≤0不恒成立．又因为当a＞0时，f（x）在区间（﹣∞，﹣lna）上是增函数，在区间（﹣lna，+∞）上是减函数，所以f（x）在点x=﹣lna处取最大值，且f（﹣lna）=﹣lna﹣ae﹣lna=﹣lna﹣1．…令﹣lna﹣1≤0，得，故f（x）≤0对x∈R恒成立时，a的取值范围是．…19．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1，a∈R是常数．（Ⅰ）求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）讨论函数y=f（x）零点的个数．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求函数的导数，利用导数的几何意义求函数y=f（x）的图象在点P（1，f（1））处的切线l的方程；（Ⅱ）构造函数F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x，利用导数求函数的最值，利用最值证明：函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方；（Ⅲ）利用导数确定函数的取值情况，确定函数y=f（x）零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），函数的导数为，…f（1）=﹣a+1，所以切线斜率k=f'（1）=1﹣a，所以切线l的方程为y﹣（1﹣a）=（1﹣a）（x﹣1），即y=（1﹣a）x．…（Ⅱ）令F（x）=f（x）﹣（1﹣a）x=lnx﹣x+1，x＞0，则F'（x）==0，解得x=1．x （0，1） 1 （1，+∞）F'（x）+0 ﹣F（x）↗最大值↘…F（1）＜0，所以∀x＞0且x≠1，F（x）＜0，所以f（x）＜（1﹣a）x，即函数y=f（x）（x≠1）的图象在直线l的下方．…（Ⅲ）令f（x）=lnx﹣ax+1=0，则a=．令g（x）=，则g'（x）=，则g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，当x=1时，g（x）的最大值为g（1）=1．所以若a＞1，则f（x）无零点；若f（x）有零点，则a≤1．…若a=1，f（x）=lnx﹣ax+1=0，由（Ⅰ）知f（x）有且仅有一个零点x=1．若a≤0，f（x）=lnx﹣ax+1单调递增，由幂函数与对数函数单调性比较，知f（x）有且仅有一个零点（或：直线y=ax﹣1与曲线y=lnx有一个交点）．若0＜a＜1，解f'（x）=，得x=，由函数的单调性得知f（x）在x=处取最大值，f（）=ln，由幂函数与对数函数单调性比较知，当x充分大时f（x）＜0，即f（x）在单调递减区间（，+∞）有且仅有一个零点；又因为f（=﹣，所以f（x）在单调递增区间（0，）有且仅有一个零点．综上所述，当a＞1时，f（x）无零点；当a=1或a≤0时，f（x）有且仅有一个零点；当0＜a＜1时，f（x）有两个零点．…20．函数f（x）的定义域为R，且f（x）的值不恒为0，又对于任意的实数m，n，总有成立．（1）求f（0）的值；（2）求证：t•f（t）≥0对任意的t∈R成立；（3）求所有满足条件的函数f（x）．【考点】抽象函数及其应用；函数恒成立问题．【分析】（1）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n=0，易得f（0）的值；（2）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=n，即可得到结论；（3）由已知中任意的实数m，n，总有成立，令m=2n=2x，即可得到结论．【解答】解：（1）令m=n=0∴f2（0）=0∴f（0）=0（2）令m=n∴∴对于任意的t∴即证（3）令m=2n=2x∴=f2（x）+xf（x）当f（x）=0时恒成立，当f（x）≠0时有，∴f2（2x）=[f（x）+x]2=4xf（x）∴f（x）=x．xx年11月19日22990 59CE 姎C25669 6445 摅35938 8C62 豢34961 8891 袑30411 76CB 盋29965 750D 甍d26031 65AF 斯:3s38002 9472 鑲527455 6B3F 欿。
2021高三10月月考数学试题答案
2021-2022学年度第一学期教学质量检测高三数学试题参考答案一.单项选择题.1-4:CDDA 5-8:DABB二.多项选择题9.BC 10.AD 11.AD 12.AB三.填空题.13.4⎤⎦14.e 115.3316.1681,4(四.解答题.17.解：（1）不等式105x x -≤-，即为()()150x x --≤，且5x ≠，解得15x ≤<，所以[1,5)A =，因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，所以B ⊆A ，又集合B 是非空集合，所以122125a a +≥⎧⎨+<⎩，解得122a ≤<；（2）由（1）知：(,1)[5,)R A =-∞⋃+∞ð，因为命题“x B ∃∈，x A ∈R ð”是真命题，所以R B A ≠∅ ð，所以125a +≥，解得2a ≥.18.解：角α的终边经过点(2,-，其中0απ<<，tan y x α==23πα=．10sin cos 2sin cos 2cos 219924cos 2sin 1818186πππαααππππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭==-=⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）()()()sin 222sin 22sin 233f x x x x x ππααα⎛⎫⎛⎫=-+-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以2,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，()max 16f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭．19.解:（1）作出函数()f x 的图象，如图，由图象可知，当且仅当2a =或2a =-时，直线y a =与函数()y f x =的图象有三个不同的交点，∴当且仅当2a =或2a =-时，函数()g x 恰有三个不相同的零点.（2）由()f x 的图象可知，当11a -<<时，()g x 有6个不同的零点，设这6个零点从左到右依次为1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，则1210x x +=-，5610x x +=，3x 是方程370x a -+-=的解，4x 是方程370x a ---=的解.∴3337()10log (7)log (7)10log 7a h a a a a+=---+++=-当11a -<<时，714341,7743a a a+⎛⎫=-∈ ⎪--⎝⎭，∵()33()12log 2,2log 21h a ∈--20.解:（1）()0ϕ表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.（2）由()045050k ϕ==⨯+∴200k =200400.10.155010y x x x x =+=+++()4000.110110x x ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦∵0x ≥∴1010x +≥∴()4000.11010.121310y x x ⎡⎤=++-≥⨯=⎢⎥+⎣⎦（万元）当且仅当4001010x x +=+即10x =时取“=”答：y 的最小值为3万元.21.解:因为)14(log )()(4+=+x x g x f 所以以x -代替x 得:xx g x f x x -+=+=-+--)14(log )14(log )()(44即:xx g x f x -+=-)14(log )()(4解得:2)14(log )(4x x f x -+=;2)(x x g =.(1))222.(log 212)14(log )222.(log 21)()(242a a x a a x f x h x x x +--+=+-=0)222.(log 212)12(log 21222=+--+=a a x x x 即:)222.(log 22(log 2122a a x x x +=+所以012.222)1(2=-+-x x a a ,令02>=x t ,即方程01.22)1(2=-+-t a t a 只有一个大于0的根.①当1=a 时,42=t 符合题意;②当01>-a ,即当1>a 时,方程有一个大于0的根,一个小于0的根,符合题意,③当01<-a ,即当1<a 时,需方程有两个相等的正实根,即:0)1(482=-+=∆a a 所以1-=a 或21=a .当21=a 时,2=t 符合条件;当1-=a 时,22-=t 不符合条件.综上所述:21=a 或1≥a .22.解:（1）因为()1ln f x ax x =-+，所以0x >，11()ax f x a x x+'=+=，当0a ≥时，1()0ax f x x +'=>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，由()0f x '=得1x a=-.当10,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上所述：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a <时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）证明：要证1()ex xf x ≥-，只需证e (1ln )0x x x x -+-+≥，即证2e ln 0x x x x x -+-+≥即可，设2()e ln x h x x x x x -=+-+，0x >.则()e 2ln x h x x x -'=-++，1()e 20x h x x-''=++>，所以函数()e 2ln x h x x x -'=-++在(0,)+∞上单调递增.又e 112e 10e e h -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，1(1)20e h '=-+>，故()e 2ln x h x x x -'=-++在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即000e 2ln 0x x x --++=.所以当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0x x ∈+∞时，()0h x '>，所以函数()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()0200000()e ln x h x h x x x x x -≥=+-+，所以只需证()0200000e ln 0x h x x x x x -=+-+≥即可.由000e 2ln 0x x x --++=，得000e 2ln x x x -=+，所以()()()00001ln h x x x x =++.又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可.当00ln 0x x +<时，000000ln e e 0x x x x x x --<-⇒<⇒-+<，所以0000e ln 0x x x x --+++<与000e 2ln 0x x x --++=矛盾.故00ln 0x x +≥，故()0h x ≥，即1()e x xf x ≥-得证.。
2020-2021学年某校高三(上)月考数学试卷(10月份)有答案
2020-2021学年某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1. 已知集合A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{x|x2−x−2≤0}，则A∩B＝（）A.{0, 1}B.{0, 1, 2}C.{x|0≤x<2}D.{x|0≤x≤3}2. 复数z＝（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列函数是奇函数且在区间(0, 2)递增的函数为（）A. B.f(x)＝ln|x|C.f(x)＝sin xD.f(x)＝4. 若a=0.35，b=log0.30.2，c=log32，则（）A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>b>a5. 直线y=kx−1与曲线y=ln x相切，则k=()A.0B.−1C.1D.±16. 若a>0，b>0，则“a>b”是“ln a−b>ln b−a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7. 设函数f(x)={3x−b,x<12x，x≥1，若f[f(56)]=4，则b=（）A.1B.7C.3D.18. 数列{a n}中，a1＝2，a n+1＝a n2，则下列结论中正确的是（）A.数列{a n}的通项公式为B.数列{a n}为等比数列C.数列{ln a n}为等比数列D.数列{ln a n}为等差数列9. 正方形ABCD的边长为2，点E、F、G满足，则下列各式中值最大的为（）A. B. C. D.10. 在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[H+]）和氢氧根离子的物质的量的浓度（单位mol/L，记作[OH−]）的乘积等于常数10−14．已知pH值的定义为pH＝−lg[H+]，健康人体血液的pH值保持在7.35∼7.45之间，那么健康人体血液中的可以为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）（）A. B. C. D.二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）命题的否定形式为________>0，（）≥1．已知向量，且，则向量与的夹角大小为________，的值为________．已知x>0，y>0，且log2x+log2y＝2，则的最小值为________．已知函数f(x)=13x3−a2x2+2x+1，且f(x)在区间(−2, −1)内存在单调递减区间，则实数a的取值范围________．已知定义在R 上的函数f(x)满足：①f(x)+f(2−x)＝0；②f(x)−f(−2−x)＝0；③在[−1, 1]上的表达式为f(x)={√1−x 2,x ∈[−1,0]1−x,x ∈(0,1]，则函数f(x)与g(x)={2x ,x ≤0log 12x,x >0 的图象在区间[−3, 3]上的交点的个数为________．三、解答题：已知椭圆C:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)，经过点P(1, √32)，离心率是√32．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆右顶点M ，求证：直线l 恒过定点．已知函数f(x)＝ln x −ax +1，共中a ∈R ． （1）求f(x)的单调区间；（2）是否存在k ∈Z ，使得对任意x >2恒成立？若存在，请求出k 的最大值；若不存在，请说明理由．已知a 为实数，数列{a n }满足a 1＝a ，．(Ⅰ)当a ＝0.2和a ＝7时，分别写出数列{a n }的前5项； (Ⅱ)证明：当a >3时，存在正整数m ，使得0<a m ≤2；(Ⅲ)当0≤a ≤1时，是否存在实数a 及正整数n ，使得数列{a n }的前n 项和S n ＝2019？若存在，求出实数a 及正整数n 的值；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】B【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】∵A＝{0, 1, 2, 3}，B＝{x|−1≤x≤2}，∴A∩B＝{0, 1, 2}．2.【答案】A【考点】复数的代数表示法及其几何意义【解析】先由复数的运算化简z，再由复数的几何意义得出其对应点的坐标即可得出结论、【解答】z＝＝＝＝+i，故其对应的点的坐标为（，），位于第一象限．3.【答案】A【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．【解答】A．f(x)是奇函数，在0，2)递增，满足条件．B．f(x)是偶函数，不满足条件．C．f(x)是奇函数，则0，2)上不单调，不满足条件．D．当x≥0时，对称轴x＝2，即当0<x<2函数为减函数，不满足条件．4.【答案】C对数值大小的比较 【解析】利用对数与指数函数的单调性即可得出大小关系． 【解答】∵ a =0.35<0.32=0.09<12，b =log 0.30.2>log 0.30.3=1，1>c =log 32>log 3√3=12， ∴ b >c >a ． 5. 【答案】 C【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】欲k 的值，只须求出切线的斜率的值即可，故先利用导数求出在切处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：∵ y =ln x ， ∴ y ′=1x ，设切点为(m, ln m)，得切线的斜率为 1m，所以曲线在点(m, ln m)处的切线方程为： y −ln m =1m ×(x −m)．它过(0, −1)，∴ −1−ln m =−1，∴ m =1， ∴ k =1 故选C ． 6.【答案】 C【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】当a >0，b >0时，若a >b ，则ln a >ln b ，此时a +ln a >b +ln b 成立，即充分性成立，设f(x)＝x +ln x ，当x >0时，f(x)为增函数，则由a +ln a >b +ln b 得f(a)>f(b)，即a >b ，即必要性成立， 则“a >b ”是“a +ln a >b +ln b ”的充要条件， 7. 【答案】 D函数的零点 函数的求值 【解析】 此题暂无解析 【解答】解：由题意，f (56)=3×56−b =52−b ．由f [f (56)]=4，得{52−b <1，3(52−b)−b =4或{52−b ≥1，252−b−b =4.解得b =12． 故选D ． 8.【答案】 C【考点】等差数列的性质 【解析】求出数列{a n }的前3项，利用列举法能判断A 和B 均错误；求出＝2，得到数列{ln a n }为等比数列． 【解答】数列{a n }中，a 1＝2，a n+1＝a n 2，∴ ＝4，＝16＝24，故A 和B 均错误；∵ 数列{a n }中，a 1＝2，a n+1＝a n 2，∴ ＝2，∴ 数列{ln a n }为等比数列，故C 正确，D 错误．9. 【答案】 A【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】建立平面直角坐标系，利用坐标法结合向量坐标公式进行计算即可． 【解答】建立平面直角坐标系如图： ∵ 点E 、F 、G 满足，∴ 点E 、F 、G 都是中点，则A(0, 0)，B(2, 0)，C(2, 2)，D(0, 2)，E(2, 1)，F(1, 2)，G(0, 1)，则＝(2, 0)，＝(2, 1)，＝(1, 2)，＝(0, 1)，＝(1, 1)，则•＝4，•＝2，•＝0，•＝2，故各式中值最大的为•，10.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】由题意可得lg＝2lg[H+]+14，即可求出−0.9<lg<−0.7，代值计算比较即可【解答】由题意可得pH＝−lg[H+]∈(7.35, 7.45)，且[H+]•[OH−]）＝10−14，∴lg＝lg＝lg[H+]2+14＝2lg[H+]+14，∵7.35<−lg[H+]<7.45，∴−7.45<lg[H+]<−7.35，∴−0.9<2lg[H+]+14<−0.7，即−0.9<lg<−0.7，∵lg＝−lg2≈0.30，故A错误，lg＝−lg3≈0.48，故B错误，lg＝−lg6＝−(lg2+lg3)≈−0.78，故C正确，lg＝−1，故D错误，二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）【答案】命题的否定【解析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】命题是全称命题，则否定为：∃x>0，（）x≥1，【答案】,2【考点】数量积表示两个向量的夹角平面向量数量积的性质及其运算【解析】根据平面向量数量积的公式进行计算即可．【解答】||＝＝＝2，设向量与的夹角大小为θ，则cosθ＝＝，则θ＝，＝＝＝＝2，【答案】【考点】基本不等式及其应用【解析】利用条件求出xy的值，再利用基本不等式即可求解．【解答】由log2x+log2y＝2可得：xy＝4，则，当且仅当，即x＝2时取等号，此时的最小值为，【答案】(−∞, −2√2)【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】求出函数的导数，问题转化为a<(x+2x)max=−2√2，根据不等式的性质求出a的范围即可．【解答】解：f′(x)=x2−ax+2，由题意得∃x∈(−2, −1)，使得不等式f′(x)=x2−ax+2<0成立，即x∈(−2, −1)时，a<(x+2x)max，令g(x)=x+2x，x∈(−2, −1)，则g′(x)=1−2x2=x2−2x2，令g′(x)>0，解得：−2<x<−√2，令g′(x)<0，解得：−√2<x<−1，故g(x)在(−2, −√2)递增，在(−√2, −1)递减，故g(x)max=g(−√2)=−2√2，故满足条件a的范围是(−∞, −2√2)，故答案为：(−∞, −2√2)．【答案】6【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】先根据①②知函数的对称中心和对称轴，再分别画出f(x)和g(x)的部分图象，由图象观察交点的个数．【解答】∵ ①f(x)+f(2−x)＝0，②f(x)−f(−2−x)＝0，∴f(x)图象的对称中心为(1, 0)，f(x)图象的对称轴为x＝−1，结合③画出f(x)和g(x)的部分图象，如图所示，据此可知f(x)与g(x)的图象在[−3, 3]上有6个交点．三、解答题：【答案】（I）解：由{1a2+34b2=3 ca=√32a2=b2+c2，解得：{a=2b=1，（II ）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意． （2）不妨设直线l 的方程为 x =ky +m ．由{x =ky +m x 24+y 2=1，消去x 得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则有y 1+y 2=−2kmk 2+4…①，y 1y 2=m 2−4k 2+4．…②∵ 以AB 为直径的圆过点M ，∴ MA →⋅MB →=0．由MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0．…③ 将①②代入③，得5m 2−16m+12=0k 2+4，解得m =65或m =2（舍）． 综上，直线l 经过定点(65，0)．（方法二）（1）当k 不存在时，易得此直线恒过点(65，0)．（2）当k 存在时．设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(2, 0)． 由{x 24+y 2=1y =kx +m ，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−12=0． △=16(4k 2−m 2+1)>0，x 1+x 2=−8km4k 2+1…①，x 1x 2=4m 2−44k 2+1．…②由题意可知MA →⋅MB →=0，MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ．可得 (x 1−2)•(x 2−2)+y 1y 2=0．整理得 (km −2)(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+4+m 2=0…③ 把①②代入③整理得：12k 2+16km+5m 24k 2+1=0，由题意可知 12k 2+16km +5m 2=0， 解得 m =−2k,m =−65k ．(I) 当m =−2k 时，即y =k(x −2)，直线过定点(2, 0)不符合题意，舍掉． (II) m =−65k 时，即y =k(x −65)，直线过定点(65，0)，经检验符合题意．综上所述，直线l 过定点(65，0)． 【考点】 椭圆的定义 【解析】（II ）通过对直线的斜率进行讨论，不妨设直线l 的方程，利用韦达定理及MA →⋅MB →=0，通过将直线方程代入向量数量积的坐标运算中，计算即得结论．【解答】（I ）解：由{ 1a 2+34b 2=3c a =√32a 2=b 2+c 2，解得：{a =2b =1， 所以椭圆C 的方程是：x 24+y 2=1；（II ）证明：（方法一）（1）由题意可知，直线l 的斜率为0时，不合题意．（2）不妨设直线l 的方程为 x =ky +m ．由{x =ky +m x 24+y 2=1，消去x 得(k 2+4)y 2+2kmy +m 2−4=0， 设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则有y 1+y 2=−2km k 2+4…①，y 1y 2=m 2−4k 2+4．…②∵ 以AB 为直径的圆过点M ，∴ MA →⋅MB →=0． 由MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，得(x 1−2)(x 2−2)+y 1y 2=0． 将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −2)(y 1+y 2)+(m −2)2=0．…③将①②代入③，得5m 2−16m+12=0k 2+4， 解得m =65或m =2（舍）．综上，直线l 经过定点(65，0)． （方法二）（1）当k 不存在时，易得此直线恒过点(65，0)．（2）当k 存在时．设直线l 的方程为y =kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，M(2, 0)．由{x 24+y 2=1y =kx +m，可得(4k 2+1)x 2+8kmx +4m 2−12=0． △=16(4k 2−m 2+1)>0，x 1+x 2=−8km 4k 2+1…①，x 1x 2=4m 2−44k 2+1．…② 由题意可知MA →⋅MB →=0，MA →=(x 1−2,y 1)，MB →=(x 2−2,y 2)，y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ．可得 (x 1−2)•(x 2−2)+y 1y 2=0．整理得 (km −2)(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+4+m 2=0…③把①②代入③整理得：12k 2+16km+5m 24k 2+1=0，由题意可知 12k 2+16km +5m 2=0，解得 m =−2k,m =−65k ．(I)当m=−2k时，即y=k(x−2)，直线过定点(2, 0)不符合题意，舍掉．(II)m=−65k时，即y=k(x−65)，直线过定点(65，0)，经检验符合题意．综上所述，直线l过定点(65，0)．【答案】∵f′(x)＝−a，x>0，∴当a<0时，f′(x)>0，即f(x)在(0, +∞)上是增函数，当a>0时，x∈(0，）时，f′(x)>0，f(x)在(0，）上为增函数；x∈（，+∞)时，f′(x)<0，f(x)在（，+∞)上为减函数．综上所述，当a<0时，f(x)的增区间为(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，），f(x)的单调减区间为（，+∞)；由已知f(x)+ax−2>k(1−），即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，x>1，令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，则g′(x)＝ln x−k，①当k≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(1, +∞)上为增函数，由g(1)＝−1−k+2k＝k−1>0，则k>1，矛盾；②当k>0时，由ln x−k>0，解得x>e k，由ln x−k<0，解得1<x<e k，故g(x)在(1, e k)上是减函数，在(e k, +∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e k)＝2k−e k，即讨论g(x)min＝g(e k)＝2k−e k>0(k>0)恒成立，求k的最小值，令ℎ(t)＝2t−e t，则ℎ′(t)＝2−e t，当2−e t>0，即t<ln2时，ℎ(t)单调递增，当2−e t<0，即t>ln2时，ℎ(t)单调递减，∴当t＝ln2时，ℎ(t)max＝ℎ(ln2)＝2ln2−2，∵0<ln2<1，∴0<2ln2−2<1，又∵ℎ(1)＝2−e<0，ℎ(2)＝4−e2<0，∴不存在整数k使2k−e k>0成立；综上所述，不存在满足条件的整数k．【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】（1）求出原函数的导函数，然后对a分类求得函数的单调区间；（2）由已知f(x)+ax−2>k(1−）即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，k>1．令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，求导后分k≤0和k>0求函数的单调区间，进一步求得函数的最值得答案．【解答】∵f′(x)＝−a，x>0，∴当a<0时，f′(x)>0，即f(x)在(0, +∞)上是增函数，当a>0时，x∈(0，）时，f′(x)>0，f(x)在(0，）上为增函数；x∈（，+∞)时，f′(x)<0，f(x)在（，+∞)上为减函数．综上所述，当a<0时，f(x)的增区间为(0, +∞)；当a>0时，f(x)的单调增区间为(0，），f(x)的单调减区间为（，+∞)；由已知f(x)+ax−2>k(1−），即为x(ln x−1)>k(x−2)，x>1，即x(ln x−1)−kx+2k>0，x>1，令g(x)＝x(ln x−1)−kx+2k，x>1，则g′(x)＝ln x−k，①当k≤0时，g′(x)>0，故g(x)在(1, +∞)上为增函数，由g(1)＝−1−k+2k＝k−1>0，则k>1，矛盾；②当k>0时，由ln x−k>0，解得x>e k，由ln x−k<0，解得1<x<e k，故g(x)在(1, e k)上是减函数，在(e k, +∞)上是增函数，∴g(x)min＝g(e k)＝2k−e k，即讨论g(x)min＝g(e k)＝2k−e k>0(k>0)恒成立，求k的最小值，令ℎ(t)＝2t−e t，则ℎ′(t)＝2−e t，当2−e t>0，即t<ln2时，ℎ(t)单调递增，当2−e t<0，即t>ln2时，ℎ(t)单调递减，∴当t＝ln2时，ℎ(t)max＝ℎ(ln2)＝2ln2−2，∵0<ln2<1，∴0<2ln2−2<1，又∵ℎ(1)＝2−e<0，ℎ(2)＝4−e2<0，∴不存在整数k使2k−e k>0成立；综上所述，不存在满足条件的整数k．【答案】（1）当a＝0.2时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；当a＝7时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．（2）证明：当a>3时，a n+1＝a n−3．所以，在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n＝a+(n−1)(−3)＝a+3−3n．所以，当n足够大时，总可以找到n0，使．（1）若，令m＝n0，则存在正整数m，使得0<a m≤2．（2）若，由，得，令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0<a m≤2．综述所述，则存在正整数m，使得0<a m≤2．(Ⅲ)①当a＝0时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……当n＝1时，S1＝0≠2019，当n≥2时，(k∈N)，令2n−1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1为奇数，所以不成立；又2n＝2019不成立，所以不存在正整数n，使得S n＝2019．②当0<a<1时，a1＝a，a2＝−a+4，a3＝−a+1，a4＝a+3，a5＝a，……所以数列{a n}的周期是4，当n＝4k+1，k∈N时，S n＝8k+a＝2(n−1)+a＝2n+a−2；当n＝4k+2，k∈N时，S n＝2(n−2)+a+(−a+4)＝2n；当n＝4k+3，k∈N时，S n＝2(n−3)+a+(−a+4)+(−a+1)＝2n−a+3；当n＝4(k+1)，k∈N时，S n＝2n．所以(k∈N)．所以S n或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得S n＝2019．③当a＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，(k∈N)，不存在正整数n，使得S n＝2019．综述所述，不存在实数a正整数n，使得S n＝2019．【考点】数列的求和数列递推式【解析】(Ⅰ)当a＝0.2和a＝7时，利用数列递推式依次求出数列{a n}的前5项；(Ⅱ)当a>3时，a n+1＝a n−3．可知在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．写出通项公式，可得当n足够大时，总可以找到n0，使．然后分与两类分析；(Ⅲ)分a＝0，0<a<1及a＝1三类，分别写出S n后分析．【解答】（1）当a＝0.2时，a1＝0.2，a2＝3.8，a3＝0.8，a4＝3.2，a5＝0.2；当a＝7时，a1＝7，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1．（2）证明：当a>3时，a n+1＝a n−3．所以，在数列{a n}中直到第一个小于等于3的项出现之前，数列{a n}是以a为首项，−3为公差的递减的等差数列．即a n＝a+(n−1)(−3)＝a+3−3n．所以，当n足够大时，总可以找到n0，使．（1）若，令m＝n0，则存在正整数m，使得0<a m≤2．（2）若，由，得，令m＝n0+1，则存在正整数m，使得0<a m≤2．综述所述，则存在正整数m，使得0<a m≤2．(Ⅲ)①当a＝0时，a1＝0，a2＝4，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……当n＝1时，S1＝0≠2019，当n≥2时，(k∈N)，令2n−1＝2019，n＝1010，而此时n＝2k+1为奇数，所以不成立；又2n＝2019不成立，所以不存在正整数n，使得S n＝2019．②当0<a<1时，a1＝a，a2＝−a+4，a3＝−a+1，a4＝a+3，a5＝a，……所以数列{a n}的周期是4，当n＝4k+1，k∈N时，S n＝8k+a＝2(n−1)+a＝2n+a−2；当n＝4k+2，k∈N时，S n＝2(n−2)+a+(−a+4)＝2n；当n＝4k+3，k∈N时，S n＝2(n−3)+a+(−a+4)+(−a+1)＝2n−a+3；当n＝4(k+1)，k∈N时，S n＝2n．所以(k∈N)．所以S n或者是偶数，或者不是整数，即不存在正整数n，使得S n＝2019．③当a＝1时，a1＝1，a2＝3，a3＝1，a4＝3，a5＝1，……，(k∈N)，不存在正整数n，使得S n＝2019．综述所述，不存在实数a正整数n，使得S n＝2019．。
2020-2021学年某校高三(上)10月月考数学试卷 (2)(有答案)
2020-2021学年某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1. 已知命题p:∀x∈R，e x≥1+sin x，则命题¬p为( )A.∀x∈R，e x<1+sin xB.∀x∈R，e x≤1+sin xC.∃x0∈R，e x0≤1+sin x0D.∃x0∈R，e x0<1+sin x02. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为( )A.6B.14C.18D.−103. 若集合A={x∈N||x−1|≤1}，B={x|y=√1−x2}，则A∩B的真子集的个数为（）A.3B.4C.7D.84. 函数f(x)在x=x0处导数存在，若p:f′(x0)=0；q:x=x0是f(x)的极值点，则( )A.p是q的充分必要条件B.p是q的必要不充分条件C.p是q的充分不必要条件D.p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件5. 若复数z满足iz=2+4i（其中i为虚数单位），在复平面内z对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6. 如图是由正方体与三棱锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A.28+4√3B.36+4√3C.28+√22D.36+√227. 已知向量m→=(a,−1)，n→=(2b−1,3)(a>0,b>0)，若m→//n→，则2a +1b的最小值为( )A.12B.10+2√3C.15D.8+4√38. 已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则AGGD=2，若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于（）A.4B.3C.2D.19. 如图所示是y=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象的一段，它的一个解析式为( )A.y=23sin(2x+π3) B.y=23sin(2x+π4)C.y=23sin(2x−π3) D.y=23sin(2x+2π3)10. 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+4)=f(x)，并且当x∈[0,1]时，f(x)=2x−1，则f(log210)的值为( )A.−35B.35C.−25D.2511. 已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)与双曲线C2:x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)有相同的焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，且∠F1PF2=60∘，若椭圆离心率e1=√22，则双曲线C2的离心率e2=( )A.√72B.2 C.√62D.312. 已知f(x)=x3+x是定义在R上的函数，且对于任意x∈(0,π)，不等式f(x sin x−1)+f(cos x−a)≤0恒成立，则整数a的最小值为( )A.1B.2C.3D.4二、填空题抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，直线l过点F与抛物线交于A，B两点，与其准线交于点C（点B在点A，C之间），若|BC|=3|BF|，且|AB|=9，则p=________．三、解答题已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且√3ac =cos A+2sin C．(1)求角A的大小；(2)若b+c=5，且△ABC的面积为√3，求a的值；(3)若a=√3，求b+c的范围．已知数列{a n}是公差不为0的等差数列，a4=3，a2，a3，a5成等比数列．(1)求a n；(2)设b n=3n−1+2a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．设f(x)=|x−2|+|x+2|．(1)解不等式f(x)≥6；(2)对任意的非零实数x，有f(x)≥m2−m+2恒成立，求实数m的取值范围．如图，四棱锥P−ABCD的底面为正方形，PA是四棱锥的高，PB与平面ABCD所成角为45∘，F是PB的中点，E是BC上的动点．(1)证明：PE⊥AF；(2)若E是BC上的中点，求AE与平面PBC的所成角的正切值．参考答案与试题解析2020-2021学年某校高三（上）10月月考数学试卷一、选择题1.【答案】D【考点】命题的否定【解析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p:∀x∈R，e x≥1+sin x的否定是：∃x0∈R，e x0<1+sin x0．故选D.2.【答案】A【考点】程序框图【解析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当i=8时满足条件i>5，退出循环，输出S的值为6．【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=20，i=1，i=2，S=18，不满足条件i>5，i=4，S=14，不满足条件i>5，i=8，S=6，满足条件i>5，退出循环，输出S的值为6．故选A．3.【答案】A【考点】交集及其运算子集与真子集【解析】分别求出集合A和B，从而求出A∩B＝{0, 1}，由此能求出A∩B的真子集的个数．【解答】解：集合A={x∈N||x−1|≤1}，B={x|y=√1−x2}，∴A={0, 1, 2}，B={x|−1≤x≤1}，∴A∩B={0, 1}，∴A∩B的真子集的个数为22−1=3．故选A.4.【答案】B【考点】利用导数研究函数的极值必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】利用函数的极值的定义可以判断函数取得极值和导数值为0的关系．【解答】解：根据函数极值的定义和性质，若x=x0是f(x)的极值点，则f′(x0)=0成立，则p是q的必要条件.假设函数f(x)=x3，则函数的导函数为f′(x)=3x2，由f′(x0)=0，得x0=0，此时函数f(x)=x3在定义域上单调递增，没有极值点，则p不是q的充分条件.故p是q的必要条件，但不是q的充分条件.故选B．5.【答案】D【考点】复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】此题暂无解析【解答】解：由iz=2+4i，得：z=2+4ii =(2+4i)⋅(−i)−i2=−2i+4，∴复数z对应的点的坐标为(4,−2)，即在第四象限.故选D.6.【答案】C【考点】由三视图求表面积【解析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图可知，正方体的棱长为2，直三棱锥的底面是两直角边长都为2的直角三角形，高为3，故该几何体的表面积为S =2×2×5+12×2×2+12×2×3×2 +12×2√2×√(√22+32)2−(√2)2=28+√22. 故选C ． 7.【答案】 D【考点】基本不等式在最值问题中的应用 平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】根据向量平行，建立m ，n 的关系，利用基本不等式的性质即可得到结论． 【解答】解：向量 m →=(a,−1)， n →=(2b −1,3)(a >0,b >0)， 若 m →//n →，则2b −1+3a =0， 即2b +3a =1，∴ 2a+1b=(2a+1b)(2b +3a)=8+4b a+3a b≥8+2√4b a ⋅3a b=8+4√3，当且仅当4ba =3ab，即a =2√33b ， 即a =3−√36，b =√3−14时取等号． 故最小值为8+4√3.故选D ． 8.【答案】 B【考点】 类比推理棱锥的结构特征【解析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“AO OM=3”．设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM =√63，又O 到四面体各面的距离都相等，所以O 为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r ，则有r =3V S 表，可求得r 即OM ，从而可验证结果的正确性．【解答】解：推广到空间，则有结论：AOOM =3． 设正四面体ABCD 边长为1，易求得AM =√63，又O 到四面体各面的距离都相等， 所以O 为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r ，利用等体积法有：4×13×√34r =13×√34×√63，解得r =√612，即OM =√612，所以AO =AM −OM =√64，所以AO OM=3.故选B .9. 【答案】 D【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解析】根据图象的最高点和最低点求出A ，根据周期T =5π12−(−7π12)求ω，图象过(−π12,23)，代入求φ，即可求函数f(x)的解析式； 【解答】解：由图象的最高点23，最低点−23可得A =23，周期T =5π12−(−7π12)=π，∴ ω=2πT=2．图象过(−π12,23)，∴23=23sin[2×(−π12)+φ]，可得：φ=2kπ+2π3(k∈Z)，则当k=0时，解析式为：y=23sin(2x+2π3).故选D.10.【答案】A【考点】函数的周期性对数的运算性质函数的求值【解析】由f(x+4)=f(x)，可知函数周期T=4，f(log210)=f(log210−4)<0，根据f(x)奇函数，即可求解。