子集与推出关系教案教案
1.5充分条件、必要条件1.6子集与推出关系
BA C图2CA B图 4CA B图1图3BA 1.5充分条件、必要条件【教学目标】1、从不同角度帮助学生理解充分条件、必要条件与充要条件的意义；. 2、结合具体命题，初步认识命题条件的充分性、必要性的判断方法； 【教学重点】充分条件、必要条件及充要条件的意义【教学难点】能在简单的问题情景中判断条件的充分性、必要性、充分必要性。
【教学过程】 一、课前预习反馈： 1. 复习⑴推出符号“⇒”的含义：一般地,如果“若α,则β”为真, 即如果成α立，那么β一定成立,记作:“βα⇒”;如果“若α,则β”为假, 即如果α成立，那么β不一定成立,记作:“α⇒β”. ⑵用推出关系的符号表示下列事件α与β的关系①:k α是能被4整除的自然数 :k β是偶数 ②2:870x x x α-+=实数适合 71x x β==：或 ③:5x α= :5x β= ④:A B α≠⊂ :A B β⊆⑤:x A B α∈ :x A B β∈⑥:2x α≠ :0x β>⑦:αA 键闭合；:β灯泡亮。
根据下图回答:α与:β之间的推出关系2、充分必要条件类型： （1）充分条件与必要条件如果（结论）条件βα⇒)(，那么称这个条件α是这个结论β的 条 (换句话说β的 条件是α)；如果（条件）（结论）αβ⇒，那么称这个条件α是这个结论β的 条件 (换句话说β的 条件是α)（2）充分必要条件如果既有αβ⇒，又有βα⇒，即有αβ⇔，那么α既是β的充分条件，又是β的必要条件，就称α是β的 条件，简称 。
（3）非充分非必要条件：条件α成立不能推出结论β成立，结论β成立不能推出条件α成立 称条件α是结论β的非充分非必要条件二、课堂学习探索： 1、充分必要条件类型：（1）α是β的充分必要条件（充要条件），即 ； （2）α是β的充分不必要条件，即 ； （3）α是β的必要不充分条件，即 ；（4）α是β的既不充分又不必要条件，即 ．2、充分必要条件的两种表达形式：（1）*** 是 *** 的 *** 条件 （2）*** 的 *** 条件 是 ***3、充分必要条件的判断：首先区别什么是条件，什么是结论；然后利用推出关系加以说明4、充分必要性的证明：必须先给出充分必要性的区别，再加以证明（不具备充分必要性只要举出反例）例1、上述练习中①α是β的 条件，β是α的 条件；②α是β的 条件。
初高中数学衔接课程教案18-子集与推出关系
初高中数学衔接课程教案18 子集与推出关系一、知识点梳理 1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则A B ⊆与αβ⇒等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质 （1）若A B ⊆，则α是β的充分条件； （2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件； （3）若A B ⊇，则α是β的必要条件； （4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件； （4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价．设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：二、典型例题例1、试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x （2）α：21x =；β：1x =（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：x A B ∈⋂ 解：(1)设{}2>=x x A ，{}2≥=x x B ， ∵ A ⊂B ，∴ α是β的充分非必要条件．(2) 设{}12==x x A ，{}1==x x B ，∵{}1,1-=A ，{}1=B ，A ⊃B ，∴ α是β的必要非充分条件． （3）甲是乙的充分必要条件 （4）甲是乙的必要不充分条件例2、利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件． 写出31x -<<的充分条件 写出31x -<<的必要条件 写出31x -<<的充要条件 解：答案不唯一例3、判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}5,n Z B n n =∈的个位数是之间的关系．解：设*,5:N k k n ∈=α，: 5 n β是个位数是的整数，αβ⇒ ，∴B A ⊂．例4、设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案：B例5、“22x -<<”是“260x x --<”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A例6、设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围． 解：设{}|13A x x =≤≤，{}|124B x m x m =+≤≤+ 因为α是β的充分条件，即αβ⇒，所以A B ⊆由右图可得11324m m +≤⎧⎨≤+⎩，解得102m -≤≤所以m 的取值范围是102m -≤≤．例7、设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围． 解：设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或α是β的充分条件，即αβ⇒，A B ∴⊆画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <．11324m m x ++例8、若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件．解：设命题α对应的集合为A ，命题β对应的集合为B ，命题γ对应的集合为Cα是β的充要条件，A B ∴=又β是γ的必要非充分条件，C B ∴⊆C A ∴⊆，γα⇒，所以γ是α的充分非必要条件．例9、设A 、B 、C 三个集合，A B 是A(B ∪C)的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A分析可以结合图形分析．请同学们自己画图．∴A(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A(B ∪C)，但AB 不成立，综上所述：“A B”“A (B ∪C)”，而“A (B ∪C)”“AB”．即“A B”是“A(B ∪C)”的充分条件(不必要)．A=BC三、巩固练习1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的条件． 答案：必要非充分2．一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：A3．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：C4．p 是q 的充要条件的是：（）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ．p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ．p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比 答案：C5．若A 是B 成立的充分条件，D 是C 成立的必要条件，C 是B 成立的充要条件，则D 是A 成立的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案：B6．命题“22530x x --<”的一个必要不充分条件是（ ）Ａ．132x -<< Ｂ．142x -<< Ｃ．132x -<< Ｄ．12x -<< 答案：B7．（1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________；（2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________． 答案：（1）必要不充分条件，（2）充分不必要条件8．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件． 答案：必要不充分条件9．判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}； (2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}． 解：(1) 因为x 是12的约数⇒x 是36的约数，所以A ⊆B ． (2) 因为x ＞5 ⇒x ＞3，所以B ⊆A ．(3) 因为x 是矩形⇔x 是有一个角为直角的平行四边形，所以A ⇔B ．10．已知A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆B ． 解：因为A ⊆B ，则x 是等腰三角形⇒x 具有性质p (x )， p (x )：x 是三角形，所以 B ＝{x | x 是三角形}．11．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件． （1）:1x α=且2y =；:3x y β+= （2）:0a b α+>；:0,0a b β>> （3）:0xy α>；:x y x y β+=+解：（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件12．设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围． 解：4m ≥13．设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？解： ∴qp ．（2）举反例，取14,2αβ==上述讨论可知：a ＞2，b ＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．(1)1a 2b 1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩。
2019-2020新沪教版高一数学第一学期教学案04—子集与推出关系—教师版
子集与推出关系知识梳理1、子集与推出关系：设{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质，则 A B ⊆ 与 αβ⇒ 等价． 2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合{}{}|,|A a a B b b αβ==具有性质具有性质（1）若A B ⊆，则α是β的充分条件；（2）若A B ⊂，则α是β的充分非必要条件；（3）若A B ⊇，则α是β的必要条件；（4）若A B ⊃，则α是β的必要非充分条件；（4）若A B =，则α是β的充要条件．3、推出关系具有传递性：若αβ⇒，βγ⇒，则αγ⇒，若αβ⇒，βα⇒，则αβ⇔，称α与β等价． 设{}|A a a α=具有性质，{}|B b b β=具有性质，则集合A 、B 之间的关系与α、β之间的关系，可用下表表示：例题解析一、子集与推出关系【例1】用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：（1）命题α：我是上海人 ；命题β：我是中国人，A =｛x ︱x 是上海人｝； B =｛x ︱x 是中国人｝．则命题α 命题β； A B ．（2）A =｛x ︱1x >｝；B =｛x ︱3x >｝，命题α：1x >；命题β：3x >．则A B ；命题α 命题β． 【难度】★【答案】（1）⇒，⊆；（2）⊇，⇐．【例2】试用子集与推出关系判断α是β（甲是乙）的什么条件： （1）α：2>x ；β：2≥x ； （2）α：21x =；β：1x =；（3）甲：220x y +=，乙：0,0x y ==；（4）设{2},{6}A x x B x x =>=<，甲：x A x B ∈∈或，乙：B A x ∈．【例3】试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件．（1）1:=x α，1:2=x β（2）:α正整数n 被5整除, :β正整数n 的个位数是5 【难度】★【答案】(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件 【说明】体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系．【例4】试用子集与推出关系来说明集合A 与B 的关系． （1）{}12A x x =是的约数， {}36B x x =是的约数（2）{}1A x x =>，{}3B x x =>（3）{}A x x =是矩形， {}B x x =是有一个角为直角的平行四边形【难度】★【答案】（1）A B ≠⊂ （2）A B ≠⊃ （3）A B =【说明】体会运用推出关系来研究集合之间的包含关系．【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件． （1）写出31x -<<的充分条件； （2）写出31x -<<的必要条件； （3）写出31x -<<的充要条件． 【难度】★ 【答案】答案不唯一【例6】（1）设,x y R ∈，若α：220x y +=，β：0xy =， 则α是β的 条件． （2）设,x y R ∈，若α：,x y 都不为零，β：0xy >，则α是β的 条件． （3）设α：3a b +=，β：1a =且2b =，则α是β的 条件． （4）设α：0≠x 且0≠y ，β：0≠+y x ，则α是β的 条件． 【难度】★★【答案】充分非必要，必要非充分，必要非充分，充分非必要【例7】（1）设α：三角形中有一个角是直角，β：三角形的三边满足222AB BC AC +=,则α是β 的 条件．（2）“该平面图形是四边形”是“该平面图形是梯形”的 条件． 【难度】★★【答案】必要非充分，必要非充分【巩固训练】1．“2x =”是“2320x x -+=”的 条件． 【难度】★【答案】充分非必要2．“2x ≥”是“2x >”的 条件． 【难度】★ 【答案】必要非充分3．k 除以4余1，β：k 除以2余1，则α是β的 条件． 【难度】★★ 【答案】充分非必要4．α：是整数的12的数，β：与整数相差12的数，则α是β的 条件． 【难度】★★ 【答案】必要非充分5．设α：x 是奇数，β：x 被4除余1，则α是β的 条件． 【难度】★★ 【答案】必要非充分6．“0xy <”的一个充要条件是（ ）A .0x >B .0y <C .,x y 异号D .0,0x y =>【难度】★★【答案】C7．设α：实数x 2=，β:4x =-或1x =,则α是β的 条件． 【难度】★ 【答案】充要8．下列各式中，α是β的必要非充分条件的是（ ） （1）α：()()120x x -+=， β：2x =- （2）α：2b ac =， β：a b b c= （3）α：,a b 不都为偶数， β：a b +不为偶数 （4）α：1x =且2y =-，β：2xy =-A .(1)(2)(3)B .(1)(3)(4)C .(2)(4)D .(1)(3) 【难度】★★ 【答案】A二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合{03},{02}M x x N x x =<≤=<≤ ，那么“a M ∈”是“a N ∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【难度】★ 【答案】B【例9】若命题α是命题β的充要条件，命题β是命题γ的必要非充分条件，则命题γ是命题α的______条件． 【难度】★【答案】充分非必要条件【例10】给定两个命题p ，q .若非p 是q 的必要而不充分条件，则p 是非q 的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★【答案】 A【提示】本题利用等价法来判断p 与非q 的关系，即利用了互为逆否命题的两个命题真假性相同这一原理． 【解析】利用等价转换的思想，根据题意可知，q ⇒非p ，但非p q ，那么其逆否命题p ⇒非q ，但非q p ，即p 是非q 的充分而不必要条件．【例11】设:13,:124,x m x m m R αβ≤≤+≤≤+∈，α是β的充分条件，求m 的范围． 【例12】设:23,:11,x x m x m m R αβ≤<≤->+∈或，α是β的充分条件，求m 的范围． 【难度】★★【答案】设{}|23A x x =≤<，{}|11,B x x m x m m R =≤->+∈或α是β的充分条件，即αβ⇒，A B ∴⊆画数轴分析可得13m -≥或12m +<，解得4m ≥或1m < 所以m 的取值范围是4m ≥或1m <．【例13】若1122,,,a b a b R ∈，且都不为零，则“1122a b a b =”是“110a x b +>与220a x b +>解集相同”的（ ） A .充分非必要条件 B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件【例14】设2:60a a α+-=，β：10mb +=，若β是α的充分条件，求m 的值．βα⇒ （1）当B【例15】设,m a R ∈，()()211f x x a x =+-+，()224mg x mx ax =++，若“对一切实数x ，()0f x >”是“对一切实数x ，()0g x >”的充分条件，求实数m 的取值范围．【巩固练习】1．设α：0(0)x a a <<>，β：102x a ≤-，若α是β的充分条件，求实数a 的取值范围．2．设{}2A x x =≥，{}B x x a =>，求满足B A ≠⊂的一个充分条件．【难度】★【答案】3a >（答案不唯一）3．设A 、B 、C 三个集合，A ⊂≠B 是A ⊂≠(B ∪C)的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解析】∵A ⊂≠B 是B ⊆(B ∪C)∴A ⊂≠(B ∪C)．但是，当B ＝N ，C ＝R ，A ＝Z 时， 显然A ⊂≠(B ∪C)，但A ⊂≠B 不成立，综上所述：“A ⊂≠B”⇒“A ⊂≠(B ∪C)”，而“A ⊂≠(B ∪C)”/⇒“A ⊂≠B”． 即“A ⊂≠B”是“A ⊂≠(B ∪C)”的充分条件(不必要)．4．已知α：集合{}{}24P x x Q x x a ≠=-<<⊂=>，β：{}2a x x ∈≤-，则α与β的推出关系是（ ）A .αβ⇒B .αβ⇔C .βα⇒D .αβ≠>【难度】★★ 【答案】B5．已知命题:14x α-≤≤，命题m x m -≤≤-13:β，且βα是的必要条件，求实数m 的取值范围． 因为βα⇒， 所以B A ⊆． 1综上所述：0m ≥6．如果,,a b c 都是实数，那么p ：0ac <，是q ：关于x 的方程20ax bx c ++=有一个正根和一个负根的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件【难度】★★【答案】C 7．设,x y R ∈，求证：||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥． 【难度】★★★【解答】证明：充分性：如果0xy =，那么，①0,0x y =≠②0,0x y ≠= ③0,0x y ==，于是||||||x y x y +=+如果0xy >即0,0x y >>或0,0x y <<，当0,0x y >>时，||||||x y x y x y +=+=+，当0,0x y <<时，||()()||||x y x y x y x y +=--=-+-=+，总之，当0xy ≥时，||||||x y x y +=+．必要性：由||||||x y x y +=+及,x y R ∈得22()(||||)x y x y +=+即222222||x xy y x xy y ++=++ 得||xy xy =所以0xy ≥故必要性成立，综上，原命题成立．反思总结1．在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题．2．本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，具体如下:(1)A B ⊆ ⇔α是β的充分条件；(2)A B ⊇ ⇔α是β的必要条件；(3)A B ≠⊂ ⇔α是β的充分非必要条件； (4)A B ≠⊃⇔α是β的必要非充分条件； (5)A B =⇔α是β的充要条件．课后练习1．若非空集合M N ⊂，则“a M ∈或a N ∈”是“a M N ∈⋂”的 条件． 【难度】★【答案】必要非充分2． 一个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件 【难度】★【答案】A3．p 是q 的充要条件的是：（ ）A ．p ：1a >，q ：二元一次方程组11x y ax y +=⎧⎨+=⎩有唯一解B ． p ：两条对角线互相垂直平分，q ：四边形是正方形C ．p ：325x +>，q ：325x --<-D ． p ：两个三角形相似，q ：两个三角形面积之比等于对应的高之比 【难度】★★【答案】C4．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要的条件 【难度】★★【答案】C【解析】如图可知，存在集合C ，使A ⊆C ，B ⊆∁U C ，则有A∩B ＝∅.若A∩B ＝∅，显然存在集合C ，满足A ⊆C ，B ⊆∁UC.故选C.5． （1）“()200ax bx c a ++=≠有实根”是“0ac <”的_____________； （2）“ABC A B C '''△≌△”是“ABC A B C '''△∽△”的_____________．【难度】★★【答案】（1）必要不充分条件，（2）充分不必要条件6．已知A 是B 的充分条件，B 是C 的充要条件，A ⌝是E 的充分条件，D 是C 是必要条件，则D 是E ⌝的_____________条件．【难度】★★【答案】必要不充分条件7．设A ，B 是有限集，定义：d (A ，B )＝card(A ∪B )－card(A ∩B )，其中card(A )表示有限集A 中元素的个数．命题①：对任意有限集A ，B ，“A ≠B ”是“d (A ，B )＞0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A ，B ，C ，d (A ，C )≤d (A ，B )＋d (B ，C )．( )A ．命题①和命题②都成立B ．命题①和命题②都不成立C ．命题①成立，命题②不成立D ．命题①不成立，命题②成立【难度】★★★【答案】A【解析】命题①显然正确．对于命题②：设d (A )＝a ，d (B )＝b ，d (C )＝c ，则d (A ，C )≤|a ＋c |＝|a －b ＋b －c |≤|a －b |＋|b －c |≤d (A ，B )＋d (B ，C )，所以命题②也成立．故选A.8． 判断下列集合A 与B 的关系．(1) A ＝{x | x 是12的约数}，B ＝{x | x 是36的约数}；(2) A ＝{x | x ＞3}，B ＝{x | x ＞5}；(3) A ＝{x | x 是矩形}，B ＝{x | x 是有一个角为直角的平行四边形}．【难度】★★【解答】(1) 因为 x 是12的约数⇒ x 是36的约数，所以 A ⊆ B ．(2) 因为 x ＞5 ⇒ x ＞3，所以 B ⊆ A ．(3) 因为 x 是矩形 ⇔ x 是有一个角为直角的平行四边形，所以 A ⇔ B ．9． 已知 A ＝{x | x 是等腰三角形}，B ＝{x | p (x )}，试确定一个集合B ，使A ⊆ B ．【难度】★★【解答】因为A ⊆B ，则x 是等腰三角形⇒ x 具有性质p (x )，p (x )：x 是三角形，所以 B ＝{x | x 是三角形}．10．试用子集与推出的关系来说明α是β的什么条件．（1）:1x α=且2y = ； :3x y β+=（2）:0a b α+> ； :0,0a b β>>（3）:0xy α> ； :x y x y β+=+【难度】★★【答案】（1）充分非必要条件；（2）必要非充分条件；（3）充分非必要条件11． 设:14x α≤<，:x m β<，α是β的充分条件，求实数m 的取值范围．【难度】★★【解答】4m ≥12． 设α，β是方程x 2－ax ＋b ＝0的两个实根，试分析a ＞2且b ＞1是两根α，β均大于1的什么条件？【解答】∴qp ．113．已知函数2)(bx ax x f -= （1）当0>b 时，若对任意R x ∈都有1)(≤x f 求证b a 2≤.（2）当0a >时，求证；对任意[]1)(,1,0≤∈x f x 的充要条件是b a b 21≤≤-.(1)1a 2b 1由α＞β＞得＝α＋β＞，＝αβ＞，1⎧⎨⎩。
高一数学上册《子集与推出关系》教案、教学设计
在高一数学上册的教学过程中，学生对集合知识已有一定的了解，掌握了集合的基本概念和简单运算。然而，子集与推出关系作为集合知识的一个难点，对学生来说是一个新的挑战。在此阶段，学生具有较强的求知欲和好奇心，但逻辑思维能力、抽象思维能力尚在发展中，需要教师在教学中给予适当的引导和启发。
学生在学习本章节内容时，可能会在以下几个方面遇到困难：一是理解子集与推出关系的定义，特别是对于空集和非空集合的子集关系；二是运用集合运算解决实际问题时，可能会出现混淆和错误；三是将推出关系应用于集合问题中，学生可能难以把握逻辑推理的严谨性。
6.注重过程评价，关注学生个体发展。在教学过程中，关注学生的学习态度、思考过程和合作交流等方面，给予积极的评价，激发学生的学习积极性。
7.拓展知识视野，提高学生数学素养。结合子集与推出关系，引导学生了解相关的数学历史、数学文化等，拓展学生的知识视野，提高学生的数学素养。
8.及时反馈，调整教学策略。在教学过程中，关注学生的反馈信息，了解学生的学习状况，根据学生的需求调整教学策略，确保教学效果。
5.针对本章节的学习，请学生撰写一篇学习心得，内容可以包括：学习子集与推出关系的心得体会、在解决问题过程中遇到的困难，培养自主学习能力。
在完成作业过程中，学生可以参考课本、课堂笔记以及网络资源。但我鼓励学生独立思考，尽量自己解决问题。我会及时批改作业，给予反馈，帮助学生找到问题所在，提高学习效果。
4.通过对集合知识的综合运用，培养学生举一反三、触类旁通的能力，提高学生的数学素养。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对待数学学科的积极态度，激发学生学习数学的兴趣和热情，增强学生的自信心。
2.引导学生体验数学的逻辑美，培养学生对数学的敬畏之心，提高学生的数学审美能力。
1.2.2 子集与推出的关系(教案)-【中职专用】高一数学同步精品课堂(人教版2021·基础模块上册
1.2.2 子集与推出的关系（教案）-【中职专用】高一数学同步精品课堂（人教版2021·基础模块上册）学习目标：1. 知道什么是子集，什么是超集和相等集合；2. 理解并掌握子集的定义和特征；3. 知道什么是推出的关系，什么是真子集和假子集；4. 理解并掌握推出的关系的定义和特征。
导入：通过问学生几个问题引入本节课的主题:1. 如果一个集合A包含另一个集合B中的所有元素，我们如何描述它们之间的关系？2. 如果一个集合D包含集合C中的所有元素，但是还有另外一些元素不在集合C中，这两个集合之间的关系是什么？3. 集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3}，那么集合B是集合A的什么？讲解：1. 子集子集是在一个集合中含有部分或全部元素的集合。
如果A集合中的每一个元素都在B集合中出现，我们会说集合A是集合B的子集。
简单来说，A子集B的定义是：如果集合A中所有的元素也都属于集合B，那么集合A就是集合B的子集。
举个例子，如果集合A = {1, 2, 3}，而集合B = {1, 2, 3, 4, 5}，那么集合A是集合B的子集。
写成符号的形式为：A ⊆ B。
在上面的例子中，B是A的超集，因为B包含了A中的每一个元素。
如果两个集合A和B有相同的元素，但是不是全部的，那么A和B不是相等集合。
2. 推出的关系如果B是A的子集，我们可以说“B被A推出”。
在这种情况下，我们还可以说B是真子集，因为B不等于A。
相反，如果A和B是相等集合，我们可以说A推出B，这时B被称为假子集。
例如，让A = {2, 4, 6}，B = {2, 6}。
根据上面的定义，B是A的子集，因为B中的所有元素也都在A中。
因此，我们可以说B是由A推出的真子集。
再如，如果A = {1，2，3}，B = {1，3}，那么A是由B推出的真子集，因为A中的所有元素都属于集合B。
这里需要注意的是，在子集的情况下，B是A的子集，而不是A是B的子集。
与此相似，在推出的关系中，B是由A推出的真子集，而不是A是B推出的真子集。
教学设计新部编版《子集与推出关系》数学上教版高一上
精选讲课讲课设计设计 | Excellent teaching plan教师学科讲课设计[ 20–20学年度第__学期]任讲课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan《子集与推出关系》◆ 教教教教【知识与能力目标】1.理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理2.理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理3.理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理【过程与方法目标】理解会集的包括关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用会集间的包括关系进行推理的方法以及经过推出关系解决会集的包括关系的相关问题；【感神情度价值观目标】理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理◆ 教教教教教【讲课要点】子集与推出关系等价性的理解与应用授课方案新部编版《子集与推出关系》数学上教版高一上精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan【讲课难点】子集与推出关系等价性的证明◆ 教教教教理理理理理 (1) 理理理理理α“ x理 4”理理理β“ x理 2”理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理α 理理β理理 (2) 理理理理 A理理理理理理理理α理理理理理A理 {x 理 x理 4} 理理理 B理理理理理理理理β理理理理理理 {x 理 x理 4} 理理理理理理 A理 B理理理理理理理理理理理理理理理BA理理 (3) 理理理 A理 B理理理理理B“A”理理理α理β理理理理理“αβ”理理理理理理理理理理理理理理理理(1)理理理理α“理理理理理理理”理理理β“理理理理理理”理理理理理理理理理理理理理理理理理理理α 理理β理理理理理A B理理理理理理 A理理 a理 a理理理理α理理 B理理 b理 b理理理理β理理A理Bα理理理理理理理“理A B理αβ”理理理理理理理理 A理理 x理 x理 5理理理理理理理理理理理B”“A理理理理理 B理理理理理理理理理理理理理理 B理理 x理 x理 3理理理α理 x理 5理理理β理 x理3理理理理“x理 5“”x理 3”理αβ理A B理αβ理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理理 A理理 a理 a理理理理α理理 B理理 b理 b理理理理Bβ理理α理理βA理理理理理理(1)理理理[理理“A B” “α β”理理理理理理理α理理理理理理β]理x理理理理α理理 x理A理A B理x理B理理x理理理理β理αβ(2)理理理[理理“αβ” “A B”理理理 x理 A理 x理 B]理 x理 A理理 x理理理理α理αβ理x理理理理理β理x理B理A B理 (1)(2)理理理A B理αβ理理理理理 (1)理理A理B理理理α理β理理理理理理理精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan(2) 理理理理理理理理理“理理理”理“理理理”理(3) 理A B 理 A 理 B 理A B 理A ?B 理理理理α理β理理理理理理理理理理α理β理理理理理理理理理理理理A 理理 a 理 a 理理理理α理理B 理理 b 理 b 理理理理β理理(1) A B 理α β理理理理α理β理理理理理(2) A B 理α β理理理理α理β理理理理理(3) A 理 B 理α β理理理理α理β理理理理理(4) A B 理α β理α β理理理理α理β理理理理理理理理(5) A ?B 理α β理α β理理理理α理β理理理理理理理理[ 理 1] 理理理理理理理理理理理α理β理理理理理理(1) α理 x 理 2理β理 x ≥2(2) 2 α理理x 1理β理 x 理1理理 (1) 理 A 理 {x| x 理 2} 理 B 理 {x| x ≥2}理 A B 理α β理α β理α理β理理理理理理理理(2) 理 A 理 {x|2理x 1} 理 { 理 1理 1} 理 B 理 {1}理A ?B 理α β理α βα理β理理理理理理理理理理理理理理理α理β理理理理理理理理理理理理理理理理理理理[ 理 2] 理理理理 A 理理 n 理 n 理 5k 理 k 理 N*理理 B 理 { n 理 n 理理理理理5理 n 理 N*} 理理理理理理理理理α理理理理 n 理理 5理理理β理理理理 n 理理理理理5理α β理α β 理?A B理理理理理理理理理A 理B 理理理理理理理理理理理[ 理 3] 理α理 1≤ x ≤ 3理β理 m 理 1≤ x ≤ 2m 理 4理 m 理 R 理α理β理理理理理理理理理 m 理理理理理理理 A 理 {x|1 ≤ x ≤ 3} 理 B 理 {x|m 理 1≤ x ≤ 2m 理 4理 m 理 R }理α理β理理理理理理理αβ 理A B{ m +1 ≤ 1 1 ≥ 3 2理 2m + 4 理理理理 ≤ m ≤0理理理理α理β理理理理理理理理理m 理理理理理理理理理(1) 理理理理理理理理理理理理(2) 理理理理理理理理精选讲课讲课设计设计| Excellent teaching plan◆ 教教教教略。
高一数学上册 子集与推出关系教学案 沪教版 教学案
上海华师大二附中2015届高一数学上册 子集与推出关系教学案 沪教版教学目标: 1、理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用集合间的包含关系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题；2、初步形成逻辑思维能力及等价转化思想，进一步树立辩证唯物主义的观点。
教学重点：集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。
教学难点：灵活运用集合间的包含关系进行推理，解决具体问题。
教学过程： 1、 情景引入如果α⇔β，α叫做β的充要条件） 2．引例：用“⊆”，“⊇”，“⇒”，“⇐”填空：(1)｛x x 是上海人｝________｛x x 是中国人｝； 我是上海人 ________ 我是中国人 (2) {x|x>5} ________ {x|x>3} ； x>5 ________ x>3 (3) {x|x 2=1}_______ {x|x=1} ； x 2=1 _______ x=1 ( (1) ⊆；⇒（2）⊆；⇒（3）⊇；⇐ ) 3．讨论从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？（我们可以发现，将符合具有性质α的元素的集合记为A ，将符合具有性质β元素的 集合记为B ，若A B ⊆，则αβ⇒；反之，若αβ⇒，则A B ⊆。
） 2、 概念形成1．定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。
2．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。
（证明略）集合 元素的性质（命题）{}α具有性质a a A = α{}β具有性质b b B =βB A ⊆ βα⇒ B A ⊇βα⇐B A =βα⇔【题目】：试用子集与推出关系来说明α是β的什么条件。
（1）1:=x α，1:2=x β(2) :α正整数n 被5整除 , :β正整数n 的个位数是5 【解答】：(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件说明:体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系。
2019-2020新沪教版高一数学第一学期教学案04—子集与推出关系—学生版
子集与推出关系知识梳理1、子集与推出关系:设A=「a|a具有性质：.b|b具有性质贝U A B与• _ I：等价.2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合A—a | a具有性质：.二B・b | b具有性质一：/（1）若A M B，则〉是一：的充分条件；（2）若A B，则：•是］的充分非必要条件；（3）若A二B，则：•是］的必要条件；（4）若A二B，则：•是］的必要非充分条件；（4）若A二B，则「是］的充要条件.3、推出关系具有传递性：若、；_'*■，卩一' ，则：•= ，若＞=■ -,-=「，则：• u :，称〉与］等价. 设A = ：|a具有性质J, B=「b|b具有性质「，则集合A、B之间的关系与〉、一：之间的关系，可用下表表示：例题解析一、子集与推出关系【例1】用’匸”，’二”，9 ”，上”填空：(1)命题：•：我是上海人；命题1 ：我是中国人，A= { x | x是上海人}; B= { x | x是中国人}.则命题〉_________ 命题1 ；A _____ B .(2)A= { x | XA1 } ；B = { x | XA3 },命题a ：x A1；命题 B ：x>3 .则A ____ B ；命题〉_________ 命题■-.【例2】试用子集与推出关系判断 :是1 (甲是乙)的什么条件：(1)：：X 2 ；:: x _ 2 .(2): X2=1；:: X =1 ；(3)甲：x2亠y2=0，乙：x=0, y=0 .(4)设A={x x >2}, B ={x x c6}，甲：x € A或B，乙：B .【例3】试用子集与推出关系来说明 :是一：的什么条件.(1): : X = 1 , ： : X2=1(2)〉：正整数n被5整除，二正整数n的个位数是5【例4】试用子集与推出关系来说明集合(1 A -Ixx 是12的约数;，(2)【例5】禾U 用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件.(1) 写出-3 x :: 1的充分条件；(2) 写出3：x ：1的必要条件；(3) 写出-3 x :: 1的充要条件.【例 6】(1)设 x, y • R ，若：• ： x 2 ■ y 2 = 0 , :: xy = 0 ,则〉是：的 ____________________ 条件.(2) 设x, y R ，若：• ： x, y 都不为零，一：：xy 0 ,则：•是]的 _______________________ 条件.(3) 设：• ： a • b = 3, :: a =1 且 b = 2，则：•是：的 ___________________ 条件.(4) 设 _：: ： x = 0 且 y = 0 , __________________________________________ !：-: x • y = 0，则一二是的 条件.【例7】(1)设〉：三角形中有一个角是直角，1 ：三角形的三边满足 AB2 BC 2 =AC 2,则〉是1的 _________________ 条件. (2) _________________________________________________________ 该平面图形是四边形”是 该平面图形是梯形”的 __________________________________________________________________ 条件.【巩固训练】1. “ x =2”是“ x 2 -3x • 2 = 0 ”的 _____________________ 条件.2. “ x -2”是“ x 2”的 _____________________ 条件.A 与B 的关系. Bx x 是 36的约数? (3) A - [x x 是矩形:， B 二:x x 是有一个角为直角的平行四边形 /(1)3. k 除以4余1 , ■: : k 除以2余1，则〉是［的 _______________ 条件.11 4. ：•:是整数的一的数，：：与整数相差 的数，贝V :•是：的 条件. 22 5 •设：•： X 是奇数，一：：X 被4除余1,则：•是1的 ___________________ 条件.6. 'Xy ：：：O ”的一个充要条件是（ ）A . x 0B . y <0C .x, y 异号D • x = 0, y 07•设〉：实数x 适合x 2 3^2， ■- ：x = -4或x =1贝U 〉是1的 _________________________ 条件. 8下列各式中，是1的必要非充分条件的是（ ）(1) 二:x-1 x 2 =0, :: x 一2 (2) .2 1 a b :- b ac ,b c (3) 二:a,b 不都为偶数， -: a - b 不为偶数 (4) :-: x =1 且 y 一2 ,-: xy = -2 A .⑴⑵⑶ B.(1) (3)(4) C .(2)(4) D .(1)(3)二、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合M ={x0<x^3}, N ={x0cx 兰2}，那么M ”是a = N ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C •充分必要条件D •既不充分也不必要条件 【例9】若命题。
全国青年教师高中数学教师同课异构课件及教学设计吴.森-子集与推出关系
• 教学重点： 理解子集关系与推出关系的等价性， 掌握用集合间包含关系进行推理的方法．
• 教学难点： 理解并证明子集关系与推出关系的等价性．
教学内容解析 教学目标设置 学生学情分析 教学策略分析
教学过程剪辑
• 上海市青年教师教学评比课. • 现场赛课，借班上课，不允许课前接触学生. • 普通高中高一学生.
试将“ A B ”与“ ”建立起对应 的联系.
严格 证明
证明“ A B ”与“ ”的等价性.2，体会借助于子集关 系进行逻辑推理的方法.
理解 深化
从“子集”到“真子集”， 从“充分条件”到“充分非必要条件”， 认知螺旋上升.
• 已经学习了集合的表示、集合之间的关系、
集合的运算、命题的形式及等价关系和充分
条件与必要条件.
• 具备了一定的数学抽象、合情推理能力.
• 演绎证明能力相对薄弱.
教学内容解析 教学目标设置 学生学情分析 教学策略分析
教学过程剪辑
复习回顾
引入课题 具体到抽象 猜测到论证 应用理解 探究深化 提炼小结 反思升华
应用理解，探究深化
探究 讨论
试根据推出关系的不同情况，研究相对应 的集合包含关系和图示、以及充分条件或 必要条件的不同情形．
提炼小结，反思升华
子集 集合 集合论 推出关系 命题 逻辑学 哲学
数学
集合语言是数学语言的重要组成部分. 数学语言是地球的语言、宇宙的语言.
教学内容解析 教学目标设置 学生学情分析 教学策略分析
教学过程剪辑
1．通过实例，理解子集与相应推出关系的等价性， 从特殊到一般，提升数学抽象能力．
2．经历子集与推出关系等价性的证明过程，提升 逻辑推理能力．
1.6子集与推出关系 教案
第一章：集合与命题 第六节：子集与推出关系【知识讲解】集合与命题集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。
在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。
因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。
集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x（2）子集与推出关系因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。
反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。
因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。
集合 元素的性质（命题）}5|{>=x x A 5>x{}3>=x x B3>x B A ⊆35>⇒>x x把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。
集合 元素的性质（命题） {}α具有性质a a A = α {}β具有性质b b B =β B A ⊆βα⇒ B A ⊇ βα⇐B A = βα⇔[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。
例题分析例1：判断命题1:=x α，1:2=x β之间的推出关系。
解：设{}1==x x A ，{}12==x x B ，{}1=A ，{}1,1-=B ，A B ≠∴⊂ 因此βα⇒。
例2：判断集合{}*,5N k k n n A ∈==，{}Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。
解：设*,5:N k k n ∈=α，的整数是个位数是5:n β，αβ⇒ ，A B ≠⊂∴。
2021年高一数学上册 子集与推出关系教学案 沪教版
2021年高一数学上册子集与推出关系教学案沪教版教学目标:1、理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用集合间的包含关系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题；2、初步形成逻辑思维能力及等价转化思想，进一步树立辩证唯物主义的观点。
教学重点：集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。
教学难点：灵活运用集合间的包含关系进行推理，解决具体问题。
教学过程：1、情景引入如果，叫做的充要条件）2．引例：用“”，“”，“”，“”填空：(1)｛是上海人｝________｛是中国人｝；我是上海人 ________ 我是中国人(2){x|x>5} ________ {x|x>3} ； x>5 ________ x>3(3){x|x2=1}_______ {x|x=1} ； x2=1 _______ x=1( (1) ；（2）；（3）； )3．讨论从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？（我们可以发现，将符合具有性质的元素的集合记为，将符合具有性质元素的集合记为，若，则；反之，若，则。
）2、概念形成1．定义：子集与推出关系是指集合的包含关系与集合性质的推出关系。
2．设，，则“”与“”等价。
（证明略）集合元素的性质（命题）【题目】：试用子集与推出关系来说明是的什么条件。
（1），(2) 正整数被5整除 , 正整数的个位数是5【解答】：(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件说明:体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系。
【属性】：高一（上），集合与命题，子集与推出关系，解答题，易，逻辑思维能力【题目】：试用子集与推出关系来说明集合与的关系。
（1） ，（2） ，（3） ，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形【解答】：（1） （2） （3）说明：体会运用推出关系来研究集合之间的包含关系。
【属性】：高一（上），集合与命题，子集与推出关系，解答题，中，逻辑思维能力【题目】：设，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，是的充分条件， 求的取值范围。
沪教版高一数学上册《子集与推出关系》教案及教学反思
沪教版高一数学上册《子集与推出关系》教案及教学反思一、课堂教学设计1. 教学目标•了解集合和子集的概念及相关运算法则；•掌握子集、真子集、空集和全集等基本概念；•理解推出关系的概念，掌握表示推出关系的方法；•能够利用推出关系解决实际问题。
2. 教学重点难点•集合和子集的概念及相关运算法则；•推出关系的概念和方法。
3. 教学方法•讲授法：通过课件、讲解和举例，引导学生理解和掌握相关知识；•演示法：运用图示、实例和问题引导学生思考、发现规律；•互动式教学：通过讨论、合作和分享，激发学生的学习兴趣和积极性。
4. 教学过程第一部分：导入1.老师简单介绍数学上一学期的知识，询问学生对集合及其相关概念的了解；2.引导学生思考问题：给出一个集合 A，在集合 B 中如何找出 A 的子集？第二部分：讲解1.介绍集合和子集的概念及相关定义，比较集合和元素的差异；2.讲解子集、真子集、空集和全集等基本概念，引导学生理解和掌握；3.阐述集合的基本运算法则，包括并集、交集、差集、补集等；4.详细介绍推出关系的概念，掌握表示推出关系的方法；5.举例说明推出关系的作用，包括实际应用。
第三部分：练习1.让学生做几道与集合、子集和推出关系相关的习题，加深对知识点的理解和掌握；2.给学生提供解题技巧和方法，帮助他们解决难题。
第四部分：归纳总结1.引导学生对本节课的知识点进行总结归纳，将所学知识清晰地表述出来；2.鼓励学生自己动手制作脑图、笔记等学习资料，提高知识的整理和归纳能力。
5. 教学反思本节课从集合和子集的概念入手，逐步引导学生理解和掌握推出关系的概念和方法。
在教学过程中，通过讲授、演示和练习等多种教学方法，让学生在主动参与中逐渐掌握了这些知识点。
在教学方法上，本节课采用了讲授法、演示法和互动式教学，灵活运用不同的教学方法，提高了学生的学习效果。
在教学内容上，本节课注重对概念和方法的讲解，注重理解和实践的结合，帮助学生掌握了推出关系的相关知识。
2019-2020新沪教版高一数学第一学期教学案04—子集与推出关系—教师版
子集与推出关系知识梳理1、子集与推出关系：设A「.a|a具有性质：.？，B「b|b具有性质「，则A B与「等价.2、子集与推出关系的各种表述形式：已知集合A —a | a具有性质：.},B = \b | b具有性质一：/（1）若A B，则「是］的充分条件；（2）若A B，则：•是］的充分非必要条件；（3）若A二B，则：•是］的必要条件；（4）若A二B，则「是］的必要非充分条件；（4）若A =B，则：•是］的充要条件.3、推出关系具有传递性：若，则= ，若则：一：，称〉与］等价. 设A「a|a具有性质门，B—b|b具有性质J ,则集合A、B之间的关系与〉、［之间的关系，可用下表表示：例题解析、子集与推出关系【例1】用G”，0”，仝”，上”填空:(1)命题〉：我是上海人；命题：：我是中国人，A= { x | x是上海人}; B= { x I x是中国人}.则命题〉_________ 命题一：；A _____ B .(2) A= { x | x>1}; B = { x | x>3},命题a ：x >1 ;命题P ：x>3.则A ____ B ;命题〉 __________ 命题：.【难度】★【答案】(1) = , ；( 2)二,【例2】试用子集与推出关系判断 :是一：(甲是乙)的什么条件:(1) 、；：x 2 ；I-' : x _ 2 •(2) ： : x2=1 ； :: X =1 •.,, 2 2(3) 甲：x y =0 ,乙：x=0, y=0 ；(4) 设A={x x >2}, B ={x x <6}，甲：x壬A或B，乙：B .【难度】★【解答】(1 )设A={X|XA2},B={X|X A2}，: A匚B ,••• a是B的充分非必要条件.(2) 设A =*X2=1[B =:xx =1 [••• A = 1,-d, B = 1, A 二B,.・.a是B的必要非充分条件.(3) 甲是乙的充分必要条件.(4) 甲是乙的必要不充分条件.【例3】试用子集与推出关系来说明:是一：的什么条件.(1):- ：X =1, ： : X2=1(2)〉：正整数n被5整除，'■:正整数n的个位数是5【难度】★【答案】(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件【说明】体会运用集合之间的包含关系来研究推出关系.【例4】试用子集与推出关系来说明集合A与B的关系.(1)A=1xx是12的约数[ B=「xx是36的约数1 (2) A」xx 1,(3) A=fxx是矩形？, B x x是有一个角为直角的平行四边形｝【难度】★【答案】(1) A 二B (2) A_ B (3) A = B丰丰【说明】体会运用推出关系来研究集合之间的包含关系.【例5】利用子集与推出关系的等价性，写出下列语句的相关条件.(1)写出-3 x .1的充分条件；(2)写出-3 x .1的必要条件；(3)写出-3 . x :: 1的充要条件.【难度】★【答案】答案不唯一【例6】(1)设x, y R，若一：x2亠y2 = 0，杯：xy = 0 ,则'社是弘的________________________ 条件.(2)________________________________________________________________________ 设x, y R，若：• ：x, y都不为零，：xy 0，则：•是］的________________________________________________________ 条件.(3)设「：a • b =3 , : a=1 且b = 2，则〉是］的____________________ 条件.(4)设〉：x = 0且y = 0 , :: x • y = 0，则壽是：的______________________ 条件.【难度】★★【答案】充分非必要，必要非充分，必要非充分，充分非必要【例7】(1)设：•：三角形中有一个角是直角，一：：三角形的三边满足AB2 BC2=AC2,则〉是］的_________________ 条件.(2)该平面图形是四边形”是该平面图形是梯形”的_____________________ 条件.【难度】★★【答案】必要非充分，必要非充分【巩固训练】1 •“ x =2 ”是“ X2 -3x • 2 =0 ”的____________________条件.【难度】★【答案】充分非必要2•“ x _2”是“ x ■ 2”的_____________________ 条件.【难度】★【答案】必要非充分3. k除以4余1, ■- : k除以2余1，则「是［的________________ 条件.【难度】★★【答案】充分非必要1 1条件.4.:是整数的一的数，：：与整数相差一的数，则：•是：的__________________2 2【难度】★★【答案】必要非充分5 .设〉：x是奇数，1 ：x被4除余1,则〉是］的________________________ 条件【难度】★★【答案】必要非充分6. 刈：：：0 ”的一个充要条件是（）A. x 0B.y ：：0C. x, y 异号D.x=0, y 0【难度】★★【答案】C7 •设〉：实数x 适合x 2 3x 2 , : ^ -4或x=1贝是1的 ________________________ 条件.【难度】★【答案】充要8下列各式中，:-是1的必要非充分条件的是（ ）【难度】★★【答案】A、子集与推出关系与集合、命题、充分条件与必要条件等综合应用【例8】设集合M ={x0<x^3}, N ={x0<x^2}，那么为乏M ”是春N ”的（）A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件【难度】★ (1) 二:x-1 x 21=0, :: x = -2(2) :-: b 2 二 ac , -: a bb c(3) :-: a,b 不都为偶数， -: a - b 不为偶数(4) •篇x =1 且 y - -2 , -: xy - -2A .⑴⑵⑶ B.(1)(3)(4)C .(2)(4)D .(1)(3)【答案】B【例9】若命题a是命题P的充要条件，命题P是命题丫的必要非充分条件，则命题丫是命题口的 _____________ 条件. 【难度】★【答案】充分非必要条件【解答】设命题：•对应的集合为A，命题'对应的集合为B,命题对应的集合为C:-是1的充要条件，.A = B又[是的必要非充分条件，.C BC A，讦二爲，所以是〉的充分非必要条件.【例10】给定两个命题p，q.若非p是q的必要而不充分条件，则p是非q的（）A •充分而不必要条件B •必要而不充分条件C.充要条件 D .既不充分也不必要条件【难度】★★【答案】A【提示】本题利用等价法来判断p与非q的关系，即利用了互为逆否命题的两个命题真假性相同这一原理.【解析】利用等价转换的思想，根据题意可知，q?非p,但非p上q，那么其逆否命题p?非q，但非q冷p，即p是非q的充分而不必要条件.【例11】设二：1 _ x _3, ： : m • 1 _ x _ 2m • 4, m • R，二是：的充分条件，求m的范围.【难度】★★【答案】设A =「x|1ExE3?, B x|m 仁x^2m 4]因为〉是1的充分条件，即＞ =■,所以A B,,口 m +1 兰1 ” F 1由右图可得彳，解得—丄^m^0[3 兰2m+4 2m 1 1 3 2m 4 xX.所以m的取值范围是-〔^m^0.2【说明】透彻理解“子集与推出关系”，学会综合运用集合、命题、充分条件与必要条件等知，识来解决问题.【例12】设：2乞x ：：：3「：x zm-1或x m 1,m R，:•是[的充分条件，求m的范围.【答案】设A =「x|2^x ：：3?, B =「x|xEm-1 或x m 1, m 二R]:-是1的充分条件，即> =-,A B画数轴分析可得m -1 _ 3或m • 1 ：：：2，解得m _ 4或m ：：：1所以m的取值范围是m _ 4或m ：：：1.【例13】若a1,b1,a2,b^ R，且都不为零，则“色二® ”是“ a“x b, 0与a2x b2- 0解集相同”的( )a2 b2A .充分非必要条件B.必要非充分条件C .充要条件D.既非充分又非必要条件【难度】★★【答案】Ba b【解析】若1I，取6=^=1，a2=b2--1则x 1 0与-x-1 0解集不同.a2 b2所以“ a1 b1”不是“ a^x b1 0与a2x 0解集相同”的充分条件.a2 b2若a1,a,a2,b2・R，且都不为零且6x51-0与a?x • d 0解集相同，此时，必有—b-=_b i，所以去=且成立.a a? a? b2所以“ a1 b1”是“ a1x b1 0与a2x 0解集相同”的必要条件.a2 b2综上所述，“a1 bl”是“a1x b10与a?x • b2 •0解集相同”的必要非充分条件.a2 b2【例14】设：• ： a2• a - 6 = 0 , :: mb ^0，若：是〉的充分条件，求m的值.【难度】★★【解答】令A—aa2a-6=0^ , B—bmb 1=0? 则<-3,2/•. B^A ■. B=^或｛—3〉或◎(1 )当B = '时，m =01(2)当B={_3}时，m=-3 1 (3)当B二⑵时，m21 1综上所述：m=0或—或一3 2【例15】设m,a R , f x =x2 a -1 x 1, g x =mx2 2ax ，若“对一切实数x , f x切实数x , g x 0”的充分条件，求实数m的取值范围.2f X 0= ：f 二a-1 -4 ：： 0= -1 ：a：3当m = 0 时，g x =2ax ,因为g 0 =0，所以不可能对一切实数x，g x 0 .令A - ；a -1 ：： a ：： 3』,B = a由条件知：A B，所以)3，即叽6.【巩固练习】1设〉：0 <x ：a(a 0), - x岂10-2a，若：•是［的充分条件，求实数a的取值范围.【难度】★10【答案】0 c a兰—32•设A = lx x 一2?, B —x x • a?，求满足B _ A的一个充分条件.【难度】★是“对一【解答】对一切实数因此，对一切实数x , g x -Ou m 0."■：gm m, …-m2 汕二-2 ^ 2 m 0【答案】a 3 (答案不唯一)3.设A 、B 、C 三个集合，A=B 是A = (B U C)的( )A .充分条件B .必要条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【难度】★★ 【答案】A【解析】••• A=B 是 B (B U C) ••• A=(B U C).但是，当 B = N , C = R , A = Z 时，显然A=(B U C)，但A=B 不成立，综上所述：“A A B ” 二 “A A (B U C)”而 “A (B U C)”乎 “A A B ” .即B”是“A 「(B U C) ”的充分条件(不必要).4.已知a ：集合P ={x -2 e x v 4}：Q ={x x >a }, P : a 壬{x x 兰—2}，则ot 与目的推出关系是( )A .：二-B . ： u ：C .-二:D .^：- 1-：,【难度】★★ 【答案】B5•已知命题辽4，命题 一— ，且〉是［的必要条件，求实数 m 的取值范围.【解答】令A 」x|—1*兰4}, B ={x|3m —仁xE —m }因为■ =' ■, 所以A . 1•当B = 5寸，-m ：：：3m-1= m 1 满足条件. 4—m - 3m1 <3m —1 3T = 0 $m 兰丄综上所述：m_026.如果a,b,c都是实数，那么p : ac ：：：0 ,是q :关于x的方程ax bx 0有一个正根和一个负根的 ( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【难度】★★【答案】C7.设x, y • R，求证：| x • y |=| x | | y |成立的充要条件是xy亠0 .【难度】★★★【解答】证明：充分性：如果xy =0，那么，①x=0, y=0②x=0, y=0③x = 0, y = 0，于是|x - y|=|x| • |y|如果xy:>0 即x〉0,y A0或xc0,yc0 ,当x》0, y》0 时，|x + y|=x + y=|x|+|y|,当x v0, y v0 时，|x + y|=—x —y =(—x)+(—y) =|x| + |y |,总之，当xyA0 时，|x + y|=|x|+|y| .必要性：由|x + y|=|x|+|y| 及x, y^R得(x + y)2 = (| x | + | y |)2即x2 +2xy + y2 = x2十2 | xy | 十y2得|xy|=xy所以xy工0故必要性成立，综上，原命题成立.反思总结1 •在判断充分、必要等条件时，通常可以从两方面入手：方法一：直接用逻辑推理的方法进行推理；方法二：借助集合间的包含关系，利用集合思想解决数学中的条件问题.2 •本节课，我们利用等价转化的思想把看似没有联系的子集、推出关系，通过集合间的包含关系联系了起来•设A = a a具有性质：J, B」bb具有性质］［具体如下：(1)A B ［是］的充分条件；(2)A二B =:-是1的必要条件；(3)A二B u :•是］的充分非必要条件；(4)A二B u :•是］的必要非充分条件；丰(5)A=B=［是］的充要条件.课后练习1 •若非空集合M N，则a M或a • N ”是(a M ' N ”的_________________________ 条件.【难度】★【答案】必要非充分2. —个整数的末位数字是2，是这个数能被2整除的( )A. 充分不必要条件 B .必要不充分条件C. 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件★【难度】【答案】A3. p是q的充要条件的是：( )x y 二1 亠◎ ”A.p : a 1 , q :二元一次方程组有唯一解、ax 十y = 1B.p :两条对角线互相垂直平分，q :四边形是正方形C. p : 3x 2 5, q : -3x-2 -5D• p :两个三角形相似，q :两个三角形面积之比等于对应的高之比【难度】★★【答案】C4 .设U为全集，A , B是集合，则存在集合C使得A?C, B??u C”是“ A QB0 ”的( )A .充分而不必要的条件B .必要而不充分的条件C.充要条件 D .既不充分也不必要的条件【答案】C【解析】如图可知，存在集合C,使A?C, B??u C，则有A QB =.一若A QB = •_ ,显然存在集合C,满足A? C,B? ? UC.故选C.25. (1) ax +bx+c=O(a^O )有实根"是’acvO "的______________________ ；(2) △ ABC ABC "是△ ABC A'Bf ”的________________ .【难度】★★【答案】(1 )必要不充分条件，(2 )充分不必要条件6 •已知A是B的充分条件，B是C的充要条件，一A是E的充分条件，D是C是必要条件，则D是—E的______________ 条件.【难度】★★【答案】必要不充分条件7.设A, B是有限集，定义：d(A, B)= card(A U B) —card(A Q B)，其中card(A)表示有限集A中元素的个数.命题①：对任意有限集A, B, A毛”是d(A, B)>0”的充分必要条件；命题②：对任意有限集A, B, C, d(A, C) @(A, B) + d(B, C).( )A .命题①和命题②都成立B .命题①和命题②都不成立C.命题①成立，命题②不成立D .命题①不成立，命题②成立【难度】★★★【答案】A【解析】命题①显然正确.对于命题②：设d(A)= a, d(B)= b, d(C)= c,贝U d(A, C) <a|+ c|=|a—b + b—c|剝—b| + |b—c|电(A, B) + d(B, C)，所以命题②也成立.故选 A.8 判断下列集合A与B的关系.(1)A = {x | x是12的约数} , B= {x | x是36的约数};⑵ A = {x | x>3} , B = {x | x>5};(3) A = {x | x是矩形} , B = {x | x是有一个角为直角的平行四边形}.【难度】★★【解答】⑴ 因为x是12的约数=x是36的约数，所以A二B.(2)因为x> 5 - x> 3，所以 B A.(3)因为x是矩形 =x是有一个角为直角的平行四边形，所以A= B.9.已知A= {x | x是等腰三角形}, B = {x |p(x)}，试确定一个集合B,使A B.【难度】★★【解答】因为A1B，则x是等腰三角形=• x具有性质p(x), p(x): x是三角形，所以 B = {x | x是三角形}.10•试用子集与推出的关系来说明:是一：的什么条件.(1)：:x=1 且y=2 ；:x y=3(2)：:a b 0 ; : a 0,b 0(3) a : xy〉0 ；B:x+y=|x+|y|【难度】★★【答案】(1)充分非必要条件；(2)必要非充分条件；(3 )充分非必要条件11.设〉：1^x：：：4 , ■- : x < m，［是［的充分条件，求实数m的取值范围.【难度】★★【解答】m 一412.设a B是方程x2—ax+ b= 0的两个实根，试分析a> 2且b> 1是两根a, B均大于【难度】★★a > 1 zl=t【解答】(1)由」得a= a +卩> 2 , b= a卩> 1, ••• q n p.> 11(2)举反例，取〉=4,:2上述讨论可知：a>2, b> 1是a> 1, 3> 1的必要但不充分条件.213.已知函数f(x)=ax-bx(1)当b 0时，若对任意x • R都有f(x) _1求证a _ 2...b .(2)当a 0时，求证；对任意x・0,1)f(x) <1【解答】(1) f (x) _1,. bx2 -ax 1 - 0恒成立•：二a2 -4b 乞0, a 乞2 . b(2) f (x)叮=一1 乞ax—bx2乞1川！二｛x x X [0,1] b_a-；x xa 1(_ + -T)min =a +1b Ma +1 x x 1的什么条件?的充要条件是b -1乞a乞2 b .a 2 =｛才（沦2）且力-（ a —1（0 ： ： a ： ：2） 4（a - 12）max X X a -1） _0。
最新高一子集与推出关系备课讲稿
教师姓名
学生姓名年级高一上课日期学科数学课题名称子集与推出关系
计划时长2h 教学目标1、正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念
2、培养学生的逻辑思维能力及归纳总结能力
3、在充要条件的教学中，培养等价转化思想．
教学重难点教学重点：掌握充要条件的概念
教学难点：掌握充要条件的判定
教学过程
一、知识点精练
知识点1：子集与推出关系的概念
设A=｛a|a 具有性质p ｝，B=｛b|b 具有性质q ｝，则A B 与p
q 等价，此时称p 是q 的充分条件
知识点2：子集的充分性与必要性
（1）若A B ，则p 是q 的充分条件
（2）若
则p 是q 的充分不必要条件（3）若
，则p 是q 的必要不充分条件（4）若，则p 是q 的必要条件（5）若A=B ，则p 是q 的充要条件
二、知识点精炼
例1：试用子集与推出关系判断
α是β的什么条件。
(1) α：x ＞2；β：x ≥2
(2) α：x 2＝1；β：x ＝1 例2：判断集合A ＝｛n ︱n ＝5k ，k ∈N*｝与B ＝{ n ︱n 的个位数是5，n ∈N*}之间的关系。
例3：设α：1≤x ≤3，β：m ＋1≤x ≤2m ＋4，m ∈R ，α是β的充分条件，求实数
m 的范围。
解：设A ＝{x|1≤x ≤3}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m ＋4，m ∈R }
∵α是β的充分条件，∴αβ得A B ∴{m +12m +43≤1≥解得：－1
2≤m ≤0
思考：若α是β的必要条件，如何求
m 的范围？
三、能力提升例1
变式练习：
例2
四、课堂练习1、
2、。
高中数学新沪教版精品学案《子集与推出关系》
子集与推出关系【学习目标】1．理解集合的包含关系与命题推出关系的等价性，初步掌握用集合间的包含关系进行推理的方法以及通过推出关系解决集合的包含关系的相关问题；2．初步形成逻辑思维能力及等价转化思想，进一步树立辩证唯物主义的观点。
【学习重难点】重点：集合间的包含关系与命题的推出关系之间的联系。
难点：灵活运用集合间的包含关系进行推理，解决具体问题。
【学习过程】一、情景引入1．引例：用“”，“”，“”，“”填空：（1）｛是上海人｝________｛是中国人｝；我是上海人________我是中国人；{|>5}________{|>3}；>5________ >3；{|2=1}_______{|=1}；2=1_______=1。
2．讨论。
从上述引例中，子集与推出关系有怎样的联系？________________________________________________。
二、概念形成1．定义：子集与推出关系是指集合的_______关系与集合性质的_______关系。
2．设{}α具有性质a a A =，{}β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。
三、概念的应用1．试用子集与推出关系来说明是的什么条件。
（1）1:=x α，1:2=x β。
（2）正整数被5整除，正整数的个位数是5。
__________________________________________；__________________________________________。
2．试用子集与推出关系来说明集合与的关系。
（1）{}12A x x =是的约数 ，{}36B x x =是的约数；（2）{}1A x x =>，{}3B x x =>；（3）{}A x x =是矩形，{}B x x =是有一个角为直角的平行四边形。
3．设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，是的充分条件，求的取值范围。
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子集与推出关系
一、教学内容分析
这节内容是本教材新增内容，探讨集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。
在第一章中，继集合的有关内容、四种命题形式、充分条件与必要条件之后进行学习，将集合与命题加以沟通，融为一体，是对本章知识的一个完善，体现了数学知识的统一性，并有助于学生更深刻地领会有关概念，提高综合运用能力。
二、教学目标设计
了解集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；领会集合与命题之间的对应关系，学会运用。
三、教学重点及难点
集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系；集合与命题之间的关系在解决问题中的灵活运用。
四、教学流程设计
五、教学过程设计 一、复习引入 1、复习：
（1）集合的表示方法以及集合之间的关系。
集合的表示方
法及包含关系 命题与推出关系
集合与命题
子集与推出关系
运用及深化理解
（2）命题与推出关系。
2、思考：
集合与命题之间有什么联系。
[说明]复习相关知识，从本章的课题“集合与命题”引入新课。
二、学习新课 1．建立联系 （1）集合与命题
集合的要素是它所含的元素，集合可以用它所含元素的特征性质来描述；反过来，给定一个明确的性质，则符合这一性质的对象可以组成一个集合。
在这里，描述元素特征性质的语句可以看作是命题。
因此，集合与表述事物性质的命题之间有密切的对应关系（具体例子见下表）。
集合
元素的性质（命题）
{}5>=x x A 5>x {}3>=x x B
3>x
[说明]进一步探讨集
合的包含关系与命题的推出关系之间的联系。
（2）子集与推出关系
因为“5>x ”可推出“3>x ”，所以，若A x ∈，则B x ∈，即B A ⊆。
反之，如果B A ⊆，即若A x ∈，则B x ∈，那么可由“5>x ”推出“3>x ”。
因此，“B A ⊆”与“35>⇒>x x ”等价。
（填入上表）
集合
元素的性质（命题）
{}5>=x x A 5>x {}3>=x x B 3>x B A ⊆
35>⇒>x x
把上述结论推广到一般性，设{}α具有性质a a A =，{}
β具有性质b b B =，则“B A ⊆”与“βα⇒”等价。
（证明略）
集合
元素的性质（命题）
{}
α具有性质a a A =
α
{}
β具有性质b b B =
β
B A ⊆ βα⇒ B A ⊇
βα⇐
B A =
βα⇔
[说明]引导学生先寻求具体集合间的包含关系和集合中元素的性质（命题）间的推出关系，
再把包含关系与推出关系进行联系，得出结论并证明，然后，把这个结论一般化，提出本课主题，请学生自主论证。
2．例题分析
例1：判断命题1:=x α，1:2
=x β之间的推出关系。
解：设{}
1==x x A ，{}
12==x x B ，{}
1=A Θ，{}1,1-=B ，A B ≠
∴⊂ 因此βα⇒。
例2：判断集合{}
*,5N k k n n A ∈==，{}
Z n 5,∈=的个位数是n n B 之间的关系。
解：设*
,5:N k k n ∈=α，的整数是个位数是5:n β，αβ⇒Θ，A B ≠
⊂∴。
[说明]通过例1、例2，让学生初步体会判断集合之间的包含关系或判断命题之间的推出关系可以相互转化，互为所用。
例3：设31:≤≤x α，R m m x m ∈+≤≤+,421:β，α是β的充分条件，求m 的取值
范围。
解：设{}31≤≤=x x A ，{}
R m m x m x B ∈+≤≤+=,421， αΘ是β的充分条件，βα⇒∴，B A ⊆∴，
⎩⎨
⎧≥+≤+∴.
342,11m m 解得021≤≤-m 。
所以⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-∈0,21m 。
[说明]透彻理解“子集与推出关系”，集合、命题、充分条件与必要条件等知识的综合运用。
3．问题拓展
思考：求集合的交集、并集、补集的运算与命题有什么联系
[说明]进一步完善集合与逻辑用语的联系，为学有余力的学生创设一个发展空间。
三、巩固练习 练习
四、课堂小结
理解集合与命题的关系，领会集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系，根据所给条件能自觉将子集与推出关系进行转化，从而顺利解决问题；在解决问题的过程中，体会数学知识的统一性，将相关内容融会贯通。
五、作业布置
习题
六、教学设计说明
《子集与推出关系》一课理论性较强，不要求也不能够死记硬背，而要从本质上理解，才能领悟其实质并灵活运用。
在本课的教学设计中主要注意了以下三点。
1、从具体到抽象，从特殊到一般。
《集合与命题》向来作为高中数学学习的第一章，但为什么要将集合和命题放在一起，有学生没想过，也有学生想过，但弄不明白，节正好可以解答这个疑问。
怎么提出这个课题而又不觉得突兀是这节课首先要考虑的问题，因此，本课从复习集合与命题的相关知识引出集合与命题联系的探讨。
然后，分成两个步骤：先从具体的例子当中元素的性质表述抽象出一般集合中元素的性质表述，建立集合和命题的联系；再从两个特殊集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系推广到两个一般集合的包含关系与命题的推出关系之间的联系，建立起子集与推出关系的等价关系。
这样，学生对知识的学习顺理成章，易于理解。
2、将引例与主要知识以列表的形式呈现。
学习理论性较强章节的知识，学生往往忙于接受、逐步理解，无暇抓住关键，因此，把集合与命题、子集与推出关系这些“联系”用列表的形式给出，学生一目了然，易于把握课堂节奏，逐层习得知识；并且表格的形式有助于对集合与命题“对应关系”的理解。
3、以引领学生多思考、多交流为中心。
理论性强的课，学生容易感到枯燥，这样一来，更不利于学生对知识的理解。
所以，在教学的各个环节中，以学生为主体，引导学生动脑思考，鼓励学生谈感悟，力求让学生自己去提出课题，寻找联系，发现结论，严密论证，尝试运用。